Download - 20130928200919Nota PPG Topik 1 Nombor(2)
PPG MT-MAJOR
TOPIK 1
NOMBOR Pengenalan Kursus Mengajar Nombor, Pecahan, Perpuluhan dan Peratusan ini memberi peluang kepada pelajar menghayati dan mengembangkan amalan pengajaran yang baik dalam nombor, pecahan, perpuluhan dan peratus. Perbincangan meliputi aspek-aspek yang berkaitan dengan perkembangan konsep kanak-kanak, aktiviti pengajaran dan pembelajaran serta pembinaan resos pembelajaran. Pengalaman praktikal diperoleh melalui sesi pengajaran mikro/makro. Modul ini dibina untuk membimbing pelajar- pelajar menjana ide dan menggilap kreativiti menjadi guru matematik yang berkesan. Tiga aspek utama yang mesti diberi perhatian ialah: i. Tahu tentang kemahiran- kemahiran matematik yang perlu murid
kuasai pada akhir persekolahannya. ii. Ada kemahiran pedagogi untuk menyampaikan isi kandungan
pelajaran supaya murid faham dan jelas. iii. Tahap- tahap perkembangan dalam pembinaan sesuatu konsep
matematik Topik- topik dalam kursus ini ialah Nombor, diikuti dengan Pecahan, Perpuluhan dan Peratus. Dalam tajuk 1, kita akan fokus kepada Nombor Bulat sahaja dan Empat Operasi Asas. Kita juga akan bincangkan tentang Fakta Asas, Celik Operasi (Operation Sense) dan Pengiraaan serta Isu- isu Utama dalam Pengajaran Nombor Bulat. Hasil Pembelajaran Pada akhir pembelajaran topik ini, pelajar- pelajar dapat: i. Menerangkan tentang perkembangan awal nombor. ii. Meningkatkan kemahiran-kemahiran pedagogi yang berkesan dalam
pengajaran Nombor Bulat. iii. Merancang aktiviti- aktiviti pengajaran dan pembelajaran bagi tajuk
Nombor Bulat. iv. Membincangkan isu- isu yang berkaitan dalam tajuk ini.
1.1 Nombor Bulat Kemahiran - kemahiran matematik dalam tajuk Nombor Bulat yang perlu
ada dan mesti dikuasai murid- murid setelah tamat sekolah rendah ialah:
PPG MT-MAJOR
Menggunakan istilah seperti banyak, sedikit, sama banyak, tidak sama banyak atau lebih besar daripada, lebih kecil daripada semasa membuat perbandingan.
Mengenal dan menamakan nombor bulat Mengira, membaca dan menulis nombor bulat Menentukan nilai tempat bagi digit dalam nombor bulat Membanding beza nilai- nilai nombor bulat Menyusun nombor bulat secara menaik atau menurun Membundar nombor bulat kepada puluh, ratus, ribu dan puluh ribu
yang hampir.
Kemahiran Pedagogi ialah satu aspek yang amat penting bagi guru untuk menyampaikan isi kandungan semasa sesi pengajaran dan pembelajaran. Kemahiran pedagogi bermaksud guru dapat menguasai kaedah, teknik dan strategi yang bersesuaian dalam pengajaran dengan tujuan membantu murid memahami dan menguasai sesuatu konsep.Seorang guru matematik yang efektif perlu arif tentang langkah- langkah perkembangan yang perlu diambil kira dalam pembinaan sesuatu konsep khususnya bagi nombor bulat.
1.1.1 Tahap Perkembangan Nombor Bulat
Perkembangan suatu konsep matematik selalunya akan melalui beberapa langkah- langkah tertentu. Ia berlaku secara berturutan dari konsep yang mudah ke konsep yang agak sukar dan seterusnya ke tahap yang susah. Murid- murid perlu didedahkan mengikut pemeringkatan seperti dalam tajuk nombor bulat iaitu:
Celik Nombor Pra Nombor Nombor Awal Pengenalan Nilai Tempat Pengukuhan tentang Nilai Tempat Lanjutan tentang Nilai Tempat
1.1.2 Celik Nombor Celik nombor merangkumi: • Pemahaman tentang konsep nombor dan operasi ke atas
nombor.
• Pembentukan strategi berguna bagi memahami nombor dan operasi ke atas nombor.
PPG MT-MAJOR
• Kebolehan untuk mengira dengan tepat dan efisyen, boleh mengesan kesilapan.
• Kebolehan dan kecenderungan untuk menggunakan kefahaman tentang nombor , dan dalam pelbagai cara yang fleksibel apabila ingin membuat keputusan.
• Mempunyai jangkaan bahawa nombor adalah berguna, dan bekerja dengan nombor adalah bermakna dan boleh diterima akal (make sense).
- cth: dapat tempat pertama dalam kelas
1.1.3 Pra Nombor Pada peringkat ini, kanak- kanak perlu ada kemahiran pra
syarat untuk mempelajari tentang nombor. Kemahiran pra syarat ini termasuklah: mengklafikasi /mengisih objek melalui sifat- sifat fizikal
seperti warna, saiz membandingkan kuantiti dua objek melalui padanan satu ke
satu. menentukan hubungan kuantiti antara dua set sebagai sama
banyak, lebih banyak atau kurang daripada. Keabadian kuantiti
Konsep Pranombor adalah yang bukan berkaitan dengan nombor tetapi kemahiran ini penting sebagai asas kepada konsep dan kemahiran nombor yang seterusnya.
1.1.4 Nombor Awal
Di sini, kanak- kanak akan menumpukan perhatian untuk mempelajari nombor 1 ke 10, juga sifar. Mereka akan diajar membaca, menulis dan menyusun nombor berasaskan objek- objek konkrit dahulu, diikuti dengan objek- objek dalam gambar dan akhirnya hanyalah simbol atau nombor sahaja. Mereka juga perlu faham konsep sifar yang mewakili kuantiti kosong atau tiada.Guru matematik perlu berhati- hati di sini kerana kanak- kanak biasanya menghadapi masalah untuk memahami makna sifar.Oleh itu, adalah wajar untuk mengenalkan sifar hanya setelah kanak- kanak kenal nombor sekurang- kurangnya sehingga nombor 3. Begitu juga dengan nombor 10 kerana ia melibatkan nombor dua digit dan nilai tempat. Penerangan berkenaan Nilai Tempat akan dihuraikan kemudian.
PPG MT-MAJOR
Kemahiran/konsep penting yang perlu dikembangkan dalam peringkat awal nombor • Mengenal, menama, dan menentukan nilai nombor 1 hingga
10, dan 0
Membilang nombor 1 hingga 10
• Menulis angka 1 hingga 10
• Menyusun nombor 1 hingga 10 mengikut tertib menaik dan menurun.
1.1.5 Perkembangan Nombor (Number Development)
Mengajar awal nombor Dengar, lihat, sebut dan tunjuk Strategi Membilang • Membilang secara menaik (Counting on)
• Membilang secara menurun (Counting back)
• Membilang secara lisan (Verbal counting)
• Membilang secara sentuhan (Touch counting)
• Membilang secara visual (Visual counting)
• Membilang secara melangkau (Skip counting)
Mengajar Menulis Angka Teknik Biasa
• Menulis di udara (write in the air)
• Menulis di atas pasir (write on sand board)
• Menekap angka putus-putus (trace dashed numerals)
• Menulis di atas ruang kosong (write on empty space)
PPG MT-MAJOR
1.1.6 Pengiraan
Apabila kita mengira, kita sebenarnya mencari bilangan elemen dalam satu set objek. Ia melibatkan nombor- nombor selain dari 1. Contohnya kita mengira wang, baki wang, mengira dalam kiraan dua (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) atau dalam kiraan lima (5, 10, 15, 20, 25, ...).
Kita boleh mengira dalam pelbagai cara yang berbeza. Mengira secara lisan biasanya digunakan bagi objek yang ada di depan mata.Menggunakan gundal atau tally marks, untuk mengira dilakukan dengan mencatatkan satu tanda untuk mewakili satu kuantiti dan kemudian menjumlahkan tanda yang dicatat . Ini adalah pengiraan menggunakan asas 1. Pengiraan biasa ialah menggunakan asas 10
Selain dari itu kita juga boleh menjalankan pengiraan menggunakan jari (finger-counting) terutamanya untuk mengira nombor kecil. Di sini kita menggunakan 1 jari= 1 unit dan terhad kepada mengira 10 sahaja. Lain- lain simbol tangan juga digunakan seperti dalam Sistem Cina di mana 1 tangan mewakili 10. Finger binary (base 2 counting) juga ialah satu cara mengira di mana pengiraan sehingga 1023 = 210 – 1 boleh dilakukan.
Guru matematik sepatutnya mendedahkan teknik- teknik untuk mengira seperti teknik counting on (0, 1,2,3,4,....), teknik counting back (10, 9,8,7,6,.....) dan juga skip counting (2, 4,6,8,....) . Kita patut mula dengan nombor yang lebih kecil dahulu misalnya nombor 0 hingga 10. Apabila murid- murid sudah mahir, barulah beralih ke nombor- nombor yang lebih besar.
Pelbagai alat dan kaedah boleh digunakan untuk membantu mengira seperti hand tally counters, menggunakan pensel dan kertas, penganggaran, aritmetik mental, abakus, kalkulator dan komputer. Kita sepatutnya dapat membuat pilihan yang bijak melalui pengalaman untuk memilih yang mana satu yang lebih baik dan sesuai.
1.1.7 Peranan Algoritma dan Perwakilan Nombor
Algoritma ialah satu prosedur yang mengandungi langkah- langkah khusus untuk diikuti dalam pengiraan. Mengikut al-Khwārizmī, algoritma merujuk kepada peraturan- peraturan dalam menjalankan aritmetik menggunakan nombor- nombor Arab- Hindu. Kepentingan untuk memahami dan menggunakan algoritma adalah perlu dalam mempelajari matematik. Terdapat
PPG MT-MAJOR
pelbagai algoritma dalam matematik dengan kegunaannya tersendiri.
Untuk menjadi mahir dalam pengiraan, seorang mestilah mempunyai kaedah yang efisen dan tepat untuk mengira, dan ada kemahiran celik nombor dan operasi. Kita perlu tahu dan faham bagaimana sesuatu algoritma itu digunakan dan berfungsi. Ini dapat menyokong kita untuk terus maju dalam matematik kerana algoritma itu bermakna untuk kita. Sekiranya kita mengamalkan pembelajaran secara menghafal semasa menjalankan algoritma matematik, maka ini akan menghalang perkembangan celik nombor kita. Pelajar yang dapat mencipta algoritma alternatif selalunya lebih berjaya dalam matematik kerana ia dibina berasaskan pemikiran dan kefahaman mereka.
Dalam pengajaran dan pembelajaran matematik, latihan perlu diberi setelah mempelajari tajuk matematik. Kadangkala latihtubi dan latihan tidak akan menjadi berkesan dan perlu sekiranya ia tidak membawa apa-apa makna kepada pelajar. Jadi seharusnya pelajar perlu jelas dan faham apa yang mereka buat. Kefahaman konseptual mesti dilengkapi dulu sebelum latihan dijalankan. Konsep yang kukuh tentang ide- ide matematik akan memudahkan lagi menyelesaikan masalah yang berkaitan. Kelajuan dan kecekapan menggunakan algoritma matematik melibatkan nombor- nombor besar bukan lagi merupakan satu isu kritikal kerana isu ini dapat diatasi menggunakan teknologi. Kita memerlukan fasiliti kepada algoritma untuk pengiraan itu. Walaupun begitu, teknologi tidak boleh menafikan keperluan untuk memahami dan menjalankan algoritma- algoritma asas.
1.1.8 Nilai Tempat
Dalam sistem Arab- Hindu , nilai tempat merupakan satu konsep utama.Nilai bagi sesuatu nombor ditentukan melalui kedudukannya dalam nombor itu. Sebagai contoh nombor 3578 dibaca sebagi tiga ribu lima ratus tujuh puluh lapan. Ribu, ratus, puluh dan sa menunjukkan tempat bagi nilai. 3 5 78
8 sa 7 puluh, atau 70 sa 5 ratus, atau 500 sa 3 ribu, ataqu 3000 sa
PPG MT-MAJOR
Dalam bentuk kembangan (expanded form), 3578 boleh ditulis sebagai 3000 + 500 + 70 +8. Guru perlu membimbing murid memahami nilai tempat asas sepuluh supaya mereka faham sistem nombor Arab Hindu. Ini membolehkan mereka membina sebarang nombor menggunakan 10 digit itu dan menentukan nilai tempatnya. Konsep nilai tempat dapat dikukuhkan lagi melalui pengalaman mencerakinkan nombor dalam bentuk expanded form. Apabila tajuk nilai tempat diperkenalkan, murid- murid akan mula menggunakan nombor 11 hingga 20 . Ide tentang nilai tempat dikaitkan terus dengan konsep pengumpulan semula dalam nombor asas 10 (10 sa = 1 puluh). Satu contoh bahan untuk menunjukkan nombor asas sepuluh ialah dengan menggunakan straw. Kita katakan satu straw mewakili nilai 1 dan 1 ikatan yang mengandungi 10 straw menunjukkan ide mengumpulkan 10 straw kepada satu kumpulan 10. Lihat rajah di bawah.
Ide nilai tempat diteruskan lagi kepada nombor 20 sehingga 100. Untuk membina kefahaman dan pengalaman ini, kita mesti melalui proses mengumpulkan objek dalam kumpulan sepuluh- sepuluh. Sekali lagi kita boleh gunakan straw untuk menunjukkan ide 1 ratus = 10 puluh = 100 sa. Di sini guru memainkan peranan penting untuk membimbing murid untuk belajar dan memahami konsep nilai tempat dengan mudah melalui pengalaman konkrit.
Kini masanya untuk anda berfikir.
Aktiviti 1
Apakah bahan- bahan lain yang boleh anda gunakan sebagai objek asas 10 semasa mengajar konsep nilai tempat?
Bagaimana anda menggunakan bahan itu untuk menunjukkan nilai sa, puluh dan ratus?
sa puluh
PPG MT-MAJOR
Catatkan di bawah.
Konsep nilai tempat dilanjutkan kepada nombor melebihi 100. Idea pengumpulan sepuluh- sepuluh dilakukan untuk menunjukkan 10 puluh = 1 ratus; 10 ratus = 1 ribu dsb. Sehubungan dengan itu, kefahaman murid tentang nilai tempat diperluaskan kepada ratus, ribu, puluh ribu, ratus ribu dan juta. Murid perlu diingatkan tentang digit 0 dalam ide nilai tempat. Sifar di sini ada makna tertentu. Guru perlu membimbing murid supaya faham. Contohnya dalam nombor 709, sifar terletak pada tempat puluh dan tiada nilai puluh di sini.
Ada banyak cara yang baik yang boleh digunakan untuk mengajar konsep nombor. Sebagai seorang guru matematik kita tahu, murid membina konsep melalui kefahamannya dan pembelajaran akan berlaku daripada pengalaman belajar yang bermakna. Oleh itu, guru harus merancang pengajaran yang menyediakan ruang untuk berfikir melalui aktiviti – aktiviti yang melibatkan penglibatan aktif , mencabar, praktikal dan relevan.
a) Contoh Aktiviti P&P - Mengira
Hasil Pembelajaran:
Mengira sekumpulan objek dari 1 hingga 10 Mengira ke belakang dari nombor 10 to 0.
Bahan : 10 pembilang Kad Nombor 0 – 10
Prosedur:
1. Guru berkata: “Lihat, saya ada banyak pembilang.
Mari kita kira bilangan pembilang yang saya ada.”
2. Guru mengalihkan satu kaunter ke tepi dan berkata “satu”. 3. Guru mengalihkan satu lagi pembilang dan berkata “dua”.
PPG MT-MAJOR
4. Guru ulang untuk “tiga”, “empat” sehingga “sepuluh”. 5. Kerja berpasangan:
Secara bergilir lakukan seperti di atas- seorang alihkan pembilang sambil seorang lagi menyebut bilangan yang dialih. Beri pujian jika dapat mengira dengan betul.
6. Murid- murid bermain “Permainan Mengira” dalam kumpulan berlima mengikut peraturan berikut:
Kocok kad (0 – 10) dan terbalikkannya. Seorang pemain ambil kad teratas dan terbalikkan sambil
menyebut nombornya , contoh : “tujuh”. Pemain lain mengira ke belakang “enam, lima , empat,
tiga,....., sifar” mengikut giliran. Pemain yang menyebut sifar akan mengambil kad
seterusnya dan permainan diteruskan seperti di atas.
b) Contoh Aktiviti P&P – Nilai Tempat Hasil Pembelajaran:
Menukar nombor 10 hingga 20 dalam puluh dan sa menggunakan strip-puluh dan kepingan sa. Bahan: Bahan Asas 10 : strip- puluh dan kepingan sa Kad nombor : 0 hingga 9 Kad Manila dengan dua poket.
Prosedur: 1. Guru bimbing murid untuk menukar 10 kepingan sa dengan
satu strip- puluh
strip- puluh
kepingan sa
2. Murid diminta menyebut satu nombor antara 11 dan 20. Contohnya 15. Guru bimbing murid tukar 15 sa dengan 1 strip- puluh dan 5 sa
PPG MT-MAJOR
3. Guru bimbing murid pilih satu kad nombor untuk mewakili nombor di atas dan letakkan dalam poket seperti di bawah:
4. Guru bimbing murid untuk menulis 15 = 1 puluh + 5 sa = 10 + 5 5. Murid kemudian menyebut nombor itu dalam dua cara iaitu :
satu puluh dan lima sa dan lima belas.. 6. Ulang langkah- langkah di atas untuk nombor- nombor lain. Ringkasan: 1. Nombor mewakili kuantiti sesuatu objek dan diterjemahkan dalam
bentuk simbol digit.
2. Ide sifar diperkenalkan selepas murid- murid kenal sekurang- kurangnya tiga nombor pertama.
3. Ide pengumpulan bersepuluh penting untuk membina konsep nilai
tempat.
4. Tiada satu cara terbaik yang tertentu untuk mengajar tajuk nombor bulat. Oleh itu, gunakan kreativiti anda untuk menghasilkan pelbagai kaedah yang boleh digunakan untuk menyokong pengajaran.
1.2. Operasi Nombor dan Fakta Asas
Operasi Tambah dan Tolak 1.2.1 Pengenalan
Murid-murid sekolah rendah perlu mempunyai kemahiran asas
mengira. Ada empat operasi asas iaitu :
Penambahan TADIKA dan TAHUN 1
penolakan
pendaraban
Pembahagian
Puluh
Sa
1 5
PPG MT-MAJOR
1.2.2 Peringkat Pembelajaran Bagi Penambahan Dan Penolakan
Ada 3 langkah asas dalam pembelajaran ini:
Tambah dan Tolak sehingga nombor 10 – pengalaman
mengira awal dan memahami konsep dan makna
penambahan dan penolakan
Tambah dan Tolak sehingga nombor 18 – menekankan
kemahiran mengingat fakta asas bagi penambahan dan
penolakan
Tambah dan Tolak bagi nombor lebih daripada 2 digit –
menekankan tentang algoritma simbolik bagi penambahan
dan penolakan.
1.2.3 Makna Penambahan Dan Penolakan
Penambahan - operasi yang mengumpulkan dua nombor
(addends) untuk menghasilkan nilai unik ketiga yang dikenali
sebagai hasil tambah.
Dalam ayat matematik, ia ditulis sebagai
3 + 4 = 7, 3 dan 4 adalah addends, dan 7 adalah hasil
tambah.
Penolakan – kita mula dengan hasil tambah dan menarik
keluar satu daripada addends untuk mencari satu lagi
addend yang tinggal.
Hasil tambah sebenar adalah minuend; addend yang ditolak
adalah subtrahend; addend yang tertinggal adalah baki
Dalam ayat matematik, ia ditulis sebagai
o 7 – 3 = 4, 7 adalah minuend, 3 adalah subtrahend, dan 4
merupakan baki.
PPG MT-MAJOR
Ada dua model asas untuk menggambarkan penambahan.
(a) Model Set: kombinasi objek konkrit; dan
(b) Model Garis Nombor : kombinasi kuantiti tidak konkrit
Contoh :
Masalah 1: Abu mempunyai 3 biji bola berwarna merah dan
5 biji bola biru. Berapa jumlah bola yang Abu punyai?
Masalah 2: Suhu air dalam sebuah bikar adalah 38o C.
Selepas memanaskannya, suhu meningkat sebanyak 4o C.
Apakah bacaan suhu baru bagi air tersebut?
Masalah 2 berkenaan kombinasi dua bacaan suhu, kuantiti bukan konkrit. Gambaran rajah adalah seperti berikut: MODEL GARIS NOMBOR
Masalah 1 berkenaan penambahan dua biji bola, dua objek konkrit. Gambaran rajah adalah seperti berikut: MODEL SET
0 0C 10 0C 20 0C 30 0C 40 0C 50 0C
38 0C
42 0C
4 0C
PPG MT-MAJOR
Ada empat model asas untuk menunjukkan makna Penolakan :
(a) Model Take-Away
(b) Model Perbandingan (Comparison)
(c) Model Missing-Addend
(d) Model Garis Nombor
Contoh :
Masalah 1: Bibah mempunyai 5 ekor ayam. Semalam, 2
daripada ayam-ayam tersebut dicuri orang. Berapa ekor ayam yang
tinggal ? (MODEL TAKE AWAY)
(b) MODEL PERBANDINGAN (COMPARISON)
Masalah 2: Nina mempunyai 5 biji oren. Sari pula mempunyai 2 biji
oren. Berapa biji oren yang Nina punyai, melebihi oren yang dipunyai
oleh Sari ?
PPG MT-MAJOR
(c) MODEL MISSING-ADDEND
Masalah 3: Bob bercadang memelihara 5 ekor arnab. Pakciknya
memberi 2 ekor arnab sebagai permulaan.Berapa ekor arnab lagi yang
perlu Bob beli ?
(d) MODEL GARIS-NOMBOR)
Masalah 4: Suzy mempunyai 5 liter jus oren. Dia memberi 2 liter
kepada adiknya. Berapa liter jus oren yang masih tinggal pada Suzy ?
5 liter
1.2.4 Hubungan Antara Penambahan Dan Penolakan
Penambahan dan penolakan adalah operasi songsang
(inverse).
Contohnya:
disebabkan 3 + 4 = 7, maka 7 – 3 = 4 dan 7 – 4 = 3.
Aktiviti mengenai hubungan antara penambahan dan penolakan
adalah sangat penting pada tahap awal pembelajaran kanak-
kanak.
0 1 2 3 4 5 6
2 liter
3 liter
PPG MT-MAJOR
Sebagai guru matematik, adalah sangat penting untuk
membimbing mereka memahami hubungan ‘inverse’ ini melalui
aktiviti yang dirancang dengan teliti.
Contoh Mengenai Penolakan Merupakan ‘Inverse’ Kepada
Penambahan
Isi tempat yang kosong:
8 + 4 = 12
12 – 8 = _____ 12 – 4 = _____
5 + 9 = 14
14 – 5 = _____ 14 – 9 = _____
1.2.5 Sifat Penambahan
Identiti Penambahan(Additive identity)
Sifar adalah identiti bagi Penambahan sebab dengan
menambah sifar
kepada sebarang nombor, tetap akan menghasilkan
nombor tersebut, contohnya 4 + 0 = 4 (tekankan bahawa
(a + 0) and (0 + a) adalah sama.
Tukar tertib/Komutatif (Commutative property)
Menukar tertib kedudukan dua addend tidak mengubah
hasil tambah, contohnya: (4 + 3 = 3 + 4).
Ini memudahkan murid-murid jika yang telah mengetahui
5 + 7 = 12, tidak perlu lagi menghafal (7 + 5).
Identiti Penambahan(Additive identity)
Sifar adalah identiti bagi penambahan sebab dengan
menambah sifar kepada sebarang nombor, tetap akan
menghasilkan nombor tersebut, contohnya 4 + 0 = 4
(tekankan bahawa (a + 0) and (0 + a) adalah sama.
PPG MT-MAJOR
1.2.6 Fakta Asas Penambahan
1.2.7 Algoritma Bagi Penambahan Dan Penolakan
Untuk mengajar algoritma bagi penambahan dan penolakan,
kita perlu menggunakan bahan konkrit ( seperti bahan asas-10
dan carta nilai tempat ).
Rajah berikut menunjukkan contoh bagi proses penambahan
menggunakan bahan konkrit asas-10 serta proses bagi
penolakan.
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
PPG MT-MAJOR
Model Konkrit bagi (16 + 18).
PPG MT-MAJOR
Contoh Algoritma Penambahan
Contoh Algoritma Penolakan
Disamping algoritma tersebut di atas, terdapat lain-lain algoritma untuk
mengira penambahan dan penolakan.
Algoritma 1 Algoritma 2 1 1 3 7 8 3 7 8 + 9 5 8
+ 9 5 8 1 6 1 3 3 6 1 2 0 1 2 0 0 1 3 3 6
Algoritma 1 Algoritma 2
7 15 7 10
8 5 8 5
- 6 7 15 - 7 = 8 - 6 7 (10 – 7) + 5 = 8
1 8 1 8
Pu Sa 7 6 - 2 3
Pu Sa 7 6 - 2 3
3
Pu Sa 7 6 - 2 3
5 3Model Konkrit bagi (76 – 23).
PPG MT-MAJOR
1.3 Operasi Darab dan Bahagi
Pendaraban dan pembahagian adalah dua konsep penting yang digunakan dalam semua topik Matematik. Pendaraban merupakan antara asas pengiraan yang dianggap sukar selain membahagi. Oleh itu pelajar harus membina asas yang kukuh tentang pendaraban dan pembahagian semasa di sekolah rendah sebelum memasuki peringkat menengah.
1.3.1 Kemahiran Asas Matematik – Pendaraban dan
Pembahagian Kanak kanak membina pengetahuan pendaraban dan pembahagian daripada kefahaman tentang topik penambahan dan pendaraban. Kemahiran Asas Matematik yang berkaitan dengan pendaraban dan pembahagian ialah: Menulis ayat pendaraban dan pembahagian. Menyatakan dengan cepat fakta asas pendaraban sehingga 9 x 9
dan fakta asas pembahagian sehingga 81 ÷ 9. Menulis pendaraban dan pembahagian dalam bentuk algorithma
piawai. Mendarab sebarang dua nombor. Membahagi sebarang nombor dengan nombor lain, dengan baki
dan tanpa baki. Menyelesaikan masalah seharian yang melibatkan pendaraban
dan pembahagian.
1.3.2 Maksud Pendaraban dan Pembahagian Pendaraban secara umumnya dikenali sebagai penambahan berulang nombor yang sama. Di dalam ayat pendaraban 3 x 4 = 12, 12 dipanggil hasil darab bagi 3 dan 4 di mana 3 ialah multiplier dan 4 ialah multiplicand. Sebaliknya. pembahagian dikenali sebagai suatu proses mengagihkan suatu kuantiti kepada bahagian yang sama. Bagi pernyataan bahagi 305=6, 30 dipanggil dividend, 5 ialah pembahagi (divisor ) dan 6 ialah hasil bahagi (quotient). Walau bagaimanapun ada banyak lagi maksud pendaraban dan pembahagian.
PPG MT-MAJOR
Rajah 1 menggambarkan dua maksud umum pendaraban dan Rajah 2 menerangkan dua maksud umum pembahagian.
(3 X 4) bermaksud 4 + 4 + 4 TAMBAH BERULANG
(3 X 4) bermaksud 3 baris; 4 di dalam setiap baris.
SUSUNAN
Terdapat 3 bungkusan buah tomato. Setiap bungkusan ada 4 biji tomato .Berapakah jumlah buah tomato semuanya.
Terdapat 3 baris buah tomato. 4 biji tomato pada setiap baris. Berapakah jumlah buah tomato kesemuanya. ?
Rajah1. Maksud Pendaraban.
Terdapat 12 biji tomato.Seorang kanak-kanak makan 3 biji tomato. Berapakah orang kanak-kanak yang dapat makan semua tomato?
12 ÷ 3 = 4 bermaksud 3 boleh di tolak daripada 12 sebanyak 4 kali; iaitu.
12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0
TOLAK BERTURUT-TURUT
Terdapat 12 biji tomato untuk dibahagi kepada 3 orang kanak-kanak. Berapakan biji tomato untuk setiap kanak-kanak tersebut?
12 ÷ 3 bermaksud 12 diagihkan kepada 3 orang kanak-kanak; Seorang kanak-kanak mendapat 4. AGIHAN SAMA
Rajah 2. Maksud Pembahagian.
PPG MT-MAJOR
Banding dan beza (3 x 4 = 12) dan (4 x 3 = 12). Bagaimanakah perbezaan pendaraban ini mempengaruhi proses anda dalam pengajaran pendaraban?
Cikgu menyuruh Ahmad melukis gambar menunjukkan maksud 8 2 = 4. Ahmad melukis gambar berikut: Arif ,rakan Ahmad ,menyatakan gambar di atas tidak menunjukkan maksud pembahagian yang betul. Kerana untuk pembahagian 8 2, Ahmad harus melukis 8 objek yang dikongsi sama oleh 2 orang. Gambar yang betul adalah seperti di bawah.:
Apakah respon anda tentang perbezaan pendapat antara Ahmad dan Arif ? Kenapa anda fikir perbezaan pendapat ini timbul antara mereka ?
PPG MT-MAJOR
1.3.3 Hubungan antara Pendaraban dan Pembahagian Pendaraban dan pembahagian adalah suatu operasi songsangan (inverse operation). Sebagai contoh, oleh kerana 5 x 3 = 15, maka 15 3 = 5 dan 15 5 = 3. Kanak-kanak perlu diberi ruang yang luas untuk meneroka hubungan ini secara aktif. 1.3.4 Sifat-Sifat Pendaraban Pendaraban mempunyai beberapa ciri yang boleh digunakan untuk meringkaskan prosedur pengiraan secara mental dan lazim. Dua ciri yang berguna ialah identiti penambahan,ciri tukar tertib dan pendaraban dengan sifar.
i) Identiti Penambahan (Additive identity).
Satu ialah identiti penambahan kerana mendarabkan 1 dengan sebarang nombor akan meghasilkan nombor itu sendiri. (4 x 1 = 4).
ii) Tukar tertib/Komutatif (Commutative property).
Pendaraban adalah operasi komutatif kerana untuk sebarang nombor a dan b, (b x a) akan memberi nilai yang sama seperti (a x b). Sebagai contoh, 2 x 3 = 3 x 2 = 6.
iii) Pendaraban dengan sifar.
Sebarang nombor yang didarabkan dengan sifar akan memberi nilai sifar.
Model Konkrit bagi (76 – 23).
Bagaimanakah ciri-ciri pendaraban ini dapat membantu pelajar meringkaskan tugasan mereka dalam menghafal fakta asas pendaraban?
PPG MT-MAJOR
1.3.5 Fakta Asas Pendaraban Fakta asas pendaraban adalah pendaraban daripada sebarang dua nombor 1 digit. Terdapat 100 fakta asas bagi pendaraban. Fakta asas pendaraban boleh di terjemahkan dalam bentuk jadual. 1.3.6 Fakta Asas Pembahagian Sekiranya pelajar anda telah mengetahui fakta asas pendaraban, mereka boleh mengaitkan dengan fakta asas pembahagian. Sebagai contoh, jika mereka tahu bahawa 6 x 5 = 30, maka tidaklah sukar untuk mengaitkan bahawa 30 5 = 6 dan 30 6 = 5. Oleh itu, tidak perlu untuk mempelajari fakta asas pembahagian secara berasingan. Sebaliknya guru perlu menekankan tentang hubungan songsang antara pendaraban dan pembahagian. 1.3.7 Algoritma bagi pendaraban dan Pembahagian Terdapat berbagai jenis algoritma untuk melakukan operasi pendaraban dan pembahagian. Rajah 3 di bawah menunjukkan empat jenis algoritma yang berbeza untuk pendaraban dan Rajah 4 menunjukkan 2 jenis algoritma untuk pembahagian.
Algoritma 1 Algoritma 2 Algoritma 3 3 2 4 3 2 4 3 2 4
X 2 6 X 2 6 X 2 6 1 9 4 4 2 4 2 4 6
X 46 4 8 1 2 1 2 0 6 X
208 4 2 4 1 8 1 8 0 0 6 X
300 8 8 0 20
X 4 4 4 0 0 20 X
20 6 6 0 0 0 20 X
300 8 4 2 4 8 4 2 4
Bincangkan dengan rakan anda di sekolah. Apakah aktiviti pembelajaran yang digunakan untuk mengajar kanak-kanak tentang hubungan songsangan antara pendaraban dan pembahagian? Senaraikan semua idea utama anda.
PPG MT-MAJOR
Algoritma 4
X 300 20 4
20 6000 400 80
6 1800 120 24
324 x 26 = 6000 + 400 + 80 + 1800 + 120 + 24
= 8424
Rajah 3. Algoritma Pendaraban
Algoritma 1 Algoritma 2
4 3 0 134 1 3 4 1 0 0
7 9 4 1 7 9 4 1 7 7 0 0 tolak 100 x 7 2 4 2 4 1 2 1 2 1 0 tolak 30 x 7 3 1 3 1 2 8 2 8 tolak 4 x 7 3 baki 3 baki
Rajah 4. Algoritma Pembahagian
Maksud pendaraban dan pembahagian yang manakah setiap algoritma di atas di asaskan? Terangkan sebab anda.
Bagaimanakah anda menggunakan bahan konkrik untuk menunjukkan proses pendaraban dan pembahagian algoritma?
Algoritma yang manakah yang anda pilih untuk mengajar pelajar anda? Mengapa?
PPG MT-MAJOR
1.3.8 Contoh Aktiviti Pengajaran dan Pembelajaran. Sebagai guru matematik, anda seharusnya mencari peluang untuk mengumpulkan aktiviti p-p yang baik untuk pengajaran anda. Jika anda mempunyai koleksi aktiviti yang pelbagai, anda secara semulajadi akan mendapat idea yang banyak semasa merancang pengajaran anda. Dengan membaca contoh aktiviti di bawah diharap akan dapat memberi gambaran dan idea untuk memulakan koleksi anda. Aktiviti 1: Pendaraban sebagai Penambahan Berulang. Hasil Pembelajaran:
Menerangkan bahawa pendaraban adalah penambahan berulang. Menulis ayat pendaraban.
Bahan:
Pinggan kertas Pembilang
Langkah perlaksanaan: 1. Guru bercerita tentang penambahan berulang;murid melakonkan setiap
cerita menggunakan pembilang dan pinggan kertas.Contoh cerita ditunjukkan dalam Rajah 5.
Rajah 5. Contoh menunjukkan 3 x 2 = 2 + 2 + 2.
2. Setelah membuat model cerita yang lain, guru memperkenalkan pendaraban sebagai penambahan berulang dan ayat matematik yang berkaitan seperti 3 x 2 = 2 + 2 + 2.
3. Di dalam kumpulan 4 orang, setiap murid bergilir-gilir melakukan main
peranan bagi situasi di bawah:
Murid A: Ambil sebarang bilangan pinggan(tidak lebih dari 9) dan letakkan ditengah setiap kumpulan.
Sediakan jadual untuk menunjukkan fakta asas pendaraban.Apakah pola yang dapat dilihat dalam jadual ini?Bagaimanakah anda menggunakan pola ini untuk mengalakkan pelajar anda mengingat fakta asas dengan mudah?
PPG MT-MAJOR
Murid B: Letakkan sebarang bilangan pembilang (tidak lebih dari 9) atas setiap pinggan.
Murid C: Mulakan bercerita “3 pinggan; 2 pembilang setiap satu; 6 pembilang semuanya”
Murid D: Tuliskan ayat penambahan berulang dan ayat pendaraban yang berkaitan. Aktiviti 2: Pendaraban sebagai Suatu Susunan.
: Hasil Pembelajaran:
Menerangkan bahawa pendaraban adalah suatu susunan. Menulis ayat pendaraban.
Bahan :
Pembilang Jalur Kertas
Langkah perlaksanaan : 1. Guru membincangkan masalah susunan mudah dengan murid dan
menggunakan jalur kertas dan pembilang untuk menyelesaikan masalah. Contoh masalah adalah seperti dalam Rajah 6.
Rajah 6. Contoh untuk menunjukkan 3 x 4 sebagai 3 baris dengan 4 objek dalam setiap baris.
2. Selepas menyelesaikan masalah yang sama, guru memperkenalkan
pendaraban sebagai susunan baris dan lajur. 3. Dalam kumpulan 4 orang,setiap murid bergilir-gilir melakukan main
peranan bagi situasi di bawah:
Murid A: Ambil beberapa bilangan jalur kertas(tidak lebih daripada 9 jalur) dan susun dalam baris ditengah-tengah setiap kumpulan.
Murid B: Letakkan sebarang bilangan pembilang (tidak lebih daripada 9 ) di atas setiap jalur kertas.
3 pinggan. 2
PPG MT-MAJOR
Murid C: Ceritakan situasi”3 baris;2 pembilang dalam setiap baris; 6 pembilang semuanya”
Murid D: Tuliskan ayat matematik tentang pendaraban. Aktiviti 3: Pembahagian sebagai Pengagihan Sama Rata.
Hasil Pembelajaran:
Menerangkan pembahagian sebagai pengagihan sama rata. Menulis ayat metematik mengenai pembahagian.
Bahan;
Pinggan kertas Pembilang
Langkah Perlaksanaan: 1. Guru menceritakan tentang pengagihan sama rata. Murid menggunakan
pembilang dan pinggan kertas untuk melakonkan cerita guru. Contoh ditunjukkan dalam Rajah 7.
Rajah 7. Contoh menunjukkan pembahagian 8 ÷ 2 sebagai pengagihan sama rata.
2. Setelah menggunakan model cerita yang lain, guru memperkenalkan
maksud pembahagian sebagai pengagihan sama rata dan menulis ayat matematik yang berkaitan iaitu 8 ÷ 2 = 4.
3. Dalam kumpulan 4 orang, setiap murid bergilir-gilir memain peranan bagi
situasi di bawah: Murid A: Ambil sebarang bilangan pembilang dan letakkan di tengah
kumpulan.
Murid B: Ambil sebarang bilangan pinggan (tidak lebih daripada 9) dan letakkan bilangan pembilang yang sama di atas setiap pinggan tadi.
3 baris; 4 murid dalam setiap baris; berapakah bilangan murid semuanya?
PPG MT-MAJOR
Murid C: Mulakan bercerita “6 pembilang;letakkan sama banyak di atas 3 pinggan; 2 pembilang pada setiap pinggan.” atau “ 9 pembilang; letakkan di atas 4 pinggan; 2 pembilang diatas setiap pinggan dengan 1 baki.”
Murid D: Tulis ayat pembahagian. Aktiviti 4: Pembahagian sebagai Penolakan Berulang
Hasil Pembelajaran:
Menerangkan pembahagian sebagai penolakan berulang. Menulis ayat matematik pembahagian.
Bahan:
Pinggan kertas Pembilang
Langkah Perlaksanaan: 1. Guru memperkenalkan masalah penolakan berulang; Murid menggunakan
model bagi setiap masalah dengan pinggan kertas dan pembilang.Contoh cerita ditunjukkan dalam Rajah 8.
Rajah 8. Contoh untuk menunjukkan 12 ÷ 3 sebagai penolakan berulang.
2. Selepas beberapa kali bercerita, guru memperkenalkan pembahagian sebagai penolakan berulang dan ayat matematik yang berkaitan seperti 12 ÷ 3 = 4.
3. Dalam kumpulan 4 orang, setiap murid bergilir-gilir melakonkan peranan
bagi situasi di bawah: Murid A: Ambil sebarang bilangan pembilang dan letakkan ditengah
kumpulan.
Murid B: Letakkan sebarang bilangan pembilang atas pinggan( tidak lebih daripada 9 pembilang).
Murid C: Ikut bilangan nombor yang dipilih oleh murid B dan letakkan baki pembilang ke atas pinggan dan bercerita seperti “ 24 pembilang; 3 pembilang pada setiap pinggan; 8 pinggan mempunyai
Terdapat 8 ekor kupu-kupu berehat di atas 2 kuntum bunga , dan setiap bunga mempunyai bilangan kupu-kupu yang sama.Berapa banyakkah kupu-kupu pada setiap bunga?
PPG MT-MAJOR
pembilang. atau “9 pembilang; letak 2 pembilang pada satu pinggan; 4 pinggan mempunyai pembilang dengan baki 1”
Murid D: Tuliskan ayat matematik tentang pembahagian. Aktiviti 5: Pencarian Fakta Pendaraban. Hasil Pembelajaran:
Untuk mengingat semula fakta asas pendaraban dengan pantas. Bahan:
Carta mencari fakta ( Rajah 9) terdiri daripada fakta asas pendaraban dan kad L bagi setiap pasangan murid.
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 0 7 14 21 28 35 42 47 56 63 8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81
Rajah 9. Carta pendaraban mencari fakta menunjukkan 3 x 6 = 18.
Langkah Perlaksanaan: 1. Secara berpasangan, murid membina carta pendaraban masing-masing. 2. Secara berpasangan, murid bergilir-gilir melakukan main peranan berikut: Murid A : Gunakan fakta mencari pendaraban untuk mencari fakta; kemudian
tanya soalan pendaraban seperti “berapakah 5 x 8 ?”. Kemudian semak jawapan yang diberi oleh murid B.
Murid B : Ingat semula fakta pendaraban.
PPG MT-MAJOR
1.4 Abakus dan Kalkulator 1.4.1 Bahagian-bahagian Abakus
Jari hantu – menaik dan menurunkan manik atas Jari telunjuk – menurunkan manik bawah menjauhi palang pemisah Ibu jari – menaikkan manik bawah mendekati palang pemisah
PPG MT-MAJOR
1.4.2 Perwakilan Nombor z
1 2 3
4 5 6
7 8 9
PPG MT-MAJOR
1.4.3 Menentukan Nilai Tempat
Tuliskan nilai-nilai di bawah :
PPG MT-MAJOR
1.4.4 Penambahan dan Penolakan
PPG MT-MAJOR
OPERASI TAMBAH
KAWAN KECIL (LITTLE FRIEND)/
KOMBINASI 5
KAWAN BESAR (BIG FRIEND)/
KOMBINASI 10
+ 1 = naik 5 turun 4 (+5 – 4)
+1 = turun 9 naik 10 (-9 +10)
+ 2 = naik 5 turun 3 (+5 – 3)
+ 2 = turun 8 naik 10 (-8 + 10)
+ 3 = naik 5 turun 2 (+5 – 2)
+ 3 = turun 7 naik 10 (-7 + 10)
+ 4 = naik 5 turun 1 (+5 – 1)
+ 4 = turun 6 naik 10 (-6 + 10)
+ 5 = turun 5 naik 10 (-5 + 10)
+ 6 = turun 4 naik 10 (-4 + 10)
+ 7 = turun 3 naik 10 (-3 + 10)
+ 8 = turun 2 naik 10 (-2 + 10)
+ 9 = turun 1 naik 10 (-1 + 10)
OPERASI TOLAK
KAWAN KECIL (LITTLE FRIEND)/
KOMBINASI 5
KAWAN BESAR (BIG FRIEND)/
KOMBINASI 10
- 1 = naik 4 turun 5 (+5 – 4)
-1 = turun 10 naik 9 (-10 +9)
- 2 = naik 3 turun 5 (+3 – 5)
- 2 = turun 10 naik 8 (-10 + 8)
- 3 = naik 2 turun 5 (+2 – 5)
- 3 = turun 10 naik 7 (-10 + 7)
- 4 = naik 1 turun 5 (+1 – 5)
- 4 = turun 10 naik 6 (-10 + 6)
- 5 = turun 10 naik 5 (-10 + 5)
- 6 = turun 10 naik 4 (-10 + 4)
- 7 = turun 10 naik 3 (-10 + 3)
- 8 = turun 10 naik 2 (-10 + 2)
- 9 = turun 10 naik 1 (-10 + 1)
PPG MT-MAJOR
1.5 Kalkulator
Kalkulator merupakan bahan bantu belajar berasaskan teknologi yang boleh menarik
dan memotivasikan pelajar. Harganya juga murah dan hanya memerlukan beberapa
kemahiran asas untuk menggunakannya. Penggunaannya semakin penting untuk
peringkat persekolahan yang lebih tinggi. Malah dengan menekan beberapa butang
kalkulator sahaja akan dapat mengira dengan menghasilkan jawapan yang tepat
dengan pantas. Kalkulator juga mempunyai pelbagai peranan dan boleh digunakan
untuk sebilangan besar topik dalam matematik. Melalui penggunaan kalkulator
pelajar berpeluang membuat penerokaan dan mengaplikasikannya secara lebih
mendalam tentang konsep dan kemahiran matematik untuk topik-topik yang
berkaitan.
Masalah matematik harus diterjemahkan kepada sebutan dan bahasa matematik
sebelum ianya diselesaikan. Langkah terjemahkan seperti ini memerlukan fahaman
yang lengkap terhadap struktur konsep yang terkandung dalam masalah tersebut.
Keadaan ini telah menyebabkan kesukaran pembelajaran di kalangan setengah-
setengah pelajar. Masalah dan kesukaran ini boleh diatasi melalui penggunaan
kalkulator mahu pun komputer.
Kalkulator dicipta oleh Colmur pada tahun 1820 dan pada tahun 1875,
Boldwin dari Amerika Syarikat telah menambah baik penggunaan kalkulator
dengan melibatkan permasalahan operasi-operasi tambah, tolak, darab dan
bahagi. Sejak itu, beberapa model baru muncul dan tidak terhad kepada
pengiraan permasalahan empat operasi tetapi juga untuk mendapatkan nilai
tepat punca kuasa, gandaan, fungsi trigonometri, logaritma dan aplikasi
statistik.
Penggunaan kalkulator ke atas sistem pendidikan di Malaysia mahupun di
negara-negara maju belumlah dikatakan menyeluruh, tetapi penggunaan
kalkulator menjadikan murid lebih bermotivasi dan menunjukkan pencapaian
yang lebih baik dan memberangsangkan daripada mereka yang tidak
menggunakannya. Terdapat kajian yang menunjukkan pelajar takut terhadap
matematik ekoran daripada penggunaan algoritma kertas-pensel yang
panjang lebar dan memerlukan banyak langkah, proses dan peraturan yang
harus diikuti, terutama dalam operasi pendaraban dan pembahagian. Telah
PPG MT-MAJOR
banyak kajian yang menunjukkan bahawa penggunaan kalkulator akan
menukar sikap pelajar terhadap matematik dan juga meningkatkan keyakinan
diri mereka serta minat terhadap matematik.
kalkulator dan komputer alatan penting dalam penyelesaian masalah
matematik. Alat ini membekalkan imej visual bagi idea-idea matematik , selain
mempermudahkan jalan kerja untuk mengatur dan menganalisis data serta
menjalankan pengiraan dengan cekap dan tepat. Justeru, murid ;akan lebih
bermotivasi, menumpu perhatian ke atas aktiviti-aktiviti membuat keputusan
atau kesimpulan , merenung atau membuat refleksi, menaakul dan
menyelesaikan masalah dan dapat memupuk pemahaman konsep matematik
disamping menyemak semula jawapan baik.
Kalkulator penting dalam kehidupan seharian. Kepentingan kalkulator adalah seperti berikut:
i) memberi motivasi terhadap pembelajaran matematik
ii) membantu menyelesaian masalah dengan lebih mudah dan berkesan
iii) membantu menyelesaikan masalah untuk soalan yang lebih mencabar
iv) memberi peluang dan membuat penerokaan yang lebih mendalam tentang topik-topik yang berkaitan
v) membolehkan murid mensintesis jawapan melalui ramalan
berdasarkan pola-pola yang diperhatikan
vi) menguasai nilai nombor sama ada besar atau kecil
v) merasa yakin bahawa kalkulator dapat membantu memperbaiki kebolehan untuk menyelesaikan masalah matematik mereka.
Bagaimana kalkulator dapat membina kemahiran menganggar dan membuat penghampiran seterusnya mampu memperkembangkan minda pelajar. Bincangkan.
PPG MT-MAJOR
vi) membina sikap yang positif dalam matematik. Murid akan merasa seronok dengan matematik “seeing the beauty and enjoying the fun of mathematics”.
vii) membina keyakinan diri dan matematik mempunyai sikap yang lebih positif terhadap dirinya dalam menyelesaikan masalah yang lebih kompleks.
viii)akses kendiri dan murid berdikari.
ix) mengukuhkan kemahiran jangkaan dan menganggar
x) menyemak jawapan tanpa perlu bantuan guru.
1.6 Pengiraan Mental dan Penganggaran
Pengiraan mental dan teknik menganggar adalah elemen- elemen penting
dalam melakukan pengiraan dan menggunakan matematik. Untuk menguasai
kemahiran pengiraan mental dan membuat penganggaran kita mestilah
mempunyai asas yang mantap tentang nombor bulat dan nilai tempat. Faktor
lain yang dapat meningkatkan kemahiran pengiraan mental dan
penganggaran ialah pemahaman dan penguasaan tentang fakta- fakta asas
dalam matematik. Orang yang dapat membuat perkaitan dan menganalisis
pola atau trenda juga akan lebih mudah menjalankan pengiraan mental dan
penganggaran.
Apakah masalah yang dihadapi oleh murid sekolah rendah apabila menyelesaikan masalah algoritma operasi matematik? Adakah kalkulator diperlukan untuk membantu mereka menyelesaikan masalah tersebut? Bincangkan.
PPG MT-MAJOR
1.6.1 Pengiraan mental
Pengiraan mental merupakan satu proses mengira untuk mencari jawapan
tanpa menggunakan pensil dan kertas, kalkulator atau apa-apa alat bantuan
pengiraan. Kekuatan minda akan memudahkan pengiraan mental dan
penganggaran dilakukan. Kebanyakan kanak- kanak mampu mencongak
sebelum mereka mempelajari pengiraan secara formal disekolah.
Berpengetahuan baik dalam fakta asas nombor adalah satu keperluan bagi
melakukan pengiraan mental dengan cekap dan ini mengurangkan
kebergantungan terhadap ingatan sementara. Kebolehan menggunakan
teknik mencerakinkan nombor dapat membantu dalam pengiraan mental.
1.6.1.1 Aplikasi Fakta Asas Matematik dalam pengiraan mental
bagi operasi tambah dan tolak
1 Tukar tertib Susunan nombor boleh bertukar tempat
3+4 =4+3
2 Tambah 1 Tambah 1 kepada suatu nombor ialah nombor berikutnya dalam urutan menaik
5+1=6 6+1=7 7+1=8
3 Tambah 0 Identiti sifar (nombor yang ditambah 0 tidak berubah)
5+0=5 7+0=7 9+0=9
4 Tambah nombor gandaan dua
Gandaduakan nombor 4+4=8 8+8=16
5 Tambah nombor hampir dengan gandaan dua
Untuk nombor yang satu lebih atau satu kurang daripada nombor gandaan dua
7+8= Fikirkan 7+7=14 14+1=15
6 Kombinasi 10 9 pasangan 1+9 2+8 3+7 4+6 5+5 6+4 7+3 8+2 9+1
PPG MT-MAJOR
7 Tambah menjadi 10 dan selanjutnya
Cerakinkan satu nombor yang besar
Buat kombinasi 10 Tambahkan
8+5= 8+2 +3=10+3 =13
8 Membilang mengikut tertib menaik
Ambil nombor lebih besar Sambung membilang
secara menaik
2+7= Bilang 7... 8, 9
9 Kurangkan satu Tolak satu daripada suatu nombor ialah nombor berikutnya dalam urutan menurun
8-1=7 7-1=6 6-1=5
10 Gandaan 16-8=8 Fikirkan 8+8=16 songsang 16-8=8
11 Membilang secara tertib menurun
9-3=6 9 ... 8, 7, 6 Bilang 3 kali tertib menurun dan dapat jawapan 6
12 Membilang secara menaik
8-6=2 6 ... 7, 8 Bilang 2 kali tertib menaik untuk dapat 8
1.6.1.2 Pengiraan Mental Secara Kreatif Bagi Pendaraban
Bil Cara Huraian cara
Contoh Contoh
1 Doubling (Gandaan Dua)
Gandaduakan faktor pertama atau faktor kedua
Hasil darab juga digandaduakan
4x12=48 4x24=96 4x48=192 32 x 125=4000 16x250=4000 8x500=4000 4x1000=4000
2x9=18 4x9=36 8x9=72
2 Halving(separuh) Apabila diseparuhkan faktor pertama atau faktor kedua, maka hasil darab
4x12=48 4x6=24 4x3=12
26x3=78 13x3=39
PPG MT-MAJOR
juga diseparuhkan Sesuai untuk
nombor genap sahaja
3 Darab /bahagi dengan gandaan 10
Nombor didarab dengan gandaan 10, maka hasil darab digandakan pada kadar yang sama
Nombor asal ditambahkan bilangan sifar mengikut gandaan 10(pendaraban)
Nombor asal dikurangkan bilangan sifar mengikut gandaan 10(pembahagian)
24x10=240 24x100=2400 24x1000=24000
360÷10=36 3600÷100=36 36000÷10=3600
4 Nombor serasi (compatible numbers)
Bentukkan nombor serasi(compatible number) kepada 10, 100
Cari hasil darab dengan gandaan 10
Tolak /tambah hasil darab
99x5=? 100x5=500 1x5=5 500-5=495
254x98=? 254x100=25400 254x2=508 1000-508=492 24400+492=24892
5 Bundarkan nombor kepada gandaan 10
Bundarkan nombor pertama /kedua
Tambah/tolak hasil darab
68x12=? 70x12=840 2x12=24 840-24=816
6 Taburkan faktor kepada nombor yang mudah
Taburkan nombor pertama kepada nombor kecil yang mudah dikendali
Darab dengan faktor kedua
Tambahkan hasil
24x12=288 20x12=240 4x12=48 240+48=288
15x36=540 15x10=150 15x10=150 15x10=150 15x3=45 15x3=45
PPG MT-MAJOR
1.6.1.3 Teknik Mendarab dalam pengiraan mental Bil Cara Huraian cara Contoh
1 Mendarab dengan
4 Darabkan dengan 2, darab
dengan 2 Tambahkan hasil darab
58 x 4 = (58 x 2) + (58 x 2) = (116) + (116) = 232
2 Mendarab dengan 11
Ambil nombor asal (52) dan bayangkan terdapat ruang di antara 2 digit
Tambah kedua-dua digit dan letak pada ruang kosong
Jika hasil tambah kedua-dua digit lebih daripada 10, tambahkan digit pertama kepada digit pertama pada nombor asal
52x11= 5 (5+2) 2 572 99x11= 9 (9+9) 9 (9+1) 89 =1089
3 Darab dengan 5 Darab dengan 10 Bahagi dengan 2
4 Darab dengan 6 Darab dengan 3 kemudian darab dengan 2
5 Darab dengan 9 Darab nombor dengan 10 Tolak nombor asal
6 Daran dengan 12 Darab dengan 10 Tambah nombor asal
sebanyak 2 kali
7 Darab dengan 13 Darab dengan 3 Tambah 10 kali nombor
asal
8 Darab dengan 14 Darab 4 Tambah 10 kali nombor
asal
9 Darab dengan 15 Darab dengan 10 Darab dengan 5 Tambahkan kesemua hasil
darab
10 Darab dengan 16 Darab dengan 8, kemudian darab dengan 2
11 Darab dengan 17 Darab dengan 7 Tambah 10 kali nombor
asal
12 Darab dengan 18 Darab dengan 20
PPG MT-MAJOR
Tolak nombor asal sebanyak 2 kali
13 Darab dengan 19 Darab dengan 20 Tolak nombor asal
sebanyak satu kali
4x19= 4x20=80 80-4=76
14 Darab dengan 24
Darab 8 dan darab 3
1.6.1.4 Prinsip umum dalam pengiraan mental
Kebanyakan kanak- kanak akan melakukan pengiraan minda sebelum
mereka diajar mengira secara bertulis. Dalam pengajaran kelas biasanya
pelajar akan mereka dan menggunakan cara sendiri dalam mengira. Kita
sepatutnya sedar mengajar tatacara mengira secara formal akan
mengakibatkan mereka tidak menggunakan daya berfikir bahkan sangat
bergantung kepada kaedah yang diajar. Kamii and Dominick (1997)
menyatakan yang “apabila kita mengajar pelajar membuat hubungan antara
nombor (pengetahuan matematik logik) dengan mengajar algoritma kepada
mereka (pengetahuan bersosial ), kita secara tak langsung menarik perhatian
mereka dari cuba menggunakan kepekaan terhadap nombor kepada
mengingati prosedur pengiraan. Pengajaran algorithma secara bertulis perlu
bagi mendorong pelajar mengembangkan kefahaman mereka kepada
hubungan nombor saja.
Apabila guru matematik mengajar kemahiran pengiraan mental , penekanan
hanya perlu diberi kepada bagaimana jawapan diperolehi tanpa menekankan
speed maupun ketepatan jawapannya. Untuk membina keyakinan pelajar,
guru tidak perlu fokus kepada speed pelajar mendapatkan jawapan.
Pengajaran pengiraan mental yang baik haruslah pelbagai. Guru perlu tahu
bagaimana menerangkan kepada pelajar. Penekanan dibuat kepada
kepekaan nombor dan kefahaman terhadap nilai tempat. Sowder (1990, p.19)
menekankan yang pengiraan minda tidak boleh dilengahkan sehingga pelajar
menguasai menulis algorithma secara formal. Perbincangan secara kelas
PPG MT-MAJOR
adalah penting bagi berkongsi kaedah minda diantara pelajar. Sesetengah
strategi boleh diajar melalui perbincangan kelas, penerangan dan latihan.
Secara umumnya, guru perlu menekankan penggunaan pengiraan mental
dan penganggaran bagi pengiraan mudah dan sederhana dan hanya
menggunakan kalkulator bagi pengiraan yang sukar sahaja.
1.6.2 Penganggaran dalam pengiraan matematik
The NCTM Principle and Standards of School Mathematics (2000)
mendefinisikan kecekapan pengiraan sebagai mempunyai kecekapan,
kebolehlenturan dan kaedah tepat bagi mengira. Apa yang perlu diberi
penekanan semasa guru mengajar matematik ialah membina kemahiran
mengira tanpa kertas dan pensil. Pelajar perlu cekap mencongak iaitu
mengira secara mental di samping boleh menggunakan kertas dan pensil dan
alat teknologi seperti kalkulator dalam pengiraan.
Pada kebiasaannya pengajaran matematik di sekolah lebih menekankan
algoritma (tatacara pengiraan) bagi pengiraan aritmetik. Walau bagaimana
pun congak dan anggaran juga sama penting dalam kehidupan harian bagi
meningkatkan pembelajaran matematik. Dalam kehidupan harian adalah
sangat biasa memberi jawapan hampir kepada masalah arithmatik yang
diperlukan berbanding jawapan yang tepat. Ini berlaku terutamanya apabila
jawapan diperlukan dengan cepat tanpa penggunaan alatan seperti kertas
dan pensil, kalkulator atau mesin kira.
Apabila jawapan tepat diperlukan, biasanya penggunaan kalkulator dan mesin
kira akan digunakan. Namun pelajar perlu juga diajar kepentingan
menganggar dalam mendapatkan jawapan. Biasanya pelajar yang selalu
menggunakan strategi penganggaran dan congak atau mental dalam
pengiraan lebih memahami secara mendalam tentang hubungan nombor. Ini
akan mendorong mereka menjadi lebih cekap dalam matematik.
PPG MT-MAJOR
1.6.2.1 Hubungan antara penganggaran dalam pengiraan dan
penggunaan kalkulator
Pelajar seharusnya di ajar membuat penganggaran pada permulaan bagi
menjawab soalan sebelum menggunakan kalkulator , kemudian barulah
menyemak prosedur pengiraan. Sowder (1990) menyatakan kefahaman
kepada nombor adalah asas menguasai penggunaan kalkulator dan ianya
mengembangkan penekanan kepada pengiraan mental bagi semua nombor
yang membantu mengembangkan kepekaan nombor bagi memahami
aritmetik, membuat anggaran dan berurusan dengan tekhnologi
1.6.2.3 Kepentingan Penganggaran dalam kehidupan seharian
Penganggaran dalam pengiraan didefinisikan sebagai mencari jawapan
terdekat kepada masalah aritmetik tanpa mengira jawapan itu tepat atau
sebaliknya. Ia merupakan komponen penting bagi kognitif matematik, dimana
ia menyediakan maklumat terhadap kefahaman orang secara umum tentang
konsep matematik, hubungan dan strategi dan perkembangan kognitif pelajar
dalam domain matematik.
Selain itu kemahiran penganggaran adalah berguna dalam kehidupan harian
di mana ia lebih realistik dan digunakan secara menyeluruh dalam setiap
akiviti kita.
1.6.2.4 Teknik dalam mengira menggunakan penganggaran
Penganggaran selalu digunakan dalam situasi berikut:
1. Anggaran Kuantiti (mencari bilangan pelajar, hari, kelas dsb)
2. Anggaran Ukuran ( mencari panjang , luas , isipadu, masa dsb)
3. Anggaran Jawapan( mencari jumlah, perbezaan dsb )
1.6.3 Pembundaran
Tetapkan digit bagi nilai tempat yang hendak dibundarkan. Ianya sebagai digit
kekunci.Kenalpasti digit dalam nilai tempat dalam kedudukan kanan dari digit
PPG MT-MAJOR
kekunci.
Sekiranya digit tersebut kurang dari 5, bundarkan ke bawah, dengan
mengekalkan digit kekunci dan ganti semua digit di kanannya dengan sifar.
Sekiranya digit tersebut lebih besar dari 5, bundarka ke atas, dengan
menambah 1 kepada digit kekunci dan menggantikan semua digit di
kanannya dengan sifar.
Contoh: menganggarkan 589 + 217 , kita membundarkan 589 kepada
600 dan 217 kepada 200 dan mengira secara minda dengan 600 + 200
bagi memperolehi anggaran 800.
500 550 589 600
200 17 250 300
1.6.4 Penukargantian nombor yang serasi
Digunakan apabila nombor hampir kepada nombor asal pengiraan menjadi
mudah untuk dianggarkan secara minda
-Kenalpasti nombor dalam pengiraan asal yang boleh diganti dengan lain
nombor bagi menghasilkan anggaran yang mudah dengan minda.
-Kirakan dengan nombor baru bagi mendapatkan anggaran.
Contohnya : anggarkan nilai 524 x 33 dengan gantian nombor serasi.
Jelaskan dan 10 cara berfikir
Mendarabkan 100 dan 10 adalah senang digunakan , satu cara
menggantikan nombor serasi ialah 500 x 30 = 15000. Hasilnya 15000.
1.6.5 Anggaran depan ke hujung
PPG MT-MAJOR
Cara paling ringkas yang melibatkan pengiraan paling kiri , atau depan ke
hujung, digit setiap nombor seperti jika digit yang baki semuanya sifar.
Digunakan bila menganggar diperlukan secara pantas dan anggaran kasar
saja.
- Anggapkan semua digit kecuali permulaan atau digit depan ke hujung
dalam nombor yang dikira adalah 0
- Buat pengiraan dengan nombor baru
- Sekiranya memerlukan anggaran lebih hampir,laraskan anggaran pertama
dengan menggunakan digit lain atau nombor bagi anggapan menjadi 0
dan anggar semula.
Contohnya: anggarkan nilai 569 + 375 dengan menggunakan
anggaran depan ke hujung yang dilaraskan. Jelaskan cara berfikir.
Tambahkan digit depan ke hujung, kita akan dapat 500 + 300
adalah 800.nombor yang tinggal adalah 69 + 75 atau lebih kurang
150. Jadi 569 + 375 adalah hampir 950.
1.6.6 Pengelompokan
Digunakan bagi menganggar jumlah apabila addends pada pengiraan
kelompok sekitar nombor yang sama.
-Kenalpasti nombor yang setiap addends adalah hampir dan senang untuk
mencongak secara minda dengan senang
-Gantikan setiap addends dengan nombor yag sama.
-Guna pendaraban untuk menganggar jumlah campuran asal pengiraan
tambah.
Contoh Penyelesaian Masalah : Penderma Darah
Bilangan penderma darah di sebuah hospital adalah hampir sama bagi empat
bulan terawal pada tahun tersebut :
Bulan Bilangan Penderma Darah
Januari 145
PPG MT-MAJOR
Februari 154
Mac 148
April 153
Jika corak bilangan tersebut berterusan, anggarkan bilangan penderma darah
yang dijangkakan pada tahun tersebut.
Penyelesaian
Setiap nombor adalah hampir kepada 150. Kita mahu menganggarkan jumlah
untuk 12 bulan, maka kita berfikir 12 x 150 adalah lebih kurang 10 darab 150,
atau 1500. Bilangan penderma berkemungkinan hampir 1500 pada tahun
tersebut.
[ Giliran Anda ]
Latihan : Anggarkan bilangan penderma unutk masa lain adalah
seperti berikut. Gunakan kelompok untuk menganggar jumlah yang
dinyatakan.
a. Penderma untuk jangka masa empat bulan adalah
September, 97 Oktober, 120
November, 89 Disember, 106
Berapakah bilangan penderma yang menderma darah dalam masa
tersebut ?
b. Bilangan penderma bagi enam bulan pertama pada suatu tahun
adalah 126, 124, 125, 127, 129, dan 123. Berapakah bilangan
anggaran penderma darah untuk jangka masa enam bulan
tersebut?
Refleksi : Adakah pengelompokan sentiasa memberi anda anggaran
yang sama dengan membundar ? Gunakan contoh dan bahagian (a) di
dalam latihan, dengan nombor yang dibundarkan dengan puluh yang
terdekat, untuk menguji konklusi anda.
PPG MT-MAJOR
Mengelompok juga boleh digunakan untuk menganggar hasil darab.
Contohnya, untuk menganggar hasil darab 9 x 13 x 8 x 12, kita melihat
bahawa nombor tersebut berkelompok dengan kelompok 10. Kita
mencari hasil darab secara mental daripada 10 x 10 x 10 x 10, atau
10,000, untuk mencapai anggaran.
1.7 ISU-ISU UTAMA DALAM PENGAJARAN NOMBOR BULAT
1.7.1 Pendahuluan
Dari segi sejarah nombor menjadi asas keseluruhan kurikulum matematik.
Semua isi kandungan matematik yang digariskan untuk murid daripada
peringkat pra persekolahan sehingga ke sekolah rendah adalah berasaskan
nombor. Standard Nombor dan Operasi menggambarkan keperluan bagi
kefahaman yang mendalam serta kelancaran bagi kemahiran mengira,
nombor dan aritmetik.Memahami nombor dan operasi, membangunkan
‘number sense’, dan memperoleh kemahiran dalam pengiraaan aritmetik
membentuk pendidikan asas matematik di peringkat sekolah rendah.
Semasa melalui pembelajaran di peringkat ini, murid seharusnya menguasai
kefahaman yang baik tentang nombor – apakah itu nombor, bagaimana ianya
diwakilkan dengan objek, angka, atau atas garis nombor; bagaimana mereka
ini berkait antara satu sama lain; bagaimana nombor-nombor termaktub
dalam sistem yang mempunyai struktur dan ciri-ciri; dan bagaimana
menggunakan nombor dan operasi bagi menyelesaikan masalah matematk.
Konsep dan algoritma bagi aritmetik peringkat rendah juga adalah
sebahagian daripada nombor dan operasi. Keutamaan dalam Standard ini
ialah pembangunan ‘number sense’ – antaranya ialah kemampuan untuk
meleraikan nombor menggunakan nombor tertentu misalnya 100 atau ½
sebagai rujukan, menggunakan perkaitan antara operasi aritmetik untuk
menyelesaikan masalah, memahami sistem asas-sepuluh, memahami nilai
nombor serta menganggar (Sowder 1992).
PPG MT-MAJOR
Kajian juga telah menunjukkan bahawa pembelajaran tentang nombor dan
operasi adalah satu proses yang kompleks untuk kanak-kanak
(contohnya,Fuson(1992)).Adalah penting bagi murid mengetahui kombinasi
nombor asas (basic number combinations - penambahan satu digit dan
pasangan pendaraban juga untuk penolakan dan pembahagian. Murid juga
harus menguasai kelancaran pengiraan-mempunyai dan menggunakan
kaedah yang efisen dan tepat untuk pengiraan.
Kelancaran boleh dilihat dengan jelas menerusi kombinasi penggunaan
strategi mental dan catatan atas kertas, juga menggunakan algoritma dengan
pensil dan kertas terutamanya apabila nobor semakin besar untuk
enghasilkan jawapan yang tepat dengan cepat. Apa pun kaedah yang
digunakan murid, mereka harus boleh menerangkan kaedah yang digunakan,
memahami bahawa terdapat pelbagai kaedah yang ada, dan boleh melihat
kebergunaan mana-mana kaedah yang efisen, tepat dan umum.
Murid juga harus mampu membuat anggaran dan menilai kemunasabahan
jawapan mereka. Kelancaran pengiraan seharusnya dibangunkan selari
dengan kefahaman murid terhadap peranan dan makna operasi aritmetik
dalam sistem nombor. Justeru dalam melaksanakan pengajaran, isu yang
sering dibincangkan melibatkan pengetahuan guru, murid dan juga tentang
pedagogi.
1.7.2 Pengetahuan Guru
Ma (1999) melaporkan bahawa guru yang hanya memiliki pengetahuan
prosedural mempunyai kecenderungan untuk mengajar muridnya secara
algoritma sahaja serta gagal membuat perkaitan antara topik matematik.
Contohnya walau pun guru ini mengetahui bagaimana untuk menolak dan
mendarab tetapi tidak dapat mempamerkan kefahaman matematik melebihi
daripada tindakan yang diperlukan dalam melaksanakan operasi tersebut. Ini
bertentangan dengan mereka yang mempunyai kefahaman konseptual. Guru
sebegini mampu membuat perkaitan antara konsep matematik, operasi dan
PPG MT-MAJOR
perkaitan untuk memberikan kefahaman yang mendalam tentang sesuatu
topik matematik.
Pengetahuan guru-guru yang mengajar nombor bulat juga menjadi
sebahagian daripada masalah dalam pengajaran nombor bulat. Masih
terdapat guru yang tidak menguasai secara keseluruhannya dengan
mendalam tentang nombor bulat dan nilai tempatnya. Ma (1999) juga
mendapati bahawa ramai guru sekolah rendah kekurangan pengetahuan
tentang konsep dan operasi nombor bulat. Ini sekaligus menjejaskan
kemahiran pedagogi apabila mengajar di dalam kelas.
Aktiviti 2
Dapatkan maklumat dan bincangkan apakah konsep yang terlibat dalam pengajaran isi kandungan matematik tentang nombor bulat. Apakah idea penting yang seharusnya disampaikan tentang topik nombor bulat?
1.7.3 Cara Pengajaran Guru Matematik Sebagai guru matematik kita perlu tahu beberapa perkara. Antaranya kita
perlu tahu di mana kita berada sekarang (dari segi pengetahuan murid-murid
di dalam kelas kita di mana atas pengetahuan sedia ada inilah yang perlu kita
bina pengetahuan matematik selanjutnya). Kita juga perlu tahu di mana kita
mahu pergi (dari segi pengetahuan kita harus tahu apa yang kita inginkan
semua murid di dalam kelas untuk peroleh dan kuasai sepanjang tahun
persekolahan mereka).
Akhirnya, kita perlu tahu apakah cara terbaik untuk sampai kepada matlamat
tersebut (sebagai guru kita akan menyediakan peluang pembelajaran yang
membolehkan semua murid di dalam kelas untuk mencapai objektif
pembelajaran mereka). Adalah perlu bagi guru untuk merekabentuk
pengajaran matematik yang berkesan.
Seterusnya apabila kita bercakap mengenai reformasi dalam pendidikan
matematik, adalah penting untuk menyedari bahawa penguasaan fakta asas
PPG MT-MAJOR
tetap merupakan sesuatu yang amat penting dalam pengajaran matematik
terutamanya di peringkat awal pembelajaran matematik dalam kalangan
murid.Justeru, antara isu dalam pengajaran guru ialah mengenal perbezaan
di antara membantu murid menguasai fakta asas dan membantu mereka
tentang makna operasi.
1.7.4 Mengetahui Fakta Asas
Fakta asas bagi empat operasi asas adalah sangat penting dan menjadi asas
dalam pembelajaran matematik. Kebanyakan murid berfikir bahawa nombor
yang besar adalah yang mempunyai nilai yang besar. Namun jika mereka
diajar tentang fakta asas nombor, nombor yang paling besar ialah 9 manakala
cara penyelesaian untuk nombor lain hanya melibatkan konsep.
Contoh:
888÷8 (murid mengandaikan sebagai satu nombor besar)
Bagi murid yang mengetahui fakta asas, soalan ini hanya melibatkan sifir 8.
Masalah yang sering terjadi ialah guru tidak mengajarkan fakta asas secara
keseluruhannya. Di sekolah, biasanya hanya fakta asas pendaraban sahaja
diajarkan manakala fakta asas untuk 3 operasi yang lain diabaikan begitu
sahaja. Keadaan ini menyebabkan ramai murid terus ketinggalan dan tidak
menguasai penambahan dan penolakan yang sebenarnya lebih mudah
daripada pendaraban.
Sekalipun mudah bagi guru, namun fakta asas ini perlu disampaikan secara
terperinci kepada murid untuk membantu mereka memahami fakta sebenar
dalam matematik. Murid yang tidak dapat menguasai fakta asas memerlukan
bantuan lebih daripada sekadar latih tubi. Antara cadangan bagi membantu
murid yang belum menguasai fakta asas ialah dengan mengenal pasti fakta
asas yang dikuasai dan yang tidak dikuasai murid juga mengenal pasti
kekuatan dan kelemahan murid. Sebelum sesuatu strategi fakta asas menjadi
automatik, murid harus membangunkan habit mental menggunakan strategi
yang sesuai bagi sesuatu fakta yang muncul dalam situasi bukan berbentuk
latih tubi. Adalah sangat penting untuk menyedari bahawa pengetahuan murid
PPG MT-MAJOR
yang terhad tentang fakta asas seharusnya tidak mengecualikan mereka
daripada mengalami pengalaman matematik yang sebenar.
Aktiviti 3
Dapatkan maklumat tentang fakta asas bagi empat operasi dalam
matematik dan bincangkan strategi bagi penguasaan fakta asas
bagi setiap operasi berkenaan.
Contoh :
a) strategi bagi fakta asas untuk operasi tambah : ‘zero facts’,
‘doubles’, ‘near doubles’
b) strategi bagi fakta asas untuk operasi tolak : ‘think addition’ atau ‘think
missing part’
c) strategi bagi fakta asas untuk operasi darab : fakta ‘doubles’, ‘fives’, ‘
nines’
1.7.5 Pengajaran Nilai Tempat
Mengetahui nilai tempat adalah sangat penting sebelum murid dapat
membaca dan mengenali nombor yang lebih besar. Nilai tempat ini
sebenarnya tidak dapat diajarkan dengan mudah dalam tempoh yang singkat.
Murid dapat memahami tentang nilai tempat dengan sempurna hanya apabila
mereka telah mempelajari dan memahami tentang operasi.
Istilah nilai tempat bermaksud kedudukan atau nama tempat bagi sesuatu
digit. Bagi murid untuk memahami nilai tempat, mereka perlu terlebih dahulu
menamakan nombor-nombor kecil, melaksanakan penambahan dan
penolakan bagi nombor-nombor kecil serta memahami tentang kumpulan
dalam pengiraan ‘group in counting’ atau ‘skip counting’. Mereka juga perlu
boleh membuat pengiraan ke atas atau ke bawah dalam nilai dua-dua, tiga-
tiga, lima-lima, sepuluh-sepuluh atau seratus-seratus. mereka perlu
diterangkan bahawa apabila nilai semakin besar, cara yang lebih efisen ialah
mengira dalam kumpulan bukannya secara individu.
PPG MT-MAJOR
Yang paling penting dalam nilai tempat ialah lajur tertentu mewakili saiz
kumpulan tertentu iaitu sa, puluh, ratus dan sebagainya. Digit dalam lajur
berkenaan memberikan maklumat tentang berapa banyak kumpulan dalam
saiz berkenaan. Kesukaran murid antaranya ialah untuk memahami bahawa
setiap lajur berkenaan adalah saling berkaitan dan ini mungkin abstrak bagi
mereka. Masalah yang sering terjadi ialah, guru mulai mengabaikan
pengajaran tentang nilai tempat apabila mengajar operasi kerana memikirkan
bahawa pengajaran nilai tempat telah dilakukan sebelum itu.
Aktiviti 4
Melalui pengalaman anda, senaraikan kesukaran, kekeliruan
serta kesilapan murid dalam mempelajari dan memahami
tentang nilai tempat.
ii. Bincangkan dalam kumpulan anda bagaimana untuk
mengatasi kesukaran dan kesilapan yang telah dikenal
pasti.
1.7.6 Perkembangan konsep nombor bulat dan operasi dalam kalangan murid Perkembangan dan pembangunan pengetahuan murid tentang nombor dan
pengiraan adalah penting dalam kefahaman asas matematik murid-murid.
Penerokaan awal biasanya diklasifikasikan dalam bentuk intuitif, secara terus
dan menerusi pengalaman konkrit (Kilpatrick et al. 2001).Baroody (1987) pula
mendapati bahawa kanak-kanak menggunakan kedua-dua strategi pengiraan
konkrit dan juga strategi pengiraan mental.
Strategi pengiraan konkrit digunakan apabila objek dikira bagi setiap nombor
yang ditambah sebelum semua dikira sebagai satu jumlah. Manakala strategi
pengiraan mental merupakan strategi untuk menjejaki sejauh mana
seseorang perlu kira daripada nombor kardinal bagi nombor pertama yang
ditambah. Strategi ini seterusnya berkembang kepada strategi operasi
PPG MT-MAJOR
penambahan dan penolakan termasuk pengiraan ke belakang, ‘skip counting’
dan pengiraaan sepuluh-sepuluh (Fosnot & Dolk, 2001).
Apabila berhadapan dengan pengiraan, murid-murid menggunakan pelbagai
kaedah untuk menyelesaikan masalah termasuklah menggunakan bahan-
bahan manipulatif untuk memodelkan situasi, mencipta prosedur bertulis,
melukis gambar, melaksanakan pengiraan mental, mengunakan pensil dan
kertas(Carroll & Porter, 1998). Bass (2003) menyarankan penggunaan satu
penyelesaian generik yang munasabah untuk menyelesaikan masalah
matematik yang kerap ditemui. penggunaan algoritma bertulisatau prosedur
yang boleh dilaksanakan dengan cara yang sama dan melibatkan nombor
yang berbeza adalah perlu (Kilpatrick, et al. 2001, p.7).
Oleh kerana pengiraan menjadi semakin sukar untuk dilaksanakan apabila
nombor menjadi semakin besar, adalah penting untuk menjejaki (keep track)
pengiraan dan algoritma menggunakan pensil dan kertas yang masih
merupakan satu kaedah yang penting.
Aktiviti 5
Beberapa persoalan yang harus digunakan guru dalam mengajar sebarang topik matematik dan pengajaran nombor bulat khususnya ialah: i) Apakah masalah ataupun kesukaran dalam pengajaran konsep
nombor bulat?
ii) Apakah kesilapan biasa ataupun kekeliruan yang selalu dihadapi oleh murid dalam topik ini? Bincang dalam kumpulan untuk menjawab persoalan-persoalan di atas. Laksanakan pembentangan kumpulan untuk berkongsi hasil perbincangan anda. Buat rumusan terhadap tindakan yang dicadangkan bagi mengatasi kesukaran dan kesilapan murid berkenaan, seterusnya memperoleh pengajaran yang lebih efektif.