topik 1 nombor-nombor bulat

31
TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 1 PENGENALAN Konsep-konsep dan kemahiran-kemahiran berkaitan dengan nombor bulat adalah asas kepada kebanyakan daripada idea-idea matematik. Walaupun para pelajar telah didedahkan kepada asas bagi nombor-nombor bulat sewaktu mereka masih di sekolah rendah, kita tidak patut beranggapan bahawa mereka telah menguasai konsep-konsep dan kemahiran-kemahiran tersebut. Tambahan pula, penguasaan kemahiran-kemahiran asas ini boleh membantu para pelajar dalam mempelajari topik-topik matematik yang lain. Oleh itu, adalah penting untuk kita merancang pengajaran kita dengan baik bagi mencapai objektif-objektif tersebut. 1.1 Asas-Asas bagi Nombor Bulat Dalam bahagian ini, kita akan menumpu kepada perkara-perkara berikut: Nilai-nilai tempat dan pembundaran nombor-nombor bulat Operasi-operasi nombor dan operasi-operasi bercampur Menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan operasi- operasi nombor dan operasi-operasi bercampur. 1.1.1 Nilai-Nilai Tempat Sebelum membimbing para pelajar kita untuk memahami konsep nilai-nilai tempat, kita perlu mengingat kembali maksud sebenar bagi nilai-nilai tempat. Mari lihat satu contoh yang mudah. Kita akan menggunakan nombor 573 untuk menerangkan maksud nilai-nilai tempat: ratus puluh sa 5 7 3 nilai ratus nilai puluh nilai sa

Upload: razli-tigerzyugon

Post on 26-Jun-2015

11.072 views

Category:

Documents


6 download

DESCRIPTION

matematik tingkatan 1

TRANSCRIPT

Page 1: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 1

PENGENALAN

Konsep-konsep dan kemahiran-kemahiran berkaitan dengan nombor bulat adalah asas kepada kebanyakan daripada idea-idea matematik. Walaupun para pelajar telah didedahkan kepada asas bagi nombor-nombor bulat sewaktu mereka masih di sekolah rendah, kita tidak patut beranggapan bahawa mereka telah menguasai konsep-konsep dan kemahiran-kemahiran tersebut. Tambahan pula, penguasaan kemahiran-kemahiran asas ini boleh membantu para pelajar dalam mempelajari topik-topik matematik yang lain. Oleh itu, adalah penting untuk kita merancang pengajaran kita dengan baik bagi mencapai objektif-objektif tersebut.

1.1 Asas-Asas bagi Nombor Bulat

Dalam bahagian ini, kita akan menumpu kepada perkara-perkara berikut:

Nilai-nilai tempat dan pembundaran nombor-nombor bulatOperasi-operasi nombor dan operasi-operasi bercampurMenyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan operasi-operasi nombor dan operasi-operasi bercampur.

1.1.1 Nilai-Nilai Tempat

Sebelum membimbing para pelajar kita untuk memahami konsep nilai-nilai tempat, kita perlu mengingat kembali maksud sebenar bagi nilai-nilai tempat. Mari lihat satu contoh yang mudah. Kita akan menggunakan nombor 573 untuk menerangkan maksud nilai-nilai tempat:

ratus puluh sa5 7 3

nilai ratus nilai puluh nilai sa

Nombor di atas, 573, mempunyai tiga digit. Setiap digit mempunyai nilai tempat yang berlainan.

Digit 3 mempunyai nilai tempat “sa”. Nilai 3 menunjukkan bahawa terdapat 3 “satu”

Digit 7 mempunyai nilai tempat “puluh”. Nilai 7 menunjukkan bahawa terdapat 7 “puluh”.

Digit 5 mempunyai nilai tempat “ratus”. Nilai 5 menunjukkan bahawa terdapat 5 “ratus”.

Oleh yang demikian, nombor 573 sebenarnya merupakan jumlah bagi 500, 70 dan 3. Ini boleh ditulis dalam bentuk matematik seperti di bawah:

Page 2: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 2

573 = 500 + 70 + 3

Nombor 573 dibaca sebagai “lima ratus dan tujuh puluh tiga”.

Rujuk Uji Diri 1.1 di modul, halaman 3.

Contoh Aktiviti 1.1: Bagaimana menjelaskan konsep nilai-nilai tempat bagi satu nombor bulat.

Satu cara bagi menerangkan konsep nilai-nilai tempat ialah memecahkan satu nombor yang diberikan kepada jumlah bagi bahagian-bahagiannya. Aktiviti pembelajaran berikut akan menerangkan ini.

Mulakan pelajaran dengan menanya pelajar-pelajar kamu soalan berikut:“Adakah kamu tahu jumlah pelajar di sekolah kita?”Tuliskan jawapan di atas papan tulis (Katakan jawapan ialah 1427).Tuliskan ungkapan berikut di atas papan tulis dan minta mereka memberikan jawapan.

1000 + 400 + 20 + 7 = _________________Jawapan yang betul ialah 1427. Dengan merujuk kepada jawapan, terangkan kepada para pelajar bahawa 1427 adalah bersamaan dengan 1 “ribu”,+ 4 “ratus” + 2 “puluh” + 7 “satu”.Bimbing mereka untuk mengisi digit-digit nombor di dalam lajur-lajur seperti yang ditunjukkan di bawah, berdasarkan nilai-nilai digit mereka.

ribu ratus puluh sa1 4 2 7

Bimbing pelajar-pelajar untuk membaca nilai tersebut sebagai “satu ribu empat ratus dan dua puluh tujuh”.

Adalah satu idea yang baik untuk meningkatkan pemahaman mereka dengan memberikan lebih banyak contoh-contoh. Jika contoh yang kedua diberikan, jumlah bimbingan yang diberikan kepada para pelajar seharusnya kurang berbanding dengan contoh pertama. Ini adalah selaras dengan teori konstruktisme yang menggalakkan mereka menjadi pelajar aktif yang berdikari, di mana mereka mampu meneroka, menemui dan membina pengetahuan sendiri.

Satu lagi cara untuk menerangkan konsep nilai-nilai tempat ialah dengan menggunakan objek-objek maujud sebagai alat bantu mengajar. Ini ditunjukkan dalam Aktiviti 1.2. Dalam kes ini, blok-blok Dienes berlainan yang mewakili unit-unit bagi ratus, puluh dan sa digunakan.

Contoh Aktiviti 1.2: Cara lain untuk menerangkan konsep nilai-nilai tempat dalam satu nombor bulat.

Sususkan kombinasi blok-blok Dienes yang berlainan untuk mewakili nombor 246 (2 unit bagi ratus, 4 unit bagi puluh dan 6 unit bagi satu).Terangkan kepada para pelajar maksud bagi setiap digit dengan merujuk kepada blok-blok Dienes yang dipamerkan. Sebagai contoh, digit 2 dalam nombor 246

Page 3: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 3

1.1.2 Membundar Nombor-Nombor Bulat

Membuat anggaran adalah satu kemahiran penting dalam matematik. Selalunya, kita perlu membuat anggaran tentang nilai-nilai di dalam kehidupan seharian kita. Ini termasuk anggaran tentang duit, masa, jarak, berat dan sebagainya.

Membundar ialah sejenis anggaran. Bagi membundar satu nombor bulat, pelajar-pelajar kamu perlulah diajar 3 langkah berikut:

(a) Langkah 1Cari nilai tempat yang perlu dibundarkan, secara ringkasnya, digit yang perlu dibundarkan.Sebagai contoh, jika kita mahu membundar nombor 236 489 kepada 1000 yang terdekat, maka digit yang dibundarkan ialah “6” memandangkan “6” mempunyai nilai tempat “ribu”.

(b) Langkah 2Jika digit di sebelah kanan digit yang dibundarkan adalah kurang daripada 5, kekalkan “digit yang dibundarkan” dan tukar kesemua digit ke sebelah kanannya kepada sifar.Dalam kes ini, digit di sebelah kanan digit yang dibundarkan ialah 4, iaitu kurang daripada 5, jadi nombor 236 489 dibundarkan kepada 1000 yang terdekat ialah 236 000.

(c) Langkah 3

Contoh Aktiviti 1.2: Cara lain untuk menerangkan konsep nilai-nilai tempat dalam satu nombor bulat.

Sususkan kombinasi blok-blok Dienes yang berlainan untuk mewakili nombor 246 (2 unit bagi ratus, 4 unit bagi puluh dan 6 unit bagi satu).Terangkan kepada para pelajar maksud bagi setiap digit dengan merujuk kepada blok-blok Dienes yang dipamerkan. Sebagai contoh, digit 2 dalam nombor 246

Page 4: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 4

Jika digit di sebelah kanan digit yang dibundarkan adalah lebih besar atau bersamaan dengan 5, tambahkan satu kepada digit yang dibundarkan dan tukar kesemua digit di sebelah kanan digit yang dibundarkan kepada sifar.Sebagai contoh, nombor 138 527 yang dibundarkan kepada 1000 yang terdekat akan menjadi 139 000. Kamu juga tulisnya seperti berikut:138 527 = 139 000 (kepada 1000 yang terdekat)138 527 = 140 000 (kepada 10 000 yang terdekat)138 527 = 100 000 (kepada 100 000 yang terdekat)138 527 = 138 500 (kepada 100 yang terdekat)138 527 = 138 530 (kepada 10 yang terdekat)

Contoh Aktiviti 1.3: Bagaimana menerangkan pembundaran bagi nombor- nombor bulat

Tanya pelajar-pelajar kamu soalan berikut:“Adakah kamu tahu harga bagi satu Proton Waja?”Galakkan mereka untuk memberi pelbagai jawapan. Sebagai contoh:Pelajar 1: “Saya tidak pasti. Saya rasa ia adalah sekitar RM70 000.”Pelajar 2: “Bapa saya membelinya pada harga RM62 000.”Puji mereka atas maklum balas yang diberikan. Beritahu mereka bahawa mereka sebenarnya telah melakukan anggaran. Bimbing mereka untuk meneroka konsep penganggaran dengan menanya soalan berikut”“Jika kamu tidak pasti dengan harga yang sebenar, lihatlah risalah ini. Kos bagi satu Proton Waja yang baru ialah RM64 580.”Kemudian letakkan risalah tersebut dan tanya mereka lagi.Guru: “Lina, boleh kamu beritahu saya harganya lagi.”Lina: “Cikgu, saya tidak ingatlah. Tetapi saya tahu bahawa ia adalah sekitar RM60 000.”Guru: “Baik. Kamu telah memberikan kami satu anggaran yang baik. Lina sebenarnya telah membundarkan harganya kepada RM10 000 yang terdekat.”Tunjukkan kepada mereka bagaimana mengaplikasikan peraturan untuk membundarkan nombor 64 580 kepada 10 000 yang terdekat.

puluh ribu ribu ratus puluh sa6 4 5 8 0

Ini ialah digit yang Ini ialah digit ke sebelah kanan digit yang dibundarkan.dibundarkan. Ia Ia adalah kurang dari 5. Jadi, tukarnya dan kesemua perlu dikekalkan. digit lain ke 0.Kamu boleh mengulangi aktiviti ini dengan minta mereka untuk membundar ke 1000 yang terdekat. Maka, 64 580 = 65 000(kepada 1000 yang terdekat)

Adalah baik jika kamu boleh minta seorang pelajar lain untuk membundarkan nombor yang sama ke 100 yang terdekat. Dalam kes ini, jawapan yang betul ialah 64 600.Ulangi dengan nombor-nombor yang lain seperti 2 583. Pastikan kamu memberikan pelbagai nombor.

Page 5: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 5

Rujuk Contoh Aktiviti 1.4 di modul, halaman 7 dan 8.

1.1.3 Operasi-Operasi Nombor (Penambahan)

(a) Menambah dua nombor bermaksud mencari jumlah bagi dua nombor. Bagi menerangkan konsep tambah, kamu mungkin perlu menerangkan ini:

10 satu adalah bersamaan dengan 1 puluh; 10 puluh adalah bersamaan dengan1 ratus; 10 ratus adalah bersamaan dengan 1 ribu; dan seterusnya.

Walaupun para pelajar telah mempelajari operasi-operasi nombor yang asas semasa sekolah rendah, adalah baik untuk memberikan aktiviti-aktiviti tambahan bagi meningkatkan pemahaman mereka terhadap konsep-konsep dan kemahiran-kemahiran operasi yang terlibat. Objek-objek maujud boleh digunakan untuk membantu menerangkan konsep-konsep dan kemahiran-kemahiran tersebut. Ini boleh diterangkan dengan contoh berikut.

Contoh 1.1Soalan: Cari jumlah 134 dan 247.Rujuk rajah di modul, halaman 9.

Ratus Puluh Sa 1+ 2

1

34

47

3 8 1

Dengan menggunakan blok Dienes, kita boleh menunjukkan bagaimana 10 “satu” dikumpul semula untuk membentuk satu “puluh”.

Penggunaan objek-objek maujud mungkin berguna dalam menerangkan konsep tambah apabila nombor-nombor yang terlibat adalah kecil. Walau bagaimanapun, idea sama tentang mengumpul dan mengumpul semula adalah berguna untuk menerangkan penambahan nombor yang lebih besar dalam cara yang berlainan. Sebagai contoh, bagi menunjukkan bagaimana mencari jumlah bagi 2936 dan 478, kita boleh menggunakan penerangan berikut.

Tulis 2936 dalam bentuk 2000 + 900 + 30 + 6Tulis 478 dalam bentuk 400 + 70 + 8

Page 6: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 6

Gunakan penerangan berikut semasa memberi penjelasan. Rujuk modul halaman 10.

(b) Bagi menolak satu nombor dari satu lagi bermaksud mencari perbezaan di antara dua nombor. Operasi tolak juga dianggap sebagai songsangan bagi tambah. Jadi prinsip-prinsip mengumpul dan mengumpul semula yang digunakan dalam operasi tambah boleh digunakan untuk mencari beza antara dua nombor. Contoh berikut merangkan ini. Rujuk modul halaman 11.

1.1.4 Operasi-Operasi Nombor (Pendaraban)

Pendaraban boleh dianggap sebagai penambahan berulang. Sebagai contoh, ungkapan 18 x 9 memberikan maksud berikut:

18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18

Penambahan berulang bagi 18 sebanyak 9 kali

Satu cara lain bagi menerangkan pendaraban n x m (kedua-dua n dan m adalah nombor bulat) ialah terdapat n kumpulan objek, dan dalam setiap kumpulan, terdapat m objek.

Maka, ungkapan 18 x 9 boleh dianggap sebagai 18 kumpulan bagi 9. (Rujuk modul halaman 12 untuk illustrasi.)

Berdasarkan prinsip ini, adalah jelas bahawa nilai bagi 18 x 9 adalah sama dengan nilai bagi 9 x 18.

Pendaraban 18 x 9 dan 9 x 18 boleh ditunjukkan seperti berikut:

(i) ratus puluh satu 1 8

x 9 7 2 9 x 8 = 72

+ 9 0 9 x 10 = 90 1 6 2

(i) ratus puluh satu 9

x 1 8 7 2 9 x 8 = 72

+ 9 0 9 x 10 = 90 1 6 2

Page 7: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 7

1.1.5 Operasi-Operasi Nombor (Pembahagian)

Pembahagian yang melibatkan nombor-nombor bulat boleh didefinisikan sebagai satu tindakan memisahkan sejumlah objek kepada kumpulan tertentu yang mempunyai jumlah objek yang sama dalam setiap kumpulan. Sebagai contoh, 72 ÷ 9 boleh bermaksud 72 dibahagikan kepada 9 kumpulan yang sama.

Rajah berikut (rujuk modul halaman 13) menunjukkan bahawa terdapat 9 kumpulan. Setiap kumpulan mempunyai 8 objek.

Maka, 72 ÷ 9 = 8.

Pembahagian juga boleh dianggap sebagai songsangan bagi pendaraban. Sebagai contoh,

Jika 15 x 6 = 90, maka90 ÷ 6 = 15, atau 90 ÷ 15 = 6

Sila perhatikan istilah-istilah berikut:Jika a ÷ b = c

makaa dikenali sebagai angka untuk dibahagi

b ialah pembahagi, dan c ialah hasil bahagi.

1.1.6 Operasi-Operasi Nombor (Operasi-Operasi Bercampur)

Mari kita lihat soalan berikut:

4 + 3 x 2 = ?

Apabila diminta untuk mengira jawapan bagi soalan di atas, kebanyakan pelajar mungkin akan memberikan salah satu daripada dua kemungkinan jawapan seperti di bawah:

Dua kemungkinan jawapan yang diberikan oleh pelajarKumpulan 1 Kumpulan 2

4 + 3 x 2 = 14 4 + 3 x 2 = 10Adalah jelas bahawa para pelajar dalam kumpulan 1 melaksanakan operasi dari kiri ke kanan dan membawa kepada jawapan yang salah. Kumpulan pelajar yang kedua (Kumpulan 2) melaksanakan pendaraban dahulu, kemudian diikuti oleh penambahan, iaitu dengan kaedah yang betul.Jadi, bagi membetulkan kesilapan tersebut, dan bagi meningkatkan pemahaman kesemua pelajar tentang tertib operasi-operasi, kamu boleh menyenaraikan peraturan-peraturan pengiraan bagi operasi-operasi bercampur. Peraturan-peraturan tersebut ialah:Peraturan 1: Laksanakan operasi-operasi yang melibatkan pendaraban dan pembahagian dulu, bermula dari kiri ke kanan.

Page 8: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 8

Peraturan 2: Kemudian, lakukan penambahan dan penolakan, juga bermula dari kiri ke kanan.Kamu boleh menunjukkan aplikasi peraturan-peraturan tersebut dengan menunjukkan beberapa contoh. Rujuk modul halaman 15.Jika operasi-operasi melibatkan penggunaan kurungan, maka peraturan-peraturan pengiraan adalah seperti berikut:Peraturan 1: Laksanakan operasi-operasi dalam kurungan dahulu, bermula dari kiri ke kanan.Peraturan 2: Kemudian, laksanakan operasi-operasi yang melibatkan pendaraban atau pembahagian, bermula dari kiri ke kanan.Peraturan 3: Akhirnya laksanakan penambahan atau penolakan, juga dari kiri ke kanan.Sekali lagi, kamu boleh memberikan beberapa contoh untuk menerangkan peraturan-peraturan ini. Rujuk modul halaman 15 dan 16.

Perhatikan jika kurungan digunakan dalam operasi-operasi yang melibatkan pendaraban atau pembahagian bersama dengan penambahan dan penolakan, kurungan tersebut menjadi tidak penting. (Lihat soalan 3: 8 - (6 ÷ 3) = 8 - 6 ÷ 3)

Peraturan-peraturan bagi melaksanakan operasi-operasi bercampur boleh diringkaskan seperti

B Bracket (Kurungan)

M Multiplication (Pendaraban)

D Division (Pembahagian)

A Addition (Penambahan)

S Subtraction (Penolakan)

Walau bagaimanapun, kamu perlu berhati-hati agar jangan menyebabkan para pelajar kamu salah faham bahawa pendaraban haruslah dilakukan sebelum pembahagian; dan penambahan perlu mendahului penolakan. Apabila melakukan pengiraan yang melibatkan pendaraban dan pembahagian, gunakan peraturan “kiri - ke - kanan”. Begitu juga, kita menambah atau menolak bergantung kepada yang mana datang dahulu.

1.1.7 Menyelesaikan Masalah-Masalah Yang Melibatkan Operasi-Operasi Nombor dan Operasi Bercampur

Adalah baik untuk memulakan pelajaran kamu dengan satu contoh mudah yang berkaitan rapat dengan situasi seharian.

Contoh 1.3;

Page 9: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 9

Puan Bala membeli 20 biji epal dari pasaraya. Dia memberikan 15 biji kepada kanak-kanak dari rumah kebajikan dan 3 kepada jirannya. Dia menyimpan yang selebihnya untuk anaknya, Jimmy. Berapa biji epalkah yang Jimmy dapat?

Memahami masalah Beli 20 epal - berikan 15 kepada kanak-kanak dari rumah kebajikan dan 3 lagi kepada jiran. Cari baki.

Rancang satu strategi Guna operasi tolak.Laksanakan strategi 20 - 15 - 3 = 2Semak jawapan 15 + 3 + 2 = 20

Maka, Jimmy dapat 3 epal.

Ingat bahawa para pelajar perlulah memahami masalah dengan sepenuhnya sebelum mereka cuba menyelesaikannya. Jadi, guru perlu memastikan bimbingan yang bersesuaian dan sepatutnya telah diberikan. Kami mencadangkan agar kamu mengikuti empat langkah dalam model penyelesaian masalah Polya. Ini telah diterangkan dalam contoh 1.3.

Contoh 1.4:

Encik Tan menghantar anaknya untuk melapor diri di Universiti Sains Malaysia pada Sabtu lepas. Dia meninggalkan Kuala Lumpur dan memandu sejauh 205km ke Ipoh. Selepas itu, dia memandu sejauh 190km lagi untuk sampai ke university. Dia menggunakan jalan yang sama untuk balik ke Kuala Lumpur pada keesokan harinya. Apakah jumlah jarak yang dilaluinya?

Memahami masalah KL ke Ipoh = 205km;Ipoh ke USM = 190km;KL ke USM = ?Jumlah - berapa jauh?

Rancang satu strategi Mencari jumlah jarak dari KL ke USMPergi dan balik: Jarak x 2

Laksanakan strategi 205 + 190 = 395395 x 2 = 790atau2 x (205 + 190) = 2 x 395 = 790

Semak jawapan 205 + 190 + 190 + 205 = 790Maka, Encik Tan telah melalui jarak sejauh 790km.

Rujuk Contoh 1.5 sehingga Contoh 1.7 di modul, halaman 17 sehingga 20.

Pelajar-pelajar boleh melakukan pengiraan tetapi biasanya mereka tidak kisah tentang menulis langkah-langkah pengiraan yang masuk akal. Kamu, sebagai guru, harus bertegas dengan penggunaan “tanda sama dengan” yang betul. Berikan contoh-contoh dan latihan yang mencukupi bagi memastikan mereka menguasai teknik penyelesaian masalah. Ini

Page 10: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 10

adalah penting dalam menyediakan mereka untuk mempelajari matematik pada aras yang lebih tinggi, terutamanya apabila menghadapi soalan-soalan penyelesaian masalah.

1.2 Pola-Pola dan Jujukan-Jujukan Nombor

Dalam bahagian ini, kita akan memfokus kepada perkara-perkara berikut:

Menerangkan pola-pola nombor bagi satu jujukan yang diberikan, mengembangkan jujukan dan melengkapkan nombor-nombor yang hilang.Ciri-ciri bagi nombor-nombor genap, ganjil dan perdana.Faktor-faktor dan gandaan-gandaan bagi nombor-nombor bulat (meneroka dan mengkaji).

1.2.1 Pola-Pola Nombor

Kemampuan mengenal pasti dan membina pola-pola nombor membantu para pelajar membuat ramalan. Sebagai contoh, jika kita dapat mengenal pasti pola-pola bagi satu urutan nombor, kita akan dapat meramal nombor-nombor seterusnya yang akan muncul dalam urutan tersebut. Lebih penting lagi, aktiviti-aktiviti berikut membantu pelajar-pelajar untuk melihat hubungan dan perkaitan di antara nombor dengan baik.

Pola-pola nombor boleh dihasilkan dengan pelbagai kaedah. Di antaranya ialah:

Menggunakan penambahan berulang, atau kadang kala dikenali sebagai kaedah bagi perbezaan umum.

Sebagai contoh, penambahan berulang bagi 31, 4, 7, 10, 13, 16, ..........

Menggunakan penolakan berulang.Sebagai contoh, penolakan berulang bagi 850, 42, 34, 26, 18, 10, 2

Menggunakan pendaraban berulang.Sebagai contoh, mendarab setiap nombor dengan 43, 12, 48, 192, 768, 3072, ............

Menggunakan pembahagian berulang dengan satu nombor.Sebagai contoh, membahagi setiap nombor dengan 2256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2

Menggunakan satu formula umumSebagai contoh, formula 2n+3 di mana n = 1, 2, 3, ....... menghasilkan pola-pola nombor berikut dalam bentuk satu urutan nombor5, 7, 9, 11, 13, 15, ............

Page 11: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 11

1.2.2 Mengembangkan Pola-Pola NomborDalam aktiviti 1.5, murid-murid mendapatkan satu pola nombor dengan mengambil tarikh-tarikh bagi hari Rabu dalam bulan Ogos.

2, 9, 16, 23, 30, 37Selepas mengenal pasti pola ialah “tambah 7”, urutan nombor boleh dikembangkan tanpa had seperti berikut:

2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65, 72, 79, 86, ............Rujuk Contoh Aktiviti 1.6 di modul, halaman 23 dan 24.

1.2.3 Melengkapkan Nombor-Nombor Yang Hilang Di Dalam Satu Jujukan NomborKita boleh melengkapkan satu jujukan nombor dengan nombor-nombor yang hilang dengan memerhatikan pola nombornya. Kemudian, ikuti pola tersebut dan lengkapkan nombor-nombor yang hilang.

Contoh Aktiviti 1.5: Mengenali dan membina pola-pola nombor

Rujuk modul halaman 22 untuk rajah kalender.

Beritahu para pelajar untuk mendapatkan kalendar bagi bulan tertentu, katakan Ogos.Arahkan mereka untuk membulatkan satu hari tertentu dalam minggu bagi seluruh bulan, katakan Rabu.Tanya soalan berikut:“Berdasarkan tarikh-tarikh yang dibulatkan, adakah kamu dapat melihat satu pola untuk nombor-nombor?”Murid-murid sepatutnya dapat mengenali perbezaan di antara satu tarikh dan tarikh berikutnya adalah 7. Jadi, dia boleh membina satu urutan nombor dengan menambahkan 7 ke nombor pertama, iaitu 2. Kemudian, tambahkan 7 lagi kepada nombor kedua dan seterusnya. Dia boleh meneruskannya untuk menghasilkan satu urutan yang tidak berpenghujung dengan cara ini.2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, ...............Galakkan kreativiti dengan minta para pelajar mencari pola-pola lain dari kalendar yang sama.“Bolehkah kamu cari pola nombor yang lain?”“Cuba gariskan nombor-nombor secara pepenjuru ke bawah, dari kiri ke kanan.”“Bagaimana pula dengan nombor-nombor secara pepenjuru ke bawah, dari kanan ke kiri?”Biarkan mereka meneroka dan menemui pola-pola nombor yang lain: secara mendatar, dari kiri ke kanan, kemudian dari kanan ke kiri. Mereka juga boleh bergerak secara menegak, dari atas ke bawah atau dari bawah ke atas.Mereka boleh mencuba dengan kalendar bulan lain. Biar mereka membandingkan pola-pola nombor mereka dan menyatakan sebarang persamaan dan perbezaan di antara kalendar-kalendar bagi bulan-bulan berlainan.Minta para pelajar menulis jawapan mereka di atas papan tulis.

Page 12: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 12

Sebagai contoh,6, 18, _____, _____, 54, _____, _____, _____+12 + 12

Pola nombor ialah “tambah 12” kepada setiap nombor.Jadi, kita ada

18 + 12 = 30, 30 + 12 = 4242 + 12 = 54, 54 + 12 = 66,66 + 12 = 78, dan 78 + 12 = 90.

Maka, jujukan nombor tersebut ialah6, 8, 30, 42, 54, 66, 78, 90

Edarkan satu lembaran kerja dan bimbinglah mereka untuk melengkapkan nombor-nombor yang hilang dalam jujukan-jujukan nombor yang diberikan.

Rujuk Contoh 1.8 di modul, halaman 25.

1.2.4 Nombor Ganjil dan GenapNombor genap ialah nombor-nombor bulat bukan sifar yang boleh dibahagikan oleh 2. Nombor ganjil pula ialah nombor-nombor bulat bukan sifar yang tidak boleh dibahagikan oleh 2.

Contoh Aktiviti 1.7: Menyiasat ciri-ciri bagi nombor-nombor ganjil dan genap

Kamu boleh memperkenalkan pelajaran kamu dengan minta pelajar-pelajar kamu membuka buku teks mereka.“Lihat nombor halaman. Tuliskan di lajur pertama.”“Lihat nombor halaman pada halaman sebelah. Tuliskan di lajur kedua.”“Sekarang, buka halaman lain. Perhatikan kedua-dua nombor halamannya lagi dan catatkan.”“Ulangi beberapa kali dengan membuka buku secara rawak.”Satu contoh catatan pelajar:

Lajur 1Nombor Halaman

Lajur 2Nombor Halaman pada Halaman Bertentangan

95 94113 112151 150207 20633 32

259 258

Page 13: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 13

Bimbing para pelajar kamu untuk menyiasat ciri-ciri bagi nombor-nombor di setiap lajur dengan bertanya soalan-soalan.

“Lihat nombor halaman di lajur 1. Apakah yang kamu perhatikan?”“Bolehkah kamu menjumpai satu nombor yang boleh membahagi kesemua nombor ini?”“Bagaimana pula dengan nombor-nombor di lajur 2?”“Bolehkan nombor-nombor ini dibahagikan dengan satu nombor lain?”“Apakah nombor ini?”“Bolehkah sesiapa beritahu saya nama yang diberikan kepada nombor-nombor seperti dalam lajur 2?”“Bagaimana pula dengan nombor-nombor dalam lajur 1?”Kamu patut menggalakkan mereka untuk meneka berdasarkan pemerhatian dan perbincangan sebelum mereka memberikan kesimpulan sebagai satu pernyataan umum.Kemudian, kamu boleh minta mereka menyenaraikan 25 nombor ganjil pertama dan 25 nombor genap pertama. Kamu boleh mengedarkan satu carta nombor seperti di bawah dan minta mereka membulatkan kesemua nombor genap dan gariskan kesemua nombor ganjil. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Penyiasatan lanjut:“Lihat pada digit terakhir bagi kesemua nombor genap. Apakah yang kamu perhatikan?”“Bolehkah digit terakhir dibahagi oleh 2?”“Kemudian, lihat pada digit terakhir untuk kesemua nombor ganjil. Apakah kesimpulan kamu?”“Bolehkah kamu menjumpai satu nombor yang bukan ganjil dan genap?”“Bagaimana pula dengan nombor ‘0’? Adakah ia ganjil atau genap?”Galakkan mereka untuk mencari jawapan dari Internet. Berikan mereka laman web yang bersesuaian.Kamu kemudian boleh membimbing mereka untuk menyiasat ciri-ciri lain bagi nombor-nombor ganjil dan genap seperti jumlah, beza, hasil darab dan hasil bahagi.

Page 14: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 14

1.2.5 Nombor-Nombor Perdana

Satu nombor perdana ialah satu nombor bulat yang hanya boleh dibahagi dengan dirinya dan nombor 1.

Kamu boleh menggunakan satu jadual seperti berikut (rujuk modul halaman 27) untuk membantu penyiasatan.

Berhati-hati apabila menggunakan penolakan dan pembahagian. Ingatkan para pelajar kamu untuk menolak satu nombor yang lebih kecil dari nombor pertama. Jika tidak mungkin mereka tidak akan mendapat penyelesaian. Begitu juga dengan pembahagian. Minta mereka menggunakan satu nombor yang boleh dibahagi dengan nombor kedua. Mereka sepatutnya dapat menulis keputusan bagi setiap baris jadual sebagai “ganjil” atau “genap”.

Ingatlah peranan kamu sebagai seorang guru. Bagi sebarang aktiviti penyiasatan, kamu mesti memberikan kesimpulan yang betul selepas mendengar jawapan-jawapan daripada para pelajar kamu.

Contoh Aktiviti 1.8: Menyiasat ciri-ciri bagi nombor-nombor perdana

Kamu boleh menggunakan senarai bagi nombor ganjil dan genap yang telah diperolehi oleh para pelajar dari Aktiviti 1.7.

Jadual 1

Jadual 2

“Lihat nombor-nombor ganjil di dalam Jadual 1. Bolehkah kamu mencari nombor yang boleh dibahagi oleh beberapa nombor lain, seperti 3, 5 dan sebagainya? Pangkah nombor-nombor tersebut.”“Perhatikan nombor-nombor yang tinggal. Kesemua nombor ini tidak boleh dibahagi oleh nombor-nombor lain, kecuali oleh nombor 1 dan dirinya sendiri.”“Sekarang, lihat Jadual 2. Bolehkah kamu menjumpai nombor-nombor sedemikian?”

1 3 5 7 911 13 15 17 1921 23 25 27 2931 33 35 37 3941 43 45 47 49

2 4 6 8 1012 14 16 18 2022 24 26 28 3032 34 36 38 4042 44 46 48 50

Page 15: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 15

Jadual 1

Kemudian, kamu boleh memperkenalkan konsep nombor perdana dan definisinya. Memandangkan 1 hanya boleh dibahagi oleh 1, ia bukanlah satu nombor perdana mengikut definisi yang diberikan.Satu lagi definisi ialah satu nombor perdana (atau satu perdana) ialah satu nombor asli yang hanya mempunyai dua pembahagi nombor asli. Oleh yang demikian, 1 bukanlah satu nombor perdana. Dengan menggunakan definisi yang sama, kita boleh menyimpulkan bahawa 2 ialah satu nombor perdana. Beritahu para pelajar kamu semua nombor perdana adalah ganjil kecuali nombor 2.“Bolehkah kamu menyenaraikan kesemua nombor perdana dari 1 sehingga 50?”Satu cara penerangan lain ialah satu nombor perdana ialah satu integer positif yang bukan merupakan hasil daripada dua integer positif yang lebih kecil.“Bagaimana kamu menentukan sama ada satu nombor yang diberikan adalah satu perdana?”“Apakah nombor perdana terbesar yang diketahui?”“Adakah sifar merupakan satu nombor perdana?”Galakkan mereka untuk mencuba dengan pelbagai nombor seperti 187, 467, 443, 599 dan sebagainya. Kamu boleh memberikan satu tugasan kepada mereka untuk diterokai melalui internet dan melaporkannya di dalam kelas.Berikut merupakan senarai bagi beberapa nombor-nombor perdana:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 dan seterusnya.

1 3 5 7 11 13 17 19

23 2931 3741 43 47

Contoh Aktiviti 1.9: Menentukan kesemua nombor perdana dari 1 sehingga 100

Ayak Eratosthenes

Eratosthenes (275 - 194 S.M., Yunani) mereka satu ‘ayak’ untuk mengesan nombor-nombor perdana. Satu ayak adalah seperti satu penapis yang kamu gunakan untuk menapis spageti selepas ia sudah siap direbus. Airnya mengalir keluar, meninggalkan spageti di dalam ayak. Ayak Eratosthenes menapis kesemua nombor gabungan dan meninggalkan nombor-nombor perdana.

Page 16: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 16

1.2.6 Faktor dan Faktor Perdana

Satu faktor bagi satu nombor yang diberikan ialah satu nombor yang boleh membahagikan nombor tersebut secara tepat tanpa meninggalkan sebarang baki.

Sebagai contoh,

5 = 1 x 5Jadi, faktor-faktor bagi 5 adalah 1 dan 5.

8 = 1 x 88 = 2 x 4Jadi, faktor-faktor bagi 8 ialah 1, 2, 4, dan 8.

12 = 1 x 1212 = 2 x 612 = 3 x 4Jadi, faktor-faktor bagi 12 ialah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12.

Kamu boleh mengaitkan ini dengan apa yang telah pelajar-pelajar kamu belajar dalam nombor-nombor perdana.

“Namakan satu nombor perdana yang kamu tahu.”“Bolehkah kamu menulisnya sebagai satu hasil bagi dua nombor?”“Jadi, berapakah faktor yang dipunyai oleh satu nombor perdana?”

Bagi menggunakan ayak Eratosthenes untuk mencari nombor perdana sehinggan 100, hasilkan satu carta yang mengandungi satu ratus integer positif pertama (1 - 100). Rujuk carta tersebut di modul, halaman 30.

1. Pangkah nombor 1, kerana ia bukan perdana.2. Bulatkan 2, kerana ia ialah perdana genap positif yang terkecil. Sekarang pangkah

kesemua gandaan 2; dalam erti kata yang lain, pangkah kesemua nombor kedua.3. Bulatkan 3, nombor perdana seterusnya. Kemudian, pangkah kesemua gandaan 3;

dalam kata lain, setiap nombor ketiga. Sesetengah, seperti 6, mungkin telah dipangkah kerana mereka merupakan gandaan bagi 2.

4. Bulatkan nombor tertinggal yang seterusnya, iaitu 5. Sekarang pangkah kesemua gandaan 5, atau setiap nombor kelima.

Teruskan ini hingga semua nombor dari 1 ke 100 telah sama ada dibulatkan atau dipangkah. Kamu telah membulatkan kesemua nombor perdana dari 1 ke 100!

Page 17: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 17

Kesimpulan kamu sepatutnya ialah: satu nombor perdana hanya mempunyai dua faktor, iaitu 1 dan dirinya sendiri.

Arahkan para pelajar kamu untuk mencari kesemua faktor bagi beberapa nombor. Sebagai contoh, 15, 24, 48, 81 dan seterusnya.

Tanya mereka soalan-soalan berikut:

“Bagaimana kamu mengetahui sama ada satu nombor merupakan faktor bagi satu nombor yang diberikan?”

“Adakah 6 satu faktor bagi 135?”“Adakah 9 satu faktor bagi 117?”“Berikan sebab untuk menyokong jawapan kamu.”

Contoh Aktiviti 1.10: Menyiasat ciri-ciri faktor bagi nombor-nombor bulat

1. Kamu boleh menggunakan kaedah berikut bagi menentukan faktor-faktor bagi nombor-nombor.

Faktor-FaktorNombor

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 /2 / /3456789

10111213141516

“Tandakan / dalam sel jika ia merupakan faktor bagi nombor itu. Dua nombor yang pertama telah ditanda. Apakah yang kamu dapati?”“Bulatkan faktor-faktor yang merupakan nombor perdana.”

Page 18: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 18

1.2.7 Gandaan

Gandaan-gandaan bagi satu nombor merupakan hasil darab bagi nombor tersebut dengan mana-mana nombor bulat yang lain.

2. Murid-murid sepatutnya dapat mengetahui bahawa:1 ialah satu faktor bagi kesemua nombor.Setiap nombor merupakan faktor bagi diri sendiri.Nombor-nombor perdana mempunyai dua faktor.Sesetengah faktor merupakan nombor perdana atau juga dikenali sebagai faktor-faktor perdana.

Contoh Aktiviti 1.11: Menyenaraikan gandaan-gandaan bagi nombor-nombor dan menyiasat ciri-ciri mereka.

1. Bimbing para pelajar kamu untuk menggunakan lembaran sebaran untuk menghasilkan gandaan bagi nombor-nombor 1 sehingga 10. Rujuk lembaran tersebut di modul, halaman 33.

2. Kemudian, bimbing mereka untuk menyiasat ciri-ciri bagi gandaan.“Apakah gandaan terkecil bagi sebarang nombor?”“Adakah terdapat gandaan terbesar bagi sebarang nombor?”“Adakah gandaan bagi satu nombor membentuk satu urutan? Apakah polanya?”“Bagaimanakah kamu tahu sama ada satu nombor merupakan gandaan bagi nombor yang lain?”“Adakah 32 merupakan gandaan bagi 2, 3, 4, 8 dan 10?”

3. Bimbing mereka untuk menjawab soalan terakhir dengan mengesan nombor 32 dalam jadual gandaan yang mereka telah bina.“Bagaimana dengan satu nombor yang tidak terdapat dalam jadual tersebut?”“Bagaimana kamu mengetahui sama ada 225 boleh dibahagi dengan 2, 3, 4, 5, 6, 9 dan 10?”

4. Mungkin mereka akan mula membahagi nombor 225 dengan nombor-nombor 2, 3, 4, 5, 6, 9 dan 10. Bersabarlah dan biar mereka mencuba. Galakkan mereka untuk memberikan cadangan-cadangan alternatif. Sebagai contoh,“Cikgu, kita tidak perlu membahagi dengan 2, 3, 4, 5, 6, 9 dan 10. Memandangkan 225 ialah satu nombor ganjil, ia tidak mungkin dapat dibahagi dengan satu nombor genap.“Cikgu, saya mahu membahagi dengan 5 sahaja, memandangkan nombor tersebut berakhir dengan 5.”

Page 19: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 19

1.3 Gandaan Sepunya dan Faktor Sepunya

Dalam bahagian ini, kita akan memfokus kepada perkara-perkara berikut:

Mencari gandaan-gandaan sepunya dan Gandaan Sepunya Terkecil (Lowest Common Multiples - LCM)Mencari faktor-faktor sepunya dan Faktor Sepunya Terbesar (Highest Common Factors - HCF)Menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan nombor-nombor bulat dan pola-pola dan urutan-urutan nombor.

2. Ini merupakan cadangan-cadangan kreatif yang sepatutnya dipuji. Kemudian, sebagai pengayaan, kamu boleh minta mereka mencari ujian boleh dibahagi dari Internet dan berkongsi dapatan dengan rakan-rakan mereka.

Ujian-Ujian Boleh Bahagi ContohSatu nombor boleh dibahagi oleh 2 jika digit terakhirnya ialah 0, 2, 4, 6 atau 8.

168 boleh dibahagi oleh 2 memandangkan digit terakhirnya ialah 8.

Satu nombor boleh dibahagi oleh 3 jika jumlah bagi kesemua digitnya boleh dibahagi oleh 3.

168 boleh dibahagi oleh 3 kerana jumlah bagi kesemua digitnya ialah 15 (1 + 6 + 8 = 15), dan 15 boleh dibahagi oleh 3.

Satu nombor boleh dibahagi oleh 4 jika nombor yang dibentuk oleh dua digit terakhir boleh dibahagi oleh 4.

316 boleh dibahagi oleh 4 memandangkan 16 boleh dibahagi oleh 4.

Satu nombor boleh dibahagi oleh 5 jika digit terakhirnya ialah sama ada 0 atau 5.

195 boleh dibahagi oleh 5 memandangkan digit terakhirnya ialah 5.

Satu nombor boleh dibahagi oleh 6 jika ia boleh dibahagi dengan 2 DAN ia boleh dibahagi dengan 3.

168 boleh dibahagi dengan 6 kerana ia boleh dibahagi dengan 2 DAN ia boleh dibahagi oleh 3.

Satu nombor boleh dibahagi dengan 8 jika nombor yang terbentuk daripada 3 digit terakhir boleh dibahagi dengan 8.

7 120 boleh dibahagi dengan 8 memandangkan 120 boleh dibahagi dengan 8.

Satu nombor boleh dibahagi dengan 9 jika jumlah bagi kesemua digitnya boleh dibahagi dengan 9.

549 boleh dibahagi dengan 9 memandangkan jumlah bagi kesemua digit ialah 18 (5 + 4 + 9 = 18), dan 18 boleh dibahagi oleh 9.

Satu nombor boleh dibahagi dengan 10 jika digit terakhirnya ialah 0.

1 470 boleh dibahagi dengan 10 kerana digit terakhirnya ialah 0.

Sumber: http://www.mathgoodies.com/lessons/vol3/divisibility.html

Page 20: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 20

1.3.1 Gandaan-Gandaan Sepunya dan Gandaan Sepunya Terkecil (LCM)

Satu nombor yang merupakan satu gandaan bagi dua atau lebih banyak nombor dikenali sebagai satu gandaan sepunya bagi nombor-nombor ini. Sebagai contoh, 10 ialah satu gandaan sepunya bagi 2, 5 dan 10. Gandaan Sepunya Terkecil (LCM) merupakan nombor terkecil yang merupakan gandaan sepunya bagi dua atau lebih nombor.

Mari kita kaji contoh berikut:

Gandaan bagi 3 ialah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, ......Gandaan bagi 5 ialah 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ......

Kita boleh lihat bahawa gandaan sepunya bagi 3 dan 5 ialah 15, 30, 45, ..... dan gandaan sepunya terkecil bagi gandaan-gandaan sepunya ini ialah 15.

Maka, 15 ialah Gandaan Sepunya Terkecil bagi 3 dan 5.

Kita boleh tulis bahawa LCM bagi 3 dan 5 = 15.

Gandaan-gandaan sepunya bagi dua atau lebih nombor lazimnya ditentukan dengan menyenaraikan kesemua gandaan bagi setiap nombor sehingga nombor yang diingini.

Kamu boleh menggunakan jadual gandaan dari 1 sehingga 10 yang dicipta dalam Aktiviti 1.10 untuk mencari gandaan-gandaan sepunya dan Gandaan Sepunya Terkecil bagi dua atau lebih nombor yang kurang dari 10.

Contoh Aktiviti 1.12: Mencari gandaan-gandaan sepunya dan Gandaan Sepunya Terkecil

“Rujuk jadual gandaan yang kamu telah cipta. Cari gandaan-gandaan sepunya bagi 4 dan 6.”“Apakah itu LCM?”“Bagaimana pula dengan LCM bagi 4, 6 dan 8?”

Rujuk jadual di modul, halaman 33.

2. Murid-murid sepatutnya dapat menulis:Gandaan-gandaan bagi 4 ialah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, .....Gandaan-gandaan bagi 6 ialah 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, .....Gandaan-gandaan sepunya bagi 4 dan 6 ialah 12.

Gandaan-gandaan bagi 4 ialah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, .....Gandaan-gandaan bagi 6 ialah 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, .....Gandaan-gandaan bagi 8 ialah 8, 16, 24, 32, 40, 48, .....Gandaan-gandaan sepunya bagi 4, 6, dan 8 ialah 24 dan 48, .....Oleh yang demikian, LCM bagi 4, 6 dan 8 ialah 24.

Page 21: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 21

1.3.2 Faktor-Faktor Sepunya dan Faktor Sepunya Terbesar (Highest Common Factors - HCF)

Satu nombor yang merupakan faktor bagi dua atau lebih nombor dikenali sebagai satu faktor sepunya. Faktor terbesar daripada kesemua faktor sepunya ini dikenali sebagai Faktor Sepunya Terbesar (HCF).

Sebagai contoh

1. Cari faktor-faktor sepunya bagi 12 dan 18. Selepas itu, cari HCF.Faktor-faktor bagi 12 ialah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12.Faktor-faktor bagi 18 ialah 1, 2, 3, 6, 9 dan 18.

2. Selain daripada kaedah menyenarai (Kaedah 1), terdapat kaedah-kaedah lain dalam mencari LCM, seperti berikut:

Kaedah 2: Menggunakan Pemfaktoran Perdana

1. Cari LCM bagi 4, 6 dan 8.2. Tulis setiap nombor sebagai hasil darab bagi nombor-nombor perdana seperti

berikut:4 = 2 x 26 = 2 x 38 = 2 x 2 x 2

3. Ambil hasil darab bagi faktor-faktor perdana. Jika terdapat satu faktor perdana sepunya, nombor yang muncul paling banyak kali akan dipilih.

LCM bagi 4, 6 dan 8 ialah 3 x 2 x 2 x 2 = 24

Kaedah 3: Menggunakan algoritma pembahagian

1. Cari LCM bagi 4, 6 dan 8. 2 4, 6, 8

2 2, 3, 4 2 1, 3, 2 3 1, 3, 1

1, 1, 12. Perhatikan sekiranya nombor tidak boleh dibahagi, ia dibawa ke baris seterusnya.

Pembahagian berterusan sehingga kamu mendapat semua 1 dalam baris terakhir. Hasil darab bagi kesemua nombor dalam lajur kiri ialah Gandaan Sepunya Terkecil.

LCM bagi 4, 6 dan 8 ialah 2 x 2 x 2 x 3 = 24.

Page 22: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 22

Maka, faktor-faktor sepunya bagi 12 dan 18 ialah 1, 2, 3 dan 6.Faktor sepunya terbesar (HCF) ialah 6.

2. Cari kesemua faktor sepunya bagi 15, 18 dan 24. Lepas itu, cari HCF.Faktor-faktor bagi 15 ialah 1, 3, 5, 15.Faktor-faktor bagi 18 ialah 1, 2, 3, 6, 9, 18.Faktor-faktor bagi 24 ialah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.Maka, faktor-faktor sepunya bagi 12, 18 dan 24 ialah 1 dan 3.Faktor sepunya terbesar (HCF) ialah 3.

Kita boleh juga menggunakan algoritma pembahagian untuk mencari HCF bagi dua atau lebih nombor.

Cari HCF bagi (a) 12 dan 42

2 12, 42 3 6, 21 2 7

(b) 16, 32 dan 48 2 16, 32, 48 2 8, 16, 24 2 4, 8, 12 2 2, 4, 6

1, 2, 3

Bukan seperti algoritma pembahagian untuk mencari LCM, kita membahagikan nombor-nombor dengan faktor-faktor sepunya sahaja. Kita berhenti membahagi apabila tidak terdapat faktor sepunya yang tinggal lagi kecuali 1. Hasil darab bagi kesemua nombor dalam lajur kiri ialah HCF.

HCF bagi 12 dan 42 ialah 2 x 3 = 6 dan

HCF bagi 16, 32 dan 48 ialah 2 x 2 x 2 x 2 = 16.

Rujuk Contoh Aktiviti 1.13 di modul, halaman 38.

1.3.3 Penyelesaian Masalah Yang Melibatkan Nombor-Nombor Bulat

Adalah penting untuk mengaplikasikan kemahiran-kemahiran yang kita telah pelajari dalam matematik untuk menyelesaikan situasi-situasi seharian yang melibatkan pengiraan. Matematik menjadi semakin bermakna dan konsep matematik menjadi lebih mantap. Ini adalah sangat ketara dalam penyelesaian masalah-masalah.

Page 23: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 23

Lihat masalah berikut:

Masalah 1:

Sebuah lori aiskrim melawat kejiranan Jeannette setiap 4 hari sepanjang bulan-bulan Jun dan Julai. Malangnya, dia ketinggalannya hari ini (2 Jun). Bilakah lori tersebut akan melawat kejiranannya lagi?

Memahami masalah Lori itu datang setiap 4 hari.Selepas 2 Jun, bilakah ia akan datang lagi?

Rancang satu strategi Mencari gandaan bagi 4. Tambahkan gandaan-gandaan ini kepada 2.

Laksanakan strategi 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ........2 + 4 = 6, 2 + 8 = 10, 2 + 12 = 14, 2 + 16 = 18, ........

Semak jawapan Jika lori datang pada 2hb Jun, ia akan datang lagi pada 6hb Jun, 10hb Jun, 14hb Jun, dan seterusnya.

Penyelesaian: Tarikh seterusnya di mana lori aiskrim datang ialah 6hb Jun, 10hb Jun, 14hb Jun, 18hb Jun dan seterusnya.

Masalah 2:

Semasa bulan Jun dan Julai, satu lori aiskrim melawat kejiranan Jeannette setiap 4 hari dan satu lagi lori aiskrim melawat kejiranannya setiap 5 hari. Jika kedua-dua lori tersebut datang hari ini (2hb Jun), bilakah tarikh seterusnya di mana kedua-dua lori datang serentak lagi?

Memahami masalah Lori 1 datang setiap 4 hari.Lori 2 datang setiap 5 hari.Mereka datang serentak pada 2hb June.Selepas itu, bilakah mereka akan datang serentak lagi?

Rancang satu strategi Mencari gandaan bagi 4 dan 5. Mencari gandaan sepunya bagi 4 dan 5.Tambahkan gandaan-gandaan ini kepada 2.

Laksanakan strategi Lori 1: Hari-hari 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ........Lori 2: Hari-hari 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ..........Bersama-sama: 20, 40, ..........2 + 20 = 22, 2 + 40 = 42, ........

Semak jawapan Jika kedua-dua lori datang pada 2hb Jun, mereka akan datang serentak selepas 20 hari, kemudian selepas 40 hari dan seterusnya.

Penyelesaian: Tarikh seterusnya di mana kedua-dua lori datang serentak ialah 22hb Jun, 12hb July dan seterusnya.

Page 24: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 24

Perhatikan bahawa masalah di atas melibatkan pencarian gandaan sepunya terkecil (LCM) bagi nombor-nombor 4 dan 5.

Mari kita lihat beberapa masalah yang serupa.

Masalah 3:

Yusoff menjalani pemeriksaan kesihatan setiap 12 bulan dan satu pemeriksaan pergigian setiap 8 bulan. Pada 15hb April 2008, dia melawat doktor gigi dan pada hari yang sama, dia juga pergi menjalani pemeriksaan kesihatan. Bilakah kedua-dua temujanjinya akan datang serentak lagi?

Rancang satu strategi Memandangkan masalah ini berkaitan dengan gandaan-gandaan dan LCM, kita boleh menggunakan kaedah yang sama.

Laksanakan strategi Pemeriksaan kesihatan: 12, 24, 36, 48, 60, ........Pemeriksaan pergigian: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ........LCM: 24, 48, ..........

Penyelesaian: Kedua-dua temujanjinya akan datang serentak pada 15hb April 2010.

Masalah 4:

Mei Ling ada 3 gulung reben berukuran 36m, 48m dan 54m masing-masing. Dia ingin memotong reben-reben tersebut ke dalam panjang yang sama supaya tiada baki bagi setiap gulungan. Carikan panjang maksima bagi setiap potongan reben.

Memahami masalah Ketiga-tiga gulungan mesti dipotong dalam potongan yang sama panjang sehingga tiada baki.Apakah panjang maksima yang mungkin?

Rancang satu strategi Mencari faktor sepunya terbesar bagi 36, 48 dan 54.Laksanakan strategi 2 36, 48, 54

2 18, 24, 27 6, 8, 9 HCF = 2 x 3 = 6

Semak jawapan 36 ÷ 6 = 12, 48 ÷ 6 = 8, 54 ÷ 6 = 9.

Penyelesaian: Panjang maksima yang mungkin bagi setiap potongan reben ialah 6m.

Masalah 5:

Rita membuat 74 karipap, 48 muffin dan 60 tat telur untuk kanak-kanak tadika pada Hari Kanak-Kanak. Dia ingin menghidangkan ketiga-tiga jenis makanan di atas setiap piring. Makanan tersebut mesti dibahagi dengan sama rata dan tidak boleh ada sebarang baki. Apakah jumlah piring maksima yang dia akan guna? Berapa jumlah bagi setiap jenis makanan yang dia patut letak di atas setiap piring?

Page 25: Topik 1 Nombor-Nombor Bulat

TOPIK 1 NOMBOR-NOMBOR BULAT 25

Memahami masalah Jumlah bagi setiap jenis makanan yang diletakkan di atas setiap piring haruslah sama tanpa sebarang baki.

Rancang satu strategi Mencari faktor sepunya terbesar bagi 72, 48 dan 60.Laksanakan strategi 2 72, 48, 60

2 36, 24, 30 3 18, 12, 15 HCF = 2 x 2 x 3 = 12

6 4 5 Semak jawapan 72 ÷ 12 = 6, 48 ÷ 12 = 4, 54 ÷ 12 = 5.

Penyelesaian: Rita boleh menggunakan maksima 12 piring. Dalam setiap piring, terdapat 6 karipap, 4 muffin dan 5 tat telur.

Kamu adalah sangat digalakkan untuk menyediakan pelbagai jenis soalan penyelesaian masalah berdasarkan situasi-situasi seharian. Cuba mengintegrasikan nilai-nilai murni di dalam soalan-soalan tersebut. Juga, reka soalan-soalan yang menggalakkan kemahiran-kemahiran berfikir. Kamu boleh membahagikan para pelajar kamu dalam kumpulan-kumpulan bagi menyelesaikan masalah-masalah ini.