2. persamaan, pertidaksamaan dan fungsi kuadrat

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

A. Persamaan Kuadrat

1. Bentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0, a 0

2. Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b2 4ac 3. Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:

a2Db

x 2,1

=

4. Pengaruh determinan terhadap sifat akar: a. Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda b. Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional c. Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar-akar)

5. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat : ab

21 xx =+

6. Selisih akar-akar persamaan kuadrat : a

Dxx = 21 , x1 > x2

7. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat : ac

21 xx =

8. Persamaan kuadrat baru disusun dengan rumus : x2 (x1 +x2)x + x1x2 = 0 9. Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan persamaan kuadrat baru

a. 22

21 xx + = )(2)( 21221 xxxx +

b. 3231 xx + = ))((3)( 2121321 xxxxxx ++

B. Pertidaksamaan Kuadrat Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c 0, ax2 + bx + c 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0

Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut: 1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku) 2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari nilai akar-akar persamaan kuadratnya) 3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya:

No Pertidaksamaan Daerah penyelesaian Notasi Himpunan Penyelsaian

a atau >

HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau

Hp = {x | x x1 atau x x1} atau Hp = {x | x < x1 atau x > x1}

b atau <

HP ada tengah

Hp = {x | x1 x x2} atau Hp = {x | x1 < x < x2} atau

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN

11

C. Fungsi kuadrat 1. Bentuk umum fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c, a 0

2. Pengaruh determinan terhadap bentuk grafik fungsi kuadrat adalah: D a > 0 (fungsi minimum) a < 0 (fungsi maksimum)

D > 0

Grafik memotong sumbu X di dua titik

Grafik memotong sumbu X di dua titik

D = 0

Grafik menyinggung sumbu X

Grafik menyinggung sumbu X

D < 0

Grafik tidak menyinggung sumbu X

Grafik tidak menyinggung sumbu X

3. Bagian-bagian grafik fungsi kuadrat

a) Persamaan sumbu simetri : a

bex 2=

b) Nilai ekstrim fungsi : a

Dey 4=

c) Koordinat titik balik/ekstrim : (a

b

2 , aD

4 )

4. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat a) Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (xe, ye) dan sebuah titik tertentu (x, y): y = a(x xe)2 + ye b) Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x1, 0), (x2, 0), dan melalui sebuah

titik tertentu (x, y): y = a(x x1) (x x2)



12

SOAL PENYELESAIAN 1. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + (a 1)x +

2 = 0 adalah dan . Jika = 2 dan a > 0 maka nilai a = a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 8

= 2 (i) =

a

c

2 = 12

22 = 2 2 = 1

= 1 = 1 atau = 1

+ = a

b

2 + = 1

)1a(

3 = 1 a 3(1) = 1 a

a = 1 + 3 = 4 ...(c)

2. Jika (x + a)(x 3) = x2 + 6x 27, maka nilai a sama dengan a. 9 b. 2 c. 2 d. 3 e. 9

(x + a)(x 3) = x2 + 6x 27 x

2 + ax 3x 3a = x2 + 6x 27

x2 + (a 3)x 3a = x2 + 6x 27

maka di peroleh: 3a = 27

a = 9 (e)

Jabarkan ruas kiri, Gunakan kesamaan dua ruas

3. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan adalah a. 2x2 3x 2 = 0 b. 2x2 + 3x 2 = 0 c. 2x2 3x + 2 = 0 d. 2x2 + 3x + 2 = 0 e. 2x2 5x + 2 = 0

Rumus persamaan kuadrat baru adalah : x

2 (x1 + x2)x + (x1 x2) = 0

x2 ( 2 + )x + ( 2 ) = 0 x2 (1 )x + ( 1 ) = 0 {x2 ( 23 )x 1 = 0}x 2 2x2 + 3x 2 = 0 .(b)

4. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat 2x2 4x + 1 = 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

dan

adalah

a. x2 6x + 1 = 0 b. x2 + 6x + 1 = 0 c. x2 3x + 1 = 0 d. x2 + 6x 1 = 0 e. x2 8x 1 = 0

Untuk soal model ini hanya bisa dengan 1 cara karena akar-akarnya beda atau x1 x2

Pers kuadrat lama : 2x2 4x + 1 = 0, a = 2, b = 4, c = 1

Akar-akar persamaan kuadrat baru

x1 =

dan x2 =

(i) x1 + x2 =

+

=

22 +

=

)(2)( 2 +

=

21

212

24 )(2)(

= { }12 416 = 2(4 1) = 6

(ii) x1 x2 =

= 1

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah x

2 (x1 + x2)x + (x1 x2) = 0

x2 6x + 1 = 0 ..(a)



13

SOAL PENYELESAIAN 5. Persamaan kuadrat 2x2 + 3x 5 = 0,

mempunyai akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2x1 3) dan (2x2 3) adalah a. 2x2 + 9x + 8 = 0 b. x2 + 9x + 8 = 0 c. x2 9x 8 = 0 d. 2x2 9x + 8 = 0 e. x2 + 9x 8 = 0

Cara II. Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah: = = 2x 3 = 2x 3, maka 2x = + 3

x = 2

3+

Substitusikan nilai x ke pers. Kuadrat lama 2x2 + 3x 5 = 0

( ) ( )23223 32 ++ + aa 5 = 0 405

293

4)96(2 2

=

++

++ aaa

2(a2 + 6a + 9) + 2(3a + 9) 20 = 0 2a2 + 12a + 18 + 6a + 18 20 = 0 2a2 + 18a + 16 = 0 a2 + 9a + 8 = 0 x2 + 9x + 8 = 0 (b)

Pers kuadrat lama : 2x2 + 3x 5 = 0, a = 2, b= 3, c = 5 Cara I Akar-akar persamaan kuadrat baru = 2x1 3 dan = 2x2 3

(i) + = 2x1 3 + 2x2 3 = 2(x1 + x2) 6 = 2 )(

ab

6 = 2 )( 23 6 = 3 6 = 9 (ii) = (2x1 3) (2x2 3)

= 4(x1x2) 6x1 6x2 + 9 = 4(x1x2) 6(x1+x2) + 9 = 4 )(

ac

6 )(ab

+ 9

= 4 )( 25 6 )( 23 + 9 = 10 + 9 + 9 = 8

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah x

2 ( + )x + ( ) = 0

x2 ( 9)x + 8 = 0 x2 + 9x + 8 = 0 (b)

PILIH CARA YANG KAMU SUKAI

6. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan x2 + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-

akarnya 21

22xx

+ dan x1 + x2 adalah

a. x2 2p2x + 3p = 0 b. x2 + 2px + 3p2 = 0 c. x2 + 3px + 2p2 = 0 d. x2 3p2x + p2 = 0 e. x2 + p2x + p = 0

Untuk soal model ini hanya bisa dengan cara I karena akar-akarnya beda atau

Pers kuadrat lama : x

2 + px + 1 = 0, a = 1, b = p, c = 1

Akar-akar persamaan kuadrat baru

= 21

22xx

+ dan = x1 + x2

(i) + = 21

22xx

+ + (x1 + x2)

=

21

21 22xx

xx

+ + (x1 + x2)

=

21

21 )(2xx

xx

+ + (x1 + x2)

=

11)(2 pp

+

= 3p

Persamaan kuadrat barunya adalah x

2 ( + )x + ( ) = 0

Dengan melihat hasil + maka jawaban yang benar sudah dapat diketahui yaitu .(c)

karena nilai dari : ( + )x = (3p)x = 3px untuk meyakinkan perhitungan, silahkan dicari pula nilai dari

(ii) = .. ?



14

SOAL PENYELESAIAN 7. Kedua akar persamaan x2 2px + 3p = 0

mempunyai perbandingan 1 : 3. Nilai dari 2p adalah a. 4 b. 2 c. 2 d. 4 e. 8

Perbandingan akar-akarnya 1 : 3, maka

31

2

1=

x

x

x2 = 3x1

(i) x1 + x2 = a

b

x1 + 3x1 = ( 2p) 4 x1 = 2p x1 = p

(ii) x1 x2 = a

c

x1 3x1 = 3p

23

2pp

= 3p

3p2 = 12p 3p2 12p = 0 3p(p 4) = 0 p = {0, 4}

Jadi, nilai 2p = 0 atau 8 .(e)

8. Persamaan kuadrat mx2 + (m 5)x 20 = 0, akar-akarnya saling berlawanan. Nilai m = a. 4 b. 5 c. 6 d. 8 e. 12

Akar-akar nya saling berlawanan, maka: x1 = x2

x1 + x2 = a

b

x2 + x2 = m

m )5(

0 = m

m 5+, maka diperoleh

m + 5 = 0 m = 5 .(b)

9. Persamaan kuadrat (k + 2)x2 (2k 1)x + k 1 = 0 mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah

a. 89

b. 98

c. 25

d. 52

e. 51

Akar-akarnya nyata dan sama, maka x1 = x2 dan D = 0 (i) D = b2 4ac

0 = (2k 1)2 4(k + 2) (k 1) 0 = (4k2 4k + 1) 4(k2 +k 2) 0 = 4k2 4k + 1 4k2 4k + 8 0 = 8k + 9 8k = 9 k = 8

9

(ii) x1 + x2 = a

b =

212

+

kk

=

( )212

8989

+

=

825

88

818

= 258

810 = 5

2 .(d)



15

SOAL PENYELESAIAN 10. Agar persamaan kuadrat x2 + (a 1)x a + 4

= 0 mempunyai dua akar nyata berbeda, maka nilai a yang memenuhi adalah a. a < 5 atau a > 3 b. a < 3 atau a > 5 c. a < 3 atau a > 5 d. 5 < a < 3 e. 3 < a < 5

Persamaan kuadrat memiliki dua akar nyata berbeda, maka D > 0 D > 0

b2 4ac > 0 (a 1)2 4 (1)( a + 4) > 0 a2 2a + 1 + 4a 16 > 0 a2 + 2a 15 > 0 (a + 5)(a 3) = 0

a = { 5, 3} karena tanda pertidaksamaannya > , maka HP menggunakan tanda hubunga atau ...(a)

11. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x

2 7x + 10 0 adalah

a. {x | x 5 atau x 2, x R} b. {x | x 2 atau x 5, x R} c. {x | x < 2 atau x > 5, x R} d. {x | 5 x 2, x R} e. {x | 2 x 5, x R}

Pertidaksamaan : x2 7x + 10 0

Pembentuk nol : x2 7x + 10 = 0 (x 2)(x 5) = 0

x = {2, 5}

Karena tanda pertidaksamaannya , maka HP ada di tepi dengan kata hubung atau ....(b)

12. Himpunan penyelesaian dari x(2x + 5) < 12 adalah a. {x | x < 4 atau x > 23 , x R} b. {x | x < 23 atau x > 4, x R} c. {x | 4 < x < 23 , x R} d. {x | 23 < x < 4, x R} e. {x | 4 < x < 23 , x R}

Pertidaksamaan : x(2x + 5) < 12 2x2 + 5x 12 < 0

Pembentuk nol : 2x2 + 5x 12 = 0 ( x + 4)(2x 3)= 0 x = {4, 23 }

Karena tanda pertidaksamaannya



16

SOAL PENYELESAIAN 14. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui

titik A(1, 0), B(3, 0), dan C(0, 6) adalah a. y = 2x2 + 8x 6 b. y = 2x2 + 8x 6 c. y = 2x2 8x + 6 d. y = 2x2 8x 6 e. y = x2 + 4x 6

Karena grafik memotong sumbu X di A(1, 0), B(3, 0), dan memotong sumbu Y di C(0, 6), maka gunakan rumus: y = a(x x1)(x x2) (i) tentukan nilai a

y = a(x x1)(x x2) 6 = a(0 1)(0 3) 6 = 3a a = 2

(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x x1)(x x2) y = 2 (x 1)(x 3)

= 2 (x2 4x + 3) = 2x2 + 8x 6(b)

15. Persamaan grafik fungsi kuadrat dari grafik di bawah ini adalah a. y = )5)(1(21 + xx b. y = )5)(1(52 + xx c. y = )5)(1(53 + xx d. y = )5)(1(32 + xx e. y = )5)(1(54 + xx

Karena grafik memotong sumbu X di (1, 0), dan (5, 0), serta memotong sumbu Y di (0, 3), maka gunakan rumus: y = a(x x1)(x x2) (i) tentukan nilai a

y = a(x x1)(x x2) 3 = a(0 + 1)(0 5) 3 = 5a a = 5

3

Dengan melihat nilai a, sudah dapat diketahui jika jawaban yang benar adalah .. (c)

16. Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai maksimum 5 untuk x = 2, sedang f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah a. f(x) = x2 + 2x + 3 b. f(x) = x2 + 2x + 3 c. f(x) = x2 2x 3 d. f(x) = 2x2 + 2x + 3 e. f(x) = 2x2 + 8x 3

Karena grafik memiliki titik ekstrim (2, 5) dan melalui itik (4, 3), maka gunakan rumus: y = a(x xe)2 + ye (i) tentukan nilai a

y = a(x xe)2 + ye 3 = a(4 2)2 + 5 3 5 = 4a 4a = 2

a = 21

(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x xe)2 + ye y = 2

1 (x 2)2 + 5

= 21

(x2 4x + 4) + 5 = 2

1 x

2 + 2x 2 + 5

= 21

x2 + 2x + 3 .(b)



17

SOAL PENYELESAIAN 17. Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar

adalah a. y = 2x2 + 4x + 3 b. y = 2x2 + 4x + 2 c. y = x2 + 2x + 3 d. y = 2x2 + 4x 6 e. y = x2 + 2x 5


y = a(x xe)2 + ye 3 = a(0 1)2 + 4 3 4 = a a = 1

(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x xe)2 + ye y = 1 (x 1)2 + 4

= (x2 2x + 1) + 4 = x

2 + 2x 1 + 4

= x2 + 2x + 3 .(c)

18. Grafik fungsi kuadrat dengan titik balik (1, 4) dan melalui titik (2, 3), memotong sumbu Y di titik a. (0, 3) b. (0, 2 ) c. (0, 2) d. (0, 1 ) e. (0, 1)

(iii) grafik memotong sumbu Y, maka x = 0 y = x2 2x + 3 y = 02 2(0) + 3 = 3 Jadi, grafik memotong sumbu Y di titik (0, 3) .(a)


y = a(x xe)2 + ye 3 = a( 2 + 1)2 + 4 3 4 = a a = 1

(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x xe)2 + ye y = 1 (x + 1)2 + 4

= 1 (x2 + 2x + 1) + 4 = x

2 2x 1 + 4

= x2 2x + 3

19. Akar-akar persamaan x2 px + p 3 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai minimum dari 22

21 xx + 2x1x2

dicapai untuk p = a. 16 b. 12 c. 8 d. 4 e. 2

(i) 2221 xx + 2x1x2 = (x1 x2)2

=

2

a

D = 2a

D

(ii) D = b2 4ac (determinan pers. Awal) = p2 4(1)(p 3) = p2 4p + 12

maka :

22

21 xx + 2x1x2 = 1

1242 + pp

y = p2 4p + 12 (pers. Baru) Nilai minimum dari persamaan baru di atas adalah :

ye = a

D4

= )1(4)12)(1(4)4( 2

= 4 + 12 = 8 (c)



18

SOAL PENYELESAIAN 20. Sebuah kawat yang panjangnya 10 meter

akan dibuat bangun yang berbentuk 3 persegi panjang kongruen seperti gambar di bawah ini. Luas maksimum daerah yang dibatasi oleh kawat tersebut adalah a. 3,00 m2 b. 6,00 m2 c. 6,25 m2 d. 6,75 m2 e. 7,00 m2

(i) Keliling k k = 5a + 5b 10 = 5a + 5b 2 = a + b b = 2 a

(ii) Luas l l = 3ab = 3a(2 a)

= 6a 3a2

le = a

D4

= )3(4)0)(3(462

=

1236

= 3 .(a) 21. Untuk memproduksi x unit barang per hari

diperlukan biaya (2x2 8x + 15) ribu rupiah. Bila barang tersebut harus dibuat, biaya minimum diperoleh bila per hari diproduksi sebanyak unit a. 1 b. 2 c. 5 d. 7 e. 9

y = 2x2 8x + 15

xe = a

b2

= )2(28

= 2 (b)

2. persamaan, pertidaksamaan dan fungsi kuadrat

Documents