BAB 3 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Penerbit Erlangga

Kompetensi Dasar

•Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaanlinear.

•Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

•Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

•Menyelesaikan sistem persamaan.

A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEARPersamaan adalah Kalimat terbuka yang memuat tanda “sama dengan”

atau “=“Pertidaksaman adalah kalimat terbuka yang memuat tanda ≤,≥,≠,<,>

1. Persamaan LinearPersamaan Linear adalah suatu persamaan

yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi satu2. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi satu

Contoh soal persamaan Linear 1 variabel5x+6=21⇔5x=15⇔x=3

Contoh soal pertidaksamaan Linear 1 variabel

3a-6<9⇔3a<15⇔a<5

3. Aplikasi Persamaan dan pertidaksamaan Linear

Langkah untuk menyelesaikan masalah sehari hari dengan persamaan atau pertidaksamaana) Terjemahkan masalah tersebut ke dalam

masalah matematika b) Selesaikan dengan metode yang telah ada

B. Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat1. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang mempunyai variable dengan pangkat tertinggi dua.

Bentuk umum

Ax2+bx+c=0 dengan a≠0; a,b,c ∈ R

Menentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat dapat digunakan :

1. Metode faktorisasi 2. Melengkapkan kuadrat sempurna 3. Rumus abc

Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara1. Memfaktorkan

ax² + bx + c = 0  ax² + bx + c = 0 a (x + p/a) (x + p/a) = 0 x1 = - p/a dan x2 = - q/adengan p.q = a.c dan p + q = b

2. Melengkapkan bentuk kuadratpersamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi(x + p)² = q² √ x + p = ± qx1 = q - p dan x2 = - q - p

3. Rumus ABCax² + bx + c = 0  x1,2 = ( [-b ± √(b²-4ac)]/2abentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehinggasehingga X1,2 = (-b ± √D)/2a

c. Jenis jenis akar persamaan kuadrat bergantung pada diskriminan (D).

a. Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.

a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya rasional

b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya irasional.

b. Jika D= 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (kembar), real dan rasional.

c. Jika D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner)

•Contoh Menyelesaikan Persamaan Kuadrat menggunakan Metode Pemfaktoran

x2 – 5 x + 6 = 0<=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0<=> x- 2 = 0 atau x - 3 = 0<=> x = 2 atau x = 3

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

• Contoh Menyelesaika Persamaan Kuadrat menggunakan Metode Melengkapkan Kuadrat

Cari solusi dari x2 + 2x – 15 = 0

Jawabx2 + 2x – 15 = 0x2 + 2x = 15

Agar x2 + 2x menjadi bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien x + (½ x 2)2 = 12 = 1

Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :

x2 + 2x + 1 = 15 + 1<=> (x + 1)2 = 16<=> x + 1 = ± √16<=> x + 1 = ± 4<=> x + 1 = 4 atau x + 1 = -4<=> x = 4 - 1 atau x = -4 -1<=> x = 3 atau x = -5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

Contoh Menyelesaika Persamaan Kuadrat menggunakan Metode Rumus abc

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan x2 + 4x – 12 = 0

a =1 b = 4 c = -12Jawab : 

x1,2 = - b ± √b2 – 4ac

2a  <=> x1,2 = - 4 ± √42 – 4 x 1x (-12)

2 x 1<=> x1,2 = - 4 ± √16 + 48

2

<=> x1,2 = - 4 ± √64

2 <=> x1,2 = - 4 ± 8

2  <=> x1,2 = - 4 + 8 atau x1,2 = - 4 - 8

2 2

<=> x1 = 2 atau x2 = -6

• jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}

2. Pertidaksamaan Kuadratadalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua. Langkah-langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

•Langkah langkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

1. Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk persamaan kuadrat

2. Tentukan akar-akar persamaan kuadratnya 3. Buat garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut4. Pilih interval yang memenuhi pertidaksamaan

ContohSelesaikan persamaan x² – 5x + 6 > 0Jawab :

1. Setelah difaktorkan maka diperoleh: (x-2) (x – 3) > 0

2. Analisis▫ Jika ke dua faktor positif maka:

x -2>0 dan x-3>0 sehingga diperoleh: x>3

▫ (ii).Jika ke dua faktor negatif, maka: x -2<0 dan x-3<0 sehingga diperoleh: x<3

3. Solusi secara umum dari pertidaksamaan diatas ialah {x ∈ R| x <2 atau x>3}

C. SISTEM PERSAMAAN• Sistem persamaan ialah kumpulan satu atau lebih

persamaan linear atau nonlinear

• Sistem persamaan terbagi menjadi 3▫Sistem Persamaan Linear dua variabel ▫Sistem Persamaan Linear tiga variabel▫Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

• Menyelesaikan sistem persamaan linear ▫Metode Eliminasi ▫Metode Subsitusi ▫Metode Eliminasi subsitus

Contoh penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi

Yuanita membeli dua penghapus dan dua pensil dengan harga Rp. 14.000,00, sedangkan Reza membeli satu penghapus dan tiga pensil dengan harga Rp 17.000,00

Jawab : Kita misalkan : Harga sebuah penghapus= p rupiah Harga sebuah pensil = b rupiah

Diperoleh model matematika : 2p + 2b = 14.000,00 p + 3b = 17.000,00

Kita selesaikan sistem persamaan di atas dengan mengeleminasi p

2p + 2b = 14.000,00 x 1 → 2p + 2b = 14.000 p + 3b = 17.000,00 x 2 → 2p + 6b = 34.000 _ -4b = - 20.000 ⇔ b = 5.000

Subtitusikan b = 5.000 ke p + 3b = 17.000 p + 3. 5000 = 17.000 ⇔ p + 15.000 = 17.000 ⇔ p = 2.000 Jadi, harga sebuah penghapus adalah Rp. 2.000,00 dan

harga sebuah pensil adalah Rp. 5.000,00

Contoh penyelesaian SPL menggunakan Metode Subsitusi

Uang Ana Rp. 150.000,00 lebihnya dari uang Faisal. Jika tiga kali uang Ana ditambah dua kali uangnya Faisal jumlahnya adalah Rp. 950.000,00. Tentukan besar masing- masing uang Ana dan Faisal!

Jawab : Misal : Besar uang Ana = a rupiah

Besar uang Faisal = b rupiah Diperoleh model matematika : a = b + 150.000 3a + 2b = 950.000

Kita selesaikan sistem persamaan di atas dengan subtistusi a = b + 150.000 kita substitusikan pada 3a + 2b = 950.000

3(b + 150.000) + 2b = 950.000 ⇔ 3b + 450.000 + 2b = 950.000 ⇔ 5b = 500.000 ⇔ b = 100.000 Substitusikan b = 100.000 ke a = b+ 150.000 a = 100.000 + 150.000

⇔ a = 250.000

Jadi, besar uang Ana adalah Rp. 250.000,00 dan besar uang Faisal adalah Rp. 100.000,00

Contoh menyelesaikan SPL dengan menggunakan metode eliminasi subsitusi

• Cari nilai x dan y dari sistem persamaan berikut2x - 3y = 7………………(1)3x – 2 y = 4………………(2)

Jawab : Menghilangkan salah satu variabel 2x -3 y = 7 x 1 2x – 3y = 73x + y = 6 x 3 9x + 3y = 18 +

11x = 25 x = 25/11

Subsitusikan x = 25/11 ke persamaan (1) yaitu :

2(25/11) – 3y = 7⇔ 3y = 50/11 – 7⇔ 3y = - 27/11⇔ y = - 9/11

Jadi, Hp = { 25/11, -9/11 }

Sumber

•Kasmina, Suhendra,dkk (2008).  Matematika Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian untuk SMK dan MAK kelas X, Jakarta: Penerbit Erlangga.

•Sumber lain .