3. Sebaran Peluang Diskrit

EL2002-Probabilitas dan StatistikDosen: Andriyan B. Suksmono

Isi

1. Sebaran seragam (uniform)

2. Sebaran binomial dan multinomial

3. Sebaran hipergeometrik

4. Sebaran Poisson

5. Sebaran binomial negatif dan geometrik

3.1 Sebaran seragam

Sebaran seragam (uniform)• Merupakan sebaran peluang diskrit yang paling sederhana dimana

suatu peubah acak memiliki nilai peluang yang semuanya sama

• Sebaran Seragam: Jika suatu peubah acak X dengan nilai x1, x2, …, xk, memiliki peluang yang sama, maka sebaran diskrit seragamnya diberikan oleh

f(x;k) = (1/k) ; x= x1, x2, …, xk\

• Notasi f(x;k) dipakai sbg pengganti f(x) untuk menegaskan ketergantungan f pada k;

• Contoh 3.1: Dalam pelantunan dadu, setiap anggota dari ruang cuplikan S={1, 2, 3, 4, 5, 6} muncul dengan peluang (1/6). Dengan demikian, sebaran peluangnya adalah seragam dengan f(x;6) = 1/6 ; x=1, 2, 3, 4, 5, 6.

1/6 f(x;6)

1 2 3 4 5 6x

Mean dan Variansi• Teorema 3.1: Mean dan variansi dari sebaran peluang seragam

f(x;k) adalah

k

iix

k 1

1

k

iix

k 1

22 1

BUKTI

k

ii

k

i

ik

iii x

kk

xkxfxXE

111

1;

k

ii

k

i

ii

k

ii

xk

k

xkxfxXE

1

2

1

2

1

222

1

;

Contoh 3.3• Berdasarkan contoh 3.1 ttg pelemparan dadu,

maka kita peroleh mean dan variansi sbb

= (1/6)(1+2+3+4+5+6) = 3.5

2 = {(1-3.5)2 + (2-3.5)2 + (3-3.5)2 + (4-3.5)2

+(5-3.5)2 + (6-3.5)2 }/6 = 35/12

3.2 Sebaran Binomial dan Multinomial

Sebaran binomial• Eksperimen berulang yang menghasilkan dua macam keluaran dng

label berhasil atau gagal disebut sebagai eksperimen binomial. • Eksperimen binomial harus memenuhi sifat-sifat berikut ini:

1. Eksperimen terdiri dari n buah percobaan berulang2. Setiap percobaan memberikan hasil yang dapat disebut atau dilabeli

sebagai berhasil atau gagal.3. Peluang berhasil yang disebut p bersifat tetap sepanjang percobaan.4. Percobaan yang satu bersifat bebas secara statistik dari percobaan yang

lain.

• Contoh eksperimen binomial: – pengamatan keluaran H dari pelantunan koin– Pengambilan acak kartu menghasilkan kartu warna hitam dari

satu set kartu, setelah diambil kartu dikembalikan dan dikocok• Pada kasus terakhir, jika kartu tak dikembalikan, p akan berubah dari

½ menjadi 26/51 atau 25/51, dengan demikian syarat 3 tdk dipenuhi. Akibatnya, eksperimen ini tdk bisa disebut sbg eksperimen binomial

Ilustrasi• Tinjau percobaan binomial dari pengambilan tiga buah produk dari

proses manufaktur secara acak, kemudian diamati dan diklasifikasikan sebagai cacat atau tidak cacat. Jika produk cacat, pengamatan disebut berhasil. Jumlah keberhasilan ini disebut sbg peubah acak X yang bernilai bulat antara 0 sampai 3. Berikut ini 8 kemungkinan hasilnya:

Hasil pengamatan x

NNN 0

NDN 1

NND 1

DNN 1

NDD 2

DND 2

DDN 2

DDD 3

• Produk dipilih secara acak dari proses manufaktur yang menghasilkan 25% produk cacat, makaP(NDN)=P(N)P(D)P(N) = (3/4)(1/4)(3/4) = 9/64

• Peluang hasil yang lain dapat dihitung dengan cara yang sama. Hasil perhitungan sebaran peluang dari X sbb:

x 0 1 2 3

f(x) 27/64 27/64 9/64 1/64

Peubah acak binomial

• Sebaran peluang dari peubah acak binomial X disebut sebaran binomial dan dituliskan sbg b(x; n, p) karena nilainya bergantung pada jumlah percobaan dan peluang sukses untuk percobaan yang diberikan.

• Untuk sebaran peluang binomial X pada contoh sebelumnya, nilai atau banyaknya produk cacat adalah:

P(X=2) = f(2) = b(2;3,1/4)• Formula umum untuk b(x; n, p)

– Tinjau peluang x buah sukses dan n-x gagal untuk urutan tertentu. Karena percobaan saling bebas, nilai peluang akan sama dengan perkalian peluang masing-masing. Setiap sukses muncul dng peluang p, sedangkan gagal dng peluang q=1 – p. Dengan demikian peluang satu eksperimen adalah pxqn-x.

– Jumlah total titik cuplikan dari x sukses dan n-x gagal adalah partisi keluaran eksperimen kedalam dua kelompok, x dikelompok pertama dan n-x dikelompok kedua, yakni C(n,x). Dng demikian hslnya adalah C(n,x) dikalikan dengan pxqn-x. Kita formulasikan sbb:

• Definisi 3.1: Jumlah keberhasilan X dalam percobaan binomial disebut sebagai peubah acak binomial.

Rumus sebaran binomial• SEBARAN BINOMIAL. Jika suatu percobaan binomial menghasilkan

keluaran berhasil/sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q=1-p, maka sebaran peluang dari peubah acak binomial X, yakni banyaknya keberhasilan dalam n buah percobaan yang saling bebas adalah

• Untuk kasus dimana n=3 dan p=1/4, sebaran peluang X yng menyatakan banyaknya produk cacat, dpt ditulis sbg (bandingkan dng tabel hasil sebelumnya)

b(x;3, 1/4) = C(3,x)(1/4)x(3/4)3-x ; x = 0, 1, 2, 3• Contoh 3.4: Peluang bahwa komponen tertentu lolos uji kejut adalah ¾.

Tentukan peluang bahwa tepat dua dari empat komponen lolos uji kejut.• Jawab: Dengan mengasumsikan uji ini saling bebas dan p=3/4 dari setiap

pengujian, maka

b(2;4,3/4) = C(4,2)(3/4)2(1/4)2 = [4!/(2!2!)](32/44) = 27/128

nxqpx

npnxb xnx ...,,2,1,0;,;

Nilai peluang• Seringkali kita perlu menghitung P(X<r) atau P(aXb). Ini bisa

ditentukan dengan penjumlahan binomial B(r;n,p)=rx=0 b(x;n,p) yang

nilainya sudah ditabulasikan (lihat Table II dalam Buku acuan). Berikut ini contoh pemakaian tabel tsb.

• Contoh 3.5: peluang seorang pasien dapat sembuh dari suatu jenis penyakit langka adalah 0.4. Jika ada 15 orang yang terinfeksi, berapa peluang bahwa: (1) sedikitnya 10 orang sembuh, (2) 3~8 orang sembuh, dan (3) tepat 5 orang sembuh.

• Jawab:

P(X10) =1-P(X<10) = 1- 9x=0b(x;15,0.4) = 1-0.9662

=0.0338

P(3X8) = 8x=0b(x;15,0.4)- 2

x=0b(x;15,0.4) = 0.9050-0.0271= 0.8799

P(X=5) = b(5;15,0.4) = 5x=0b(x;15,0.4)- 4

x=0b(x;15,0.4)=0.4032 – 0.2173 = 0.1859

Mean dan variansi sebaran binomial• Torema 3.2: Nilai mean dan variansi dari sebaran binomial

b(x;n,p) adalah = np dan 2 = npq

• Bukti: andaikan Ij menyatakan keluaran bernilai 0 atau 1 dng peluang masing-masing q dan p. Ij disebut sebagai peubah Bernoulli atau lbh tepat lagi peubah indikator karena Ij=0 adalah indikator kegagalan, sedangkan Ij=1 menyatakan keberhasilan. Dengan demikian, jumlah keberhasilan adalah

X=I1 + I2 + … +In.Mean dr sebarang nilai Ij adalah E(Ij) =0q + 1p = p. Berdasarkan Corollary dari Teorema 2.4, mean menjadi

= E(X) = E(I1) + E(I2) + … + E(In) = p + p + … + p = np

Sedangkan variansi dari sebarang Ij adalah 2

Ij = E[(Ij - p)2] = E(I2j) –p2 =[ 02q+12p ]– p2 = p(1-p) = pq

Berdasar Teorema 2.11, Corollary 1, maka: 2

Ij = 2I1 + 2

I2 + … + 2In = pq + pq + … + pq = npq

Contoh 3.6• Soal: Dengan teorema Chebyshev, tentukan dan tafsirkan

interval 2 untuk contoh 3.5• Jawab: Karena contoh 3.5 adalah eksperimen binomial

dengan n=15 dan p=0.4, dari Teorema 3.2 kita dapatkan

= (15)(0.4) = 6 dan 2=(15)(0.4)(0.6) = 3.6atau =3.6 = 1.897.

Dengan demikian, interval yang dimaksud adalah 62(1.897) atau dari 2.206 sampai dengan 9.794.

Teorema Chebyshev menyatakan bahwa laju penyembuhan 15 pasien akibat penyakit tsb punya peluang sedikitnya ¾ untuk jatuh diantara 2.206 dan 9.794.

Sebaran multinomial• Jika hasil eksperimen bukan hanya dua macam tetapi lebih,

eksperimen binomial berubah menjadi eksperimen multinomial.• Contoh:

– Klasifikasi produk manufaktur menjadi 3 golongan: “berat”, “ringan”, atau “masih dapat diterima” (acceptable)

– Pencatatan kecelakaan lalulintas diperempatan jalan menurut hari-hari dalam seminggu

– Penarikan kartu secara acak, kemudian digolongkan sebagai salah satu dari{,,,}.

• Secara umum, jika percobaan menghasilkan k macam keluaran E1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …, pk, maka sebaran multinomial menyatakan peluang peristiwa E1 terjadi x1 kali, E2 muncul x2 kali, …, dan Ek muncul xk kali dalam percobaan saling bebas dimana

x1 + x2 + … + xk = n.Kita tuliskan sebaran peluang multinomial sebagai

f(x1, x2, …, xk; p1, p2, …, pk, n)Jelas bahwa

p1 + p2 + … + pk = 1.

Perhitungan sebaran multinomial• Kita ambil analogi dengan kasus binomial. Setiap percobaan

saling bebas, karena itu untuk urutan tertentu, ada x1 keluaran dari E1, x2 keluaran dari E2, …, xk keluaran dari Ek, dengan peluang p1

x1, p2x2, .., pk

xk.

• Total jumlah urutan dng keluaran yang sama untuk n percobaan akan sama dengan jumlah partisi n benda kedalam k kelompok, x1 kelompok pertama, x2 kelompok kedua, …, xk kelompok ke-k, yang dapat dilakukan sebanyak

cara. Setiap partisi muncul secara mutually exclusive dengan peluang yang sama, sehingga diperoleh sebaran multinomial.

!...!!

!

...,,, 2121 kk xxx

n

xxx

n

Rumus sebaran multinomial• SEBARAN MULTINOMIAL. Jika suatu percobaan dapat

memberikan k-jenis hasil E1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …, pk, maka sebaran peluang dari peubah acak X1, X2, …, Xk, yang menyatakan kemunculan dari E1, E2, …, Ek didalam n-kali percobaan yang saling-bebas adalah

dimana

kxk

xx

kkk ppp

xxx

nnpppxxxf ...

...,,,,...,,,;...,,, 21

2121

2121

111

k

ii

k

ii pdannx

• Istilah sebaran multinomial muncul karena suku-suku ekspansi multinomial (p1 + p2 + … + pk)2 berkaitan dengan semua nilai yang mungkin dari f(x1, x2, …, xk; p1, p2, …, pk, n)

Contoh 3.7• Soal: Jika sepasang dadu dilantunkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan

jumlah total 7 atau 11 sebanyak 2-kali, keduanya tepat sama sebanyak 1-kali, dan kombinasi lain sebanyak 3-kali?

• Jawab: Kejadian yang muncul kita sebut

E1 : jumlah total mata kedua 7 atau 11

E2 : muncul pasangan dadu dng mata sama

E3 : bukan pasangan bermata sama maupun jumlah total-nya 7 atau 11

Masing-masing dengan peluang

p1 = (6+2)/36= 2/9, p2 = 6/36=1/6, dan

p3 = 22/36=11/18. Nilai peluang tetap

untuk 6 kali pelantunan. Dengan menggunakan sebaran multinomial x1 = 2, x2=1, dan x3 = 3, nilai peluangnya adalah

Mata Dadu

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

1127.018

11

6

1

9

2

!3!1!2

!6

18

11

6

1

9

2

3,1,2

66,

18

11,

6

1,

9

2;3,1,2

32

32

f

Latihan• Bab 2: 58, 61, 64

• Bab 3: 7

3.3 Sebaran Hipergeometrik

Pendahuluan• Contoh sebelumnya menunjukkan bahwa sebaran binomial tidak

berlaku untuk, misalnya, pengambilan 3 kartu merah dalam 5 kali pengambilan acak tanpa mengembalikan dan mengocok lagi.

• Tinjau pengambilan 5 kartu secara acak lalu hitung peluang munculnya 3 kartu merah dari 26 yang ada dan 2 kartu hitam dari 26 sisanya. Ada C(26,3) cara untuk mengambil kartu merah dan C(26,2) cara untuk kartu hitam. Jadi, total akan ada C(26,3)C(26,2) untuk eksperimen ini. Tetapi, ada C(52,5) cara untuk mengambil 5 dari 52 kartu tanpa penggantian sehingga peluang terambil 3 kartu merah dan 2 hitam adalah.

C(26,3)C(26,2)/C(52,5) = 0.3251• Contoh diatas menggambarkan eksperimen hipergeometrik. Kita ingin

menghitung peluang x buah dari pengambilan k benda yang dinamakan sukses dan n - x gagal dari N-k benda yang dilabeli sebagai gagal jika n buah cuplikan acak diambil dari N benda.

• Ada dua sifat dasar eksperiman hipergeometrik1. Pencuplikan dilakukan scr acak sebanyak n diambil dari N buah benda2. k dari N item digolongkan sukses, sdngkan N-k sisanya disebut gagal,

Peubah acak hipergeometrik• Definisi 3.2. Banyaknya X sukses dalam suatu

eksperimen hipergeometrik disebut sebagai peubah acak hipergeometrik.

• Sebaran peluang dari peubah acak hipergeometrik X disebut sebagai sebaran hipergeometrik dan dituliskan sebagai h(x; N, n, k) karena nilainya bergantung pada:– jumlah keberhasilan k– diambil dari kumpulan yang berisi N benda– kita memilih n buah dari kumpulan N benda tsb

Ilustrasi• Tinjau contoh 3.8 berikut. Suatu komite yang terdiri dari 5 orang dipilih

secara acak dari 3 orang Kimiawan dan 5 Fisikawan. Tentukan sebaran peluang dari jumlah Kimiawan dalam komite tsb.

• Jawab: Andaikan peubah acak X menyatakan jumlah Kimiawan dalam komite, kedua syarat eksperimen hipergeometrik menjadi terpenuhi. Dng demikian:

P(X=0) = h(0; N=8, n=5, k=3) = C(3,0)C(5,5)/C(8,5) = 1/56

P(X=1) = h(1;8,5,3) = C(3,1)C(5,4)/C(8,5) = 15/56

P(X=2) = h(2;8,5,3) = C(3,2)C(5,3)/C(8,5) = 30/56

P(X=3) = h(3;8,5,3) = C(3,3)C(5,2)/C(8,5) = 10/56• Dalam bentuk tabel

• Dan dalam bentuk formula

h(x;8,5,3) = C(3,x)C(5, 5-x)/C(8,5), x=0, 1, 2, 3

x 0 1 2 3

h(x; 8, 5, 3) 1/56 15/56 30/56 10/56

Sebaran hipergeometrik• SEBARAN HIPERGEOMETRIK. Sebaran peluang dari peubah

acak hipergeometrik X, yakni jumlah sukses dari cuplikan acak sejumlah n yang terambil dari N benda, dimana k buah diantaranya disebut sukses dan N-k disebut gagal, adalah

• Contoh: Sejumlah 40 buah komponen elektronik dapat diterima jika cacat-nya tidak lebih dari tiga buah. Pencuplikan dilakukan dengan cara memilih 5 komponen scr acak dan menolaknya jika ada yang cacat. Jika ada 3 dari 40 komponen ini cacat, tentukan peluang tepat satu satu dari cuplikan ini cacat.

• Jawab: Ini adalah sebaran hipergeometrik dengan n=5, N=40, k=3 dan x=1. Dengan demikian, peluang tepat satu buah cacat adalah

h(1; 40, 5, 3) = C(3,1)C(37,4)/ C(40,5) = 0.3011

nx

n

N

xn

kN

x

k

knNxh ...,,2,1,0,,,;

Mean dan Variansi• Teorema 3.3 Mean dan variansi dari sebaran

hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah, masing-masing, = nk/N, dan2 = [(N-n)/(N-1)]n(k/N)[1- (k/N)]

• Bukti: lihat textbook• Pendekatan.

Jika n jauh lebih kecil daripada N, perubahan peluang antar pengamatan menjadi kecil. Akibatnya, eksperimen lebih mirip ke percobaan binomial dan sebarannya akan menjadi sebaran binomial dengan p=k/N. Mean dan variansi dapat didekati dengan rumus berikut:

= np = nk/N, dan

2 = npq = n(k/N)[1- (k/N)]

Contoh-2• Contoh 3.10: Dengan teorema Chebysev, hitung dan

tafsirkan interval 2 dalam contoh 3.9• Jawab: Karena contoh 3.9 merupakan percobaan

hipergeometrik dengan N=40, n=5, dan k=3, maka dengan Teorema 3.3 akan diperoleh

= (5)(3)/40 = 3/8 = 0.375dan

2 = [(40-5)/(39)](5)(3/40)[1-(3/40)] = 0.3113Akar kuadrat variansi memberikan simpangan baku sebesar =0.558. Dengan demikian, interval yang dicari adalah 0.375(2)(0.558) atau -0.741 sampai 1.491.Berdasarkan teorema Chebysev, jumlah komponen cacat ketika 5 komponen dipilih secara acak dari 40 buah, 3 diantaranya cacat, punya peluang sedikitnya ¾ untuk berada dalam selang -0.741 sampai 1.491

Generalisasi• Tinjau N kumpulan benda yang dipartisi kedalam k sel A1, A2, … ,

Ak dengan a1 benda berada di sel pertama, a2 dalam sel kedua, …, ak dalam sel ke-k. Kita akan menghitung peluang cuplikan acak sejumlah n menghasilkan x1 benda dari A1, x2 benda dari A2, …, xk benda dari Ak.

• Tuliskan peluang ini sebagai

f(x1, x2, …, xk; a1, a2, …, ak, N ,n)

• Besar ruang cuplikan adalah C(N, n). Ada C(a1,x1) cara untuk memilih x1 benda dari A1, dan masing-masing ada C(a2,x2) cara untuk memilih x2 benda dari A2. Jadi, kita dapat memilih x1 benda dari A1 dan x2 benda dari A2 sebanyak C(a1,x1)C(a2,x2) cara. Demikian seterusnya, kita dapat memilih n-buah benda yang terdiri dari x1 buah anggota A1, x2 benda dari A2, …, xk benda dari Ak sebanyak C(a1,x1)C(a2,x2) … C(ak,xk).

• Kita rumuskan hasil ini sbb.

Perluasan sebaran hipergeometrik• EKSTENSI DARI SEBARAN HIPEGEOMETRIK. Jika

sekumpulan N- buah benda dapat dipartisi menjadi k buah sel A1, A2, …, Ak yang masing-masing memiliki a1, a2, …, ak anggota, maka sebaran peluang dari peubah acak X1, X2, …, Xk yang menyatakan jumlah anggota terpilih dari A1, A2, …, Ak dalam cuplikan acak berukuran n adalah

dengan

n

N

x

a

x

a

x

a

nNaaaxxxf k

k

kk2

2

1

1

2121 ,,...,,,;...,,,

Nadannxk

ii

k

ii

11

Contoh 3.12• Soal: Suatu kelompok yang terdiri dari 10 orang

dipakai untuk survei biologi. Dalam kelompok terdapat 3 orang berdarah O, 4 berdarah A, dan 3 berdarah B. Tentukan peluang dari suatu cuplikan acak sebesar 5 orang mengandung 1 orang berdarah O, 2 orang berdarah A, dan 2 orang berdarah B.

• Jawab: Dengan formula perluasan dimana x1=1, x2=2, x3=2, a1=3, a2=4, a3=3, N=10, dan n=5, maka nilai peluangnya adalah

P= f(1, 2, 2;3, 4, 3, 10, 5) = C(3,1)C(4,2)C(3,2)/C(10,5) = 3/14

3.4 Sebaran Poisson

Percobaan Poisson• Percobaan yng menghasilkan peubah acak X, yng

menyatakan jumlah keberhasilan dalam selang waktu atau daerah tertentu, disebut percobaan Poisson. Sifat-sifat:– Jumlah keberhasilan dalam suatu selang waktu aatu daerah

tertentu, bebas terhadap peristiwa dlm selang atau daerah lain.– Peluang satu keberhasilan selama selang waktu pendek atau

daerah kecil sebanding dengan lamanya (durasi) selang atau besarnya daerah tsb, dan tdk bergantung pada jumlah keberhasilan yang terjadi diluar selang atau daerah ini.

– Peluang lebih dari satu keberhasilan dalam selang atau daerah tsb sangat kecil (dapat diabaikan).

• Contoh percobaan Poisson: – kedatangan panggilan telepon per jam, jumlah libur sekolah karena

terjadi banjir selama musim hujan, jumlah pertandingan sepakbola yang dibatalkan akibat hujan dalam musim pertandingan tertentu.

Peubah acak dan Sebaran Poisson• Def. 3.3: Jumlah X buah keberhasilan dalam percobaan

Poisson disebut sebagai peubah acak Poisson.

• SEBARAN POISSON. Sebaran peluang dari peubah acak Poisson X, yang menyatakan jumlah keberhasilan dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu, adalah

dimana adalah rata-rata keberhasilan selama selang waktu atau daerah terntentu dan e = 2.71828… (bilangan alami).

...,2,1,0,!

;

xx

exp

x

• Tabel III dalam buku teks menampilkan jumlah sebaran Poisson P(r; ) = r

x=0 p(x; ).

Contoh 3.13• Soal: Dalam percobaan teramati rata-rata ada 4

buah partikel radioaktif yang melewati alat pencacah selama selang waktu 1 milidetik. Berapa peluang ada 6 partikel yang masuk alat tsb dalam selama milidetik tertentu?

• Jawab: Dengan menggunakan tabel sebaran Poisson (Tabel III) untuk x=6 dan =4, kita peroleh

p(6;4)= e-446/6!

= 6x=0 p(x; 4) - 5

x=0 p(x; 4)

= 0.88993 -0.7851 = 0.1042

Mean dan variansi• Teorema 3.4 Mean dan variansi dari sebaran

Poisson p(x;) memiliki nilai sama, yaitu .

• Contoh: dalam soal 3.13 dimana =4, maka variansinya 2=4 atau =2. Berdasarkan teorema Chebyshev, maka kita bisa mengatakan bahwa peubah acak Poisson ini memiliki peluang sedikitnya ¾ (yakni 1-1/22) untuk jatuh dalam selang 2 = 4 2(2), atau dalam selang 0 sampai dengan 8.

Kaitan dengan sebaran binomial• Teorema 3.5 Andaikan X suatu peubah acak binomial

dengan sebaran peluang b(x;n,p). Ketika n, p0, dan =np konstan, maka

b(x; n, p) p(x; n)

• Contoh 3.15. Dalam suatu proses manufaktur produk gelas, munculnya cacat atau gelembung menyulitkan penjualan produk tsb. Diketahui bahwa untuk setiap 1000 produk ini, akan ada 1 produk yang memiliki 1 atau lebih cacat gelembung. Berapa peluang dari cuplikan acak sebanyak 8000 menghasilkan kurang dari 7 produk yang memiliki cacat gelembung ini?

• Jawab: Sesungguhnya ini adalah eksperimen binomial dengan n=8000 dan p=1/1000=0.001. Karena p mendekati nol dan n sangat tinggi, kita bisa memakai pendekatan Poisson dng =(8000)(0.001) = 8. Jadi, jika X menyatakan banyaknya gelembung, maka

P(X<7) = 6x=0 b(x; 8000, 0.001)6

x=0 p(x; 8)= 0.3134

3.5 Sebaran Binomial Negatif dan

Sebaran Geometrik

Pecobaan binomial negatif• Percobaan binomial negatif bersifat mirip dengan

percobaan binomial (biasa), kecuali percobaan dilakukan berulang sampai jumlah tertentu sukses tercapai. Jadi, yang dihitung adalah peluang terjadinya sukses ke-k pada percobaan ke-x.

• Contoh: suatu obat efektif terhadap 60% kasus. Akan dihitung peluang pasien ke-5 yang sembuh (S) adalah pasien ke-7 yang diberi obat. Kita sebut F jika pengobatan tidak berhasil. Jadi, kita akan menghitung peluang kejadian, misalnya, SFSSSFS, yng muncul dng peluang (0.6)(0.4)(0.6) (0.6) (0.6)(0.4)(0.6) = (0.6)5(0.4)2. Kita juga harus mencacah semua kombinasi S dan F yng demikian, dng batasan urutan terakhir adalah S; yakni C(7-1,5-1) = C(6,4) = 15. Dengan demikian:

P(X=7)=C(6,4) (0.6)5(0.4)2 = 0.1866

Peubah acak dan sebaran binomial negatif

• Definisi 3.4 Jumlah percobaan X yang menghasilkan k sukses dalam eksperimen binomial negatif disebut sebagai peubah acak binomial negatif.

• SEBARAN BINOMIAL NEGATIF. Jika percobaan berulang yang saling bebas dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q=1-p, maka sebaran peluang dari peubah acak X, yakni banyaknya percobaan yang menghasilkan sukses ke-k, diberikan oleh

...,2,1,,1

1,;*

kkkxxpk

xnkxb kk

Contoh 3.16• Tentukan peluang seseorang yang

melantunkan 3 keping koin mendapatkan semua H atau semua T untuk kedua kalinya dalam 5 kali pelantunan.

• Jawab: ini adalah eksperimen binomial negatif dengan x=5, k=2, dan p=1/4, sehingga:

b*(5;2,1/4)= C(4,1)(1/4)2(3/4)2

= (4!/(1!3!)) (33/45)= 27/256

Sebaran geometrik• Kasus dimana sebaran binomial negatif memiliki k=1

menghasilkan sebaran peluang dari banyaknya percobaan yang menghasilkan satu sukses. Contoh: pelantunan uang hingga muncul H.

• Sebaran yang demikian disebut sebagai sebaran geometrik g(x;p).

• SEBARAN GEOMETRIK. Jika percobaan berulang yang saling bebas menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q=1-p, maka sebaran peluang dari peubah acak X, yakni banyaknya percobaan hingga sukses pertama muncul, diberikan oleh

g(x;p) = pqx-1 , x = 1, 2, 3, …

Contoh 3.17• Soal: Dalam suatu proses manufaktur, diketahui

bahwa rata-rata 1 dari 100 item (bagian produk) cacat. Berapakah peluang bahwa 5 item teramati sebelum suatu cacat ditemukan?

• Jawab: dengan sebaran geometrik dimana x=5 dan p=0.01 diperoleh

g(5; 0.01) = (0.01)(0.99)4

= 0.0096

Selesai