1 konsep peluang

Konsep Peluang

[email protected]

Isi

1. Ruang Cuplikan (Sample Space)

2. Kejadian (Events)

3. Operasi Terhadap Kejadian

4. Pencacahan Titik Cuplikan

5. Peluang Kejadian

6. Hukum Peluang

7. Peluang Bersyarat

8. Aturan Bayes

Kamis, 18 Maret 2010 2Konsep Peluang

1.1 Ruang Cuplikan(sample space)

Data Mentah

• Hasil pengamatan: pencacahan atau hasil numerik dari suatu pengukuran.

• Def.1.1: Data mentah adalah rekaman dalam bentu kasal, baik berupa hasil pencacahan maupun pengukuran

• Percobaan (statistik): segala macam proses yang menghasilkan data mentah.– Contoh: pencacahan trafik kendaraan, pelantunan

mata uang atau dadu, pengamatan besaran fisik dalam eksperimen diLab, dll


Ruang Cuplikan

• Def. 1.2: Himpunan semua hasil percobaan statistik disebut sebagai ruang cuplikan dan dituliskan sebagai S.

• Setiap titik dalam ruang cuplikan disebut titik cuplikan (sample point), atau elemen/anggota ruang cuplikan.

• Contoh ruang cuplikan: – Pelantunan uang logam (koin): S = {H, T}– S = {x|x kota dengan penduduk diatas 1 juta jiwa} – S={(x,y)}| x2+ y2 ≤ 4} – Pelantunan dadu:

• S1={1, 2, 3, 4, 5, 6}• S2= {ganjil, genap}


1.2 Kejadian/Peristiwa

(Events)

Definisi kejadian

• Def.1.3: Suatu kejadian (peristiwa) adalah himpunan bagian dari ruang cuplikan.

• Contoh:

– A={3,6} adalah kejadian dalam pelantunan dadu dimana mata dadu yang muncul dapat dibagi 3

– Untuk t yang menyatakan umur komponen elektronik, kejadian A dimana komponen berumur kurang dari 5 tahun adalah A={t|t<5}, dengan S={t|t≥1}.


Kejadian Sederhana dan Kejadian Majemuk

• Kejadian sederhana dan kejadian majemuk• Def.1.4: Jika suatu kejadian berupa himpunan yang hanya

mengandung satu titik cuplikan, maka kejadian ini disebut sebagai kejadian sederhana. Kejadian majemuk adalah kejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan dari beberapa kejadian sederhana.

• Contoh: – Untuk percobaan/pengamatan jenis kartu, dimana S={ ♥, ♠, ♣, ♦}, maka A={♥} adalah kejadian sederhana, sedangkan B = {♥, ♦} adalah kejadian majemuk.• NB: ♥ ≡ heart, ♠ ≡ spade, ♣ ≡ club, ♦ ≡ diamond

– Sebaliknya, jika S = {seluruh 52 buah kartu yang dilihat satu persatu}, maka A= {semua kartu ♥} adalah kejadian majemuk.


Ruang null

• Def.1.5: Ruang null atau ruang kosong adalah himpunan bagian dari ruang cuplik yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan sebagai ∅.

• Contoh null-space

– Hasil pengamatan organisme mikroskopis dng mata-telanjang.

– B={x|x faktor nonprima dari 7}

– Hasil percobaan pelantunan dadu (biasa) yang memberi mata tujuh


Diagram Venn

S = ruang cuplikanA, B, C : kejadian

A = {kartu warna merah}B = {kartu J ♦, Q ♦, K ♦}C = {kartu As}

• Penggambaran relasi antar himpunan.


1.3 Operasi terhadap kejadian

Irisan Dua Kejadian

• Def.1.6: Irisan antara kejadian A dengan kejadian B, dilambangkan sebagai A ∩ B, adalah kejadian yang mengandung semua elemen yang berada di A dan di B sekaligus.

Contoh :− Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 4, 6, 8},

maka A∩B = {2,4}− Jika P = {a, i, u, e, o} dan Q = {s,t}, maka

P∩Q = ∅

Pada contoh terakhir, P dan Q tdk dapat terjadi bersamaan. Kejadian spt ini disebut mutually exclusive.


Kejadian mutually exclusive

• Def.1.7 : Dua buah kejadian A dan B disebut mutually exclusive jika A∩B = ∅.


Gabungan Kejadian

• Def.1.8: Gabungan dua buah kejadian, A dan B, dilambangkan sebagai A∪B, adalah kejadian yang mengandung semua elemen dari A, atau B, atau keduanya.

Kamis, 18 Maret 2010 Konsep Peluang 14

Contoh :− Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 4, 6,

8}, maka A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}− Jika P = {a, i, u, e, o} dan Q = {s,t},

maka P∪ Q = {a, i, u, e, o, s, t}

Kejadian Komplementer

• Def.1.9 : Komplemen dari kejadian A terhadap S, dituliskansebagai A’, himpunan semua elemen S yang tidak berada dalam A.


Contoh:− Jika S = {1, 2, 3, 4, 5} dan

A = {2, 4}, maka A’ = {1, 3, 5}

− Untuk S = { ♥, ♠, ♣,♦} dan A = {♥}, maka A’ = {♠, ♣, ♦}

Hasil – Hasil Penting

• A ∩ ∅ = ∅

• A ∪ ∅ = A

• A ∩ A’ = ∅

• A ∪ A’ = S

• S’ = ∅

• ∅’= S

• (A’)’= A


1.4 Pencacahan Titik Cuplikan(Counting)

Isi

• Prinsip – prinsip dasar pencacahan:– Aturan perkalian (Product rule --Theorem 1.1)– Aturan perkalian umum (Generalized Product rule--Theorem 1.2)– Permutasi (Def. 1.10)

• Permutasi n-objek berlainan (Theorem 1.3)• Permutasin – objek berlainan, diambil r-objek sekaligus (Theorem 1.4)• Permutasi sirkular (Theorem 1.5)• Permutasi berlainan untuk n-objek dengan masing-masing ada n 1 objek jenis

pertama, …, nk objek jenis ke-k (Theorem 1.6)• Partisi himpunan dari n-objek kedalam r-sel dengan n1-elemen, … dst

(Theorem 1.7)• Kombinasi n-objek, diambil r-objek sekaligus

– Theorem 1.8.– Tambahan :

• Aturan penjumlahan (Sum Rule)• Aturan penjumlahan umum (Generalized sum rule)


Aturan Perkalian

• Teorema1.1: Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 buah cara, dan untuk setiap operasi ini dapat dilakukan operasi kedua sebanyak n2 buah cara, maka kedua operasi ini dapat dilakukan bersamaan dengan n1⋅n2 cara.

• Contoh: – Soal: Tentukan jumlah titik cuplikan dalam pelantunan dua buah

dadu!– Jawab: Dadu pertama memberikan 6 macam keluaran. Untuk

setuap hasil, dadu kedua menghasilkan 6 macam keluaran juga. Dengan demikian, sepasang dadu akan menghasilkan 6.6 = 36 macam keluaran.

– Tugas Mhs : • Berikan daftar ke-36 buah keluaran ini !• Ulangi untuk pelantunan uang logam dengan hasil {H, T}


Aturan Perkalian yang diperumum

• Teorema 1.2: Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 buah cara, dan untuk setiap operasi ini dapat dilakukan operasi kedua sebanyak n2 buah cara, dan untuk setiap operasi ini dapat dilakukan operasi etiga sebanyak n3 buah cara, … dst, maka k buah operasi ini dapat dilakukan bersamaan sebanyak n1⋅n2… ⋅nk cara.

• Contoh: – Suatu restoran memiliki 4 jenis lauk-pauk, 3 jenis sayuran, 5

jenis kerupuk, dan 4 macam jus. Ada berapa banyak menu yang bisa dibuat oleh restoran tersebut, jika setiap menu terdiri dari satu buah lauk, satu mangkuk, 1 bungkus kerupuk, dan 1 gelas jus ? • Jawab: akan ada 4⋅3 ⋅5 ⋅4 = 240 macam menu


Permutasi

• Def.1.10: Permutasi adalah penyusunan dari seluruh atau sebagian dari sekumpulan objek.

• Contoh: – Tiga buah huruf a, b, c dapat disusun sebagai abc, acb, bac,

bca,cab, dan cba– Berdasarkan aturan perkalian, untuk n buah objek akan

ada: n(n-1) … 2⋅1 = n!

• Teorema 1.3: Jumlah permutasi dari n objek berlainan adalah n!

• Contoh: – 4 buah huruf a, b, c, d dapat di-permutasikan sebanyak 4!

= 4⋅3⋅2⋅1 = 24


Permutasi r dari n objek

• Untuk keempat huruf tadi, permutasi per-dua huruf adalah: ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, bd, cb, db, cd, dc; ada sebanyak 12 buah. Dengan Teorema1.2, ada 4 buah untuk pilihan pertama, dan ada 3 buah untuk pilihan kedua sehingga ada 4⋅3 = 12 permutasi.

• Pada umumnya, n objek berlainan diambil r buah sekaligus akan menghasilkan pengaturan sebanyak.– n⋅(n-1)⋅…⋅(n –r + 1)= n!/(n-r)!

• Teorema 1.4: Jumlah r buah permutasi dari n objek berlainan adalah nPr = n!/(n-r)!

• Contoh:– Banyaknya cara mengambil tiket undian untuk pemenang pertama dan

kedua, dari 20 tiket adalah 20P2= 20!/(20-2)! = 20⋅19 =380


Permutasi Sirkular

• Permutasi yang muncul dalam pengaturan objek secara melingkar disebut permutasi sirkular. Dua permutasi sirkular berbeda jika keduanya didahului atau diikuti objek yang berbeda, ketika dilihat dalam arah putar jarum jam.

• Permutasi sirkular dapat dihitung dengan mengambil satu objek tetap, kemudian melakukan permutasi objek sisanya. Dengan demikian, permutasi n objek secara sirkular akan menghasilkan (n-1)! susunan berlainan.

• Teorema1.5: Jumlah permutasi sirkular dari n objek berlainan adalah (n-1)!


Permutasi Beberapa Jenis Objek

• Tinjau permutasi tiga huruf a,b,c. Jika huruf b=c=x, maka permutasi menjadi axx, axx, xax, xax, xxa, dan xxa; sehingga menjadi 3 buah yang berbeda.

• Teorema 1.6: Jumlah permutasi berlainan dari n buah objek yang terdiri dari n1 objek jenis pertama, n2 jenis kedua, …, nk jenis ke k adalah


• Contoh: ada berapa banyak cara berbeda untuk menyusun lampu warna-warni dalam seuntai tali jika ada 3 yang berwarna merah, 4 kuning, dan 2 biru?

• Jawab: ada sebanyak 9!/(3!4!2!) = 1260

Partisi Himpunan

• Partisi himpunan n objek kedalam r himpunan bagian (subset) atau sel:– Partisi berhasil jika irisan sebarang dua subset adalah ∅ dan gabungan seluruh

subset menghasilkan himpunan asal.– Contoh: Partisi S = {a, e, i, o, u} ke dalam dua sel yang masing-masing

mengandung 4 dan 1 buah anggota adalah: {(a, e, i, o), (u)}, {(a, i, o, u), (e)}, {(a, e, o, u), (i)}, dan {(a, e, i, u), (o)}. Sehingga ada 5 buah:


• Teorema1.7: Banyaknya cara untuk mempartisi suatu himpunan n objek kedalam r buah sel dengan masing-masing n1 objek untuk sel pertama, n2 objek untuk sel kedua, …, nr objek untuk sel ke r adalah

nr objek untuk sel ke r adalah dimana n1 + n2 + … + nr= n.

Kombinasi

• Pengaturan r-objek dari sekumpulan n-buah objek tanpa memperhatikan urutan disebut kombinasi. Suatu kombinasi pada dasarnya adalah partisi dua sel, yang pertama mengandung r-objek dan yang kedua ada (n-r) objek. Dengan demikian banyaknya kombinasi r-objek dari n kumpulan adalah


• Karena sudah pasti sel kedua beranggotakan n-r

• Teorema 1.9: Kombinasi r dari n buah objek berlainan adalah

Selesai

1 konsep peluang

Documents