ma5283 statistika bab 2 peluang -...

Silabus dan TujuanIlustrasi

Konsep PeluangPeluang Bersyarat dan Teorema Bayes

Topik Lanjut PeluangKUIS

MA5283 STATISTIKABab 2 Peluang

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

“Orang Cerdas Belajar Statistika”

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA5283 STATISTIKA Bab 2 Peluang




Silabus

Ruang sampel dan kejadian, konsep peluang, peluang bersyarat,Teorema Bayes.





Tujuan

1 Mendefinisikan ruang sampel dan kejadian

2 Menghitung peluang suatu kejadian

3 Menghitung peluang bersyarat suatu kejadian

4 Memanfaatkan Teorema Bayes untuk menghitung peluangsuatu kejadian





Ilustrasi

Ilustrasi-1. Tanti baru saja mengikuti tes mata. Ia masih teringatbeberapa huruf yang muncul: A-E-M-R-S. Kini, Tanti mencobamenyusun kata-kata yang mungkin dari huruf-huruf tersebut.





Ilustrasi-2. Hanin bermaksud menyumbangkan darahnya di suatutempat donor. Hanin terlebih dahulu harus dicek golongandarahnya.

Golongan darah yang mungkin untuk Hanin adalah...

Rupanya Hanin tidak sendirian. Ada Hana dan Hanan disanayang memiliki maksud yang sama dengan Hanin. Jika seorangdiantara mereka dipilih secara acak menjadi pendonor, berapapeluang orang yang terpilih adalah Hana?

Jika, diantara mereka bertiga, Hanan terpilih menjadipendonor, berapa peluang golongan darah Hanan adalah B?





Ilustrasi-3. B dan G pergi berburu dengan cara menembak. Padawaktu yang disepakati, B dan G secara bersamaan menembaksasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakan B)mengenai sasaran adalah 0.4.

Berapa peluang sebuah tembakan mengenai sasaran?

Berapa peluang sasaran tertembak?





Ilustrasi-4. “Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibukawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiridan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun,Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang jandayang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak puladengan ayah tiriku”





DefinisiAksioma dan Sifat PeluangLatihan dan Solusi

Definisi

Ruang sampel, S , adalah himpunan semua hasil mungkin darisuatu percobaan. Kejadian, E , adalah himpunan bagian dari ruangsampel. Peluang suatu kejadian, P(E ), adalah rasio daribanyaknya titik kejadian dan ruang sampel, atau

P(E ) =n(E )

n(S),

dimana n(E ) dan n(S), berturut-turut, adalah banyaknya titikkejadian dan ruang sampel.






Aksioma dan Sifat-sifat peluang:

1 0 ≤ P(E ) ≤ 1

2 P({}) = 0

3 P(S) = 1

4 Untuk kejadian A dan B,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

5 Jika kejadian A dan B saling asing maka P(A ∩ B) = 0

6 Kejadian A dan kejadian B dikatakan saling bebas jika

P(A ∩ B) = P(A)P(B)






Definisi peluang yang lain merujuk pada frekuensi relatif. Misalkansuatu percobaan dengan ruang sampel S diulang-ulang. Misalkann(E ) banyaknya kejadian E yang terjadi selama n pengulangan.Peluang kejadian E adalah

P(E ) = limn→∞

n(E )

n






Latihan dan Solusi

LATIHAN:Kerjakan ilustrasi-ilustrasi diatas.






Solusi: Ilustrasi-1

SERAM(√

),MERAS(X ), SEMAR(X ),

RAMES(√

),MESRA(√

),REMAS(√

), ....






Solusi: Ilustrasi-3

Misalkan B kejadian B menembak sasaranMisalkan G kejadian G menembak sasaranMisalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaranMisalkan S kejadian sasaran tertembak

P(T ) = P(G ∩ Bc) + P(B ∩ G c)

= (0.4)(0.3) + (0.7)(0.6)

P(S) = 1− P(G c ∩ Bc)

= 1− (0.6)(0.3)






Latihan

1. Lima orang siswa meletakkan tasnya masing-masing ketikamemasuki perpustakaan. Kemudian, ketika mereka keluar dariperpustakaan mereka mengambil tasnya secara acak tanpamemperhatikan apakah tas yang diambil adalah benar-benarmiliknya. Apakah ruang sampel “percobaan” diatas?






Solusi: S = MiTj , i , j = 1, 2, 3, 4, 5, mahasiswa (M) ke-imengambil tas (T) milik mahasiswa ke-j, n(S)=25), atau

Solusi: S = ijklm, i , j , k , l ,m = 1, 2, 3, 4, 5






2. Dalam suatu rapat yang terdiri dari 20 orang, setiap orangberjabatan tangan dengan orang lain diakhir rapat. Adaberapa banyak jumlah ’salaman’ yang terjadi?






Solusi: C 202 = 190






3. Sebuah lift bergerak dari lantai dasar berisi 8 orang (tidaktermasuk operator lift) dan orang-orang tersebut akan keluarhingga lift mencapai lantai paling tinggi yaitu lantai 6. Dalamberapa cara sang operator dapat mengenali orang-orang yangkeluar dari lift jika semuanya nampak mirip bagi sangoperator? Bagaimana jika 8 orang tersebut terdiri atas 5 priadan 3 wanita dan sang operator membedakan pria dan wanita?






Solusi: C 135 ; C 10

5 C 85






4. Setiap pagi Swarna meninggalkan rumahnya untuk berlaripagi. Swarna pergi lewat pintu depan atau belakang denganpeluang sama. Ketika meninggalkan rumah Swarna memakaisepatu olah raga atau bertelanjang kaki jika sepatu tidaktersedia di depan pintu yang dia lewati. Ketika pulang,Swarna akan masuk lewat pintu atau belakang danmeletakkan sepatunya dengan pelung sama. Jika dia memiliki4 pasang sepatu olah raga, akan dihitung berapa peluangSwarna akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki.Pertanyaan awal, tentukan ruang sampelnya!






Solusi: S = (i , e), i = 0, , 4; e = 4, , 0, i=banyak sepatu di pintudepan, e=banyak sepatu di pintu belakang






5. Bapak Kepala Sekolah mengundang guru-guru yang memilikisetidaknya satu anak laki-laki (L) ke acara syukuran. Seorangguru yang bernama Pak Jaim memiliki dua anak. Kita akanmenghitung peluang bahwa kedua anak Pak Jaim adalahlaki-laki, diberikan bahwa Pak Jaim diundang ke acarasyukuran tersebut. Pertanyaan awal adalah apa ruang sampel“percobaan” diatas?






Solusi: S = {LL, LP,PL,PP}






Sudoku KOMPAS 10/02/2012

2 6 7 8 9

1

4 8 7

1 2

6 4 5

5 7

2 7 9

1

8 3 5 9 4






Distribusi Frekuensi versus Peluang

Pandang distribusi frekuensi tentang Daerah Asal Peserta LombaIMO:

Daerah Asal Jumlah Peserta Prosentase

Sumatera 20Jawa Barat dan DKI 35Jawa Timur dan Bali 27

Kalimantan dan Sulawesi 14Papua 4

Apa yang dapat Anda katakan tentang PELUANG?





IlustrasiDefinisiTeorema BayesLatihan dan Solusi

Ilustrasi

Ilustrasi-1. Pandang Ilustrasi-3 diatas.

Jika sebuah tembakan mengenai sasaran, berapa peluangbahwa itu tembakan G?

Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, keduatembakan mengenai sasaran?

Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, tembakan Gmengenai sasaran?






Ilustrasi-2. Seorang praktikan, Ega, tahu bahwa sebuah lembarkerja praktikum akan berada di salah satu dari tiga buah kotaksurat lab yang ada. Misalkan pi adalah peluang bahwa Ega akanmenemukan lembar kerja praktikum setelah mengecek kotak suratlab i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotaksurat lab i , i = 1, 2, 3.

Misalkan Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukansurat. Berapa peluang hal itu akan terjadi?

Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukansurat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1?






Definisi

Peluang kejadian A, apabila kejadian B telah terjadi, adalahpeluang bersyarat P(A|B) yaitu:

P(A|B) =P(A ∩ B

P(B),

asalkan P(B) > 0. Jelas bahwa jika kejadian A dan B saling bebasmaka P(A|B) = P(A).






Peluang total:

P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|Ac)P(Ac)






Latihan

1. Laila memiliki 2 buah koin; satu koin “baik” (memiliki sisi Mdan B) dan satu koin “tidak baik” (memiliki dua sisi M).Sebuah koin dipilih secara acak, kemudian dilantunkan.Berapa peluang muncul M?






Solusi:Misalkan K1 koin “baik”, K2 koin “tidak baik”.

P(M) = P(M ∩ K1) + P(M ∩ K2)

= P(M|K1)P(K1) + P(M|K2)P(K2)

= (1/2)(1/2) + (1)(1/2) = 3/4






Latihan

2. Laila memiliki 2 buah koin; satu koin “baik” (memiliki sisi Mdan B) dan satu koin “tidak baik” (memiliki dua sisi M).Sebuah koin dipilih secara acak, kemudian dilantunkan.Muncul M. Berapa peluang bahwa koin yang dilantunkanadalah koin “baik”?






Solusi:

P(K1|M) = P(K1 ∩M)/P(M)

= P(M|K1)P(K1)/P(M)

= (1/4)/(3/4) = 1/3






Teorema Bayes

TEOREMA BAYES:Misalkan {B1,B2, . . . ,Bn} adalah partisi dari ruang sampel danmisalkan A adalah kejadian yang terobservasi. Peluang kejadian Bj

diberikan A adalah

P(Bj |A) =P(ABj)

P(A)

=P(A|Bj)P(Bj)∑ni=1 P(A|Bi )P(Bi )






Latihan

1 Kerjakan ilustrasi-ilustrasi diatas

2 Tes darah di suatu laboratorium akan 95% efektif dalammendeteksi suatu penyakit tertentu jika penyakit itu ada.Namun demikian, tes tersebut juga memberikan ’hasil positifyang salah’ pada 1% orang sehat yang dites. Jika 0.5% daripopulasi mengidap penyakit tertentu tersebut, tentukanpeluang bahwa seseorang menderita penyakit itu jika hasil tespositif?






Solusi: Ilustrasi-1

Misalkan B kejadian B menembak sasaranMisalkan G kejadian G menembak sasaranMisalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaranMisalkan S kejadian sasaran tertembak

P(G |T ) =P(G ∩ T )

P(T )

=P(G ∩ Bc)

P(G ∩ Bc) + P(B ∩ G c)

=(0.4)(0.3)

(0.4)(0.3) + (0.7)(0.6)






P(G ∩ B|S) =P(G ∩ S)P(B ∩ S)

P(S)

=P(G )P(B)

1− P(G c ∩ Bc)

=(0.4)(0.7)

1− (0.6)(0.3)

P(G |S) =P(G ∩ S)

P(S)

=P(G ∩ S)

1− P(G c ∩ Bc)

=0.4

1− (0.6)(0.3)






Solusi: Ilustrasi-2

Misalkan Ki , i = 1, 2, 3 adalah kejadian lembar kerja praktikumberada di kotak surat lab i . Misalkan T kejadian mengecek kotaksurat lab 1 tidak mendapatkan lembar kerja praktikum. Peluanghal itu akan terjadi adalah

P(T ) = P(T |K1)P(K1) + P(T |K2)P(K2) + P(T |K3)P(K3)

= (1− p1)(1/3) + 1/3 + 1/3






Jika diketahui Ega mengecek kotak surat lab 1 dan tidakmenemukan surat, maka peluang bahwa lembar kerja praktikum ituada di kotak surat lab 1 adalah

P(K1|T ) =P(T |K1)P(K1)

P(T |K1)P(K1) + P(T |K2)P(K2) + P(T |K3)P(K3)

=(1− p1)(1/3)

(1− p1)(1/3) + 1/3 + 1/3





Peubah AcakDistribusi Binomial

Ilustrasi-1

Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesantiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasanini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan padapesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akanada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?






Ilustras-2

Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekat dengankematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagi merekaadalah seperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari hari ke harisudahlah merupakan mukjizat. Asumsikan bahwa setiap orangmemiliki peluang sama untuk dapat bertahan hidup sampai hariesok sebesar α. Jika jumlah pasien IGD pada suatu hari adalah 5orang, berapa peluang besok hanya akan ada 2 orang saja yangmasih hidup?






Peubah Acak

Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”

Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S kebilangan real R






P.A. Diskrit

Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitungdari bilangan {ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga

P(⋃

i

{X = ai})

=∑i

P(X = ai ) = 1

Catatan:Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampeldiskrit.






FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisanterhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan{pi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikianhingga ∑

i

pi = 1

danFX (x) =

∑ai≤x

pi






Jika diberikan himpunan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilanganpositif {pi , i = 1, 2, . . . } sdh

∑i pi = 1, fungsi peluang pX (x)

adalahpX (x) = pi = P(X = ai ),

dengan x = ai






Fungsi distribusi (kumulatif):

F (x) = P(X ≤ x)

Sifat-sifat:

(a) F fungsi tidak turun(b) limx→∞ F (x) = 1(c) limx→−∞ F (x) = 0(d) F fungsi kontinu kanan






Catatan:

P(a < X ≤ b) = F (b)− F (a)

P(X ≤ b) 6= P(X < b)

P(X < b) = P(

limn→∞

{X ≤ b − 1

n

})= lim

n→∞P(X ≤ b − 1

n

)= lim

n→∞F(b − 1

n

)






Latihan

1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:

F (x) =

0, x < −3.1

3/5, −3.1 ≤ x < 0

7/10, 0 ≤ x < 1

1, 1 ≤ x






2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:

F (x) =

0, x < 013 + x

5 , 0 ≤ x < 135 , 1 ≤ x < 29

10 , 2 ≤ x < 3

1, x ≥ 3






3. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut:

f (x) =

p, x = −1.9

0.1, x = −0.1

0.3, x = 20p

p, x = 3

4p, x = 4

0, x yang lain

Hitung P(−1.9 ≤ |X | ≤ 3),F (2),F (F (3.1))






Distribusi Binomial

Misalkan S = {sukses, gagal} adalah ruang sampel yangmenotasikan ’sukses’ atau ’gagal’ dari suatu percobaan.Definisikan X (sukses) = 1 dan X (gagal) = 0 dan

pX (1) = P(X = 1) = p

pX (0) = P(X = 0) = 1− p

dimana 0 ≤ p ≤ 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakanpeubah acak Bernoulli dengan parameter p.






Jika dilakukan n percobaan independen dan jika X menyatakanbanyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakan sebagaipeubah acak Binomial dengan parameter (n, p), dimana

pX (k) = B(k ; n, p) = Cnk pk (1− p)n−k






Latihan

1. Misalkan X ∼ B(5, 0.2). Hitung:(a) P(0 < X ≤ 1)(b) P(X ≥ 1)






Solusi:

P(0 < X ≤ 1) = P(X = 1) = 0.41

P(X ≥ 1) = 1− P(X = 0) = 1− 0.328 = 0.672






2. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persenpemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya.Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuksetiap pemesan tiket yang datang?






Solusi:Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya orang yangtidak datang dengan peluang ’sukses’ (tidak datang) 0.05.X ∼ B(52, 0.05).

P(X ≥ 2) = 1− [P(X = 0) + P(X = 1)]

= 1− (0.05)0(0.95)52 − 52(0.05)1(0.95)51

= 0.74





1 Misalkan X peubah acak Binomial yang menyatakan banyakorang yang datang ke toko dan membeli barang. Diketahuinilai parameter “sukses” adalah 0.6. Jika 10 orang masuktoko, berapa peluang terjadinya maksimal sebuah “sukses”?





Solusi:

P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

= 1(0.6)0(0.4)10 + 1(0.6)1(0.4)9

= 0.000 + 0.002 = 0.002





1 Laila memiliki sebuah koin yang memiliki sisi MUKA danBELAKANG dan sebuah koin lain yang ternyata memiliki duasisi MUKA. Laila memilih sebuah koin secara acak danmelantunkannya. Muncul MUKA. Misalkan Laila melantunkankoin untuk keduakalinya dan muncul MUKA. Berapa peluangbahwa koin yang dilantunkan adalah koin bersisi MUKA danBELAKANG?





Solusi:Misalkan K1 adalah koin yang memiliki sisi MUKA danBELAKANG, K2 koin yang memiliki dua sisi MUKA.

P(K1|MM) =P(K1 ∩MM)

P(MM)

=P(MM|K1)P(K1)

P(MM|K1)P(K1) + P(MM|K2)P(K2)

=(1/4)(1/2)

(1/4)(1/2) + (1)(1/2)= 1/5


ma5283 statistika bab 2 peluang -...

Documents