konsep dasar peluang/probabilitas · pdf filecontoh 2 : peluang seorang mahasiswa lulus...
TRANSCRIPT
KONSEP DASAR PELUANG/PROBABILITAS
Di sajikan oleh :
Pinrolinvic D.K. Manembu
Teknik Informatika
Universitas Sam Ratulangi.
BILANGAN FAKTORIAL
Bilangan faktorial ditulis n!
Rumus :
n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1
dimana : 0! = 1 dan 1! = 1
Contoh :
5! = 5.(5-1).(5-2).(5-3).(5-4)=5.4.3.2.1
=120
Coba hitung 6! dan 10!/8!
PERMUTASI
Susunan-susunan yang dibentuk dari
anggota-anggota suatu himpunan dengan
mengambil seluruh atau sebagian
anggota himpunan dan memberi arti
pada urutan anggota dari masing-masing
susunan tersebut.
Permutasi ditulis dengan P
PERMUTASI (lanjutan)
Bila himpunan terdiri dari n anggota dan
diambil sebanyak r, maka banyaknya
susunan yang dapat dibuat adalah :
Contoh :
Bila n = 4 dan r = 2, maka
!r-n
n! Prn
4 2
4! 4! 4.3.2.1P 12
4-2 ! 2! 2.1
PERMUTASI (lanjutan)
Contoh:
Dalam suatu ruang tunggu hanya tersedia
3 buah kursi. Bila di ruang tunggu ada 10
orang, berapa banyak cara mereka duduk
berdampingan?
Jawab:
n = 10, r = 3
10 3
10! 10!P 10 x 9 x 8 = 12
10-3 ! 7!
PERMUTASI (lanjutan) Bila himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama, maka banyak permutasi yang dapat dibuat adalah :
dimana n1+n2+n3+…+nk = n
Contoh :
Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kalimat
“TEKNIK ELEKTRONIKA” ?
Banyak n=17
huruf A = n1 = 1 huruf K = n4 = 4 huruf O = n7 = 1
huruf E = n2 = 3 huruf L = n5 = 1 huruf R = n8 = 1
huruf I = n3 = 2 huruf N = n6 = 2 huruf T = n9 = 2
Maka banyak permutasi adalah :
!n ... !n !n !n
n!
k321
n
n ,...,n ,n ,n k321
17
1,3,2,4,1,2,1,1,2
17! 411.675.264.000
1! 3!2!4!1!2!1!1!2!
KOMBINASI
Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut.
Kombinasi ditulis dengan C
KOMBINASI (lanjutan)
Bila himpunan terdiri dari n anggota dan
diambil sebanyak r, maka banyaknya
susunan yang dapat dibuat adalah :
Contoh :
Bila n = 4 dan r = 2, maka
!r-nr!
n! C n
rrn
4
4 2 2
4! 4! 4.3.2.1C 6
2! 4-2 ! 2!2! 2.1.2.1
KOMBINASI (lanjutan) Contoh :
Dalam suatu kelompok terdiri dari 4 orang ahli mesin dan 3 orang ahli elektronika. Buatlah juri yang terdiri dari 2 orang ahli elektronika dan 1 orang ahli mesin!
Jawab :
Banyaknya jenis juri yang dapat dibentuk adalah
4 x 3 = 12 jenis juri.
4
4 1 1
3
3 2 2
4! 4! 4.3.2.1C 4
1! 4-1 ! 1!3! 1.3.2.1
3! 3! 3.2.1C 3
2! 3-2 ! 2!1! 2.1.1
LATIHAN
1. Dalam berapa cara 6 kelereng yang warnanya berbeda dapat disusun dalam satu baris?
2. Dari 7 calon mahasiswa teladan di Kota Bandung, akan dipilih mahasiswa teladan I, II, dan III. Berapa banyak cara susunan mahasiswa teladan yang akan terpilih?
3. Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana ekonomi dan 7 sarjana hukum. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2 sarjana ekonomi dan 3 sarjana hukum. Berapa banyak cara untuk membuat tim itu jika :
a. tiap orang dapat dipilih dengan bebas
b. seorang sarjana hukum harus ikut dalam tim itu
c. dua sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu
KONSEP PROBABILITAS
Kejadian yang akan terjadi sulit diketahui dengan
pasti.
Akan tetapi kejadian tersebut dapat kita ketahui
akan terjadi dengan melihat fakta-fakta yang ada.
Dalam statistika fakta-fakta tersebut digunakan
untuk mengukur derajat kepastian atau
keyakinan yang disebut dengan Probabilitas atau
Peluang dan dilambangkan dengan P.
PERUMUSAN PROBABILITAS
Bila kejadian E terjadi dalam m cara dari
seluruh n cara yang mungkin terjadi
dimana masing-masing n cara tersebut
mempunyai kesempatan atau
kemungkinan yang sama untuk muncul,
maka probabilitas kejadian E adalah :
n
m EP
PERUMUSAN PROBABILITAS
(lanjutan) Contoh :
Hitung probabilitas memperoleh kartu hati
bila sebuah kartu diambil secara acak dari
seperangkat kartu bridge yang lengkap!
Jawab:
Jumlah seluruh kartu = 52
Jumlah kartu hati = 13
Misal E adalah kejadian munculnya kartu
hati, maka : 52
13
n
m EP
RUANG SAMPEL
DAN KEJADIAN
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik.
Ruang sampel dilambangkan dengan S dan anggota-anggotanya disebut titik sampel.
Kejadian adalah himpunan dari hasil yang muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik.
Kejadian dilambangkan dengan A dan anggota-anggotanya disebut juga titik sampel.
RUANG SAMPEL
DAN KEJADIAN (lanjutan)
Ruang sampel S Himpunan semesta S
Kejadian A Himpunan bagian A
Titik sampel Anggota himpunan
A
S
RUANG SAMPEL
DAN KEJADIAN (lanjutan)
Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada
ruang sampel S yang terjadi dalam n cara
maka probabilitas kejadian A adalah :
dimana :
n(A) = banyak anggota A
n(S) = banyak anggota S
n
m
Sn
An AP
RUANG SAMPEL
DAN KEJADIAN (lanjutan)
Contoh :
Pada pelemparan 2 buah uang logam :
a. Tentukan ruang sampel!
b. Bila A menyatakan kejadian munculnya sisi-sisi yang sama dari 2
uang logam tersebut, tentukan probabilitas kejadian A!
Jawab :
a. Ruang sampelnya :
b. A = {(,g,g),(a,a)} , maka n(A) = 2 dan n(S) = 4, sehingga
probabilitas kejadian A adalah :
Uang logam 2
g a
Uang
Logam 1
g (g,g) (g,a)
a (a,g) (a,a)
2
1
4
2
Sn
An AP
RUANG SAMPEL
DAN KEJADIAN (lanjutan)
Latihan :
Pada pelemparan dua buah dadu :
a. Tentukan ruang sampelnya!
b. Bila A menyatakan kejadian munculnya dua dadu dengan muka sama, tentukan P(A)!
c. Bila B menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu kurang dari 5, tentukan P(B)!
d. Bila C menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu lebih dari sama dengan 7, tentukan P(C)!
SIFAT PROBABILITAS
KEJADIAN A
• Bila 0<P(A)<1, maka n(A) akan selalu
lebih sedikit dari n(S)
• Bila A = 0, himpunan kosong maka A
tidak terjadi pada S dan n(A)=0
sehingga P(A) = 0
• Bila A = S, maka n(A)=n(S)=n sehingga
P(A) = 1
1. Kejadian tak lepas
Kejadian A dan kejadian B saling
beririsan.
2. Kejadian saling lepas
Kejadian A dan kejadian B saling lepas
atau tidak beririsan
3. Kejadian saling bebas
Kejadian A mempengaruhi kejadian B,
dan sebaliknya.
Macam-macam kejadian
KEJADIAN TAK LEPAS
(KEJADIAN MAJEMUK)
Maka banyak anggota himpunan gabungan A dan B adalah :
Kejadian majemuk adalah gabungan atau irisan kejadian A dan B,
maka probabilitas kejadian gabungan A dan B adalah:
BAn-n(B) n(A) BAn
BAP-P(B) P(A) BAP
B A
S S
A B
KEJADIAN TAK LEPAS
(KEJADIAN MAJEMUK)
Contoh 1 :
Diambil satu kartu acak dari satu set kartu bridge yang
lengkap. Bila A adalah kejadian terpilihnya kartu As dan
B adalah kejadian terpilihnya kartu wajik, maka
hitunglah peluang terpilih kartu AS atau kartu wajik!
Jawab :
Yang dicari adalah peluang kartu AS ATAU kartu wajik
BAP
13
4
52
16
52
1
52
13
52
4
BAPBPAP BAP Maka
wajik)As(kartu 52
1 BAP ,
52
13 BP ,
52
4 AP
Contoh 2 :
Peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus adalah 2/3 dan
peluang ia lulus Statistika adalah 4/9. Bila peluang lulus
sekurang-kurangnya satu mata kuliah di atas adalah 4/5,
berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah tersebut?
Jawab :
Misal:
A = kejadian lulus Kalkulus
B = kejadian lulus Statistika
Yang dicari adalah peluang lulus
kalkulus DAN statistika P(A ∩ B)
45
14
5
4
9
4
3
2
BAPBPAPBAP
BAPBPAPBAP
5
4BAP ,
9
4BP ,
3
2AP
KEJADIAN TAK LEPAS
(KEJADIAN MAJEMUK)
KEJADIAN SALING LEPAS
Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang pada S dan
berlaku maka A dan B dikatakan dua
kejadian yang saling lepas.
Dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara
bersamaan.
Dengan demikian probabilitas adalah :
0BA
BA
B A
S
BPAPBAP
KEJADIAN SALING LEPAS
Contoh :
Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan probabilitas munculnya muka dua
dadu dengan jumlah 7 atau 11!
Jawab :
Misal A = kejadian munculnya jumlah 7
B = kejadian munculnya jumlah 11
Tentukan ruang sampelnya dulu! Dari ruang sampel akan diperoleh :
A = {(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)}
B = {(6,5),(5,6)}
Maka yang berarti A dan B saling lepas.
P(A) = 6/36 , P(B)=2/36 sehingga
6 2 8 2P A B P A P B
36 36 36 9
0BAP
KEJADIAN SALING BEBAS
Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S
dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak
mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya
kejadian B juga tidak mempengaruhi
kejadian A.
Rumus : BP.APBAP
KEJADIAN SALING BEBAS Contoh :
Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka X<=3 dadu I dan kejadian munculnya muka Y>=5 dadu II saling bebas?
Jawab :
A= kejadian munculnya muka X<=3 dadu I
B= kejadian munculnya muka Y>=5 dadu II
Dari ruang sampel diperoleh :
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),
(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}
B={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6),
(4,6),(5,6),(6,6)}
Maka diperoleh
P(A) = 18/36 = ½ dan P(B) = 12/36 = 1/3
Tetapi juga berlaku
maka A dan B saling bebas.
(3,6)}(2,6),,(3,5)(1,6)(2,5),{(1,5), BA
B.PAP3
1.
2
1
6
1BAP
6
1
36
6 BAP
Latihan
• Peluang Ahmad memakai baju biru 0.5, merah 0.2,
dan putih 0.3. Sedangkan peluang Ali memakai celana
hitam 0.4, coklat 0.2, dan biru 0.4.
– Berapa peluang Ahmad memakai baju putih dan Ali
memakai celana hitam?
– Berapa peluang Ahmad memakai baju biru atau Ali
memakai celana biru?
– Berapa peluang Ahmad memakai baju warna
apapun tetapi Ali memakai celana berwarna
coklat?
DUA KEJADIAN
SALING KOMPLEMENTER
Bila maka Ac atau A’ adalah
himpunan S yang bukan anggota A.
Dengan demikian
dan
Rumus probabilitasnya :
SA
0A'A
S
A
A’
SA'A
AP1A'P
DUA KEJADIAN
SALING KOMPLEMENTER Latihan
Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih,
dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak,
tentukan probabilitas terpilihnya:
a. Bola merah
b. Bola putih
c. Bola biru
d. Tidak merah
e. Merah atau putih
PROBABILITAS BERSYARAT
Kejadian A terjadi dengan syarat kejadian
B lebih dulu terjadi, dikatakan kejadian A
bersyarat B dan ditulis (A|B).
Probabilitas terjadinya A bila kejadian B
telah terjadi disebut probabilitas bersyarat
P(A|B).
Rumusnya :
P A BP A|B , P B 0
P B
PROBABILITAS BERSYARAT
(lanjutan)
Contoh :
Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :
Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia :
a. Laki-laki b. wanita
Bekerja Menganggur Jumlah
Laki-laki
Wanita
460
140
40
260
500
400
Jumlah 600 300 900
PROBABILITAS BERSYARAT
(lanjutan)
Jawab :
A = kejadian terpilihnya sarjana telah bekerja
B = kejadian bahwa dia laki-laki
a.
b. Cari sendiri!
460n A B 460 maka P A B
900
600n A 600 maka P A
900
460P A B 460 23900P B|A
600P A 600 30
900
PROBABILITAS BERSYARAT
Untuk Kejadian Saling Bebas
Bila A dan B dua kejadian dalam ruang
sampel S yang saling bebas dengan P(A)=0
dan P(B)=0 maka berlaku :
Bila
Untuk kejadian A, B, dan C maka :
P A|B P A dan P B|A P B
P A BP A|B , maka
P B
P A B P A|B .P B
P A B C P A|B C .P B|C .P C
PROBABILITAS BERSYARAT
Untuk Kejadian Saling Bebas
Contoh :
Misal kita mengambil 3 kartu (diambil 3 kali) pada kartu bridge yang lengkap. Setiap mengambil kartu, kartu yang terpilih tidak dikembalikan pada kelompok kartu tersebut. Hal ini dikatakan pengambilan kartu tanpa pengembalian. Tentukanlah probabilitas untuk memperoleh 3 kartu As!
PROBABILITAS BERSYARAT
Untuk Kejadian Saling Bebas
Jawab :
S = kumpulan kartu dimana n(S) = 52
A = terpilih kartu As pada pengambilan pertama
B|A = terpilih kartu As pada pengambilan kedua dengan syarat pada pengambilan pertama terpilih kartu As
C| = terpilih kartu As pada pengambilan ketiga dengan syarat pada pengambilan pertama dan kedua terpilih kartu As
BA
PROBABILITAS BERSYARAT
Untuk Kejadian Saling Bebas
Pengambilan 1 : n(A)=4 dan n(S)=52
Pengambilan 2 : n(B|A)=3 dan n(S)=51
Pengambilan 3 : n(C| )=2 dan
n(S)=50
Maka :
BA
P A B C P C|A B .P B|A .P A
2 3 4 1 . .
50 51 52 5525
RUMUS BAYES
A1, A2, A3 adalah tiga kejadian yang saling lepas.
Maka kejadian B dapat ditentukan :
1 2 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
3
i i
i 1
B B A B A B A
maka probabilitas B adalah
P B P B A P B A P B A
P B|A .P A P B|A .P A P B|A .P A
P B|A .P A
B
S A1 A2 A3
RUMUS BAYES (lanjutan)
Probabilitas kejadian bersyarat :
1 1 1
1 3
i i
i 1
2 2 2
2 3
i i
i 1
3 3 3
3 3
i i
i 1
P B A P B|A .P AP A |B
P BP B|A .P A
P B A P B|A .P AP A |B
P BP B|A .P A
P B A P B|A .P AP A |B
P BP B|A .P A
RUMUS BAYES (lanjutan)
Secara umum bila A1,A2,…,An kejadian
saling lepas dalam ruang sampel S dan B
adalah kejadian lain yang sembarang
dalam S, maka probabilitas kejadian
bersyarat Ai|B adalah :
n
i 1
P B A P B|A .P AP A |B
P BP B|A .P A
i i i
i
i i
RUMUS BAYES (lanjutan)
Contoh :
Ada 3 kotak yang masing-masing berisi 2 bola. Kotak I berisi 2 bola merah, kotak II berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak III berisi 2 bola putih.
Dengan mata tertutup anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil bola 1 bola secara acak dari kotak yang terambil tersebut. Anda diberitahu bahwa bola yang terambil ternyata berwarna merah. Berapakah peluangnya bola tersebut terambil dari kotak I, II, dan III?
RUMUS BAYES (lanjutan) Jawab :
A1 = kejadian terambilnya kotak I
A2 = kejadian terambilnya kotak II
A3 = kejadian terambilnya kotak III
B = kejadian terambilnya bola merah
Ditanya : P(A1|B), P(A2|B), dan P(A3|B)
Karena diambil secara acak maka :
P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3
Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak I adalah P(B|A1)=1.
Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak II adalah P(B|A2)=1/2.
Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak III adalah P(B|A3)=0.
P(B)= P(B|A1).P(A1)+P(B|A2).P(A2)+P(B|A3).P(A3)
= 1.1/3 + 1/2.1/3 + 0.1/3
= 1/2
RUMUS BAYES (lanjutan)
Jadi :
1 1 1
1
2 2 2
2
3 3 3
3
11
P B A P B|A .P A 23P A |B
1P B P B 3
2
1 1
P B A P B|A .P A 12 3P A |B
1P B P B 3
2
10
P B A P B|A .P A 3P A |B 0
1P B P B
2
LATIHAN
Suatu perusahaan besar menyediakan 3 hotel bagi akomodasi rekanannya. Dari catatan sebelumnya diketahui bahwa 20% rekanannya diinapkan dihotel A, 50% dihotel B, dan 30% dihotel C.
Bila 5% diantara kamar-kamar dihotel A, 4% di hotel B, dan 8% dihotel C terdapat kerusakan pipa air di kamar mandinya, hitung peluang bahwa :
a. Seorang rekanan mendapat kamar dengan pipa air yang rusak!
b. Seorang rekanan yang diketahui mendapat kamar dengan pipa air yang rusak ternyata menginap di hotel A!
1. Pada pelemparan 1 buah dadu dan 1 buah uang logam:
a. Tentukan ruang sampelnya!
b. Bila A menyatakan kejadian munculnya mata dadu prima, tentukan P(A)!
c. Bila B menyatakan kejadian munculnya gambar, tentukan P(B)!
d. Bila C menyatakan kejadian munculnya mata dadu prima atau gambar, tentukan P(C)!
2. Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana ekonomi dan 7 sarjana hukum. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2 sarjana ekonomi dan 3 sarjana hukum. Berapa banyak cara untuk membuat tim itu jika ada 3 orang sarjana hukum yang tidak boleh ikut.