1. Konsep Peluang

EL2002-Probabilitas dan StatistikDosen: Andriyan

Isi1. Ruang Cuplikan (Sample Space)2. Kejadian (Events)3. Operasi Terhadap Kejadian4. Pencacahan Titik Cuplikan5. Peluang Kejadian6. Hukum Peluang7. Peluang Bersyarat8. Aturan Bayes

1.1 Ruang Cuplikan

(sample space)

Data Mentah

• Def.1.1: Data mentah adalah rekaman dalambentuk asal, baik berupa hasil pencacahan maupunpengukuran

• Hasil pengamatan: pencacahan atau hasilnumerik dari suatu pengukuran

• Percobaan (statistik): segala macam prosesyang menghasilkan data mentah– Contoh: pencacahan trafik kendaraan, pelantunan mata uang

atau dadu, pengamatan besaran fisik dalam eksperimen diLab, dll

Ruang Cuplikan• Def.1.2: Himpunan semua hasil percobaan statistik

disebut sebagai ruang cuplikan dan dituliskan sebagaiS.

• Setiap titik dalam ruang cuplikan disebut titik cuplikan (sample point), atau elemen/anggota ruang cuplikan.

• Contoh ruang cuplikan:– Pelantunan uang logam (koin): S = {H, T} – S = {x|x kota dengan penduduk diatas 1 juta jiwa}– S={(x,y)}| x2 + y2 ≤ 4}– Pelantunan dadu:

• S1={1, 2, 3, 4, 5, 6}• S2 = {ganjil, genap}

1.2 Kejadian/Peristiwa

(Events)

Definisi kejadian• Def.1.3: Suatu kejadian (peristiwa) adalah

himpunan bagian dari ruang cuplikan

• Contoh:– A={3,6} adalah kejadian dalam pelantunan dadu

dimana mata dadu yang muncul dapat dibagi 3– Untuk t yng menyatakan umur komponen elektonik,

kejadian A dimana komponen berumur kurang dari5 tahun adalah A={t|t<5}, dengan S={t|t≥1}

Kejadian sederhana dan kejadian majemuk

• Def.1.4: Jika suatu kejadian berupa himpunan yang hanyamengandung satu titik cuplikan, maka kejadian ini disebutsebagai kejadian sederhana. Kejadian majemuk adalahkejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan daribeberapa kejadian sederhana

• Contoh: – Untuk percobaan/pengamatan jenis kartu, dimana S={ ♥, ♠, ♣ ♦},

maka A={♥} adalah kejadian sederhana, sedangkan B = {♥, ♦} adalah kejadian majemuk.

• NB: ♥ ≡ heart, ♠ ≡ spade, ♣ ≡ club, ♦ ≡ diamond– Sebaliknya, jika S = {seluruh 52 buah kartu yang dilihat satu

persatu}, maka A={semua kartu ♥} adalah kejadian majemuk.

Ruang null• Def.1.5: Ruang null atau ruang kosong adalah

himpunan bagian dari ruang cuplik yang tidakmemiliki anggota dan dilambangkan sebagai ∅.

• Contoh null-space– Hasil pengamatan organisme mikroskopis dng mata-

telanjang– B={x|x faktor nonprima dari 7}– Hasil percobaan pelantunan dadu (biasa) yang memberi

mata tujuh

Diagram Venn

S

A

B

CA={kartu warna merah}

B={kartu J♦, Q♦, K♦}

C={kartu As}

• Penggambaran relasi antar himpunan.

S = ruang cuplikanA, B, C: kejadian

1.3 Operasi terhadap kejadian

Irisan dua kejadian• Def.1.6: Irisan antara kejadian A dengan kejadian B,

dilambangkan sebagai A∩B, adalah kejadian yang mengandung semua elemen yang berada di A dan di Bsekaligus.

SA B

• Contoh:– Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B={2,

4, 6, 8}, maka A∩B={2,4}– Jika P = {a, i, u, e, o} dan

Q={s,t}, maka P∩Q = ∅• Pada contoh terakhir, P dan Q tdk

dapat terjadi bersamaan.Kejadianspt ini disebut mutually exclusive.

Kejadian mutually exclusive

• Def.1.7: Dua buah kejadian A dan B disebut mutually exclusive jika A∩B = ∅

SA B

Gabungan kejadian

• Def.1.8: Gabungan dua buah kejadian, A dan B, dilambangkan sebagai A∪B, adalah kejadian yang mengandung semua elemen dari A, atau B, atau keduanya.

SA B

• Contoh:– Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B={2,

4, 6, 8}, maka A ∪ B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

– Jika P = {a, i, u, e, o} danQ={s,t}, maka P∪Q ={a, i, u, e, o, s, t}

Kejadian Komplementer

• Def.1.9: Komplemen dari kejadian A terhadap S, dituliskan sebagai A’, himpunan semua elemen S yang tidak berada dalam A.

• Contoh:– Jika S = {1, 2, 3, 4, 5} dan A={2,

4}, maka A’ ={1, 3, 5}– Untuk S={ ♥, ♠, ♣ ♦} dan

A={♥}, maka A’={♠, ♣, ♦}

S

A

A’

Hasil-hasil penting

• A ∩ ∅ = ∅• A ∪ ∅ = A• A ∩ A’ = ∅• A ∪ A’ = S• S’ = ∅• ∅’ = S• (A’)’ = A

1.4 Pencacahan Titik Cuplikan

(Counting)

Isi• Prinsip-prinsip dasar pencacahan:

– Aturan perkalian (Product rule --Theorem 1.1)– Aturan perkalian umum (Generalized Product rule--Theorem 1.2)– Permutasi (Def. 1.10)

• Permutasi n-objek berlainan (Theorem 1.3)• Permutasi n-objek berlainan, diambil r-objek sekaligus (Theorem 1.4)• Permutasi sirkular (Theorem 1.5)• Permutasi berlainan untuk n-objek dengan masing-masing ada n1

objek jenis pertama, …, nk objek jenis ke-k (Theorem 1.6)• Partisi himpunan dari n-objek kedalam r-sel dengan n1-elemen, … dst

(Theorem 1.7)• Kombinasi n-objek, diambil r-objek sekaligus

– Theorem 1.8.– Tambahan EL2009:

• Aturan penjumlahan (Sum Rule)• Aturan penjumlahan umum (Generalized sum rule)

NB: Counting kita terjemahkan sebagai pencacahan

Aturan perkalian• Teorema 1.1: Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1

buah cara, dan untuk setiap operasi ini dapat dilakukanoperasi kedua sebanyak n2 buah cara, maka kedua operasiini dapat dilakukan bersamaan dengan n1⋅n2 cara

• Contoh: – Soal: Tentukan jumlah titik cuplikan dalam pelantunan dua buah

dadu!– Jawab: Dadu pertama memberikan 6 macam keluaran. Untuk setuap

hasil, dadu kedua menghasilkan 6 macam keluaran juga. Dengandemikian, sepasang dadu akan menghasilkan 6.6=36 macamkeluaran.

– Tugas Mhs: • Berikan daftar ke-36 buah keluaran ini !• Ulangi untuk pelantunan uang logam dengan hasil {H, T}

Aturan perkalian yang diperumum• Teorema 1.2: Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1

buah cara, dan untuk setiap operasi ini dapat dilakukanoperasi kedua sebanyak n2 buah cara, dan untuk setiapoperasi ini dapat dilakukan operasi ketiga sebanyak n3buah cara, … dst, maka k buah operasi ini dapat dilakukanbersamaan sebanyak n1⋅n2 … ⋅nk cara

• Contoh: – Suatu restoran memiliki 4 jenis lauk-pauk, 3 jenis sayuran, 5

jenis kerupuk, dan 4 macam jus. Ada berapa banyak menu yang bisa dibuat oleh restoran tersebut, jika setiap menu terdiridari satu buah lauk, satu mangkuk, 1 bungkus kerupuk, dan 1 gelas jus?

• Jawab: akan ada 4⋅3 ⋅5 ⋅4 = 240 macam menu

Permutasi• Def.1.10: Permutasi adalah penyusunan dari seluruh

atau sebagian dari sekumpulan objek.

• Contoh: – 4 buah huruf a, b, c, d dapat di-permutasikan sebanyak

4! = 4⋅ 3⋅2⋅1 = 24

• Teorema 1.3: Jumlah permutasi dari n objek berlainanadalah n!

• Contoh: – Tiga buah huruf a, b, c dapat disusun sebagai abc, acb, bac,

bca,cab, dan cba– Berdasarkan aturan perkalian, untuk n buah objek akan ada:

n(n-1) … 2⋅1 = n!

Permutasi r dari n objek• Untuk keempat huruf tadi, permutasi per-dua huruf adalah:

ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, bd, cb, db, cd, dc; ada sebanyak12 buah. Dengan Teorema 1.2, ada 4 buah untuk pilihanpertama, dan ada 3 buah untuk pilihan kedua sehingga ada4⋅3=12 permutasi.

• Pada umumnya, n objek berlainan diambil r buah sekaligusakan menghasilkan pengaturan sebanyak

n⋅(n-1)⋅ … ⋅(n – r + 1)= n!/(n-r)!

• Teorema 1.4: Jumlah r buah permutasi dari n objekberlainan adalah nPr = n!/(n-r)!

• Contoh:– Banyaknya cara mengambil tiket undian untuk pemenang pertama

dan kedua, dari 20 tiket adalah20P2 = 20!/(20-2)! = 20⋅19 =380

Permutasi Sirkular• Permutasi yang muncul dalam pengaturan objek secara

melingkar disebut permutasi sirkular. Dua permutasisirkular berbeda jika keduanya didahului atau diikuti objekyang berbeda, ketika dilihat dalam arah putar jarum jam.

• Permutasi sirkular dapat dihitung dengan mengambil satuobjek tetap, kemudian melakukan permutasi objek sisanya. Dengan demikian, permutasi n objek secara sirkular akanmenghasilkan (n-1)! susunan berlainan.

• Teorema 1.5: Jumlah permutasi sirkular dari n objekberlainan adalah (n-1)!

Permutasi beberapa jenis objek• Tinjau permutasi tiga huruf a,b,c. Jika huruf b=c=x, maka

permutasi menjadi axx, axx, xax, xax, xxa, dan xxa; sehingga menjadi 3 buah yang berbeda.

• Teorema 1.6: Jumlah permutasi berlainan dari n buahobjek yang terdiri dari n1 objek jenis pertama, n2 jeniskedua, …, nk jenis ke k adalah

!...!!!

21 knnnn

• Contoh: ada berapa banyak cara berbeda untuk menyusun lampuwarna-warni dalam seuntai tali jika ada 3 yang berwarna merah, 4 kuning, dan 2 biru?

• Jawab: ada sebanyak 9!/(3!4!2!) = 1260

Partisi himpunan• Partisi himpunan n objek kedalam r himpunan bagian (subset) atau sel:

– Partisi berhasil jika irisan sebarang dua subset adalah ∅ dan gabunganseluruh subset menghasilkan himpunan asal.

– Contoh: Partisi S = {a, e, i, o, u} kedalam dua sel yang masing-masingmengandung 4 dan 1 buah anggota adalah: {(a, e, i, o), (u)}, {(a, i, o, u), (e)}, {(a, e, o, u), (i)}, dan {(a, e, i, u), (o)}. Sehingga ada 5 buah:

5!1!4

!51,4

5==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

• Teorema 1.7: Banyaknya cara untuk mempartisi suatu himpunan n objekkedalam r buah sel dengan masing-masing n1 objek untuk sel pertama, n2objek untuk sel kedua, …, nr objek untuk sel ke r adalah

dimana n1 + n2 + … + nr = n.

!...!!!

,...,, 2121 rr nnnn

nnnn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Kombinasi• Pengaturan r-objek dari sekumpulan n-buah objek tanpa memperhatikan

urutan disebut kombinasi. Suatu kombinasi pada dasarnya adalah partisidua sel, yang pertama mengandung r-objek dan yang kedua ada (n-r) objek. Dengan demikian banyaknya kombinasi r-objek dari n kumpulan adalah

karena sudah pasti sel kedua beranggotakan n-r

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− r

nditulisbiasaatau

rnrn

,

• Teorema 1.9: Kombinasi r dari n buah objek berlainan adalah

( )!!!

rnrn

rn

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1.5 Nilai Peluang

Inferensi dan Arti Peluang• Ahli statistik berurusan dengan pengambilan kesimpulan

(inferensi) dalam eksperimen yang menyangkut ketidakpastian.• Beberapa contoh:

– “Chris John kemungkinan memenangkan pertandingan tinjumalam ini.”

– “Saya punya peluang 50-50 untuk mendapatkan angka genap jikadadu ini dilantunkan”

– “Nanti malam kemungkinan besar saya tidak akan memenangkanundian.”

– “Kebanyakan mahasiswa STEI lulus dalam 8 semester”• Dalam contoh-contoh diatas, kita mengekspresikan keluaran

hasil eksperimen yang tidak pasti. Akan tetapi denganmengetahui informasi yang lalu atau struktur dari eksperimen, kita punya derajat keyakinan tertentu akan validitas daripernyataan-pernyataan diatas.

Pembobotan titik cuplikan• Teori Matematika untuk peluang dari ruang

pencuplikan berhingga menyediakan sekumpulanbilangan yang disebut sebagai pembobot(weights), dengan nilai antara 0 sampai 1, sebagaicara mengevaluasi kebolehjadian (likelihood)munculnya suatu peristiwa dari eksperimenstatistik.

• Setiap titik dalam ruang pencuplikan dibobotisedemikian rupa hingga jumlah keseluruhan daripembobot menjadi 1.– Kejadian dengan kemungkinan tinggi diberi bobot

mendekati 1.– Kejadian yang lebih mustahil diberi bobot mendekati 0.

Nilai Peluang dari Kejadian• Peluang dari kejadian A dihitung dengan menjumlahkan

seluruh bobot titik cuplikan didalam A. • Jumlah ini disebut sebagai ukuran (measure) dari A, atau

peluang A dan dituliskan sebagai P(A). Dengan demikian,– P(∅) = 0 – P(S) = 1

• Def. 1.11: Nilai peluang dari kejadian A adalah hasilpenjumlahan pembobot dari semua titik cuplikan didalamA. Sehingga

• 0≤P(A)≤1, • P(∅) = 0 • P(S) = 1

Contoh• Soal: Sebuah uang logam dengan sisi H dan T

dilantunkan dua kali. Berapa peluang munculsedikitnya satu buah sisi H ?

• Jawab: Himpunan titik cuplikan dari percobaan iniadalah S={HH, HT, TH, TT}. Denganmenganggap uang logam tak bias, setiap hasilmemiliki kebolehjadian yang sama. Jika masing-masing pembobot adalah w, maka

|S|⋅w = 4w = 1. dengan demikian w = ¼.

Jika A menyatakan kejadian muncul sedikitnyasatu kali H, maka A = {HH, HT, TH} dan

P(A) = |A|⋅w = 3/4

Peluang Kejadian Sederhana• Pembobot dapat diasosiasikan dengan kejadian sederhana.

Jika eksperimen dilakukan sedemikian rupa hinggapembobot setiap titik cuplikan didalam S bernilai sama, maka nilai peluang dari kejadian A adalah nisbah antarajumlah elemen A dengan jumlah elemen S.

• Teorema 1.9: Jika suatu eksperimen menghasilkan satudari N buah hasil berbeda dengan kebolehjadian yang sama, dan jika n buah dari kejadian ini berasal darikejadian A, maka nilai peluang dari kejadian A adalah

P(A) = n/N

Contoh• Soal: Tentukan peluang terambilnya kartu

♥ dari setumpukan lengkap kartu.• Jawab: Banyaknya titik cuplikan didalam S

adalah sejumlah kartu, yaitu 52, dimana ada13 buah kartu ♥. Dengan demikian

P(A) = 13/52 = ¼

• Catatan: jika pembobot tidak seragam, nilai peluang harusdidasarkan pada sifat eksperimen yang diketahuisebelumnya (prior knowledge) atau bukti-buktieksperimental.

1.6 Beberapa Hukum Peluang

Hukum penjumlahan• Teorema 1.10: Untuk sebarang dua kejadian A dan

B akan berlakuP(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

• Bukti: Tinjau diagram Venn disamping. Perdefinisi, P(A∪B) adalah jumlah pembobot titikcuplikan dalam A∪B. Akan tetapiP(A) + P(B) adalah jumlah seluruhpembobot di A dengan seluruhpembobot di B, sehingga kita telahmenambahkan A∩B dua kali. Olehkarena itu, kita harus mengurangiP(A) + P(B) dengan P(A∩B) untukmendapatkan P(A∪B) semestinya.

SA B

Peluang kejadian yang saling bebas• Corollary 1: Jika A dan B adalah kejadian yang

saling bebas (mutually exclusive), makaP(A∪B) = P(A) + P(B)

• Corrolary 1 ini adalah hasil langsung dari teorema 1.10, karena jika A dan B saling bebas, maka P(A∩B) = P(∅) =0. Hasil ini dapat diperumum:

• Corollary 2: Jika A1, A2, … dan An, adalah kejadianyang saling bebas (mutually exclusive), makaP(A1∪A2∪ … ∪An) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An)

• Kita ingat, jika A1, A2, … dan An adalah partisi dari ruangpencuplikan S, maka

P(A1∪A2∪ … ∪An) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An)

Contoh• Soal 1: Peluang seorang mahasiswa lulus kuliah

Matematika adalah 2/3, sdangkan peluanglulusnya untuk kuliah Biologi adalah 4/9. Jikapeluang lulus sedikitnya satu dari kedua kuliah tsbadalah 4/5, berapa peluang lulus kedua kuliah tsb?

• Jawab: Sebut M sebagai kejadian “lulus Martematika” sedangkan B sebagai kejadian “lulus Biologi”. Berdasarkan teorema 1.10, maka

P(M∩B) = P(M) + P(B) - P(M∪B)= 2/3 + 4/9 – 4/5 = 14/45

Peluang kejadian komplementer• Teorema 1.11: Jika A’ adalah kejadian komple-

menter dari kejadian A, makaP(A’) = 1 – P(A)

• Bukti: Karena A∪A’ = S dan karena himpunan A takberirisan dengan A’, maka

1 = P(S)= P(A∪A’)= P(A) + P(A’)

Akibatnya, P(A’) = 1 – P(A)

Contoh• Soal: Suatu uang logam dengan muka H dan T dilantunkan

enam kali berturut-turut. Berapa peluang sedikitnya satu Hmuncul?

• Jawab: Andaikan E adalah kejadian muncul sedikitnya satukepala. Ruang pencuplikan S terdiri dari 26 = 64 buah titikcuplikan karena setiap lantunan memiliki dua jeniskeluaran. Kita ketahui P(E) = 1 - P(E’) dimana E’ adalahkejadian tidak munculnya sisi H, yang hanya bisa terjadisekali—yakni seluruh lantunan menghasilkan T. Oleh karena itu, P(E’) = 1/64 dan kita dapatkan

P(E) = 1 – P(E’) = 1 - 1/64 = 63/64.

1.7 Peluang Bersyarat

Pengertian• Nilai peluang dari munculnya kejadian B, jika diketahui adanya

kejadian A disebut peluang bersyarat P(B|A).– Dibaca: “peluang B, diberikan A”

• Tinjau kejadian B dari pelantunan dadu yang menghasilkan bilangankuadrat sempurna (kuad. sempurna: 1, 4, 9, …). Dadu dibuatsdemikian hingga bilangan genap muncul duakali lebih seringdibanding bilangan ganjil. Karena S={1,2,3,4,5,6} makaP(1)=P(3)=P(5)= v, dan P(2)=P(4)=P(6) = 2v, tetapi 3v+2⋅3v = 1 => v=1/9. Jadi dadu ganjil berpeluang 1/9, dadu genap 2/9.

• Andaikan diketahui pelantunan menghasilkan angka diatas 3, jadiA={4,5,6}⊆S. Untuk menghitung B, nilai peluang dari titik cuplikan diA harus ditentukan lagi shg totalnya 1, dng demikian pembobot w untuk A adalah 2w+w+2w=5w=1, atau w=1/5;

• Relatif terhadap A, B mengandung satu elemen saja, yaitu 4, atauB|A={4}. Dengan demikian:

P(B|A) = 2/5, atauP(B|A) = (2/9) / (5/9) = P(A∩B) / P(A)

Definisi• Def. 1.12: Peluang bersyarat dari B, diberikan A,

dituliskan sebagai P(B|A) didefinisikan sebagaiP(B|A) = P(A∩B)/P(A) jika P(A)>0

• Contoh: Suatu populasi memiliki data sbb:Bekerja (E) Tdk bekerja

Laki-laki 460 40Perempuan 140 260• Tinjau dua kejadian dari seleksi acak berikut

M: terpilih Laki-laki, E: yang terpilih punya pekerjaanDengan demikian, nilai peluang bersyarat M|E adalah

P(M|E)=460/(460+140) = 23/30Def.1.12 juga memberikan hasil sama karena P(E∩M) = 460/900,

sedangkan P(E)=600/900, shg P(M|E) = P(E∩M)/P(E) = 23/30

Teorema perkalian

• Soal: dalam satu kotak terdapat 20 buah sekering, 5 diantaranya cacat. Jika 2 buah sekering dipilih secara acak dan diambil dari kotak secaraberturutan, tanpa penggantian, berapa peluang kedua sekering yang terambil itu cacat?

• Jawab: Andaikan A kejadian terambilnya sekering cacat yang pertamadan B kejadian terambilnya sekering cacat kedua, kejadian A∩B harusditafsirkan bahwa A terjadi, kemudian B terjadi setelah A terjadi. Peluang terambilnya sekering pertama cacat adalah 5/20=1/4, sedangkan terambilnya sekering kedua cacat adalah (5-1)/(20-1) = 4/19. Dengan demikian

P(A∩B) = (1/4)⋅(4/19) = 1/19.

• Teorema 1.12: Jika dalam suatu eksperimen peristiwa A dan B dapat terjadi, maka berlaku

P(A∩B) = P(A)⋅P(B|A)

P(A) P(B|A)

Generalisasi teorema perkalian• Teorema 1.13: Jika dalam suatu percobaan kejadian

A1, A2, A3, … dapat muncul, maka berlaku

P(A1∩A2∩A3 … ) = P(A1)⋅P(A2|A1) ⋅P(A3|A1 ∩A2) …

Kejadian saling bebas• Def.1.13 Kejadian A dan B disebut saling bebas

(independent) jika, dan hanya jika, P(A∩B) = P(A)⋅P(B)

• Soal: sepasang dadu dilantunkan dua kali. Berapa peluangmendapatkan jumlah 7 dan 11?

• Jawab: Jika A1, A2, B1, dan B2 peristiwa saling bebas bahwa jumlah 7 pada lemparan pertama, jumlah 7 pada lemparan kedua, jumlah 11 pada lemparan pertama, dan jumlah 11 pada lemparan kedua muncul. Kita akanmencermati kejadian mutually exclusive A1∩B2 dan B1∩A2. Oleh karena itu

P[(A1∩B2)∪(B1∩A2)] = P(A1∩B2) + P(B1∩A2)= P(A1)⋅P(B2) + P(B1)⋅P(A2)= (1/6)⋅(/18) + ((1/18)⋅(1/6)= 1/54

Aturan Bayes

Ilustrasi• Kembali ke contoh sebelumnya:

Bekerja (E) Tdk bekerjaLaki-laki 460 40Perempuan 140 260• Dengan mudah diperoleh

P(E) = (460+140)/(460+140+40+260) = 600/900=2/3• Soal: Andaikan diketahui juga, 36 dari yang bekerja dan 12 dari yang

tdk bekerja adalah anggota Rotary Club (RC), berapa peluangseseorang yang bekerja adalah anggota RC ?

• Jawab: Misalkan A peristiwa orang yang terpilih adalah anggota RC, peluang bersyarat yang kita cari adalah:

P(E|A) = P(E∩A)/P(A)

Lanjutan …• Tinjau diagram Venn disamping• Peristiwa A dapat dinyatakan sebagai

gabungan dua peristiwa yang mutually exclusive, yaitu E∩A dan E’∩A. Jadi

A = (E∩A) ∪ (E’∩A)• Berdasarkan Corollary 1,Teorema 1.10,

maka: P(A) = P(E∩A) + P(E’∩A)• Sehingga bisa kita tuliskan

A

E

E’

S

• Dengan demikian, untuk soal sebelumnya, kita bisa hitung:P(E∩A) = 36/900 = 1/25P(E’∩A) = 12/900 = 1/75P(E|A) = (1/25)/{(1/25) + (1/75)} = 3/4

P(E|A) = P(E∩A) /{P(E∩A) + P(E’∩A)}

Aturan Bayes Umum• Teorema 1.14 (Aturan Bayes). Andaikan {B1, B2, B3, … } sekumpulan

peristiwa yang membentuk partisi dari ruang cuplikan S, dimana P(Bi)≠0, untuk i=1, 2, …, n. Andaikan A sebarang peristiwa dalam S sedemikianhingga P(A)≠0. Maka, untuk k = 1, 2, … ,n berlaku

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )∑∑

==

=∩

∩= n

iii

kkn

ii

kk

BAPBP

BAPBP

ABP

ABPABP

11|

||

A

B1 Bk B3 B4

B2 Bn…

Sekian