unit pelajaran 1 pengenalan .pdf

Unit 1 Pengenalan kepada Kalkulus Asas |1

UNIT PELAJARAN 1

PENGENALAN KEPADA KALKULUS ASAS

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir kursus ini, anda diharap dapat:

1. Menyedari kegunaan kalkulus dalam kehidupan seharian.

2. Menghubungkaitkan konsep had dalam pembezaan dan kamiran.

3. Mengenal pasti pembezaan bentuk sesuatu graf dengan menggunakan ujian

menyusut/menokok, ujian terbitan pertama, ujian kecekungan dan ujian

terbitan kedua.

4. Mencari pembezaan bagi pelbagai fungsi.

5. Melakarkan graf berdasarkan kaedah yang sistematik.

6. Memilih dan menggunakan teknik-teknik kamiran yang sesuai.

7. Menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan pembezaan dan kamiran

secara sistematik.

Kalkulus Asas|2

PENGENALAN

alkulus asas merupakan satu bidang yang penting dalam matematik. Ini kerana ia

merupakan asas kepada bidang kalkulus yang lebih tinggi dan ia juga penting dalam

kehidupan seharian. Pengetahuan tentang kalkulus asas dapat membantu pelajar

mengendalikan aktiviti seharian mereka. Skop bidang pembelajaran ini merangkumi tajuk fungsi,

had dan keselanjaran, pembezaan, penggunaan pembezaan, kamiran dan penggunaan

pengamiran. Kemahiran yang akan dibincangkan ialah mengenai:

Fungsi

Had dan keselanjaran

Pembezaan

Teknik Pembezaan

Penggunaan pembezaan

Kamiran

Teknik Pengamiran

Penggunaan pengamiran

Tajuk ini meliputi idea intuitif konsep matematik tentang Kalkulus Asas. Kalkulus Asas memainkan

peranan yang sangat penting sebagai asas dalam bidang kalkulus yang lebih tinggi dan juga dalam

hidupan harian. Amalan kemahiran kalkulus ini digunakan dalam sains dan hidupan seharian.

Kalkulus Asas adalah satu daripada tajuk yang menarik dalam kurikulum matematik sekolah. Oleh

itu, murid perlu belajar konsep dan proses yang berkaitan dengan Kalkulus Asas melalui

penglibatan aktif daripada situasi pelbagai amalan.

K


1.1 Fungsi I

Tajuk berkenaan fungsi adalah suatu yang sangat penting dalam bidang kalkulus. Fungsi secara

ringkasnya adalah suatu bentuk hubungan yang tertakrif antara satu set input dan satu set output.

Kita namakan set yang berhubungan tersebut dengan nama domain dan julat. Fungsi sentiasa

menjadi tumpuan penyiasatan dalam kebanyakan bidang kajian matematik moden. Terdapat

banyak cara untuk kita menggambarkan atau mewakili fungsi. Pada kebiasaannya, fungsi boleh

ditakrifkan oleh formula atau algoritma yang menceritakan bagaimana untuk mengira output

daripada input yang diberikan. Cara lain yang digunakan adalah melalui rajah yang dipanggil graf

fungsi. Fungsi boleh juga digambarkan melalui hubungan dengan fungsi-fungsi lain, contohnya

sebagai fungsi songsang, gubahan atau sebagai penyelesaian persamaan perbezaan.

1.2 Fungsi II

Dalam unit ini, kita akan pelajari lanjutkan perbincangan mengenai fungsi. Beberapa fungsi penting

di dalam kajian matematik akan dibincangkan bermula dengan fungsi polinomial diikuti dengan

fungsi modulus, fungsi nisbah, fungsi eksponen dan logaritma. Seterusnya fungsi punca kuasa,

fungsi trigonometri dan diakhiri dengan fungsi hiperbolik.

Fungsi polinomial adalah antara fungsi yang terpenting, ditakrifkan daripada ungkapan berbentuk

polinomial. Aplikasi fungsi polinomial muncul dalam pelbagai bidang matematik, sains gunaan,

ekonomi dan sains sosial. Sebagai contoh, ia sering ditemui sebagai hasil permodelan pelbagai

masalah daripada masalah perkataan mudah hingga kepada masalah yang lebih rumit seperti

memperolehi penghampiran dan interpolasi. Termasuk juga fungsi yang terbit daripada proses

pembinaan model-model statik dan dinamik, yang mewakili masalah kehidupan harian dan

fenomena alam semulajadi. Fungsi lain yang akan diberi penekanan dalam unit ini adalah fungsi

Kalkulus Asas|4

trigonometri. Oleh kerana sifat berkala yang dimilikinya maka kita akan membincangkan

perwakilan umum bagi membantu kita melakarkan graf.

1.3 Had dan Keselanjaran

Had sesuatu fungsi adalah satu konsep asas yang perlu difahami dalam pembelajaran kalkulus.

Dalam unit ini, pelajar akan didedahkan tentang pengertian 0

had ( )x x

f x l

, mengenalpasti kes had

tak wujud, had di ketakterhinggaan, mencari had dengan menggunakan teorem-teorem had, takrif

had secara formal dan akhir sekali pelajar boleh mengenalpasti keselanjaran fungsi pada suatu titik

tertentu. Konsep had ini sangat penting dan banyak digunakan terutamanya ketika melakarkan graf

fungsi fungsi nisbah. Selain itu konsep had juga digunakan dalam mentakrifkan pembezaan atau

pengamiran sesuatu fungsi.

1.4 Pembezaan

Dalam topik ini, pelajar akan mempelajari mengenai pembezaan sebagai perubahan suatu kuantiti

terhadap kuantiti yang lain. Selain itu, pelajar juga akan didedahkan tentang bagaimana untuk

mencari pembezaan suatu fungsi dengan menggunakan Kaedah Prinsip Pertama. Seterusnya

mencari pembezaan suatu fungsi dengan menggunakan rumus pembezaan. Akhir sekali,

bagaimana untuk menentukan terbitan pertama untuk fungsi polinomial mudah, trigonometri,

logaritma dan exponential juga akan dipelajari.


1.5 Teknik Pembezaan

Unit ini merupakan kesinambungan dari unit sebelum ini iaitu unit pembezaan. Dalam unit ini,

pelajar didedahkan dengan teknik pembezaan antaranya iaitu terbitan pertama untuk sesuatu

fungsi yang merupakan hasil tambah atau hasil tolak dua sebutan algebra. Selain itu, dalam unit

ini juga pelajar akan mempelajari bagaimana untuk menentukan terbitan pertama hasil darab atau

hasil bahagi untuk dua fungsi. Begitu juga dengan terbitan pertama fungsi gubahan dengan

menggunakan petua rantai. Seterusnya, pelajar juga akan mempelajari bagaimana untuk

menentukan terbitan pertama untuk fungsi tersirat. Akhir sekali, pelajar didedahkan bagaimana

untuk mencari terbitan peringkat yang lebih tinggi untuk fungsi y = f(x).

1.6 Penggunaan Pembezaan

Kita telah pelajari konsep terbitan ataupun pembezaan dalam bab sebelum ini. Pengetahuan itu

sangat penting untuk lanjutan dari unit tersebut dari segi teori ataupun penggunaan dalam bidang

matematik, fizik, kimia, kejuruteraan, biologi dan ekonomi. Dalam penggunaan pembezaan pula

pengetahuan tersebut akan digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah dalam kehidupan

harian. Antara sub topik yang akan dipelajari dalam unit ini ialah mengira nilai hampiran sesuatu

fungsi serta mengira ralat hampiran fungsi apabila berlaku ralat pada pembolehubah tak

bersandar.

Selain itu, pelajar juga didedahkan tentang bagaimana untuk mengira kadar perubahan sesuatu

pembolehubah apabila diketahui kadar perubahan kuantiti yang lain tetapi berkaitan. Seterusnya

bagaimana untuk mendapatkan halaju dan pecutan seketika sesuatu zarah pada sebarang masa t

yang diketahui persamaan gerakannya juga dipelajari. Akhir sekali, pelajar didedahkan tentang

Kalkulus Asas|6

bagaimana untuk mendapatkan titik-titik genting, sifat titik-titik genting bagi suatu fungsi dan

melakarkan graf bagi sesuatu lengkung.

1.7 Kamiran

Dalam unit ini, perbincangan mengenai bagaimana untuk menganalisis konsep kamiran dan juga

untuk membezakan antara pembezaan dan kamiran. Selain itu, pelajar boleh menyatakan kamiran

sebagai sonsangan kepada pembezaan. Seterusnya, pelajar diajar bagaimana untuk menilai

kamiran tentu dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus. Akhir sekali, pelajar boleh

menggunakan petua-petua kamiran untuk menyelesaikan masalah yang diberikan.

1.8 Teknik Pengamiran

Teknik kamiran merupakan sambungan kepada kamiran unit 9. Dalam unit ini, pelajar

diperkenalkan tentang bagaimana untuk menilai kamiran dengan menggunakan kaedah bahagian

demi bahagian dan kedah gantian. Selain itu, pelajar turut diajar untuk menilai kamiran bagi suatu

fungsi trigonometri. Akhir sekali, bagaimana untuk menilai kamiran dengan kaedah pecahan

separa turut didedahkan.

1.9 Penggunaan Pengamiran

Unit ini juga merupakan sambungan kepada dua unit sebelum ini iaitu kamiran dan reknik

pengamiran. Di dalam unit ini pelajar akan didedahkan dengan penggunaan pengamiran untuk

mengira luas permukaan dan isipadu suatu bongkah. Berikut disertakan rumus-rumus yang

digunakan dalam unit ini:


Mengira luas di bawah graf yang dibatasi oleh x a dan x b sebagai b

aydx .

Mengira luas di bawah graf yang dibatasi oleh y a dan y b sebagai b

axdy .

Mengira isipadu kisaran pada paksi–x sebagai 2

b

ay dx .

Mengira isipadu kisaran pada paksi–y sebagai 2

b

ax dy .

RUMUSAN

Konsep kalkulus hendaklah dibina melalui interaksi bersahaja di dalam suasana pembelajaran

yang kaya dengan kepelbagaian dan bukannya terkongkong oleh arahan aktiviti guru yang terlalu

berstruktur. Proses pengajaran dan pembelajaran seharusnya memberi peluang pelajar untuk

membina dan memahami konsep dan proses mengenai asas kalkulus. Sebahagian daripada

pengalaman mengenai konsep dan proses itu ialah perbendaharaan kata. Seterusnya kemahiran

dalam setiap tajuk atau topik ini sangat penting untuk digunakan dalam bidang kalkulus yang lebih

tinggi dan juga dalam semua aspek kehidupan seharian.

KATA KUNCI

Fungsi, had dan keselanjaran, pembezaan, teknik pembezaan, penggunaan pembezaan, kamiran,

teknik pengamiran dan penggunaan pengamiran.

Kalkulus Asas|8

RUJUKAN

Stewart, J. (2009). Calculus. 6th Ed. Belmont: Brooks/Cole – Thomson Learning Inc.

Anton, H., Bivens, I. & Davis, S. (2005). Calculus. 8th Ed. New York: John Wiley & Sons.

Abd. Wahid Md. Raji, Hamisan Rahmat, Ismail Kamis, Mohd Nor Mohamad & Ong Chee Tiong.

(1998). Siri Nota Kuliah Kalkulus. UTM.

Larson, R.E., Hostetler, R.P. & Edwards, B.H.(1998). Calculus with Analytic Geometry:

Houghton Mifflin, New York.

unit pelajaran 1 pengenalan .pdf

Documents