unit pelajaran 7

UNIT PELAJARAN 7

PENGENALAN KEPADA FUNGSI DAN GRAF

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Membezakan antara hubungan yang merupakan fungsi dan hubungan

yang bukan fungsi.

2. Menentukan domain dan julat bagi sesuatu fungsi.

3. Mengenal pasti fungsi-fungsi asas serta graf bagi fungsi-fungsi terse-

but.

4. Melakar dan melukis graf bagi fungsi-fungsi asas.

PENGENALAN

Konsep fungsi merupakan salah satu idea yang utama dalam mate-

matik. Istilah fungsi mula diperkenalkan oleh Rene Descartes

dalam tahun 1637. Menurut beliau sesuatu fungsi itu hanyalah

merupakan kuasa integer bagi x. Gottfried Wilheim von Liebniz (1646 -

1716) yang banyak menumpukan perhatian kepada bahagian geometri da-

lam matematik, menggunakan istilah fungsi untuk melambangkan sebarang

kuantiti berkaitan dengan sesuatu lengkung, seperti koordinat sesuatu titik

190

UNIT PELAJARAN 7. Pengenalan kepada Fungsi dan Graf | 191

pada lengkung. Leonhard Euler (1707 - 1783) menggunakan istilah fungsi

sebagai sesuatu persamaan atau rumus yang melibatkan pembolehubah

dan pemalar. Idea beliau tentang fungsi selaras dengan idea fungsi yang

kerap digunakan hari ini dalam kursus-kursus prakalkulus. Seterusnya,

penggunaan fungsi dalam menyelidik persamaan aliran haba oleh Lejuene

Dirichlet (1805 - 1859) membawa kepada takrifan fungsi yang lebih luas.

Beliau menghuraikan fungsi sebagai satu peraturan atau kesepadanan an-

tara dua set.

Topik Pengenalan Fungsi dan Graf ini akan membincangkan tentang

hubungan dan fungsi, fungsi-fungsi asas dan bentuk grafnya. Pengetahuan

sedia ada yang perlu dikukuhkan untuk membantu anda antaranya ialah

set.

Untuk mendapatkan maklumat tambahan mengenai tajuk Fungsi

dan Graf ini, anda bolehlah merujuk laman web berikut:

• http://www.intmath.com/functions-and-graphs/functions-graphs-intro.php

7.1 Hubungan dan Fungsi

7.1.1 Hasildarab Cartesian

Takrifan 7.1 (Hasil darab Cartesian) Diberi set X dan set Y. Hasil darab

Cartesian, yang ditulis sebagai X × Y, adalah suatu set yang elemen-

elemennya adalah dalam bentuk pasangan tertib (x, y), iaitu,

X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y } (7.1)

Contoh 7.1 Katakan set X = {a, b, c} dan set Y = {u, v} . Cari X × Y dan

Y ×X.


Selesaian:

X × Y = {(a, u) , (a, v) , (b, u) , (b, v) , (c, u) , (c, v)}

dan

Y ×X = {(u, a) , (u, b) , (u, c) , (v, a) , (v, b) , (v, c)}

Catatan 1 Daripada contoh di atas, beberapa perkara perlu diberi perha-

tian:

1. Bilangan elemen dalam set X yang ditulis sebagai |X| , ialah 3, iaitu:

|X| = 3

dan bilangan elemen dalam set Y ialah 2, iaitu:

|Y | = 2

2. Bilangan elemen dalam set X × Y dan Y ×X ialah 6, iaitu:

|X × Y | = |Y ×X| = 6

3. Oleh kerana elemen-elemen dalam set-set X × Y dan Y ×X adalah

dalam bentuk pasangan tertib, elemen-elemen dalam

kedua-dua set tersebut adalah TIDAK SAMA antara satu sama lain,

iaitu:

(a, u) 6= (u, a)

(a, v) 6= (v, a)

...

(c, v) 6= (v, c)


Justeru, kedua-dua set tersebut dikatakan tidak sama, iaitu:

X × Y 6= Y ×X

7.1.2 Hubungan

Takrifan 7.2 (Hubungan) Diberi set X dan set Y. Suatu hubungan R dari

set X ke set Y ialah suatu subset kepada hasildarab Cartesian X×Y, iaitu:

R = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y } ⊆ X × Y (7.2)

Elemen x ∈ X dikatakan berhubung dengan elemen y ∈ Y jika dan hanya

jika (x, y) ∈ R, dan sebaliknya jika dan hanya jika (x, y) /∈ R.

Contoh 7.2 Katakan set X = Y = {1, 2, 3} . Ditakrifkan R sebagai hubu-

ngan dari set X ke set Y jika dan hanya jika x < y untuk kesemua x ∈ X

dan y ∈ Y. Cari hubungan R.

Selesaian: Secara keseluruhannya didapati hasildarab Cartesian

X × Y = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , (3, 1) , (3, 2) , (3, 3)}

Elemen-elemen dalam set X dan Y yang menepati takrifan hubungan

di atas adalah

1 < 2⇔ (1, 2) ∈ R

1 < 3⇔ (1, 3) ∈ R

2 < 3⇔ (2, 3) ∈ R

Maka hubungan R adalah:

R = {(1, 2) , (1, 3) , (2, 3)}


Catatan 2 Perhatikan bahawa:

1. R ⊆ X × Y.

2. 2 ≮ 1. Oleh yang demikian, (2, 1) /∈ R.

Hubungan dalam Contoh (7.2) boleh digambarkan dengan lebih jelas

dengan menggunakan gambar rajah anak panah seperti berikut

1

2

3

1

2

3

X Y

R

R = {(1, 2) , (1, 3) , (2, 3)}

Cuba anda senaraikan hubungan S sekiranya S ditakrifkan seba-

gai hubungan dari set X ke set Y jika dan hanya jika x > y untuk kesemua

x ∈ X dan y ∈ Y. Cuba anda fikirkan juga adakah R ∪ S = X × Y ?

7.1.3 Fungsi

Takrifan 7.3 (Fungsi) Diberi set X dan set Y. Suatu fungsi f dari set X ke

set Y, yang dilambangkan sebagai

f : X → Y


adalah suatu hubungan dari set X ke set Y demikian sehingga setiap ele-

men x ∈ X dihubungkan secara unik kepada elemen y ∈ Y.

x y

X Y

f

f : X → Y

Catatan 3 Ciri-ciri yang berkaitan dengan suatu fungsi adalah:

1. Semua fungsi adalah juga hubungan, tetapi bukan semua hubungan

adalah fungsi.

2. Suatu fungsi f : X → Y dari set X ke set Y juga merupakan suatu

hubungan demikian sehingga tiada dua pasangan tertib (x1, y1) dan

(x2, y2) yang mempunyai koordinat pertama yang sama tetapi koordi-

nat kedua yang berbeza. Ini bermaksud, jika x1 = x2, maka y1 = y2.

3. Setiap elemen dalam set X mesti dipadankan dengan suatu elemen

dalam set Y.

4. Boleh terdapat elemen dalam set Y yang tidak dipadankan dengan

sebarang elemen dalam set X.

5. Boleh terdapat dua atau lebih elemen dalam set X yang dipadankan

dengan elemen yang sama dalam set Y.

Contoh 7.3 Katakan set X = {1, 2, 3, 4} dan set Y = {a, b, c} . Lukis satu

gambar rajah anak panah yang menunjukkan fungsi dari X ke Y.


Selesaian: Contoh fungsi f dari set X ke set Y ditunjukkan dalam gambar

rajah anak panah di bawah:

abcd

123

X Y

f

f = {(a, 1) , (b, 2) , (c, 1) , (d, 2)}

Cubalah anda lukiskan contoh-contoh fungsi yang lain berdasarkan

set X dan Y seperti di atas.

Contoh 7.4 Dalam gambar rajah-gambar rajah anak panah berikut, ten-

tukan hubungan yang merupakan fungsi dan hubungan yang bukan fungsi.

Jelaskan jawapan anda.

(a)

1234

a

b

c

X Y

f

(b)

1234

a

b

c

X Y

g

Selesaian:

(a) f adalah bukan fungsi kerana elemen 1 dalam set X dipadankan de-

ngan dua elemen dalam set Y.


(b) g adalah bukan fungsi kerana elemen 2 dalam X tidak dipadankan

de-ngan mana-mana elemen dalam Y.

7.1.4 Perwakilan Sesuatu Fungsi

Seperti mana yang telah dibincangkan dalam bahagian di atas, suatu fungsi

f dari set X ke set Y merupakan satu hubungan khas di mana setiap

elemen x dalam set X dihubungkan ke suatu elemen y yang unik dalam

set Y . Oleh kerana fungsi juga merupakan suatu hubungan, perwakilan

fungsi f sebagai set pasangan tertib

f = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y } (7.3)

boleh digunakan dalam matematik. Namun demikian di dalam aljabar adalah

menjadi lebih lumrah untuk mewakili fungsi dengan persamaan atau rumus

yang melibatkan dua (atau lebih) pembolehubah. Umpamanya, persamaan

y = x2

mewakilkan pembolehubah y sebagai suatu fungsi bagi pembolehubah

x. Dalam persamaan ini, x adalah pembolehubah tak bersandar dan y

adalah pembolehubah bersandar.

Cuba anda fikirkan adakah semua persamaan mewakili fungsi?.

Contoh 7.5 Tentukan sama ada persamaan-persamaan berikut mewakili y

sebagai fungsi bagi x.

(a) x2 + y = 1


(b) x2 − y2 = 1

Selesaian:

(a) Selesaikan y dalam sebutan x.

x2 + y = 1

y = 1− x2

Didapati bahawa untuk setiap nilai x, satu dan hanya satu nilai y sa-

haja yang diperoleh. Oleh yang demikian, y adalah fungsi bagi x.

(b)

x2 − y2 = 1

y2 = 1 + x2

y = ±√1 + x2

Tanda ± menunjukkan bahawa dua nilai y diperoleh untuk satu nilai x.

Sebagai contoh, jika x = 1, maka,

y = ±√1 + 1

= ±√2

dan ini bertentangan dengan konsep fungsi berdasarkan Taktifan (7.3).

Oleh yang demikian, y bukan fungsi bagi x.

7.1.5 Tatatanda Bagi Fungsi

Jika y adalah fungsi bagi x, kita boleh menggunakan tatatanda f (x) untuk

mewakili y, iaitu

y = f (x) (7.4)


bagi menunjukkan elemen x ∈ X berhubung dengan elemen y ∈ Y , se-

bagai menggantikan tatatanda (x, y) ∈ f seperti mana yang telah dibin-

cangkan dalam konteks hubungan. Tatatanda f (x) dibaca sebagai "nilai

bagi f pada x " di mana f adalah nama fungsi terbabit. Umpamanya, per-

samaan y = 1− x2 di dalam contoh di atas menghuraikan y sebagai fungsi

bagi x. Persamaan tersebut boleh ditulis sebagai

y = f (x) = 1− x2

Kita menggunakan y dan f (x) adalah secara saling bergantian. Kita

juga boleh mengunakan huruf lain selain daripada f. Umpamanya, g (x) =

1− x2 adalah merujuk kepada fungsi yang sama seperti f (x) = 1− x2.

Contoh 7.6 Katakan x ∈ X = {−1, 0, 1, 2, 3} dan persamaan y = f (x) =

2x+ 3 adalah fungsi bagi x. Cari f.

Selesaian:

f (−1) = 2 (−1) + 3 = 1

f (0) = 2 (0) + 3 = 3

f (1) = 2 (1) + 3 = 5

f (2) = 2 (2) + 3 = 7

f (3) = 2 (3) + 3 = 9

Dalam contoh ini,

f = {(−1, 1) , (0, 3) , (1, 5) , (2, 7) , (3, 9)}

Catatan 4 Tatatanda f (x) bukan bermaksud f didarab dengan x.


7.1.6 Domain dan Julat bagi Suatu Fungsi

Takrifan 7.4 (Domain dan Julat) Katakan f : X → Y adalah fungsi f dari

set X ke set Y. Domain (input) bagi f , Dom (f) ialah

Dom (f) = {x ∈ X | f (x) = y} (7.5)

dan julat (output) bagi f, Ran (f) ialah

Ran (f) = {y ∈ Y | y = f (x)} (7.6)

Contoh 7.7 f = {(−1, 1) , (0, 3) , (1, 5) , (2, 7) , (3, 9)} . Cari Dom (f) dan

Ran (f) .

Selesaian: Dom (f) = {−1, 0, 1, 2, 3} = X dan Ran (f) = {1, 3, 5, 7, 9} .

Domain bagi fungsi f yang diwakili dengan set pasangan tertib seperti

dalam contoh di atas jelas dan mudah diperoleh dengan hanya mendapat-

kan nilai-nilai koordinat pertama bagi set pasangan tertib tersebut manakala

julat bagi f pula adalah nilai-nilai koordinat kedua. Nilai-nilai ini berada

dalam set integer Z. Selalunya suatu fungsi yang diwakili oleh persamaan,

domainnya tidak dinyatakan. Dalam kes ini, domain bagi fungsi tersebut

adalah set bagi semua nombor nyata R di mana fungsi tersebut tertakrif.

Contoh 7.8 Cari domain dan julat bagi fungsi f (x) =1

x2 − 4 di mana x ∈ R.

Selesaian: Fungsi f (x) =1

x2 − 4 mempunyai domain yang mengandungi

semua nombor nyata x kecuali x = ±2. Kedua-dua nilai x ini tidak ter-

masuk dalam domain bagi f kerana pembahagian dengan sifar adalah

tidak tertakrif. Justeru,

Dom (f) = {x ∈ R | x 6= ±2} = (−∞,−2) ∪ (−2, 2) ∪ (2,∞).


Julat bagi f pula bergantung kepada domain f. Apabila kita masukkan

nilai x ∈ Dom(f), maka nilai f adalah terdiri dari semua nombor nyata.

Maka:

Ran(f) = R.

Contoh 7.9 Cari domain dan julat bagi fungsi g (x) =√x di mana x ∈ R.

Selesaian: Domain bagi g ialah semua nilai x ≥ 0, iaitu

Dom (g) = {x ∈ R | x ≥ 0} = [0,∞).

Apabila dimasukkan nilai-nilai x ≥ 0 dalam g, maka g akan mengambil

nilai-nilai dari 0 hingga infiniti. Maka

Ran(g) = {g(x} | g(x) ≥ 0} = [0,∞).

Catatan 5 Dalam dua contoh di atas, secara amnya, domain bagi suatu

fungsi mengecualikan nilai-nilai x yang boleh menyebabkan pembahagian

dengan sifar dan punca genap nombor negatif.

Contoh 7.10 Dapatkan domain dan julat bagi setiap fungsi berikut:

(a) f = {(−2, 1) , (−1, 2) , (0, 1) , (1, 2) , (2, 1)} .

(b) g (x) =1

x2 + x− 6 .

(c) h (x) =√3− x.

(d) Luas bagi suatu bulatan: A = πr2.

Selesaian:

(a) Dom (f) = {−2,−1, 0, 1, 2} , Ran(f) = {1, 2}.


(b) Dom (g) = {x ∈ R | x 6= −3 atau 2} , Ran(g) = (−∞,∞).

(c) Dom (h) = {x ∈ R | x ≤ 3} = (−∞, 3], Ran(h) = [0,∞).

(d) Perhatikan bahawa persamaan A = πr2 boleh juga ditulis sebagai

fungsi A, iaitu:

A (r) = πr2

Justeru, Dom (A) = [0,∞), dan Ran(A) = [0,∞).

7.1.7 Graf bagi Suatu Fungsi

Seperti juga hubungan, suatu fungsi boleh digambarkan (diwakili) dengan

menggunakan graf. Dalam bahagian ini, kita akan membincangkan fungsi

dari perspektif geometri. Graf bagi suatu fungsi merupakan koleksi pa-

sangan-pasangan tertib (x, f (x)) demikian sehingga x berada dalam do-

main f . Dalam hal ini,

x = jarak berarah dari paksi-y

f (x) = jarak berarah dari paksi-x

Contoh 7.11 Diberi graf bagi suatu fungsi dalam rajah di bawah. Cari do-

main dan julat bagi fungsi tersebut.

y

x

(3, 4)

(3, 4)

y = f(x)

Domain

Jula

t


Selesaian:

• Dom (f) = {x ∈ R | −3 ≤ x < 3} . Perhatikan bahawa x = 3 tidak ter-

masuk dalam domain f.

• Ran (f) = {x ∈ R | −4 ≤ x < 4} .

7.1.8 Ujian Garis Mencancang

Berdasarkan takrifan fungsi, selebih-lebihnya hanya satu nilai y sahaja yang

sepadan dengan satu nilai x yang diberi. Justeru, jika dilukis satu garis men-

cancang pada suatu graf fungsi, ia akan bersilang hanya sekali. Kaedah

bagi menentukan suatu graf tersebut mewakili y sebagai fungsi x ini dina-

makan kaedah Ujian Garis Mencancang.

Contoh 7.12 Manakah antara ketiga-tiga contoh graf yang ditunjukkan di

bawah ini merupakan suatu graf fungsi?

y

x

(a)

y

x

(b)

y

x

(c)

Selesaian: Graf (a) dan (b) adalah graf bagi persamaan bukan fungsi man-

akala graf (c) merupakan graf fungsi.


Latihan Formatif 7.1

1. Manakah antara hubungan berikut merupakan fungsi? Nyatakan ala-

san anda.

(a) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}

(b) {(1, 2), (1, 3), (2, 4)}

(c) {(9, 3), (9, 3), (4, 2), (0, 0)}

(d)

1234

a

b

c

X Y

h

2. Untuk persamaan di bawah, tentukan sama ada y merupakan fungsi

x. Nyatakan alasan anda.

(a) y = 3x3

(b) y =√4x

(c) xy = 1

3. Nyatakan domain dan julat bagi fungsi-fungsi di bawah:

(a) f(x) = 3− x2

(b) g(x) = 3√x

(c) f(x) = x3 + 1

(d) h(x) =√x+ 2

(e) g(x) =x3 + 1

x2 − 1

4. Jika f = x3 − 5x− 2, cari

(a) f(−2)


(b) f(−3/2)

(c) f(0)

5. Jika F (t) =t3 + 2t

t− 1 , cari

(a) F (−2)

(b) F (x)

(c) F (−x)

6. Dengan menggunakan kaedah Ujian Garis Mencancang, graf mana-

kah yang di bawah merupakan graf fungsi?

y

x

(a)

y

x

(b)

7.2 Fungsi Asas dan Bentuk Grafnya

Mengenali fungsi asas dan bentuk grafnya dapat membantu kita membina

intuisi bentuk asas graf untuk jenis-jenis fungsi yang berbeza. Pengetahuan

tentang ciri-ciri asas serta bentuk graf tersebut dapat membantu kita dalam

teknik melakar dan melukis graf yang akan dipelajari nanti. Terdapat enam

fungsi asas dan bentuk grafnya yang akan dibincangkan dalam bahagian

ini. Fungsi-fungsi asas tersebut ialah:

• Fungsi Linear.


• Fungsi Nilai Mutlak.

• Fungsi Kuasa Dua.

• Fungsi Kuasa Tiga.

• Fungsi Punca Kuasa Dua.

• Fungsi Salingan.

7.2.1 Fungsi Linear dan Grafnya

Suatu fungsi linear adalah fungsi yang ditakrifkan sebagai satu persamaan

dalam bentuk

f (x) = ax+ b, a, b ∈ R, dan a 6= 0 (7.7)

Graf bagi fungsi linear f (x) = ax + b adalah sama seperti graf bagi

persamaan linear (persamaan garis lurus) y = ax + b, di mana a adalah

kecerunannya dan b adalah pintasan pada paksi-y. Jika a = 0, maka kita

akan peroleh f (x) = b, iaitu dinamakan fungsi malar. Jika a = 1 dan b = 0,

maka kita peroleh f (x) = x, iaitu dinamakan fungsi identiti.

Contoh graf-graf bagi fungsi linear, fungsi pemalar dan fungsi identiti

ditunjukkan dalam rajah di bawah.

x

y

Fungsi Linear

x

y

Fungsi Malar

x

y

Fungsi Identiti


Bagi fungsi linear dan fungsi identiti, Dom (f) = Ran (f) = R = (−∞,∞) ,

manakala domain dan julat bagi fungsi malar,

Dom (f) = R = (−∞,∞) ;Ran (f) = {b ∈ R} .

7.2.2 Fungsi Nilai Mutlak dan Grafnya

Fungsi nilai mutlak ialah suatu fungsi yang ditakrifkan sebagai

f (x) = |x| (7.8)

Graf bagi fungsi nilai mutlak f (x) = |x| ditunjukkan dalam rajah di bawah.

x

y

0

f (x) = |x|

Dom (f) = R

Ran (f) = [0,∞)

7.2.3 Fungsi Kuasa Dua dan Grafnya

Suatu fungsi kuasa dua ialah fungsi dalam bentuk

f (x) = ax2, a ∈ R\ {0} (7.9)

Graf bagi fungsi kuasa dua f (x) = ax2 adalah berbentuk parabola dan


ditunjukkan dalam rajah di bawah.

x

y

0

f (x) = ax2

Dom (f) = R

Ran (f) = [0,∞)

7.2.4 Fungsi Kuasa Tiga dan Grafnya

Suatu fungsi kuasa tiga ialah fungsi dalam bentuk

f (x) = ax3, a ∈ R\ {0} (7.10)

Graf bagi fungsi kuasa tiga f (x) = ax3 ditunjukkan dalam rajah di bawah.

x

y

f (x) = ax3

Dom (f) = Ran (f) = R


7.2.5 Fungsi Punca Kuasa Dua dan Grafnya

Suatu fungsi punca kuasa dua adalah dalam bentuk

f (x) =√x (7.11)

Graf bagi fungsi punca kuasa dua ditunjukkan dalam rajah di bawah.

x

y

f (x) =√x

Dom (f) = [0,∞)

Ran (f) = [0,∞)

7.2.6 Melakarkan Graf Fungsi Asas

Cara mudah untuk melakar graf fungsi adalah dengan mendapatkan be-

berapa titik, kemudian plotkan titik-titik tersebut dan sambungkan titik-titik

tersebut. Walau bagaimanapun bentuk asas bagi graf tersebut perlu dike-

nal pasti dahulu.

Contoh 7.13 Pertimbangkan fungsi f(x) = |x| − 2. Lakarkan graf dan ten-

tukan domain dan julat fungsi tersebut.

Selesaian: f(x) = |x| − 2 adalah fungsi nilai mutlak dan ianya berbentuk V.


• Pilih beberapa nilai x dan cari f(x).

x −2 −1 0 1 2

f(x) = |x| − 2 0 −1 −2 -1 0

• Plotkan titik-titik di atas dan sambungkan titik-titik tersebut sehingga

terbentuk V seperti rajah di bawah.

4 2 2 4

2

1

1

2

3

x

y

f(x) = |x| − 2

Dom(f) = (−∞,∞), dan Ran(f) = [−2,∞).


1. Diberi fungsi f(x) = 2x− 1.

(a) Apakah jenis fungsi f?

(b) Dapatkan nilai-nilai f untuk x = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3.

(c) Plotkan titik-titik (x, f(x)) dan sambungkan titik-tik tersebut untuk

mendapatkan graf fungsi f.

(d) Nyatakan Dom(f) dan Ran(f).


2. Diberi fungsi f(x) = x2 − 2x− 8.

(a) Apakah jenis fungsi f?

(b) Dapatkan nilai-nilai f untuk x = −2,−1, 0, 1, 2, 3, 4.

(c) Plotkan titik-titik (x, f(x)) dan sambungkan titik-tik tersebut untuk

mendapatkan graf fungsi f.

(d) Nyatakan Dom(f) dan Ran(f).

RUMUSAN

Dalam Unit 7 ini kita membincangkan konsep hubungan dan fungsi. Kon-

sep fungsi diperdalamkan dengan membincangkan antara lain bagaimana

menentukan sesuatu hubungan adalah fungsi dan bagaimana menentukan

domain dan julat sesuatu fungsi. Fungsi-fungsi asas, graf mereka dan

bagaimana melakarkan fungsi-fungsi tersebut juga dibincangkan dalam unit

ini.

KATA KUNCI

Hubungan, Fungsi, Domain, Julat, Fungsi-fungsi asas.

LATIHAN SUMATIF 7

1. Nyatakan Betul(B) atau Salah(S) bagi pernyataan di bawah. Jelaskan

jawapan anda.

(a) Sebarang set pasangan tertib adalah fungsi.

(b) Perimeter bulatan adalah fungsi diameter.

(c) Persamaan y = x2 adalah fungsi.


(d) Setiap hubungan adalah fungsi.

(e) Domain sesuatu fungsi adalah set koordinat y.

2. Di antara set pasangan tertib berikut, yang manakah merupakan fungsi.

Nyatakan alasan anda.

(a) {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}

(b) {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1)}

(c) {(1, 5), (2, 6), (3, 7), (3, 8)}

3. Adakah set {(x, y) | x2 + y2 = 1} merupakan fungsi? Nyatakan alasan

anda.

4. Nyatakan domain dan julat bagi fungsi-fungsi berikut:

(a) f(x) = 2x− 6

(b) g(x) =√3− x

(c) h(x) = |x| − 3

(d) f(x) =1

x2 − 2

5. Katakan f(x) = 3x−2, g(x) = −x2+3x−2 dan h(x) = |x+ 2| .Kirakan

yang berikut:

(a) f(0)

(b) f(4)

(c) g(−2)

(d) h(−3)

(e) h(−4.236)

(f) f(2) + g(3)


RUJUKAN

1. Aufmann, R.N., Barker, V.C., Lockwood, J.S. (2000). Intermediate Al-

gebra with Application, 5th Ed. Boston, MA: Houghton Mifflin Com-

pany.

2. Dugopolski, M. (2009). Elementary and Intermediate Algebra, 3rd ed.

IL: McGraw-Hill.

3. Gustafson, R.D., Frisk, P.D., (1999). Algebra for College Students, 5th

Ed. CA: Brooks/Cole Publishing Company.

4. Larson, R.E., Hostetler, R.P., Edwards, B.H., Heyd, D.E. (1997). Col-

lege Algebra: A Graphing Approach, 2nd Ed. Boston, MA: Houghton

Mifflin Company.

5. Spiegel, M.R. & Moyer, R.E. (2006). Schaum’s Outlines: College Al-

gebra, 3rd ed. NY: McGraw-Hill.

JAWAPAN


1. (a) Fungsi

(b) Bukan Fungsi

(c) Bukan Fungsi

(d) Fungsi

2. (a) Fungsi

(b) Fungsi

(c) Fungsi

3. (a) Dom(f) = R, Ran(f) = (−∞, 3]


(b) Dom(g) = R, Ran(g) = R

(c) Dom(f) = R, Ran(f) = R

(d) Dom(h) = [−2,∞), Ran(h) = [0,∞)

(e) Dom(g) = R kecuali x = 1 dan x = −1, Ran(g) = R kecuali 0

4. (a) f(−2) = 0

(b) f(−3/2) = 17/8

(c) f(0) = −2

5. (a) F (−2) = 4

(b) F (x) =x3 + 2x

x− 1

(c) F (−x) = x3 + 2x

x+ 1

6. (a) Bukan Fungsi

(b) Fungsi


1. (a) Fungsi Linear

(b)x −3 −2 −1 0 1 2 3

f(x) −7 −5 −3 −1 1 3 5

(c) x

y

2 2 44

2

4

6

2

4

6

(d) Dom(f) = R, Ran(f) = R

2. (a) Fungsi Kuasa Dua


(b)x −2 −1 0 1 2 3 4

f(x) 0 −5 −8 −9 −8 −5 0

(c)

f(x)

0

(d) Dom(f) = R, Ran(f) = [−9,∞)

LATIHAN SUMATIF 7

1. (a) S

(b) B

(c) B

(d) S

(e) S

2. (a) Fungsi

(b) Fungsi

(c) Bukan fungsi

3. Bukan fungsi

4. (a) Dom(f) = R, Ran(f) = R

(b) Dom(g) = (−∞, 3], Ran(g) = [0,∞)

(c) Dom(h) = R, Ran(h) = [−3,∞)

(d) R kecuali x =√2 dan x = −

√2, Ran(g) = R kecuali 0.

5. (a) f(0) = −2


(b) f(4) = 10

(c) g(−2) = −12

(d) h(−3) = 1

(e) h(−4.236) = 2.236

(f) f(2) + g(3) = 2

unit pelajaran 7

Documents