unit pelajaran 9 teknik pengamiran
DESCRIPTION
AkademikTRANSCRIPT
Unit 9 Teknik Pengamiran |251
UNIT PELAJARAN 9
TEKNIK PENGAMIRAN
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Menilai kamiran dengan kaedah gantian.
2. Menilai kamiran dengan kaedah bahagian demi bahagian.
3. Menilai kamiran fungsi trigonometri.
4. Menilai kamiran dengan kaedah pecahan separa.
Kalkulus Asas|252
PENGENALAN
amiran, seperti juga pembezaan, merupakan konsep penting dalam matematik yang
membentuk operasi utama di dalam kalkulus. Banyak formula integrasi boleh diperolehi
secara langsung daripada formula terbitan pembezaan seperti yang tertera di bawah:
1. ππ π₯ ππ₯ = π π π₯ ππ₯
2. π π₯ Β± π(π₯) ππ₯ = π π₯ ππ₯ Β± π π₯ ππ₯
3. πππ₯ = ππ₯ + πΆ
4. π₯πππ₯ = π₯π+1
π+1+ πΆ, π β β1
5. sinπ₯ ππ₯ = β kosπ₯ + πΆ
6. kosπ₯ ππ₯ = sin π₯ + πΆ
7. sek2 π₯ ππ₯ = tanπ₯ + πΆ
8. kosek2 π₯ ππ₯ = β kotπ₯ + πΆ
9. sek π₯ tanπ₯ ππ₯ = sek π₯ + πΆ
10. kosekπ₯ kotπ₯ ππ₯ = β kosekπ₯ + πΆ
11. ππ₯ππ₯ = ππ₯ + πΆ
12. ππ₯ ππ₯ = ππ₯
ln π+ πΆ,π > 0,π β 1
13. ππ₯
π₯= ln π₯ + πΆ
14. tanπ₯ ππ₯ = β ln kosπ₯ + πΆ
15. kotπ₯ ππ₯ = ln sinπ₯ + πΆ
16. sek π₯ ππ₯ = ln sekπ₯ + tanπ₯ + πΆ
17. kosekπ₯ ππ₯ = β ln kosekπ₯ + kotπ₯ + πΆ
18. ππ₯
π2βπ₯2= arcsin
π₯
π+ πΆ
19. ππ₯
π2+π₯2=
1
πarctan
π₯
π+ πΆ
20. ππ₯
π₯ π₯2βπ2=
1
πarcsek
π₯
π+ πΆ
Manakala masalah integrasi selain daripada yang di atas memerlukan lebih banyak cara kerja
berdasarkan beberapa teknik pengamiran. Antara teknik pengamiran yang biasa digunakan ialah:
Kaedah gantian
Pengamiran bahagian demi bahagian
Pengamiran trigonometri
Kaedah pecahan separa
K
Unit 9 Teknik Pengamiran |253
9.1 Petua penggantian
Idea untuk menggunakan Petua Penggantian ialah dengan menukarkan kamiran yang sukar
kepada bentuk kamiran yang lebih mudah. Ini boleh dilaksanakan dengan menukar pembolehubah
asal π₯ kepada pembolehubah baru π’ iaitu sebuah fungsi π₯.
9.1.1 Kamiran dengan penggantian π = ππ + π.
Kita perkenalkan kaedah ini dengan mengambil contoh yang mudah iaitu dengan mengambil
gantian linear seperti dibawah.
Contoh 9.1
Kamirkan
π₯ + 4 5 ππ₯ (9.1)
Penyelesaian:
Dalam kamiran (1) diatas, terdapat persamaan berkuasa 5 dan kamiran tersebut menjadi lebih
rumit dengan wujudnya terma π₯ + 4. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita menggunakan
kaedah petua penggantian. Kita wujudkan pembolehubah baru π’ dengan mengambil gantian
π’ = π₯ + 4. Tujuannya adalah untuk menukarkan kamiran kepada bentuk yang lebih mudah iaitu
π’5. Bagaimanapun kita perlu membuat penggantian yang sempurna dengan turut menggantikan
terma ππ₯.
Dengan membezakan π’ = π₯ + 4, kita perolehi ππ’
ππ₯= 1 maka ππ’ = ππ₯. Gantikan ke dalam
persamaan (1) kita perolehi
π₯ + 4 5 ππ₯ = π’5ππ’
Nilaikan kamiran tersebut, dengan mudah kita perolehi π’6
6+ πΆ. Gantikan semula penyelesaian
tersebut kepada pembolehubah asal, π₯ iaitu π’ = π₯ + 4, maka
π₯ + 4 5 ππ₯ = π₯ + 4 6
6+ πΆ
Kalkulus Asas|254
Dengan itu kita telah menyelesaikan masalah kamiran dengan menggunakan petua penggantian.
Sekarang kita ingin mencari kamiran dalam bentuk am kos(ππ₯ + π)ππ₯. Gantian π’ = ππ₯ + π
akan memberikan 1
π kosπ’ ππ’ dan penyelesaian kamiran tersebut adalah
1
πsin π’ + πΆ. Tukarkan
jawapan akhir kepada pembolehubah asal kita akan perolehi 1
πsin(ππ₯ + π) + πΆ.
Contoh 9.2
Kamirkan
πππ (3π₯ + 4)ππ₯ (9.2)
Penyelesaian:
Kita ambil gantian π’ = 3π₯ + 4. Dengan membezakan π’ = 3π₯ + 4, kita perolehi ππ’
ππ₯= 3 maka
ππ₯ =ππ’
3. Dengan menggantikan π’ = 3π₯ + 4 dan ππ₯ =
ππ’
3 ke dalam (2) kita akan perolehi
πππ (3π₯ + 4)ππ₯ = 1
3πππ (π’)ππ’
=1
3sinπ’ + πΆ
Jawapan akhir digantikan semula dengan pembolehubah asal, kita akan perolehi
πππ (3π₯ + 4)ππ₯ =1
3sin(3π₯ + 4) + πΆ
Penyelesaian kamiran dalam bentuk am 1
ax +bππ₯, ialah dengan mengambil gantian π’ = ππ₯ + π
akan memberikan 1
π
1
uππ’. Oleh itu memberi penyelesaian kamiran sebagai
1
πππ ππ₯ + π + πΆ.
Ini bermakna jika kita ingin menyelesaikan kamiran contohnya seperti 1
3x+7ππ₯ kita boleh terus
menulis penyelesaiannya sebagai 1
3ππ 3π₯ + 7 + πΆ.
Seterusnya kita akan melihat contoh yang melibatkan kamiran tentu. Pelajar perlu lebih berhati-hati
apabila menyelesaikan masalah kamiran tentu kerana ia melibatkan had kamiran.
Unit 9 Teknik Pengamiran |255
Nota:
sin(ππ₯ + π) ππ₯ = β1
πkos(ππ₯ + π) + πΆ.
kos(ππ₯ + π)ππ₯ =1
πsin(ππ₯ + π) + πΆ.
1
ππ₯ + πππ₯ =
1
πππ ππ₯ + π + πΆ.
Contoh 9.3
Kamirkan
(9 + π₯)2ππ₯3
1
Penyelesaian:
Kita ambil gantian π’ = 9 + π₯. Bezakan π’, kita perolehi ππ’ = ππ₯. Maka kamiran menjadi
π’2ππ’π₯=3
π₯=1
dimana had kamiran masih di dalam pembolehubah π₯ dan bukan π’. Untuk menukar had kamiran
kepada pembolehubah π’, kita gunakan gantian π’ = 9 + π₯. Dengan menggantikan π₯ = 1, kita
perolehi π’ = 9 + 1 = 10 dan menggantikan π₯ = 3, kita perolehi π’ = 9 + 3 = 12. Maka kita
perolehi
π’2ππ’ = 1
3π’3
10
1212
10
=1
3 123 β 103
=728
3
Kalkulus Asas|256
Nota:
Untuk menilai
π π π₯ πβ²(π₯) ππ₯,
ambil gantian π’ = π π₯ , dan dπ’ = πβ² π₯ ππ₯. Ini memberi
Kamirkan terhadap π’, sebelum menukarkan semula kepada pembolehubah asal π₯.
π π’ ππ’.
9.1.2 Menilai kamiran π π π πβ²(π)π π dengan mengambil gantian π = π π .
Cabaran utama dalam menggunakan Petua Penggantian ialah dalam memilih penggantian
yang tepat. Kita perlu memilih gantian π’ yang merupakan sebahagian fungsi dalam kamiran
tersebut dan terbitannya juga wujud dalam kamiran itu (kecuali pemalar).
Contoh 9.4
Nilaikan kamiran berikut
2π₯ 1 + π₯2ππ₯ (9.3)
Penyelesaian:
Andaikan π’ merupakan kuantiti dibawah punca kuasa dua dalam (9.3), dengan tujuan
memudahkan terma punca kuasa dua seperti berikut
π’ = 1 + π₯2
Maka bezakan π’, kita akan perolehi ππ’ = 2π₯ππ₯. Perhatikan bahawa 2π₯ππ₯ wujud dalam
persamaan (9.3), dan kita boleh membuat gantian secara terus. Maka dengan menggantikan π’
bagi 1 + π₯2,
2π₯ 1 + π₯2ππ₯ = 1 + π₯2 2π₯ππ₯
= π’ ππ’
Unit 9 Teknik Pengamiran |257
= π’12 ππ’
=2
3π’
32 + πΆ
=2
3(π₯2 + 1)
32 + πΆ
Perhatikan bahawa, jika π π₯ = 1 + π₯2 maka πβ²(π₯) = 2π₯. Maka kamiran 2π₯ 1 + π₯2ππ₯
adalah dalam bentuk π π π₯ πβ²(π₯) ππ₯.
Secara amnya, gantian yang digunakan ialah π’ = π π₯ . Maka ππ’ = ππ’
ππ₯ ππ₯ = πβ² π₯ ππ₯.
Contoh 9.5
Kamirkan π₯
1β4π₯2ππ₯.
Penyelesaian:
Ambil gantian π’ = 1 β 4π₯2 . Oleh itu ππ’ = β8π₯ ππ₯, maka π₯ππ₯ = βππ’
8. Oleh itu
π₯
1 β 4π₯2ππ₯ = β
1
8
ππ’
π’= β
1
8 π’β1
2ππ’
= β1
8 2 π’ + πΆ
= β1
8 2 1 β 4π₯2 + πΆ
Contoh 9.6
Kamirkan π₯3 kos π₯4 + 2 ππ₯.
Penyelesaian:
Ambil gantian π’ = π₯4 + 2, kerana terbitannya ialah ππ’ = 4π₯3ππ₯, wujud dalam kamiran diatas
(kecuali pemalar iaitu 4). Maka dengan mengambil π₯3ππ₯ =ππ’
4 dan menggunakan Petua
Penggantian, kita peroleh
Kalkulus Asas|258
Nilaikan kamiran berikut;
a) (π₯ β 2)3 ππ₯
b) (π₯ + 5)4ππ₯1
0
c) sin(7π₯ β 3)ππ₯
d) 1
7x+5ππ₯
Dalam setiap kamiran dibawah, kita boleh tuliskan dalam bentuk
π π π₯ πβ²(π₯)ππ₯. Kenalpasti fungsi π, dan π kemudian selesaikan kamiran
tersebut.
a) 2π₯ππ₯2β5 ππ₯
b) β2π₯π ππ(1 β π₯2) ππ₯
c) kos π₯
1+sin π₯ ππ₯
π₯3 kos π₯4 + 2 ππ₯ = kos π’ .1
4ππ’ =
1
4 kosπ’ ππ’
=1
4sinπ’ + πΆ
=1
4sin(π₯4 + 2) + πΆ.
Perhatikan bahawa dalam jawapan akhir, kita perlu menukar pembolehubah π’ kepada
pembolehubah asal π₯.
Latihan Formatif 9.1
Unit 9 Teknik Pengamiran |259
9.2 Pengamiran bahagian demi bahagian
Kamiran bahagian demi bahagian merupakan suatu kaedah untuk mempermudahkan kamiran
yang melibatkan pendaraban fungsi aljabar misalnya
π₯ ln π₯ ππ₯ , π₯ππ₯ ππ₯ dan ππ₯ kos π₯ ππ₯
Kamiran bahagian demi bahagian diperoleh daripada rumus pembezaan hasil darab
π
ππ₯ π’π£ = π’
ππ£
ππ₯+ π£
ππ’
ππ₯
Apabila dikamirkan terhadap π₯ diperoleh
π’π£ = π’ππ£
ππ₯ππ₯ + π£
ππ’
ππ₯ππ₯,
dan seterusnya
π’ππ£
ππ₯ππ₯ = π’π£ β π£
ππ’
ππ₯ππ₯
atau ringkasnya
π’ ππ£ = π’π£ β π£ ππ’
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus kamiran bahagian demi bahagian. Rumus ini
mengungkapkan kamiran π’ ππ£. Dengan pemilihan yang tepat bagi π’ dan π£, kamiran kedua
(dalam fungsi π’, π£ dan π₯) mungkin menjadi lebih mudah untuk diselesaikan dibandingkan dengan
kamiran yang pertama (dalam fungsi π₯ sahaja).
(9.4)
Kalkulus Asas|260
Contoh 9.7
Selesaikan setiap kamiran berikut:
a) π₯ ππ₯ππ₯
b) π₯ kos x ππ₯
c) π₯ ln π₯ ππ₯
d) ln π₯ ππ₯
Penyelesaian:
a) Dalam contoh ini dipilih
π’ = π₯ dan ππ£ = ππ₯ ππ₯.
Oleh itu
ππ’ = ππ₯ dan π£ = ππ₯ .
Dengan menggunakan Rumus (9.4) diperoleh
π₯ ππ₯ ππ₯ = π₯ππ₯ β ππ₯ ππ₯
= π₯ππ₯ β ππ₯ + πΆ
b) Dalam contoh ini dipilih
π’ = π₯ dan ππ£ = kos π₯ ππ₯.
Oleh itu
ππ’ = ππ₯ dan π£ = sin π₯.
Dengan menggunakan Rumus (9.4) diperoleh
π₯ kos π₯ ππ₯ = π₯ sin π₯ β sin π₯ ππ₯
= π₯ sin π₯ + kos π₯ + πΆ
Unit 9 Teknik Pengamiran |261
c) Dalam contoh ini dipilih
π’ = ln π₯ dan ππ£ = π₯ ππ₯
Oleh itu
ππ’ = 1
π₯ ππ₯ dan π£ =
1
2π₯2 + π
Dengan menggunakan Rumus (9.4), diperoleh
π₯ ln π₯ ππ₯ = 1
2π₯2 + π ln π₯ β
1
2π₯ +
π
π₯ ππ₯
= 1
2π₯2 + π ln π₯ β
1
4π₯2 + π ln π₯ + πΆ
=1
2π₯2 ln π₯ + π ln π₯ β
1
4π₯2 β π ln π₯ + πΆ
=1
2π₯2 ln π₯ β
1
4π₯2 + πΆ
d) Dalam contoh ini ditulis ln π₯ ππ₯ = 1 (ln π₯) ππ₯ dan dipilih
π’ = ln π₯ dan ππ£ = ππ₯
Oleh itu
ππ’ =1
π₯ ππ₯ dan π£ = π₯ + π
Dengan menggunakan Rumus (9.4) diperoleh
π₯ ln π₯ ππ₯ = π₯ + π ln π₯ β 1 +π
π₯ ππ₯
= π₯ + π ln π₯ β π₯ + π ln π₯ + πΆ
= π₯ ln π₯ + π ln π₯ β π₯ β π ln π₯ + πΆ
= π₯ ln π₯ β π₯ + πΆ
Kalkulus Asas|262
Catatan:
i. Perhatikan bahawa dalam contoh di atas ketika mengamirkan ππ£ pemalar
pengamiran, π akhirnya terhapus. Oleh itu dalam contoh seterusnya pemalar
pengamiran π diabaikan.
ii. Jika pemilihan bagi π’ dan ππ£ terhadap fungsi dalam π₯ menyebabkan kamiran yang
terhasil bertambah sukar, maka pemilihan ini perlu ditukargantikan.
iii. Kadangkala pemilihan bagi π’ dan ππ£ menyebabkan kamiran tidak boleh dilakukan
dan proses penghitungan menjadi sangat rumit.
iv. Perhatikan untuk memudahkan langkah penyelesaian, penggunaan rumus (9.4) boleh
diperoleh melalui pendaraban dengan mengikuti arah anak panah.
\\\\
Selesaikan setiap kamiran berikut;
a) π₯ sin π₯ ππ₯π
20
b) π₯ πβπ₯ππ₯1
0
c) π₯4 ln π₯ ππ₯ d) π ππ6 π₯ ππ₯
e) sin4π₯ ππ₯ f) 4π₯ π₯ + 1 3
9.3 Pengamiran menggunakan identiti trigonometri atau gantian trigonometri
Terdapat kamiran yang melibatkan fungsi trigonometri boleh diselesaikan dengan menggunakan
identiti trigonometri. Ini membolehkan kamiran ditulis dalam bentuk alternatif yang mungkin lebih
mudah untuk diselesaikan. Dalam unit ini, kita akan mempelajari bagaimana menyelesaikan fungsi
trigonometri yang lebih rumit seperti sin2π₯ ππ₯ dan sin3π₯ kos 2π₯ ππ₯ ππ₯.
Latihan Formatif 9.2
Unit 9 Teknik Pengamiran |263
9.3.1 Pengamiran yang memerlukan penggunaan identiti trigonometri
Berikut adalah identiti trigonometri yang akan digunakan didalam bahagian ini.
2 sin π΄ kos π΅ = sin π΄ + π΅ + sin(π΄ β π΅)
2 kos π΄ kos π΅ = kos π΄ β π΅ + kos(π΄ + π΅)
2 sin π΄ sin π΅ = kos π΄ β π΅ β kos(π΄ + π΅)
sin2 π΄ + kos2 π΄ = 1
kos 2π΄ = kos2 π΄ β sin2 π΄
= 2 kos2 π΄ β 1
= 1β 2 sin2 π΄
sin 2π΄ = 2 sinπ΄ kosπ΄
1 + tan2 π΄ = sek 2π΄
Contoh 9.8
Nilaikan kamiran sin2π₯ ππ₯.π
0
Penyelesaian:
Kita gunakan identiti trigonometri kos 2A = 1β2 sin2 π΄, oleh itu sin2 π΄ =1
2 1 β kos 2π΄ .
Perhatikan dengan menggunakan identiti ini kita telah menukar kamiran asal sin2 π΄ kepada
kamiran yang tiada kuasa. Oleh itu kamiran tersebut boleh ditulis sebagai
sin2π₯ ππ₯ =π
0
1
2 1 β kos 2π₯ ππ₯
π
0
dan hasil kamiran tersebut diselesaikan seperti berikut:
1
2 1 β kos 2π₯ ππ₯
π
0
= 1
2 π₯ β
1
2sin 2π₯
0
π
Kalkulus Asas|264
= 1
2π₯ β
1
4sin 2π₯
0
π
=π
2
Contoh 9.9
Nilaikan kamiran sin 3π₯ kos 2π₯ ππ₯.
Penyelesaian:
Perhatikan bahawa kamiran ini merupakan hasil darab dua fungsi iaitu sin 3π₯ dan kos 2π₯. Kita
gunakan identiti trigonometri 2 sin π΄ kos π΅ = sin π΄ + π΅ + sin(π΄ β π΅). Dengan π΄ = 3π₯ dan
π΅ = 2π₯, kita perolehi
sin 3π₯ kos 2π₯ ππ₯ =1
2 sin 5π₯ + sin π₯ ππ₯
=1
2 β
1
5kos 5π₯ β kosπ₯ + πΆ
= β1
10kos 5π₯ β
1
2kosπ₯ + πΆ
9.3.2 Pengamiran yang melibatkan hasil darab sin dan kos
Dalam bahagian ini kita akan melihat kamiran dalam bentuk sinm π₯ kosn π₯ ππ₯.
Contoh 9.10
Nilaikan sin3 π₯ kos2 π₯ ππ₯.
Penyelesaian:
sin3 π₯ kos2 π₯ ππ₯ = sin x sin2 π₯ kos2 π₯ ππ₯
= sin x 1 β kos2 π₯ kos2 π₯ ππ₯
Ambil gantian u = kos x, du = β sin x dx, maka kita akan perolehi
sin x 1 β kos2 π₯ kos2 π₯ ππ₯ = β (1 β π’2)π’2 ππ’
Unit 9 Teknik Pengamiran |265
Nota:
1
1 + π₯2ππ₯ = π‘ππβ1π₯ + πΆ
1
π2 + π₯2ππ₯ =
1
ππ‘ππβ1
π₯
π+ πΆ
1
π2 β π₯2ππ₯ = sinβ1
π₯
π+ πΆ
= (π’4 β π’2)ππ’
=π’5
5β
π’3
3+ πΆ
=kos5π₯
5β
kos3π₯
3+ πΆ
9.3.3 Pengamiran yang menggunakan penggantian trigonometri
Terdapat juga beberapa kamiran yang menggunakan gantian trigonometri. Berikut adalah
penyelesaian am kamiran dalam bentuk-bentuk tertentu sebagai rujukan pelajar. Bagaimana
kamiran pertama diselesaikan akan ditunjukkan dalam contoh seterusnya.
Contoh 9.11
Selesaikan 1
1+π₯2 ππ₯.
Penyelesaian:
Ambil gantian π₯ = tanπ. Kita memilih gantian ini untuk menukarkan kamiran asal kepada 1
1+tan2π
dan kita boleh menggunakan identiti 1 + tan2π = sek2π . Oleh itu dengan
π₯ = sek2 π, ππ₯
ππ= sek2 π, maka ππ₯ = sek2 π ππ . Pengamiran akan menjadi
1
1 + π₯2ππ₯ =
1
1 + tan2πsek2 π ππ
Kalkulus Asas|266
1) Gunakan identiti trigonometri dan dapatkan kamiran berikut.
a) kos2 π₯ ππ₯
b) sin 2x kos 2xππ₯
2) Kamirkan
a) kos3 π₯ ππ₯
b) sin5π₯ kos2π₯ ππ₯
3) Dengan menggunakan gantian trigonometri, dapatkan
a) 1
4+9π₯2 ππ₯
b) 1
4β9π₯2 ππ₯
= 1
sek2πsek2 π ππ
= 1 ππ
= π + πΆ
= tanβ1π₯ + πΆ
9.4 Kaedah pecahan separa
Pengamiran yang berbentuk 3π₯2 + 18π₯ +3
3π₯2+ 5π₯β2 ππ₯ adalah bukannya suatu bentuk pengamiran
yang biasa namun ianya banyak dijumpai dalam penggunaan matematik. Untuk
menyelesaikan pengamiran yang berbentuk demikian adalah satu kaedah yang sukar
dilakukan. Maka untuk mengatasi masalah pecahan ini, pecahan tersebut perlu ditukarkan
kepada beberapa pecahan separa sebelum proses pengamiran dilakukan. Justeru itu,
adalah digalakkan agar asas kepada pecahan separa diulangkaji terlebih dahulu dalam
usaha untuk memahami unit ini. Asasnya pecahan separa membolehkan pecahan tunggal
ditukarkan kepada beberapa pecahan separa. Di dalam pecahan separa ini, bahagian di
Latihan Formatif 9.3
Unit 9 Teknik Pengamiran |267
sebelah atas dikenali sebagai pengatas atau pengangka dan bahagian sebelah bawah
dikenali sebagai pembawah atau penyebut (sila rujuk contoh di dalam Rajah 9.1 ).
7π₯ + 8
2π₯2 + 11π₯ + 5 =
3
π₯ + 5 +
1
2π₯ + 1
Pecahan tunggal Pecahan separa Pecahan separa
Rajah 9.1
Untuk pecahan separa 3
π₯+5 , 3 ialah pengatas atau pengangka dan π₯ + 5 ialah pembawah
atau penyebut. Seandainya pengamiran perlu dilakukan terhadap suatu masalah matematik
melibatkan pecahan tunggal, maka pengamiran boleh dilakukan terhadap pecahan pecahan
separa yang diterbitkan daripada pecahan tunggal tersebut.
7π₯ + 8
2π₯2 + 11π₯ + 5 ππ₯ =
3
π₯ + 5 ππ₯ +
1
2π₯ + 1 ππ₯
Di dalam persoalan matematik ini menerbitkan pecahan separa daripada pecahan tunggal
adalah sangat mustahak. Cuba terbitkan pecahan separa bagi 6
π₯2β 1?
Mulakan dengan memfaktorkan penyebut:
π₯2 β 1 = π₯ β 1 (π₯ + 1)
Maka:
6
π₯2 β 1=
6
π₯ β 1 (π₯ + 1)
Dengan mengandaikan pemalar π΄ dan π΅, maka akan terhasil
6
π₯ β 1 (π₯ + 1)=
π΄
π₯ β 1+
π΅
π₯ + 1
Ia dapat dibuktikan bahawa pemalar pemalar ini sentiasa wujud untuk suatu fungsi nisbah
π(π₯)
π(π₯) jika kedua dua syarat di bawah ini dipenuhi.
1) Kedua-dua π(π₯) dan π(π₯) adalah polinomial (hanya pemalar dengan
kuasa integer positif bagi π₯ sahaja)
Kalkulus Asas|268
2) Kuasa tertinggi bagi π₯ di dalam π(π₯) lebih kecil berbanding kuasa tertinggi
bagi π₯ di dalam π π₯ .
Samakan pekali:
π΄ (π₯ + 1)
π₯ β 1 (π₯ + 1)+
π΅ (π₯ β 1)
π₯ + 1 (π₯ β 1)
= π΄ π₯ + 1 + π΅ (π₯ β 1)
π₯ β 1 (π₯ + 1)
Maka
6
π₯ β 1 (π₯ + 1)=
π΄ π₯ + 1 + π΅ (π₯ β 1)
π₯ β 1 (π₯ + 1)
Memandangkan penyebut bagi persamaan ini adalah sama, maka pengangkanya juga
adalah sama.
6 = π΄ π₯ + 1 + π΅(π₯ β 1)
Untuk nilai π΄ dan π΅, andaikan π₯ = 1, maka
6 = π΄ 1 + 1 + π΅(1 β 1)
6 = π΄ 2 + π΅(0)
π΄ = 3
Seterusnya andaikan π₯ = β1
6 = π΄ β1 + 1 + π΅(β1 β 1)
6 = 0 β 2π΅
π΅ = β3
Jadi pecahan separa terbitan daripada pecahan tunggal 6
π₯2β1 ialah
6
π₯ β 1 (π₯ + 1)=
3
π₯ β 1+
β3
π₯ + 1
Contoh 9.12
Kamirkan
Unit 9 Teknik Pengamiran |269
Selesaikan setiap kamiran berikut:
a)
2π₯ + 3
π₯2 β 9 ππ₯
b)
π₯2 β 1
π₯2 β 16 ππ₯
c)
π₯5 + 1
π₯3(π₯ + 2) ππ₯
d)
π₯3 + 4
(π₯2 β 1)(π₯2 + 3π₯ + 2) ππ₯
1
π₯2 β 4 ππ₯
Penyelesaian:
Uraikan permasalahan matematik di atas kepada pecahan separa:
1
π₯2 β 4 ππ₯ =
1
π₯ + 2 (π₯ β 2) ππ₯
= π΄
π₯ + 2 +
π΅
(π₯ β 2) ππ₯
Selepas menyamakan penyebut seperti di dalam penerangan sebelum ini, kemudian akan
diperoleh
π΄ π₯ β 2 + π΅ π₯ + 2 = 1
Andaikan π₯ = β2:π΄ β4 + π΅ 0 = 1 β π΄ = β1
4
Andaikan π₯ = 2:π΄ 0 + π΅ 4 = 1 β π΅ =1
4
maka,
1
π₯2 β 4ππ₯ =
β14
π₯ + 2 +
14
(π₯ β 2) ππ₯
= β 14
1
π₯ + 2 + 1
4 1
(π₯ β 2) ππ₯
= β1
4ln π₯ β 2 β ln π₯ + 2 + πΆ
atau
= β1
4ln
π₯ β 2
π₯ + 2 + πΆ
Latihan Formatif 9.4
Kalkulus Asas|270
RUMUSAN
Di dalam unit ini, teknik kamiran untuk masalah matematik yang melibatkan pengamiran yang tidak
boleh diselesaikan secara terus dengan menggunakan formula antiterbitan telah dibentangkan.
Empat teknik utama yang dibincangkan ialah:
1) Pengamiran melalui penggantian
2) Pengamiran bahagian demi bahagian
3) Pengamiran dengan menggunakan gantian trigonometri atau identiti trigonometri
4) Pengamiran dengan menerbitkan pecahan separa
KATA KUNCI
Kamiran, petua penggantian, kamiran bahagian demi bahagian, identiti trigonometri, penggantian
trigonometri, kaedah pecahan separa.
1. Nilaikan π₯ sin 2π₯2 ππ₯, dengan gantian π’ = 2π₯2 .
Latihan Sumatif
Unit 9 Teknik Pengamiran |271
2. Nilaikan π₯3 π₯4 + 15
0 dengan gantian π’ = π₯4 + 1 .
3. Dengan mencari gantian yang sesuai, dapatkan πsin π₯ kosπ₯ ππ₯.
4. Gunakan identiti trigonometri untuk selesaikan 2 kos 5π₯ kos 3π₯ ππ₯.π 3
π 6
5. Gunakan kaedah gantian trigonometri untuk selesaikan π₯2
16βπ₯2ππ₯ dengan mengambil
gantian π₯ = 4 sinπ.
6. Gunakan kaedah gantian trigonometri untuk selesaikan 1
1+4π₯2 ππ₯ dengan mengambil
gantian π₯ =1
2tanπ.
7. Kamirkan ππ₯
ππ₯β1 (ππ₯+3) ππ₯.
8. Kamirkan kos π₯
π ππ 3π₯+sin π₯.
RUJUKAN
Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.
Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.
JAWAPAN LATIHAN FORMATIF Latihan Formatif 9.1
a) (π₯β2)4
4+ πΆ
b) 9301
5
Kalkulus Asas|272
c) βkos (7π₯β3)
7+ πΆ
d) 1
7ππ 7π₯ + 5 + πΆ
e) π π’ = ππ’ ,π π₯ = π₯2 β 5, ππ₯2β5+ π
f) π π’ = sinπ’,π π₯ = 1 β π₯2 ,βkos(1 β π₯2) + π
g) π π’ =1
π’,π π₯ = 1 + sin π₯, ππ 1 + sin π₯ + π
Latihan Formatif 9.2
a) 1
b) 1 β 2πβ1
c) 1
5π₯5 lnπ₯ β
1
25π₯5 + πΆ
d) 1
5tan5π₯ +
2
3tan3π₯ + tanπ₯ + πΆ
e) 3
8π₯ β
1
4sin 2π₯ +
1
32sin 4π₯ + πΆ
f) π₯ π₯ + 1 4 β1
5 π₯ + 1 5 + πΆ
Latihan Formatif 9.3
a) π₯
2+
1
4sin 2π₯ + πΆ
b) βcos 4π₯
8+ πΆ
a) 1
3cos2 π₯ sin π₯ +
2
3sin π₯ + πΆ
b) β1
7sin4 π₯ cos3 π₯ β
4
35sin2 π₯ cos3 π₯ β
8
105cos3 π₯ + πΆ
a) 1
6π‘ππβ1 3
2+ πΆ
b) 1
3π ππβ1 3π₯
2+ πΆ
Latihan Formatif 9.4
a) 1
2ln π₯ + 3 +
3
2ln π₯ β 3 + πΆ
b) π₯ +
15
8ln
π₯ β 4
π₯ + 4 + πΆ
1)
2)
3)
Unit 9 Teknik Pengamiran |273
c) π₯2
2β 2π₯ +
1
8ln π₯ +
1
4π₯β
1
4π₯2
+31
8ln π₯ + 2 + πΆ
d) β
3
4ln π₯ + 1 +
3
2(π₯ + 1)
+5
12ln π₯ β 1
+4
3ln π₯ + 2 + πΆ
e) 1
2ln π₯ + 3 +
3
2ln π₯ β 3 + πΆ
f) kotπ₯ + ln 1 β kot π₯ + πΆ
JAWAPAN LATIHAN SUMATIF
1) βcos (2π₯2)
4+ πΆ
2) 2610
3) πsin π₯ + πΆ
4) 2.165
5) β1
2π₯ 16 β π₯2 + 8 sinβ1 π₯
4+ πΆ
6) 1
2 π‘ππβ12π₯ + πΆ
7) 1
4ln
ππ₯β1
ππ₯+3 + πΆ
8) ln sinπ₯ β1
2ln sin2 π₯ + 1 + πΆ