unit pelajaran 3 fungsi

KalkulusAsas|48

UNIT PELAJARAN 3

FUNGSI II

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat: 1. Menentukan domain dan julat bagi suatu fungsi.

2. Melakar fungsi polynomial, modulus, nisbah, eksponen dan logaritma,

trigonometri serta fungsi hiperbolik.

3. Mencari fungsi songsang bagi fungsi polinomial, modulus, nisbah, eksponen dan logaritma, trigonometri serta fungsi hiperbolik

4. Melakar fungsi songsang bagi fungsi polynomial, modulus, nisbah, eksponen dan logaritma, trigonometri serta fungsi hiperbolik.

5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi polinomial, eksponen dan logaritma serta trigonometri.

Unit3FungsiII|49

PENGENALAN i dalam unit ini, kita akan menyambung perbincangan berkenaan dengan fungsi.

Beberapa fungsi penting di dalam kajian matematik akan dibincangkan bermula dengan

fungsi polinomial diikuti dengan fungsi modulus, fungsi nisbah, fungsi eksponen dan

logaritma. Seterusnya fungsi punca kuasa, fungsi trigonometri dan diakhiri dengan fungsi

hiperbolik. Kepentingan fungsi dalam kajian matematik sesuatu yang tidak boleh dinafikan.

Penggunaan dan perkembangannya boleh ditemui di dalam kesemua bidang kalkulus, juga pada

analisis berangka.

Fungsi polinomial adalah antara fungsi yang terpenting, ditakrifkan daripada ungkapan berbentuk

polinomial. Aplikasi fungsi polinomial muncul dalam pelbagai bidang matematik, sains gunaan,

ekonomi dan sains sosial. Sebagai contoh, ia sering ditemui sebagai hasil permodelan pelbagai

masalah daripada masalah perkataan mudah hingga kepada masalah yang lebih rumit seperti

memperolehi penghampiran dan interpolasi. Termasuk juga fungsi yang terbit daripada proses

pembinaan model-model statik dan dinamik, yang mewakili masalah kehidupan harian dan

fenomena alam semulajadi. Fungsi lain yang akan diberi penekanan dalam unit ini adalah fungsi

trigonometri. Oleh kerana sifat berkala yang dimilikinya maka kita akan membincangkan

perwakilan umum bagi membantu kita melakarkan graf.

Sekarang, mari kita mulakan dengan suatu fungsi yang paling penting dalam kajian matematik.

D

Layari Laman Web untuk mengetahui pelbagai jenis graf fungsi:

http://dl.uncw.edu/digilib/mathematics/algebra/mat111hb/functions/graphs/graphs.html

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/GraphFunctions.aspx

KalkulusAsas|50

3.1 Fungsi Polinomial

Takrif 3.1 Suatu fungsi polinomial adalah fungsi yang terdiri daripada ungkapan aljabar terhingga

melalui kombinasi penambahan, penolakan dan pendaraban skalar dengan kuasanya adalah

nombor asli.

( ) 1 21 2 3 1...n n n n nf x a x a x a x a x a = + + + + + dimana n` , ia adalah pemalar.

Kuasa terbesar bagi suatu fungsi menentukan sifat-sifat fungsi dan bentuk grafnya.

3.1.1 Fungsi Linear

Takrif 3.2 Suatu fungsi linear ditentukan dengan persamaan ( )f x mx c= + atau y mx c= + , di mana ,m c adalah pemalar, 0m . Domain dan julat semulajadi adalah set nombor nyata.

Ini adalah suatu fungsi yang paling mudah dan ringkas merujuk kepada polinomial yang berdarjah

satu. Grafnya adalah berbentuk garis lurus dengan kecerunan m dan nilai c adalah titik persilangan

pada paksi-y. Rajah 3.1 dan 3.2 menunjukkan dua contoh fungsi linear dengan kecerunan positif,

0>m dan kecerunan negatif, 0 , fD = \ , fJ = \ Rajah 3.1

0m < , fD = \ , fJ = \ Rajah 3.2

Unit3FungsiII|51

3.1.2 Fungsi Kuadratik

Takrif 3.3 Fungsi kuadratik ditentukan dengan persamaan ( ) 2f x ax bx c= + + dengan , ,a b c adalah pemalar dan 0a .

Fungsi ini terdiri daripada polinomial berdarjah 2. Grafnya adalah berbentuk parabola terbuka di

atas atau terbuka di bawah , ditentukan oleh tandaan positif atau negatif pada pemalar a.

Perhatian ( ) 2f x ax bx c= + + boleh ditukarkan ke bentuk ( ) ( )2f x a x h k= + di mana

2bha

= dan

2

4bk ca

= + . Titik optimum (maksimum atau minimum) setempat adalah ( ),h k .

Gambaran fungsi kuadratik yang memiliki titik optimum ditunjukkan pada Rajah 3.3 dan 3.4.

Untuk melakarkan graf fungsi, kita seharusnya mencari beberapa titik penting seperti titik optimum,

titik persilangan dengan paksi-x dan paksi-y (jika ada). Sekarang, mari kita meneliti contoh berikut.

Contoh 3.1

Diberi fungsi 2: 5 6f x x x + dengan { 1 5}fD x x= < . Lakarkan lengkung bagi fungsi

tersebut seterusnya nyatakan julat bagi f .

Rajah 3.4 ( ),h k ada titik maksimum apabila 0a < , dan fD = \ , ( ],fJ k= .

Rajah 3.3 ( ),h k ada titik minimum apabila 0a > , dan fD = \ , [ ),fJ k= .

KalkulusAsas|52

Penyelesaian:

Dengan penyempurnaan kuasa dua

( ) 2 5 6f x x x= + ( )25 1

2 4f x x = .

Didapati bahawa ( )1 2f = dan ( )5 6f = . Titik optimum

diperolehi apabila = 5 02

x . Oleh itu 5 12 4

f =

adalah nilai minimum. Bentuk graf adalah dengan

5 1,2 4

adalah titik minimum.

Persilangan dengan paksi-x, apabila 20 5 6x x= + iaitu ( )2,0 dan ( )3,0 .

-1 1 2 3 4 5 6x

-1

123456y

Dari graf, 1 64f

J y y = .

3.1.3 Fungsi Kubik

Takrif 3.4 Suatu fungsi kubik adalah fungsi polinomial ( ) 3 2 ,f x ax bx cx d= + + + 0a . Domain dan julat semulajadi adalah nombor nyata fD = \ , fJ = \ .

Contoh 3.2

Lakarkan graf dan cari domain dan julat bagi fungsi berikut.

a) ( ) 3 2 6f x x x x= + b) ( ) 3 2f x x x= +

Unit3FungsiII|53

Penyelesaian:

a) ( ) 3 2 6f x x x x= + ( ) ( )( )3 2f x x x x= +

{ }fD x x= \ , { }fJ y y= \

-4 -2 2 4x

-6

-4

-2

2

4

6y

y=x3+x-6x

b) ( ) 3 4f x x x= + ( ) ( )( )2 2f x x x x= +

{ }fD x x= \ , { }fJ y y= \ -4 -2 2 4

x

-4

-2

2

4y

y=-x3+4x

1. Lakarkan graf fungsi dan nyatakan domain dan julat;

a) ( ) 4f x = b) ( ) 5 3f x x= + c) ( ) 2 3 2f x x x= + +

Latihan Formatif 3.1

Kita boleh gunakan online function grapher untuk membantu kita melakar graf fungsi:

http://www.onlinefunctiongrapher.com

KalkulusAsas|54

d) ( ) ( )2 1f x x x= e) ( ) 3 8f x x= .

2. Di beri ( ) 2 3 2f x x x= + + dan ( ) 25 3 2g x x x= + + . a) Tukarkan fungsi dalam bentuk ( )2a x h k + . b) Nyatakan domain dan julat fungsi.

c) Nyatakan titik maksimum atau titik minimum bagi setiapnya.

3.2 Fungsi Nilai Mutlak

Takrif 3.5 Fungsi nilai mutlak mengandungi tatatanda modulus seperti ( )f x x= . Di mana ditakrifkan

00

x xx

x x=

Unit3FungsiII|55

Penyelesaian

a) ( )f x x= ( ) 00x x

f xx x

=

KalkulusAsas|56

Penyelesaian:

a) 1 1 0x x + + bagi semua nilai x\ . Oleh itu fD = \ , [ )0,fJ = . b) 4x x \ bagi semua nilai x\ . Oleh itu hD = \ , hJ = \ .


a) ( ) 1 42

h x x=

b) ( ) 3 2g x x= + c) ( ) 5 2f x x= .

3.3 Fungsi Nisbah

Takrif 3.6 Suatu fungsi nisbah yang terdiri daripada nisbah ungkapan ungkapan polinomial ditulis

dengan

( ) ( ) , ( ) 0( )

p xf x q xq x

= ,

Di mana ( )p x dan ( )q x adalah polinomial. Domain bagi fungsi nisbah adalah semua nombor

nyata kecuali nilai x yang membawa kepada ( ) 0q x = .


Unit3FungsiII|57

Contoh 3.5

Tentukan domain dan lakar graf bagi fungsi berikut;

a) 1( )1

f xx

= +

b) 2 1( )2

xf xx+=

Penyelesaian:

a) ( )1 0x+ oleh itu 1x , { }/ 1fD = \ .

Garis 1x = dikenali sebagai asimptot. -4 -2 2 4

x

-4

-2

2

4y

f HxL= 11 + x

b) ( )2 0x maka 2x , { }/ 2fD = \

-5 5 10x

-5

5

10y

Perhatikan bahawa kita boleh mencari domain bagi fungsi nisbah dengan mudah tetapi bagi

menentukan julat serta melakar grafnya, kita akan menempuh kesukaran jika hanya dengan

mencari beberapa pasangan nilai ( ),x y .

KalkulusAsas|58

Merujuk kepada kedua-dua graf Contoh 3.5, terdapat beberapa garisan yang dikenali

sebagai garisan asimptot. Fungsi tidak memotong garisan asimptot dan hanya menghampiri

garisan tersebut apabila nilai x menghampiri nilai-nilai tertentu atau menghampiri nilai tak

terhingga. Pada contoh (a), garisan asimptot menegak adalah 1x = dan asimptot mengufuk pula adalah 0y = .

Apabila nilai x menghampiri 1x = daripada arah kanan, nilai y akan menokok dan menghampiri ketakterhinggaan positif.

Apabila nilai x menghampiri 1x = daripada arah kiri, nilai y akan menyusut dan menghampiri ketakterhinggaan negatif. Yang demikian 1x = dinamakan asimptot menegak.

Apabila nilai x menghampiri nilai ketakterhinggaan positif, didapati nilai y akan menyusut dan menghampiri 1y = .

Apabila nilai x menghampiri nilai ketakterhinggaan negatif, nilai y akan menokok menghampiri 1y = . Garis 1y = adalah asimptot mengufuk.

Oleh kerana fungsi tidak wujud apabila asimptot 1y = maka julat bagi f adalah

{ , 1}fJ y y y= \ . Contoh berikut adalah panduan bagaimana kita menentukan asimptot bagi

suatu graf fungsi nisbah.

Contoh 3.6

Tentukan garis-garis asimptot bagi fungsi;

a) ( ) = 1

2f x

x b) ( ) 2 21

xf xx+= c) ( )

2

22 2

1x xf x

x+ +=

Unit3FungsiII|59

Penyelesaian

a) Domain bagi f adalah /{2}fD = \ , di mana 2x = adalah asimptot menegak pada graf.

Seterusnya bagi mendapatkan asimptot mengufuk kita boleh membahagi penyebut dan

pengangka dengan x. Maka diperolehi

( )1

21xf x

x

=

Perhatikan bahawa 1x

dan 2x

akan menghampiri 0 apabila x menghampiri nilai

takterhingga, . Ini membawa kepada f akan menghampiri 0, maka garis 0y = adalah asimptot mengufuk pada graf.

b) Daripada 2 1 0x ( )( )1 1 0x x+

1, 1x x

Maka asimptot menegak adalah 1x = dan 1x = . Dengan membahagikan penyebut dan pengangka dengan 2x iaitu kuasa terbesar bagi x pada penyebut, kita boleh menulis f

sebagai

( ) 22

1 2

11x xf x

x

+=

.

Jelas sekali bahawa ( ) 0xhad f x+

= . Oleh itu 0y = adalah asimptot mengufuk bagi graf.

( )f x tidak tertakrif apabila 1x = dan 1x = . Maka garis 1x = dan 1x = adalah asimptot menegak.

KalkulusAsas|60

c) Apabila kuasa pada pengangka sama atau lebih besar daripada penyebut maka kita perlu

membuat pembahagian panjang. Hasilnya adalah

( ) 2 22 21x xf x

x+ += ( ) 2

421

xf xx+= +

Dengan cara yang sama, boleh ditulis bahagi nisbah dengan 2 ,x seperti

( ) 22

1 4

2 11x xf x

x

+= +

Jelaslah bahawa ( ) 2xhad f x+

= . Oleh itu 2y = adalah asimptot mengufuk pada graf.

1. Diberi ( ) 32 1

f xx

= .

a) Tentukan asimptot menegak dan mengufuk.

b) Persilangan graf pada paksi koordinat jika ada.

c) Lakarkan graf f.


Unit3FungsiII|61

3.4 Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma

3.4.1 Fungsi Eksponen

Takrif 3.7 Fungsi eksponen adalah fungsi dengan asas a dalam bentuk ( ) xf x a= dengan 0a > dan x \ dinamakan eksponen.

Terdapat dua bentuk fungsi eksponen yang dikategorikan sebagai

( ) xf x a= , x \ , 1a > .

( ) xf x a= , x \ , 0 1a< < . Seterusnya, kita akan lihat ciri-ciri asas bagi kedua-dua bentuk fungsi di atas bersama grafnya.

Ciri-ciri asas ( ) , , 1xf x a x a= >\

fD = \ , ( )0,fJ = .

( ) 0f x > , iaitu fungsi yang menokok untuk semua

nilai x.

Apabila 0x = , ( ) 1f x = . Graf memotong paksi-y

pada (0,1) .

Apabila x , ( )f x .

Apabila x , ( ) 0f x .

Fungsi ( )f x ialah fungsi 1-1.

x

1

yy=ax, a>1

KalkulusAsas|62

Ciri-ciri asas ( ) , , 0 1xf x a x a= < dan f menyusut untuk x \ .

Apabila 0x = , ( ) 1f x = Graf memotong paksi-y pada

(0,1) .

Apabila x , ( ) 0f x .

Apabila x , ( )f x .

Fungsi ( )f x ialah fungsi 1-1.

x

1

yy=ax, 0

Unit3FungsiII|63

3.4.2 Fungsi Logaritma

Takrif 3.8 Fungsi logaritma dengan asas a ditandakan sebagai ( ) logaf x x= dengan logay x=

jika ya x= , x +\ .

Terdapat dua bentuk fungsi eksponen yang boleh diketegorikan sebagai

( ) logaf x x= , x +\ , 1a > ,

( ) logaf x x= , x +\ , 0 1a< < .

Berikut dibincangkan ciri-ciri asas bagi kedua-dua bentuk fungsi di atas bersama grafnya.

Ciri-ciri asas ( ) logaf x x= , , 1x a+ >\

( )0,fD = , fJ = \ Apabila 1x = , ( ) 0f x = , graf memotong paksi-x pada

(1,0).

Apabila x a= , ( ) 1f x = .

Apabila 0x + , ( )f x , bagi 0 1x< < .

Apabila x , ( )f x , bagi 1x > .

Fungsi adalah 1-1.

Graf ( ) logaf x x= , 1a >

1x

y

KalkulusAsas|64

Ciri-ciri asas ( ) log , , 0 1af x x x a+= < .

Fungsi adalah 1-1.

Graf ( ) logaf x x= , 0 1a< <

1x

y

3.4.3 Fungsi Eksponen dan songsangan

Katakan suatu fungsi eksponen diberi dengan ( ) xf x a= dengan x \ . Oleh kerana fungsi tersebut adalah fungsi 1-1 maka ia mempunyai fungsi songsang. Perhatikan bagaimana

memperolehi songsangan bagi ( ) xf x a= . Daripada takrif fungsi songsang, ( )1( )f f x x = .( )1 ( )f xa x = ( )1 ( )10 10log logf xa x

=

( )1 10 10( ) log logf x a x =

1 10

10

log( )log

xf xa

=

1( ) logaf x x = .

Unit3FungsiII|65

Jelas menunjukkan bahawa logay x= adalah graf songsangan bagi xy a= . Kedua-dua graf

adalah saling refleksi dengan garisan simetri adalah .y x= (Rajah 3.6 dan 3.7).

y=ax

y=x

y=logax

1x

1

ya>1

y=ax

y=x

y=logax

1x

1

y0

KalkulusAsas|66

Contoh 3.9

Tentukan fungsi songsang bagi 3( ) 2logf x x= .

Penyelesaian

Katakan 3( ) 2logy f x x= = maka

( )

3

2

1 2

log2

3

3

y

x

y x

x

f x

=

==

(0, ), .f fD J= = \

y=3x2

x

1

y

1. Lakarkan graf ( ) 3xf x = dan 1( )3

x

f x = pada satu koordinat yang sama.

2. Diberi suatu fungsi ( ) 5xf x = .

a) Cari 1f .

b) Lakarkan graf bagi 1( )f x .

c) Tunjukkan bahawa 1( )f x adalah suatu fungsi.


Unit3FungsiII|67

3.5 Fungsi Punca Kuasa

Takrif 3.9 Fungsi punca kuasa adalah fungsi yang mengandungi tatatanda surd

( ) ,mf x x=

.`m

Contoh 3.10

Lakarkan graf bagi fungsi berikut dan tentukan domain serta julatnya.

a) ( ) , 0f x x x= , b) ( ) 2f x x= ,

c) ( ) 52

xg x += .

Penyelesaian

a) x tertakrif apabila 0x , dengan mengambil beberapa nilai mudah, kita perolehi jadual dibawah.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8fHxL= x 0 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8

2 4 6 8x

-1

1

2

3y

f HxL= x

{ }0fD x x= , { }0fJ y y= b) 2x tertakrif apabila 2x .

x 2 3 4 5 6 7 8fHxL= x 2 0 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4

2 4 6 8x

-1

1

2

3y

f HxL= x - 2

{ }2fD x x= , { }0fJ y y=

KalkulusAsas|68

c) 52

x + tertakrif apabila 5x .

x 5 4 3 2 1 0 1 2 3

gHxL= x+52 0 0.71 1.0 1.2 1.4 1.6 1.7 1.9 2.0 -6 -4 -2 2

x

-1

1

2

3y

gHxL=x + 52

{ }5fD x x= , { }0fJ y y= 3.6 Fungsi Trigonometri

Sebelum kita mendalami perbincangan tentang fungsi trigonometri adalah lebih baik kita imbas

kembali hubungan antara unit darjah dengan unit radian bagi sukatan sudut. Kedua-dua unit

ukuran ini akan digunakan seiring sepanjang pembelajaran unit ini. Sudut yang dibentuk melalui

satu putaran sempurna mempunyai ukuran 360 darjah atau diringkaskan sebagai 0360 . Manakala

satu lagi ukuran bagi sudut untuk satu putaran sempurna suatu bulatan diberi dengan 2 radian. Takrif dibawah menjelaskan hubungan antara darjah dan radian;

Takrif 3.10 Ukuran radian bagi suatu sudut diukur bermula daripada paksi x yang positif ialah panjang lengkok s, yang mencangkum sudut pada bulatan unit. Kita tulis

s = radian atau s = rad

Perhatikan bahawa

0360 2= rad 0180 = rad

01180= rad dan 1 rad 0180 57 18'= = .

0 r=1

s

PHx,yL

q x

y

Rajah 3.8

Unit3FungsiII|69

Sekarang, mari kita lihat takrif nisbah trigonometri yang diperolehi dari suatu segitiga bersudut

tepat dan pada koordinat satah.

Nisbah Trigonometri Sudut Tirus

Kita pertimbangkan suatu segitiga ABC yang bersudut tegak di C (Rajah 3.9). Katakan sudut

ABC =( dengan sisi bertentangan dengan bucu A, B dan C, masing-masing adalah a,b dan c. Nisbah trigonometri ditakrifkan sebagai

sin

kos

tan

acbcab

=

=

=

Rajah 3.9

Nisbah salingan bagi nisbah trigonometri di atas adalah

1koseksin

= , 1sek

kos = dan

1kottan

= .

Juga daripada segitiga yang sama kita dapati hubungan

( ) ( ) ( )0 0 0sin 90 kos , kos 90 sin , tan 90 kot .b a bc c a = = = = = = Nisbah Trigonometri Bagi Sudut Am

Kita akan menentukan nilai nisbah trigonometri yang terbentuk daripada satu putaran lengkap

tembereng garis OP bermula daripada paksi-x yang positif. Katakan P satu titik dengan koordinat

( ),x y , dengan x dan y adalah bernilai positif, pada satu bulatan unit (dengan jejari 1r = unit). Jejari bulatan unit diperolehi dengan rumus 2 2r OP x y= = + yang sentiasa positif. Suatu

A C

B

ac

b

90-

KalkulusAsas|70

ketetapan piawai yang harus diingat ialah putaran titik P mengikut arah lawan jam menghasilkan

sudut yang positif. Manakala mengikut arah ikut jam sudut dinilaikan sebagai negatif.

Pada ketika P berada pada sukuan I, tiga nisbah

asas trigonometri boleh ditulis sebagai

sin y = , kos x = , tan yx

= .

Kesemuanya bernilai positif. Berikut adalah nilai

nisbah trigonometri bagi beberapa sudut mudah pada

sukuan I.

0 300 450 600 900

Sin 0 1212

32 1

Cos 1 3212

12 0

Tan 0 13 1 3

0

r

PHx,yL

q x

ySukuan I

Pada sukuan II, koordinat P adalah ( ),x y dan diperolehi

( )sin 180 siny = = ,

( )kos 180 kosx = = ,

( )tan 180 tanyx

= = .

Sinus sudut adalah bernilai positif, manakala kosinus

dan tangen sudut adalah negatif. Berikut nilai nisbah

0

r

PH-x,yL

q180 -q

x

ySukuan II

Unit3FungsiII|71

trigonometri beberapa sudut mudah pada sukuan II.

900 1200 1350 1500 1800

Sin 1 3212

12 0

Cos 0 12 12

32 1

Tan 3 1 13 0

Pada sukuan III diperolehi berikut dengan ( ),P x y

( )sin 180 siny + = = ,

( )kos 180 kosx + = = ,

( )tan 180 tanyx

+ = = .

Tangen sudut adalah bernilai positif, manakala sinus

dan kosinus sudut adalah negatif. Berikut nilai nisbah

trigonometri bagi beberapa sudut mudah pada sukuan

III.

1800 2100 2250 2400 2700

Sin 0 12 12

32 1

Cos 1 32 12

12 0

Tan 0 13 1 3

0

r

PH-x,-yL

q

180 +qx

ySukuan III

KalkulusAsas|72

Akhirnya, apabila P berada pada sukuan IV, koordinat P

adalah ( ),x y , maka diperolehi

( )sin 360 siny = = ,

( )kos 360 kosx = = ,

( )tan 360 tanyx

= = .

Kosinus sudut adalah bernilai positif, manakala sinus dan

tangen sudut adalah negatif. Berikut nilai nisbah

trigonometri bagi beberapa sudut mudah pada sukuan

IV.

2700 3000 3150 3300 3600

Sin 0 12 12

32 1

Cos 1 32 12

12 0

Tan 0 13 1 3

0 r

PHx,-yL

q

360-q

x

ySukuan IV

Nisbah Trigonometri Bagi Sudut Negatif

Apabila OP diputarkan ke arah ikut jam maka koordinat P adalah (x,-y). Oleh itu nisbah

trigonometri pada sukuan IV adalah

Unit3FungsiII|73

( )sin siny = = ,

( )kos kosx = = ,

( )tan tanyx

= = . 0

r

PHx,-yL

-qx

ySukuan II

Nisbah Trigonometri Bagi Sudut lebih daripada 0360

Apabila OP diputarkan mengikut arah lawan jam melebihi satu putaran lengkap, kita akan dapati

titik P akan berada pada kedudukan yang sama sebagaimana P pada putaran pertama. Proses

berulang-ulang ini dinamakan berkala. Maka kedudukan OP merujuk kepada paksi x positif adalah

sama pada sudut , 360 , 720 , 1080 ,... + + + dan seterusnya. Oleh itu nisbah trigonometri memenuhi sifat berikut;

( ) ( )sin sin 360 ,k = + ( ) ( )kos kos 360 ,k = + ( ) ( )tan tan 360 , 0,1,2,..k k = + = .

3.6.1 Fungsi Sinus dan Graf

Graf bagi siny s= boleh dilakarkan dengan menggunakan sudut-sudut mudah pada satu putaran lengkap serta menggunapakai nisbah trigonometri yang dibincangkan sebelum in. Sudut-sudut

mudah yang dimaksudkan seperti adalah sebagaimana ditunjukkan dalam Rajah 3.10.

KalkulusAsas|74

Rajah 3.10 Sudut-sudut mudah

Di sini kita boleh mencari sinus beberapa sudut seperti 0, , , , .6 4 3 2

s = Seterusnya

menggunakan hubungan nisbah trigonometri untuk sukuan I, II, III dan IV. Juga menggunakan nilai

( )sin 2 sink s s + = bagi lakaran graf dengan 2s > serta ( )sin sins s = bagi sudut-sudut yang negatif. Rajah 3.11, mnenunjukkan graf siny s= bagi 0 2s .

s 0 64

3

2

2 3

3 4

5 6

7 6

5 4

4 3

3 2

5 3

7 4

11 6 2

y=Sin s 0 1212

32 1

32

12

12 0

12

12

32 1

32

12

12 0

Rajah 3.11

Unit3FungsiII|75

3.6.2 Fungsi Kosinus dan Graf

Seperti juga dengan fungsi sinus, kita boleh menggunakan sudut-sudut mudah untuk melakar graf

kosinus. Rajah 3.12 menunjukkan graf kos y s= , 0 2s .

Rajah 3.12

Kitaran asas bagi kos y s= bermula di 0x = dan berakhir di 2x = . Sama seperti dengan sin y s= , tempuh kalaan bagi fungsi kos y s= ialah 2 . Julatnya pula ialah 1 1y dengan

amplitudnya adalah 1. Graf bersimetri terhadap paksi-y kerana ( )kos kos s s = .

Takrif 3.11 Amplitud bagi fungsi ( )siny a bx= ialah a , dan bagi ( ) kosy a bx= ialah a . Satu kitaran lengkap graf fungsi sinus dan kosinus dinamakan tempoh di mana bagi ( )siny a bx= dan

( ) kosy a bx= ialah 2b .

y=koss

y=koss

KalkulusAsas|76

3.6.3 Fungsi Tangen dan Graf

Melalui penggunaan sudut mudah kita boleh melakar graf tan y s= , 0 2s (Rajah 3.13) .

Perhatikan bahawa graf tangen akan menghampiri + apabila s menghampiri 2 dan 3

2

daripada arah negatif. Menghampiri apabila s menghampiri 2 dan 3

2 daripada arah

positif.

s 0 64

3 I

2M

I 2M+ 2

33 4

5 6

7 6

5 4

4 3 I

3 2 M

I 3 2 M+ 5

37 4

11 6 2

y=Tan s 0 13 1 3 3 1 13 0

13 1 3 3 1

13 0

Rajah 3.13

Unit3FungsiII|77

Berikut adalah panduan untuk membantu kita melakar graf ( )siny a bx c= + dan

( )kosy a bx c= + . Kitaran asas bermula ketika 0bx c+ = iaitu pada cxb

= dan berakhir ketika

2bx c + = di mana ( )2 cx b = . Tempoh kalaan adalah 2

b dan amplitudnya adalah a .

3.6.4 Fungsi Songsang Sinus

Secara umumnya, fungsi sin , y x x= \ bukan fungsi 1-1, jika dinilai x sebagai 6 , 5

6 dan

76 , kita akan memperolehi y bersamaan dengan 1

2. Jelas sekali ia adalah fungsi banyak satu.

-2 p - 3 p2

-p - p2

p2

p 3 p2

2 px

-1

1y

Rajah 3.14

Rajah 3.14 menunjukan graf fungsi sin , y x x= \ . Tetapi jika kita membataskan domain kepada

,2 2 , kita akan memperolehi suatu fungsi yang menokok dan yang mengambil satu nilai x

kepada satu nilai y. Oleh yang demikian kita boleh perolehi fungsi songsang bagi fungsi sinus.

Sekarang dengan menggunakan domain ,2 2 dan julat [1, 1], kita menakrifkan fungsi

songsang sinus seperti

KalkulusAsas|78

Takrif 3.12 Fungsi Songsang Sinus diwakilkan sebagai 1sin , ditakrif dengan 1siny x= jika dan

hanya jika sinx y= untuk 1 1x dan 2 2

y .

Tatatanda 1siny x= dibaca dengan y adalah songsang sinus bagi x juga y adalah sudut

dengan sinusnya adalah x. Tatatanda lain yang mewakili 1sin adalah arcsin. Rajah 3.15

memberi gambaran 1siny x= .

-1 1

-p2

p2

y=sin-1 x

Rajah 3.15

Perhatian Pemilihan y perlu berada di dalam selang ,2 2 bagi

1sin . Walau pun

5 1sin6 2 = , nombor

56

y = bukan nilai songsang fungsi 1 1sin2

.

Sifat-sifat fungsi songsang sinus

Daripada sifat-sifat umum bagi fungsi songsang kita perolehi

( )1sin sin ,x x = jika 1 1.x ( )1sin sin ,y y = jika .

2 2y

Unit3FungsiII|79

Contoh 3.11

Cari nilai berikut;

a) 1 1sin sin2

b) 1sin sin

4 c)

1 2sin sin3 .

Penyelesaian

a) 12

, diperolehi secara terus dengan menggunakan sifat-sifat bagi songsangan sinus.

b) 4 , kerana ,

4 2 2 berada dalam domain, kita boleh menggunakan sifat-sifat bagi

songsangan sinus.

c) Oleh kerana 2 ,3 2 2 , kita tidak boleh menggunakan sifat kedua untuk

1sin . Maka

1 12 3sin sin sin3 2 3 = =

.

Contoh 3.12

Tentukan nilai tepat bagi y jika 1 3sin tan4

y = .

Penyelesaian

( )1 13sin tan sin 14 2

y = = = .

KalkulusAsas|80

3.6.5 Fungsi Songsangan Kosinus

Jika domain bagi fungsi kosinus dibatasi dalam selang [ ]0, sebagaimana yang diwakilkan dengan lengkung berwarna merah pada Rajah 3.16, maka kita akan memperolehi fungsi kosinus

yang 1-1. Daripada takrif fungsi songsang kita boleh hasilkan songsang bagi kos y x= .

-2p - 3 p2

-p -p2

p2

p 3 p2

2px

-1

1y

y=cos x

Rajah 3.16

Takrif 3.13 Fungsi Songsangan Kosinus ditandakan dengan 1kos serta ditakrifkan sebagai

1kosy x= jika dan hanya jika kos x y= ,di mana 1 1x dan 0 y .

-1 1

p2

py=cos-1 x

Rajah 3.17

Rajah 3.17 di atas menunjukkan 1kosy x= , 1 1x . Kita boleh melakar graf 1kosy x= dengan memantulkan graf y kos x= terhadap garis y x= . Perhatikan bahawa nilai fungsi songsangan kosinus adalah sentiasa positif.

y=kosx

y=kos1x

Unit3FungsiII|81

Sifat-sifat Songsangan Kosinus

Sifat-sifat umum bagi songsangan memberi kita,

( ) ( )1kos kos kos arckos , jika 1 1x x x x = = ( ) ( )-1kos kos arckos kos , jika 0y y y x = = .

3.6.5 Fungsi Songsangan Tangen

Daripada Rajah 3.18, iaitu graf bagi fungsi tangen tan y x= , x\ . Ia jelas bukan suatu fungsi

1-1. Oleh yang demikian, membatasi x dalam selang ,2 2

sebagaimana yang diwakilkan

dengan lengkung berwarna merah membolehkan kita memperolehi songsangan bagi tan y x= .

-2p - 3 p2

-p -p2

p2

p 3 p2

2px

-1

1

yy=tan x

Rajah 3.18

Fungsi songsang tangen ditakrifkan seperti di bawah.

Takrif 3.14 Fungsi Songsang Tangen diwakilkan sebagai 1tan , ditakrif dengan 1tany x= jika

dan hanya jika tanx y= untuk 2 2

y < < .

KalkulusAsas|82

-1 1x

-p2

-p3

p3

p2

y=tan-1 x

Rajah 3.19

Rajah 3.19 di atas adalah 1tany x= dengan , ,2 2y y

D J = = \ .

1. Lakarkan kitaran asas bagi pasangan fungsi berikut pada graf yang sama;

a) ( )siny x= dan ( )2sin 2y x=

b) ( )kosy x= dan ( )2kos 3 2y x= + .

3.6 Fungsi Hiperbolik

Fungsi hiperbolik telah diperkenalkan pada tahun 1760-an secara berasingan oleh Vincenzo

Riccati dan Johann Heinrich Lambert. Fungsi hiperbolik mempunyai nama-nama yang hampir

serupa dengan fungsi trigonometri biasa iaitu sinh, kosh dan tanh, begitu juga dengan nisbah

salingan yang lain. Sinh x dibaca dengan sinus hiperbolik bagi sudut x. Walau pun nama-nama

fungsi hiperbolik menyerupai trigonometri biasa akan tetapi fungsi hiperbolik ditakrifkan daripada


Layari Laman Web berikut untuk tutorial mengenai fungsi trigonometri:

https://www.khanacademy.org/math/trigonometry/basic-trigonometry/trig_graphs_tutorial/v/graphs-of-trig-functions

Unit3FungsiII|83

fungsi eksponen. Fungsi yang asas adalah sinh dan kosh manakala yang lain ditakrif daripada

keduanya. Selanjutnya adalah takrif bagi fungsi hiperbolik.

Takrif 3.15 Fungsi sinus hiperbolik dan kosinus hiperbolik ditakrifkan oleh

sinh 2

x xe ex= dan kosh

2

x xe ex+= ,

di mana xe adalah eksponen semulajadi berkuasa x dan domain bagi kedua-dua fungsi nisbah

adalah semua nombor nyata.

Fungsi sinh adalah suatu fungsi ganjil manakala fungsi cosh pula adalah fungsi genap. Tanh pula

ditakrif seperti

sinhtanhkosh

x x

x xx e exx e e

= = +

Sebagaimana dengan fungsi trigonometri biasa terdapat beberapa identiti dan sifat-sifat yang

penting, walau bagaimanapun kita tidak akan membincangkan perkara tersebut dengan lebih

mendalam. Tumpuan kita hanya mengkaji graf fungsi hiperbolik dan songsangannya.

Contoh 3.10


a) ( ) kosh f x x= b) ( ) sinh f x x=

c) ( ) kosh 2xf x =

d) kosh ( )sinh

xf xx

=

KalkulusAsas|84

Penyelesaian

Kita boleh melakarkan graf fungsi dengan menggunakan jadual bagi nilai-nilai mudah.

a) x 3 2 1 0 1 2 3fHxL=Kosh x 10. 3.8 1.5 1.0 1.5 3.8 10.

-3 -2 -1 0 1 2 3x

1

2

3

4y

f HxL=Cosh x

[ ), 1,f fD J= = \

b) x 3 2 1 0 1 2 3fHxL=Sinh x 10. 3.6 1.2 0 1.2 3.6 10.

-3 -2 -1 1 2 3x

-3

-2

-1

1

2

3y

f HxL=Sinh x

, f fD J= =\ \

c) x 3 2 1 0 1 2 3fHxL=Cosh x2 2.4 1.5 1.1 1.0 1.1 1.5 2.4

f(x)=koshx

Unit3FungsiII|85

-3 -2 -1 0 1 2 3x

1

2

3

4y

f HxL=Cosh x2

[ ), 1,f fD J= = \

d) x 3 2 1 0 0+ 1 2 3fHxL= Kosh xSinh x 1.0 1.0 1.3 1.3 1.0 1.0

-3 -2 -1 1 2 3x

-4

-2

2

4y

f HxL=Cosh@xDSinh@xD

/{0}, /{0}f fD J= =\ \

Songsangan fungsi hiperbolik

Fungsi sinhy x= , x\ adalah fungsi 1-1 oleh yang demikian ia mempunyai songsangan, ditulis

seperti ( ) ( )1 2sinh ln 1x x x = + + , x\ . Fungsi koshy x= , x\ bukan fungsi 1-1 oleh itu dengan membataskan domainnya kepada

x +\ kita boleh perolehi songsangan, ( ) ( )1 2kosh ln 1 , 1x x x x = + .

f(x)=koshx/2

f(x)=(koshx)/(sinhx)

KalkulusAsas|86

Fungsi songsang bagi tanh y x= , x\ adalah, ( )1 1 1tanh ln , 12 1

xx xx

+ =

Unit3FungsiII|87

Contoh 3.11


a) -1( ) kosh f x x=

b) 1( ) sinh f x x= .

Penyelesaian:

a) x 1. 1.5 2. 2.5 3.fHxL=Kosh1 x 0. 0.96 1.32 1.57 1.76

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0y

f HxL=kosh-1@xD

[ ) [ )1, , 0,f fD J= =

b) x 3 2 1 0 1 2 3fHxL=Sinh1 x 1.8 1.4 0.88 0 0.88 1.4 1.8

-4 -2 2 4x

-3

-2

-1

1

2

3y

f HxL=sinh-1@xD

, f fD J= =\ \

KalkulusAsas|88

1. a) Permudahkan kosh sinhx x+ dan kosh sinhx x .

b) Guna jawapan bahagian (a) untuk buktikan identiti, 2 2kosh sinh 1x x = .

2. Cari domain dan julat fungsi berikut;

a) sekh x ,

b) kosekh x ,

c) koth x .

RUMUSAN

Kita telah membincangkan beberapa fungsi penting di dalam kajian matematik iaitu fungsi

polinomial, fungsi modulus, fungsi nisbah, fungsi eksponen dan logaritma. Seterusnya fungsi

punca kuasa, fungsi trigonometri dan diakhiri dengan fungsi hiperbolik. Kesemua fungsi asas ini

amat penting dalam kajian matematik, sains dan kejuruteraan. Walaubagaimana pada abad ke-18

dan ke-19, saintis mendapati bahawa fungsi asas sahaja tidak mencukupi menjawab persoalan

yang lebih komplek kerana ia mempunyai batasan tertentu. Mereka mendapati bahawa

penyelesaian untuk beberapa masalah penting fizikal seperti gerakan orbit planet, gerakan ayunan,

pengiraan potensi graviti badan hampir membulat dan pergerakan jasad yang rumit, tidak boleh

diterangkan menggunakan fungsi asas semata-mata. Oleh itu perkembangan kajian ke atas fungsi

masih giat dijalankan sehingga ke hari ini.

KATA KUNCI Polinomial, Domain, Julat, Fungsi Songsang.


Unit3FungsiII|89

1. Tentukan domain dan julat bagi fungsi berikut;

a) ( ) 2f x x= b) ( ) 3k x x= +

c) ( ) 31

xh xx

=

d) ( ) 2 4 5f x x x= + + .


a) ( ) 2 6 9h x x x= + b) ( ) ( )22 4f x x= + c) ( ) 4g x x= + d) 3 5y x= + + .

3. Fungsi f ditakrifkan sebagai : xf x e , x +\ . a) Lakarkan graf 1f dan tentukan julatnya.

b) Cari rumus bagi 1f .

4. Fungsi g ditakrifkan sebagai : ln( 2)g x x + , x +\ , 1.x > a) Lakarkan graf g .

b) Nyatakan julat bagi g dan 1g .

Latihan Sumatif

KalkulusAsas|90

5. Diberi 1( ) 3xf x += .

a) Cari 1f .

b) Lakarkan graf f dan 1f .

6. Lakarkan graf fungsi nisbah berikut. Nyatakan domain dan julatnya;

a) ( ) 3f xx

= b) ( ) 2xf xx= c) ( ) 2

3xk xx

=

d) ( ) 2 22 1xh x x+= e)

2 4( )2

xf xx=

7. Tentukan nilai tepat bagi setiap nisbah trigonometri berikut;

a) 2sin3 b) ( )0kos 45 c) tan

3

d) 0kos 420 e) 9sin 4 f) 17tan

6

8. Dengan tanpa menggunakan kalkulator , tentukan nilai tepat bagi nisbah-nisbah trigonometri sudut untuk setiap yang berikut;

a) 1sin ,2

= 00 90 , kos , tan , kosek .

b) 3kos ,5

= 00 90 , sin , tan , sek .

c) 6tan ,5

= 00 90 , kos , sin , kot .

d) 1sin ,2

= 0 090 180 , kos , tan , kosek .

Unit3FungsiII|91

e) 1cos ,3

= 0 0270 360 , sin , tan , sek .

9. Cari nilai hampir bagi sudut , 00 360 yang mungkin bagi nisbah trigonometri berikut. a) sin 0.56 = b) kos 0.107 = c) tan 3.56 = d) kot 0.2 =

e) 5kosek3

= .

10. Lakar graf berikut pada satah koordinat yang sama untuk 0 2x . a) siny x= b) 2siny x= c) 3siny x= .

KalkulusAsas|92

RUJUKAN

Hestenes, M. D. & Hill, R. O. (1986). Algebra and trigonometry. New Jersey: Prentice-Hill, Inc..

Larson, R. & Hostetler, R. P. (2004). Algebra and Trigonometry (6th. Ed.). Boston, MA: Houghton Mifflin.

Swokowski, E. W. & Cole, J. A. (2003). Algebra and trigonometry with analytic geometry (I0th. Ed.).

Brooks Cole: Pacific Grove.

JAWAPAN LATIHAN FORMATIF


1. a)

-4 -2 2 4x

-10

-5

5

yf HxL=x2-9

b)

-4 -2 2 4x

-4-2

2

4

yf HxL=x-x2

c)

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

yf HxL=x2+3x+2

d)

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

yf HxL=xH2x-6L

2. i) ii)

a)

25 172 4

x + a) 23 495

10 20x +

b) 17, ,

4f fD J = = \ b)

49, ,20g g

D J = = \

Unit3FungsiII|93

c) 5 17,

2 4 , minimum c)

3 49,10 20 , maksimum


1. a)

2 4 6 8x

-1

1

2

3

4y

hHxL= 12

x-4

, h hD J+= =\ \

b)

2 4 6x

1

2

3

4

5

6y

gHxL=x-3+2

[ ), 2,g gD J= = \

c)

2 4 6x

123456y

f HxL=5-2x

[ ), 0,f fD J= = \

KalkulusAsas|94


1. a) 12

x = , asimptot menegak.

0y = , asimptot mengufuk.

b) ( )0, 3 , titik persilangan pada paksi y.

c)

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

y= 32 x - 1


1.

a) y=2SinH2xL

y=SinHxL

p2

p 3 p2

2p

-2

-1

1

2

y b)

y=2KosH3xL+2

y=KosHxL

p6

p3

p2

2 p3

3 p2

p 2p-1

1

2

3

4y


1.

y=3xy=H1

3Lx

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4y

Unit3FungsiII|95

2. a) 5log x

b)

y=log5x

-4 -2 2 4x

-4

-3

-2

-1

1

2y

c) tunjuk dengan menggunakan garis menegak


1. a) 5log xxe , xe b) Pembuktian

2. a) { }; 0 1D J y y= = < \

KalkulusAsas|96

JAWAPAN LATIHAN SUMATIF

1. a) [ )\: , : 0,f fD J b) [ ) [ ) : 3, , : 0,k kD J . c) { } { }\ \: / 1 , : / 3h hD J d) \ \: , :f fD J

2. a) b)

-4 -2 2 4 6 8x

2

4

6

8

10y

[ ): , : 0,h hD J \

-10 -5 5x

-10

-5

5

y

( ]: , : ,2f fD J \

c) d)

-10 -5 5x

2

4

6

8

10y

[ ): , : 4,g gD J \ -10 -5 5

x

2

4

6

8

10y

[ ) [ ): 5, , : 3,y yD J

Unit3FungsiII|97

3. a)

y=e-x

-3 -2 -1 1 2 3 4x

-2

-1

1

2

3

4y

b) lny y=

4. a)

y=lnHx+2L

-3 -2 -1 1 2 3 4x

-2

-1

1

2

3

4y

b)

{ }{ }

1

1

1

0g g

g g

D x x J

J y y D

= > == > =

5. a) ( )1 3log 1f x x =

b)

y=3x+1

y=log3x-1

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

KalkulusAsas|98

6. a)

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4y

f HxL= 3x

{ } { }/ 0 , / 0f fD J= =\ \

b)

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4y

gHxL= x - 2x

/{0}, /{1}g gD J= =\ \

c)

-4 -2 2 4 6 8x

-5

5

y

kHxL= 2 x3 - x

{ } { }/ 3 , / 2k kD J= = \ \

d)

-4 -2 2 4x

2

4

6

8

10y

hHxL=2 x2 +1x2

{ }/ 0 , h hD J += =\ \

e)

-3 -2 -1 1 2 3 4x

-2-1

1

2

3

4

5y

{ } { }/ 2 , / 4f fD J= =\ \

Unit3FungsiII|99

7. a) 32

b) 22

c) 3 d) 12

e) 22

f) 33

8. a) 3 1, ,22 3

b) 22 22 5, ,5 3 3

c) 5 6 5, ,

661 61

d) 1 , 1, 22

e) 2 2 , 2 2,33

9. a) 0.5944 rad, 2.5472 rad

b) 1.5878 rad, 4.6954 rad

c) 1.2970 rad, 4.4386 rad

d) 1.7682 rad, 4.9098 rad

e) 0.6435 rad, 2.4981 rad

10.

y=3SinHxL

y=2SinHxL

y=SinHxL1 2 3 4 5 6

x

-3

-2

-1

1

2

3

y

unit pelajaran 3 fungsi

Documents