unit pelajaran 4 had dan keselanjaran.pdf

Kalkulus Asas|100

UNIT PELAJARAN 4

HAD DAN KESELANJARAN HASIL PEMBELAJARAN Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Menerangkan pengertian 0

had ( )x x

f x l

.

2. Mengenalpasti kes had tak wujud.

3. Menerangkan had di ketakterhinggaan.

4. Mencari had dengan menggunakan teorem-teorem had.

5. Menerangkan takrif had secara formal.

6. Mengenalpasti keselanjaran fungsi pada suatu titik tertentu.

.

Unit 4 Had dan Keselanjaran |101

PENGENALAN

ad sesuatu fungsi adalah satu konsep asas yang perlu difahami dalam pembelajaran kalkulus. Konsep had dan keselanjaran mula-mula dipelopori oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727) dan baron Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 – 1716). Beberapa ahli matematik lain seperti Agustin Louis Cauchy (1786 – 1857) dan Karl Weierstrass (1815 – 1897) telah menyempurnakan konsep had ini dan digunakan sehingga ke hari ini. Konsep had ini sangat penting dan banyak digunakan terutamanya ketika melakarkan

graf fungsi fungsi nisbah. Selain itu konsep had juga digunakan dalam mentakrifkan pembezaan atau pengamiran sesuatu fungsi. Ramai pelajar mendapati konsepnya sukar difahami terutama sekali bagi mereka yang baru pertama kali mempelajarinya. Pelajar-pelajar dinasihatkan supaya mempelajari takrifnya beulang-ulang kali dari pelbagai aspek.

H

Layari Laman Web untuk mengetahui sejarah menenai had dan keselanjaran:

http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function

Kalkulus Asas|102

4.1 Had

Had digunakan untuk menerangkan perubahan yang berlaku bagi suatu fungsi apabila nilai pembolehubah tak bersandar menghampiri suatu nilai tertentu. Pertimbangkan fungsi

xxxf sin)( .

Fungsi ini tidak tertakrif apabila 0x , tetapi perlu juga diketahui apa yang akan berlaku kepada

nilai )(xf apabila x bergerak disepanjang paksi- x menghampiri nilai 0. Jadual 4.1 di bawah

memberikan nilai-nilai )(xf pada titik-titik berturutan disepanjang paksi- x positif menghampiri

0x .

Jadual 4.1: Nilai x

xsinapabila x menghampiri 0 dari sebelah kanan

x 0 0.0001 0.001 0.01 0.1 1

)(xf ? 0.9999999 0.9999998 0.9999833 0.9983342 0.8414709

Keputusan ini mencadangkan bahawa nilai )(xf menghampiri 1. Nombor 1 ini disebut sebagai

had bagi x

xsin apabila x meghampri 0 dari sebelah kanan, dan ditulis

1sinhad0

x

xx

(4.1)

Seterusnya, dengan cara yang sama, kita boleh mengetahui apakah yang akan berlaku kepada

xxxf sin)(

Apabila x menghampri 0 dari sebelah kiri. Jadual 4.2 memberikan jawapan kepada persoalan ini.


Jadual 4.2: Nilai x

xsinapabila x menghampiri 0 dari sebelah kiri

x – 1.0 – 0.1 – 0.01 – 0.001 – 0.0001 0

)(xf 0.8414709 0.9983342 0.9999833 0.9999998 0.9999999 ?

Daripada jadual 4.2, kita boleh simpulkan bahawa nilai )(xf menghampiri 1 apabila x

menghampiri 0 dari sebelah kiri, dan ditulis

1sinhad0

x

xx

Takrif 4.1 Had kanan

Jika nilai )(xf menghampiri nombor l1 apabila x menghampiri xo dari sebelah kanan, maka ditulis

yang dibaca sebagai “had )(xf apabila x menghampiri x0 dari sebelah kanan bersamaan dengan

l1.”

1)(had0

lxfxx

Takrif 4.2 Had kiri

Jika nilai )(xf menghampiri nombor l2 apabila x menghampiri x0 dari sebelah kiri, maka ditulis

2)(had0

lxfxx

yang dibaca sebagai “had )(xf apabila x menghampiri x0 dari sebelah kiri bersamaan dengan l2.”

Kalkulus Asas|104

Takrif 4.3 Had suatu fungsi

Jika had dari sebelah kiri dan had dari sebelah kanan bagi )(xf mempunyai nilai yang sama, iaitu

0 0

had ( ) had ( )x x x x

f x f x l

maka 0

had ( )x x

f x

wujud dan ditulis

0

had ( )x x

f x l

Contoh 4.1

1. Diberi ( ) 2f x x jika 1x dan (1) 0f . Cari

a) 1

had ( )x

f x

b) 1

had ( )x

f x

c) 1

had ( )x

f x

Penyelesaian:

Graf f mengandungi titik (1, 0) dan titik-titik pada graf 2y x kecuali titik (1, 3), seperti yang

ditunjuk dalam Rajah 4.1.

-2 -1 1 2 3 4-1

1

2

3

4

5

x

y

Rajah 4.1


Didapati bahawa

a) 1

had ( ) 3x

f x

b) 1

had ( ) 3x

f x

c) Oleh kerana 1 1

had ( ) had ( ) 3x x

f x f x

, maka 1

had ( ) 3x

f x

1. Berdasarkan Rajah 4.2 , cari

a) )(had1

xfx

b) )(had1

xfx

c) )(had2

xfx

d) )(had3

xfx

1 2 3 4

1

2

x

y

Rajah 4.2

Latihan Formatif 4.1

)(xfy

Kalkulus Asas|106

2. Lakarkan graf

2 2

,,2

)( 2 xx

xx

xf dan cari had-had berikut.

a) )(had2

xfx

b) )(had2

xfx

c) )(had2

xfx

d) )(had1

xfx

4.2 Kes had tak wujud

Terdapat dua keadaan yang mana 0

had ( )x x

f x

tak wujud:

Jika had dari sebelah kiri dan had dari sebelah kanan bagi f(x) tidak mempunyai nilai yang

sama, iaitu

0 0

had ( ) had ( )x x x x

f x f x

maka 0

had ( )x x

f x

tak wujud.

Jika had suatu fungsi apabila

0 0 0, , atau x x x x x x

tidak dapat dipastikan. Jika had tidak ada, maka disebut had tak wujud.


Contoh 4.2

Lakarkan graf 2

1yx

. Seterusnya dapatkan had 20

1xhad

x

Penyelesaian:

Graf bagi 2

1yx

digambarkan dalam Rajah 4.3. Perhatikan bahawa apabila x menghampiri 0

dari sebelah kiri atau sebelah kanan, fungsi ini menokok tanpa batas. Maka,

20

1 hadxx

.

20

1xhad

xtidak wujud kerana 2

1yx

menokok tanpa batas apabila x menghampiri 0.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

x

y

Rajah 4.3

2

1x

y

Kalkulus Asas|108

1. Lakarkan graf

1 1

,13,1

)(2

xx

xxxf dan cari had-had berikut.

a. )(had1

xfx

b. )(had1

xfx

c. )(had1

xfx

d. )(had1

xfx

2. Tentukan sama ada 3

3had3 xx

wujud.

3. Tunjukkan bahawa xx

x

||had0

tak wujud.

4.3 Had di ketakterhinggaan

Had juga boleh digunakan untuk menggambarkan kelakuan sesuatu fungsi apabila pembolehubah tak bersandar bergerak menjauhi asalan di sepanjang paksi-x. Jika x dibiarkan menokok tanpa batas, x dikatakan menghampiri positif ketakterhinggaan dan ditulis sebagai x . Sebaliknya,

jika x dibiarkan menyusut tanpa batas, x dikatakan menghampiri negatif ketakterhinggaan dan ditulis sebagai x .

Katakanlah had bagi f(x) apabila x menghampiri positif ketakterhinggaan ialah l, dengan l suatu nombor nyata. Pernyataan ini boleh ditulis sebagai



had ( )x

f x l

Garis y = l merupakan garis asimptot mengufuk untuk f(x).

Contoh 4.3

1. Lakarkan graf x

y 3 . Seterusnya dapatkan

xx

3 had

dan xx

3 had

Penyelesaian:

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Rajah 4.4

Graf bagi x

y 3 digambarkan dalam Rajah 4.4. Perhatikan bahawa fungsi ini tidak

tertakrif apabila 0x . Perhatikan juga bahawa, apabila x semakin bertambah

menghampiri , nilai )(xf menghampiri 0. Maka,

03 had xx

Dengan cara yang sama, apabila x semakin menyusut menghampiri , nilai )(xf

menghampiri 0. Maka,

03 had xx

xy 3

Kalkulus Asas|110

2. Tentukan )9247( had 35

xxxx

Penyelesaian:

535 7 had)9247( had xxxxxx

(Nota: Had bagi suatu fungsi polynomial boleh ditentukan dengan mengira had sebutan yang mempunyai kuasa tertinggi).

3. Tentukan 8653 had

xx

x

Penyelesaian:

Bahagikan setiap ungkapan pada pembilang dan penyebut dengan pembolehubah x yang

mempunyai kuasa tertinggi. Untuk contoh ini, kuasa x tertinggi adalah satu iaitu xx 1 .

Maka

21

86

53 had

8653 had

x

xxx

xx


1. Berdasarkan Rajah 4.5, cari

a) (x) had fx

b) (x) had fx

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Rajah 4.5

2. Tentukan )12174( had 38

xxxx

3. Tentukan xxxxxx

x 8712526 had 3

23

4. Tentukan 742235 had 3

24

xxxx

x


Kalkulus Asas|112

4.4 Kaedah pengiraan had

Dalam Bahagian 4.1, kita telah perhatikan bahawa had )(xf apabila x meghampiri a tidak

bergantung kepada nilai f di ax . Walau bagaimanapun, boleh juga belaku had tersebut diberi

dengan tepat oleh )(af . Dalam kes ini, had suatu fungsi boleh dinilai secara penggantian terus

iaitu:

)()(had afxfax

Teorem 4.1 Sifat Asas Had

Misalkan ka , dan n ialah nombor-nombor nyata, maka

a) kkax

had

b) axax

had

c) nn

axax

had

Teorem 4.2 Sifat Had

Misalkan had mewakili had-had

axhad ,

axhad ,

axhad ,

xhad atau

xhad

Jika had )(xf dan had )(xg kedua-duanya wujud, maka

a) )( had )]([ had xfkxkf ; k pemalar

b) )( had)( had)]()([ had xgxfxgxf

c) )( had)( had)]()([ had xgxfxgxf

d) )( had)( had

)()( had

xgxf

xgxf

, dengan syarat 0)( xg


e) nn xfxf )( had)]([ had

f) nn xfxf )( had)( had , dengan syarat 0)( had xf jika n genap.

Teorem 4.3 Had bagi fungsi trigonometri

Untuk setiap nombor nyata c yang tertakrif dalam domain

a) ctc

sinsin hadt

b) ctc

kos kos hadt

c) ctc

tantan hadt

d) ctc

kot kot hadt

e) ctc

sek sek hadt

f) ctc

kosek kosek hadt

Teorem 4.4 (Had bagi fungsi trigonometri khas)

a) 1sin had0t

t

t

b) 0 kos1 had0t

tt

Kalkulus Asas|114

Contoh 4.4

Dapatkan had bagi setiap ungkapan berikut

a) )5( had0

xx

b) )53( had2

xx

c) )325( had 2

3

xx

x

d) 45 had 2

2

x

x

e) xxx

sin had0

f) x

xx

1

1 had2

1

g) x

xx

3sin had0

Penyelesaian:

a) 0)0(5 had 5)5( had0x0

xxx

b) 115)2(35 had had 3)53( had222

xxx

xx

c) 423)3(2)3(53 had had 2 had 5)325( had 2

33

2

3

2

3

xxxxxxxx

d) 4164)2(54 had had5)45( had45 had 2

2

2

2

2

2

2

2

xxxxxxx

e) 0)0(0sin had hadsin had000

xxxxxxx


f) Perhatikan bahawa kita tidak boleh menggantikan nilai 1x untuk mencari x

xx

1

1 had2

1

kerana )1(f tidak tertakrif. Kita juga tidak boleh menggunakan Teorem 4.2 (d) kerana

penyebutnya bernilai sifar. Maka, kita perlu faktorkan ungkapan tersebut sebelum mengira had.

21

)1( had)1(

)1)(1( had1

1 had11

2

1

xx

xxx

xxxx

,

(Nota: Secara umumnya apabila kedua-dua had pembilang dan had penyebut bernilai sifar, kita boleh cuba meringkaskan ungkapan tersebut menggunakan kaedah pemfaktoran).

g) 13

3sin had33

3sin3 had3sin had000

x

xx

xx

xxxx

Dapatkan had bagi setiap ungkapan berikut

1. )453( had 2

2

xx

x

2. 2

45 had 2

3

3

xxx

x

3. x

xx

1

1 had2

1

4. xx

xe x

x

2

12

0 had

5. Tunjukkan 0|| had0

xx

6. t

tt sin

kos1 had0


Kalkulus Asas|116

4.5 Takrif had secara formal

Andaikan )(xf tertakrif untuk semua nilai x dalam suatu selang terbuka yang mengandungi

nombor a , kecuali mungkin )(xf tertakrif atau tidak pada a . Kita tulis

Lxfax

)( had

Jika untuk setiap nombor 0 , kita boleh cari suatu nombor 0 supaya )(xf memenuhi

Lxf )( apabila x memenuhi ax .

Takrif ini diilustrasikan secara graf seperti dalam Rajah 4.5

Rajah 4.5

Contoh 4.5

Dengan menggunakan takrif had, buktikan bahawa

1)52( had3

xx

Penyelesaian:

Perlu ditunjukkan bahawa apabila diberi sebarang nombor , boleh dicari suatu nombor positif

supaya


1)52( x ……………………………..(i)

apabila x memenuhi

3x …………………………….(ii)

Untuk mencari , kita tulis semula ketaksamaan (i) sebagai

62x

atau setara dengan

32 x

atau

2

3 x …………………………….(iii)

Nilai mestilah dipilih supaya (iii) dipenuhi apabila (ii) ditepati. Satu cara mudah yang boleh

dilakukan ialah dengan memilih

2

Untuk membuktikan pilihan ini adalah tepat, kita andaikan bahawa x memenuhi (ii). Oleh

kerana dipilih 2 , maka daripada (ii) diperoleh bahawa x memenuhi

2

3 x ……………………………..(iv)

Perhatikan bahawa (iii) adalah sama dengan (iv). Ini membuktikan bahawa

1)52( had3

xx

Kalkulus Asas|118

Dengan menggunakan takrif had, buktikan bahawa

1. 1)53( had2

xx

2. 3)1( had2

xx

4.6 Keselanjaran

Fungsi selanjar mempunyai tafsiran geometri yang mudah. Ia merupakan fungsi yang grafnya tidak “terputus” pada satah koordinat. Takrif 4.4 Keselanjaran suatu fungsi Fungsi f adalah selanjar pada a jika tiga syarat berikut dipenuhi:

i) f tertakrif pada suatu selang terbuka mengandungi a .

ii) )( had xfax

wujud.

iii) )()( had afxfax

.

Jadual 4.3 menggambarkan beberapa fungsi yang tidak selanjar pada titik 2x .



Jadual 4.3: Beberapa contoh fungsi yang tidak selanjar pada titik 2x

Graf fungsi Sebab f tak selanjar

-1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x

y

f tidak selanjar pada 2x

kerana )2(f tak tertakrif.

-1 1 2 3 4 5

1

2

3

x

y


kerana )( had2

xfx

tak wujud.

-1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

x

y


kerana )2()( had2

fxfx

.

Teorem 4.5 Keselanjaran Fungsi Polinomial dan Fungsi Nisbah.

a) Semua fungsi polynomial adalah sentiasa selanjar iaitu ia selanjar dalam selang ),( .

b) Semua fungsi nisbah adalah selanjar dalam selang di mana ia tertakrif iaitu ia selanjar pada domainnya.

Kalkulus Asas|120

Contoh 4.6

Tentukan sama ada fungsi f yang diberikan oleh

1,11,21,

)(3

3

xxxxx

xf

Adalah selanjar pada 1x

Penyelesaian:

Domain f ialah N, maka fungsi f memenuhi syarat i) dalam Takrif 4.4.

Perhatikan bahawa

1 had)( had 3

11

xxf

xx

0)1( had)( had 3

11

xxf

xx

Oleh kerana )( had)( had11

xfxfxx

, maka )( had1

xfx

tak wujud. Jadi, f tidak memenuhi syarat

ii) dalam Takrif 4.4, dan dengan itu, f tak selanjar pada 1x .

Tentukan sama ada fungsi-fungsi berikut selanjar pada 2x .

1. 24)(

2

x

xxf

2.

2,2,

324

)(2

xx

xx

xg



3.

2,2,

424

)(2

xx

xx

xh

RUMUSAN

Dalam unit ini kita telah membincangkan beberapa konsep penting berkaitan dengan had dan keselanjaran suatu fungsi. Had dan keselanjaran suatu fungsi amat penting bukan semata-mata kita ingin mengetahui kelakuan atau bentuknya tetapi ia diperlukan apabila sesuatu konsep kalkulus hendak digunakan terhadap fungsi tersebut. Adalah diharapkan agar pelajar mengukuhkan lagi kefahaman dengan latihan-latihan yang banyak daripada buku-buku teks.

KATA KUNCI Had kiri, had kanan, Had fungsi, Had tak wujud, Had di ketakterhinggaan, Keselanjaran fungsi

1. Tunjukkan 0|| had0

xx

2. Cari had-had berikut jika wujud

a) 4

2 had 2

2

2

xxx

x

b) Cari 2

2

0

39 hadt

tt

Latihan Sumatif

Kalkulus Asas|122

c) Cari 1

1 had1

x

xx

d) 32

1 had 2

2

xxx

x

e) xx

x tan4sin had

0

f) 1 kos had

2

0 ttt

x

g) x

xx

tan had0

h) x

xxx 20 sin

kos had

3. Tunjukkan |2|

2 had2

x

xx

tak wujud

4. Diberi

3,)3(30,3

0,)(

2 xxxx

xxxf

Cari had-had berikut jika wujud

a) )( had0

xfx

b) )( had0

xfx

c) )( had0

xfx


d) )( had3

xfx

e) )( had3

xfx

f) )( had3

xfx

g) Tentukan titik ketakselanjaran )(xf .

5. Dengan menggunakan takrif had, buktikan bahawa

5)23( had1

xx

6. Diberi

3,3,

133

)(xx

xx

xf

Adakah f selanjar pada 3x ?

7. Tentukan titik-titik di mana fungsi-fungsi berikut tidak selanjar

a) 2

2)(2

x

xxxf

b)

0 ,1

0 ,1)( 2

x

xxxg

c)

3 ,1

3 ,3

32)(

2

x

xx

xxxh

8. Tentukan selang-selang dimana fungsi-fungsi berikut adalah selanjar

a) 152)( 35 xxxf

b) 1

172)( 2

2

x

xxxg

Kalkulus Asas|124

RUJUKAN

Majid, M. (2002). Kalkulus Asas Untuk Pelajar Kejuruteraan dan Sains. DBP: Kuala Lumpur.

Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.

Smith, R.T., & Minton, R.B. (2007). Calculus: Early Transcendental Functions (3rd Ed.). Mc. Graw

Hill: New York.

Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.

Layari Laman Web

http://www.brightstorm.com/math/calculus/limits-and-continuity/ http://www.wyzant.com/help/math/calculus/limits/continuity http://mathworld.wolfram.com/Limit.html http://curious.com/integralcalc/limits-and-continuity

JAWAPAN LATIHAN FORMATIF Latihan Formatif 4.1

1. a) 0; b) 1; c) 0; d) 1

2. a) 4; b) 4; c) 4; d) 2


1. a) 2; b) – 2; c) tak wujud; d) 4


1. a) 5; b) 3

2.


3. 21

4.


1. 6

2. 7

16

3. 2

4. e

6. 0


1. Tak selanjar kerana fungsi f tak tertakrif pada 2x

2. Tak selanjar kerana g(2))( had2

xgx

3. Selanjar

JAWAPAN LATIHAN SUMATIF

2. a) 43 b)

61 c) 2 d) 1 e) 4 f) 0 g) 1 h) 0

4. a) 3 b) 0 c) tak wujud d) 0 e) 0 f) 0 g) 0 dan 3

6. Tak selanjar kerana )(had)(had33

xfxfxx

7. a) 2x b) 0x c) 3x

8. a) f adalah fungsi poinomial, maka ia selanjar pada ),(

b) g adalah fungsi nisbah, maka ia selanjar pada domainnya iaitu )1,( , )1,1( dan ),1(

unit pelajaran 4 had dan keselanjaran.pdf

Documents