penggunaan turunan dalam kalkulus

Post on 09-Oct-2015

37 views

Category:

Documents

8 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

PENGGUNAAN TURUNAN DALAM KALKULUS

PENGGUNAAN TURUNAN DALAM KALKULUS

Bab yang akan dijelaskan dalam bab penggunaan turunan, antara lain :

1.Maksimum dan Minimum2.Kemonotonan dan kecekungan3.Maksimum dan minimum lokal4.Lebih banyak masalah maksimum-minimum5.Penerapan ekonomi6.Limit di ke takhinggaan, limit tak terhingga7.Penggambaran grafik canggih8.Teorema nilai rata-rata

Penggunaan turunan dalam bidang kalkulus tentu saja tidak terlepas dari Ilmuan besar dunia Isaac Newton. Beliau lahir di Inggris pada tahun 1642, Isaac newton sebagai remaja sedikit menunjukan rasa ketertarikannya terhadap akademis, Dia lebih menyukai membuat roda air, dan berbagai macam perkakas lainnya, namun pamannya mengenali bakat luar biasa Isaac pada saat itu, kemudian ibunya pun mengirimnya ke Trinity College dari universitas Cambrige.Setelah sesaat di wisuda dari Trinity, newton pergi pulang untuk menghindari wabah penyakit pes 1664-1665 selama 18 bulan, dan sejak januari 1665 dia mulai mendalami matematika dan ilmu yang terkemuka, Dalam waktu yang singkat Newton berhasil menemukan teorema binomial umum, elemen dari kalkulus diferensial maupun integral, teori warna-warni, dan hukum gravitasi universal.Lalu newton pun meninggal sebagai seorang yang terhormat pada usia 85 dan di makamkan Westminster Abbey.

Sub bab 1

Maksimum dan Minimum

Penggunaan konsep ini sering sekali di lakukan dalam kehidupan sehari-hari untuk memaksimalkan dan meminimumkan fungsi tertentu, sehingga bila demikian metode kalkulus menyediakan sarana yang ampuh untuk memecahkan masalah seperti ituAndaikan kita mengetahui fungsi f dan domain ( daerah asal ) S Apakah f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S.Anggap bahwa nilai-nilai tersebut ada. Kita ingin mengetahui lebih lanjut dimana S nilai-nilai itu berada. Akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum atau minimum.

Definisi :Andaikan S, daerah asal f , memuat titik c. Kita katakanbahwa :I.f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c ) f(x) untuk semua x di S;II.f(c ) adalah nilai minimum f pada S jika f(c ) f(x) untuk semua x di S;III.f(x) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimumdan untuk mengetahui apakah suatu f mempunyai nilai maksimum ataupun minimum pada S, terdapat suatu teorema yang bagus untuk mengetahuinya, walaupun bukti yang teliti sangat sukar,TEOREMA A :(Teorema eksistensi Maks-min), jika f continue pada selang tertutup (a,b), maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.Perhatikan kata kunci :f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tertutup

Untuk mengetahui dimana terjadinya nilai-nilai ekstrim, biasanya fungsi yang ingin di maksimumkan, atau diminimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya, tetpi selang tersebut boleh berupa sembarang tipe. Beberapa dari selang ini memuat titik-titik ujung; beberapa tidak. Misalnya , I = (a.b) memuat titik ujung keduanya; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titik ujung satupun.Dan nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung ( lihat gambar 1 )

Jika c sebuah titik pada mana f(c) = 0 , kita sebut c titik stasioner . namun itu diturunkan dari fakta bahwa pada titik stasioner , grafik f mendatar , karena garis singgung mendatar .nilai-nilai ekstrim seringkali terjadi pada titik stasioner (perhatikan gambar 2)

Dan jika c adalah titik dalam dari I dimana f tidak ada , kita sebut c titik singular. Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi di titik singular (lihat gambar 3)

Ketiga jenis titik ini (titik ujung, titik stasioner, dan titik singular ) merupakan titik-titk kunci dari teori maks-min. sebarang titik dalam daerah asal fungsi f yang termasuk salah satu dari tipe ini disebut sebuah titikkritis.

TEOREMA B :(teorema titik kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim , maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :I.Titik ujung dari I ;II.Titik stasioner dari f(f( c ) = 0 ) ;III.Titik singular dari f(f( c ) tidak ada ).

Mengingat teorema A dan B untuk menghitung nilai maksimum dan minimum suatu fungsi kontinu fpada selang tertutupILangkah 1 ; carilah titik-titik kritis dari f padaILangkah 2 ; hitunglah f pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh soal :Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = -3x3+ x3pada [-1,2]Penyelesaiannya ;

Sub bab 2Kemonotonan dan kecekungan

Definisi :Andaikan f terdefinisi pada selang I ( terbuka, tertutup, atau tak satupun ). Kita katakan bahwa:I.F adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1dan x2dalam I,X12 = f(x1) 2)II.F adalah turunan pada I jika setiap pasang bilangan x1dan x2dalam I,X12 = f(x1) > f(x2)III.F monoton murni pada I jika ia naik pada I atauturun pada I.

TURUNAN PERTAMA DAN KEMONOTONAN

Jika kita ingat kembali bahwa turunan pertama f(x) memberi kemiringan dari garis singgung pada grafik f di titik x. kemudian jika f(x) > 0, garis singgung naik ke kanan ( lihat gambar 2), serupa , jika f(x)

TEOREMA A(teorema kemonotonan). Andaikan f continue pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I,I.Jika f(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I , maka f naik pada I.

II.Jika f(x)

TURUNAN KEDUA DAN KECEKUNGANSebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang ( gambar 4 ). Jika garis singgung berliku dengan tetap berlawanan arah jarum jam , kita katakana bahwa grafik cekung ke atas , jika garis berliku searah jarum jam, maka grafik cekung ke bawah. Kedua definisi lebih baik dinyatakan dalam istilah fungsi dan turunannya.DefinisiAndaikan f terdefinisi pada selang terbuka I = (a,b). jika f naik pada I, f (dan grafiknya) cekung ke atas disana; jika f turun pada I, f cekung ke bawah pada IDiagram dalam gambar 5 berikut akan membantu dalam memperjelas gagasan ini.

TEOREMA B(teorema kecekungan ), andaikan f terdefinisial dua kali pada selang terbuka (a,b).I.Jika f (x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).II.Jika f (x)

TITIK BALIKUntuk mencari titik balik kita dapat memisalkan f continue di c. kita sebut (c, f(x) )suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam gambar 6 berikut menunjukan sejumlah kemungkinan.

Contoh soal :Jika f(x) = 3x3 9x2 27x+ 1, cari dimana f naik dan dimana turun .Penyelesaiannya :

Kita mulai dengan mencari turunan f. f(x) = 9x2 18x 27 = 9(x+1)(x-3)Kita perlu menentukan dimana (x+1)(x-3) > 0 dan juga dimana (x+1)(x-3) 0 untuk semua x dalam (a,b) dan f( x) II.Jika f (x) III.Jika f (x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c ) bukan nilai ekstrim lokal f.Terdapat uji lain untuk maksimum dan minimum lokal yang kadang-kadang lebih mudah diterapkan.

TEOREMA B(uji turunan kedua untuk Ekstrim lokal ). Andaikan f dan f ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f(c ) = 0.I.Jika f (c ) II.Jika f (c ) > 0. F(c ) adalah nilai minimum lokal f.

Contoh soal :Carilah nilai ekstrim local dari fungsi f(x) = x2 10x + 9 pada ( - , )Penyelesaiannya :F(x) = 2x 10 , ada untuk semua x, jadi satu-satunya titikkritis untuk f adadlah penyelesaiannyatunggal dari f(x) = 0 yakni x = 5.Kerena f(x) = 2(x-5) 0 untuk x> 5, f naik pada [5, ), lalu f(5)sebagai satu-atunya titik tidak kritis maka f(5) = -16

Sub bab 4Lebih banyak masalah maks-min

Untuk menyelesaikan setiap masalah maks-min di sarankan melakukan cara dengan sebuah metode , jangan asal dalam menyelesaikannya sehingga melupakan setiap langkah-langkah pengerjaannya, adapun metode tersebut :Langkah 1buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variable-variabel yang sesuai untuk besaran-besaran kunci.Langkah 2tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan ( diminimumkan ) dalam bentuk variable-variabel tersebut.Langkah 3gunakan kondisi-kondisi masalah untukmenghilangkan semua kecuali satu dari variable-variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variable, misalnya x.Langkah 4tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang.Langkah 5tentukan titik-titik kritis( titik ujung, titik stasioner, titik singular ). Paling sering, titik-titik kritis kuknci beruap titik-titik stasioner di mana dQ/dx = 0Langkah 6gunakan teori untuk memutuskan mana yang maksimum atau minimum

Contoh soal ;Ada sebuah surat undangan memuat 100 cm persegi bahan cetak, jalur bebas cetak di atas dan di bawah 8 cm serta di samping kanan dan kirinya 6 cm, lalu berapa ukuran surat undangan tersebut yang memerlukan kertas sesedikit mungkinPenyelesaiannya ;Andaikan surat undangan tersebut mempunyai lebar x dan tinggi y luasnya adalahA =xy.Kita akan mencari persamaan yang mengaitkan x dan y sehinga salah satu dari variable ini dapat dihilangkan dari ungkapan A, ukuran bahan adalah x-12dan y-16 dan luasnya adalah 100 cm persegi, sehingga (x-12)(y-16) = 100, lalu kita perolehY = (100/(x-16)) + 12 dengan penggantian ungkapan ini untuk dalam A=xy memberikanA = (100x/(x-16)) + 12xNilai-nilai x yang dibolehkan adalah 16 SekarangdA/dx =[ ((x-16)100 100x)/ (x-16)2]+12 = (12x2 384x + 1472 ) / ( x-16)2titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menyelesaikan dA/dx = 0; ini menghasilkan x = 29,1 dan x = 2,81, lalu kita tolak x = 2,81 karena tidak masuk dalam selang (16, ). Karena dA/dx 0 untuk x dalam 29,1 , ) kita simpulkan bahwa A mencapai nilai minimumnya pada x = 29,1 nilai ini membuat y = 19,6 sehingga ukuran surat undangannya yang akan memakai kertas paling sedikit adalah 29,1 cm kali 19,6 cm.

Sub bab 5Penerapan ekonomik

Dalam mempelajari lebih banyak masalah ekonomi sebenarnya kita mengunakan konsep kal