TUGAS KALKULUS LANJUT

KELOMPOK 2BAB2

DOSEN :

NAMA KELOMPOK : NPM :

1. ASMAUL SHOLEKAH 04.1.03.01.00052. IDA ELISA 04.1.03.01.00143. MAY NUKE SURYANA 04.1.04.01.00174. PRQTIWI 04.1.03.01.00265. QOMARIAH 04.1.03.01.00276.TUTIK SURYANTI 04.1.03.01.00417. NUR CHOLIS 04.1.03.01.0024

BAB 2PENGALI LAGRANGE

2.1. TINJAUAN UMUM PENGALI LAGRANGEDalam Bab 1 telah ditunjukkan cara untuk menentukan nilai-nilai

maksimum relatif dan minimum relatif dari suatu fungsi variabel dua tanpa adanya suatu persyaratan tertentu atau "constraint" terhadap fungsi tersebut maupun variabel-variabelnya.

Tetapi dalam banyak masalah terapan kita sering dihadapkan pada kenyataan bahwa penentuan titik maksimum atau minimum sering diiringi dengan persyaratn atau kendala yang harus dipenuhi.

Misalnya, sebuah perusahaan ingin meningkatkan produksinya dan mencari titik maksimum dari produksinya, tetapi ia terikat pada dana yang tersedia untuk maksud tersebut.

Tersedia suatu cara, dikenal sebagai metode Lagrange Multiplier, untuk menangani masalah seperti ini.

Suatu metode untuk memperoleh suatu nilai-nilai maksimum relatif atau minimum relatif dari fungsi f (x,y) yang dipengaruhi oleh kondisi persyaratan g (x,y) = 0, terdiri atas pembentukan fungsi penolong.

F (x,y, ) = f (x,y) + g (x,y)Dengan persyaratan :

, ,

Yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relatif maupun minimum relatif.

Parameter yang tidak tergantung pada x, dan y disebut Pengali Lagrange.

2.2. KASUS DENGAN SATU PENGALI LAGRANGEUntuk suatu masalah yang melibatkan satu persyaratan, diperlukan hanya

satu parameter sebagai Pengali Lagrange.Jika f (x,y) adalah funsi yang ditentukan maksimum atau minimum

relatifnya dan g (x,y) = 0 adalah persyaratan yang harus dipenuhi, maka fungsi penolongnya berbentuk

F (x,y, ) = f (x,y) + g (x,y)Fungsi penolong F (x,y, ) ini adalah fungsi dari tiga variabel x,y dan .

Dapat ditunjukkan bahwa suatu maksimum relatif atau minimum relatif dari F adalah juga merupakan maksimum (minimum) relatif dari f (x,y) dengan persyaratn g (x,y) = 0.

Maka harus dipenuhi persyaratan :

Setiap penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah suatu nilai kritis dari fungsi f (x,y).

CONTOH 1 :Tentukan nilai maksimum dari f (x,y) = xy dengan syarat :

G (x,y) = x + y – 16 = 0

Jawab :F (x,y, ) = F (x,y) + g (x,y)

= xy + (x + y – 16)

= 8, = Titik kritis dicapai jika x = 8 dan y = 8 dengan nilai f (x,y) = 8 (8) = 64.

CONTOH 2 :Sebuah pabrik memproduksi dua macam mesin x dan y dan fungsi

ongkos gabungan adalah :C (x,y) x2 + 3xy – 6y

Untuk minimumkan biaya, berapa banyak mesin dari setiap jenis harus diproduksi jika keseluruhannya harus berjumlah 42 mesin.

Jawab :Persyaratan yang harus dipenuhi x + y = 42,

ditulis : g (x,y) = x + y – 42 = 0fungsi penolongnya :F (x,y, ) = C (x,y) + g (x,y)

= (x2 + 3xy – 6y) + (x + y – 42)

Penyelesaian dari sistem ini memberikan x = 30, y = 12,

maka biaya maksimum diperoleh jika pabrik memproduksi 33 mesin x dan 9 mesin y.

CONTOH 3 :Sebuah kotak terbuka mempunyai volume tertentu. Jika diinginkan agar

bahan yang dipakai luasnya seminimal mungkin, berapa ukuran kotak tersebut. Gunakan pengali lagrange.

Jawab :Volume V = xyz = konstanLuas S = xy + 2xz + 2yzF (x,y,z, ) = S (x,y,z) + V (x,y,z)

F (x,y,z, ) = (xy + 2xz + 2yz) + (xyz – V)

z = y = x

V = xyz = x (x) ( x) = x3

x3 = 2V x = , y = , z =

CONTOH 4 :Tentukan volume terbesar dari kotak tegak lurus yang dapat dilukiskan

dalam elipsoida 16x2 + 4y2 + 9z2 = 144. Sisi-sisi kotak sejajar bidang koordinat. Gunakan pengali lagrange.

Jawab :Jika P (x,y,z) adalah ujung kotak yang telah menyentuh permukaan

elipsoida, maka volime kotak :V = 8 x y z

Tujuan kita ialah menentukan nilai maksimum dari V bersyaratkan :g (x,y) = 16x2 + 4y2 + 9z2 – 144 = 0

F (x,y,z, ) = (8xyz) + (16x2 + 4y2 + 9z2 – 144)

24 xyz + 2 (16x2 + 4y2 + 9z2) = 024 xyz + 2 (144) = 0 atau xyz =

8 xyz + 32x2 = 08 ( ) + 32x2 =0 =0 tak berlaku

x2 = 3 x = 8 xyz + 8y2 = 0 8

8 xyz + 18z2 = 0 8 (

Z =

V maks = 8 xyz = 8 ( ) (2 ) ( ) = 54

CONTOH 5 :Jika f (x,y,z) = 4x2 + y2 + 5z2, tentukan titik pada bidang 2x + 3y + 4z =

12 dimana f 9x,y,z) mempunyai nilai terkecil.

Jawab :Kita ingin menemukan nilai minimum dari f (x,y,z) dengan persyaratan

g (x,y,z) = 2x + 3y + 4z – 12 = 0. Fungsi penolongnya :F (x,y,z, ) = (4x2 + y2 + 5z2) + (2x + 3y + 4z – 12)

x = , y = , z =

nilai minimum tercapai di tititk ( , , )

2.3. KASUS DENGAN DUA PENGALI LAGRANGEMetode pengali lagrange dapat diperluas untuk menyelesaikan masalah

yang melibatkan lebih dari satu persyaratan. Untuk keperluan ini digunakan dua parameter dan atau lebih yang tidak tergantung pada x dan y.

Metode Lagrange juga dapat diperluas untuk menyelesaikan fungsi yang melibatkan tiga variabel atau lebih.

Untuk memperoleh nilai-nilai relatif maksimum atau minimum dari fungsi F (x,y,z) dengan persyaratan (x,y,z) = 0, dibentuk fungsi pembantu.

G (x,y,z, ) = F (x,y,z) + (x,y,z)

Yang harus memenuhi persyaratan = 0 , = 0 , = 0 , dan = 0

Metode ini dapat diperluas. Jika kita ingin menentukan nilai-nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi F (x2, x2 , x3, . . , xn) yzng harus memenuhi kendala 1 (x1, x2, . . , xn) = 0, 2 (x1, x2, . . ,xn) = 0, . . k (x1, x2, . . , xn) = 0, dibentuk fungsi penolong :

G (x1, x2, . . , xn, , . . , ) = F + Yang memenuhi persyaratan :

= 0 , = 0 , . . . , = 0 , = 0 , . . . , = 0

dengan , , . . . , tidak tergantung pada x1 , x2 , . . . , xn dan disebut Pengali Lagrange.

CONTOH 6 :Tentukan nilai-nilai ekstrim relatif dari fungsi f (x,y,z) = xz + yz dan titik

(x,y,z) terletak pada perpotongan antara permukaan x2 + z2 = 2 dan yz = 2.

Jawab :Fungsi penolongnya : F (x,y,z, ) = (xz + yz) + (x2 + z2 – 2) + (yz – 2)

= 0 (tak berlaku)

. Subsitusi menghasilkan :

x + y + 2 ( ) z + ( ) y = 0 x + y y = 0

diperoleh x2 = z2. Subsitusi ke dalam dua persamaan terakhir menghasilkan :2x2 – 2 = 0 atau x2 = 1 x = 1 , x =

Dari masing-masing nilai x diperoleh dua nilai z, yaitu z = 1 dan z = . Persamaan yz – 2 = 0, memberikan y = 2 jika z= 1 dan y = jika z = . Diperoleh empat kelompok penyelesaian.

x = 1 , y = 2 , z = 1 , ,

x = 1 , y = , z = , ,

x = , y = 2 , z = 1 , ,

x = , y = , z = , ,

kelompok penyelesaian pertama dan keempat menghasilkan f (x,y,z) = 3, dan yang kedua dan ketiga memberikan f (x,y,z) = 1. Maka f (x,y,z) mempunyai nilai maksimum relatif 3 dan minimum relatif 1.

CONTOH 7 :Lengkung C merupakan perpotongan antara kerucut z2 = x2 + y2 dan

bidang z = 1 + x + y. Tentukan titik-titik pada lengkung C yang paling dekat dan paling jauh pada titik asal 0 (0,0,0).

Jawab :Sebarang titik P (x,y,z) mempunyai jarak terhadap titik asal

(0,0,0). Maka kita akan menentukan nilai ekstrem dari fungsi f (x,y,z) = x2 + y2 + z2 sebagai kuadrat jarak titik P terhadap titik 0. tetapi titik P ini harus terletak pada C, berarti terletak pada :

g (x,y,z) = z2 – x2 – y2 = 0

h (x,y,z) = z – 1 – x – y = 0Fungsi penolong :

F (x, y, z, , ) = (x2 + y2 + z2) + (z2 – x2 – y2)

z = 0 memberikan x = 0 dan y = 0 atau titik 0 (0,0,0). Tetapi titik (0,0,0) tidak terletak pada bidamg z = 1 + x + y. Maka = 1 tak berlaku, dan dari persamaan :

(x – y) = (x – y) diambil kesimpulanx – y = 0 atau x = y

Bidang x = y memotong bidang z = 1 + x + y pad garis lurus yang memotong kerucut di dua titik. Titik-titik ini kita tentuka dengan mensubtitusikan y = x dan diperoleh z = 1 + 2x.

x2 + x2 = (1 + 2x)2 2x2 + 4x + 1 = 0

x =

x1 = , y1 = , z1 =

x2 = , y2 = , z2 =

Titik terdekat dengan 0 adalah P (

Titik terjauh dengan 0 adalah Q ( .

2.4. PENYELESAIAN BERBAGAI MASALAH MENGGUNAKAN PENGALI LAGRANGE.

(1). Sebuah perusahaan memproduksi dua kombinasi produksi x dan y. Kombinasi bagaimanakah harus dipilih agar biaya produksi minimum jika fungsi produksi ialah C (x,y) = 6x2 + 10y2 –xy + 30.Perusahaan memiliki kwotum produksi sebasar x + y = 34.Jawab :Fungsi yang dicari ekstrimnya adalah :

C (x,y) = 6x2 + 10y2 – xy + 30Fungsi persyaratan g (x,y) = x + y – 34 = 0.Fungsi penolong adalah :

F (x,y, ) = (6x2 + 10y2 – xy + 30) + (x + y – 34)

x = 21 , y

= 13 , = Ongkos minimal dicapai sebesar C (21, 13) = 4093.

(2). Campuran output apakah akan memberikan keuntungan maksimum kepada perusahaan jika fungsi keuntungna adalah = 80x – 2x2 – xy – 3y2 + 100y dan kapasitas output maksimum ialah x + y = 12.

Jawab :Fungsi penolong :

F (x,y, ) = (80x – 2x2 – xy – 3y2 + 100y) + (x + y – 12)

x =

5 , y = 7 , Keuntungan optimal adalah (5,7) = 868.

(3). Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi f (x,y) = xy dengan syarat

g (x,y) = .

Jawab :Fungsi penolong :

F (x,y, ) = xy +

x = 2y , 2

Subtitusi x = 2y menghasilkan4y2 + 4y2 = 8 y2 = 1 , y = 1

Nilai-nilai ekstrim dari f (x,y) adalahxy = 2 dan xy =

(4). Tentukan titik pada bidang 2x – 3y + 5z = 19 yang paling dekat pada titik asal 0 (0,0,0). Gunakan pengali lagrange.

Jawab :Fungsi yang dicari minimumnya dapat dipilih sebagai kuadrat dari jarak titik P (x,y,z) terhadap titik 0 (0,0,0) ialah :

F (x,y) = x2 + y2 + z2

Kendala adalah : g (x,y) = 2x – 3y + 5z – 19 = 0.Fungsi penolong ialah :

F (x,y, ) = (x2 + y2 + z2) + (2x – 3y + 5z – 19)

x = , y = , z =

x = 1, y = , z =

Titik P (1, ) terletak paling dekat pada titik asal 0 (0,0,0) dan P terletak

pada bidang 2x – 3y + 5z = 19.

(5). Tentukan jarak terdekat dari titik asal ke hiperbola x2 + 8xy + 7y2 = 225, z = 0.

Jawab :Kurva ini terletak pada bidang x 0 y karena z = 0. Jarak dari titik P (x,y)

ke titik asal ialah d = kita pilih kuadrat dari jaraknya sebagai fungsi yang harus ditentukan minimumnya. Maka :

F (x,y) = x2 + y2

Syarat yang harus dipenuhi :g (x,y) = x2 + 8xy + 7y2 – 225 = 0

Fungsi penolong :F (x,y, ) = x2 + 8xy + 7y2 – 225 + (x2 + y2)

Karena (x,y) (0,0) mk haruslah :

Kasus = 1 : 2x + 4y = 0 x = ySubsitusi dalam x2 + 8xy + 7y2 = 2254y2 – 16y2 + 7y2 = 225

y2 = 225 y2 = Tak memiliki penyelesaian

Kasus : y = 2x. Substitusi memberikanx2 + 16x2 + 28x2 = 225

45x2 = 225 x2 = 5y2 = 4x2 = 20 , x2 + y2 = 25Jarak terdekat = 5

(6). Tentukan nilai-nilai maksimum dan minimum dari x2 + y2 + z2 dengan

persyaratan = 1 dan z = x + y.

Jawab :Kita harus menentukan ekstrim dari x2 + y2 + z2 dengan kendala

dan = z – x – y = 0. kita gunakan dua pengali

lagrange 1 dan 2.Fungsi penolongnya :

G = F +

G = (x2 + y2 + z2) + (x + y – z)

Dari tiga persamaan ini diperoleh