arl di kawasan s 1 transformasi laplace

8/18/2019 Arl Di Kawasan s 1 Transformasi Laplace

1/40

Selamat Datang

Dalam KuliahTerbuka Ini

1


2/40

Kuliah terbuka kali iniberjudul

“Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan s”

2


3/40

Disajikan olehSudaryatno Sudirham

melaluiwww.darubli!.!om

3

http://www.darpublic.com/http://www.darpublic.com/


4/40

Pengantar Kita telah melihat bahwa analisis di kawasan fasor lebih

sederhana dibandingkan dengan analisis di kawasan waktu

karena tidak melibatkan persamaan diferensial melainkan

persamaan-persamaan aljabar biasa. Akan tetapi analisis

tersebut terbatas hanya untuk sinyal sinus dalam keadaanmantap.

Berikut ini kita akan mempelajari analisis rangkaian di

kawasan s, yang dapat kita terapkan pada rangkaian dengan

sinyal sinus maupun bukan sinus, keadaan mantap maupun

keadaan peralihan.


5/40

Isi Kuliah:

1. !ransformasi "apla#e

2. Analisis $enggunakan !ransformasi "apla#e3. %ungsi &aringan

. !anggapan %rekuensi 'angkaian (rde-1

). !anggapan %rekuensi 'angkaian (rde-2

)


6/40

Transformasi Laplace

*

+ada sesi pertama ini kita akan mempelajari


7/40

+erhitungan rangkaian akan memberikan kepada kita hasil

yang juga merupakan fungsi s. &ika kita perlu mengetahui

hasil perhitungan dalam fungsi t kita dapat men#aritransformasi balik dari pernyataan bentuk gelombang sinyal

dari kawasan s ke kawasan t .

+ada langkah awal kita akan berusaha memahami

transformasi "apla#e beserta sifat-sifatnya.

$elalui transformasi "apla#e ini, berbagai bentuk gelombang

sinyal di kawasan waktu yang dinyatakan sebagai fungsi t,

dapat ditransformasikan ke kawasan s menjadi fungsi s.

&ika sinyal diyatakan sebagai fungsi s, maka pernyataan

elemen rangkaian pun harus disesuaikan dan penyesuaian ini

membawa kita pada konsep impedansi di kawasan s.


8/40

alam pelajaran Analisis di Kawasan s, kita akan melakukan

transformasi pernyataan fungsi dari kawasan t ke kawasan s melalui

!ransformasi "apla#e, yang se#ara matematis didefinisikan sebagai

suatu integral

%ungsi waktu

s adalah peubah kompleks s

= σ / j ω

Batas bawah integrasi adalah nol yang berarti bahwa kita hanya

meninjau sinyal-sinyal kausal


alam pelajaran Analisis 'angkaian di kawasan fasor, kita melakukan

transformasi fungsi sinus 0fungsi t ke dalam bentuk fasor melalui

relasi uler.

∫ ∞ −=0

)()( dt et f s st F


9/40

4ebelum membahas !aransformasi "apla#e lebih lanjut, kita akan men#oba

memahami proses apa yang terjadi dalam transformasi ini.

Kita lihat bentuk yang ada di dalam tanda integral, yaitu

%ungsi waktu ksponensial

kompleks

$eredam f 0t

jika σ 5 6

bentuk

sinusoidal

7

&adi perkalian f 0t dengan faktor eksponensial kompleks

menjadikan f 0t berbentuk sinusoidal teredam.

4ehingga integral dari 6 sampai ∞ mempunyai nilai limit,dan bukan bernilai tak hingga.

Kita lihat sekarang Transformasi Laplace

t jt t j st eet f et f et f ω−σ−ω+σ−− == )()()( )(

t t e t j ω−ω=ω− sincos


10/40

Bentuk gelombang sinyal yang kita hadapi dalam rangkaian listrik

tersusun dari tiga bentuk gelombang dasar yaitu01 anak tangga, 02 eksponensial, dan 03 sinusoidal

sinus teredam

01

02

03

16

Jadi semua bentuk gelombang yang kita temui dalam rangkaian

listrik, setelah dikalikan dengan e− st dan kemudian diintegrasi dari 0

sampai∞

akan kita peroleh F(s) yang memiliki nilai limit.

t

t t jt j

t t jt jt jt j

t j

et

e

ee

eeeee

te

σ−

σ−ω−ω−ω−ω

σ−ω−ω−ω−ω

ω+σ−

ω−ω=

+=

+=ω

)cos(

2

2cos

0

)()(

)(0

00

00

)sin(cos)( t t Aee Ae Ae Ae t t jt t j st ω−ω=== σ−ω−σ−ω+σ−−

)sin(cos )(

)()(

t t Ae

e Ae Aee Ae

at

t jt at ja st at

ω−ω=

==+σ−

ω−+σ−ω++σ−−−

∫ ∞ −=0

)()( dt et f s st F

)()( t Aut f =

)()( t uet f at −=

)(cos)( t ut At f ω=


11/40

Contoh:

&ika f 0t adalah fungsi tetapan f 0t 8 Au0t

alam #ontoh fungsi anak tangga ini, walaupun integrasi memiliki

nilai limit, namun teramati bahwa ada nilai s yang memberikan nilai

khusus pada F 0s yaitu s 8 6. +ada nilai s ini F 0s menjadi takmenentu dan nilai s yang membuat F 0s tak menentu ini disebut pole.

'e

9m

:

+osisi pole diberi tanda :

s adalah besaran kompleks. +osisi pole di bidang kompleks dalam

#ontoh ini dapat kita gambarkan sebagai berikut.

f (t )

0

Au(t )

t

11

s

A

s

Ae

s

Adt e A s F st st =

−−=−==

∞−∞ −∫ 0)(

00

s

A s F =)(

0= s


12/40

f 0t 8 Ae− αt u0t &ika f 0t adalah fungsi e;ponensial

Contoh:

t

f 0t

Ae-at u(t)


13/40

Contoh: &ika f 0t adalah fungsi #osinus f 0t 8 A#osωt u0t

relasi uler

t

f 0t Acosωt u(t)


14/40

4alah satu sifat !ransformasi "apla#e yang sangat penting adalah

Sifat Unik

4ifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut

&ika f 0t mempunyai transformasi "apla#e F 0s maka transformasi

balik dari F 0s adalah f 0t .

4ifat ini memudahkan kita untuk men#ari F 0s dari suatu fungsi f 0t dan sebaliknya men#ari fungsi f 0t dari dari suatu fungsi F 0s dengan

menggunakan tabel transformasi Laplace.

$en#ari fungsi f 0t dari suatu fungsi F 0s disebut men#ari

transformasi balik dari F 0s.

!abel berikut ini memuat pasangan fungsi f 0t dan fungsi F 0s.

>alaupun hanya memuat beberapa pasangan, namun untuk

keperluan kita, tabel ini sudah dianggap #ukup.

14


15/40

ramp teredam : [ t e− at ] u(t )

ramp : [ t ] u(t )

sinus tergeser : [sin (ωt + θ)] u(t )

cosinus tergeser : [cos (ωt + θ)] u(t )

sinus teredam : [e− at sin ωt ] u(t )

cosinus teredam : [e− at cos ωt ] u(t )

sinus : [sin ωt ] u(t )

cosinus : [cos ωt ] u(t )

eksponensial : [e− at ]u(t )

anak tangga : u(t )

1impuls : δ(t )

+ernyataan 4inyal di Kawasan s

L?f 0t @ 8 F 0s

+ernyataan 4inyal di Kawasan t

f 0t

Tabel Transformasi Laplace

15

s1

a s +1

22 ω+ s

s

22 ω+

ω

s

( ) 22 ω++

+

a s

a s

( ) 22 ω++

ω

a s

22

sincos

ω+

θω−θ

s

s

22

cossin

ω+

θω+θ

s

s

2

1

s

( )2

1

a s +


16/40

Sifat-Sifat Transformasi Laplace

1*


17/40

Sifat Unik

4ifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut

&ika f 0t mempunyai transformasi "apla#e F 0s maka

transformasi balik dari F 0s adalah f 0t .

engan kata lain

&ika pernyataan di kawasan s suatu bentuk gelombang # 0t adalah V 0s, maka pernyataan di kawasan t suatu bentuk

gelombang V 0s adalah # 0t .

1


18/40

Sifat Linier

Karena transformasi "apla#e adalah sebuah integral, maka ia bersifat

linier.

!ransformasi "apla#e dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari

transformasi masing-masing fungsi.

&ika maka transformasi "apla#e-nya adalah

dengan F 10s dan F 20s adalah transformasi "apla#e

dari f 10t dan f 20t .

Bukti:

1

)()()( 2211 t f At f At f +=

[ ]

)()(

)()(

)()()(

2211

0

22

0

11

02211

s A s A

dt t f Adt t f A

dt et f At f A s st

F F

F

+=

+=

+=

∫ ∫

∫ ∞∞

∞ −


19/40

Fungsi yang merupakan integrasi suatu fungsi t

$isalkan maka

bernilai nol untuk t 8 ∞ karena e− st 8 6 pada t →∞ ,

bernilai nol untuk t 8 6 karena integral yang di dalam

tanda kurung akan bernilai nol 0interalnya nol.

&ika , maka transformasi "apla#enya adalah

Bukti:

17

)()(0

1 dx x f t f t

∫ =

dt t f s

edx x f s

edt edx x f s st t st st t ∫ ∫ ∫ ∫ ∞

−∞

−∞

−−

−

−=

=

0

1

00

1

00

1 )()()()(F

s

sdt et f

sdt t f

s

e s st

st )( )(

1 )()( 1

0

1

0

1F

F ==−−= ∫ ∫

∞−

∞ −

s

s

s

)(

)(

F F

=)()(

0 1dx x f t f

t

∫ =


20/40

Fungsi yang merupakan diferensiasi suatu fungsi

$isalkan maka

bernilai nol untuk t 8 ∞ karena e− st 8 6 untuk t → ∞

bernilai −f 06 untuk t 8 6.

&ika

maka transformasi "apla#enya adalah

Bukti:

9ni adalah nilai f 10t

pada t 8 6

26

dt

t df

t f

)(

)(

1

=

[ ] ∫ ∫ ∞ −∞−∞ − −−==

0101

0

1 ))(()()(

)( dt e st f et f dt edt

t df s st st st F

)0()()0()()(

110

1 f s s f dt et f sdt

t df st −=−=

∫

∞ −F L

dt

t df t f

)()( 1=

)0()()( 11 f s s s −= F F


21/40

Translasi di Kaasan t

&ika transformasi "apla#e dari f 0t adalah F 0s, maka

transformasi "apla#e dari f 0t − au0t −a untuk a 5 6adalah e− asF 0s.

Translasi di Kaasan s

&ika transformasi "apla#e dari f 0t adalah F 0s , maka

transformasi "apla#e dari e−αt f 0t

adalah F 0s / α.

21


22/40

Pen-skalaan !scaling "

&ika transformasi "apla#e dari f 0t adalah F 0s ,maka untuk a 5 6 transformasi dari f 0at adalah

#ilai $al dan #ilai $khir

22

a

sF

a

1

0

0

)(lim)(lim :akhir Nilai

)(lim)(lim : awal Nilai

→∞→

∞→+→

=

=

st

st

s st f

s st f

F

F


23/40

konvolusi :

nilai akhir :

nilai awal :

penskalaan :

translasi di s :

translasi di t :

1F

1(s) +

2 F

2(s)linier : A

1 f

1(t) + A

2 f

2(t)

di!erensiasi :

integrasi :

A1F

1( s) + A

2 F

2( s)linier : A

1 f

1(t ) + A

2 f

2(t )

"ern#ataan F ( s) $%[ f (t )]"ern#ataan f (t)

Tabel Sifat-Sifat Transformasi Laplace

23

∫ t

dx x f 0 )( s

s)(F

dt

t df )()0()( −− f s sF

2

2 )(

dt

t f d )0()0()(2 −− ′−− f sf s s F

&

&)(

dt

t f d

)0()0(

)0()( 2&

−−

−

′′−−

−

f sf

f s s s F

[ ] )()( at uat f −− )( se asF −

)(t f e at − )( a s +F

)(at f

a

s

a

F 1

0

)(lim+→t

t f

)(lim∞→ s

s sF

)(lim∞→t

t f 0

)(lim→ s

s sF

dx xt f x f t

)()(0

21 −∫ )()( 21 s s F F


24/40


%iagram pole – zeroTransformasi Balik

2


25/40

CT&': arilah transformasi "apla#e dari bentuk gelombang berikut

(encari Transformasi Laplace

a ari tabel transformasi "apla#e f (t ) $ [cos ωt ] u(t )

Pen)elesaian:

b ari tabel transformasi "apla#e f (t ) $ [sin ωt ] u(t )

# ari tabel transformasi "apla#e f (t ) $ [e− at ]u(t )

25

)(&)(c)'

)()10sin()( *)'

)()10cos()(a)'

2&

2

1

t uet v

t ut t v

t ut t v

t −=

==

2

&)( )(&)( &

2& +

=→= − s

st uet v t V

22)(

ω+

= s

s s F

100

)10(

)()()10cos()(

22211 +=

+=→=

s

s

s

s st ut t v V

22)(ω+ω= s

s F

100s

0

)10(

10

)()()10sin()( 22222 +=+

×

=→= s st ut t v V

a s s F

+= 1)(


26/40

CT&': Cambarkan diagram pole-Dero dari

(encari %iagram pole-zero

e

,m

e

,m

+ j1-.

−2− j1-.

a. %ungsi ini mempunyai pole di s 8 −1tanpa Dero tertentu.

b. %ungsi ini mempunyai Dero di s 8 −2 4edangkan pole dapat di#ari dari

#. %ungsi ini tidak mempunyai Dero tertentu

sedangkan pole terletak di titik asal, s 8 6 / j 6.

e

,m

×

−1

26

s s s

s A

s s s

)(c)' 2-&)2(

)2(

)( *)' 1

2

)(a)' 2 =++

+=+= FFF

.-12 di pole ).-1(2-&)2(

02-&)2( 2

j s j s

s

±−=→±=−=+

=++


27/40

!ransformasi balik adalah men#ari f 0t dari suatu F 0s yang diketahui.

(encari Transformasi Balik

Akan tetapi pada umumnya F 0s berupa rasio polinomial yang

bentuknya tidak sesederhana dan tidak selalu ada pasangannya

seperti dalam tabel.


28/40

Bentuk Umum F !s"

&ika ada pole-pole yang bernilai sama kita katakan bahwa

F 0s mempunyai pole ganda.

alam bentuk umum ini jumlah pole lebih besar dari jumlah Dero,

&adi indeks n 5 m

Bentuk umum fungsi s adalah

&ika F 0s memiliki pole yang semuanya berbeda,

pi ≠ p j untuk i ≠ j ,dikatakan bahwa F 0s mempunyai pole sederhana.

&ika ada pole yang berupa bilangan kompleks kita katakan

bahwa F 0s mempunyai pole kompleks.

28

)())((

)())(()(

21

21

n

m

p s p s p s

z s z s z s K s

−−−−−−

=

F


29/40

Fungsi Dengan Pole Sederhana

F 0s merupakan kombinasi linier dari beberapa fungsi sederhana.k 1- k 2-''k n di sebut residu.

&ika semua residu sudah dapat ditentukan, maka

Bagaimana #ara menentukan residu F

Apabila F 0s) hanya mempunyai pole sederhana, maka ia dapat

diuraikan sebagai berikut

29

t p

n

t pt p nek ek ek t f

+++=

21

21)(

)()()()())((

)())(()(

2

2

1

1

21

21

n

n

n

m

p s

k

p s

k

p s

k

p s p s p s

z s z s z s K s

−++

−+−=

−−−−−−

=

F


30/40

&ika kita kalikan kedua ruas dengan 0s − p1,faktor 0s− p1 hilang dari ruas kiri,

dan ruas kanan menjadi k 1 ditambah suku-suku lain yang

semuanya mengandung faktor 0s− p1.

k 2 diperoleh dengan mengakalikan kedua ruas dengan

0s − p2 kemudian substitusikan s 8 p2 , dst.

&ika kemudian kita substitusikan s 8 p1 maka semua suku di

ruas kanan bernilai nol ke#uali k 1

Cara menentukan residu:

engan demikian kita peroleh k 1

30

1121

12111)()(

)())(( k p p p p

z p z p z p K n

m =−− −−−

)()()()())((

)())(()(

2

2

1

1

21

21

n

n

n

m

p s

k

p s

k

p s

k

p s p s p s

z s z s z s K s

−++

−+−=

−−−−−−

=

F

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

)())(( 1

2

12

1

11

2

21

n

n

n

m

p s

p sk

p s

p sk

p s

p sk

p s p s

z s z s z s K −−++

−−+

−−=

−−−−−


31/40

CT&': arilah f 0t dari fungsi transformasi berikut.

31

)&)(1(

/)(

++= s s sF

&

2

1

2)(

+−+

+=

s s sF

)1( +× s)1(

&)&(

/ 21 ++

+=+

s s

k k

s

1masukkan −= s 2)&1(/

1 ==+− k

)&( +× s2

1 )&(1)1(

/k s

s

k

s++

+=

+

&masukkan −= s 2)1&(

/ 2 −==+− k

t t eet f &22)( −− −=

&1)&)(1(

/)( 21

++

+=

++=

s

k

s

k

s s sF


32/40


32

)&)(1(

)2(/)(

++

+

= s s

s sF

&1)&)(1(

)2()( 21

++

+=

+++

= s

k

s

k

s s

s sF

)1( +× s)1(

&)&(

)2(/ 21 ++

+=++

s s

k k

s

s

1masukkan −= s 2)&1(

)21(/1 ==

+−

+−k

)&( +× s2

1 )&(1)1(

)2(/k s

s

k

s

s++

+=

++

&masukkan −= s 2)1&()2&(/

2 ==+− +− k

&

2

1

2)(+++=

s s sF t t eet f &22)( −− +=


33/40


masukkan s $ 0

masukkan s $ −

masukkan s $ −1

33

)/)(1(

)2()(

+++

= s s s

s sF

1))(1(

)2()( &21

++

++=

+++

= s

k

s

k

s

k

s s s

s sF

s× 1))(1()2( &2

1 ++

++=

+++

s

sk

s

sk k

s s

s

&)0)(10(

)20(1 ==++

+k

)1(

)1()()2( &21 +++++=++

s s

k k s sk

s s s

)1( +× s

2)/1(1

)21(2 −==+−−

+−k

)/( +× s &21

)(1)()1(

)2(

k s s

k

s s

k

s s

s

+++++=+

+

1)1/(/

)2/(& −==+−−

+−k

1

1

2&)(

+−++−+=

s s s sF t t eet f 12&)( −− −−=


34/40

alam formulasi gejala fisika, fungsi F 0s merupakan rasio polinomial

dengan koefisien riil. &ika F 0s mempunyai pole kompleks yang

berbentuk p 8 −α / j β, maka ia juga harus mempunyai pole lain yangberbentuk pG 8 −α − j βH sebab jika tidak maka koefisien polinomial

tersebut tidak akan riil.

&adi untuk sinyal yang se#ara fisik kita temui, pole kompleks dari

F 0s haruslah terjadi se#ara berpasangan konjugat.

'esidu k dan k G juga merupakan residu konjugat sebab F 0s adalah

fungsi rasional dengan koefisien rasional. 'esidu ini dapat kita #ari

dengan #ara yang sama seperti men#ari residu pada uraian fungsi

dengan pole sederhana.

*ungsi %engan Pole Kompleks

(leh karena itu uraian F 0s harus mengandung dua suku

yang berbentuk

34

+β+α+

+β−α+

+= j s

k

j s

k s

)(F


35/40

!ransformasi balik dari dua suku dengan pole kompleks

adalah

35

+β+α+

+β−α+

+= j s

k

j s

k s

)(F

+θ+β+= α− )cos(2)( t ek t f

)cos(22

2

)(

)()(

))(())((

)()(

)()(

θ+β=+

=

+=

+=

+=

α−θ+β−θ+β

α−

θ+β+α−θ+β−α−

β+α−θ−β−α−θ

β+α−β−α−

t t jt j

t

t jt j

t j jt j j

t jt jk

ek ee

ek

ek ek

eek eek

ek ket f


36/40

CT&': arilah transformasi balik dari

$emberikan pole

sederhana di s 8 6

memberi pole

kompleks

36

).(

.)(

2 ++=

s s s sF

222

&21 j s ±−=

−±−=

2222).(

.)( 221

2 j s

k

j s

k

s

k

s s s s

+++−+

+=++

=∗

F

22

...

)22(

.)22(

).(

.

)/&(

222222

π

+−=+−=

=−−=

++=−+×

++=→

j

j s j s

e j

j s s j s

s s sk

)/&(2

2

2 π−∗ =→ jek

[ ] )/&2cos(2)(2

2)(

2

2

2

2)(

2)2/&()2/&(2

)22()/&()22()/&(

π++=++=

++=

−+π−+π−

+−π−−−π

t et ueeet u

eeeet u f(t)

t t jt jt

t j jt j j

1..

)./(.

0

21 ==×

++=→

= s

s s s s

k


37/40

+ada kondisi tertentu, F 0s dapat mempunyai pole ganda. +enguraian F 0s

yang demikian ini dilakukan dengan Imeme#ahJ faktor yang mengandung

pole ganda dengan tujuan untuk mendapatkan bentuk fungsi dengan polesederhana yang dapat diuraikan seperti #ontoh sebelumnya.

pole ganda

pole sederhana

*ungsi %engan Pole +anda

37

Uraikan men,adi:

221

1

))((

)()(

p s p s

z s K s

−−

−=F

−−−

−=

))((

)(1)(

21

1

2 ps ps

z sK

pssF

)()( 2

2

1

1

ps

k

ps

k

−+−


38/40

38

(aka:

sehingga:

22

2

212

1

2

2

1

1

2 )())((

1)(

p s

k

p s p s

k

p s

k

p s

k

p s s −+−−=

−+−−=F

2

2

2

2

12

1

11

)(

)(

p s

k

p s

k

p s

k s

−

+

−

+

−

=F

t pt pt ptek ek ek t f 221 21211)( ++=


39/40

CT&': !entukan transformasi balik dari fungsi

39

2)2)(1()(++

= s s

s sF

2)1(

1)2(21)2(

1

)2)(1()2(

1

)2)(1()(

2

2

1

121

2

=+=→−=

+=→

++++

=

+++=++=

−=−= s s s

sk

s

sk

s

k

s

k

s

s s

s

s s s

s

sF

2

1211

2

)2(

2

21

)2(

2

)2)(1(

1

2

2

1

1

)2(

1

)(

+++++=

++++

−

=

+++

−

+=⇒

s s

k

s

k

s s s s s s sF

1

1

1 1

2

1

2

12

1

11 =

+

−=→−=

+

−=→

−=−= s s s

k

s

k

)2(

2

2

1

1

1)(

2++

++

+−

=⇒ s s s

sF t t t teeet f 22 2)( −−− ++−=


40/40

Kuliah Terbuka

$nalisis angkaian Listrik di Kaasan sSesi .

Sudar)atno Sudirham

6

arl di kawasan s 1 transformasi laplace

Documents