daftar pustakalearning4man.weebly.com/.../gabungan-file-kalkulus-2.doc · web viewcontoh soal...

KALKULUS INTEGRAL

O l e hDrs. Dwi Purnomo, M.Pd.

NIP : 196412041990031003

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS PENDIDIKAN ILMU EKSAKTA DAN KEOLAHRAGAAN

IKIP BUDI UTOMO MALANGMEI 2010

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur senantiasa penulis panjatkan kehadlirat Allah swt. atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga ditengah-tengah kesibukan dan rutinitas penulis serta dengan segala kekurangannya, dapat disusun modul sederhana yang diharapkan dapat membantu mahasiswa dalam mempelajari Kalkulus Integral. Modul ini dimaksudkan untuk memberikan bekal kepada mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengeahuan Alam Fakultas Pendidikan Ilmu Eksakta dan Keolahragaan IKIP Budi Utomo Malang yang sedang mengikuti perkuliahan Kalkulus. Kekurangan dan belum sempurnanya modul ini menjadi ‘tuntutan” penulis sehingga yang seharusnya mahasiswa menerima banyak pengetahuan tentang Kalkulus Integral dari modul ini belum dapat terwujud seluruhnya. Terselesaikannya penulisan modul ini tentu tidak terlepas dari bantuan rekan-rekan seprofesi di IKIP Budi Utomo Malang, lebih-lebih mahasiswa yang menjadi motivasi penulis untuk segera menyelesaikan modul sederhana ini. Terima kasih juga untuk anak-anakku Pandu, Prisma, Caesar dan juga mama anak-anak yang juga telah memberikan dorongan dan inspirasi panjang selama pembuatan modul ini. Semoga bahan ajar yang telah dituangkan dalam modul ini, akan sangat berguna bagi mahasiswa. Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insyaallah diperbaiki dikemudian hari.

Malang, 3

Mei 2010 Penulis

Kalkulus Integral 2

Dwi Purnomo

DAFTAR ISIHalaman

Halaman Sampul ........................................................

1

Kata Pengantar ..........................................................

2

Daftar Isi ....................................................................

3

Bab I PENDAHULUAN 1.1 Turunan ..... .........................................................

4

1.2 Antiturunan ..........................................................

9

1.3 Integral Tertentu .................................................

17

Bab II TEKNIK INTEGRAL 2.1 Teknik Substitusi .................................................

28

2.2 Integral Fungsi Trigonometri ...............................

34

2.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri ................

45

2.4 Integral Parsial ....................................................

57

2.5 Integral Fungsi Rasional ......................................

61

2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri ............................................................

73

Bab III INTEGRAL TIDAK WAJAR 3.1 Pengertian ..........................................................

79

3.2 Integral Tidak Wajar dengan Batas 81

Kalkulus Integral 3

Diskontinu ...3.3 Integral Tidak Wajar dengan Batas Tak Hingga ..

85

Bab IV RUMUS-RUMUS INTEGRAL ........................................

91

Bab V TRANSFORMASI LAPLACE 5.1 Definisi Transformsi Laplace ...............................

101

5.2 Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada ..............

106

5.3 Metode Transformasi Laplace .............................

106

5.4 Sifat-sifat Transformasi Laplace ..........................

108

DAFTAR PUSTAKA ....................................................

122

BAB IANTITURUNAN

1.1 Turunan Pembahasan tentang turunan tidak dapat dipisahkan dari

pengertian tentang fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk y = f(x), sedangkan fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk f(x,y) = 0. Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini.

Kalkulus Integral 4

1. y = 2 - 2. y = 33. y = 4. x + y – 25 = 0 5. xy + x y – 2 = 06. x – 2x + y + 4y – 5 = 0

Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit, sedangkan contoh 4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit dapat diubah penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit dapat diubah dalam bentuk eksplisit. Perhatikan contoh 5 di atas. Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan turunannya. Definisi Turunan fungsi y = f(x) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan f’(x) dan didefinisikan oleh

f’(x) = , asalkan limitnya ada.

Misal (x+ = t , maka = t – xKarena maka Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain

f’(x) = , asalkan limitnya ada.

Notasi lain untuk turunan y = f(x) dinyatakan dengan ,

.

Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk implisit, maka turunannya dapat dilakukan dengan

Kalkulus Integral 5

menggunakan kaidah differensial yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut. Berikut ini diberikan beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit. Contoh

Tentukan fungsi-fungsi berikut.

1. y = + C Berdasarkan definisi di atas diperoleh

=

= .

=

=

=

=

2. y =

Berdasarkan definisi di atas diperoleh

=

=

=

Kalkulus Integral 6

=

Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh di atas disebut fungsi yang differensiable (dapat diturunkan). Dengan cara yang sama, jika y = xn maka turunannya ditentukan oleh:

=

=

=

=

= nx3. x

Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh:d(x + d(y - d(25) = d(0)

x + y = 0

4. Tentukan dari x2y + xy2 – 2 = 0

d(x2y) + d(xy2 ) – d(2) = d(0) (x2dy + 2xydx) + (2xydy + y2dx) = 0

Kalkulus Integral 7

(2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0

= -

Secara umum, misal u = u(x), v = v(x), dan w = w(x) adalah fungsi yang masing-masing dapat diturunkan dan c sebarang bilangan real, maka dengan menggunakan definisi turunan dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan fungsi sebagai berikut.

1. (c) = 0

2. (x) = 1

3. (xn) = nxn-1

4. (un) = nun-1 (u)

5. ( u + v) = (u) + (v)

6. (u - v) = (u) - (v)

7. ( u v w ... ) = (u) (v) (w) ...

8. (cu) = c (u)

9. (uv) = u (v) + v (u)

10. (uvw) = uv (w) + uw (v) + vw (u)

11. ( ) =

Bukti sifat-sifat di atas diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Kalkulus Integral 8

Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan

= , dapat ditunjukkan beberapa turunan

fungsi geometri di bawah ini. y = cos x, maka

=

=

=

=

= -sin x.Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain:

1. (sinx) = cos x

2. (cos x) = -sin x

3. (tan x) = sec2x

4. (cot x) = -csc2x

5. (sec x) = sec x tan x

6. (csc x) = -csc x cot x

1.2 Antiturunan Antiturunan merupakan balikan dari turunan, sehingga

untuk mempelajarinya harus dikaitkan dengan turunan fungsi.

Menurut definisi turunan, jika y = maka .

Kalkulus Integral 9

Dengan cara yang sama, diperoleh

1. Jika y = +3 maka .

2. Jika y = - 3 maka .

3. Jika y = - 100 maka

4. Jika y = + maka , dan seterusnya.

Dengan kata lain, untuk y = + C, C maka .

Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka

penulisan bentuk di atas dapat disederhanakan dengan A

= . Hal ini berarti bahwa fungsi y = , dengan C mempunyai

turunan .

atau antiturunan dari f(x) = adalah F(x) = + C, C .

Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable (terintegralkan).

Dalam hal yang lebih umum, bentuk A = .

dinyatakan dengan dx = .

Jadi, misal y = f(x) dan antiturunannya adalah F(x) + C, maka f(x) dx = F(x) + C, C Real. Bentuk f(x) dx = F(x) + C , f(x) disebut integran dan F(x) + C disebut anti turunan.

Teorema 1.Jika r sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:

Kalkulus Integral 10

.

Akibatnya jika r = -1 maka

= = ln

BuktiUntuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk

f(x) dx = F(x) + C, C Real.Kita cukup menunjukkan bahwa

Dalam kasus di atas

Teorema 2Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang integrable dan C sebarang konstanta maka:1. = C ,2. ,3. ,Bukti Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan dan amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.1. D { C } = C D { } = Cf(x) 2. D { } = D = f(x) + g(x) 3. D { } = D = f(x) - g(x)


Contoh Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas. 1.

Jawab =

=

=

2.

Jawab

=

=

=

3.

Jawab

= dx

=

=

=

Teorema 3

sin x dx = - cos x + C, C Realcos x dx = sin x + C, c Real


BuktiUntuk membuktikan teorema di atas cukup dengan menunjukkan bahwa D dan

Teorema 4Andaikan f(x) fungsi yang differensiable dan n bilangan Rasional yang bukan -1, maka:

C Real.

Contoh1. Jawab Karena = 6x dx, sehingga berdasarkan teorema di atas

= d(6x)

=

= + C.

2.

Jawab Karena D (2y = 4y dy, maka

=

=

=

=


=

3. Jawab

Misal U = 6x + 2 dU = 6 dx atau 3 dx = , sehingga

=

=

=

4. Jawab Misal A = A 2A dA = (-sin x) dx, sehingga: = = -2

=

=

Beberapa rumus dasar integral tak tentu. 1. dx = x + C, C Real2. f(x) dx = F(x) + C, C Real

1. xr dx = xr+1 + C, C Real, r -1

2. (u+v) dx = u dx + v dx 3. a u du = a u du

4. dx = ln | x | + C = log │x│+ C, C Real


5. au du = + C, C Real

6. eu du = eu + C, C Real7. tan x dx = ln | sec x | + C, C Real8. sec x dx = ln | sec x + tan x | + C, C Real9. cot x dx = ln | sin x | + C, C Real10. css x dx = ln | csc x – cot x | + C, C Real11. sec2x dx = tan x + C, C Real12. csc2x dx = - cot x + C, C Real13. sec x tan x dx = sec x + C, C Real14. csc x cot x dx = -csc x + C, C Real

15. cosm x dx = cos m-2 x dx

16. sinm x dx = sin m-2 x dx

17. u dv = uv - v du

18. = ln + C, C Real

19. = ln + C, C Real

20. = arc sin + C

21. = arc tgn + C

22. = arc sec + C

23. dx = u + a2 Ln ( u + ) + C

24. dx = u - a2 Ln ( u + ) + C

25. dx = u + a2 Ln ( u + ) + C


30. = arc sinh + C

31. = arc cosh + C

32. du = du

Soal-soal Tentukan integral berikut. 1234

5

6

7

8

9 10Andaikan u = sin{(x }11Tentukan 12

13

14


1.3 INTEGRAL TERTENTU

Definisi :Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya f(x) dikatakan terintegralkan (integrable) pada [a,b]

jika ada.

Selanjutnya disebut Integral Tentu (Integral Riemann)

f(x) dari a ke b, dan didefinisikan

= .

menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva

y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], jika bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x.

Definisi :1. = 0

2. = - , a > b

Teorema Dasar Kalkulus


Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut :Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan

f(x), maka = F(b) – F(a)

Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) =

Contoh :1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka

Jawab :

Karena F(x) = suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka

menurut teorema dasar Kalkulus

Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :Misal f(x) dan g(x) terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka:

1. k b

adxxf )(

2. dxxgxfb

a)]()([ =

b

adxxf )( +

Contoh :

Hitung


Jawab :

= 4

= 4 = 12

Sifat-Sifat Integral Tentu1. Sifat Penambahan Selang

Teorema :Jika f(x) terintegralkan pada suatu selang yang memuat tiga titik a, b dan c, maka

= + bagaimanapun urutan a, b dan

c.Contoh :

1. 2.

3.

2. Sifat SimetriJika f(x) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat f(-x) = f(x) , maka:

= 2 dan

Jika f(x) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat f(-x) = - f(x), maka


= 0.

Contoh :

1.

2. = 0

Secara lebih umum, sifat-sifat integral tertentu adalah:Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k Real dan f(x), g(x) terintegralkan pada interval tersebut, maka:

1.

2.

3.

4.

5. , jika b < a

6. , c

7. jika f(-x) = -f(x)

8. = 2 , jika f(-x) = f(x)

9. Jika F(u) = , maka


10. = (b-a) untuk paling sedikit x = x antara a

dan b.

11. jika dan hanya jika f(x) g(x) untuk

setiap x [a,b].

12.

ContohTentukan hasil integral

1.

Jawab

=

=

= (4+2) – (0+0) = 6

2.

Jawab Misalnya u = (x ) du = 3x dx

Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:

=


=

=

=

3.

Jawab Misal p = p = u 2p dp = du Untuk u = 1 maka p = 1 Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:

4. =

=

=

=

=

=

=

5.

Jawab Misal A = A x 2A dA = 2x dx


Untuk x = 4 maka A = 1Untuk x = 8 maka A = 7, sehingga

=

=

= [A] = 7 – 1 = 6

6. =

=

=

7. Tentukan

dengan f(x) = Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat

, c

sehingga:

=

= (1-0) +(4-2) +

=


8. dx

Menurut definisi fungsi harga mutlak, bentuk di atas dapat dinyatakan dengan

dx = dx + dx.

=

= (8/3 – 0) – (0 – 8/3)

=

Berdasarkan contoh di atas, tentukan hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:

1.

2.

= = , dengan sifat integral diperoleh = - dx +

=

=

=

Latihan di rumah

2.


3.

4.

3.

= 2 dx

Misal = u 4-x = u atau x = 4 - u

-2x dx = 2 u du atau dx =

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12. dx

13.


14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26. Hitunglah , jika:

a. f(x) = b. f(x) = c. f(x) = d. f(x) = untuk -e. f(x) = , untuk -1


f. f(x) = (x- )g. f(x) = x , untuk -

BAB IITEKNIK INTEGRAL

Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral tersebut adalah: Teknik Substitusi, Integral Fungsi Trigonometri, Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri, Integral Parsial, Integral Fungsi Rasional, dan Integral Fungsi Rasional yang memuat fungsi Trigonomteri.Berikut ini penjelasan teknik-teknik dalam pengintegralan.

2.1 Teknik Substitusi


Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. Teknik substitusi pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;

a. dx = + C, asalkan n -1 atau

b. = + C, asalkan n -1

Karena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi.

Perhatikan beberapa contoh berikut:1. dx

Misal u =

Substitusi bentuk terakhir ke dx, diperoleh= -2

Dengan rumus dasar di dapat dx = -2

= -2

= -


2. Misal A = 3x + 12 d(A) = d(3x+12) dA = 3 dx

dx =

Sehingga =

=

=

=

=

3. dxMisal A = 2x d(A) = d(2x) dA = 2 dx

dx =

dx =

=

=

=

=

=


=

=

4. (4x+2) dx Jawab Misal A = A = 4x 4x 2A dA = (8x+4) dx 2A dA = 2(4x+2) dx A dA = (4x+2) dx Sehingga (4x+2) dx = .A dA =

=

= + C

5.

Jawab Misal P =

P = 3t + 4 t =

d(P ) = d(3t+4)

2P dp = 3 dt dt = , sehingga

=

=


6.

Jawab Misal U = U = 16 - x x = 16 - U d(U ) = d(16 - x ) 2U du = (-2x)dx

dx =

= du

=

= -

=

=

=

Soal-soal Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini: 1.

Jawab

Misal M = (t+2)

M = (t+2) 2M dM = 3(t+2) dt

=


=

= + C

= + C

=

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.12.13.14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

2.2 Integral Fungsi TrigonometriSebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri

secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah: 1. dx = -cos x + C2. dx = sin x + C 3. x dx = ln = -ln 4. x dx = - ln = ln 5. dx = ln 6. x dx = ln Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:A. dan dengan m bilangan ganjil atau genap positip

Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi


dengan menggunakan kesamaan identitas atau sin = 1 - cos atau cos = 1 - sin .

Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.

Contoh:1. Jawab = = dx = =

= -cos x +

2. Jawab = dx = = = =

= sin x -

3. Jawab:

Misal u = 2x, du = 2dx atau dx =

Sehingga


=

=

=

=

=

=

Bentuk , , jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut

sin = dan cos

Contoh:1. Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka

=

=

=

2. Jawab = dx

=

=


=

= 42sin

4xx

+

=

=

3. Misal u = 2x , du = 2dx atau

dx = , sehingga

=

=

=

=

=

=

=

Karena u = 2x, maka

=

B. Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan

lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil. Misal m


ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1. Jika m dan n genap digunakan kesamaan

setengah sudut sin = dan cos sehingga

diperoleh hasil pengintegralannya.Contoh 1. Jawab Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas = = = =

=

= cos

2. Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap = = =

=

3. Jawab Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah menjadi genap =


= =

=

Atau = = =

=

4. Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:

=

=

=

=

=

=

4. Jawab


Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan kesamaan setengah sudut sin =

dan cos , sehingga:

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

C. dan Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas

1 + dan 1+cot . Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 + dan 1+cot .


Perhatikan contoh berikut:1. Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 + Sehingga diperoleh = tanx dx = tan x dx = tan x dx - tan x dx = tan x sec dx – ln + C = d(tan x) – ln + C

=

2. Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1+cot , sehingga didapat

= = = = = =

=

=

D. , dan


Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan atau 1 + cot = csc . Contoh 1.

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan , sehingga diperoleh

= = = d(tgnx)

=

2. Jawab = = =

=

Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan substitusi kesamaan identitas 1 + tan atau 1 + cot = csc .

Contoh:1. = = =


=

=

2. = tan x sec sec x dx = -1)sec d(sec x) = sec d(secx)

= + C

E. , Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

sin mx cos nx =

sin mx sin nx =

cos mx cos nx =

Contoh y

1. 3x cos 4x dx = dx

= + sin (-x) dx

= - x + C

2. dx = dx

= (cos 5x – cos x) dx

= 5x + x + C


3. y cos 4y dy = +cos(1-4)y] dy

= dy

=

Soal-soalTentukan hasil integral berikut ini.1.

2.

3.

4.

5.

6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.

16.

17.

18.


19.

20.

2.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri

Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk

menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

a. , a > 0, a Real

b. = , a > 0, a Real

c. , a > 0, a Real

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas,

misalnya

=

=

= atau yang dapat diubah menjadi

bentuk kuadrat sempurna.

Integrannya memuat atau sejenisnya, Gunakan substitusi

x = a sin t atau sin t =

x = a sin t dx = a cos t dt

dengan - sehingga,

=


=

= a cos t

Catatan

Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya

diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri

yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t. Hal ini

dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah

fungsi-fungsi tersebut.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. dx

Jawab

Substitusi x = 2 sin t

sin t =

dx = 2 cos t dt

=

Sehingga

dx =

=

= 4 = 4


= 2 + 2 dt

= 2t + sin 2t + C

= 2t + 2 sin t cos t

= 2 arc sin + C

Atau 4 = 4 ( + )

= 2 sint cost + 2t + C

= 2 + 2 arc sin + C

=

2.

Jawab

=

Substitusi (x-2) = 2 sin t,

dx = 2 cos t dt

, sehingga

=

=

= t + C

= arc sin + C


3.

Jawab

=

Substitusi (x-3) = 5 sin t,

dx = 5 cos t dt

= 5 cos t, sehingga

=

=

= t + C

= arc sin + C

4. dx

Jawab

Substitusi x =

dx =

= , sehingga

dx =

= 9

= 9


=

=

=

=

=

= + C

=

5.

Jawab:

Substitusi x = 5 sin A atau sin A = dan dx = 5 cos A dA

Sehingga

=

= 5

= 5


= 5 ln

= 5 ln

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


Integral yang integrannya memuat bentuk atau

bentuk yang sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi

x = a tan t, - sehingga,

Untuk membantu menyelesaikan bentuk di atas, perhatikan

segitiga berikut ini:

=

=

= a sec t

Karena x = a tan t maka dx = a sec dt.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.

1.

Jawab

Substitusi x = 3 tan t

dx = 3 sec t2 dt

= 3 sec t, sehingga


=

=

= ln

= ln + C

= ln

2.

Jawab

=

=

Substitusi (x+2) = tan t

x = (tan t) - 2

dx = sec t dan

= sec t, sehingga

=

=

= - dt

= 2 sec t – 5 ln

= 2


Kerjakan soal berikut sebagai latihan

1. dx

2.

3. dx

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Integral yang integrannya memuat bentuk atau

sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi

x = a sec t, - .


Karena x = a sec t maka dx = a sec t tan t dt, dan

=

= a tan t

Selanjutnya perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1.

Jawab

Substitusi x = 3 sec t

dx = 3 sec t tan t dt

= 3 tan t, sehingga

=

= 3

= 3

= 3 tan t – 3 t + C

= 3

2.


Jawab

=

Substitusi (x-1) = 3 sec t,

dx = 3 sec t tgn t dt

= 3 tgn t, sehingga

=

=

= ln

= ln

Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.

1. dx

2.

3.

4.

5.

6.


7.

8.

9.

10.

2.4 Integral ParsialSecara umum integral parsial digunakan untuk

menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh dy = d(uv) d(uv) = u dv + v du Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan tersebut. Perhatikan beberapa contoh berikut ini. Tentukan integral persial berikut ini


1. Jawab Bentuk diubah menjadi udv, Misal u = x , dv = 1 dx dv = cos x dx , v = dx = sin x Akibatnya = x d(sin x). Dengan rumus integral parsial , diperoleh x d(sin x) = x sin x - d(x) = x sin x - dx = x sin x + cos x + C Akhirnya diperoleh = x sin x + cos x + C2. dx Pilih u = x , du = dx

dv = , v = dx =

Sehingga dx =

Berdasarkan rumus integral parsial , diperoleh

dx =

= -

= -

= -

3. e dx Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx


dv = , v = = , sehingga: e dx = sin x d( = = Diperoleh bentuk yang juga diselesaikan dengan metode parsial Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx dv = , v = = , sehingga: e dx = cos x d( = = = Akhirnya diperoleh

e dx = =

e dx =

Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.1.2. Jawab: = Pilih u = sin2 x du = d(sin2 x ) = 2sinx cos x dv = sin x dx maka v = = - cos x Sehingga = = -cos x sin2x -


= -cos x sin2x + = -cos x sin2x + 2 = -cos x sin2x + 2

3 = -cos x sin2x + 2

=

=

3. tan x dx4. tan x dx 5. ln x dx6. dx 7. cos 2x dx8. e dx

9. dx

10. dx11.12.13. dx14. 15. dx16. dx17. dx18. dx 19. dx20. dx


2.5 Integral Fungsi Rasional. Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan

dalam bentuk F(x) = , dimana f(x) , g(x) adalah fungsi

pangkat banyak (polinom) dan g(x) 0.Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan f(x) = a + a x + a x + a x + … + a x , n = 1, 2, 3, … ,

sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk yang

pembilang dan penyebutnya polinom.Contoh

1. F(x) = (Fungsi Rasional Sejati)

2. F(x) = (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

3. F(x) = (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

F(x) =

= x +


F(x) = , g(x) 0.

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) =

sampai tidak dapat difaktorkan lagi.3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa

kombinasi antara:- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)

= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax +bx + c)- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax px + qx + c) - fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax dan

seterusnya. 4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan

parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal : (Penyebut kombinasi liner

berbeda)

(kombinasi lenear

berulang)

(kombinasi kuadrat

berbeda)5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial

tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan


terlebih dahulu menentukan konstanta A , A , …A dan B , B, …B .

Contoh

1. Tentukan

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

dx =

=

=

=

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:

dx =

= -

= ln

= ln

2. integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

=

= x + ln (x-1) + CSoal-soal Tentukan hasil pengintegralan berikut:


1.

Jawab

=

=

=

=

Diperoleh A + B + C = 0 A + 3B – 2C = 1 -6A = 1

Atau A = - , B = , C =

Sehingga =

=

2.

3.

4.

Jawab

= , menurut teorema 2.2

=

= x + C +


= , menurut teorema 2.2

=

=

Diperoleh A+B = 5, 2A-4B= 4 atau A = 4, B = 1

Sehingga =

= 4 ln = ln (x-4) = ln

5.

6.

Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)

1. , karena integran adalah fungsi rasional sejati

maka:

=

=

=

=

= dx

Sehingga diperoleh A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga


= dx

=

= ln

2.

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:

=

=

Selanjuntnya

=

=

=

Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:

dx

= 5 ln

3.

Integran fungsi rasional sejati, sehingga:


=

=

=

=

Diperoleh A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga

=

=

= ½ ln

4. dx ( integran bukan fungsi rasional sejati)

Jawab :

dx =

= +


= +

Selanjutnya dicari =

=

=

=

Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4

atau A = -1, B = , C =

Sehingga:

= -

Soal-soal Tentukan hasil dari:

1.

3.

4.

5.


Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial

, berdasarkan jumlah tersebut dapat

ditentukan A,B, dan C.

Contoh

1.

Karena integran fungsi rasional sejati maka

=

=

=

Diperoleh A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

=


=

=

2.

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga

=

=

=

=

DiperolehA+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:

=

=

= arctg x +

3.

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat (x , sehingga


=

=

=

Maka diperolehA + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau A = 2, B = -1, C = 0, D = -1

=

= 2 ln(x+3) – ln(x-2) – arctan x + C = ln(x+3) - ln(x-2) – arctan x + C

= ln arctan x + C

Jadi = ln arctan x + C

Soal-soalTentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1.

Jawab

=

=


=

=

Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1

=

=

= ln + ½

arc tan

2.

Jawab:

=

=

= ½ x2 - 5

= x2 – 5.

= ½ x2 -

= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C = ½ x2 – ln + C

3.

4. (fungsi rasional sejati)

Jawab


=

= dx

=

=

Didapat p + r = 1, q + s = 1, 2p + r = 1, dan 2q + s = 2 atau p = 0, q = 1, r = 1, s = 0

sehingga dx =

= arc tan x + ½ ln (x + C = arc tan x + ln + C

5.

Jawab

= dx

=

=

Diperoleh


p = 1, q = 0, p+r = 1, dan q+s = -1 atau p = 1, q = 0, r = 0, dan s = -1 sehingga

=

= ln

6.

Jawab

=

=

Catatan : diteruskan sendiri

2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos x

Fungsi F(x) = dan g(x) mememuat

fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan METODE SUBSTITUSI.Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.

1. F(x) =


2. F(x) =

3. F(x) =

4. F(x) =

5. F(x) =

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1.

2.

3.

4. dx

5. dx

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi

x = 2 arc tan z sehingga dx = .

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z. Karena x = 2 arc tan z maka:

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

1 + tan = sec


1 + z

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain sin

, sehingga didapat

sin

=

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:cos 2x = cos sin x

=

Dengan rumus jumlah sinus didapat:sin 2x = 2 sin x cos x

sin x = 2 sin cos

= 2

=

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x = 2 arc tan z, sin x = , cos x =


Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Tentukan selesaian dari

1.

Jawab

=

=

=

=

= ln + C

= ln

2.

Jawab =

=

=

=

= arc tan + C


= arc tan z + C

= arc tan (tan x/2) + C

3. =

Jawab

=

=

=

=

=

=

= 3 ln

= 3 ln

Soal-soalSelidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!

1. = + C

2. = + C

3. = + C


4. = ln + C

5.

6.

7.

8.

9.

10. = ln 11. dx = -ln

BAB IIIINTEGRAL TAK WAJAR

3.1 Pengertian Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar,

marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.Teorema: Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x) sebarang antiturunan pada I, maka

=

Contoh

1.

= (4- ½ .16) – (2- ½ 4)


= -4 – 0 = -4

2.

= ln (1+2) – ln (1+1) = ln 3 – ln 2

3. , tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas

karena integran

f(x) = tidak terdefinisi pada x = 1.

4. , tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas,

karena integran f(x) = tidak terdefinisi di x = 0

Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.

Bentuk disebut Integral Tidak Wajar jika:

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut.

Pada kasus ini teorema dasar kalkulus = F(b) – F(a)

tidak berlaku lagi.Contoh

1) , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu

di [0,4)


2) , f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x)

kontinu di (1,2]

3) , f(x) tidak kontinu di x = 2 [0,4] atau f(x) kontinu di

[0,2) (2,4]

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

1) , integran f(x) memuat batas atas di x =

2) , integran f(x) memuat batas bawah di x = -

3) , integran f(x) memuat batas atas di x = dan batasa

bawah di x = -Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan

integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga ( ).

Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

3.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinua. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b

Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = b - ( ), sehingga


Karena batas atas x = b - ( x b ), maka

maka

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1. , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4,

sehingga

=

= -2

= -2 ( )

= -2(0-2) = 4Cara lain

=

=

= -2(0)+2(2) = 4

2. , f(x) =

Fungsi di atas tidak kontinu di x = 2 dan x = -2, sehingga:

maka 2


= 2

= 2

= 2 (

=

3. , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4

sehingga diperoleh

= tidak berarti, karena mempunyai bentuk

b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = aKarena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a + ( ), sehingga

Karena batas bawah x = a + ( x a ) maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

1.


=

=

= 6(1) – 6(0) = 6

2. ,f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0

sehingga diperoleh:

=

= 2 – 0 = 2

3. , f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0

=

= (1.0-1) –(0-0) = -1

c. f(x) kontinu di [a,c) (c,b] dan tidak kontinu di x = c Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c + dan x = c - ( ), sehingga

= +


Dapat juga dinyatakan dengan

+

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

1. , f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh

, berdasarkan contoh sebelumnya

didapat:

=

=

=

2. f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh

=

=

= -

=

3. , f(x) diskontinu di x = 0, sehingga diperoleh:


= +

=

=

= tidak berarti karena memuat bentuk

3.3 Integral tak wajar dengan batas tak hinggaBentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika

sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.

a. Intergral tak wajar dengan batas atas x = . Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.

Perhatikan contoh berikut ini

1. =

=

=

= ( ½ . - ½ .0)


=

2. =

=

=

= 1

b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = - Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

Perhatikan contoh berikut ini:

1. dx =

=

= ½ - 0 = ½

2. =

=

= 0 +

= ¼


c. Integral tak wajar batas atas x = dan batas bawah di x = -

Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan

, sehingga bentuk penjumlahan

integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:

=

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini:

1.

=

= +

=

2. = +

= +

= (arc tgn e ) + (arc tgn e )

=

=


Soal-soal Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1.

Jawab Karena integran diskontinu di x = 3, maka

=

=

=

=

= (90

2. dx

3.

4.

Jawab f(x) = x ln x diskontinu x = 0, sehingga

=

=

=

= tidak terdefinisi karena memuat ln 0


5. = dx

=

=

= 0 + 1 = 1

6.

7.

8.

9.

10.

11. =

= , ATAU

=

=

= -2 = tidak terdefinisi (tidak terintegralkan)


BAB IVRUMUS-RUMUS DASAR INTEGRAL

Misal u adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan C sebuah konstanta, dengan memperhatikan sifat-sifat operasi Aljabar fungsi (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian) dapat diperikan beberapa sifat Integral tak tentu fungsi yang terintegralkan. Sifat-sifat berikut berlaku untuk syarat yang diberikan.

1. du = + C, jika n -1

2. , jika n -1

3. = ln + C atau

4. eu du = eu + C

5. au du = + C

6. u dv = uv - v du 7. sin du = - cos u + C 8. cos u du = sin u + C 9. sec2 u du = tan u + C 10. csc2 u du = - cot u + C 11. sec u tan u du = sec u + C


12. csc u cot u du = - csc u + C13. tan u du = ln + C14. cot u du = ln + C 15. sec u du = ln + C 16. csc u du = ln + C

17. = arc sin +C

18. = arc tan + C

19. ln + C

20. ln + C

21. = ln (u + )

+ C

22. = ln (u + )

+ C

23. du = ½ u

24. = arc sec + C

25. du = ½ u + C

26. du = ½ u + C

27. sin2 u du = u – sin 2u + C

28. cos2 u du = u + ¼ sin 2u + C

29. tan2 u du = -u + tan u + C 30. cot2 u du = - u – cot u + C


31. sin3 u du = - ( 2 + sin2 u ) cos u + C

32. cos3 u du = ( 2 + cos2 u ) sin u + C

33. tan3 u du = tgn2 u + ln + C

34. cot3 u du = - cot2 u - ln + C

35. sec3 u du = sec u tan u + ln + C

36. csc3 u du = - csc u cot u + ln + C

37. sin au sin bu du = - + C, jika a2 b2

38. cos au cos bu du = + + C, jika a2 b2

39. sin au cos bu du = - - + C, jika a2 b2

40. sinnu du = - + sin n-2 u du

41. cosn u du = + cos n-2 u du

42. tann u du = tan n-1 u - u du jika n 1

43. cot n u du = - cot n-1 u - u du jika n 1

44. sec n u du = sec n-2 u tgn u + sec n-2 u du, jika

n 1

45. csc n u du= - csc n-2 u cot u + csc n-2 u du, n 1


46. sin n ucos m u du = - + sin n-2 u cos m u

du, n -m 47. u sin u du = sin u – u cos u + C48. u cos u du = cos u + u sin u + C49. un sin u du = -un cos u + n u n-1 cos u du

50. un cos u du = un sin u + n u n-1 sin u du

51. sin u d(sin u) = sin u + C

52. cos u d(cos u) = cos u + C

53. tan u d(tan u) = tan u + C

54. cot u d(cot u) = ½ cot2 u + C55. sec u d(sec u) = ½ sec2 u + C56. csc u d(csc u) = ½ csc2 u + C

57. du = ln + C

58. du = - a ln + C

59. = ln + C

60. du = - a arc sec + C

61. u2 du = (2a2 u2) - ln + C

62. du = ln + C

63. = + C


64. du = - - ln + C

65. = + C

66. = - + C

67. ( )3/2 du = (2u2 5a2) +

ln + C

68. du = + arc sin -1 + C

69. du = - + arc sin -1 +

C

70. du = - a ln + C

71. u2 du = (2u2- a2) + arc sin -1 + C

72. = - + C

73. du = - - arc sin -1 + C

74. = - ln + C

75. = ln + C

76. du = 2 - 2 arc tan + Cl

77. = 2 ln (1+ )

78. = + C


79. ( )3/2 du = (5a2- 2u2) +

arc sin -1 + C

80. ueu du = (u-1)eu + C 81. un eu du = un eu – n un-1 eu du 82. ln u du = u ln u – u + C

83. un ln u du = ln u - + C

84. eau sin bu du = (a sin bu – b cos bu) + C

85. eau cos bu du = (a cos bu + b sin bu) + C

86. arc sin -1 u du = u arc sin -1 u + + C

87. arc tan u du = u arc tan u - ln + C

88. arc sec u du = u arc sin u – ln + C

89. u arc sin u du = ¼ (2u2 – 1) arc sin u + + C

90. u arc tan u du = ½ (u2 + 1) arc tan u - + C

91. u arc sec u du = arc sec u – ½ + C

92. u arc sin u du = arc sin u -

du + C, jika n -1

93. un arc tan u du = arc tan u - du + C, jika n

-1

94. un arc sec u du = arc sec u - du + C, jika

n -1


95. sinh u du = cosh u + C 96. cosh u du = sinh u + C 97. tanh u du = ln (cosh u ) + C 98. coth u du = ln + C 99. sech u du = arc tan + C

100. csch u du = ln + C

101. sinh u du = ¼ sinh u - + C

102. cosh u du = ¼ sinh u + + C

103. tanh u du = u - tanh u + C 104. coth u du = u – coth u + C 105. sech u du = tanh u + C 106. csch u du = -coth u + C 107. sech u tgnh u du = - sech u + C 108. csch u coth u du = - csch u + C

109. u(au+b)-1 du = ln + C

110. u(au + b)-2 du = + C

111. u(au+b)n du = + C, jika n -1, -2

112. = + C, n 1

113. u du =

114. un du = + C

115. = + C


116. = -nb

117. = ln + C

118. = - + C, jika n 1

119. = sin + C

120. = arc sin + C

121. un =

du

122. = - +

+ C

123. = a arc sin + C

124. =

125. =

126. ( )2 = du

127. = du

128. + C

129. + C


130. = ln + C

131. cos u + ln (1-cos u) + C

132. du = - cos + 2 sin + C

133. = + C

134. = + C

135. = + C

136. = + C

137. = ln + C

138. = + C

139.

140.

141.

142.

143.


144. 2(tan

145.

146.

147. arc sin(2 tan x) + C

148.

149. = x + (cot ax-csc ax) + C

150.


BAB VTRANSFORMASI LAPLACE

5.1 Transformasi Laplace Definisi Misalkan F(t) suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:

L {F(t)} = = f(s)

Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga ( ) maka

L{F(t)} =

=

Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada. Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L{W(t)} = w(s), L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan seterusnya. Teorema


Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0 N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s > Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.

Nomor

F(t) L{F(t)} = f(s)

1. 1 s > 0

2. t s > 0

3. t , s > 0

4. t n = 0,1,2,3,….

, s > 0

5. e s > 0

6. sin at s > 0

7. cos at s > 0

8. sinh at s >

9. cosh at s >

10. ….….

11. …..

Kalkulus Integral100

Untuk memahamkan bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi. Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:1. F(t) = 1 L {F(t)} = L{1}

=

=

=

=

= 0 +

=

= f (s)F(t) = t

L{F(t)} = t dt

= dt

=

=

=

=

=


2. F(t) = e

L{F(t)} =

=

=

=

=

3. F(t) = sin at

L{F(t)} =

=

=

=

=

=

=

=

=


=

=

=

=

4. F(t) = cos at

L{F(t)} =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=


=

=

5.2 Syarat Cukup Transformasi Laplace AdaJika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam

setiap selang berhingga 0 dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s > .Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.

5.3 Metode Transformasi LaplaceUntuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.

Metode ini berkaitan langsung dengan definis

L{F(t)} =

=

Contoh

L{t} = t dt

=

=


=

=

=

=

b. Metode Deret Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh F(t) = a

=

Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:L{F(t)} = L{a

=

=

Syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s > c. Metode Persamaan differensial

Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.

d. Menurunkan terhadap parametere. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan

teorema-teorema yang ada.


f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan.

5.4 Sifat-sifat Transformasi Laplace Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya adalaha) Sifat linear

Jika c dan c adalah sebarang konstanta, sedangkan F dan F adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing dan , maka: L{c +c } = c + cBukti:

L{c +c } =

=

=

= Contoh1. L{5t-3} = L{5t} – L{3}

= 5 L{t} – 3 L{1}

= 5

=

2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t} = 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t}

= 6


=

L{(t } = L{t = L{ = L{t + 2 L{ + L{1}

=

=

3. L{4e = L{4e

= 4L{e

= 4

=

Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut.1. F(t) = 2t + e2. F(t) = 6sin 2t – cos 2t3. F(t) = (sin t – cos t)4. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t5. F(t) = (2t + 2) 6. F(t) = (sin t – 3)

b) Sifat translasi atau pergeseran pertamaJika L{F(t)} = f(s) maka L{e = f(s-a)Bukti

Karena L{F(t)} = = f(s), maka


L{e =

=

= f(s-a)Contoh:

1. Tentukan L{ e-3tF(t)}, jika L{F(t)} = f(s)Menurut sifat 2 di atas, L{e = f(s-a)Maka L{e-3tF(t)} = f((s-(-3)) = f(s+3)

2. Tentukan L { e2tF(t)}, jika L{F(t)} = f(s/a)Menurut sifat 2 di atas, L{e = f(s-a)Maka L{e2tF(t)} = f(s-2/a)

= f(

3. Tentukan L{e .

Karena L{cos 2t} = = f(s), maka

L{e = f(s+1)

=

= = f(s)

4. Tentukan L{eMenurut sifat linear, L{e = L{e } = 3L{e }

Karena L{cos 6t} = = f(s), dan L{sin 6t} = = f(s)

maka menurut sifat translasi 3L{e


= 3 , dan

5L{e = 5f(s+2)

= 5 , sehingga

L{e = 3 - 5

=

SoalTentukan transformasi Laplace fungsi 1) F(t) = e2) F(t) = (1+te3) F(t) = e4) F(t) = (t+2)5) F(t) = e6) F(t) = e

c. Sifat translasi atau pergeseran keduaJika L{F(t)} = f(s) dan G(t) = maka L{G(t)} = eBukti

L{G(t)} =

=

=

=

Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga


=

= e

= e Contoh

Carilah L{F(t)} jika F(t) =

Menurut definisi transformasi Laplace

L{F(t)} =

=

=

= e

=

d. Sifat pengubahan skala

Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} =

Karena L{F(t)} = maka

L{F(at)} =

Misal u = at, du = a dt atau dt =

Sehinga L{F(at)} =

=


=

=

Contoh:

1. Jika L{F(t)} = = f(s)

maka L{F(3t)} =

=

=

Soal:1. Carilah L{F(t)}, jika F(t) =

2. Jika L{F(t)} = , carilah L{F(2t)}

3. Jika L{F(t)} = carilah L{e

Jawab L{F(t)} = maka menurut sifat 4 diperoleh

L{F(3t)} =

Sehingga L{F(3t)} =

=

= f(s)Berdasarkan sifat Jika L{F(t)} = f(s) maka L{e = f(s-a) (sifat 2)Maka L{e = f(s+1)

=


e. Transformasi Laplace dari turunan-turunanJika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0)

Karena Karena L{F(t)} = = f(s), maka

L{F’(t)} =

=

=

= -F(0) + s F(t)dt

= sf(s) – F(0)

Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = sBukti

L{F”(t)} =

=

=

=

= = s

Dengan cara yang sama diperoleh

L{F’’’(t)} =

=


=

=

= e

= s

Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika L{F(t)} = f(s) maka L{F = s

Contoh soalDengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa

L{sin at} = = f(s)

Misal F(t) = sin at diperoleh F’(t) = a cos at, F’’(t) = -a

Sehingga L{sin at} = - L{F’’(t)}.

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh

L{sin at} = ( s )

=

=


=

=

f. Tansformasi Laplace dari integral-integral

Jika L{F(t)} = f(s) maka L

Bukti:

Misal G(t) = maka G’(t) = F(t) dan G(0) = 0

Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:L{G’(t)} = L{F(t)}

s L{G(t)}-G{0} = f(s) s L{G(t)} = f(s)

L{G(t)} =

Jadi diperoleh L{ } =

Contoh

1. Carilah L

Misal F(t) =

Maka L{F(t)} = arc tan

Sehingga menurut sifat transformasi di atas L =

=


2. Buktikan L =

Bukti:

Misal F(t) = maka F(0) = 0

F’(t) = dan t F’(t) = sin t. Dengan mengambil

transformasi Laplace kedua bagian

L{tF’(t)} = L{sint} atau =

Menurut teorema harga awal,

Sehingga diperoleh c = .

Jadi sf(s) =

3. Buktikan L =

Bukti:

Misal F(t) = maka F’(t) = atau tF’(t) = - cos t

L L{-cos t}

(-1) = atau sf(s) =

sf(s) =

Menurut teorema harga akhir, sehingga c

= 0.


Jadi sf(s) = atau f(s) =

g. Perkalian dengan t

Jika L{F(t)} = f(s) maka L{t = (-1) = (-1)f

Bukti.

Karena f(s) = maka menurut aturan Leibnitz

untuk menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:

= f’(s) =

=

=

= -

= -L{tF(t)}

Jadi L{tF(t)} = -

Contoh1. Tentukan L{t sin at}

Jawab

L{sin at} = , maka menurut sifat perkalian dari

pangkat t diperoleh

L{t F(t)} = (-1) , sehingga

L{ t sin at} = (-1)

=

2. Tentukan L{t


Menurut sifat di atas, L{t = (-1)

=

=

h. Sifat pembagian oleh t

Jika L{F(t)} = f(s) maka L

Bukti:

Misal G(t) = maka F(t) = t G(t).

Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)}

atau f(s) = - atau f(s) = - .

Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh

f(s) = - .

g(s) = -

=

Jadi L

Soal-soal1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan

a. F(t) = t cos 2tb. F(t) = t sin 3tc. F(t) = t(3sin 2t-2 cos 5t)d. F(t) = t


e. F(t) = (tf. F(t) = tg. F(t) = (t

2) Jika F(t) = Carilah L{F’’(t)}

3) Diketahui F(t) = a. carilah L{F(t)}b. carilah L{F’(t)}c. apakah L{F’(t)} = sf(s) – F(0) berlaku untuk kasus ini

4) Tunjukkan bahwa

5) Tunjukkan bahwa

L

6) Perlihatkan bahwa

a. L{ } = ln

b. L

7) Tunjukkan bahwa:

a. L =

b. Jika L{F(t)} = f(s) maka L =


DAFTAR PUSTAKA

Edwin J. Purcell., Dale Varberg. 1989. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid 2 (terjemahan I Nyoman Susila dkk). Bab 18. Jakarta; Erlangga.

Wilfred Kaplan. 1961. Ordinary Differential Equations. Massachusetts: Addison Wesley Publishing Company, Inc.

Dale Varberg., Edwin J. Purcell. 2001. Kalkulus Jilid I (edisi 7). Alih Bahasa I Nyoman Susila. Batam: Interaksara.

Frank Ayres., J.C Ault. 1984. Kalkulus Diferensial dan Integral (Seri Buku Schaum). Alih Bahasa Lea Prasetyo. Jakarta: Erlangga.

Louis Leithold, 1986. Kalkulus dan Geometri Analitik. Alih Bahasa S. Nababan. Jakarta: Erlangga.

Howard Anton, 1981. Calculus with Analyitical Geometri. New York: John Willey and Sons.

Koko Martono, 1993. Kalkulus Integral I. Bandung: Alva Gracia

Tom M. Apostol, 1984. Calculus. New York: John Willey and Sons.

Achsanul In’am, 2000. Kalkulus I. Malang: UMM Press.

Murray R. Spiegel. Pantur Silaban, Hans Wospakrik. 1985. Transformasi Linear. Jakarta: Erlangga.


daftar pustakalearning4man.weebly.com/.../gabungan-file-kalkulus-2.doc · web viewcontoh soal...

Documents