Sejarah Teori Himpunan

Matematikawan telah menggunakan himpunan sejak awal subjek. Misalnya, ahli

matematika Yunani mendefinisikan lingkaran sebagai himpunan poin pada jarak r tetap

dari titik tetap P. Namun, konsep 'himpunan tak terhingga' & terbatas 'himpunan

menghindari ahli matematika dan filsuf selama berabad-abad. Misalnya, pikiran Hindu

dipahami tak terbatas dalam mereka Ishavasy teks kitab suci-opanishad sebagai berikut:

"Keseluruhan ada di sana. Keseluruhan berada di sini. Dari lubang imanates

keseluruhan. Menyingkirkan keseluruhan dari keseluruhan, apa tersisa masih satu

Utuh”. Phythagoras (~ 585-500 SM), seorang matematikawan Yunani, berhubungan

baik dan jahat dengan terbatas dan tidak terbatas, masing-masing. Aristoteles (384-322

SM) mengatakan, "tak terbatas tidak sempurna, belum selesai dan karena itu, tak

terpikirkan, itu tak berbentuk dan bingung." Kaisar Romawi dan filsuf Marcus Aqarchus

(121-180 M) mengatakan tak terhingga adalah sebuah teluk yg tak dpt diduga, di mana

segala sesuatu lenyap "filsuf. Inggris Thomas Hobbes (1588-1679) berkata," Ketika kita

mengatakan sesuatu adalah tak terbatas, kami hanya menandakan bahwa kita tidak

bisa hamil berakhir dan batas-batas hal yang bernama ".

Ahli matematika bekerja, serta jalan, jarang berkaitan dengan pertanyaan unusal: apa

angka? Namun upaya untuk menjawab pertanyaan ini justru telah mendorong banyak

pekerjaan oleh matematikawan dan filsuf di dasar matematika selama seratus tahun

terakhir. Karakterisasi bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan real telah menjadi

masalah klasik pusat untuk penelitian dari Weierstrass, Dedekind, Kronecker, Frege,

Peano, Russel, Whitehead, Brouwer, dan lain-lain. Peneliti dari Georg Cantor sekitar

1870 dalam teori dengan rangkaian tanpa batas dan topik terkait analisis memberikan

arah baru bagi perkembangan teori himpunan. Cantor, yang biasanya dianggap sebagai

pendiri teori himpunan sebagai suatu disiplin matematika, dipimpin oleh karyanya

menjadi pertimbangan himpunan tak terbatas atau kelas karakter sewenang-wenang.

Namun, hasil Cantor tidak segera diterima oleh orang-orang sejamannya. Juga,

ditemukan bahwa definisi tentang menetapkan mengarah ke kontradiksi dan paradoks

logis. Yang paling terkenal di kalangan ini diberikan pada 1918 oleh Bertrand Russell

(1872-1970), sekarang dikenal sebagai's paradoks Russell.

Dalam upaya untuk menyelesaikan paradoks ini, reaksi pertama matematikawan adalah

untuk 'axiomatize' Teori himpunan intuitif's Cantor. Axiomatization berarti sebagai

berikut: dimulai dengan satu himpunan pernyataan jelas disebut aksioma, kebenaran

yang diasumsikan, seseorang dapat menyimpulkan semua sisa proposisi teori dari

aksioma menggunakan aksioma inferensi logis. Russell dan Alfred North Whitehead

(1861-1974) pada tahun 1903 mengusulkan teori aksiomatik himpunan dalam tiga-

volume kerja mereka yang disebut Principia Matematikawan merasa canggung untuk

digunakan.Sebuah Teori himpunan aksiomatik yang dapat dikerjakan dan logistik

sepenuhnya diberikan pada tahun 1908 oleh Ernst Zermello (1871-1953). wa ini

meningkat pada tahun 1921 oleh Fraenkel A. Ibrahim (1891-1965) dan T. Skolem (1887-

1963) dan sekarang dikenal sebagai 'Zermello-Frankel (ZF) teori aksiomatik-himpunan.

Biografi Georg Cantor (1845 -1918) - Georg Cantor adalah ahli matematika

Jerman, penemu teori himpunan, penemu konsep bilangan lewat terhingga

(transfinit), doctor, guru besar dan pengarang. Ia lahir di St Patersburg

sekarang Leningrad Rusia, pada tangal 3 Maret 1845 dan meninggal di Halle,

Jerman, pada tanggal 6 Januari 1918 pada umur 73 tahun karena sakit jiwa,

sebab teorinya ditentang para ahli matematika sezamannya. Ayahnya saudagar

kaya-raya dan beragama Protestan. Ibunya berasal dari keluarga pemusik dan

beragama Katolik. Sejak kecil ia bersekolah di SD Swasta. Ayahnya

menginginkan Cantor jadi insinyur.

Biografi Penemu Teori Himpunan, Georg Cantor

Ketika Cantor berumur 11 tahun, ayahnya meninggal. Dengan demikian ia dapat menentukan cita-

citanya sendiri meskipun bertentangan dengan keinginan ayahnya. Sesudah tamat SD Cantor pindah

ke Frankfurt, Jerman. Ia melanjutkan sekolahnya di Darmstadt dan Wiesbaden, lalu kuliah sebentar

di Universitas Zurich, Swiss. Kemudian ia pindah ke Universitas Berlin. Disini ia belajar filsafat, fisika

dan matematika. Dosen-dosennya yang terkenal adalah Welerstrass, Kummer dan Kronecker.

Pada umur 22 tahun ia mendapat gelar doctor. Tesisnya berjudul "Dalam matematika, bertanya

lebih berharga dari memecahkan soal". Kemudian ia bekerja di Universitas Halle sampai akhir

hidupnya. Mula-mula ia hanya digaji sebagai dosen tak tetap. Pada umur 27 tahun ia diangkat jadi

guru besar pembantu. Baru pada umur 34 tahun ia diangkat jadi guru besar tetap. Cantor kawin

pada umur 29 tahun di Interlaken, Swiss, dengan Valley Guttman. Meskipun gajinya kecil, ia dapat

membangun rumah untuk istri karena mendapat warisan dari ayahnya.

Pada tahun 1873 pada umur 28 tahun, Cantor mengumumkan teorinya.Selama 10 tahun ia terus-

menerus menyebarluaskan teorinya dalam tulisan- tulisannya. Teori himpunan danKonsep Bilangan

Transfinit-nya menggemparkan dunia matematika. Tapi penemuannya itu tidak menguntungkan

Cantor. Ia mendapat tantangan hebat dari ahli-ahli matematika pada waktu itu, terutama dari bekas

gurunya, ialah Kronecker. Ia merasa lebih berjasa. Ia merasa telah bekerja keras. Ia merasa telah

menemukan teori matematika yang besar. Ia mengharapkan penghargaan. Ia menginginkan

pengakuan. Tapi apa yang ia terima malah dampratan, kecaman pedas, dan penghinaan. Ia sama

sekali tidak menduga akan mendapat sambutan semacam itu. Ia sangat terkejut. Ia jatuh sakit. Ia

terpaksa dirawat di rumah sakit jiwa sampai ajalnya. Namun zaman sekarang hamper seluruh orang

di dunia menerima Teori himpunannya.

TEORY HIMPUNAN

Sejarah Ringkas Teori Himpunan

George Cantor (1845-1918) dianggap sebagai Bapak teori himpunan, karena beliaulah yang

pertama kali mengembangkan cabang matematika ini. Ide-idenya tentang teori himpunan dapat

memuaskan keinginan publik terutama idenya tentang himpunan tak berhingga (infinit) (himpunan

yang banyak anggotanya tak berhingga).

Beliau mengembangkan hirarki himpunan infinit ini yang ternyata dapat digunakan di berbagai

himpunan infinit yang berbeda. Penemuan ini di anggap penemuan yang revolusioner oleh para

matematikawan pada jaman itu. Cantor meninggal di suatu institusi mental di jerman pada usia 73

tahun. Banyak yang mengganggap bahwa mentalnya jatuh karena serangan-serangan terhadap ide-ide

dan hasil karyanya yang dilakukan oleh para matematikawan lain.

Pada tahun-tahun terakhir ini, teori himpunan mendapatkan perhatian khusus dalam

mengajarkan matematika, karena setiap cabang matematika berkaitan erat dan termasuk di

dalam (menjadi bagian) teori himpunan. Cabang matematika yang berbeda-beda berkembang menjadi

satu kesatuan dalam teori himpunan.

Himpunan

Dalam upaya untuk melakukan pengamatan, pengumpulan, penghimpunan, atau pemisahan

(mengklasifikasikan) dari suatu obyek-obyek menurut sifatnya. Perlu adanya pengertian tentang

himpunan. Menghimpun adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan berbagai obyek dan

mempunyai suatu sifat yang dimiliki bersama. Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek

yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan itu dapat berupa daftar,

koleksi atau kelas. Sedangkan obyek-obyek dalam kumpulan itu dapat berupa benda konkrit atau

benda abstrak, seperti: bilangan, abjad, orang, sungai, negara. Obyek-obyek ini di sebut anggota,

unsur atau elemen dari himpunan tersebut.

Karena obyek-obyek dalam himpunan telah didefinisikan dengan jelas , sehingga kita dapat

membedakan obyek yang menjadi anggota himpunan dan yang bukan menjadi anggota himpunan.

Contoh :

1. Himpunan bilangan 1, 2, dan 3.

2. Himpunan vokal a, i, e, o, u.

3. Himpunan semua huruf dari abjad, yaitu a, i, u, e, o

4. Himpunan negara-negara asia tenggara.

5. Himpunan penyelesaian persamaan x2 – 2 x – 3 =0

6. Himpunan manusia yang hidup di bumi.

Notasi Himpunan

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, ….., K, L, M, ......., X, Y, Z. dan

sebagainya. Sedangkan anggota-anggota dari suatu himpunan dinyatakan dengan huruf kecil a, b, c, x,

y, ... dan sebagainya.

Jika x anggota dari himpunan A, maka dinyatakan x Î A. dan

Jika x bukan anggota dari himpunan A, maka ditulis x Ï A.

Jika x adalah anggota himpunan A, berarti A mempunyai x sebagai salah satu anggotanya maka

dapat di tulis x Î A (di baca x anggota A atau x elemen A). Sebaliknya jika x bukan anggota himpunan

A, berarti A tidak mempunyai x sebagai (salah satu) anggotanya maka ditulis : x Ï A (di baca bukan

anggota A, atau bukan elemen A).

Contoh: 1. P ={a, i, e, o, u}. Maka; a Î P, b Ï P, e Î P.

2. Q ={1, 3, 5, 7, 9}. Maka; 3 Î Q, 6 Ï Q, 8 Ï Q.

Cara Penulisan Himpunan

Untuk menuliskan atau menyatakan himpunan seperti pada contoh-contoh di atas dirasakan

sangat bertele-tele, tidak singkat. Oleh karena itu diperlukan cara menuliskan secara matematis,

singkat dan jelas. Di dalam konsep teori himpunan, Ada tiga cara dalam mendefinisikan suatu

himpunan antara lain:

1. Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung kurawal.

Contoh:

a. P = {1, 2, 4, 6, 8} artinya;

P merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah 1, 2, 4, 6, dan 8.

b. Q = {1, 3, 5, 7, 9} artinya;

Q merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah 1, 3, 5, 7, dan 9.

2. Dengan cara menyebutkan sifat-sifat yang dimiliki setiap anggota-anggotanya.

Contoh:

a. P = himpunan vokal dalam abjad latin.

b. Q = himpunan bilangan cacah ganjil yang kurang dari 10.

3. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan.

Contoh:

1. P ={x / x adalah vokal dalam abjad latin}.

2. Q ={x / x adalah bilangan cacah ganjil}.

3. R ={x / x adalah bilangan riil}

Macam-macam Himpunan

Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya, himpunan terbagi

menjadi beberapa macam :

1. Himpunan Kosong (himpunan hampa)

Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong

biasanya dinyatakan dengan notasi Æ atau {}.

Contoh:

1. A adalah himpunan manusia di bumi yang berumur lebih dari lima abad.

sepanjang pengetahuan kita,tidak ada manusia di bumi yang berumur lebih dari lima abad. oleh

karena itu, A = Æ.

2. B ={x / x = bilangan riil, x2 + 3 = 0} maka ditulis B = Æ

2. Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang mempunyai anggota semua obyek yang sedang

dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dinyatakan dengan notasi S atau U (S singkatan dari

semesta dan U singkatan dari universal).

Contoh.

1. S = {5, 7, -4, 9}, A = {7, 9} maka dikatakan,

S merupakan semesta dari himpunan A

2. Semesta pembicaraan dari K={a, i, o} adalah S = {a, i, e, o, u} = himpunan huruf hidup dalam abjad

latin, atau S = {abjad latin}.

3. Himpunan Berhingga (Finit) dan Himpunan Tak Berhingga (Infinit)

Suatu himpunan dapat merupakan himpunan yang berhingga atau himpunan yang tak berhingga.

Secara intuitif, himpunan dikatakan berhingga jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen yang

berbeda dan banyaknya tertentu/berhingga (jika kita membilang banyak anggota yang berbeda dalam

himpunan itu, proses membilang yang kita lakukan akan berakhir) Sedangkan himpunan dikatakan

tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak

berhingga. (proses membilang yang kita lakukan untuk menghitung banyak anggota himpunan

tersebut tidak akan berakhir).

Contoh:

1. Ditentukan himpunan H = himpunan bilangan pada permukaan jam duabelas. Maka H ={1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} adalah himpunan finit, karena proses membilang kita akan berhenti.

2. Himpunan I = himpunan bilangan asli genap merupakan himpunan infinit, karena jika kita

membilang banyak anggota himpunan I = {2, 4, 6, …,} proses membilang kita tidak akan pernah

berhenti.

3. J = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif} = {1, 2, 3, ….}

J disebut himpunan tak berhingga.

4. K = {Ali, Budi, Joko}

K disebut himpunan berhingga.

PENERAPAN HIMPUNAN DALAM KEHIDUPAN SHARI-HARI

Contoh Soal 1

Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa. Mereka memilih dua jenis olahraga yang mereka gemari. Ternyata

29 siswa gemar bermain basket, 27 siswa gemar bermain voli, dan 6 siswa tidak menggemari kedua

olahraga tersebut.

1. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut.

2. Tentukan banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli.

Penyelesaiannya:

Gambar diagram Venn dari keterangan tersebut dapat diperoleh jika banyaknya siswa yang gemar

bermain basket dan voli diketahui, maka cari terlebih dahulu banyaknya siswa yang gemar bermain basket

dan voli :

bermain basket dan voli = (29 + 27) – (48–6) = 14 orang

maka yang hanya gemar bermain basket = 29 - 14 = 15 orang

yang hanya gemar bermain voli = 27 - 14 = 13 orang

1. Gambar diagram venn nya

2. banyak siswa yang gemar bermain basket dan voli adalah 14 orang

Contoh Soal 2

Suatu kompleks perumahan mempunyai 43 orang warga, 35 orang di antaranya aktif mengikuti kegiatan

olahraga, sedangkan sisanya tidak mengikuti kegiatan apa pun. Kegiatan bola voli diikuti 15 orang, tenis

diikuti 19 orang, dan catur diikuti 25 orang. Warga yang mengikuti bola voli dan catur sebanyak 12 orang,

bola voli dan tenis 7 orang, sedangkan tenis dan catur 9 orang. Tentukan banyaknya warga yang mengikuti

ketiga kegiatan olahraga tersebut.

Penyelesaian :

misalkan yang mengikuti ketiga kegiatan olahraga tersebut adalah x maka yang ikut :

voli dan tenis saja = 7-x

tenis dan catur saja = 9-x

voli dan catur saja = 12-x

voli saja = 15 - (12-x) - (7-x) - x = - 4 + x

tenis saja = 19 - (9-x) - (7-x) - x = 3 + x

catur saja saja = 25 - (9-x) - (12-x) - x = 4 + x

maka diagram venn nya menjadi:

dari diagram venn di atas yang mengikuti ketiga kegiatan olahraga tersebut adalah

=>> 35 = (7 - x) + (9 - x) + (12 - x) + (- 4 + x) + (3 + x) + (4 + x) + x

=>> 35 = (7 + 9 + 12 - 4 + 3 + 4) + (- x - x - x + x + x +x +x)

=>> 35 = 31 + x

=>> x = 35 - 31

= 4

jadi yang mengikuti ketiga kegiatan olahraga tersebut adalah 4 orang

Seorang ilmuwan melakukan percobaan terhadap 50 ekor kelinci, dan melaporkan hasilnya sebagai berikut :

25 ekor di antaranya kelinci jantan.

25 ekor dilatih meghindari jebakan, 10 ekor di antaranya jantan.

20 ekor (dari total 50 ekor) berhasil menghindari jebakan, 4 ekor diantaranya jantan.

15 ekor yang pernah dilatih berhasil meghindari jebakan, 3 ekor di antaranya jantan.

Berapa ekor kelinci beina yang tidak pernah dilatih, tidak dapat menghindari jebakan ?

a. 5

b. 6

c. 7

d. 8

e. 9

Suatu himpunan disebut berjenis H jika memenuhi sifat :

a. Himpunan tersebut beranggotakan tiga bilangan bulat tak negatif.

b. Rata-rata ketiga bilangan anggota himpunan tersebut adalah 15.

Banyaknya semua himpunan berjenis H ini adalah ...

SOAL – SOAL DAN PEMBAHASAN MATERI

HIMPUNAN DAN FUNGSI

1. Dari sekelompok anak terdapat 15 anak gemar bulu tangkis, 20 anak gemar tenis meja, dan

12 anak gemar keduanya. Jumlah anak dalam kelompok tersebut adalah…

A. 17 orang

B. 23 orang

C. 35 orang

D. 47 orang

Penyelesaian : ( B )

Diketahui :

n(A) = 15

n(B) = 20

n(A∩B) = 12

Ditanya : n ( S )

Jawab :

n(S) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

= 15 + 20 – 12

= 23 .

2. Dalam suatu kelas terdapat 47 siswa, setelah dicatat terdapat 38 anak senang berolahraga, 36

anak senang membaca, dan 5 orang anak tidak senang berolahraga maupun membaca.

Banyak anak yang senang berolahraga dan senang membaca adalah…

A. 28 anak

B. 32 anak

C. 36 anak

D. 38 anak

Penyelesaian : ( B )

Diketahui :

n(S)= 47 ; n(O)= 38 ; n(M)= 36 ; n(X) = 5 (Tidak senang keduanya)

Ditanya : n(O∩M)

Jawab :

n(S) =( n(O) + n(M) - n(O∩M) ) + n(X)

47 = (38 + 36 - n(O∩M) ) + 5

47 – 5 = 74 - n(O∩M)

42 = 74 - n(O∩M)

n(O∩M) = 74 – 42 = 32.

3. H adalah himpunan semua bilangan asli n demikian sehingga bentuk menghasilkan

bilangan bulat kurang dari 1, maka banyaknya himpunan bagian tak kosong dari H adalah ....

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

Penyelesaian : ( A )

Bilangan asli mempunyai anggota himpunan mulai dari 1, 2, … dst.

Sedangkan bilangan bulat mempunyai anggota himpunan mulai dari 0, 1, 2, … dst

Dalam soal ditanya bilangan bulat yang kurang dari, sedangkan yang ditanyakan adalah

bilangan asli dimana anggotanya mulai dari 1, 2, … dst.

Jadi, tdak mungkin mempunyai irisan atau irisannya nol.

4. Suatu fungsi f yang dirumuskan dengan f(x) = ax + b diketahui bahwa f(1) = 3 dan f(–3) =

11. Nilai a dan b berturut-turut adalah...

A. 4 dan –1

B. –2 dan 1

C. 4 dan 7

D. –2 dan 5

Penyelesaian : ( D )

Diketahui :

f(x) = ax + b

f(1) = 3

f(-3)=11

Ditanya : Nilai a dan b

Jawab :

f(1) = 3 maka f(1) = a.1+b

3 = a + b (persamaan 1)

f(-3)=11 maka f(-3)= a.(-3)+b

11 = -3a+b (persamaan 2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2

a + b = 3

-3a + b = 11 -

4a = -8

a = -2 (Disubtitusi ke persamaan 1)

a + b = 3

-2+ b = 3

b = 5.

5. Nilai minimum dari adalah...

A.

B.

C. 24

D. 26

Penyelesaian : ( A )

Nilai min =

=

=

= =

6. Suatu fungsi ditentukan . Bila dari fungsi itu maka nilai a

adalah …

A. 7

B. 5

C. -5

D. -7

Penyelesaian : ( D )

f ( a ) = -5a – 5

30 = -5a – 5

30 + 5 = -5a

35 = -5a

a = -7.

7. Suatu fungsi kuadrat dengan daerah asal . Grafik

fungsinya adalah...

B.

Penyelesaian

: (D)

D = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2}

F ( -4 ) = + 2(-4) - 3 = 16 – 8 – 3 = 5

F ( -3 ) = + 2(-3) – 3 = 9 – 6 – 3 = 0

F ( -2 ) = + 2(-2) – 3 = 4 – 4 – 3 = -3

F ( -1 ) = + 2(-1) – 3 = 1 – 2 – 3 = -4

F ( 0 ) = 0 + 0 – 3 = -3

F ( 1 ) = + 2.1 – 3 = 1 + 2 – 3 = 0

F ( 2 ) = + 2.2 – 3 = 4 + 4 – 3 = 5

Dari data di atas diperoleh nilai maksimum = 5, maka y maks = 5

( Terdapat pada grafik D )

f (x) = + 2x – 3

( x + 3 )( x – 1 )

x = -3 atau x = 1 ( Grafik melalui titik (-3,0) dan (1,0 )

Jadi, grafik yang benar adalah grafik D karena melalui titik (-3,0) dan (1,0).

8. Diaram venn dibawah ini menunjukkan bahwa …

A. A B

B. A B

C. A B

D. A B

Penyelsaian : ( A )

Himpunan A berada dalam himpunan B, maka A B.

9. Untuk harga- harga m yang manakah fungsi ini dapat disederhanakan?

a. 3

b. 5

c. 6

d. 7

Penyelesaian : ( C )

Pembilang dan penyebut harus mempunyai sebuah factor yang sama, jadi pembilang harus

dapat ditulis seperti dan penyebut seperti . Jadi bentuk-

bentuk itu harus mempunyai sebuah harga nol yang sama. Jadi persamaan-

persamaan dan harus mempunyai akar yang sama.

Untuk mencari nilai m disa diperoleh dengan cara mengeliminasi kedua persamaan tersebut.

= 0 +

= 0

Untuk x = 0 maka = 0

m = 0

Untuk x = 3 maka = 0

9 – 15 + m = 0

m = 6

Jadi nilai m adalah 0 atau 6.

10. Jika f(2x + 1) = (x − 12)(x + 13), maka nilai dari f(31) adalah…

a. 78

b. 84

c. 88

d. 96

Penyelesaian : ( B )

Diketahui f(2x + 1) = (x − 12)(x + 13) dan ditanya f(31) maka

2x + 1 = 31

2x = 30

x = 15

maka x = 15 di subtitusi ke dalam persamaan (x − 12)(x + 13)

(x − 12)(x + 13) = ( 15 – 12 )(15 + 13)

= 3 x 28

= 84

Di sebuah kelas dilakukan pengambilan data. Dari data tersebut diperoleh,

13 siswa menyukai Matematika

12 siswa menyukai Fisika

8 siswa menyukai Kimia

Jumlah siswa yang hanya menyukai Kimia yaitu sama dengan setengah dari jumlah siswa yang menyukai Fisika dan

sama dengan jumlah siswa yang hanya menyukai Fisika.

Selalu ada siswa yang menyukai dua mata pelajaran sekaligus dari mata pelajaran yang ada tersebut.

Berapakah jumlah siswa di kelas tersebut jika tidak ada siswa yang menyukai ketiga mata pelajaran sekaligus?

Solusi :

Jumlah siswa yang hanya menyukai Kimia adalah 6.

“Tidak ada siswa yang menyukai 3 mata pelajaran sekaligus”.

Karena yang menyukai Kimia ada 8 siswa. Maka ada 2 siswa yang menyukai kimia dan salah satu mata pelajaran lain.

Selalu ada siswa yang menyukai dua mata pelajaran sekaligus.

Sehingga, 1 siswa menyukai Matematika dan Kimia dan 1 siswa menyukai Fisika dan Kimia.

Kemudian dapat ditemukan,

Didapatkan dari

Jadi jumlah siswa di dalam kelas tersebut adalah 26 siswa.

(himpunan semesta) dan

(himpunan bilangan bulat ganjil positif berurutan) dan

(himpunan bilangan prima berurutan) dan

Tentukan

Solusi :

Semua bilangan prima adalah ganjil kecuali 2. Himpunan A adalah himpunan bilangan ganjil positif yang berurutan.

Dan B adalah himpunan bilangan prima. Tentunya (himpunan bilangan prima

berurutan) dan

Sehingga,

(himpunan bilangan asli sampai 50)

Carilah

Solusi :

Karena untuk setiap himpunan A dan B di dalam himpunan semesta S berlaku

Maka,

(himpunan bilangan asli

sampai 50)

Apakah benar Jelaskan?

Solusi :

Benar karena sebuah himpunan yang digabungkan dengan himpunan kosong hasilnya sebuah himpunan itu tadi.

untuk sebarang himpunan A