HIMPUNAN, PROBABILITAS, STATISTIK, dan STOKASTIKDisusun untuk melengkapi Tugas Makalah I mata kuliah Statistik

Disusun Oleh : Nama NIM : Osha Eka Prima : L0F009025

PROGRAM STUDI DIPLOMA III TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIPONEGORO 2011BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya.

Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Teori probabilitas untuk ruang sampel berhingga menetapkan suatu himpunan bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1 sehingga probabilitas terjadinya suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1. Probabilitas bersyarat dituliskan dengan p( A B ) yang menyatakan probabilitas A bila diketahui B, dimana A dan B menyatakan kejadian acak. Probabilitas bersyarat dapat dihitung menggunakan :

Dimana : p (A, B ) adalah probabilitas A dan B p ( A ) adalah probabilitas A B. Perumusan Masalah Dari uraian sepintas diatas yang telah dipaparkan saya dapat menguraikan perumusan masalah sebagai berikut: 1. Bagaimana Teori Himpunan ? 2. Bagaimana Teori Probabilitas ? 3. Apa Hubungan antara Teori Himpunan dengan Teori Probabilitas ? 4. Bagaimana Probabilitas Bersyarat ? 5. Bagaimana Total Probabilitas ? BAB II PEMBAHASAN

1. TEORI HIMPUNAN Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. Gerorg Cantor dianggap sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia,

hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set). Contoh : 1. Himpunan semua huruf hidup dari abjad, yaitu a, i, u, e, o 2. Himpunan semua bilangan genap, yaitu 0, 2, 4, 6, 3. Himpuanan semua bilangan riel x yang memenuhi x2 - 3x 4 = 0

Penyajian Cara Himpunan 1. Enumerasi Contoh . - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {, -2, -1, 0, 1, 2, }.

Keanggotaan x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. 2. Simbol-simbol Baku P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3. Notasi Pembentuk Himpunan Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh . (i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5 A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x | x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4} (ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

4. Diagram Venn Contoh . Misalkan U = {1, 2, , 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:U 1 3 A 2 5 B 8 6 4 7

Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: n(A) atau A

Himpunan Kosong Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : atau {}

Contoh . (i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0 (ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0 (iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {} himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}} {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B

Diagram Venn:

U B

A

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A). (c) Jika A B dan B C, maka A C

Himpunan yang Sama A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi : A = B A B dan B A

Himpunan yang Ekivalen Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B = A B Contoh Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab = = 4 A B

Himpunan Saling Lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn:U A B

Contoh . Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

Himpunan Kuasa Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2A Jika = m, maka A P(A)= 2m.

Operasi Terhadap Himpunan a. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x | x A dan x B }

b. Gabungan (union) Notasi : A B = { x | x A atau x B }

Contoh (i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A = A

c. Komplemen (complement) Notasi : = { x | x U, x A }

A

Contoh . Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, (i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}

A(ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }

A

d. Selisih (difference) Notasi : A B = { x | x A dan x B } = A

B

Contoh (i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B A= (ii) {1, 3, 5} {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {2}

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference) Notasi: A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) Contoh Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A B = B A (b) (A B ) C = A (B C ) (hukum komutatif) (hukum asosiatif)

f. Perkalian Kartesian (cartesian product) Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }

Contoh . (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A B = himpunan semua titik di bidang datar

Catatan:

1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: B= . . A A B 2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a). 3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh 20(i) di atas, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } C D. 4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =

2. TEORI PROBABILITAS 1. Probabilitas Suatu Kejadian

Teori probabilitas untuk ruang sampel berhingga menetapkan suatu himpunan bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1 sehingga probabilitas terjadinya suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1. Definisi II.1 Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. Jadi

Contoh II. 1 Bila sebuah mata uang dilantunkan dua kali maka ruang sampelnya adalahS = { MM, MB, BM, BB }. Bila mata uang yang digunakan setaangkup maka tiap hasil mempunyai kemungkinan muncul sama. Tiap titik diberi bobot b sehingga 4b = 1 atau b = . Bila A menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu muka muncul maka P(A) = . Teorema II.1 Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A maka probabilitas kejadian A adalah P(A) = n/N. Contoh II.2 Bila satu kartu ditarik dari satu kotak bridge berisi 52 kartu maka akan ditentukan peluang mendapatkan kartu hati. Banyaknya hasil yang mungkin adalah 52 dan 13 diantaranya adalah kartu hati. Probabilitas kejadian A menarik kartu hati adalah 17 P(A) = 13/52 = .

2. Hukum- Hukum Probabilitas Jika A dan B dua kejadian sembarang, maka P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Jika A dan B kejadian yang saling terpisah, maka P(A B) = P(A) + P(B) Jika A dan A adalah kejadian saling berkomplemen, maka P(A) = 1 P(A)

1. HUBUNGAN

ANTARA

TEORI

HIMPUNAN

DENGAN

TEORI

PROBABILITAS Teori probabilitas merupakan cabang matematika yang berhubungan dengan analisis fenomena acak. Obyek utama dalam kajian adalah peubah acak, kejadian acak, dan proses stokastik. Dua obyek penting dalam kajian ini adalah hukum bilangan besar (law of large number) dan teorema limit pusat (central limit theorem). Teori probabilitas merupakan konsep matematis fundamental dalam kajian statistika. Sebagai fondasi matematis, teori probabilitas diperlukan dalam berbagai aktivitas yang melibatkan analisis kuantitatif dari data yang berjumlah besar, termasuk teori himpunan.Jadi teori himpunan dan teori sangat berhubungan erat satu sama lain. Metodemetode probabilitas (dalam sistem kompleks) digunakan dalam mekanika statistis. Hal ini merupakan pendekatan dalam fisika teoritis dalam penyelidikan fenomena fisis khususnya dalan kajian secara atomik. Kajian khusus dalam fisika teoritis tersebut disebut dengan mekanika kuantum. Dasar matematika yang relevan dan berguna untuk tujuan ini adalah teori himpunan dan teori probabilitas. Jika didefenisikan dalam konteks himpunan, peristiwa-peristiwa dapat dikombinasikan untuk memperoleh peristiwa lain melalui aturan operasi dari himpunan dan sub-himpunan; pada dasarnya, ini menyangkut gabungan (union) dan perpotongan (intersection) dari dua peristiwa atau lebih termasuk komplemen-komplemennya. Dengan cara serupa, aturan-aturan operasi dari probabilitas menyajikan dasar untuk hubunganhubungan deduktif di antara probabilitas-probabilitas dari peristiwa-peristiwa yang berbeda di dalam ruang probabilitas tertentu; khususnya, ini terdiri dari aturan pertambahan (addition rule), aturan perkalian,teorema probabilitas total,dan teorema Bayes

2. PROBABILITAS BERSYARAT

Probabilitas bersyarat dituliskan dengan p ( A B ) yang menyatakan probabilitas A bila diketahui B, dimana A dan B menyatakan kejadian acak. Probabilitas bersyarat dapat dihitung menggunakan :

Dimana : p (A, B ) adalah probabilitas A dan B p ( A ) adalah probabilitas A

Contoh 1. Misalkan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang telah tamat SMA di suatu kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :

Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata daan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempropagandakannya ke seluruh negeri. Misalkan M menyatakan kejadian lelaki yang terpilih sedangkan kejadian E menyatakan orang yang terpilih dalam status bekerja. Bila digunakan ruang sampel E diperoleh P(M | E) = 460/600 = 23/30.Misalkan n(A) menyatakan jumlah unsur dalam suatu himpunan A. Diperoleh

Dalam hal ini

Contoh 2 :

Bila A menyatakan menyukai sepakbola B menyatakan menyukai bola volley

p(A) dan p(B) dinamakan dengan probabilitas marginal

p(A,B) menyatakan probabilitas bersama A dan B, dan dibaca probabilitas A dan B. Kejadian(A,B) = {(ya,ya), (ya,tidak), (tidak,ya), (tidak,tidak)} p(A=ya,B=ya) = 0.2 p(A=ya,B=tidak) = 0.5 p(A=tidak,B=ya) = 0.2 p(A=tidak,B=tidak) = 0.1

Probabilitas seseorang menyukai sepakbola bila diketahui dia menyukai bola volley adalah:

Probabilitas seseorang tidak akan menyukai bola volley bila diketahui dia menyukai sepakbola adalah:

3. TOTAL PROBABILITAS

Anggap sebuah komponen pada setiap waktu dapat dikategorikan dalam keadaan bekerja (up) atau sedang diperbaiki (down). Anggap komponen mulai bekerja pada waktu t = 0. Setelah bekerja selama X1 satuan waktu, komponen tersebut gagal dan segera diperbaiki selama Y1 satuan waktu sehingga komponen tersebut dapat bekerja kembali seperti komponen yang baru. Setelah bekerja lagi selama waktu X2 komponen gagal lagi dan diperbaiki kembali selama waktu Y2. Proses ini berlangsung terus menerus dan setiap kali selesai dilakukan perbaikan komponen dianggap seperti baru lagi. Barisan (Xi; Yi; i 1) akan dianggap sebagai barisan vektor acak positif dan berdistribusi independen dan identik. Untuk menunjukkan apakah komponen bekerja atau tidak, didefinisikan variabel indikator Z, sebagai berikut:

Jika Z (t) menyatakan komponen bekerja atau gagal pada waktu t, maka total waktu bekerja sistem pada interval waktu [0; t] diberikan :

Total waktu perbaikan D(t) didefinisikan sebagai berikut:

Dalam skripsi ini akan digunakan notasi untuk fungsi-fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut:

BAB III PENUTUP

A. KESIMPULAN Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Teori probabilitas untuk ruang sampel berhingga menetapkan suatu himpunan bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1 sehingga probabilitas terjadinya suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1. Teori probabilitas merupakan konsep matematis fundamental dalam kajian statistika. Sebagai fondasi matematis, teori probabilitas diperlukan dalam berbagai aktivitas yang melibatkan analisis kuantitatif dari data yang berjumlah besar, termasuk teori himpunan.Jadi teori himpunan dan teori sangat berhubungan erat satu sama lain. Probabilitas bersyarat dituliskan dengan p ( A Probabilitas bersyarat dapat dihitung menggunakan : B ) yang menyatakan probabilitas A bila diketahui B, dimana A dan B menyatakan kejadian acak.

Dimana : p (A, B ) adalah probabilitas A dan B p ( A ) adalah probabilitas A Statistik pada dasarnya merupakan alat Bantu untuk memberi gambaran atas suatu kejadian melalui bentuk yang sederhana baik berupa angka maupun gambar (grafik). Sedangkan statistika merupakan proses pengumpulan informasi,, pengolahan informasi dan proses penarikan kesimpulan. Di antara kegunaan Statistik sebagai ilmu pengetahuan adalah: (a) Untuk menggambarkan keadaan, baik secara umum amupun secara khusus; (b) Untuk memperoleh gambaran tentang perkembangan (pasang-surut) dari waktu ke waktu; (c) Untuk mengetahui permandingan (membandingkan) antara gejala yang satu dengan gejala yang lain; (dalam) Untuk menilai keadaan dengan jalan menguji perbedaan

antara gejala yang satu dengan gejala yang lain; (e) Untuk menilai keadaan dengan jalan mencari hubungan antara gejala yang satu dengan gejala yang lain; Oxford Dictionary (1993) menakrifkan proses stokastik sebagai suatu barisan kejadian yang memenuhi hukum-hukum peluang. Dengan demikian, jika pengalaman yang lalu hanya dapat menyajikan struktur peluang keadaan yang akan datang, maka barisan kejadian itu disebut stokastik. Berdasarkan jenis ruang parameter dan ruang keadaannya, proses-proses stokastik dapat dibedakan menjadi: 1.Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan ruang keadaan tercacah 2.Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan ruang keadaan tercacah 3.Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan ruang keadaan malar 4.Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan ruang keadaan malar Berdasarkan kaitan antara peubah-peubah acak yang membentuknya, proses stokastik dapat dibedakan menjadi beberapa kelas seperti proses Levy, proses Bernoulli, proses Markov, proses martinggil, dan proses titik (point process).

DAFTAR PUSTAKA

Teori Himpunan, kur2003.if.itb.ac.id/

Bab

4

Himpun,

202.91.15.14/

MATEMATIKA

1

Pengantar

Teori

Himpunan,

didi.staff.gunadarma.ac.id/ TEORI PROBABILITAS, sainsmat.uksw.edu/ Matematika, staff.ui.ac.id/ http://books.google.co.id/books/about/So_Statistik_Ed_3.html?id=TaqK12UuJkIC Agus Irianto, Prof, DR, Statistik: Konsep Dasar dan Aplikasinya, Prenada Media, Jakarta, 2004. Gonick, Larry and Smith, Woolcott, Kartun Statistik, Kepustakaan Populer Gramedia, Jakarta, 2002. J. Supranto, Pengantar Metode Statistik, Edisi VI, Penerbit Airlangga, Jakarta, 2003. Noegroho Boedijoewono, Drs, Pengantar Statistik Ekonomi dan Perusahaan, Jilid 1 dan 2, UPP AMP YKPN, Jogjakarta, 2000. Prof. Dr. Sudjana, Metode Statistik, 1990, Transito, Bandung. Furqon, PhD, Statistik Terapan Untuk Penelitian, 1997, Alphabeta, Bandung. Richard J. Shavelson, Statistical Reasoning for Behavioral Science, 1988, Allyn and Bacon, Massachusetts. Papoulis, Athanasius, Probabilitas, Variabel Random, dan Proses Stokastik, edisi ke-2, Gadjah Mada university Press, Yogyakarta, 1992.