kls1 himpunan

Cara Menyatakan HimpunanMatematika Kelas 1 > Cara Menyatakan Himpunan

355

< Sebelum Sesudah >

PENGERTIAN

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.

Contoh:

Himpunan siswi kelas III SMU Tarakanita tahun 1999-2000 yang nilai IQ-nya diatas 120.

Himpunan bilangan-bilangan bulaT diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7

Himpunan hanya membicarakan objek-objek yang berlainan saja.

1. Metode Rosteryaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam tanda kurung {...........}contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......}

2. Metode Ruleyaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannyacontoh: N = {xx adalah bilangan asli}

1. Elemen (Anggota) notasi : setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebutelemen/anggota himpunan itu.contoh:A ={a,b,c,d}a A (a adalah anggota himpunan A)e A (e bukan anggota himpunan A)

2. Himpunan kosong 9999999999999notasi : atau {}yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggotacontoh :A = { x x² = -2; x riil}A =

3. Himpunan semestafgf fgfgfgfggffgfnotasi : Syaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakancontoh :K = {1,2,3}S = { x x bilangan asli } atauS = { x x bilangan cacah } atauS = { x x bilangan positif } dsb.

4. Himpunan bagian notasi : atau

Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.

Ditulis : A Bf atau B A

contoh:A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}maka A B ; A C ; B C

ketentuan :

1. himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang 2. himpunan ( A )himpunan A adalah himpunan bagian dari 3. himpunan A sendiri ( A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka

banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n

HB = 2n

contoh: jika A = {a,b,c}maka himpunan bagian dari A adalah :{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan

seluruhnya ada 2³ = 8

POWER SET 2shimpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S

contoh:S = {a,b,c}2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, }

5. Himpunan sama ttttttttttt notasi : =

Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.

Ditulis A = B

contoh:K = {x | x²-3x+2=0}L = {2,1}maka K = L

6. Himpunan lepas ttttttttttt notasi : //

Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.

Ditulis A // B

contoh:A = {a,b,c}B = {k,l,m}Maka A // B

1. Gabungan (union) notasi :

Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B.

A È B = { x | x Î A atau x Î B }

Gbr. Diagram Venn

daerah yang diarsir menyatakan A B

2.contoh:A = {1,2,3}B = {0,2,4}Maka A È B = {0,1,2,3,4}

3. Irisan (intersection) notasi :

Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B.

A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }

Gbr. Diagram Venn

daerah yang diarsir menyatakan A B

4.contoh:

A={1,2,3,4}B={3,4,5}maka A Ç B = {3,4}

5. Selisih notasi :

Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B.

A - B = { x | x Î A dan x Ï B }

Gbr. Diagram Venn

daerah yang diarsir menyatakan A - B

6.contoh:A = {1,2,3,4,5}B = {2,4,6,7,10}Maka A - B = {1,3,5}

_7. Komplemen notasi: A', Ac, A

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A.

A' = { x | x Î S dan x Ï A }

Gbr. Diagram Venn

daerah yang diarsir menyatakan A'

8.contoh: S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = {1,2,3,4,5}Maka A' = {6,7,8,9,10}

1. Komutatif A B = B AA B = B A

2. Asosiatif A (B C) = (AB) C

A(BC) = (A B) C

3. Distributif A (B C) = (A B) (A C)

A(B C) = (A B) A C)

4. De Morgan ____ _ _(A B)= A B ____ _ _(A B)= A B

Jika n menyatakan banyaknya anggota himpunan, maka berlaku hubungan :

2 HIMPUNAN ____n(s) = n (AB) + n (A B)

3 HIMPUNAN ________n(S) = n (A B C) + (A B C)

di mana

n (AB) = n (A) + n (B) - n (A B)

di mana

n (A B C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A B) - n (A C) - n (BC) + n (A B C)

Skema Bilangan Matematika Kelas 1 > Himpunan

360

< Sebelum Sesudah >

1. Himpunan bilangan asliHimpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

N = {1,2,3,4,5,6,......}

2. Himpunan bilangan primaHimpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

P = {2,3,5,7,11,13,....}

3. Himpunan bilangan cacahHimpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

4. Himpunan bilangan bulatHimpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

5. Himpunan bilangan rasionalHimpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:p/q dimana p,q bulat dan q 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain

6. Himpunan bilangan irasionalHimpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: log 2, e, 7

7. Himpunan bilangan riilHimpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3

8. Himpunan bilangan imajinerHimpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

contoh: i, 4i, 5i

9. Himpunan bilangan kompleksHimpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.

contoh: 2-3i, 8+2

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0

x variabel; a,b,c konstanta ; a 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.

Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara

1. Memfaktorkan

ax² + bx + c = 0 ax² + bx + c = 0 a (x + p/a) (x + p/a) = 0 x1 = - p/a dan x2 = - q/a

dengan p.q = a.c dan p + q = b

2. Melengkapkan bentuk kuadratpersamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi(x + p)² = q² x + p = ± qx1 = q - p dan x2 = - q - p

3. Rumus ABCax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a

bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehinggasehingga X1,2 = (-b ± D)/2a

4. D > 0

x1 = (-b+D)/2a ; x2 = (-b-D)/2a

PK mempunyai dua akar nyata berbeda

5. D = 0

x1 = x2 = -b/2a

PK mempunyai dua akar nyata yang sama

tt6. D < 0

Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.

syarat akar nyata/ada/riil : D 0

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.

Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:

X1 = (-b+D)/2a dan X2 = (-b-D)/2a

didapat hubungan

X1 + X2 = -b/a X1.X2 = c/a X1 - X2 = D/a

1. Kedua akar nyata berlawanan

Maksudnya : X1 = -X2

syarat : D > 0 X1 + X2 = 0 b = 0

Ket: X1 + X2 = 0 -b/a = 0 b = 0

2. Kedua akar nyata berkebalikan

Maksudnya : X1 = 1/X2

syarat : D 0 X1 . X2 = 1 a = c

Ket: X1 . X2 = 1 c/a = 1 a = c

3. Kedua akar nyata positif

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0

syarat : D 0 X1 + X2 > 0 X1 . X2 > 0

4. Kedua akar nyata negatif

maksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0

syarat: D 0 X1 + X2 < 0 X1 . X2 > 0

5. Kedua akar nyata berlainan tanda

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0

syarat : D > 0 X1 . X2 < 0

Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti

6. Kedua akar rasional

Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk

syarat : D = bentuk kuadrat D = (0,1,4,9,16,25...)

Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda , sehingga X1 dan X2 rasional7. Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan

tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.8. Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau

(X1.X2)

1. X1² + X2² = (X1 + X2)² - 2X1.X2= (-b/a)² + 2(c/a)

2. X1³ + X2³ = (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2)

= (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)

3. X14 + X24 = (X1²+X2²)² -(X1²X2²)

= [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)²

= [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²

4. X1²X2 + X1X2² = X1X2(X1+X2)

= c/a (-b/c)

5. 1/X1 + 1/X2 = (X1+X2)/X1+X2

= (-b/a)/(c/a) = -b/c

6. X1/X2 + X2/X1 = (X1²+X2²)/X1X2

= ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2

7. (X1-X2)² = (X1+X2)² - 4X1X2 atau [D/a]² = D/a²

8. X1² - X1² = (X1+X2)(X1-X2)

= (-b/a)(D/a)

9. 10. Bedakan Istilah11. Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²) 12. dengan13. Kuadrat Jumlah (X1+X2)²

Menyusun Persamaan KuadratMatematika Kelas 1 > Persamaan Kuadrat

366

< Sebelum Sesudah >

KEDUA AKARNYA KUADRAT

Andaikan akar-akarnya X1 dan X2

1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X - X1)(X - X2) = 0

2. Menggunakan sifat akar X² - (X1+X2)X + X1 . X2 = 0

KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI

Andaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX²+bX+c=0 yang diketahui

1. Hubungan tidak beraturan [y1 = f(X1,X2) dan y2 = f(X1,X2)]

Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.

Langkah:

Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing merupakan fungsi dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2) dan (X1 . X2) didapat dari persamaan kuadrat yang diketahui.

Persamaan Kuadrat baru : y² - (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0

2. Hubungan beraturan (hal khusus)

Akar-akar baru Hubungan PK Baru

p lebihnya(X1+p) dan (X2+p)

y = X + p X = y-p

a(y-p)² + b(y-p) + c =0

p kurangnya(X1-p) dan (X2-p)

y = X - p X = y + p

a(y+p)² + b(y+p) + c = 0

p kalipX1 dan pX2

y = pXX = y/p

a(y/p)²+b(y/p)+c=0

kebalikannya1/X1 dan 1/X2

y=1/XX= 1/y

a(y/p)² + b(1/y) + c = 0atau

cy²+by+a = 0

kuadratnyaX1² dan X2²

y = X² X = y

a(y)² + b(y) + c = 0atau

a²y + (2ay-b²)y + c² = 0

Sifat-SifatMatematika Kelas 1 > Pertidaksamaan

367

< Sebelum Sesudah >

Antara dua bilangan a dan b terdapat hubungan :

a > b ; a = b atau a b a - b > 0a = b a - b = 0a 0

3. Ditambah/Dikurangi dengan bilangan yang sama

a 0 a/c < b/c

6.Tanda tetap

7. Dikali/dibagi dengan bilangan negatif yang sama

a bd TANDA BERUBAH d < 0 a/d > b/d

8.9. Pangkat Genap

a > 0 ; b > 0 a² < b² TANDA TETAP a b² TANDA BERUBAH a < b

11.

12. Pangkat Ganjil

a 0 ; b > 0 1/a > 1/b TANDA BERUBAHa 1/b TANDA BERUBAH a Pertidaksamaan

368

< Sebelum Sesudah >

Dipergunakan untuk mengetahui nilai (+/-) suatu fungsi pada interval tertentu.

Batas pada garis bilangan didapat dari harga nol fungsi (angka yang menjadikan fungsi bernilai 0), sehingga fungsi bernilai nol pada batas tersebut, dan bernilai (+/-) pada interval lainnya.

Untuk menentukan nilai (+/-) suatu fungsi dalam suatu interval, langkah pertama adalah mencari nilai nolnya sebagai batas interval pada garis bilangan, kemudian substitusi sembarang bilangan yang mewakili suatu interval.

Untuk memudahkan mengetahui daerah (+/-) biasanya dicek angka 0 atau daerah yang diuji adalah daerah paling kanan (bilangan besar sekali) sehingga tanda (+/-) cukup dengan melihat hasil perkalian/pembagian tanda dari koefisien variabel.

Bila hasil substitusi tersebut bernilai positif maka interval di mana bilangan itu berada adalah juga bernilai positif, bila hasil substitusi tersebut bernilai negatif maka interval di mana bilangan itu berada juga bernilai negatif.

Cara Menentukan Penyelesaian Beberapa Garis BilanganMatematika Kelas 1 > Pertidaksamaan

369

< Sebelum Sesudah >

Andaikan a 0 untuk x < a atau x > b

HAL KHUSUS

Bila koefisien x² adalah (+), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut:

(+) | (-) | (+)

Bila koefisien x² adalah (-), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut :

(-) | (+) | (-)

2. UNTUK BATAS RANGKAP

f(x) = (x - a)² (x - b) f(x) = (x - a) (x - b)²

(-) || - | (+) a b

(-) | - || (+) a b

f(x) < 0 untuk x 0 untuk x > b

f(x) < 0 untuk x < af(x) untuk x > a ; x b

Ket :

bila melewati batas tunggal (rangkap ganjil) maka tanda pada interval berikutnya berubah, bila melewati batas rangkap genap maka tanda pada interval berikutnya tetap.

Jenis-Jenis Pertidaksamaan 370

Matematika Kelas 1 > Pertidaksamaan

< Sebelum Sesudah >

A. PERTIDAKSAMAAN LINIER (PANGKAT SATU)

Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x.

Penyelesaian:Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.

Contoh :

2x - 3 > 5 2x > 5 + 3ijgeiirjirijrigir j 2x > 8gehghhejehh2x > 2

gambar

B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR)

Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar.

Penyelesaian:

Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.(Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau sebaliknya).

Kuadratkan kedua ruasnya.(tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).

Selesaikan pertidaksamaannya ................. (1)syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (0)...(2) (pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)

Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.

Contoh:

1. (x-2) < 2 kuadratkan x - 2 < 4 x < 6 syarat : x - 2 0 x 2

2.(-x + 3) - (2x + 1) > 0

seimbangkan

(-x+3) > (2x+1)

kuadratkan -x + 3 > 2x + 1 3x < 2 x < 2/3

2 x < 6

syarat : -x + 3 0 x 3 dan2x + 1 0 x -1/2

-1/2 x < 2/3

C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (PANGKAT DUA)

Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a 0.

Penyelesaian:

Jadikan ruas kanan = 0 Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran) Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier. Tetapkan nilai-nilai nolnya Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis

bilangan(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).

contoh:

x² + x - 2 > 0(x + 2) (x - 1) > 0

x < -2 atau x > 1

D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.

Penyelesaian:

Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)

Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan. Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat:

penyebut pecahan 0

contoh :

-8 x <1

(2x + 7)/(x - 1) 1(2x + 7)/(x - 1) - 1 0(2x + 7)/(x - 1) - (x - 1)/(x - 1) 0 (x + 8)/(x - 1) 0

syarat : penyebut (x-1) 0 x 1

E. PERTIDAKSAMAAN DERAJAT TINGGI (Derajat > 3)

Penyelesaian:

Terlebih dahulu usahakan disederhanakan. Bila ada bentuk kuadrat yang definit (selalu) bernilai positif ( D < 0 ; a > 0) langsung dapat dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap.Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif ( D < 0 ; a < 0) dapat dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.

Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Dengan catatan, tanda pada garis bilangan akan berubah jika melewati harga nol yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda akan tetap jika melewati harga nol yang rangkap genap.

contoh:

1. (x - 1/2) (x² - 3x - 4) (x² - 6x + 9) < 0(x -1/2) (x - 4) (x - 1) (x - 3)² < 0

x < 1 atau 1/2 < x < 3 atau 3 < x < 4

2. (3x² + x + 2)/(x² + 4x - 12) > 0Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena: D = (1)² - 4(3)(2) = -23 dan a = 3D < 0 dan a > 0Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi

(+)/(X² + 4X - 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X - 2) > 0

X < -6 atau X > 2

F. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Yaitu pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak.

Batasan : |x| = x jika x > 0 0 jika x = 0 -x jika x < 0 keterangan : |x| 0

masalah : menghilangkan tanda mutlak.

Penyelesaian:

Untuk a > 0

xa -a < x < a x > a x < -a atau x > a xa x = a

secara umum:

menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas

atau

|x| < a x² < a² x² - a² < 0 (x-a)(x+a) < 0 -a < x < a

|x| > a x² > a² x² - a² > 0 (x-a)(x+a) > 0 x<-a atau x>a

keterangan:

|x| < -a TM|x| > -a x

|a/b| < c |a| < c|b|

Relasi Matematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

371

< Sebelum Sesudah >

Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:

1. Himpunan A2. Himpunan B3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A

dengan himpunan B.Dimana x bersesuaian dengan a A dengan y bersesuaian dengan b B. Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b Bila tidak demikian maka a R b

B. SEBUAH RELASI DAPAT DINYATAKAN DENGAN:

1. Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)2. Kalimat terbuka P(x,y)3. Diagram cartesius ( diagram A x B )4. Diagram panah

bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:

R = {(a,b) a A; b B; P(a,b) adalah betul}

Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi di dalam A.

contoh :

R = (A,B, P(x,y))A = {2,3,4}B = {3,4,5,6}P(x,y) menyatakan x pembagi y

Himpunan penyelesaian relasi ini adalah

a. Himpunan pasangan berurutan

R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}

b. Diagram cartesius

c. Diagram panah

RELASI INVERS

Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai

R-1 = {(b,a) (a,b) R}

contoh:

A = {1,2,3}; B = {a,b}R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke BR-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

DOMAIN DAN RANGE

Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.

Domain = { a a A, (a,b) R }

Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.

Range = {b b B, (a,b) R}

contoh:

A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}Domain = {2,4}Range = {a,c}

FungsiMatematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

372

< Sebelum Sesudah >

Suatu pemetaan / fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus sedemikian rupa sehingga, setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

ditulis f : A B

1. Himpunan A disebut DOMAIN fungsi, dan himpunan B disebut CODOMAIN fungsi.

2. Bila a A, maka b B yang menyatakan pasangan dari A, disebut image (peta) dari A.

ditulis f(a) = b

3. Kumpulan dari image-image a A di B, membentuk range fungsi.

range = f(A)

Jenis-Jenis Fungsi Matematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

373

< Sebelum Sesudah >

f : A B

ONE ONE (INJEKTIF)Tidak ada dua elemen yang berlainan di A, yang mempunyai pasangan yang sama di B.

ONTO (SURJEKTIF)Semua elemen di B merupakan peta dari elemen-elemen A (Range A = B atau f(A) = B)

ONE-ONE (BIJEKTIF)/KORESPONDENSI 1-1

contoh:

1. Nyatakan diagram di bawah ini, menyatakan fungsi/bukan !A = {a,b,c} dan B = {x,y,z}

bukan bukan fungsi fungsi

2. Nyatakan diagram di bawah ini, menyatakan fungsi atau bukan !

a. y = 3 - x b. y = x² c. y = x

a. Fungsi b. Fungsi c. Fungsi

d. x = y² e. y = sin x f. x² + y² = 25

CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK ADALAH FUNGSI ATAU BUKAN

Tarik sembarang garis lurus sejajar sumbu y. Bila hanya memotong di satu titik pada grafik, maka grafik tersebut merupakan fungsi. Bila tidak demikian maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi.

3. Bila V = {-2,-1,0,1,2}g : V R; R = riilg(x) = x² + 1Tentukan range !!!

Jawab:

Domain = {-2, -1, 0, 1, 2}

Image dari g adalah :g(-2) = 5g(-1) = 2g(0) = 1g(1) = 2g(2) = 5

maka range = {1, 2, 5}4. Tentukan domain dan range dari y = (x - 1)

syarat : (x - 1) 0

Jawab :

D = { x x 1}R = { y y 0}

5. Tentukan range dari f(x) = x² pada domain [1, -4]

Jawab:

Domain : f(x) = x²-1 x 40 x 160 y 16Range : [0, 16]

Komposisi Fungsi Matematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

374

< Sebelum Sesudah >

Anggap f : A B dan g : B C

Didapat fungsi baru (g o f) : A Cyang disebut komposisi fungsi dari f dan g

h = g o f(g o f) (x) = g (f (x))

yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu ket : image f merupakan domain bagi g.

contoh:

1. f:A B; g:B C (g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t (g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r (g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t

2. f: R R ; f(x) = x² g: R R ; g(x) = x + 3 R=riil

maka (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9 (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3

Bila x=2, maka (f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25 (g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7

3. Diketahui [rumus] jika (f o g)(x) = x² Tentukan g(x) ! jawab: [rumus]

SIFAT

Bila f : A B; g : B C ; h : C D

maka

(f o g) (g o f) : tidak komutatif(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif

Fungsi InversMatematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

375

< Sebelum Sesudah >

f : A B

Bila b B, maka invers dari elemen b (dinyatakan dengan f-1 (b)) adalah elemen A yang mempunyai pasangan b, atau

f-1 (b) = {x x A, f(x) = b}

Jika f adalah fungsi dari A B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 :A B jika dan hanya jika f adalah one one onto / bijektif / korespondensi 1-1

ket :

f : y = f(x)

cara mencari fungsi invers

f-1 : x = f(y) nyatakan x dalam yTEOREMAf : A B dan f-1 : B A

f-1 o f : A A : fungsi indentitas di A f f-1 A B A (f-1 o f)

f o f-1 : B B : fungsi identitas di B f-1 f

B A B (f o f-1)

Invers Dari Fungsi KomposisiMatematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

376

< Sebelum Sesudah >

(g o f)-1 (x) = (f-1 o g-1)(x)

contoh:

1. Tentukan diagram fungsi di bawah ini ada inversnya atau tidak

2. Tentukan grafik di bawah ini mempunyai invers/tidak !

CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK

Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers

3. Diketahui f: R Rf(x) = 2x - 3

Tentukan f-1 (x) !

Jawab:

f one one ontosehingga f mempunyai inversmisalkan y = image dari xy = f(x)y = 2x-3 (yang berarti x = f-1(y))x = (y+3)/2f-1(x) = (x+3)/2

4. Diketahui f: A Bf(x) = (x - 2)/(x - 3)dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}}(baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)

Tentukan f-1(x)

Jawab:

y = (x - 2)/(x - 3)y(x - 3) = x - 2yx - 3y = x - 2x(y - 1) = 3y - 2x = (3y - 2)/(y - 1) f-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)

Hal-Hal KhususMatematika Kelas 1 >Relasi Fungsi / Komposisi Fungsi-Fungsi Invers

377

< Sebelum Sesudah >

FUNGSI ASAL FUNGSI INVERS

f(x) = ax+b ; a 0 f-1(x) = (x-b)/a ; a 0f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x -d/c f-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x a/c

f(x) = ax² + bx + c ; a 0 f-1(x) = (-b+(b²-4a(c-x))/2a ; a 0f(x) = a log cx ; a > 0 ; cx>0 f-1(x) = ax/c ; c 0f(x) = acx ; a > 0 f-1(x) = alog x1/c = 1/c alog x ; c0Keterangan : fungsi invers ini ada, jika syarat-syaratnya terpenuhi

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika daerah definisinya dibatasi.

f(x) = x² untuk X > 0 f-1(x) =x untuk X > 0

GradienMatematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus

378

< Sebelum Sesudah >

Tempat kedudukan titik-titik (x,y) sehingga terdapat hubungan linierax + by + c = 0 merupakan suatu garis lurus

Bentuk ax + by +c = 0 (implisit) dapat ditulis dalam bentuk

y = mx + n (eksplisit)

dengan m = -a/b dan n = -c/b ; (b 0)

Ket : nilai m dan n ini mempunyai arti penting dalam menentukan grafik garis lurus.

m disebut koefisien arah (gradien) garis

m = tan , dimana a adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif (berlawanan arah dengan jarum jam)

0° < < 90° tan

90° < < 180° tan n = panjangan potongan terhadap sumbu y dihitung dari pusat sumbu koordinat

Kemungkinan Kedudukan Garis Berdasarkan Nilai m dan nMatematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus

379

< Sebelum Sesudah >

y = mx + n

m > 0 m < 0 m = 0

arah ke kananmembentuk

arah ke kirimembentuk sudut tumpul

sejajar sumbu x

n > 0 n < 0 n = 0

memotong sumbu y di atas memotong sumbu y di bawah melalui (0,0)

Melukis Grafik Garis LurusMatematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus

380

< Sebelum Sesudah >

Cukup dengan menentukan 2 buah titik sembarang yang terletak pada grafik tersebut, kemudian dihubungkan (biasanya kedua titik ini adalah titik-titik potong dengan masing-masing sumbu).

contoh:

Gambarkan grafik 2x + 3y - 6 = 0

1. Titik potong dengan sumbu x y = 0 ; 2x + 3(0) - 6 = 0 x = 3 (3,0)

2. Titik potong dengan sumby y x = 0 ; 2(0) + 3y - 6 = 0 y = 2 (0,2)

Ket: Untuk mengetahui apakah suatu titik terletak pada suatu garis adalah dengan cara mensubstitusi koordinat titik tersebut ke persamaan garis. Bila memenuhi

persamaan berarti titik tersebut terletak pada garis. Dengan perkataan lain bila suatu titik terletak pada suatu garis, maka koordinat titik tersebut memenuhi persamaan garis (dapat menggantikan variabelnya yang bersesuaian).

Kedudukan Dua Buah GarisMatematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus

381

< Sebelum Sesudah >

Kedudukan 2 buah garis ditentukan oleh kemungkinan sudut yang dibentuk oleh dua garis tersebut.

g1 : y = m1x + n1 m1 = tan g2 : y = mx2 + n2 m2 = tan

: sudut yang dibentuk kedua garis = (- )

dengan menggunakan rumus tangens, didapat :tan q = |(m1-m2)/(1+m1m2)|

Ket :

Sudut yang dibentuk antara dua buah garis yang berpotongan, selalu dimaksudkan sebagai sudut lancip antara kedua garis tersebut. Karena tangens harus bernilai positif (sudut lancip) maka rumusnya menggunakan tanda mutlak.

Dari rumus di atas dapat ditentukan bahwa kedua garis akan :

Kedudukan Garis Bentuk Eksplisity = m1x + n1y = m2x + n2

Bentuk Implisitax + by + c = 0px + qy + r = 0

Berpotongan m1 m2 a/p b/q

Sejajar m1 = m2 dan n1 n2 a/p = b/q c/r

Tegak lurus m1.m2 = -1(ap/bq) = -1

Berimpit m1= m2 dan n1=n2 a/p = b/q = c/r

Bentuk-Bentuk Persamaan GarisMatematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus

382

< Sebelum Sesudah >

1.Bentuk umum ax + by + c = 0 atau y = mx + n 2. Persamaan sumbu x y = 0 3. Persamaan sumbu y x = 0 4. Sejajar sumbu x y = k5. Sejajar sumbu y x = k

6. Melalui titik asal dengan gradien m y = mx

7. Melalui titik (x1,y1) dengan gradien m y -y1 = m (x - x1)

8. Melalui potongan dengan sumbu di titik (a,0) dan (0,b) bx + ay = ab

9. Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1) y-y1 = ((y2-y1)/(x2-x1))(x-x1)

ket :

Persamaan (9) didapat dari persamaan (7) dengan mengganti m=(y2-y1)/(x2-x1)Garis ini mempunyai gradien m = (y2-y1)/(x2-x1)

Jarak Dua Buah Titik, Koordinat Titik Tengah, dan Jarak Titik Ke GarisMatematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus

383

< Sebelum Sesudah >

Jarak Dua Buah TitikJarak antara titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2)

AB =((x1-x2)²+(y1-y2)²)

Koordinat Titik TengahKoordinat titik tengah antara titik A(x1,y2) dan titik B(x2,y2)XT = (x1+x2)/2YT = (y1+y2)/2Jarak Titik Ke GarisJarak titik A(x1,y1) ke garisg : ax + by + c = 0

d = |(ax1+by1+c)/(a²+b²)|

Ket :

Untuk menentukan jarak antara dua buah garis sejajar, pertama tentukan sembarang titik yang terletak pada salah satu garis, kemudian nyatakan jarak titik ini ke garis yang lain.

Atau gunakan rumus jadi :

Jarak dua garis sejajar ax + by + c1 = 0 dan ax + by +c2 = 0 adalah

d = |(c1-c2)/(a²+b²)|

Penggunaan :

Luas segitiga = ½ (alas X tinggi)(alas = jarak 2 titik; tinggi = jarak titik ke garis

Luas bujur sangkar = sisi X sisi(sisi = jarak 2 titik atau jarak titik ke garis

Luas Trapesium = ½ (jumlah sisi sejajar X tinggi)(sisi sejajar = jarak 2 titik; tinggi = jarak titik ke garis)

Istilah-Istilah Garis Dalam SegitigaMatematika Kelas 1 >Gradien dan Persamaan Garis Lurus

384

< Sebelum Sesudah >

Garis Bagi Garis yang ditarik dari suatu titik sudut dan membagi sudutnya menjadi 2 bagian sama besar

Garis tinggi Garis yang ditarik dari suatu titik sudut dan tegak lurus sisi dihadapannyaGaris berat Garis yang ditarik dari suatu titik sudut dan membagi sisi dihadapannya

menjadi dua bagian sama besar

Garis Sumbu Garis yang membagi suatu sisi menjadi dua bagian sama besar dan tegak lurus pada sisi itu.

PERGESERAN GRAFIK

Fungsi asal y = f(x)

Geser a satuan Fungsi Baru

Kekanan y = f(x-a)

Kekiri y = f(x+a)

Keatas (y-a) = f(x) y = f(x) + a

Kebawah (y+a) = f(x) y = f(x) -a

Ket : rumusan pergeseran ini berlaku untuk sembarang grafik, seperti : garis lurus, parabola, lingkaran dsb.

contoh : garis melalui (0,0) y = mx Parabola berpuncak di (0,0) y = x²

garis melalui (x1, y1) y-y1 = m(x-x1)Parabola berpuncak di (xp,yp) y-yp = a(x-xp)²y = a(x-xp)² + yp

Dasar MatematisMatematika Kelas 1 >Program Linier

385

< Sebelum Sesudah >

PROGRAM LINIER adalah suatu teknik optimalisasi dimana variabel-variabelnya linier. Metode ini dipakai pada saat kita dihadapkan pada beberapa pilihan dengan batasan-batasan tertentu, sedangkan di lain pihak kita menghendaki keputusan yang optimum (maksimum/minimum).

DASAR MATEMATIS

Persamaan linier ax + by = c (x,y variabel ; a,b,c konstanta) membagi bidang atas 3 bagian :1. Titik-titik yang memenuhi persamaan ax + by = c2. Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by < c3. Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by > c

Ket : grafik ax + by = c merupakan garis lurus yang berfungsi sebagai garis batas Titik-titik yang memenuhi ax + by > c atau ax + by < c merupakan suatu daerah.

contoh :

1. Gambarkan tempat kedudukan (daerah) 2x-3y -6 Langkah :-gambarkan terlebih dahulu garis 2x- 3y = -6-titik potong dengan sumbu x y = 0 dan x = -3 (-3,0)-titik potong dengan sumbu y x =0 dan y = 2 (0,2) Hubungkan kedua titik potong tersebut

pilih sembarang titik yang tidak terletak pada garis, misalkan titik (0,0) Kemudian uji apakah titik tersebut memenuhi syarat 2x - 3y = 2(0) - 3(0) = 0 < -6 (salah) Ternyata tidak memenuhi syarat . Berarti titik -titik yang memenuhi syarat (yang dimaksud) adalah di pihak lain dari titik (0,0) berada (seperti terlihat pada gambar berikut)

Ket :

1. daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian atau menggunakan tanda anak panah (persetujuan)

2. bila pertidaksamaan berbentuk 2x - 3y < -6 (tanpa =), maka garis 2x - 3y = -6 dibuat putus-putus, untuk menunjukkan bahwa titik titik pada garis bukan merupakan daerah penyelesaian.

2. Gambarkan daerah yang memenuhi :x + 3y 123x + y 12x 0 ; y 0

Langkah : gambarkan garis x + 3y = 12 dan tentukan daerah x + 3y 12...(1) gambarkan garis 3x + y = 12 dan tentukan daerah 3x + y 12...(2) syarat x 0 ; y 0 menunjukkan bahwa daerah yang dimaksud terletak di kuadran I (x dan y positif)

penyelesaiannya adalah daerah yang memenuhi keempat syarat di atas (merupakan irisan dari penyelesaian persyaratan diatas).

daerah yang memenuhi adalah daerah yang diarsir

Poligonal dan Titik EkstrimMatematika Kelas 1 > Program Linier

386

< Sebelum Sesudah >

POLIGONAL DAN TITIK EKSTRIM

Irisan dari sejumlah berhingga penyelesaian pertidaksamaan, membentuk suatu Poligonal.Titik P disebut Titik Ekstrim dari poligonal, jika P adalah titik potong garis garis yang membatasi poligonal tersebut.

Contoh :

Gambarkan TK x + 2y 4 (1) x - y 4 (2) x 1 (3) y -1 (4)

Langkah: Gambarkan terlebih dahulu keempat garis batasnya dan masing- masing tentukan daerahnya.Cari irisannya yang merupakan suatu poligonal.Terakhir cari koordinat titik ekstrim poligonal tersebut.

- A adalah titik potong antara garis x = 1 dan y = -1

- B adalah titik potong antara garis y = -1 dan garis x-y =4

- C adalah titik potong antara garis x + 2y = 4 dan garis x-y=4 C (4, 0)

- D adalah titik potong antara x = 1 dan x + 2y = 4. D (1, 3/2i )

Terbentuk poligonal ABCD dengan 4 titik ekstrimnya, yaitu : A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4 , 0) ; D(1,3/2)

Fungsi Linier Pada PoligonalMatematika Kelas 1 > Program Linier

387

< Sebelum Sesudah >

Kita bermaksud mencari nilai (khususnya maksimum/minimum) suatu fungsi Linier f (x, y) = px + qy dimana (x,y)', memenuhi syarat-syarat sebagai berikut

ax + by cdx + ey fpx + qy r

Hal di atas sama saja dengan mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi linier suatu poligonal.

DALIL

Jika f adalah suatu fungsi linier yang didefinisikan di atas suatu poligonal terbatas, maka nilai maksimum / minimumnya dicapai pada titik ekstrimnya (atau di sekitar titik ekstrimnya).

Contoh :

Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sydengan syarat : x + 2y 4

x- y 4 x 1 y -1

Langkah : Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya. Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalah A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 )Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnya

f(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2

Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai- Nilai maksimum = 9 1/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2). - Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).

Model Matematika Matematika Kelas 1 > Program Linier

388

< Sebelum Sesudah >

Masalah Program linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Keterbatasan dan optimalisasi ini harus dibentuk dahulu model matematikanya ;yang secara garis besar dibagi 2 bagian :- constraint ( Persyaratan )- objective Function (Fungsi Tujuan / Sasaran)

Langkah- Tentukan variabelnya (x=... ; y = ....)- Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan- Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya- Tentukan titik esktrim daerah tersebut- Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan- Bandingkan nilai yang didapat- Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum)

contoh :

MASALAH MAKSIMUM

1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan 150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan 75 gr tepung dan 75 gr mentega. Tepung yang tersedia ada 2250 gr dan mentega yang tersedia ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00 dan kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum

yang mungkin diperoleh pedagang itu ?

Tabel

Kue A Kue B Tersedia

TepungMentega

15050

7575

22501750

KEUNTUNGAN 100 125

Misalkan banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat y buah, maka persoalan menjadi :

Maksimumkan : f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan)

dengan syarat (ds): 150x + 75y 2250 2x + y 30 ...(1) 50 x + 75y 1750 2x + 3y 70 ...(2) x,y 0 catatan : bentuk persyaratan

Titik Ekstrim

A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20)f(x,y) = 100x + 125yf(A) = 100(0) + 125(23) = 2875(dalam hal ini roti tidak pecahan)f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000

Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu dengan membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.

2. Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m, sutera 11 m dan wool 15 m. Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m wool per unit. Model pakaian II membutuhkan 1 m katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntungan pakaian model I Rp 3.000,00 dan model pakaian II Rp 5.000,00 per unit. Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar didapat keuntungan yang sebesar-besarnya ?

Tabel

Model I Model II Tersedia

KatunSutera Wool

21 1

123

161115

KEUNTUNGAN 3000 5000

Misalkan : Banyaknya model I yang dibuat = x model II yang dibuat = y

Maksimumkan f (x,y) = 3000x + 5000y

ds : 2x + y 16 (1) x + 2y 11 (2) x + 3y 15 (3) x;y 0

Titik Ekstrim

A(8,0) TP antara garis (1) dengan sb-x B(7,2) TP antara garis (1) dengan (2) C(3,4) TP antara garis (2) dengan (3) D(0,5) TP antara garis (3) dengan sb-y

f (x,y) = 3000x + 5000y

f(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000 f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000 f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000 f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000

Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000; yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah model pakaian II.

MASALAH MINIMUM

3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein , 24 unit

karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut-turut 4, 12 dan 2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar kebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1 kg makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganya Rp 800,00 ?

Tabel

A B Kebutuhan

ProteinKarbohidratLemak

412 2

226

162415

HARGA 1700 800

Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg Banyaknya makanan B yang dibeli adalah y kg

Minimumkan f (xy) = 1700x + 800yds : 4x + 2y 16 2x + y 8 (1) 12x + 2y 24 6x + y 12 (2 2x + 6y 18 x + 3y 9 (3) (Catatan : Bentuk persyaratan )

Titik Ekstrim

A (0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y. B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2). C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3). D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y.

f (x,y) = 1700x + 800y

f(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600 f(B) = f(1, 6) = 1700 (1) + 800( 6 ) = 6500 f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700 f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300

Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B.

Garis Selidik Matematika Kelas 1 > Program Linier

389

< Sebelum Sesudah >

Untuk menentukan nilai maksimum / minimum dari suatu fungsi dengan syarat tertentu dapat juga dicari tanpa menguji nilai fungsi dari titik-titik ekstrimnya. Cara lain ini adalah dengan menggunakan Garis Selidik. Garis Selidik yang dimaksud adalah garis yang merupakan fungsi objektifnya.

Andaikan fungsi objektifnya f(x,y) = ax + by

Garis Selidik ax + by = k

Untuk suatu (x,y) tertentu, k adalah nilai dari fungsi objektif tersebut.Kemungkinan-kemungkinan

1) k=0 ax +by=0 Garis melalui titik pangkal (0,0) memberikan nilai minimum = 0.

2)Garis tersebut digeser sejajar ke kanan (masalah maksimum) / ke kiri (masalah minimum) sehingga menyentuh titik ekstrim terakhir dari poligon yang terbentuk. Pada titik itulah, nilai maksimum / minimum dari fungsi didapat.

contoh :

Maksimumkan f(x,y) = x + 2y

ds : x + 3y 9...(1) 2x + y 8...(2) x ; y 0

Garis putus-putus menunjukkan garis selidik x + 2y = 0 yang bergeser ke kanan dan

terakhir mencapai titik ekstrim E.

Maksimum dicapai pada titik E, yaitu f(E) = f(3,2) = 1(3) + 2(2) = 7

Keterangan :Cara ini baik dilakukan, bila poligonal yang terbentuk banyak terdapat titik ekstrimnya. Tetapi diperlukan ketelitian pada saat menggeser garis fungsi tujuan, terutama jika terdapat titik-titik ekstrim yang saling berdekatan.

Nilai Ekstrim Matematika Kelas 1 >Fungsi Kuadrat

390

< Sebelum Sesudah >

BENTUK UMUM

y = f(x) = ax2 + bx + c

x variabel bebas; y variabel tak bebas; a,b,c konstanta ; a 0

NILAI EKSTRIM

Bentuk y = ax² + bx + c dapat ditulis menjadi y = a(x+b/2a)² - D/4a

Dapat disimpulkan : y ekstrim = -D/4a yang dicapai bila x = -b/2a

Dapat disimpulkan :

y = a(x - x ekstrim)² + y ekstrim

Ket: : Fungsi kuadrat mempunyai nilai ekstrim, maksimum atau minimum tergantung dari nilai a.

Tanda dari a

a Parabola Terbuka Grafik

a > 0Ke atasMempunyai nilai minimum

a < 0Ke bawahMempunyai nilai maksimum

GRAFIK

Grafik fungsi kuadrat adalah sebuah PARABOLA.Untuk melukiskannya harus diperhatikan

1) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-X

y=O ax²+ bx + c = 0 (bentuk Persamaan Kuadrat)

KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN

Diskriminan PK Akar PK Titik Potong Dengan Sumbu x Grafik

D > 0 2 akar berlainan 2 titik potong

D = 0 akar kembar 1 titik potong (titik singgung)

D < 0 tidak ada akar Tidak ada titik potong

2) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-Y

x=0 y=c (0, c)


c > 0 c < 0 c = 0

memotong sumbu y di atas memotong sumbu y di bawah melalui titik (0,0)

3. SUMBU SIMETRI

(Garis sejajar sumbu-y yang menjadikan parabola simetris).

Persamaan sumbu simetri x = -b/2a

Ket. : Dari sumbu simetri ini dapat ditentukan tanda dari b.

4. TITIK PUNCAK

Puncak (-b/2a , -D/4a)

5. UNTUK MELENGKAPI GRAFIK, DIAMBIL BEBERAPA NILAI X DAN Y SECUKUPNYA

KOMBINASI TANDA a dan D

a>0 a<0

Ket :Untuk D < 0 dan a > 0 Grafik selalu berada di atas sumbu x.(fungsi selalu bernilai positip / DEFINIT POSITIF).

Untuk D < 0 dan a < 0 Grafik selalu berada di bawah sumbu x.(fungsi selalu bernilai negatip l DEFINIT NEGATIP).

Menentukan Fungsi KuadratMatematika Kelas 1 >Fungsi Kuadrat

391

< Sebelum Sesudah >

Pada umumnya grafik suatu fungsi kuadrat y = ax² + bx + c akan tertentu jika diketahui 3 titik yang dilaluinya. Hal khusus jika melalui titik puncak, cukup diketahui melalui 2 titik saja.

diketahui melalui misalkan fungsi

1)Tiga titik sembarang (x1,y1) ; (x2,y2) dan (x3,y3) y = ax² + bx + c(a = ? ; b=? ; c = ?)

2) Titik potong dengan sumbu x y = a (x - x1) (x - X2)

(x1,0) ; (x2,0) serta sebuah titik sembarang (x3,y3) ( a = ? )

3) Titik Puncak (xp, yp)dan sebuah titik sembarang (X2,Y2)

Y = a (x - xp)² + yp( a = ? )

Ket:Dengan mensubstitusi titik-titik yang dilalui dan menyelesaikan persamaannya maka nilai a, b dan c yang dibutuhkan dapat dicari, sehingga fungsi kuadrat yang dimaksud dapat ditentukan.

Garis Lurus dan ParabolaMatematika Kelas 1 > Fungsi Kuadrat

392

< Sebelum Sesudah >

Misalkan : Garis lurus : y = mx + n ...(1) Parabola : y = ax² + bx + c ... (2)

Koordinat titik potong garis lurus dan parabola di atas merupakan nilai x dan y yang memenuhi persamaan (1) dan (2).

Didapat : mx + n = ax² + bx + c ax² + (b - m)x + ( c - n ) = 0 merupakan Persamaan Kuadrat dalam x.


Diskriminan Akar PK Garis dan Parabola

D > 0 2 akar berlainan

Berpotongan di 2 titik

D = 0 Akar kembar bersinggungan

D < 0Tidak ada akar riil Tidak ada titik potong

Penggunaan Differensial Matematika Kelas 1 > Fungsi Kuadrat

393

< Sebelum Sesudah >

Untuk menentukan koefisien arah garis singgung (gradien) di titik (x1,y1) pada grafik y = f (x)

m= f'(x1)

f'(x1) berarti nilai turunan f(x) pada titik dengan absis x = x1

Persamaan garis singgung y - f(x1) = f '(x1) (x - x1)

Keterangan : Untuk titik yang tidak terletak pada parabola.

Ada dua persamaan garis singgung

Bila titiknya tidak terletak pada parabola, maka gradiennya dimisalkan dengan m dan persamaan garisnya : y - y1 = m (x - x1 ) disinggungkan dengan parabola y = aX² + bx + c dengan syarat D = 0

kls1 himpunan

Documents