a. pengertian dan notasi himpunan 1. pengertian himpunan · c. dengan notasi pembentuk himpunan...

Click here to load reader

Post on 13-Nov-2020

6 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 1

    A. Pengertian dan Notasi Himpunan 1. Pengertian Himpunan

    Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam

    matematika dikenal sebagai istilah himpunan. Konsep tentang himpunan

    pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan

    Jerman, yaitu George Cantor yang hidup antara tahun 1845–1918.

    Himpunan adalah kumpulan benda–benda yang didefinisikan dengan

    jelas. Yang dimaksud didefinisikan dengan jelas adalah dapat ditentukan

    dengan tegas benda apa saja yang termasuk dan tidak termasuk dalam suatu

    himpunan yang diketahui. Benda–benda yang termasuk dalam suatu

    himpunan disebut anggota, elemen, atau unsur dari suatu himpunan. Untuk

    selanjutnya dipergunakan istilah anggota atau elemen. Berdasarkan definisi

    himpunan di atas, maka suatu kumpulan atau kelompok benda belum tentu

    merupakan suatu himpunan.

    a. Kelompok atau kumpulan yang merupakan suatu himpunan 1) Kelompok siswa di kelasmu yang berkacamata.

    Yang merupakan anggota adalah siswa di kelasmu yang berkacamata.

    Yang bukan anggota adalah siswa di kelasmu yang tidak berkacamata.

    2) Kumpulan hewan berkaki empat.

    Yang merupakan anggota, misalnya: kerbau, kuda, sapi.

    Yang bukan anggota, misalnya: ayam, itik.

    3) Kumpulan bilangan yang merupakan faktor dari 12.

    Yang merupakan anggota adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.

    Yang bukan anggota, misalnya: 5, 7, 8, 9, 10, 11.

    Jadi, contoh 1, 2, dan 3 merupakan himpunan, sebab dapat

    disebutkan dengan tegas benda yang merupakan anggota dan yang bukan

    anggota kelompok tersebut.

  • 2

    b. Kelompok atau kumpulan yang bukan merupakan suatu himpunan 1) Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.

    Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.

    2) Kumpulan lukisan indah.

    Pengertian indah tidak jelas batasannya harus seperti apa indahnya.

    Oleh karena batasan untuk contoh di atas tidak jelas, maka contoh

    1 dan 2 diatas bukan merupakan himpunan. Jadi, dalam matematika kita

    tidak dapat menyebutkan dengan batasan yang tidak jelas, misalnya:

    1) Himpunan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.

    2) Himpunan lukisan yang indah.

    Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda

    kurung kurawal dan biasanya diberi nama dengan menggunakan huruf

    kapital, misalnya A, B, C, D, dan seterusnya sampai Z. Jika ada dua atau

    lebih himpunan yang berbeda, maka nama himpunan–himpunan itu juga

    harus berbeda.

    2. Menyatakan Suatu Himpunan a. Dengan kata–kata atau menyebutkan syarat-syarat keanggotaan

    Menyatakan himpunan dengan kata–kata sangat bermanfaat untuk

    himpunan yang memiliki anggota sangat banyak dan tak beraturan,

    sehingga kita akan mengalami kesulitan bila anggota–anggotanya ditulis

    satu demi satu. Contoh:

    1) A adalah himpunan nama gunung di Pulau Jawa.

    A = {nama gunung di Pulau Jawa}

    2) B adalah bilangan yang kurang dari 11.

    B = {bilangan ganjil kurang dari 11}

    b. Dengan menyebutkan atau mendaftar anggotanya Anggota himpunan dituliskan dalam kurung kurawal dan

    dipisahkan dengan tanda koma. Pada penulisan himpunan dengan cara

    mendaftar anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis, maka urutan

    penulisan boleh diabaikan. Contoh:

  • 3

    1) Untuk himpunan yang anggotanya terbatas dan sedikit.

    A = {jerapah, gajah, macan, zebra}

    B = {pensil, penggaris, jangka, busur}

    2) Untuk himpunan yang anggotanya terbatas dan banyak.

    Anggota–anggota boleh tidak didaftar semua, hanya beberapa

    saja dilanjutkan dengan titik tiga (artinya: “dan seterusnya”),

    kemudian dituliskan batas akhir.

    C = {Surabaya, Jawa, Madura, Bali, Lombok,…, Papua}

    D = {1, 3, 5, 7, 9, 11,…, 99}

    3) Untuk himpunan yang anggotanya tak terbatas.

    Anggotanya didaftar beberapa saja (paling sedikit empat saja)

    dan dilanjutkan dengan titik tiga (artinya: “dan seterusnya”)

    E = {2, 3, 5, 7,…}

    F = {1, 10, 100, 1000,…}

    Himpunan E = {2, 3, 5, 7,…} dan F = {1, 10, 100, 1000,…}

    memiliki banyak anggota yang tak terbatas karena tidak diketahui berapa

    bilangan terakhir. Oleh karena itu, himpunan E dan F yang memiliki

    anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

    Himpunan seperti D = {1, 3, 5, 7, 9, 11,…, 99} memiliki banyak

    anggota yang terbatas karena bilangan awal dan bilangan terakhir

    diketahui, yaitu 1 dan 99. Oleh karena itu, himpunan D yang memiliki

    banyak anggota terbatas disebut himpunan berhingga.

    Walaupun suatu himpunan lebih mudah atau lebih singkat bila

    dinyatakan dalam salah satu cara diatas, namun hampir semua himpunan

    pula dinyatakan dalam ketiga cara tersebut.

    c. Dengan notasi pembentuk himpunan Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan

    adalah menyatakan suatu himpunan hanya dengan syarat keanggotaan

    himpunan.

    1) Benda atau objeknya dilambangkan dengan sebuah peubah.

    Contoh: a, b, c,…, z

  • 4

    2) Menuliskan syarat keanggotaannya dibelakang tanda”|”.

    Contoh: A = {x|x

  • 5

    Karena rambutan termasuk dalam himpunan B, maka rambutan anggota

    himpunan B.

    Dalam suatu himpunan, masing–masing anggota berbeda dengan

    anggota lainnya.

    a. Menyatakan anggota suatu himpunan Untuk menyatakan suatu benda yang merupakan anggota suatu

    himpunan digunakan lambang . Sedangkan untuk menyatakan bahwa

    suatu benda bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang .

    Contoh: Bila A = {s, i, w, a}, maka:

    s anggota P, ditulis s P.

    w anggota P, ditulis w P.

    m bukan anggota P, ditulis m P.

    b. Menyatakan banyak anggota suatu himpunan Banyak anggota himpunan A dapat dinyatakan dengan notasi

    n(A). Jadi, notasi n(R) artinya banyak anggota pada himpunan R.

    Contoh: P = {s, i, w, a}

    Banyak anggota himpunan P adalah 4 buah.

    Ditulis: n(P)=4

    4. Mengenal Beberapa Himpunan Bilangan Dalam himpunan bilangan, terdapat beberapa macam himpunan

    diantaranya:

    a. Himpunan bilangan asli Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf “A”.

    A = {1, 2, 3, 4,…}

    b. Himpunan bilangan bulat Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf “B”.

    B = {…., -2, -1, 0, 1, 2,…}

    c. Himpunan bilangan cacah Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan huruf “C”.

    C = {0, 1, 2, 3,…}

  • 6

    d. Himpunan bilangan cacah genap Himpunan bilangan cacah genap dilambangkan dengan huruf “G”.

    G = {0, 2, 4, 6, 8,…}

    e. Himpunan bilangan cacah kuadrat {0, 1, 4, 9, 16,…}

    f. Himpunan bilangan ganjil Himpunan bilangan ganjil dilambangkan dengan huruf “J”.

    J = {1, 3, 5, 7, 9,…}

    g. Himpunan bilangan komposit (tersusun) Himpunan bilangan komposit (tersusun) dilambangkan dengan

    huruf “T”. Bilangan komposit adalah bilangan cacah yang mempunyai

    lebih dari 2 faktor.

    T = {4, 6, 8, 9, 10,…}

    h. Himpunan bilangan prima Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan huruf “P”.

    Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor, atau

    bilangan yang hanya habis dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri, kecuali

    0 dan 1.

    P = {2, 3, 5, 7, …}

    A. Jenis-Jenis Himpunan Ditinjau dari jumlah anggotanya, ada tiga jenis himpunan

    1. Himpunan tak berhingga Suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga apabila banyak

    anggotanya tak berhingga/tak dapat dihitung.

    Contoh: A = {1, 3, 5, 7,…}; n(A) tak berhingga, atau n(A) = .

    A disebut himpunan tak berhingga.

    2. Himpunan berhingga Suatu himpunan disebut himpunan berhingga apabila jumlah

    anggotanya terbatas.

  • 7

    Contoh: B = {1, 3, 5, 7, 9}; n(B) = 5.

    B disebut himpunan berhingga.

    3. Himpunan kosong Suatu himpunan disebut himpunan kosong apabila himpunan itu

    tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan notasi {}

    atau .

    Contoh: C = {bilangan prima antara 7 dan 9}

    Tidak ada bilangan prima antara 7 dan 9, sehingga n(C) = 0.

    C disebut himpunan kosong.

    Jika A merupakan himpunan kosong, maka A tidak memiliki

    anggota, jadi n(A) = 0.

    Nol disini menunjukkan jumlah anggota A tidak ada. Hal ini berbeda

    dengan B = {0} yang menunjukkan bahwa B memiliki anggota, yaitu 0.

    Jadi, B bukan himpunan kosong karena n(B) = 1.

    Selanjutnya adalah jenis lain dari himpunan:

    1. Himpunan bagian Untuk memahami pengertian himpunan bagian, perhatikan

    himpunan–himpunan berikut ini!

    A = {a, b, c}

    B = {a, b, c, d, e}

    Dari kedua himpunan tersebut, ternyata setiap anggota A, yaitu a, b,

    c menjadi anggota B.

    Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, bila setiap

    anggota A menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A B.

    Setiap himpunan adalah bagian dari dirinya sendiri. A A, B B, ….

    {} adalah bagian dari setiap himpunan. {} {}, {} A, {} B, ….

    Menentukan banyak himpunan bagian

    Banyaknya himpunan bagian dari himpunan yang mempunyai n

    elemen adalah 2n.

  • 8

    Contoh:

    Dari himpunan P = {1, 2, 3}, kita dapat membentuk himpunan bagian–

    himpunan bagiannya, yaitu:

    {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} dan {1, 2, 3}

    Banyaknya himpunan bagian dari P adalah 8 = 23, dimana 3 adalah

    banyaknya himpunan anggota P.

    2. Himpunan Semesta Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota

    himpunan yang dibicarakan. Lambang himpunan semesta adalah S.

    Contoh :

    Bila A = {8,12,16,20} maka beberapa semesta pembicaraan yang mungkin

    untuk A adalah :

    1) S = {bilangan asli}

    2) S = {bilangan cacah}

    3) S = {bilangan kelipatan 2}

    4) S = {bilangan kelipatan 4}

    B. Diagram Venn Untuk mempermudah dalam mempelajari himpunan, John Venn seorang

    ahli matematika dari Inggris (1834–1923), memperkenalkan cara menyatakan

    himpunan dengan diagram. Diagram tersebut dinamakan diagram venn.

    1. Menyatakan Diagram Venn a. Semesta pembicaraan dari himpunan itu digambarkan dengan persegi

    panjang dan pada pojok kiri atas ditulis huruf U atau S.

    b. Setiap anggota digambarkan dengan noktah (titik) didalam kurva, dan

    nama anggotanya dituliskan berdekatan dengan noktahnya.

    Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

  • 9

    Diagram venn dari himpunan S ditunjukkan sebagai berikut:

    c. Himpunan digambarkan dengan kurva tertutup sederhana.

    Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

    A = {2, 4, 6, 8}

    Karena semua anggota himpunan A termuat didalam himpunan S, maka

    himpunan A terdapat didalam himpunan S.

    Diagram venn dari himpunan tersebut ditunjukkan sebagai berikut:

    d. Dalam menggambar himpunan–himpunan yang mempunyai anggota

    sangat banyak, pada diagram venn-nya tidak menggunakan noktah.

    Misal: S = {siswa di sekolahmu}

    D = {siswa di kelasmu}

    Diagram venn dari himpunan tersebut ditunjukkan sebagai berikut:

  • 10

    2. Contoh a. Jika diketahui semesta pembicaraanya adalah S = {0, 1, 2, 3, …, 10} dan

    himpunan A = {0, 1, 4, 9}, maka diagram venn yang menunjukkan

    himpunan–himpunan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.

    b. Diketahui S = {0, 1, 2, 3, …, 10}, A = {2, 3, 5, 7}, dan B = {1, 3, 5, 7,

    9}. Diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan tersebut

    ditunjukkan pada gambar berikut.

    c. Diketahui S = {0, 1, 2, 3, …, 10}, A = {1, 2, 3}, dan B = {1, 2, 3, 4, 5}.

    Diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan tersebut

    ditunjukkan pada gambar berikut.

  • 11

    d. Jika diketahui S = {1, 2, 3, …, 100}, n(S) = 100, A = {11, 12, 13,…, 30},

    maka n (A) = 20. Diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan

    tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.

    e. Diketahui n(A) = 18 + 13 = 31, n(B) = 25 + 13 = 38,

    n(S) = 18 + 13 + 25 + 9 = 65. Diagram venn yang menunjukkan

    himpunan–himpunan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.

    C. Operasi Himpunan Dalam himpunan dikenal beberapa operasi himpunan, antara lain irisan

    atau interseksi, gabungan atau union, selisih dua himpunan (difference), dan

    komplemen.

    1. Irisan atau Interseksi Perhatikan gambar diagram Venn dibawah ini!

  • 12

    Tampak bahwa:

    A= {2,3,5,7} dan B={1,5,3,7,9}

    Daerah arsiran menunjukkan daerah anggota–anggota yang menjadi

    anggota A juga menjadi anggota B, sehingga dibentuk sebuah himpunan

    baru yang beranggotakan semua anggota yang terletak pada daerah arsiran,

    yaitu {3,5,7}. Himpunan baru ini disebut irisan A dan B, ditulis “A B“.

    Jadi, A B = {3,5,7}.

    A irisan B (A B) adalah himpunan semua anggota yang

    merupakan anggota A dan juga anggota B. Dengan notasi pembentuk

    himpunan 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵}.

    Contoh:

    Jika A = {0, 1, 3, 6, 10} dan B = {0, 1, 4, 9} maka (A B) = {0, 1}.

    2. Gabungan atau Union Perhatikan diagram venn di bawah ini!

    Tampak bahwa A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dan B={2, 4, 6, 8, 10}.

    Daerah yang diarsis memuat semua anggota A atau semua anggota B

    ataupun semua anggota A dan B. Daerah arsiran menunjukkan gabungan A

    dan B, ditulis “A B”. Jadi, A B = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

    A gabungan B (A B) adalah himpunan semua anggota yang

    merupakan anggota A atau anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan

    𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}.

    Contoh :

    Jika A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 5, 7} maka A B = {1, 2, 3, 5, 7}.

  • 13

    3. Selisih Dua Himpunan (Difference) Dari himpunan A dan B kita dapat membentuk himpunan baru yang

    terdiri dari anggota–anggota A yang bukan anggota B. Himpunan A

    dikurang himpunan B ditulis A – B.

    Selisih A dan B (A – B) adalah himpunan semua anggota A tetapi

    bukan Anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan:

    𝐴 – 𝐵 = {𝑥|𝑥 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 𝐵}

    Contoh:

    a. Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {1, 3, 5, 7, 9} maka, A – B = {2, 4} dan

    B – A = {7, 9}. Dalam diagram venn akan menjadi lebih jelas.

    Perhatikan gambar diagram berikut.

    A – B ditunjukkan dengan daerah yang diarsir.

    b. P = {1, 2} dan Q = {1, 2, 3, 4}

    P – Q = Q – P = {3, 4}

    (Tidak ada daerah yang diarsir) (Ditunjukkan dengan daerah diarsir)

  • 14

    c. M = {1, 3, 5} dan N = {2, 4, 6}

    M – N = M N – M = N

    Ditunjukkan dengan daerah Ditunjukkan dengan daerah

    yang diarsir yang diarsir

    4. Komplemen Perhatikan diagram venn di bawah ini!

    Bagian yang diarsir pada gambar menunjukkan daerah komplemen

    dari himpunan A. Komplemen dapat dituliskan dengan notasi 𝐴′ atau 𝐴𝑐.

    Dalam makalah ini disepakati notasi komplemen yang digunakan adalah 𝐴′.

    Komplemen A(A`) adalah himpunan yang anggota-anggotanya

    merupakan anggota semesta pembicaraan tetapi bukan merupakan anggota

    himpunan A. Dengan notasi pembentuk himpunan:

    𝐴′ = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐴}

    Contoh:

    a. Jika S = {1, 2, 3, …, 10} dan A = {2, 4, 6, 8} maka:

    A` = {1, 3, 5, 7, 9, 10}

  • 15

    b. Jika S = {1, 2, 3, …, 10}, A = {8, 9, 10, 11}, B = {10, 11, …, 15}, dan

    (A B)` = {1, 2, 3, …, 7} maka:

    A` = {1, 2, …, 7, 12, 13, 14, 15}, B` = {1, 2, 3, …, 9},

    A B = {8, 9, 10, …, 15}, A B = {10, 11}, dan

    (A B)` = {1, 2, 3, …, 9, 12, 13, 14, 15}

    c. Perhatikan gambar!

    Dari gambar diagram venn di atas didapat:

    1) A B = {1, 2, 3, …, 7}

    (A B)` = {8}

    2) A B = {4, 5}

    (A B)` = {1,2, 3, 6, 7, 8}

    D. Sifat–Sifat Operasi Himpunan 1. Sifat Komutatif

    𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴

    𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴

    2. Sifat Asosiatif (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)

    (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)

    3. Sifat distributif 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

    𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

  • 16

    E. Penerapan Himpunan Dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menemukan pengertian irisan

    atau gabungan dua himpunan atau lebih. Soal-soal yang berkaitan dengan

    irisan atau gabungan dua himpunan ini dapat diselesaikan dengan pertolongan

    diagram venn.

    Contoh:

    1. SMP Nusa Bangsa mengadakan ekstrakurikuler basket dan voli. Kedua

    kegiatan diselenggarakan pada hari yang berbeda.

    Dari murid-murid kelas VIIA yang mengikuti kegiatan tersebut, tercatat

    data sebagai berikut.

    25 anak mengikuti basket, 23 anak mengikuti voli, 15 anak mengikuti

    keduanya, dan 7 anak tidak mengikuti kedua kegiatan tersebut.

    Dari data–data di atas, dapat digambarkan diagram venn seperti pada

    gambar di bawah ini, dimana B = basket dan V = Voli.

    Pada gambar, tampak bahwa:

    a. Yang mengikuti 2 kegiatan sebanyak 15 anak;

    b. Yang mengikuti basket sebanyak,

    (10 + 15) anak = 25 anak;

    c. Yang mengikuti voli sebanyak,

    (8 + 15) anak = 23 anak;

    d. Yang tidak mengikuti kegiatan sebanyak 7 anak;

    e. Jumlah siswa kelas VIIA dapat dihitung, yaitu;

    (10 + 15 + 8 + 7) anak = 40 anak.

  • 17

    2. Dari 50 anak tercatat 35 anak gemar musik, 30 anak gemar olahraga, dan 21

    anak gemar keduanya. Jika M adalah himpunan anak yang gemar M dan O

    adalah himpunan anak yang gemar olahraga, tentukan:

    a. n(M), n(O), dan n(M O);

    b. gambarlah diagram venn;

    c. banyak anak yang gemar musik tetapi tidak gemar olahraga;

    d. banyak anak yang gemar olahraga tetapi tidak gemar musik;

    e. banyak anak yang gemar musik maupun olahraga!

    Jawab:

    a. n(M) = 35, n(O) = 30, dan n(M O) = 21

    b. diagram venn:

    c. n(M O`) = 14

    d. n(M` O) = 9

    e. n(M O)` = x = 50 – (14 + 21 + 9)

    = 50 – 44

    = 6

  • 18

    DAFTAR PUSTAKA

    A. Wagiyo, F. Surati, dan Irene Supradiarini. 2008. Pegangan Belajar

    Matematika. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

    Adinawan, M. Cholik dan Sugijono. 2005. Matematika Untuk SMP/MTs. Jakarta:

    Erlangga.

    Alamsyah, Yoes. 2011. Smart Math Pintar Matematika dengan Rumus Cepat.

    Jakarta: PT. Putra Pratama.