1

A. Pengertian dan Notasi Himpunan

1. Pengertian Himpunan

Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam

matematika dikenal sebagai istilah himpunan. Konsep tentang himpunan

pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan

Jerman, yaitu George Cantor yang hidup antara tahun 1845–1918.

Himpunan adalah kumpulan benda–benda yang didefinisikan dengan

jelas. Yang dimaksud didefinisikan dengan jelas adalah dapat ditentukan

dengan tegas benda apa saja yang termasuk dan tidak termasuk dalam suatu

himpunan yang diketahui. Benda–benda yang termasuk dalam suatu

himpunan disebut anggota, elemen, atau unsur dari suatu himpunan. Untuk

selanjutnya dipergunakan istilah anggota atau elemen. Berdasarkan definisi

himpunan di atas, maka suatu kumpulan atau kelompok benda belum tentu

merupakan suatu himpunan.

a. Kelompok atau kumpulan yang merupakan suatu himpunan

1) Kelompok siswa di kelasmu yang berkacamata.

Yang merupakan anggota adalah siswa di kelasmu yang berkacamata.

Yang bukan anggota adalah siswa di kelasmu yang tidak berkacamata.

2) Kumpulan hewan berkaki empat.

Yang merupakan anggota, misalnya: kerbau, kuda, sapi.

Yang bukan anggota, misalnya: ayam, itik.

3) Kumpulan bilangan yang merupakan faktor dari 12.

Yang merupakan anggota adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.

Yang bukan anggota, misalnya: 5, 7, 8, 9, 10, 11.

Jadi, contoh 1, 2, dan 3 merupakan himpunan, sebab dapat

disebutkan dengan tegas benda yang merupakan anggota dan yang bukan

anggota kelompok tersebut.

2

b. Kelompok atau kumpulan yang bukan merupakan suatu himpunan

1) Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.

Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.

2) Kumpulan lukisan indah.

Pengertian indah tidak jelas batasannya harus seperti apa indahnya.

Oleh karena batasan untuk contoh di atas tidak jelas, maka contoh

1 dan 2 diatas bukan merupakan himpunan. Jadi, dalam matematika kita

tidak dapat menyebutkan dengan batasan yang tidak jelas, misalnya:

1) Himpunan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.

2) Himpunan lukisan yang indah.

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda

kurung kurawal dan biasanya diberi nama dengan menggunakan huruf

kapital, misalnya A, B, C, D, dan seterusnya sampai Z. Jika ada dua atau

lebih himpunan yang berbeda, maka nama himpunan–himpunan itu juga

harus berbeda.

2. Menyatakan Suatu Himpunan

a. Dengan kata–kata atau menyebutkan syarat-syarat keanggotaan

Menyatakan himpunan dengan kata–kata sangat bermanfaat untuk

himpunan yang memiliki anggota sangat banyak dan tak beraturan,

sehingga kita akan mengalami kesulitan bila anggota–anggotanya ditulis

satu demi satu. Contoh:

1) A adalah himpunan nama gunung di Pulau Jawa.

A = {nama gunung di Pulau Jawa}

2) B adalah bilangan yang kurang dari 11.

B = {bilangan ganjil kurang dari 11}

b. Dengan menyebutkan atau mendaftar anggotanya

Anggota himpunan dituliskan dalam kurung kurawal dan

dipisahkan dengan tanda koma. Pada penulisan himpunan dengan cara

mendaftar anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis, maka urutan

penulisan boleh diabaikan. Contoh:

3

1) Untuk himpunan yang anggotanya terbatas dan sedikit.

A = {jerapah, gajah, macan, zebra}

B = {pensil, penggaris, jangka, busur}

2) Untuk himpunan yang anggotanya terbatas dan banyak.

Anggota–anggota boleh tidak didaftar semua, hanya beberapa

saja dilanjutkan dengan titik tiga (artinya: “dan seterusnya”),

kemudian dituliskan batas akhir.

C = {Surabaya, Jawa, Madura, Bali, Lombok,…, Papua}

D = {1, 3, 5, 7, 9, 11,…, 99}

3) Untuk himpunan yang anggotanya tak terbatas.

Anggotanya didaftar beberapa saja (paling sedikit empat saja)

dan dilanjutkan dengan titik tiga (artinya: “dan seterusnya”)

E = {2, 3, 5, 7,…}

F = {1, 10, 100, 1000,…}

Himpunan E = {2, 3, 5, 7,…} dan F = {1, 10, 100, 1000,…}

memiliki banyak anggota yang tak terbatas karena tidak diketahui berapa

bilangan terakhir. Oleh karena itu, himpunan E dan F yang memiliki

anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

Himpunan seperti D = {1, 3, 5, 7, 9, 11,…, 99} memiliki banyak

anggota yang terbatas karena bilangan awal dan bilangan terakhir

diketahui, yaitu 1 dan 99. Oleh karena itu, himpunan D yang memiliki

banyak anggota terbatas disebut himpunan berhingga.

Walaupun suatu himpunan lebih mudah atau lebih singkat bila

dinyatakan dalam salah satu cara diatas, namun hampir semua himpunan

pula dinyatakan dalam ketiga cara tersebut.

c. Dengan notasi pembentuk himpunan

Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan

adalah menyatakan suatu himpunan hanya dengan syarat keanggotaan

himpunan.

1) Benda atau objeknya dilambangkan dengan sebuah peubah.

Contoh: a, b, c,…, z

4

2) Menuliskan syarat keanggotaannya dibelakang tanda”|”.

Contoh: A = {x|x<5, x bilangan asli}

Dibaca: himpunan setiap x sedemikian hingga x kurang dari 5

dan x bilangan asli.

d. Dengan diagram venn

Menyatakan himpunan dengan gambar atau diagram

Contoh:

Gambar di atas adalah diagram venn dari himpunan:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

3. Anggota Himpunan

Di atas piring terdapat buah–buahan, yaitu pisang, jeruk, dan

rambutan. Dapat dikatakan bahwa:

Pisang termasuk dalam kelompok buah–buahan dalam piring,

Jeruk termasuk dalam kelompok buah–buahan dalam piring,

Rambutan termasuk dalam kelompok buah–buahan dalam piring.

Meskipun di atas piring itu terdapat 12 buah pisang, 3 buah jeruk,

dan 5 buah rambutan, tapi penulisan tiap–tiap anggota kelompok itu

dilakukan hanya satu kali saja. Misalkan B menyatakan himpunan buah–

buahan di atas piring, maka B = {pisang, jeruk, rambutan}

Dengan demikian, dapat diketahui sebagai berikut.

Karena pisang termasuk dalam himpunan B, maka pisang anggota

himpunan B.

Karena jeruk termasuk dalam himpunan B, maka jeruk anggota

himpunan B.

5

Karena rambutan termasuk dalam himpunan B, maka rambutan anggota

himpunan B.

Dalam suatu himpunan, masing–masing anggota berbeda dengan

anggota lainnya.

a. Menyatakan anggota suatu himpunan

Untuk menyatakan suatu benda yang merupakan anggota suatu

himpunan digunakan lambang . Sedangkan untuk menyatakan bahwa

suatu benda bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang .

Contoh: Bila A = {s, i, w, a}, maka:

s anggota P, ditulis s P.

w anggota P, ditulis w P.

m bukan anggota P, ditulis m P.

b. Menyatakan banyak anggota suatu himpunan

Banyak anggota himpunan A dapat dinyatakan dengan notasi

n(A). Jadi, notasi n(R) artinya banyak anggota pada himpunan R.

Contoh: P = {s, i, w, a}

Banyak anggota himpunan P adalah 4 buah.

Ditulis: n(P)=4

4. Mengenal Beberapa Himpunan Bilangan

Dalam himpunan bilangan, terdapat beberapa macam himpunan

diantaranya:

a. Himpunan bilangan asli

Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf “A”.

A = {1, 2, 3, 4,…}

b. Himpunan bilangan bulat

Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf “B”.

B = {…., -2, -1, 0, 1, 2,…}

c. Himpunan bilangan cacah

Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan huruf “C”.

C = {0, 1, 2, 3,…}

6

d. Himpunan bilangan cacah genap

Himpunan bilangan cacah genap dilambangkan dengan huruf “G”.

G = {0, 2, 4, 6, 8,…}

e. Himpunan bilangan cacah kuadrat

{0, 1, 4, 9, 16,…}

f. Himpunan bilangan ganjil

Himpunan bilangan ganjil dilambangkan dengan huruf “J”.

J = {1, 3, 5, 7, 9,…}

g. Himpunan bilangan komposit (tersusun)

Himpunan bilangan komposit (tersusun) dilambangkan dengan

huruf “T”. Bilangan komposit adalah bilangan cacah yang mempunyai

lebih dari 2 faktor.

T = {4, 6, 8, 9, 10,…}

h. Himpunan bilangan prima

Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan huruf “P”.

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor, atau

bilangan yang hanya habis dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri, kecuali

0 dan 1.

P = {2, 3, 5, 7, …}

A. Jenis-Jenis Himpunan

Ditinjau dari jumlah anggotanya, ada tiga jenis himpunan

1. Himpunan tak berhingga

Suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga apabila banyak

anggotanya tak berhingga/tak dapat dihitung.

Contoh: A = {1, 3, 5, 7,…}; n(A) tak berhingga, atau n(A) = .

A disebut himpunan tak berhingga.

2. Himpunan berhingga

Suatu himpunan disebut himpunan berhingga apabila jumlah

anggotanya terbatas.

7

Contoh: B = {1, 3, 5, 7, 9}; n(B) = 5.

B disebut himpunan berhingga.

3. Himpunan kosong

Suatu himpunan disebut himpunan kosong apabila himpunan itu

tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan notasi {}

atau .

Contoh: C = {bilangan prima antara 7 dan 9}

Tidak ada bilangan prima antara 7 dan 9, sehingga n(C) = 0.

C disebut himpunan kosong.

Jika A merupakan himpunan kosong, maka A tidak memiliki

anggota, jadi n(A) = 0.

Nol disini menunjukkan jumlah anggota A tidak ada. Hal ini berbeda

dengan B = {0} yang menunjukkan bahwa B memiliki anggota, yaitu 0.

Jadi, B bukan himpunan kosong karena n(B) = 1.

Selanjutnya adalah jenis lain dari himpunan:

1. Himpunan bagian

Untuk memahami pengertian himpunan bagian, perhatikan

himpunan–himpunan berikut ini!

A = {a, b, c}

B = {a, b, c, d, e}

Dari kedua himpunan tersebut, ternyata setiap anggota A, yaitu a, b,

c menjadi anggota B.

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, bila setiap

anggota A menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A B.

Setiap himpunan adalah bagian dari dirinya sendiri. A A, B B, ….

{} adalah bagian dari setiap himpunan. {} {}, {} A, {} B, ….

Menentukan banyak himpunan bagian

Banyaknya himpunan bagian dari himpunan yang mempunyai n

elemen adalah 2n.

8

Contoh:

Dari himpunan P = {1, 2, 3}, kita dapat membentuk himpunan bagian–

himpunan bagiannya, yaitu:

{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} dan {1, 2, 3}

Banyaknya himpunan bagian dari P adalah 8 = 23, dimana 3 adalah

banyaknya himpunan anggota P.

2. Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota

himpunan yang dibicarakan. Lambang himpunan semesta adalah S.

Contoh :

Bila A = {8,12,16,20} maka beberapa semesta pembicaraan yang mungkin

untuk A adalah :

1) S = {bilangan asli}

2) S = {bilangan cacah}

3) S = {bilangan kelipatan 2}

4) S = {bilangan kelipatan 4}

B. Diagram Venn

Untuk mempermudah dalam mempelajari himpunan, John Venn seorang

ahli matematika dari Inggris (1834–1923), memperkenalkan cara menyatakan

himpunan dengan diagram. Diagram tersebut dinamakan diagram venn.

1. Menyatakan Diagram Venn

a. Semesta pembicaraan dari himpunan itu digambarkan dengan persegi

panjang dan pada pojok kiri atas ditulis huruf U atau S.

b. Setiap anggota digambarkan dengan noktah (titik) didalam kurva, dan

nama anggotanya dituliskan berdekatan dengan noktahnya.

Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

9

Diagram venn dari himpunan S ditunjukkan sebagai berikut:

c. Himpunan digambarkan dengan kurva tertutup sederhana.

Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {2, 4, 6, 8}

Karena semua anggota himpunan A termuat didalam himpunan S, maka

himpunan A terdapat didalam himpunan S.

Diagram venn dari himpunan tersebut ditunjukkan sebagai berikut:

d. Dalam menggambar himpunan–himpunan yang mempunyai anggota

sangat banyak, pada diagram venn-nya tidak menggunakan noktah.

Misal: S = {siswa di sekolahmu}

D = {siswa di kelasmu}

Diagram venn dari himpunan tersebut ditunjukkan sebagai berikut:

10

2. Contoh

a. Jika diketahui semesta pembicaraanya adalah S = {0, 1, 2, 3, …, 10} dan

himpunan A = {0, 1, 4, 9}, maka diagram venn yang menunjukkan

himpunan–himpunan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.

b. Diketahui S = {0, 1, 2, 3, …, 10}, A = {2, 3, 5, 7}, dan B = {1, 3, 5, 7,

9}. Diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan tersebut

ditunjukkan pada gambar berikut.

c. Diketahui S = {0, 1, 2, 3, …, 10}, A = {1, 2, 3}, dan B = {1, 2, 3, 4, 5}.

Diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan tersebut

ditunjukkan pada gambar berikut.

11

d. Jika diketahui S = {1, 2, 3, …, 100}, n(S) = 100, A = {11, 12, 13,…, 30},

maka n (A) = 20. Diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan

tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.

e. Diketahui n(A) = 18 + 13 = 31, n(B) = 25 + 13 = 38,

n(S) = 18 + 13 + 25 + 9 = 65. Diagram venn yang menunjukkan

himpunan–himpunan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.

C. Operasi Himpunan

Dalam himpunan dikenal beberapa operasi himpunan, antara lain irisan

atau interseksi, gabungan atau union, selisih dua himpunan (difference), dan

komplemen.

1. Irisan atau Interseksi

Perhatikan gambar diagram Venn dibawah ini!

12

Tampak bahwa:

A= {2,3,5,7} dan B={1,5,3,7,9}

Daerah arsiran menunjukkan daerah anggota–anggota yang menjadi

anggota A juga menjadi anggota B, sehingga dibentuk sebuah himpunan

baru yang beranggotakan semua anggota yang terletak pada daerah arsiran,

yaitu {3,5,7}. Himpunan baru ini disebut irisan A dan B, ditulis “A B“.

Jadi, A B = {3,5,7}.

A irisan B (A B) adalah himpunan semua anggota yang

merupakan anggota A dan juga anggota B. Dengan notasi pembentuk

himpunan 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵}.

Contoh:

Jika A = {0, 1, 3, 6, 10} dan B = {0, 1, 4, 9} maka (A B) = {0, 1}.

2. Gabungan atau Union

Perhatikan diagram venn di bawah ini!

Tampak bahwa A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dan B={2, 4, 6, 8, 10}.

Daerah yang diarsis memuat semua anggota A atau semua anggota B

ataupun semua anggota A dan B. Daerah arsiran menunjukkan gabungan A

dan B, ditulis “A B”. Jadi, A B = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

A gabungan B (A B) adalah himpunan semua anggota yang

merupakan anggota A atau anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}.

Contoh :

Jika A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 5, 7} maka A B = {1, 2, 3, 5, 7}.

13

3. Selisih Dua Himpunan (Difference)

Dari himpunan A dan B kita dapat membentuk himpunan baru yang

terdiri dari anggota–anggota A yang bukan anggota B. Himpunan A

dikurang himpunan B ditulis A – B.

Selisih A dan B (A – B) adalah himpunan semua anggota A tetapi

bukan Anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan:

𝐴 – 𝐵 = {𝑥|𝑥 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 𝐵}

Contoh:

a. Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {1, 3, 5, 7, 9} maka, A – B = {2, 4} dan

B – A = {7, 9}. Dalam diagram venn akan menjadi lebih jelas.

Perhatikan gambar diagram berikut.

A – B ditunjukkan dengan daerah yang diarsir.

b. P = {1, 2} dan Q = {1, 2, 3, 4}

P – Q = Q – P = {3, 4}

(Tidak ada daerah yang diarsir) (Ditunjukkan dengan daerah diarsir)

14

c. M = {1, 3, 5} dan N = {2, 4, 6}

M – N = M N – M = N

Ditunjukkan dengan daerah Ditunjukkan dengan daerah

yang diarsir yang diarsir

4. Komplemen

Perhatikan diagram venn di bawah ini!

Bagian yang diarsir pada gambar menunjukkan daerah komplemen

dari himpunan A. Komplemen dapat dituliskan dengan notasi 𝐴′ atau 𝐴𝑐.

Dalam makalah ini disepakati notasi komplemen yang digunakan adalah 𝐴′.

Komplemen A(A`) adalah himpunan yang anggota-anggotanya

merupakan anggota semesta pembicaraan tetapi bukan merupakan anggota

himpunan A. Dengan notasi pembentuk himpunan:

𝐴′ = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐴}

Contoh:

a. Jika S = {1, 2, 3, …, 10} dan A = {2, 4, 6, 8} maka:

A` = {1, 3, 5, 7, 9, 10}

15

b. Jika S = {1, 2, 3, …, 10}, A = {8, 9, 10, 11}, B = {10, 11, …, 15}, dan

(A B)` = {1, 2, 3, …, 7} maka:

A` = {1, 2, …, 7, 12, 13, 14, 15}, B` = {1, 2, 3, …, 9},

A B = {8, 9, 10, …, 15}, A B = {10, 11}, dan

(A B)` = {1, 2, 3, …, 9, 12, 13, 14, 15}

c. Perhatikan gambar!

Dari gambar diagram venn di atas didapat:

1) A B = {1, 2, 3, …, 7}

(A B)` = {8}

2) A B = {4, 5}

(A B)` = {1,2, 3, 6, 7, 8}

D. Sifat–Sifat Operasi Himpunan

1. Sifat Komutatif

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴

2. Sifat Asosiatif

(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)

(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)

3. Sifat distributif

𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

16

E. Penerapan Himpunan

Dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menemukan pengertian irisan

atau gabungan dua himpunan atau lebih. Soal-soal yang berkaitan dengan

irisan atau gabungan dua himpunan ini dapat diselesaikan dengan pertolongan

diagram venn.

Contoh:

1. SMP Nusa Bangsa mengadakan ekstrakurikuler basket dan voli. Kedua

kegiatan diselenggarakan pada hari yang berbeda.

Dari murid-murid kelas VIIA yang mengikuti kegiatan tersebut, tercatat

data sebagai berikut.

25 anak mengikuti basket, 23 anak mengikuti voli, 15 anak mengikuti

keduanya, dan 7 anak tidak mengikuti kedua kegiatan tersebut.

Dari data–data di atas, dapat digambarkan diagram venn seperti pada

gambar di bawah ini, dimana B = basket dan V = Voli.

Pada gambar, tampak bahwa:

a. Yang mengikuti 2 kegiatan sebanyak 15 anak;

b. Yang mengikuti basket sebanyak,

(10 + 15) anak = 25 anak;

c. Yang mengikuti voli sebanyak,

(8 + 15) anak = 23 anak;

d. Yang tidak mengikuti kegiatan sebanyak 7 anak;

e. Jumlah siswa kelas VIIA dapat dihitung, yaitu;

(10 + 15 + 8 + 7) anak = 40 anak.

17

2. Dari 50 anak tercatat 35 anak gemar musik, 30 anak gemar olahraga, dan 21

anak gemar keduanya. Jika M adalah himpunan anak yang gemar M dan O

adalah himpunan anak yang gemar olahraga, tentukan:

a. n(M), n(O), dan n(M O);

b. gambarlah diagram venn;

c. banyak anak yang gemar musik tetapi tidak gemar olahraga;

d. banyak anak yang gemar olahraga tetapi tidak gemar musik;

e. banyak anak yang gemar musik maupun olahraga!

Jawab:

a. n(M) = 35, n(O) = 30, dan n(M O) = 21

b. diagram venn:

c. n(M O`) = 14

d. n(M` O) = 9

e. n(M O)` = x = 50 – (14 + 21 + 9)

= 50 – 44

= 6

18

DAFTAR PUSTAKA

A. Wagiyo, F. Surati, dan Irene Supradiarini. 2008. Pegangan Belajar

Matematika. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Adinawan, M. Cholik dan Sugijono. 2005. Matematika Untuk SMP/MTs. Jakarta:

Erlangga.

Alamsyah, Yoes. 2011. Smart Math Pintar Matematika dengan Rumus Cepat.

Jakarta: PT. Putra Pratama.