himpunan - · pdf filepengertian himpunan notasi himpunan cara menyatakan himpunan macam...

Click here to load reader

Post on 08-Mar-2019

367 views

Category:

Documents

24 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

HIMPUNANMATEMATIKA

Program Studi Agroteknologi

Universitas Gunadarma

Pengertian Himpunan

Notasi Himpunan

Cara menyatakan Himpunan

Macam Himpunan

Diagram Venn

Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya

Ruang Lingkup

Pengertian Himpunan

Himpunan : Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek.

Secara umum himpunan dilambangkan A, B, C, ...... Z

Obyek dilambangkan a, b, c, ..... z

Notasi : - p A p anggota A

- A B A himpunan bagian dari B

- A = B himpunan A sama dengan B

- = ingkaran

Penyajian Himpunan

Penyajian Himpunan

cara daftar A = {1,2,3,4,5}

berarti: himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan bulat positif 1,2,3,4, dan 5.

cara kaidah A = {x; 0 < x < 6}

berarti: himpunan A beranggotakan obyek x, dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.

Himpunan semesta (universal set)

Notasi: U atau S

Untuk membatasi himpunan yang dibicarakan

Setiap himpunan yang dibicarakan selalu ada dalam

himpunan semesta

Contoh:

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5}

A dan B adalah himpunan bagian dari U, dengan

A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 4}

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan

B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan

elemen dari B.

Diagram Venn: U

AB

Himpunan Bagian (Subset)

bagianhimpunan

sejatibagianhimpunan

himpunansumberset,Super

NOTASI :

5,3,2,1P

1,3A

3,2,1D

PA

1B

2,1C

F

2,5,3,1E

AP

AB

PE

BD

AF

Himpunan kosong (null set)

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi : atau {{ }}

Contoh

(i) Himpunan bilangan genap yang ganjil

(ii) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(iii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iv) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

Himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}

Himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}

{} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan

kosong.

Operasi Himpunan Irisan (Intersection)

A B = {x; x A dan x B}

Gabungan (Union)

A U B = {x; x A atau x B}

Selisih

A - B = A|B {x; x A tetapi x B}

Pelengkap (Complement)

= {x; x U tetapi x A} = U A

Beda setangkup (symmetric difference)

Diagram Venn

Contoh

Misalkan U = {1, 2,, 7, 8},

A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:U

1 2

53 6

8

4

7A B

Diagram Venn

Gabungan ( A U B )

Irisan

Lanjutan ........

Selisih ( A B = A|B )

Pelengkap / complement ( )

Operasi Terhadap Himpunan

1. Irisan (intersection)

Notasi : A B = { x x A dan x B }

Contoh

(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B

2. Gabungan (union)

Notasi : A B = { x x A atau x B }

Contoh

(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B =

{ 2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A = A

3. Komplemen (complement)

Notasi : A = { x x U, x A }

Contoh

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}

(ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }

Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda .

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B

dinotasikan oleh

A B = { x | x A dan x B } = A B

4. Selisih (difference)

Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7},

maka A B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B A =

Beda setangkup antara dua buah himpunan

dinotasikan oleh tanda .Misalkan A dan B adalah himpunan, maka

A B = (A B) (A B) = (A B) (B A)

5. Beda setangkup (symmetric difference)

Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A B = B A (hukum komutatif)(b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)

Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan

B = { 1, 2, 3, 4, 5 },

maka A B = { 1, 4, 7 }

Hukum Aljabar Himpunan

Kaidah Idempoten

a. A U A = A b. A A = A

Kaidah Asosiatif

a. ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A B ) C = A ( B C )

Kaidah Komutatif

a. A U B = B U A b. A B = B A

Kaidah Distributif

a. A U ( B C ) = ( A U B ) ( A U C ) b. A ( B U C ) = ( A B ) U

( A C )

Lanjutan ............

Kaidah Identitas

a. A U = A b. A =

c. A U U = U d. A U = A

Kaidah Kelengkapan

a. A U = U b. A =

c. ( ) = A d. U = = U

Kaidah De Morgan

a. (A U B)= A B b. (A B) = A U B

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh 22. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa

A (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn.

Bukti:

A (B C) (A B) (A C)

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.

Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C).

PEMBUKTIAN KESAMAAN 2 HIMPUNAN

2. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.

Contoh

Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa

(A B) (A B) = A

Bukti:

(A B) (A B) = A (B B) (Hukum distributif)

= A U (Hukum komplemen)

= A (Hukum identitas)

LANJUTAN...

Contoh

Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A (B A) = A B

Bukti:

A (B A) = A (B A) (Definisi operasi selisih)

= (A B) (A A) (Hukum distributif)

= (A B) U (Hukum komplemen)

= A B (Hukum identitas)

LANJUTAN...

Latihan

1) Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkanhimpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika :

U = {1,2,3,4,5,6,7,8 }

A = {2,3,5,7}

B = {1,3,4,7,8 }

Kemudian selesaikan :

(a) A B (c) A B (e) B (g) A B (b) B A (d) A U B (f) U B

2. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa

(i) A ( A B) = A B dan

(ii) A ( A B) = A B

Latihan

QP

P

R

QS

-1

-2

1

03 2

5

6

4

9

87

-3

10

Sebutkan seluruh anggota himpunan di bawah ini:

S=

Q= RP

RQP

PQR

RQP

RQP R=

RQP

3.

FINISH