oprasi himpunan

8/8/2019 Oprasi Himpunan

http://slidepdf.com/reader/full/oprasi-himpunan 1/24



2.1.3 Himpunan Kosong

Definisi :

Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan

kosong diberi simbol Ø atau { }.

Misalkan dalam suatu fakultas sastra, B adalah himpunan mahasiswa yang mengambil

mata kuliah Matematika Diskrit. Maka B = Ø, karena tidak ada mahasiswa fakultas

sastra yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit.

2.1.4 Himpunan Semesta

Definisi :

Anggota-anggota dari semua himpunan yang diamati biasanya merupakan anggota

dari suatu himpunan besar tertentu yang disebut himpunan semesta atau semesta

pembicaraan.

Misalkan dalam suatu fakultas sastra, himpunan A menyatakan mahasiswa yang

berkacamata, maka sebagai himpunan semesta S diambil himpunan semua mahasiswa

fakultas sastra. Maka A = {x∈S | x adalah mahasiswa yang berkacamata}.

2.1.5 Himpunan Bagian

Definisi :

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan, maka A disebut himpunan bagian (subset)

dari B bila dan hanya bila setiap anggota A juga merupakan anggota B. Dalam simbol

matematika ditulis dengan :

A ⊆ B ⇔ ((∀ x) x∈A ⇒ x∈B).

Jika A adalah himpunan bagian B, maka B memuat A (simbol B ⊇

A)

AB

Universitas Sumatera Utara



Bila suatu himpunan memuat n elemen, maka jumlah seluruh himpunan

bagiannya adalah 2n. Misalkan f i menyatakan angka yang tampak pada sisi suatu

dadu. Angka pada sisi ini adalah elemen himpunan A = {f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6}. Dalam

keadaan ini, n = 6, maka A mempunyai 26

= 64 himpunan bagian .

2.1.6 Diagram Venn

Seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn menemukan cara untuk

menggambarkan keadaan himpunan-himpunan. Gambar tersebut dinamakan Diagram

Venn. Diagram Venn adalah suatu perwakilan gambar dari himpunan-himpunan

berupa titik-titik dalam bidang. Himpunan semesta S diwakili oleh bagian dalam suatu

persegi, dan himpunan-himpunan yang lain diwakili oleh cakram-cakram dalam

persegi. Himpunan S = {x,y} dapat dinyatakan dengan diagram venn sebagai berikut :

2.2 Operasi Himpunan

2.2.1 Gabungan (union)

Definisi :

Gabungan dua buah himpunan A dan B, dinyatakan dengan BA∪ , adalah himpunan

semua elemen A atau B. BA∪ = {x : x∈A atau x∈B}

Jika dinyatakan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan

BA∪

.

S

X Y

A B




2.2.2 Irisan (Interseksi)

Definisi :

Irisan dua buah himpunan A dan B, dinyatakan dengan BA∩ , adalah himpunan yang

elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan B.

BA∩ = {x : x∈A dan x∈B}

Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan

BA∩

2.2.3 Komplemen

Definisi :

Komplemen dari himpunan A, dinyatakan dengan

.

Ac

, adalah himpunan dari elemen-

elemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A.

Ac

= {x : x∈S, x∉A}

Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir adalah himpunan

Ac

.

2.2.4 Selisih

Definisi :

Selisih himpunan B dari himpunan A dinyatakan dengan A-B adalah himpunan dari

elemen-elemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

A-B = {x : x∈A, x∉B}

A B

A




Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir adalah himpunan

A-B.

2.3 Probabilitas

2.3.1 Definisi

Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu

kejadian yang tidak pasti (uncertain event ). P(A) = 0,99 artinya probabilitas bahwa

kejadian A akan terjadi sebesar 99% dan probabilitas A tidak terjadi adalah sebesar

1%.

Nilai probabilitas dapat dihitung berdasarkan nilai hasil observasi (sifatnya

subyektif) atau berdasarkan pertimbangan pembuat keputusan atau tenaga ahli dalambidangnya secara subyektif.

Besarnya nilai kemungkinan bagi munculnya suatu kejadian adalah selalu

diantara nol dan satu. Pernyataan ini dapat dituliskan sebagai ( ) 10 ≥≤ AP , di mana

P(A) menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya kejadian A. Sedangkan jumlah

nilai kemungkinan dari seluruh hasil yang mungkin muncul adalah satu. Jadi bila W

menyatakan ruang hasil yang bersifat lengkap maka jumlah kemungkinan seluruh

anggota ruang hasil tersebut adalah satu. Pernyataan ini dapat dituliskan sebagai

( ) 1=∑i

iW P

( )n

X AP =

atau P(W) = 1 di mana Wi menyatakan anggota ruang hasil.

Untuk menghitung nilai probabilitas suatu kejadian adalah dengan cara

mencari banyaknya anggota kejadian, dibandingkan dengan banyaknya anggota ruang

sampelnya.

A B




Contoh :

Di dalam kegiatan pengendalian mutu produk, ada 100 buah barang yang diperiksa,

ternyata ada 15 buah yang cacat atau rusak. Kalau kebetulan di ambil secara acak satu

saja, berapa probabilitasnya bahwa yang di ambil adalah barang yang rusak.

Dari soal diketahui bahwa : n = 100 buah barang

X = 15 buah barang yang rusak

A = barang yang di ambil secara acak

Jadi probabilitas memperoleh barang yang rusak adalah :

( )

n

X AP =

( ) 15,0

100

15==AP

Jika X = 0, berarti tidak ada barang yang rusak,( ) 0

0==

nAP

,kejadian ini disebut

impossible event (tidak mungkin terjadi). Tetapi jika X = n = 100, berarti semua

barang rusak,( ) 1

100

100==AP

1. Bila A dan B mutually exclusive (kejadian yang terpisah), maka :

,kejadian ini disebut sure event (pasti terjadi).

2.4 Kejadian Majemuk

2.4.1 Teorema

( ) ( ) ( )BPAPBAP +=∪

2. Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka :

( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪

3. Bila ada K kejadian yaitu A1, A2,…,Ai,…,Ak yang mutually exclusive dan

membentuk kejadian A, maka :




( ) )

( )( )

( ) 1

......

1

21

=

=

∪∪∪∪∪=

∑=

AP

PAP

PAP

k

ii

k i

A

AAAA

4. Bila A dan B independent (bebas), maka :

( ) ( ) ( )BPAPBAP =∩

5. Bila A dan B dependent (tidak bebas), maka :

( )=∩ BAP P(A)P(B|A)

( )=∩ BAP P(B)P(A|B), di mana P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0.

2.5 Probabilitas Bersyarat

2.5.1 Definisi

Peluang terjadinya suatu kejadian A bila diketahui bahwa kejadian B telah terjadi

disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P(A|B).

P(A|B) =

( )( )BP

BAP ∩

Sama halnya dengan peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa

kejadian A telah terjadi dan dinyatakan dengan P(B|A).

P(B|A) =

( )( )AP

BAP ∩

Dengan mengkombinasikan kedua persamaan maka diperoleh :

P(A|B)P(B) = ( )BAP ∩ = P(B|A)P(A)

P(A|B) =

( )( )BP

BAP ∩

=

( ) ( )

( )BP

APABP

Dari 100 orang mahasiswa yang mengikuti mata kuliah statistik, 20 orang diantaranya

mendapat nilai A, 30 orang mendapat nilai B, 30 orang mendapat nilai C, dan 20

Contoh :




orang mendapat nilai D. Tetapi ternyata tidak semua mahasiswa tersebut tercatat

secara resmi dalam daftar pengikut mata kuliah tersebut. Perbandingan jumlah

mahasiswa yang terdaftar dan tidak terdaftar dapat dilihat pada tabel berikut :

Tabel 2.1 Daftar Nilai Mata Kuliah Statistik

Nilai Terdaftar (T)Tidak Terdaftar

(T

Jumlah)

A 20 0 20

B 15 15 30

C 25 5 30

D 5 15 20

Jumlah 65 35 100

Pertanyaan :

a. Berapakah kemungkinan seorang mahasiswa yang terdaftar mendapatkan

nilai B ?

b. Berapakah kemungkinan seorang mahasiswa yang mendapatkan nilai C adalah

mahasiswa yang tidak terdaftar ?

Dari pertanyaan (a) kita telah mengetahui bahwa mahasiswa yang dimaksud adalah

mahasiswa yang terdaftar dan menanyakan berapakah kemungkinan seorang

mahasiswa yang terdaftar mendapat nilai B. Sesuai dengan definisi kemungkinanbersyarat, maka maksud dari pertanyaan tersebut adalah berapakah kemungkinan

seorang mahasiswa mendapatkan nilai B bila telah diketahui bahwa ia termasuk

mahasiswa yang terdaftar.

Maka penyelesaiannya adalah :

a. Kemungkinan seorang mahasiswa yang terdaftar mendapat nilai B adalah :




( ) ( )( )

13

3

1006510015

=

=

∩=

T P

T BPT BP

b. Kemungkinan seorang mahasiswa yang mendapat nilai C adalah mahasiswa

yang tidak terdaftar adalah :

( ) ( )( )

6

1

10030

1005

=

=

∩=

C P

C T PC T P

Dari perhitungan di atas maka diperoleh kemungkinan bahwa seorang mahasiswa

yang terdaftar mendapat nilai B adalah sebesar 0,23 atau 23%, sedangkan

kemungkinan bahwa seorang mahasiswa yang mendapat nilai C adalah mahasiswa

yang tidak terdaftar adalah sebesar 0,16 atau 16%.

2.6 Teorema BayesTeorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta presbyterian Inggris pada tahun

1763 yang bernama Thomas Bayes . Teorema Bayes ini kemudian disepurnakan oleh

Laplace. Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu

peistiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.

Teorema ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A

dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan

syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan

informasi dapat memperbaiki probabilitas.




Misalkan {B1, B2,…,Bn} suatu himpunan kejadian yang merupakan suatu

sekatan runag sampel S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2 ,…n. Dan misalkan A suatu

kejadian sembarang dalam S dengan P(A) ≠ 0.

( ) )

( )

( ) ( )

( )∑

∑

=

=

=

∩

∩=

n

ii

i

ii

n

i

i

i

i

BAB

BB

B

BB

PP

APP

AP

APAP

1

1

Bukti

( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )∑

∑

=

=

=

∩

=

∩++∩+∩

∩=

∩=

n

i

ii

ii

n

i

i

ii

n

i

i

i

BB

BB

B

BB

BBB

B

BB

APP

APP

AP

APP

APAPAP

AP

AP

APAP

1

1

21....

:

Menurut definisi Peluang bersyarat :

Contoh 1:

Di sebuah sekolah terdapat 60% pelajar laki-laki dan 40% pelajar perempuan. Pelajar

perempuan mengenakan pantalon atau rok dalam angka yang sama sedangkan pelajar

laki-laki semuanya mengenakan pantalon. Seorang pengamat melihat seorang pelajar

secara acak dari jauh, mereka semua dapat melihat bahwa pelajar ini mengenakan

pantalon. Berapa peluang bahwa pelajar ini adalah seorang anak perempuan ?




Jelas bahwa peluangnya adalah kurang dari 40%, tetapi seberapa banyak ? Apakah

setengahnya, karena hanya setengah pelajar perempuan yang mengenakan pantalon.

Jawaban yang benar dapat dihitung dengan menggunakan teorema Bayes.

Andaikan kejadian A adalah pelajar yang diamati adalah perempuan, dan

kejadian B adalah pelajar yang diamati mengenakan pantalon. Untuk menghitung

P(A|B), terlebih dahulu kita harus mengetahui :

a. P(A), atau peluang bahwa pelajar adalah seorang anak perempuan dengan

mengabaikan informasi lain. Karena pengamat melihat seorang pelajar secara

acak, maksudnya adalah bahwa semua pelajar mempunyai peluang yang sama

untuk diamati dan peluangnya adalah 0,4.

b. P(A’), atau peluang bahwa pelajar adalah seorang anak laki-laki dengan

mengabaikan informasi lain. A’ adalah peristiwa yang komplementer untuk A.

Peluangnya adalah 0,6.

c. P(B|A), atau peluang pelajar yang mengenakan pantalon dengan syarat pelajar

itu adalah seorang anak perempuan. Peluangnya adalah 0,5.

d. P(B|A’), atau peluang pelajar yang mengenakan pantalon dengan syarat pelajar

itu adalah seorang anak laki-laki. Peluangnya adalah 1.

e. P(B), atau peluang pelajar yang mengenakan pantalon dengan mengabaikaninformasi lain.

Tabel 2.2 Daftar Pelajar

Pelajar Perempuan Pelajar laki-laki Jumlah

Pantalon 20 60 80

Rok 20 0 20

Jumlah 40 60 100

Dengan semua informasi tersebut, maka peluang dari pelajar yang diamati adalah anak

perempuan yang mengenakan pantalon adalah :




( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

25,0

6,02,0

2,0

6,014,05,0

4,05,0

''

=

+=

+=

+=

=

AA PBPAPABP

ABPAP

BP

ABPAPBAP

Seperti yang diharapkan bahwa hasilnya kurang dari 40% tetapi lebih dari

setengahnya yaitu 25%.

Contoh 2 :

Seorang ahli geologi dari suatu perusahaan minyak, akan memutuskan melakukan

pengeboran minyak di suatu lokasi tertentu. Diketahui sebelumnya, probabilitas untuk memperoleh minyak, katakan usaha berhasil adalah H sebesar 0,20 dan akan gagal

adalah G, tidak memperoleh minyak sebesar 0,80. Sebelum keputusan dibuat, akan

dicari tambahan informasi dengan melakukan suatu eksperimen yang disebut

pencatatan seismografis (seismographic recording). Hasil eksperimen berupa

diketemukan tiga kejadian yang sangat menentukan berhasil tidaknya pengeboran,

yaitu :

Kejadian R1, tidak terdapat struktur geologis

Kejadian R2, strutur geologis terbuka

Kejadian R3, struktur geologis tertutup

Berdasarkan pengalaman masa lampau, probabilitas dari ketiga kejadian ini

untuk dapat memperoleh minyak yaitu berhasil H, masing-masing sebesar 0,30 ; 0,36

dan 0,34. Sebaliknya untuk tidak memperoleh minyak yaitu gagal G, masing-masing

sebesar 0,68 ; 0,28 dan 0,04. Informasi ini, sebagai hasil eksperimen, merupakan

informasi tambahan yang berguna untuk memperbaiki probabilitas prior.

Jika H = kejadian memperoleh minyak, dan




G = kejadian tidak memperoleh minyak,

Maka hitunglah :

a.

P(R1), atau probabilitas bahwa tidak terdapat strutur geologis.

b. P(R2), atau probabilitas bahwa struktur geologis terbuka.

c. P(R3), atau probabilitas bahwa strutur geologis tertutup.

d. P(H|R1), atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat tidak

terdapat struktur geologis.

e. P(H|R2), atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur

geologis terbuka.

f. P(H|R3), atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur

geologis tertutup.

Jika keadaan tersebut digambarkan dalam pohon kemungkinan maka diperoleh

sebagai berikut :

P(R1

P(H) = 0,20

H) = 0,30

2

P(R

H) = 0,36

3

H) = 0,34

P(R1

P(G) = 0,80

G) = 0,68

2 G) = 0,28




P(R3

a. Probabilitas bahwa tidak terdapat strutur geologis adalah :

G) = 0,04

Gambar 2.1 Diagram Kemungkinan Pengeboran Minyak

P(R1) = P(H)P(R1|H) + P(G)P(R1|G)

= (0,20)(0,30) + (0,80)(0,68)

= 0,060 + 0,544

= 0,604

b. Probabilitas bahwa struktur geologis terbuka adalah :

P(R2) = P(H)P(R2|H) + P(G)P(R2|G)

= (0,20)(0,36) + (0,80)(0,28)

= 0,072 + 0,224

= 0,296

c. Probabilitas bahwa struktur geologis tertutup adalah :

P(R3) = P(H)P(R3|H) + P(G)P(R3|G)

= (0,20)(0,34) + (0,80)(0,04)

= 0,068 + 0,032= 0,100

d. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat tidak terdapat struktur

geologis adalah :

( )( ) ( )

( )

( )( )

099,0

604,0

060,0

604,030,020,0

1

1

1

=

=

=

=R

RR

P

H PH P

H P

e. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis terbuka

adalah :




( )( ) ( )

( )

( )( )

243,0

296,0

072,0

296,0

36,020,0

2

2

2

=

=

=

=

R

RR

P

H PH PH P

f. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis tertutup

adalah :

( )

( ) ( )

( )

( )( )

680,0

100,0

068,0

100,0

34,020,0

3

3

3

=

=

=

=

R

R

R P

H PH PH P

Dalam menghadapi suatu persoalan, pengambil keputusan telah mempunyai

informasi awal, baik itu dalam bentuk subyektif maupun obyektif. Bila informasi awal

ini dirasakan telah memadai, maka keputusan dapat langsung dibuat. Tetapi bila

informasi awal ini dirasakan belum cukup, maka diperlukan suatu usaha untuk

mendapatkan informasi tambahan. Selanjutnya, bila kemudian telah diperoleh

informasi tambahan, maka kita perlu menggunakan informasi tambahan ini dengan




informasi awal, untuk mendapatkan informasi yang lebih baik untuk pengambilan

keputusan.

2.7 Teori Keputusan

Teori keputusan adalah suatu area studi yang berhubungan dengan para ahli

matematik, orang-orang statistik, ahli ekonomi, ahli filsafat, para manajer, politikus,

psikolog, dan siapapun yang tertarik dalam analisis keputusan. Teori keputusan dalam

matematika dan statistika adalah yang berhubungan dengan mengidentifikasi nilai,

ketidakpastian, dan masalah lain yang relevan yang memberikan keputusan dan

menghasilkan keputusan yamg optimal.

Formalisme dasar dari teori keputusan adalah tabel payoff , yang memetakan

keputusan yang mutually exclusive. Misalnya, “keputusan X mengarah pada hasil Y”,

“keputusan Y mengarah pada hasil Z”, dan seterusnya. Bila set hasil yang sesuai

untuk suatu keputusan yang tidak dikenal, maka situasi seperti ini disebut sebagai

keputusan di bawah ketidakpastian, inilah studi yang mendominasi pada teori

keputusan.

Teori keputusan memberikan sejumlah saran bagaimana cara untuk mengestimasi probabilitas yang kompleks dalam keadaan ketidakpastian, yang

sebagian besar berasal dari teorema Bayes.

Teori keputusan dapat berupa normatif atau deskriptif. Teori keputusan

normatif adalah teori yang mengarah pada bagaimana harus membuat keputusan jika

kita ingin memaksimalkan utility yang diharapkan. Sedangkan teori keputusan

deskriptif dicapai berdasarkan hasil dari pengamatan, percobaan, dan biasanya

dikuatkan dengan statistik.

2.8 Teknik Pengambilan Keputusan

Pengambilan keputusan adalah memilih satu atau lebih diantara sekian banyak

alternatif keputusan yang mungkin. Suatu keputusan dibuat dalam rangka untuk

memecahkan permasalahan atau persoalan, Setiap kaputusan yang dibuat pasti ada

tujuan yang akan dicapai. Keputusan bisa berulang kali dibuat secara rutin dan dalam

bentuk persoalan yang sama sehingga mudah dilakukan.




Situasi keputusan lainnya yang dihadapi mungkin serupa dengan situasi yang

dialami masa lampau, akan tetapi suatu ciri khusus dari permasalahan yang timbul

baru mungkin agak berbeda dalam beberapa aspek penting bahwa mungkin unik (satu-

satunya ciri yang terkait pada permasalahan tersebut). Intuisi dan pertimbangan dari

orang-oarang yang mempunyai pengalaman seperti tipe persoalan tersebut merupakan

nara sumber yang sangat penting dalam suatu organisasi di mana keputusan akan

diambil, mengingat persoalan baru mungkin jauh berbeda dengan persoalan-persoalan

sebelumnya dan perlu cara pengambilan keputusan yang unik.

Inti dari pengambilan keputusan ialah terletak dalam perumusan berbagai

alternatif tindakan sesuai dengan yang sedang dalam perhatian dan dalam pemilihan

alternatif yang tepat setelah suatu evaluasi (penilaian) mengenai efektivitasnya dalam

mencapai tujuan yang dikehendaki pengambil keputusan. Salah satu komponen

terpenting dari proses pembuatan keputusan adalah kegiatan pengumpulan data dari

mana suatu apresiasi mengenai situasi keputusan dapat dibuat.

Apabila informasi yang cukup dapat dikumpulkan guna memperoleh suatu

spesifikasi yang lengkap dari semua alternatif dan tingkat keefektivannya dalam

situasi yang sedang dalam perhatian. Proses pembuatan atau pengambilan keputusan

relatif sangatlah mudah. Akan tetapi di dalam prakteknya sangat tidak mungkin untuk mengumpulkan informasi secara lengkap, mengingat terbatasanya waktu, dana dan

tenaga.

Pada dasarnya ada empat kategori keputusan, yaitu :

a. Keputusan dalam keadaan ada kepastian (certainty). Suasana di katakan

certainty jika semua informasi yang di perlukan untuk membuat keputusan

diketahui secara sempurna dan tidak berubah.

b. Keputusan dalam keadaan ada resiko (risk ). Suasana di katakan risk jikainformasi sempurna tidak tersedia, tetapi seluruh peristiwa yang akan terjadi

beserta probabilitasnya tersedia.

c. Keputusan dalam keadaan ketidakpastian (uncertainty). Pengambilan

keputusan dalam keadaan ketidakpastian menunjukkan suasana keputusan

dimana probabilitas hasil-hasil potensial tidak diketahui (tidak diperkirakan).

Dalam suasana ketidakpastian pengambil keputusan sadar akan hasil-hasil

alternatif dalam bermacam-macam peristiwa, namun pengambil keputusan

tidak dapat menetapkan probabilitas peristiwa.




d. Keputusan dalam keadaan ada konflik (conflick ). Suasana konflik muncul jika

kepentingan dua atau lebih pengambil keputusan berada dalam situasi yang

saling bertentangan. Satu pihak pengambil keputusan tidak hanya memikirkan

pada tindakannya sendiri, tetapi juga tertarik pada tindakan lawannya.

2.8.1 Pilihan Langsung

Salah satu cara yang umum digunakan dalam menentukan pengambilan keputusan

diantara dua alternatif adalah membandingkan keduanya secara langsung, kemudian

menentukan pilihan berdasarkan proses intuisi. Tetapi persoalan yang kompleks akan

sulit untuk mengelola seluruh informasi dalam pikiran kita.

Contoh :

Seorang Produsen ingin menambah jenis produksinya. Untuk maksud tersebut ada dua

pilihan ; pertama produk A, ia yakin staf engeneringnya mampu mempersiapkan

peralatan untuk produk A dengan pertimbangan keberhasilan 0,5. Produk kedua,

memproduksi B dengan kemungkinan gagal 0,2. Jika produk A berhasil perusahaan

akan memperoleh laba Rp. 200 juta, dan jika gagal akan rugi Rp. 20 juta. Sedangkan

produk B, jika berhasil akan memperoleh laba Rp. 80 juta dan jika gagal kan rugi Rp.2 juta. Karena keterbatasan dana, maka hanya satu diantaranya yang akan diproduksi.

Tentukan produksi mana sebaiknya yang akan diproduksi oleh perusahaan agar

perusahaan memperoleh laba yang optimal.

Model keputusan ini dapat digambarkan dalam diagram keputusan sebagai berikut :

Berhasil + Rp. 200 juta

0,5Produk A

Gagal - Rp. 20 juta

0,5

Tidak memproduksi Rp. 0 juta


0,8




Produk B

Gagal - Rp. 2 juta

0,2

Gambar 2.2 Diagram Keputusan Pilihan Langsung

Persoalan ini kelihatannya sederhana namun ada kesulitan untuk memilih

secara langsung karena kita harus secara serentak memperoleh informasi tentang

kemungkinan berhasil dan bagaimana hasil yang mungkin diperoleh. Pada dasarnya

pilihan langsung dapat dilakukan dengan mudah jika terdapat dominasi satu alternatif

atas alternatif lainnya.

2.8.2 Dominasi Nilai

Misalkan pada persoalan diatas, jika produk A gagal hasil yang akan diperoleh bukan

– Rp. 20 juta, melainkan Rp. 80 juta sehingga keadaannya dapat digambarkan seperti

pada diagram berikut :


0,5Produk A

Gagal + Rp. 80 juta

0,5

Tidak memproduksi Rp. 0 juta

Berhasil + Rp. 80 juta0,8

Produk B

Gagal - Rp. 2 juta

0,2

Gambar 2.3 Diagram Keputusan Dominasi Nilai




Dari diagram ini, maka secara langsung dapat dinyatakan bahwa lebih baik

memilih produk A, karena walaupun gagal hasilnya masih sama dengan produk B jika

berhasil. Dalam hal ini dikatakan alternatif A mendominasi alternatif B.

2.8.3 Dominasi Stokastik

Bentuk lain dari dominasi tetapi sedikit lebih lemah dibandingkan Dominasi Nilai

adalah Dominasi Stokastik atau Dominasi Probabilistik, yang digunakan untuk pilihan

langsung.

Contoh :

Sebagai seorang manager produksi, Tuan Y diharapkan untuk memilih satu diantara

tiga jenis produk baru untuk dipasarkan. Produksi pendahuluan untuk ketiga produk

tersebut telah selesai dilakukan, demikian pula studi tentang harganya. Hasilnya

seperti terlihat pada tabel berikut :

Tabel 2.3 Produk Yang Dapat Dihasilkan

Produk Harga (unit) Ongkos (unit) Kontribusi (unit)

A Rp. 25.000 Rp. 15.000 Rp. 10.000

B Rp. 60.000 Rp. 40.000 Rp. 20.000

C Rp. 37.500 Rp. 22.500 Rp. 15.000

Selanjutnya dari penelitian pasar dapat pula diketahui distribusi kemungkinan tingkat

penjualan yang mungkin dicapai untuk masing-masing produk seperti pada tabel

berikut :

Tabel 2.4 Distribusi Kemungkinan Tingkat Penjualan

Tingkat Kemungkinan

Penjualan A B C

0 0 0,1 0,1




10.000 0 0,2 0,3

20.000 0,1 0,2 0,3

30.000 0,1 0,4 0,2

40.000 0,2 0,1 0,1

50.000 0,6 0 0

Dan selain itu Pimpinan perusahaan telah memutuskan bahwa hanya satu jenis produk

baru dapat dipasarkan.

Jika keadaan tersebut digambarkan dalam diagram keputusan maka hasilnya adalah

sebagai berikut :

Kontribusi

Penjualan : Rp. 200 juta

0,1 20.000 Rp. 300 juta

Produk A 0,1 30.000 Rp. 400 juta

0,2 40.000 Rp. 500 juta0,6 50.000

Penjualan : Rp. 0 juta

0,1 0 Rp. 200

Produk B 0,2 10.000 Rp. 400 juta

0,2 20.000 Rp. 600 juta

0,4 30.000 Rp. 800 juta

0,1 40.000Penjualan : Rp. 0 juta




0,1 0 Rp. 15

Produk C 0,3 10.000 Rp. 300 juta

0,3 20.000 Rp. 450 juta

0,2 30.000 Rp. 600 juta

0,1 40.000

Gambar 2.4 Diagram Keputusan Tiga Jenis Produk

2.8.4 Tingkat Aspirasi

Dalam menghadapi situasi keputusan, pengambil keputusan mungkin mempunyai

suatu target yang harus dicapai, suatu tingkat aspirasi. Bila keadaannya seperti itu,

maka pilihan langsung dapat dilakukan dengan membandingkan tingkat aspirasi.

Misalkan dalam persoalan diatas pengambil keputusan merasa bahwa yang

penting adalah menghasilkan tidak kurang dari Rp. 300 juta. Maka kemungkinan

untuk memperoleh Rp. 300 juta adalah untuk produk A sebesar 0,9; produk B sebesar

0,7 dan produk C sebesar 0,6. Produk A mempunyai kemungkinan terbesar untuk

mencapai tingkat aspirasi yang ditentukan, sehingga produk A adalah pilihan yang

terbaik.

2.8.5 Nilai Ekspektasi

Jika pilihan langsung sukar dilakukan, maka dapat digunakan nilai ekspektasi. Nilai

ekspektasi mencerminkan harga rata-rata memilih nilai ekspektasi tertinggi.

Dari persoalan diatas, dapat diperoleh nilai ekspektasinya sebagai berikut :

Produk A :

Nilai Ekspektasi = (0,1)(Rp. 200 juta) + (0,1)(Rp. 300 juta) + (0,2)(Rp.400 juta) +(0,6)(Rp.500 juta)

= Rp. 430 juta

Produk B :

Nilai Ekspektasi = (0,1)(Rp. 0) + (0,2)(Rp. 200 juta) + (0,2)(Rp.400juta) +

(0,4)(Rp.600 juta) + (0,1)(Rp. 800 juta)

= Rp. 440 juta

Produk C :




Nilai Ekspektasi = (0,1)(Rp. 0) + (0,3)(Rp. 150 juta) + (0,3)(Rp.300 juta) +

(0,2)(Rp.450 juta) + (0,1)(Rp. 600 juta)

= Rp. 285 juta

Jadi keputusannya adalah memproduksi produk B karena nilai ekspektasinya yang

tertinggi.

2.8.6 Nilai Ekivalen Tetap

Nilai ekivalen tetap dari suatu kejadian tidak pasti adalah nilai tertentu yang kita

tetapkan sendiri dimana kita merasa tidak berbeda antara menerima hasil yang

tercermin dalam ketidakpastian tersebut, atau menerima dengan kepastian suatu hasil

dengan nilai tetentu. Besar nilai yang ditentukan tersebut dinamakan nilai ekivalen

tetap.

2.9 Utility

Hasil dari teori keputusan biasanya diberi nilai utility. Misalnya, dari sudut pandang

perencana militer, kematian 1000 orang dalam pertempuran mungkin diberi utility

yang negatif dari 1000, dan kematian 500 orang dari 500 utility yang negatif.

Kemungkinan hasil dalam masalah teori keputusan bisa jadi positif, negatif, ataukedua-duanya. Nilai utility bisa berdasarkan pada pendapat dari pengambil kaputusan.

Utility yang diharapkan dari sebuah keputusan adalah sebagai jumlah

kemungkinan bahwa setiap hasil dikalikan dengan utility dari hasil lainnya. Misalnya

membuat suatu keputusan mungkin mengarah pada 100 utility yang positif dengan

kemungkinan 75%, dan 40 utility yang negatif dengan kemungkinan 25% maka nilai

utility yang diharapkan adalah :

75% x 100 = 75 (positif)25% x (-40) = -10 (negatif)

Berarti nilai dari keseluruhan utility yang diharapkan adalah 75 – 10 = 65.

Kurva utility diperoleh berdasarkan penjajakan preferensi pengambil

keputusan. Menggambarkan bagaimana utility suatu nilai atau keadaan tertentu bagi

pengambil keputusan. Pada umumnya skala utility dinyatakan antara 0 dan 1, dimana

skala utility = 1 menyatakan keadaan atau nilai yang paling disukai dan 0 menyatakan

keadaan atau nilai yang paling tidak disukai.

Contoh suatu kurva utility adalah seperti pada gambar berikut :




Gambar 2.5 Kurva Utility

Dari kurva utility ini dapat diketahui bahwa utility dari uang Rp.100.000,-

adalah 1 dan dari uang Rp.0,- adalah 0. Demikian juga utility dari uang antara Rp.0,-

dan Rp. 100.000,- dapat diketahui dari kurva tersebut.

oprasi himpunan

Documents