teori himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 teori himpunan • himpunan: kumpulan objek...

30
1 Teori Teori Himpunan Himpunan Bagian Bagian III III

Upload: votram

Post on 12-Mar-2019

269 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

1

TeoriTeori HimpunanHimpunanBagianBagian IIIIII

Page 2: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

2

TeoriTeori HimpunanHimpunan•• HimpunanHimpunan: : KumpulanKumpulan objekobjek ((konkritkonkrit

atauatau abstrakabstrak) yang ) yang mempunyaimempunyai syaratsyarattertentutertentu dandan jelasjelas, , bisanyabisanya dinyatakandinyatakandengandengan hurufhuruf besarbesar..

•• aa∈∈AA ““a a anggotaanggota daridari AA””

•• aa∉∉AA ““a a bukanbukan anggotaanggota daridari AA””•• A = {aA = {a11, a, a22, , ……, a, ann} } ““A A memuatmemuat…”…”

Page 3: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

3

Cara Cara menyatakanmenyatakan himpunanhimpunan

a.a. MendaftarMendaftarb.b. MenyatakanMenyatakan sifatsifat--sifatsifat yang yang

dipenuhidipenuhi oleholeh anggotaanggota..c.c. NotasiNotasi pembentukpembentuk himpunanhimpunan

Page 4: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

4

NotasiNotasi PembentukPembentuk HimpunanHimpunanFormat: Format: ““sedemikiansedemikian hinggahingga””

{[{[strukturstruktur keanggotaankeanggotaan] ] || [[syaratsyarat perluperlu untukuntuk menjadimenjadianggotaanggota]}]}

ContohContoh::Q = {m/n : m,n Q = {m/n : m,n ∈∈ Z, nZ, n≠≠0}0}

–– Q Q adalahadalah himpunanhimpunan bilanganbilangan rasionalrasional–– ElemenElemen--elemennyaelemennya berstrukturberstruktur m/n; m/n; harusharus

memenuhimemenuhi sifatsifat setelahsetelah tandatanda ““::”” untukuntuk menjadimenjadianggotaanggota..

{x {x ∈∈ R | xR | x22 = 1} = {= 1} = {--1,1}1,1}

Page 5: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

5

ContohContoh HimpunanHimpunan::N N –– himpunanhimpunan bilbil. . CacahCacah = {0,1,2,3,4, …}= {0,1,2,3,4, …}P P atauatau Z+ Z+ -- himphimp. . BilBil. . BulatBulat positifpositif = {1,2,3,4, = {1,2,3,4,

…}…}Z Z –– himpunanhimpunan bilbil. . bulatbulatR R –– himpunanhimpunan bilbil. real. realφφ or {} or {} –– himpunanhimpunan kosongkosongU U –– himpunanhimpunan semestasemesta, , himphimp. yang . yang memuatmemuat

semuasemua element yang element yang dibicarakandibicarakan. .

Page 6: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

6

ContohContoh HimpunanHimpunan•• A = A = ∅∅ ““empty set/null setempty set/null set””•• A = {z}A = {z} Note: zNote: z∈∈A, but z A, but z ≠≠ {z}{z}•• A = {{b, c}, {c, x, d}}A = {{b, c}, {c, x, d}}•• A = {{x, y}} A = {{x, y}}

Note: {x, y} Note: {x, y} ∈∈A, but {x, y} A, but {x, y} ≠≠ {{x, y}}{{x, y}}•• A = {x | P(x)}A = {x | P(x)}

““set of all x such that P(x)set of all x such that P(x)””•• A = {x | xA = {x | x∈∈NN ∧∧ x > 7} = {8, 9, 10, x > 7} = {8, 9, 10, ……}}

““set builder notationset builder notation””

Page 7: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

7

RelasiRelasi AntarAntar HimpunanHimpunan

1.1. HimpunanHimpunan yang yang SamaSama2.2. HimpunanHimpunan BagianBagian3.3. HimpunanHimpunan yang yang berpotonganberpotongan4.4. HimpunanHimpunan SalingSaling LepasLepas5.5. HimpunanHimpunan yang yang EkuivalenEkuivalen

Page 8: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

8

HimpunanHimpunan yang yang SamaSama( Set Equality)( Set Equality)

HimpHimp. A and B . A and B dikatakandikatakan samasama jikajika keduanyakeduanya memuatmemuat anggotaanggota--anggotaanggota yang yang tepattepat samasama. . A = B A = B ⇔⇔ { x | x { x | x ∈∈A A ↔↔ x x ∈∈B} B} atauatau A = B A = B ⇔⇔ A A ⊂⊂ B B ∧∧ B B ⊂⊂ AAContohContoh::

•• A = {9, 2, 7, A = {9, 2, 7, --3}, B = {7, 9, 3}, B = {7, 9, --3, 2} :3, 2} : A = BA = B

•• A = {dog, cat, horse}, A = {dog, cat, horse}, B = {cat, horse, squirrel, dog} :B = {cat, horse, squirrel, dog} : A A ≠≠ BB

•• A = {dog, cat, horse}, A = {dog, cat, horse}, B = {cat, horse, dog, dog} :B = {cat, horse, dog, dog} : A = BA = B

Page 9: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

9

HimpunanHimpunan BagianBagianA A ⊆⊆ BB ““A A adalahadalah himpunanhimpunan bagianbagian daridari BB””A A ⊆⊆ B B jikajika setiapsetiap anggotaanggota A A jugajuga merupakanmerupakan

anggotaanggota B.B.

A A ⊆⊆ B B ⇔⇔ ∀∀x (xx (x∈∈A A →→ xx∈∈B)B)

ContohContoh::

A = {3, 9}, B = {5, 9, 1, 3}, A A = {3, 9}, B = {5, 9, 1, 3}, A ⊆⊆ B ?B ? benarbenar

A = {3, 3, 3, 9}, B = {5, 9, 1, 3}, A A = {3, 3, 3, 9}, B = {5, 9, 1, 3}, A ⊆⊆ B ?B ?

SalahSalah

benarbenar

A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, A A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, A ⊆⊆ B ?B ?

Page 10: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

10

HimpunanHimpunan BagianBagianSifatSifat::•• A = B A = B ⇔⇔ (A (A ⊆⊆ B) B) ∧∧ (B (B ⊆⊆ A) A) •• (A (A ⊆⊆ B) B) ∧∧ (B (B ⊆⊆ C) C) ⇒⇒ A A ⊆⊆ C C ((LihatLihat Venn Diagram)Venn Diagram)

UU

AABB CC

Page 11: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

11

HimpunanHimpunan BagianBagianUseful rules:Useful rules:•• ∅∅ ⊆⊆ A for any set A A for any set A •• AA ⊆⊆ A for any set AA for any set A

Proper subsets (Proper subsets (HimpunanHimpunan BagianBagian SejatiSejati):):A A ⊂⊂ B B ““A is a proper subset of BA is a proper subset of B””A A ⊂⊂ B B ⇔⇔ ∀∀x (xx (x∈∈A A →→ xx∈∈B) B) ∧∧ ∃∃x (xx (x∈∈B B ∧∧ xx∉∉A)A)ororA A ⊂⊂ B B ⇔⇔ ∀∀x (xx (x∈∈A A →→ xx∈∈B) B) ∧∧ ¬∀¬∀x (xx (x∈∈B B →→ xx∈∈A) A)

Page 12: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

12

DuaDua himpunanhimpunan A A dandan B B dikatakandikatakan berpotonganberpotongan, , ditulisditulisA)(B, A)(B, jikajika adaada anggotaanggota A yang A yang menjadimenjadi anggotaanggota B.B.

A)(B A)(B ⇔⇔ ∃∃x (x x (x ∈∈A A ∧∧ x x ∈∈ B)B)

HimpunanHimpunan A A dandan B B dikatakandikatakan salingsaling lepaslepas (A//B), (A//B), jikajikaA A ≠≠ ∅∅, , B B ≠≠ ∅∅, , ∀∀x (x x (x ∉∉ A A ∨∨ x x ∉∉ B)B)

HimpunanHimpunan A A dandan B yang B yang EkuivalenEkuivalen, A, A∼∼B, B, jikajika setiapsetiapanggotaanggota A A dapatdapat dipasangkandipasangkan ((dikorespondensikandikorespondensikan) ) satusatu--satusatu dengandengan anggotaanggota BB

BuatBuat ContohContoh MasingMasing--masingmasing!!!!!!

Page 13: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

13

LatihanLatihan

1.1. BuktikanBuktikan jikajika M M ⊂⊂ ∅∅, , makamaka M =M =∅∅..

2.2. A = {1,2,3,4}; B = A = {1,2,3,4}; B = himpunanhimpunanbilanganbilangan ganjilganjil. . BuktikanBuktikan A A ⊄⊄ B.B.

3.3. BuktikanBuktikan A A ⊂⊂ B, B B, B ⊂⊂ C C →→ A A ⊂⊂ C.C.4.4. BuktikanBuktikan K K ⊂⊂ L, L L, L ⊂⊂ M, M M, M ⊂⊂ K K →→

K = M.K = M.

Page 14: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

14

Interval Notation Interval Notation -- Special Special notation for subset of Rnotation for subset of R

[a,b] = {x [a,b] = {x ∈∈ R | a R | a ≤≤ x x ≤≤ b}b}(a,b) = {x (a,b) = {x ∈∈ R | a < x < b}R | a < x < b}[a,b) = {x [a,b) = {x ∈∈ R | a R | a ≤≤ x < b}x < b}(a,b] = {x (a,b] = {x ∈∈ R | a < x R | a < x ≤≤ b}b}How many elements in [0,1]? How many elements in [0,1]? In (0,1)? In (0,1)? In {0,1}In {0,1}

Page 15: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

15

B (B complement)B (B complement)–– {x {x || xx∈∈U U ∧∧ xx∉∉B}B}–– Everything in the Universal set that is Everything in the Universal set that is

not in Bnot in B

A A ∪∪ B (A union B)B (A union B)–– {x {x || xx∈∈A A ∨∨ xx∈∈B}B}–– Like inclusive or, can be Like inclusive or, can be

in A or B or bothin A or B or both

OperasiOperasi HimpunanHimpunan

B

A B

Page 16: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

16

A A ∩∩ B (A intersect B)B (A intersect B)•• {x {x || xx∈∈A A ∧∧ xx∈∈B}B}•• A and B are disjoint if A A and B are disjoint if A ∩∩ B = B = ΦΦ

A A -- B (A minus B or difference)B (A minus B or difference)•• {x {x || xx∈∈A A ∧∧ xx∉∉B}B}•• AA--B = AB = A∩∩BB

AA⊕⊕B (symmetric difference)B (symmetric difference)•• {x {x || xx∈∈A A ⊕⊕ xx∈∈B} = (AB} = (A∪∪B) B) -- ((AA∩∩B)B)•• We have overloaded the symbol We have overloaded the symbol ⊕⊕. Used in . Used in

logic to mean exclusive or and in sets to logic to mean exclusive or and in sets to mean symmetric differencemean symmetric difference

Page 17: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

17

ContohContohLet A = {nLet A = {n22 || nn∈∈P P ∧∧ nn≤≤4} = {1,4,9,16}4} = {1,4,9,16}Let B = {nLet B = {n44 || nn∈∈P P ∧∧ nn≤≤4} = {1,16,81,256}4} = {1,16,81,256}AA∪∪B = {1,4,9,16,81,256}B = {1,4,9,16,81,256}AA∩∩B = {1,16}B = {1,16}AA--B = {4,9}B = {4,9}BB--A = {81, 256}A = {81, 256}AA⊕⊕B = {4,9,81,256}B = {4,9,81,256}

Page 18: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

18

Cardinality of SetsCardinality of SetsIf a set S contains n distinct elements, nIf a set S contains n distinct elements, n∈∈NN,,we call S a we call S a finite setfinite set with with cardinality ncardinality n..

Examples:Examples:A = {Mercedes, BMW, Porsche}, |A| = 3A = {Mercedes, BMW, Porsche}, |A| = 3

B = {1, {2, 3}, {4, 5}, 6}B = {1, {2, 3}, {4, 5}, 6} |B| = 4|B| = 4C = C = ∅∅ |C| = 0|C| = 0D = { xD = { x∈∈N N | x | x ≤≤ 7000 }7000 } |D| = 7001|D| = 7001E = { xE = { x∈∈N N | x | x ≥≥ 7000 }7000 } E is infinite!E is infinite!

Page 19: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

19

The Power SetThe Power Set

P(A) P(A) ““power set of Apower set of A””P(A) = {B | B P(A) = {B | B ⊆⊆ A} A} (contains all subsets of A)(contains all subsets of A)

Examples:Examples:

A = {x, y, z}A = {x, y, z}P(A)P(A) = {= {∅∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}

A = A = ∅∅P(A) = {P(A) = {∅∅}}Note: |A| = 0, |P(A)| = 1Note: |A| = 0, |P(A)| = 1

Page 20: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

20

The Power SetThe Power SetCardinality of power sets:Cardinality of power sets:| P(A) | = 2| P(A) | = 2|A||A|

•• Imagine each element in A has an Imagine each element in A has an ““onon//offoff”” switchswitch•• Each possible switch configuration in A Each possible switch configuration in A

corresponds to one element in 2corresponds to one element in 2AA

zzzzzzzzzzzzzzzzzzyyyyyyyyyyyyyyyyyyxxxxxxxxxxxxxxxxxx8877665544332211AA

•• For 3 elements in A, there are For 3 elements in A, there are 22××22××2 = 8 elements in P(A)2 = 8 elements in P(A)

Page 21: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

21

Cartesian ProductCartesian ProductThe The ordered ordered nn--tupletuple (a(a11, a, a22, a, a33, , ……, a, ann) is an ) is an ordered collectionordered collection of objects.of objects.Two ordered Two ordered nn--tuplestuples (a(a11, a, a22, a, a33, , ……, a, ann) and ) and (b(b11, b, b22, b, b33, , ……, , bbnn) are equal if and only if they ) are equal if and only if they contain exactly the same elements contain exactly the same elements in the same in the same orderorder, i.e. , i.e. aaii = b= bii for 1 for 1 ≤≤ i i ≤≤ n.n.

The The Cartesian productCartesian product of two sets is defined as:of two sets is defined as:AA××B = {(a, b) | aB = {(a, b) | a∈∈A A ∧∧ bb∈∈B}B}Example:Example: A = {x, y}, B = {a, b, c}A = {x, y}, B = {a, b, c}AA××B = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}B = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}

Page 22: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

22

Cartesian ProductCartesian ProductThe The Cartesian productCartesian product of two sets is defined as: of two sets is defined as: AA××B = {(a, b) | aB = {(a, b) | a∈∈A A ∧∧ bb∈∈B}B}Example:Example:A = {good, bad}, B = {student, A = {good, bad}, B = {student, profprof}}

AA××B = {B = {(good, student),(good, student), (good, (good, profprof),), (bad, student),(bad, student), (bad, (bad, profprof))}}

(student, good),(student, good), ((profprof, good),, good), (student, bad),(student, bad), ((profprof, bad), bad)}}BB××A = {A = {

Page 23: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

23

Cartesian ProductCartesian ProductNote that:Note that:•• AA×∅×∅ = = ∅∅•• ∅×∅×A = A = ∅∅•• For nonFor non--empty sets A and B: Aempty sets A and B: A≠≠B B ⇔⇔ AA××B B ≠≠ BB××AA•• |A|A××B| = |A|B| = |A|⋅⋅|B||B|

The Cartesian product of The Cartesian product of two or more setstwo or more sets is is defined as:defined as:AA11××AA22××……××AAnn = {(a= {(a11, a, a22, , ……, a, ann) | ) | aaii∈∈AA for 1 for 1 ≤≤ i i ≤≤ n}n}

Page 24: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

24

Set OperationsSet Operations

Union: AUnion: A∪∪B = {x | xB = {x | x∈∈A A ∨∨ xx∈∈B}B}

Example:Example: A = {a, b}, B = {b, c, d}A = {a, b}, B = {b, c, d}AA∪∪B = {a, b, c, d} B = {a, b, c, d}

Intersection: AIntersection: A∩∩B = {x | xB = {x | x∈∈A A ∧∧ xx∈∈B}B}

Example:Example: A = {a, b}, B = {b, c, d}A = {a, b}, B = {b, c, d}AA∩∩B = {b}B = {b}

Page 25: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

25

Set OperationsSet Operations

Two sets are called Two sets are called disjointdisjoint if their intersection if their intersection is empty, that is, they share no elements:is empty, that is, they share no elements:AA∩∩B = B = ∅∅

The The differencedifference between two sets A and B between two sets A and B contains exactly those elements of A that are contains exactly those elements of A that are not in B:not in B:AA--B = {x | xB = {x | x∈∈A A ∧∧ xx∉∉B}B}Example: Example: A = {a, b}, B = {b, c, d}, AA = {a, b}, B = {b, c, d}, A--B = {a}B = {a}

Page 26: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

26

Set OperationsSet Operations

The The complementcomplement of a set A contains exactly of a set A contains exactly those elements under consideration that are not those elements under consideration that are not in A: in A: AAcc = U= U--AA

Example: Example: U = U = NN, B = {250, 251, 252, , B = {250, 251, 252, ……}}BBcc = {0, 1, 2, = {0, 1, 2, ……, 248, 249}, 248, 249}

Page 27: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

27

Set OperationsSet OperationsTable 1 in Section 1.5 shows many useful equations.Table 1 in Section 1.5 shows many useful equations.How can we prove AHow can we prove A∪∪(B(B∩∩C) = (AC) = (A∪∪B)B)∩∩(A(A∪∪C)?C)?

Method I:Method I:xx∈∈AA∪∪(B(B∩∩C)C)

⇔⇔ xx∈∈A A ∨∨ xx∈∈(B(B∩∩C)C)⇔⇔ xx∈∈A A ∨∨ (x(x∈∈B B ∧∧ xx∈∈C)C)⇔⇔ (x(x∈∈A A ∨∨ xx∈∈B) B) ∧∧ (x(x∈∈A A ∨∨ xx∈∈C)C)

(distributive law for logical expressions)(distributive law for logical expressions)⇔⇔ xx∈∈(A(A∪∪B) B) ∧∧ xx∈∈(A(A∪∪C)C)⇔⇔ xx∈∈(A(A∪∪B)B)∩∩(A(A∪∪C)C)

Page 28: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

28

Set OperationsSet OperationsMethod II: Method II: Membership tableMembership table1 means 1 means ““x is an element of this setx is an element of this set””0 means 0 means ““x is not an element of this setx is not an element of this set””

11111111111 1 11 1 111111111001 1 01 1 011111111001 0 11 0 111111111001 0 01 0 011111111110 1 10 1 100001100000 1 00 1 000110000000 0 10 0 100000000000 0 00 0 0

(A(A∪∪B) B) ∩∩((AA∪∪C)C)AA∪∪CCAA∪∪BBAA∪∪((BB∩∩C)C)BB∩∩CCA B CA B C

Page 29: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

29

SifatSifat OperasiOperasi HimpunanHimpunan1.1. AsosiatifAsosiatif: (A: (A∪∪B) B) ∪∪ C =C = AA∪∪(B (B ∪∪ C)C)

(A(A∩∩B) B) ∩∩C =C = AA∩∩(B(B∩∩C)C)

2.2. IdempotenIdempoten: A: A∪∪A = A; AA = A; A∩∩ A = AA = A

3. 3. IdentitasIdentitas: A: A∪∪S = S; AS = S; A∩∩ S = AS = AAA∪∪ ∅∅ = A; A= A; A∩∩ ∅∅ = = ∅∅

4.4. DistributifDistributif: A: A∪∪(B (B ∩∩ C) =C) = ((AA∪∪B) B) ∩∩(A (A ∪∪ C)C)A A ∩∩(B (B ∪∪ C) =C) = ((AA∩∩B)B)∪∪(A (A ∩∩ C)C)

5. 5. KomplementerKomplementer: A: A∪∪AA’’ = S; A = S; A ∩∩ AA’’ = = ∅∅

6.6. De Morgan: (ADe Morgan: (A∪∪B)B)’’ = A= A’’∩∩BB’’(A(A∩∩B)B)’’ = A= A’’ ∪∪ BB’’

7. 7. PenyerapanPenyerapan: A: A∪∪(A(A∩∩B) = AB) = AAA∩∩(A(A∪∪B) =B) = AA

Page 30: Teori Himpunan - tatagyes.files.wordpress.com · 2 Teori Himpunan • Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas, bisanya dinyatakan

30

LatihanLatihan

1.1. BuktikanBuktikan AA∩∩(B(B∪∪C) = (AC) = (A∩∩B)B)∪∪(A (A ∩∩ C)C)2.2. BuktikanBuktikan AA--(B(B∪∪C) = (AC) = (A--B)B)∩∩(A(A--C)C)3.3. BilaBila A A ⊂⊂ B, B, buktikanbuktikan AA∩∩B = A B = A dandan

AA∪∪B = BB = B4.4. BuktikanBuktikan (A(A∪∪B) x C = (B) x C = (AxC)AxC)∪∪(BxC(BxC))