tajuk 1- ketaksamaan linear

7/27/2019 Tajuk 1- Ketaksamaan Linear

1/31

MTE3110 LINEAR ALGEBRA

TAJUK 1 SISTEM PERSAMAAN DAN KETAKSAMAAN LINEAR

SINOPSIS

Tajuk ini membekalkan pelajar dengan pengetahuan tentang persamaan dan ketaksamaanlinear.

HASIL PEMBELAJARAN

Menyelesaikan sistem persamaan dan ketaksamaan linear

Menggunakan konsep sistem persamaan dan ketaksamaan linear untuk menyelesaikan

masalah yang berkaitan.

KERANGKA TAJUK 11.1 Penyelesaian Persamaan Linear

- Kaedah Penghapusan

- Kaedah Pengantian

- Kaedah Gauss-Jordan

1.2 Ketaksamaan dan Pengaturcaraan Linear

- Sistem Homogenus

- Penggunaan Sistem Persamaan dan Ketaksamaan Linear

1


2/31


Sistem Persamaan Linear

Pengenalan

Sedar atau tidak matematik memain peranan yang sangat banyak dalam kehidupan harian kita,

jika diperhatikan dan diteliti apa yang berlaku dalam kehidupan kita berkait rapat dengan sistempersamaan linear terutamanya dalam bidang sains, industri dan juga permasalahan

ekonomi.Permasalahan tersebut boleh diringkaskan dalam bentuk sistem persamaan linear dan

sistem ini perlu diselesaikan dengan beberapa kaedah. Modul ini adalah untuk membantu

pelajar menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dengan menggunakan beberapa

kaedah dan juga aplikasinya dalam kehidupan seharian.

Persamaan Linear

Ungkapan algebra telah diperkenalkan sejak kita berada di sekolah menengah lagi, malahperkataan persamaan linear adalah bukan asing bagi pelajar matematik itu sendiri. Sebelum

kita pergi lebih lanjut lagi marilah kita melihat dahulu apakah yang dimaksudkan persamaan

linear dan apakah jenis-jenis penyelesaianya. Persamaan linear adalah satu persamaan yang

mempunyai pembolehubah berdarjah satu, secara algebra persamaan linear dalam dua

pembolehubah boleh ditulis sebagai ax + by = c dengan a,b dan c adalah pemalar dan secara

geometrinya apabila dilakarkan ia akan membentuk satu garis lurus seperti yang di gambarkan

di dalam Rajah 1a, manakala jika persamaan linear yang mempunyai tiga pembolehubah ia

ditulis sebagai ax + by + cz = d dengan a,b,c dan d adalah pemalar dan apabila ia dilakarkan iaakan membentuk satu satah dalam ruang tiga dimensi seperti di gambarkan dalam rajah 1b.

2

x

y

ax + by = c

x

y

zRajah 1a Rajah 1b


3/31


Selain itu persamaan linear ini tidak terhad kepada dua atau tiga pembolehubah sahaja, ia

boleh jadi empat , lima dan banyak pembolehubah. Secara umumnya persamaan linear boleh

ditakrifkan seperti berikut:

Contoh 1

Persamaan-persamaan berikut adalah linear

(a) 3x 4y = -1,merupakan persamaan linear dengan dua pemboleh ubah

(b) r s - t = 9,

merupakan persamaan linear dengan tiga pemboleh ubah

(c) x 1 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 5,

merupakan persamaan linear dengan empat pemboleh ubah.

Daripada contoh 1 di atas kita lihat bahawa darjah tertinggi bagi setiap pembolehubah adalah

satu.

Contoh 2

Persamaan-persamaan berikut adalah bukan persamaan linear

(a) x + 3y 2 = 4

(b) 2y sin x = 0

(c) + 2x 2 x 3 = 3

(d) x + 2xy z = 1

Dalam contoh 2 ini

(a) darjah tertinggi bagi y adalah 2 maka ia adalah bukan linear

(b) sin x adalah merupakan fungsi trigonometri maka ia bukan linear

(c) darjah bagi x 1 adalah maka ia juga bukan linear

3

Takrif 1 : Persamaan Linear

Persamaan linear dengan n pemboleh ubah x 1, x 2, . . . ,x n adalah persamaan berbentuk

a 1x1 + a 2x2 + . . . + a nxn = b

dengan a 1, a 2, . . . , a n dan b adalah nombor nyata.


4/31


(d) hasil darab pemboleh ubah x dan y menghasilkan jumlah darjahnya adalah dua, maka ia

bukan linear.

Anda telah mencuba aktiviti di atas?

Adakah anda telah memberi jawapan yang betul?

Sekarang lihat panduan ini:

Semak pembolehubah bagi persamaan tersebut

(i) Persamaan linear tidak mempunyai pemboleh ubah yang di darab atau punca kuasa

seperti xy, xyz, .

(ii) Darjah tertinggi bagi pembolehubah adalah satu. Maka sebutan berbentuk seperti x 2, y 3

z 4 adalah bukan persamaan linear.

(iii) Pemboleh ubah yang melibatkan fungsi logaritma, fungsi eksponen dan fungsi

trigonometri seperti log 10x, e x dan sinx adalah bukan persamaan linear.

Ya, mungkin anda telah memberi jawapan yang betul. tahniah!.

Penyelesaian Persamaan linear

Penyelesaian bagi persamaan linear a 1x1 + a 2x2 + . . . + a nxn = b ialah s 1,s 2,s 3...s n supaya

a 1x1 + a 2x2 + . . . + a nxn = b adalah benar. Ini bermakna x 1 = s 1, x 2 = s 2, x 3 = s 3... x n = s n.

Contoh3

Cari penyelesaian bagi setiap persamaan yang berikut:

(i) 3x + 2y = 1

4

Aktiviti 1.1.1

Tentukan sama ada persamaan berikut adalah linear atau tidak dan nyatakan sebabnya.

(a) x + 3y = 5

(b) x 1 + 3x 22 = 8 x 3

(c) x + 2y z = 3

(d) 3x 1 -4x 3 = x 2 +3x 4

(e) 3x + 2y z + xyz = 4

(f) x + 2y -3z = sin , dengan adalah pemalar.


5/31


(ii) x -3y +2z = 5

Penyelesaian

(i) persamaan tersebut boleh ditulis sebagai 2y = 1 3x

y = - x

yang mana x adalah pembolehubah bebas dan y adalah pembolehubah

bersandar,untuk menyelesaikan persamaan ini kita gantikan x dengan nilai t, dan ia

menjadi

y = - t

dan ini dikatakan persamaan berparameter t yang mana t boleh digantikan dengan

sebarang nilai nyata. Sebagai contoh t = 0, y = dan jika t = 1, = = -1 dan seterusnya.

(ii) persamaan ini pula boleh di tulis sebagai x = 5+3y - 2z yang mana y dan z adalah

pemboleh ubah bebas dan x adalah pembolehubah bersandar. Untuk menyelesaikan

persamaan tersebut, kita gantian y = r, dan z = s dan ianya menjadi

x = 5+3r 2s,

contoh penyelesaiannya ialah katakan r = 1 dan s = 1, maka x =6 dan sebagainya.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Sedikit sebanyak kita telah memahami apa itu persamaan linear. Seterusnya kita akan mengkaji

pula sistem persamaan linear dan juga jenis-jenis penyelesaian bagi sistem ini. Sebelum itu

marilah kita lihat takrifannya.

5

Takrif 2: Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear yang mempunyai m persamaan dan n pembolehubah adalahsistem berbentuk

a 11 x1 + a 12x2 + . . . + a 1nxn = b 1a 21 x1 + a 22x2 + . . . + a 2nxn = b 2

. . . . .

. . . . .

. . . . .a m1 x1 + a m2x2 + . . . + a mnxn = b m

dengan a ij adalah pekali bagi pembolehubah x j, dan b i adalah pemalar.Penyelesaian persamaan linear adalah merupakan s 1,s 2,...,s n yang memuaskan setiap

persamaan linear dalam sistem di atas.


6/31


Sebagai contoh, pertimbangkan sistem persamaan linear yang mempunyai dua pembolehubah

x + 2y = 7

2x - 3y = 0

mempunyai penyelesaian [3,2] dimana ianya memuaskan kedua-dua persamaan tersebut.

Cuba anda gantikan nilai x = 3 dan y = 2 dalam kedua-dua persamaan tersebut, apakah ia

memenuhi atau memuaskan persamaan itu? ya.

Bagaimana jika anda gantikan nilai x = 1 dan y = 3 dalam kedua-dua persamaan tersebutadakah ia memuaskan kedua-duanya, dengan kata lain [1,3] bukan merupakan penyelesaian

kepada sistem persamaan linear tersebut kerana ia hanya memuaskan persamaan linear yang

pertama sahaja.

Contoh 3

Selesaikan sistem persamaan linear berikut:

2x + y = 4

x y = -1Penyelesaian:

Dengan menambahkan kedua-dua persamaan tersebut memberikan

3x = 3, oleh itu

x = 1.

Kemudian gantikan x = 1 kedalam persamaan ke dua kita dapati y = 2, maka[1,2] merupakan

penyelesaian kepada kedua-dua persamaan linear tersebut dan ini adalah hanya satu-satunya

penyelesaian untuk sistem persamaan tersebut. Secara geometri penyelesaian sistem

persamaan ini boleh digambarkan seperti berikut:

6

x

y

x y = -12x + y = 4

(1,2)

2

1


7/31


Contoh 4


x y = 2

2x 2y = 4

Penyelesaian:Persamaan yang kedua dalam sistem di atas adalah dua kali ganda dari persamaan

yang pertama.Oleh itu penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah

bedasarkan persamaan yang pertama iaitu x y = 2, ini boleh diwakili parameter

[2 + t, t] bagi sebarang nilai nyata t. Ini memberikan sistem mempunyai penyelesaian

yang tak terhingga.

Penyelesaian sistem persamaan ini boleh digambarkan seperti berikut:

Contoh 5

7

x

yx y = 2

2x 2y = 4


8/31



x + y = 1

x + y = 2

Penyelesaian:

Sebagai contoh mari kita gantikan x = 0 pada persamaan yang pertama, didapati

y = 1 dan apabila x = 0 digantikan dalam persamaan kedua didapati y = 2, ini

tidak boleh berlaku kerana satu nilai x tidak boleh mempunyai dua nilai y yang

berbeza pada satu titik.Oleh itu sistem ini tidak mempunyai penyelesaian.

Penyelesaian sistem persamaan ini boleh digambarkan seperti berikut:

Perhatikan ketiga-tiga contoh di atas, sistem dalam contoh 3, 4 dan 5 mengambarkan

hanya ada tiga kemungkinan bilangan penyelesaian dalam sistem persamaan linear

dengan pekali nombor nyata.Sistem persamaan linear dikatakan konsisten jika ia

mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem yang tidak mempunyai

penyelesaian adalah tak konsisten .

Sebagai kesimpulan, Sistem Persamaan Linear dengan pekali nombor nyata

mempunyai sama ada

(a) penyelesaian unik,

(b) penyelesaian tak terhingga,

8

x

y

x + y = 1 x + y = 2


9/31


(c) tiada penyelesaian.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear ini boleh diringkaskan seperti dalam Rajah 1 di

bawah.

Rajah 2

1.2.1 Kesetaraan Sistem Persaman Linear

Pertimbangkan dua sistem berikut:

(a) 3x 1 + 2x 2 x 3 = -2 (b) 3x 1 + 2x 2 x 3 = -2

x2 = 3 -3x 1 x 2 + x 3 = 52x 3 = 4 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 2

Sistem (a) boleh di selesaikan dengan mudah iaitu dengan menggunakan kaedah

pengantian kebelakang (back-substitution);

dari persamaan ke tiga kita dapati

x3 = 2, x 2 = 3, dan

9

Aktiviti 1.2.1

Tentukan sama ada sistem persamaan linear berikut adalah mempunyai

penyelesaian unik,penyelesaian tak terhingga atau tiada penyelesaian.

(a) x + y = 0 (c) 3x 6y = 3

2x + y = 3 -x + 2y = 1

(b) x 2y = 7 (d) 0.10x 0.05y = 0.20

3x + y = 7 -0.06x + 0.03y = -0.12


10/31


seterusnya gantikan ke dalam persamaan yang pertama pada sistem tersebut.

Maka kita dapati,

3x 1 + 2(3) (2) = -2

3x 1 = -6

x1 = -2Jadi penyelesaian bagi sistem tersebut ialah (-2,3,2)

Bagaimana pula dengan sistem (b) cuba anda selesaikan.

Pad sistem (b) cuba kita tambahkan persamaan pertama dan persamaan kedua,

tambahkan

Hasilnya ialah, x 2 = 3, dan

Tambahkan persamaan pertama pada persamaan ketiga

tambahkan

Hasilnya ialah, 2x 3 = 4

Jika kita susun semula didapati sistem (b) menjadi seperti berikut:

3x 1 + 2x 2 x 3 = -2

x2 = 32x 3 = 4

Dan bandingkan sistem baru ini setara dengan sistem (a) dan penyelesaianya adalah

sama seperti penyelesaian dalam sistem (a).

10

Takrif 1.2.2

Dua sistem persamaan yang mempunyai pemboleh ubah yang sama dikatakan setara jikamempunyai set penyelesaian yang sama.

Aktiviti 1.2.2

Tentukan sama ada pasangan sistem persamaan linear berikut adalah setara atau tidak.

(a) x 1 + 2x 2 = 4 4x 1 + x 2 = 6

3x 1 x 2 = 2 dan 3x 1 x 2 = 2

4x 1 + x 2 = 6 x 1 + 2x 2 = 4

(b) x + y + 2z = 9 2y 7z = -17

2x + 4y 3z = 1 dan x + y + 2z = 9

3x + 6y 5z = 0 3y 11z = -27

(c) x + 2y = -3 3y + 2z = 4

2x + 3y 2z = -19 dan x + 2y = -3

-x +6z = 9 y + 3z = 3


11/31


Setelah kita melihat kesetaraan sistem persamaan linear yang telah dijelaskan di atasmaka sekarang kita cuba lihat apakah sebenarnya yang berlaku disebalik kesetaraan

tersebut.

Pertimbangkan sistem berikut:

3x 1 + 2x 2 x 3 = -2

-3x 1 x 2 + x 3 = 5

3x 1 + 2x 2 + x 3 = 2

Kita telah mempelajari bahawa sistem persamaan ini boleh ditulis dalam bentuk matrisseperti AX =B, maka;

Jika kita susun pekali matriks A dan matriks B seperti berikut;

Bentuk susunan matriks seperti ini dinamakan matriks imbuhan (augmented)

Sekarang kita lihat bagai mana proses kesetaraan sistem itu berlaku;

3x 1 + 2x 2 x 3 = -2

-3x 1 x 2 + x 3 = 5

3x 1 + 2x 2 + x 3 = 2

Maka, sistem akan menjadi

11

tambahkan persamaan pertama

dengan persamaan kedua

tambahkan baris pertama dengan

baris kedua


12/31


3x 1 + 2x 2 x 3 = -2

x2 = 3

3x 1 + 2x 2 + x 3 = 2


3x 1 + 2x 2 x 3 = -2

x2 = 3

-2x 3 = -4


3x 1 + 2x 2 x 3 = -2

x2 = 3

2x 3 = 4

Akhirnya kita dapati sistem persamaan asal di atas telah terturun menjadi

3x 1 + 2x 2 x 3 = -2

x2 = 3

2x 3 = 4

Dan boleh diselesaikan dengan mudah.

1.2.2 Operasi Baris Permulaan

Cuba kita lihat contoh yang telah dilalui semasa proses mencari kesetaraan di atas, jika

12

tolakkan persamaan pertama

dengan persamaan ketigatolakkan baris pertama dengan

baris ketiga

Daraban persamaan ketiga

dengan (-1)darabkan baris pertama dengan (-

1)

Cuba berbincang dengan rakan anda, bagai mana andadapatkan sistem persamaan yang setara seperti dalamaktiviti 1.2.2


13/31


14/31


7y + 6z = 10 atau dalam bentuk matriks imbuhan

2z = 4

Setelah sistem itu berada dalam bentuk segitiga kita akan mudah membuat pengantian

kebelakang untuk memyelesaikan sistem tersebut. seperti contoh di atas kita gantikan daribelakang, 2z = 4, maka z = 2

Gantikan z = 2 kedalam persamaan kedua didapati

7y + 6(2) = 10, maka 7y = -2 dan y =

Seterusnya gantikan kedalam perssamaan pertama, didapati

x + 2( ) + 2 = 3, dan x =

maka penyelesaian sistem tersebut adalah ( , , 2)

sekarang marilah kita teruskan dengan Operasi Baris Permulaan. Lihat contoh-contoh berikut:

Contoh 7


x + 2y + z = 8

2x + y - z = 1x + y - 2z = -3

Penyelesaian:

Tukarkan sistem di atas kepada bentuk matriks imbuhan seperti berikut;

,

untuk menjadikan matriks imbuhan ini berbentuk segitiga kita akan sifarkan semua

pemasukan pada lajur pertama kecuali pelopor lajur pertama tersebut.

(-2)B 1 + B 2

14


15/31


(-2)B 1 + B 3

Kemudian kita sifarkan pemasukan lajur kedua yang terletak dibawah pelopor baris

kedua.

(-1)B 2 + B 3

Maka sistem linear di atas adalah setara dengan

x + 2y + z = 8-3y + -3z = -15

-z = -4

Jadi, dengan menggunakan kaedah pengantian kebelakang,

z = 4, y = 1 dan x =2.

1.2.3 Bentuk Eselon Baris

Sebelum ini kita telah mempelajari suatu kaedah untuk menurunkan suatu sistem linear

n x n ke bentuk segitiga.Maka kita diperkenalkan pula dengan Bentuk Eselon Baris(B.E.B).

1.2.4 Bentuk Eselon Baris Terturun (B.E.B.T)

15

Takrif 1.2.5

Suatu matriks dikatakan berada dalam Bentuk Eselon Baris jika;

Semua baris sifar berada pada baris paling bawah matriks.

Pemasukan pelopor pada setiap baris bukan sifar adalah pada sebelah kanan lajur

yang mengandungi pemasukan pelopor pada baris sebelumnya.

Jika lajur mengandungi pemasukan pelopor pada baris tertentu, maka semua

kemasukan pada lajur dibawahnya adalah sifar.


16/31


Jika sesuatu matriks Bentuk Eselon Baris memenuhi dua ciri-ciri tambahan berikut kita

katakan ia adalah Bentuk eselon Baris Terturun.

Jika lajur mengandungi pemasukan pelopor pada sebarang baris , maka semua

kemasukan pada lajur tersebut adalah sifar.

pemasukan baris bukan sifar adalah satu.

Berikut adalah contoh matriks Bentuk Eselon Baris (B.E.B)

, , , .

Berikut pula adalah contoh matriks Bentuk Baris echelon terturun

, , , .

1.2.5 Kaedah Penghapusan Gauss

Algorithma yang digunakan untuk menurunkan sebarang matriks imbuhan menjadi

matriks Bentuk Eselon Baris adalah dipanggil kaedah Penghapusan Gauss.

Dalam teknik Penghapusan Gauss, kita turunkan matriks imbuhan bagi sistem linear

16

Aktiviti 1.2.3

Tentukan sama ada matriks yang diberi berikut adalah Bentuk Eselon Baris. Jika ia,

nyatakan sama ada ia juga berada dalam Bentuk Eselon Baris Terturun.

(a) (b)

(c) (d)


17/31


menjadi matriks Baris Eselon Baris. Kemudan, kita selesaikan sistem linear yang

setara dengan matriks Baris Eselon Baris itu menggunakan teknik yang dipanggil

penggantian kebelakang .

Contoh: 8Selesaikan sistem

2x 2 + 3x 3 = 8

2x 1 + 3x 2 + x 3 = 5

x1 x 2 2x 3 = -5

Penyelesaian:

Matriks imbuhannya ialah

Kita teruskan dengan menurunkan matriks ini kepada Bentuk Eselon Baris, seperti

berikut:

B1 B3

Sekarang mari kita jadikan sifar pada pemasukan kedua dalam lajur pertama:

2B 1 + B 2

Seterusnya kita darabkan dengan pada baris kedua untuk jadikan pemasukan pelopor

baris kedua adalah 1.

17


18/31


B2

Apa yang harus dilakukan seterusnya ialah perlu sifarkan pada pemasukan pada baris

ketiga lajur kedua.

2B 2 + B 3

Hasilnya matriks imbuhan yang asal telah berada dalam bentuk eselon baris.

Sistem linear itu adalah setara dengan :

x1 x 2 - 2x 3 = -5

3x 2 + x 3 = 3

x3 = 2

dan penggantian kebelakang memberikan

x3 = 2,

jadi x 2 = 3 - x 3= 3 2

= 1, dan seterusnya

x1 = -5 + x 2 + 2x 3

= -5 + 1 + 4

= 0.

Kita tulis jawapan dalam bentuk vektor sebagai

1.2.6 Kaedah Penghapusan Gauss-Jordan

Kaedah ini adalah lanjutan dari kaedah Penghapusan Gauss, yang mana sesuatu

sistem persamaan linear kita lakukan operasi baris sehingga kepada Bentuk Eselon

Baris Terturun (B.E.B.T)

18


19/31


Contoh:9

Selesaikan sistem

x + 3y - z = 8

2x + y + z = 33x - 2y - 2z = 1

Penyelesaian:

Matriks imbuhannya ialah

Kita teruskan dengan menurunkan matriks ini kepada Bentuk Eselon Baris Terturun

Seperti berikut:

2B 1 + B 2

Sekarang mari kita jadikan sifar pada pemasukan ketiga dalam lajur pertama:

3B 1 + B 3

Seterusnya kita darabkan dengan - pada baris kedua untuk jadikan pemasukan

pelopor baris kedua adalah 1.

B2

Apa yang harus dilakukan seterusnya ialah perlu sifarkan pada pemasukan pada baris

ketiga lajur kedua.

19


20/31


(11)B 2 + B 3

Hasilnya matriks imbuhan yang asal telah berada dalam bentuk eselon baris, namun

bagi penyelesaian secara Gauss-Jordan kita kena teruskan Operasi Baris Permulaan

ini sehingga kebentuk Bentuk eselon Baris Terturun.

Apa yang harus dilakukan seterusnya ialah perlu jadikan pelopor pemasukan baris

ketiga sebagai 1.

(- B 3

Seterusnya sifarkan pemasukan lajur ketiga yang berada di atas pelopor baris ketiga.

( ) B 3 + B 2

(1) B 3 + B 1

Akhirnya kita sifarkan pula pemasukan lajur kedua yang berada di atas pelopor baris

kedua.

(-3) B 2 + B 1

Maka sistem persamaan linear yang asal adalah setara dengan,

x = 1

y = 2

z = -1

dan penyelesaiannya ialah .

20


21/31


Sistem linear itu adalah setara dengan :

x1 x 2 - 2x 3 = -5

3x 2 + x 3 = 3

x3 = 2

dan penggantian kebelakang memberikan

x3 = 2,

jadi x 2 = 3 - x 3

= 3 2

= 1, dan seterusnya

x1 = -5 + x 2 + 2x 3

= -5 + 1 + 4= 0.

Kita tulis jawapan dalam bentuk vektor sebagai

21

Aktiviti 1.2.4

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan kaedah

Gaus-Jordan.

(a) x y + z = 3 (b) 2x + y z = 1

2x y + z = 4 x + y z = 0

x + 2y z = -1 3x + y + 2z = 2

(c) x y + z = 1 (d) 3x + y = 7

3x + y = 4 x z = 0

y 2z = -1 y - 2z = -8

(e) x + 2y + z = 4 (f) x + 2y 3z = -5

3x y - z = 2 5x + y z = -11

(g) 2x 2y + 3z + t = 2 (h) x + y + 2z + t = 1x + y + z + t = 5 x + 2y + z + t = 2

-x + 2y 3z + 2t = 2 2x + y + z + t = 4

x + y + 2z - t = 4 x + y + z + 2t = 3

(i) x + y + t = 4 (j) x - y + 2z + t = 3

x z + t = 2 3x - 2y - z - t = 4

2x + 2y + z + 2t = 8 2x + y + 2z - t = 10

x - y + z + t = -2 x + 2y + z - 3t = 8


22/31


1.2.7 Penggunaan

Keguanaan sistem persamaan linear adalah sangat banyak, ia boleh digunakan untuk

menyelesaikan masalah-masalah seperti dalam bidang ekonomi, fizik , kimia , biologi

dan pelbagai lagi.

Contoh 10Seorang ahli biologi meletakkan ke dalam tabung uji tiga jenis bakteria (dilabelkan

dengan I,II dan III), dimana mereka di beri tiga jenis makanan yang berbeza (a,B dan C).

Setiap hari 2300 unit makanan A, 800 unit makanan B, dan 1500 unit makanan C

diletakan ke dalam tabung uji berkenaan dan setiap bakteria menggunakan beberapa

unit makanan sehari, seperti yang ditunjukkan dalam jadual 1. Berapa banyak bakteria

bagi setiap jenis perlu diletakkan supaya hidup di dalam tabung uji dan menggunakan

kesemua makanan tersebut?

Bakteria

Jenis 1

Bakteria

Jenis 2

Bakteria

Jenis 3

Makanan A

Makanan B

Makanan C

2

1

1

2

2

3

4

0

1

Jadual 1

Penyelesaian:

Biarkan x, y dan z bilangan bakteria jenis 1,II dan III, masing-masing. Bedasarkan

maklumat di dalam jadual 1, Bakteria jenis I memerlukan 2 unit A setiap hari, bakteria

jenia II memerlukan 2 unit A setiap hari dan bakteria jenis III memerlukan 4 unit A sehari.

Maka kita boleh tulis dalam bentuk persamaan linear sebagai:

22


23/31


2x + 2y + 4z = 2300

Dengan cara yang sama kita boleh dapati persamaan untuk makanan B dan C seperti

berikut:

X + 2y = 800 dan

X + 3y + z = 1500dengan menggunakan kaedah Gaus-Jordan kita selesaikan seoerti berikut:

Persamaan di atas boleh ditulis dalam bentuk matriks imbuhan

dan selesaikan dengan Operasi Baris Permulaan sehingga ke

Bentuk Eselon Baris Terturun , iaitu:

Jadi, x = 100, y = 350 dan z = 350. Ini bermakna ahli biologi tersebut perlu meletakkan

100 bakteria jenis I , 350 bakteria jenis II dan 350 bakteria jenis III kedalam tabung uji

jika ia mahu semua makanan tersebut dihabiskan.

Contoh: 11

Rajah 3

Di dalam bidang rangkaian letrik kita boleh mengiraatau menentukan amaun arus di

dalam setiap cabang dalam sebutan rintangan dan voltan. Perhatikan rajah 3 berikut,

simbol mewakili sel atau bateri (diukur dalam sukatan volt) , arus akan keluar dari

pangkalan bateri yang bertanda mencancang panjang. Sementara itu simbol

mewakili perintang tang diukur dalam unit ohm.Simbol mewakili nod dan i mewakili

23

8 volt

9 volt

2 ohms4 ohms

2 ohms5 ohms

i1

i3

i2


24/31


arsu diantara nod-nod. Anak panah menunjukkan arah aliran arus. Untuk menentukan

arus, hukum Kirchhoff digunakan:

1. Pada setiap nod jumlah arus yang masuk adalah bersamaan dengan

jumlah arus yang keluar.

2. Pada setiap gelung tertutup hasil tambah algebra voltan mestilahbersamaan dengan hasil tambah algebra voltan yang menyusut.

Voltan , V = iR, dimana i adalah arus dalam ampere dan R adalah rintangan dalam

Ohms.

Jadi kita lihat dari rajah 1 didapati:

i1 i 2 + i3 = 0 (nod A)

- i1 + i2 i 3 = 0 (nod B)

Dari hukum kedua,4i1 + 2i 2 = 8 (gelung atas)

2i2 + 5i 3 = 9 (gelung bawah)

Persamaan linear di atas boleh diwakili oleh matriks imbuhan

Seterusnya turunkan ke Bentuk Eselon Baris Terturun ia menjadi;

Maka kita dapati, i 1 = 1, i 2 = 2 dan i 3 = 1.

Contoh 12

Pembakaran amonia (NH 3) dalam oksigen akan menghasilkan gas nitrogen (N 2) dan

air. Dapatkan persamaan kimia yang seimbang bagi tindakbalas ini.

Penyelesaian

24


25/31


Biar kita namakan bilangan molekul-molekul amonia,oksigen, nitrogen dan air sebagai

w,x,y dan z masing-masig, jadi persamaan tindakbalas ditulis sebagai;

wNH 3 + xO 2 y N 2 + zH 2O

Dengan membandingkan bilangan nitrogen,hidrogen dan oksigen didalam tindakbalas

dan hasil, kita mendapati tiga persamaan linear;

Nitrigen : w = 2y

Hidrogen: 3w = 2z

Oksigen: 2x = z

Seterusnya jika ditulis semula, ia menjadi sistem;

w - 2y = 0

3w 2z = 0

2x z = 0

Dalam bentuk matriks imbuhan,

Kemudian lakukan operasi baris permulaan sehingga menjadi bentuk eselon baris

terturun, .

Maka, kita dapati

w = z,

x = z dan,

y = z.

dengan menggantikan z = 6, kita akan dapati nilai integer yangpaling kecil bagi w,x dan

y, iaitu w = 4, x = 3, y = 2 dan z = 6.

Maka persamaan tindakbalas yang seimbang ialah

4NH 3 + 3O 2 2N 2 + 6H 2O

25


26/31


Contoh: 13 (Analisis rangkaian)

Dalam kebanyakan situasi harian, pelbagai rangkaian yang kita dapati seperti rangkaian

prngankutan, komunikasi, ekonomi dan lain-lain. Rangkaian-rangkaian ini seperti

rangkaian jalan raya, ia mempunyai simpang iaitu pertemuan antara beberapa cabang jalan.Pertemuan antara cabang ini dikenali sebagai nod. rajah 2 menerangkan

berkenaan Keabadian aliran iaitu setiap aliran masuk sama dengan aliran keluar.

Rajah 4

Dari rajah 4 di atas, kita lihat dua aliran masuk dan dua aliran keluar dari nod. Maka dari

sini kita boleh bina persamaan , iaitu aliran masuk f 1 + f 2 dan aliran keluar adalah

20 + 30 jadi keseluruhannya f 1 + f 2 = 50.

Mari kita lihat contoh seterusnya.

26

20

30

5

10 A B 10

20 5

30CD


27/31


Rajah 5

Rajah 5 menujukkan aliran air paip diukur dalam unit liter per minit. Jelaskan

kemungkinan-kemungkinan aliran air paip tersebut.

Penyelesaian:Pada setiap nod kita bina persamaan linear yang mungkin.

nod A : f 1 + f 4 = 15

nod B : f 1 f 2 = 10

nod C : f 2 + f 3 = 25

nod D : f 3 f 4 = 20

Dengan menggunakan kaedah Penghapusan Gauss-Jordan kita turunkan matriks

imbuhan ke bentuk eselob baris terturun.

Maka kita dapati,

f 1 + f 4 = 15

f 2 + f 4 = 5

f 3 f 4 = 20

biarkan f 4 = w, maka

f 1 = 15 w

f 2 = 5 w

f 3 = 20 + w

f 4 = w

Bedasarkan sistem persamaan linear dia atas , kita dapati w boleh mempunyai

sebarang nilai. Namun begitu realitinya ini adalah sistem aliran paip maka sudah tentu

tiada nilai negatif. Sekarang cuba kita gantikan;w = 5, maka f 1 = 10, f 2 = 0, f 3 = 25 dan f 4 = 5

Sebenarnya dari sistem di atas kita boleh mencari nilai maksimum dan minimum, cuba

pertimbangkan pada persamaan pertama sudah pasti w 15 (kerana f 1 tidak boleh

menjadi negatif), dan dari persamaan kedua pula w 5 (juga kerana f 2 tidak boleh

menjadi negatif). Maka kekangan w 5 adalah lebih kuat. Oleh itu kita dapati bahawa

27


28/31


0 t 5. Kombinasi dari persamaan di atas kita dapati

10 f 1 15

0 f 2 5

20 f 3 25 dan

0 f 4 5

2 Sistem Ketaksamaan Linear Dan Pengatucaraan Linear

Melukis ketaksamaan linear dalam dua pembolehubah

Menyelesaikan ketaksamaan Linear dengan menggunakan grraf

Penggunaan

Contoh: 14Grafkan set penyelesaian bagi sistem

y 2x 3 dan 2x 3y > 5

Penyelesaian:

Graf bagi ketaksamaan y 2x 3 meliputi graf garis bagi persamaan y = 2x 3 dan

semua titik di bawahnya. Manakala graf bagi ketaksamaan 2x 3y > 5 mengandungi

hanya titik-titik yang berada di bawahnya sahaja (tidak termasuk titik-titik yang berada di

atas garisan). Penyelesaian keseluruhan adalah titik yang memenuhi kedua-duaketasamaan tersebut. ( kawasan berlorek dalam rajah 4).

y = 2x 3 , 3y = 2x 5

28

x y0 -3

2 1

x y4 1

-2 -3

y = 2x 3

3y = 2x 5


29/31


Rajah 6

Contoh 15

Firdaus dan Dania berkerja sambilan untuk mengeluarkan bekas jam. Firdaus

menggunakan 4 jam sehari dan Dania pula 2 jam sehari untuk menyiapkan satu bekas

jam besar berdiri. Untuk membina satu bekas jan dindidng pula, Firdaus bekerja selama3 jam dan Dania 4 jam. Kedua-dua mereka tidak boleh bekerja lebih daripada 20 jam

seminggu. Jika mereka mendapat sebanyak RM80 untuk setiap jam besar berdiri dan

RM64 untuk setiap jam diding, berapa banakkah tiap-tiap satunya patut mereka bina

setiap minggu untuk memaksimum keuntungan mereka.

Penyelesaian:

Maklumat si atas boleh diringkaskan seperti berikut:

Masa untuk sebuah

Jam Besar Berdiri

Masa Untuk sebuah

jam didingFirdaus

Dania

4 jam

2 jam

3 jam

4 jam

Katakan x adalah bekas jam besar berdiri dan y adalah bekas jam dinding

Keuntungan , P = 80x + 64y

x 0

y 0

4x + 3y 20

2x + 4y 20

Kekangan x 0 dan y 0 menunjukkan bahawa bilangan bekas jam tidak

29


30/31


mungkin negatif.

Rantau berlorek R, adalah seperti yang ditunjukkan dalam graf di bawah.

Dari graf tersebut kita dapati bucu-bucu (0,0),(0,5), (2,4) dan (5,0) adalah merupakan

titik ekstremun, untuk menentukan keuntungan maksimum kita uji titik-titik ini.

Pada titik (0,0) P = 80(0) + 64(0) = 0

Pada titik (0,5) P = 80(0) + 64(5) = 329

Pada titik (2,4) P = 80(2) + 64(4) = 416

Pada titik (5,0) P = 80(5) + 64(0) = 400

Dari ujian di atas didapati keuntungan maksimum berlaku pada titik (2,4) ini bermakauntuk mendapat keuntungan maksimu Firdaus dan Dania mesti menyiapkan 2 bekas

jam besar berdiri dan 4 bekas jam dinding setiap minggu, iaitu mereka mendapat

keuntungan pada tahap RM400 seminggu.

30

2x + 4y = 20

4x + 3y = 20

(2,4)

(5,0)

(0,5)

(0,0)

R

Aktiviti 1.3.1

1. Tunjukkan secara graf set penyelesaian bagi setiap sistem ketaksamaanberikut:

(a) y x 2 (b) x + y < 2

Y < -2x + 3 x + y 1

(c) 2x + 3y 5 (d) x + y 1

3x + y 1 x y 1

X 0 x y 0

x 2

2. Seorang penjuak pakaian menyediakan 20 hingga 30 helai jaket

kulit dan 30 hingga 50 helai jaket kain. Dalam kedainya tedapat ruang untuk

menyimpan sehingga 60 helai jaket. Keuntungan daripada sehelai jaket kulit ialah

RM50 dan RM40 daripada jaket kain. Jika pekedai itu boleh menjual semua jaket

ini, berapa banyakkah setiap jaket perlu disediakan untuk memaksimumkan

keuntungan?


31/31


Aktiviti 1.2.4Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan kaedah

Gaus-Jordan.

(a) x y + z = 3 (b) 2x + y z = 1

2x y + z = 4 x + y z = 0

x + 2y z = -1 3x + y + 2z = 2

(c) x y + z = 1 (d) 3x + y = 73x + y = 4 x z = 0

y 2z = -1 y - 2z = -8

(e) x + 2y + z = 4 (f) x + 2y 3z = -5

3x y - z = 2 5x + y z = -11

(g) 2x 2y + 3z + t = 2 (h) x + y + 2z + t = 1

x + y + z + t = 5 x + 2y + z + t = 2-x + 2y 3z + 2t = 2 2x + y + z + t = 4

x + y + 2z - t = 4 x + y + z + 2t = 3

(i) x + y + t = 4 (j) x - y + 2z + t = 3

x z + t = 2 3x - 2y - z - t = 4

2 2 2 8 2 2 10

tajuk 1- ketaksamaan linear

Documents