skorminda.comskorminda.com/.../uploads/2016/01/pengaturcaraan-linear.docx · web viewrantau...

PENGATURCARAAN LINEAR

PENGATURCARAAN LINEAR

1

1. MENULIS KETAKSAMAAN

Tulis dua pembolehubah yang terlibat. Tulis ketaksamaan yang memenuhi semua

kekangan.

2. MELOREK RANTAU YANG MEMENUHI KETAKSAMAAN

Dengan menggunakan kertas graf dan skala yang sesuai pada paksi-x dan paksi-y. Lorek

rantau yang memenuhi semua ketaksamaan

3. MELUKIS GARIS LURUS BAGI FUNGSI OKJEKTIF

Bentuk fungsi rujukan ax + by = k dengan a, b dan k adalah pemalar. Selepas memilih nilai

yang sesuai untuk k (GSTK untuk a dan b ), lukis garis lurus

ax + by = k

4. MENCARI NILAI OPTIMUM BAGI FUNGSI OBJEKTIF

Dengan mengambil setip bucu rantau berlorek, uji setiap titik tersebut dengan

memasukkan nilai x dan y dalam persamaan ax + by = k. Jika nilai yang diperoleh tersebut

adalah nilai paling kecil ialah titik minimum dan jika nilai yang diper oleh adalah nilai

yang paling besar titik maksimum.

Semasa melorek rantau yang mewakili ketaksamaan :

Guna garis putus-putus ------------------- untuk ( > atau < )

Guna garis penuh ___________ untuk ( ≤ atau ≥ )

*Rujuk kepada “ y positif ” jika y ialah perkara rumus.

Rantau di atas garis lurus untuk ≥ dan > rantau di bawah untuk ≤ dan <.

RANTAU BERLOREK PADA GRAF YANG MEMENUHI SUATU KETAKSAMAAN LINEAR

Pada rajah, lorekkan rantau yang memuaskan ketaksamaan berikut.

LATIHAN 1.1

2

CONTOH 1

1. 2x + 4y < 8

Langkah 1 : Lukis garis lurus 2x + 4y = 8

Langkah 2. : Dengan menggantikan nilai

x = 0 untuk mendapatkan

nilai y.

Langkah 3 : Gantikan nilai y = 0 untuk

mendapatkan nilai x.

x 0 4y 2 0

Langkah 4 : Plotkan kedua-dua titik (0,2) dan (4,0)

Langkah 5 : Lukis garis lurus putus-putus dengan menggunakan pembaris.

Langkah 6 : Lorekkan rantau 2x + 4y < 8 yang memuaskan ketaksamaan tersebut.

LATIHAN 1.1

3

1. 3x – y ≤ 12

2. 4x + 2y ≥ 8

RANTAU BERLOREK PADA GRAF YANG MEMENUHI BEBERAPA KETAKSAMAAN LINEAR

4

CONTOH 1

Lorek dan tandakan R rantau yang memuaskan ketaksamaan-ketaksamaan linear y ≤ 2x, x + y < 6, dan 5x + y ≥ 5.

Langkah1. Lukis setiap garis lurus2. Lorekkan rantau3. Tentukan rantau yang memenuhi semua ketaksamaan. (Tindihan semua kawasan berlorek)

y = 2x

x 0 2y 0 4

x + y = 6

x 0 6y 6 0

5x + y =5

x 0 1y 5 0

LATIHAN 1.2

1. Lorek dan tandakan R rantau yang memuaskan ketaksamaan-ketaksamaan linear

x ≥ 0 , y ≥ 0, y ≥ -x+1, y ≤ x + 2, 5y < -6x + 30


x ≥ 0 , y ≥ 0, y < 2x + 2, 2y ≤ x + 4, 6y < -7x + 42


x ≥ 0 , y ≥ 0, y ≤ 3x, y ≥ x – 4 , 6y + 5x ≤ 30.

MENYELESAIKAN MASALAH DENGAN MENULIS KETAKSAMAAN LINEAR

5

Bil Kekangan Ketaksamaan1 y tidak lebih daripada x y ≤ x2 y tidak kurang daripada x y ≥ x3 y sekurang-kurangnya k kali x y ≥ kx4 y selebih-lebihnya k kali x y ≤ kx5 Maksimum x ialah k x ≤ k6 Minimum x ialah k x ≥ k7 y melebihi x sekurang-kurangnya k y – x ≥ k

Sebuah kilang menghasilkan dua mainan, C dan D. Pada satu hari tertentu, kilang itu menghasilkan x unit C dan y unit D. Keuntungan daripada penjualan seunit mainan C ialah RM9 dan seunit mainan D ialah RM15. Penghasilan mainan-mainan itu dalam sehari adalah berdasarkan kekangan berikut:

I Jumlah mainan yang dihasilkan adalah selebih-lebihnya 400.

II Bilangan mainan C yang dihasilkan tidak melebihi 3 kali bilangan mainan D.

III Jumlah keuntungan minimum bagi kedua-dua mainan adalah RM3 900.

JAWAPAN :

I: x + y ≤ 400

II: y ≥ x

III: 9x + 15y ≥ 3900 3x + 5y ≥ 1300

LATIHAN 1.3

6

CONTOH 1

1. Sebuah kolej menawarkan dua kursus, P dan Q. Bilangan pelajar kursus P ialah x dan

bilangan pelajar kursus Q ialah y. Pengambilan pelajar adalah berdasarkan kekangan

berikut:

I Bilangan maksimum pelajar ialah 75.

II Bilangan pelajar kursus Q adalah sekurang-kurangnya 10.

III Bilangan pelajar kursur Q selebih-lebihnya adalah 1 kali bilangan peserta

kursus P.

Jawapan :

I …………………………………………

II ………………………………………..

III ………………………………………..

2. Sebuah kilang menghasilkan dua jenis meja, P dan Q. Penghasilan setiap meja melibatkan

dua proses, iaitu memasang dan mengecat. Jadual 1 menunjukkan masa yang diambil

untuk memasang dan mengecat seunit meja P dan seunit meja Q.

Meja

Tempoh masa (minit)

Memasang Mengecat

P 50 30

Q 20 50

Kilang itu menghasilkan x unit meja P dan y unit meja Q sehari. Penghasilan meja sehari adalah

berdasarkan kekangan berikut:

I Jumlah masa maksimum untuk memasang kedua-dua meja adalah 4 800 minit

7

II Jumlah masa untuk mengecat kedua-dua meja adalah sekurang-kurangnya 4 000 minit.

III Nisbah bilangan meja P kepada bilangan meja Q adalah sekurang-kurangnya 1 : 3.

Jawapan :

I …………………………………………

II ………………………………………..

III ………………………………………..

3. Sebuah sekolah bercadang untuk mengadakan satu lawatan ke Muzium Negara. Mereka

membuat keputusan untuk menyewa x buah bus dan y buah van untuk membawa pelajar.

Sewaan sebuah bas ialah RM900 dan sewaan sebuah van ialah RM150. Sewaan kenderaan

adalah berdasarkan kekangan berikut:

I Jumlah kenderaan yang disewa tidak melebihi 9 buah.

II Bilangan bas selebih-lebihnya adalah 4 kali bilangan van.

III Peruntukan maksimum untuk sewaan kenderaan ialah RM4 000.

JAWAPAN :

I …………………………………………

II ………………………………………..

III ………………………………………..

MENCARI TITIK MINIMUM ATAU TITIK MAKSIMUM

8CONTOH 1- BAHAGIAN C

Bilangan pelajar kursus M ialah x dan bilangan pelajar kursus N ialah y

LATIHAN 1.4

9

CONTOH 1- BAHAGIAN C

Bilangan pelajar kursus M ialah x dan bilangan pelajar kursus N ialah y

1. Kilang itu menghasilkan x unit meja C dan y unit meja D sehari

(c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), cari

(i) Jumlah keuntungan minimum sehari jika keuntungan yang diperoleh dari seunit meja C

ialah RM12 dan dari seunit meja D ialah RM8.

Jawapan :

Titik (17,32 )

………………………………………………….

Titik (45, 18)

………………………………………………….

Titik (30, 60)

………………………………………………….

Maka titik minimum ialah …………dan jumlah keuntungan minimum ialah ………

2. Kilang itu

menghasilkan x unit A dan y unit B

10

(17,32 )


(i) Jumlah keuntungan maksimum jika keuntungan daripada penjualan seunit mainan A

ialah RM 8 dan seunit mainan B ialah RM 10.

Jawapan :

Titik (0, 450)

………………………………………………….

Titik (0, 255 )

………………………………………………….

Titik (235, 85 )

………………………………………………….

Titik ( 338, 112 )

………………………………………………….

Maka titik maksimum ialah …………dan bilangan maksimum ialah ………

Contoh Soalan SPM

11

(0, 255 )

(0, 450 )

(235, 85 )

1. Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Fatimah membuat x ketul kek coklat dan y ketul kek pisang untuk satu jamuan. Bilangan kek

adalah berdasarkan kekangan berikut:

I Jumlah bilangan kek tidak boleh melebihi 75 ketul.

II Bilangan kek coklat tidak melebihi 5 kali bilangan kek pisang.

III Bilangan kek pisang tidak boleh melebihi 15 bilangan kek coklat.

(a) Tulis tiga ketaksamaan, selain x ≥ 0 and y ≥ 0, yang memenuhi semua kekangan di atas.

[3 markah]

(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 ketul kek pada kedua-dua paksi, bina dan lorek

rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.

[3 markah]


(i) bilangan maksimum kek coklat yang boleh dibuat,

(ii) .jumlah kos maksimum pembuatan kek jika kos seketul kek coklat ialah RM2.50 dan kos

seketul kek pisang ialah RM2.00.

[4 markah]

JAWAPAN CONTOH SOALAN SPM

12

(a) I: x + y ≤ 75

II: y ≥ x

III: y ≤ x + 15

(b)

(c) (i) Berdasarkan graf, bilangan maksimum kek coklat ialah 62.

(ii) 2.5x + 2y = k

Bila x = 0 dan y = 25, k = 50

5x + 4y = 100

Berdasarkan graf, jumlah maksimum yuran pada titik (62, 12).

jumlah kos maksimum

= 2.5(62) + 2(12)

= RM179.00

PRAKTIS KENDIRI

13

Soalan SPM dan klon SPM

1. Sebuah universiti ingin mengadakan satu kursus untuk x orang mahasiswa jurusan

perubatan dan y orang mahasiswa jurusan pergigian. Kursus ini diadakan berdasarkan

kekangan berikut:

I : Jumlah bilangan mahawiswa sekurang-kurangnya 30.

II : Bilangan mahasiswa jurusan perubatan tidak lebih daripada tiga kali bilangan

mahasiswa jurusan pergigian

III : Peruntukan maksimum untuk kursus ini adalah RM6 000 dengan RM100 untuk

seorang mahasiswa jurusan perubatan dan RM80 untuk seorang mahasiswa

jurusan pergigian.

(a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0, yang memenuhi semua

kekangan di atas.

[ 3 m / Aras R ]

(b) Menggunakan skala 2 cm kepada 10 orang mahasiswa pada kedua-dua paksi, bina

dan lorek rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.

[ 3 m / Aras S ]

(c) Menggunakan graf yang dibina di 2(b), cari

(i) bilangan minimum dan maksimum bagi mahasiswa jurusan pergigian jika

bilangan mahasiswa jurusan perubatan yang menyertai kursus itu ialah 20.

[ 2 m / Aras T ]

(ii) perbelanjaan minimum untuk mengendalikan kursus itu untuk kes

di 2(c) (i).

[ 2 m / Aras T ]

14

2. Satu pusat tuisyen menawarkan dua pakej, S dan A, untuk pelajar tingkatan empat.

Bilangan pelajar untuk pakej S dan A ialah masing-masing x orang dan y orang.

Pengambilan pelajar adalah berdasarkan kepada kekangan berikut:

I : Jumlah bilangan pelajar tidak lebih daripada 90 orang.

II : Bilangan pelajar untuk pakej S tidak lebih daripada dua kali bilangan pelajar

untuk pakej A.

III : Bilangan pelajar untuk pakej A mesti melebihi bilangan pelajar untuk pakej S

sebanyak selebih-lebihnya 10 orang.


kekangan di atas.

[ 3 m / Aras R ]

(b) Menggunakan skala 2 cm kepada 10 orang pelajar pada kedua-dua paksi, bina dan

lorek rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.

[ 3 m / Aras S ]


(i) julat bilangan pelajar untu pakej A jika bilangan pelajar untuk pakej S

ialah 20.

[ 1 m / Aras T ]

(ii) jumlah yuran maksimum sebulan yang boleh dikutip jika yuran sebulan

untuk pakej S dan A ialah masing-masing RM120 dan RM100.

[ 3 m / Aras T ]

15

3. Sebuah kedai bakeri menghasilkan x buku roti jenis L dan y buku roti jenis M sehari.

Penghasilan roti ini melibatkan dua proses: mengadun dan membakar. Jadual 4

menunjukkan masa yang diperlukan untuk membuat dua jenis roti ini.

Jadual 4

Penghasilan dua jenis roti itu adalah berdasarkan kepada kekangan berikut:

I : Jumlah masa mengadun untuk kedua-dua jenis roti tidak lebih daripada 540

minit sehari.

II : Jumlah masa membakar untuk kedua-dua jenis roti sekurang-kurangnya 480

minit sehari.

III : Nisbah bilangan buku roti jenis L kepada bilangan buku roti jenis M yang

dihasilkan sehari tidak kurang daripada 1 : 2.


kekangan di atas.

16

Jenis roti

Masa yang diperlukan( minit )

Mengadun Membakar

L 30 40

M 30 30

[ 3 m / Aras R ]

(b) Menggunakan skala 2 cm kepada 2 buku roti pada kedua-dua paksi, bina dan

lorek rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.

[ 3 m / Aras S ]


(i) bilangan maksimum roti jenis L jika 10 buku roti jenis M dihasilkan

sehari.

[ 1 m / Aras T ]

(ii) jumlah keuntungan minimum sehari jika keuntungan satu buku roti jenis L

ialah RM4.00 dan keuntungan satu buku roti jenis M ialah RM2.00.

[ 3 m / Aras T ]

4. Sebuah kolej terkemuka menawarkan dua kursus, A dan B. Kemasukan pelajar adalah

berdasarkan kepada kekangan berikut :

17

I : Kapasiti kolej adalah 170 orang pelajar.

II : Jumlah minimum pengambilan pelajar adalah 80 orang.

III : Bilangan pelajar yang diambil untuk kursus B adalah melebihi dua kali bilangan

pelajar yang diambil untuk kursus A sekurang-kurangnya 20 orang.

Diberi bahawa x orang pelajar mendaftar untuk kursus A dan y orang pelajar mendaftar

untuk kursus B.


kekangan di atas.

[ 3 m / Aras R ]

(b) Menggunakan skala 2 cm kepada 10 orang pelajar pada paksi-x dan 2 cm kepada

20 orang pelajar pada paksi-y, bina dan lorek rantau R yang memenuhi semua

kekangan di atas.

[ 3 m / Aras S ]


(i) julat bilangan pelajar yang mendaftar untuk kursus B jika bilangan pelajar

yang mendaftar untuk kursus A ialah 30.

[ 1 m / Aras T ]

(ii) jumlah maksimum kutipan yuran sebulan jika kutipan yuran bulanan bagi

seorang pelajar kursus A ialah RM100 dan bagi seorang pelajar kursus B

ialahRM80.

[ 3 m / Aras T ]

5. Amirah memperuntukkan RM200 untuk membeli x buku kerja dan y buku rujukan.

Jumlah bilangan buku yang dibeli tidak kurang daripada 20. Bilangan buku kerja yang

18

dibeli adalah selebih-lebihnya dua kali bilangan buku rujukan. Harga sebuah buku kerja

ialah RM10 dan harga sebuah buku rujukan ialah RM5.


kekangan di atas.

[ 3 m / Aras R ]

(b) Menggunakan skala 2 cm kepada 5 buku pada kedua-dua paksi, bina dan lorek

rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas.

[ 3 m / Aras S ]

(c) Amirah membeli 15 buku rujukan.

Menggunakan graf yang dibina di 7(b), cari baki wang yang maksimum.

[ 4 m / Aras T ]

***************** SOALAN TAMAT ***************

JAWAPAN :

19

LATIHAN 1.1

1.

2.

LATIHAN 1.2

1.

20

2.

3.

LATIHAN 1.3

21

x

y

×

x = 20

x + y = 30

5x + 4y = 300

x = 3y

R

10 20O 30 40 50 60 70 80

10

20

30

40

50

60

70

80

1.(a)x + y≥ 30x≤ 3y5x + 4y≤ 300 (b)graf (c)(i)minimum = 10maksimum = 50(ii)RM2 800

22

1.

(

I: x + y ≤ 75

II: y ≥ 10

III: y ≤ x

3.

(

I: 50x + 20y ≤ 4800

5x + 2y ≥ 480

II: 30x + 50y ≤ 4000

3x + 5y ≥ 400

III: ≥

y ≤ 3x

5.

(

I: x + y ≤ 9

II: y ≥ x

III: 18x + 3y ≤ 80

LA LATIHAN 1.4

1. Berdasarkan graf , jumlah keuntungan

minimum pada titik (17, 32).

jumlah keuntungan minimum

= 12(17) + 8(32)

= RM460

2. Berdasarkan graf, jumlah maksimum keuntungan

pada titik (338, 112).

jumlah keuntungan maksimum

= 8(338) + 10(112)

= RM3 824

PRAKTIS KENDIRI

y – x = 10

2.(a)x + y ≤ 90x≤ 2yy –x≤ 10 (b)graf (c)(i)10 ≤y≤ 30(ii)RM10 200y

80

70

90

23

y

2x = y14

16

3.(a)x + y ≤ 184x + 3y≥ 482x ≥y (b)graf (c)(i)8(ii)RM40

18

24

y

x = 30

y – 2x = 20 300

140

160

4.(a)x + y≤ 170x + y ≥ 80y – 2x≥20 (b)graf (c)(i)80 ≤y≤ 140 (ii)RM14 600

180

25

y

2x + y = 40

35

40

5.(a)x + y≥ 20x≤ 2y2x + y≤ 40 (b)graf (c)RM75

26

skorminda.comskorminda.com/.../uploads/2016/01/pengaturcaraan-linear.docx · web viewrantau...

Documents