Statistika Dasar

Pertemuan ke-8

http://slideshare.net/QuKumeng

Momen untuk data tunggal

Misalkan diberikan variable 𝑥 dengan harga-harga :𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 . Jika 𝐴 = sebuah bilangan tetap dan 𝑟 =1,2, … , maka momen ke-r sekitar A, disingkat 𝑚′𝑟didefinisikan oleh hubungan :

𝑚′𝑟 = (𝑥𝑖 − 𝐴)𝑟

𝑛Untuk 𝐴 = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkatmomen ke-r :

𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛 𝑘𝑒 − 𝑟 = 𝑥𝑖

𝑟

𝑛Dari rumus diatas, maka untuk 𝑟 = 1 didapat rata-rata 𝑥

Momen untuk data tunggal

untuk 𝑟 = 1 didapat rata-rata 𝑥. Jika 𝐴 = 𝑥, kitaperoleh momen ke-r sekitar rata-rata, biasadisingkat dengan 𝑚𝑟. Didapat :

𝑚𝑟 = (𝑥𝑖− 𝑥)𝑟

𝑛

Untuk 𝑟 = 2, rumus diatas memberikan varians𝑠2 . Maka rata-rata dan varians sebenarnyamerupakan hal istimewa dari kelompok ukuranlain yang disebut momen.

Untuk membedakanapakah momen itu untuksampel atau populasa, maka dipakai simbul :

• 𝑚𝑟 dan 𝑚′𝑟 untuk momen sampel

• 𝜇𝑟 dan 𝜇′𝑟 untuk momen populasi

Momen untuk data distribusi frekuensi

Bila data telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi,maka rumus-rumus diatas berturut-turut berbentuk :

𝑚′𝑟 = 𝑓𝑖(𝑥𝑖 − 𝐴)𝑟

𝑛

𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛 𝑘𝑒 − 𝑟 = 𝑓𝑖 . 𝑥𝑖

𝑟

𝑛

𝑚𝑟 = 𝑓𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥)𝑟

𝑛Dengan 𝑛 = 𝑓𝑖, 𝑥𝑖 = tanda kelas interval, dan 𝑓𝑖 =frekuensi yang sesuai dengan 𝑥𝑖.

Momen untuk data distribusi frekuensiDengan menggunakan cara sandi, maka :

𝑚′𝑟 = 𝑝𝑟 𝑓𝑖 . 𝑐𝑖

𝑟

𝑛

Dengan 𝑝 =panjang kelas dan 𝑐𝑖 = variable sandi.

Dari 𝑚′𝑟 harga 𝑚𝑟 untuk beberapa harga r, dapatditentukan berdasarkan hubungan :𝑚2 = 𝑚′2 − (𝑚′

1)2

𝑚3 = 𝑚′3 − 3𝑚′1𝑚′2 + 2(𝑚′1)

3

𝑚4 = 𝑚′4 − 4𝑚′1𝑚

′3 + 6 𝑚′

12𝑚′

2 − 3(𝑚′1)

4

Contoh Momen :

Carilah empat buah momensekitar rata-rata untuk datadalam daftar distribusifrekuensi disamping:

a. Dengan menggunakan carasandi.

b. Tentukan 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3, 𝑚4

c. Tentukan rata-rata danvarians nya.

Tabel IV

Nilai rata-rata ujianstatistika

Sumber : Metoda Statistika

Nilai Ujian 𝒇𝒊

31 – 4041 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 90

91 – 100

125

15252012

80

KemiringanReview :

Kurva halus atau model kurva yang berbentuk positif,negative, atau simetris.

positif negative simetris

Dalam hal positif dan negative tersebut, terjadi sifattaksimetri. Untuk mengetahui derajat taksimetri sebuahmodel, digunakan ukuran kemiringan.

KemiringanUkuran kemiringan :

𝐾𝑒𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 = 𝑥 − 𝑀𝑜

𝑠Rumus empiriknya :

𝐾𝑒𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 =3( 𝑥 − 𝑀𝑒)

𝑠• Kurva positif (+) terjadi bila kurva mempunyai ekor yang

memanjang ke kanan sehingga kemiringan (+).

• Kurva negative (-) terjadi bila kurva mempunyai ekor yangmemanjang ke kiri sehingga kemiringan (–) .

• Kurva simetri terjadi bila kurvamemiliki ekor yang samapanjang antara kanan dan kiri sehingga kemiringan (0).

Contoh Kemiringan

a. Tentukan Kemiringandari Tabel disamping.

b. Kemudian tentukanapakah tabel disampingmemiliki kurva positif,negative, atau simetri.

c. Lihat Buku Halaman 55

Tabel IV

Nilai rata-rata ujianstatistikaa.

Sumber : Metoda Statistika

Nilai Ujian 𝒇𝒊

31 – 4041 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 90

91 – 100

125

15252012

80

Kurtosis

Bertitik tolak dari kurva model normal atau distribusinormal, tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentukkurva disebut dengan kurtosis.

Kurtosis

Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis yangdiberi simbul 𝑎4, dengan rumus :

𝑎4 =𝑚4

𝑚22

Kriteria yang didapat dari rumus ini adalah :

• 𝑎4 = 3 memiliki distribusi normal

• 𝑎4 > 3 memiliki distribusi leptokurtic

• 𝑎4 < 3 memiliki distribusi platikurtik

Kurtosis

Untuk menyelidiki apakah distribusi tersebut normal atautidak, maka dipakai koefisien kurtosis persentil :

𝐾 =

12(𝐾3 − 𝐾1)

𝑃90 − 𝑃10Koefisien kurtosis kurva normal = 0,263.

Kurva yang runcing disebut leptokurtik , koefisienkeruncingannya lebih dari 0,263. Sedangkan kurva yangdatar disebut platikurtik, koefisien keruncingannya kurangdari 0,263. Kurva yang bentuknya antara runcing dandatar disebut mesokurtik.