STATISTIKA DASARPertemuan ke-10

http://slideshare.net/QuKumeng

DISTRIBUSI PELUANGVARIABEL ACAK KONTINU

Berbeda dengan variabel random diskrit, sebuah variabelrandom kontinyu adalah variabel yang dapat mencakupnilai pecahan maupun mencakup range / rentang nilaitertentu.Karena terdapat bilangan pecahan yang jumlahnya tidakterbatas, kita tidak dapat menuliskan semua nilai yangmungkin bersama dengan probabilitasnya masing – masingdalam bentuk tabel. Namun dipakai fungsi kepadatanprobabilitas (Probability Density Function : pdf). Plot untukfungsi seperti ini disebut kurva probabilitas dan nilaiprobabilitasnya dinyatakan sebagai luas suatu kurva yangbernilai positif. Contoh ditribusi peluang kontinu :1. Distribusi Normal Baku2. Distribusi t atau Distribusi Student3. Distribusi Kurva Khi-Kuadrat4. Distribusi F

Distribusi Normal Baku

Distribusi normal adalah distribusi yang palingpenting diantara distribusi yang lain. Nama lainnya:distribusi Gauss (Gaussian distribution). Kurva daridistribusi normal mempunyai bentuk setangkupseperti lonceng :

Fungsi padat peluang (pdf)dari peubah acak normal Xdengan rataan μ dan variansi𝜎2 yang memiliki distribusinormal adalah:

𝑛 𝑥; 𝜇, 𝜎 =1

𝜎 2𝜋𝑒−1/2

𝑥−𝜇𝜎

2

, −∞ < 𝑥 < ∞

yang dalam hal ini π = 3.14159... dan e = 2.71828...

Distribusi Student(Distribusi t)

Distribusi T adalah pengujian hipotesis yang menggunakandistribusi T sebagai uji statsistik, table pengujiannya disebut table Tstudent. Cirinya : sample yang di uji berukuran kurang dari 30.

Distribusi T pertama kali diterbitkan tahun 1908 dikembangkanoleh William Sealy Gosset. Dalam artikel publikasinya, iamenggunakan nama samaran “Student”, sehingga kemudianmetode pengujiannya dikenal dengan uji t-student. Williammenganggap bahwa untuk sampel kecil, nilai Z dari distribusinormal tidak begitu cocok. Oleh karenanya, ia kemudianmengembangkan distribusi lain yang mirip dengan distribusinormal, yang dikenal dengan distribusi t-student. Distribusistudent ini berlaku baik untuk sampel kecil maupun sampel besar.Pada n ≥ 30, distribusi t ini mendekati distribusi normal dan pada nyang sangat besar, misalnya n=10.000, nilai distribusi t sama persisdengan nilai distribusi normal (lihat tabel t pada df 10000 danbandingkan dengan nilai Z).

Distribusi Student(Distribusi t)

Ciri-Ciri Distribusi T

a. Sampel yang diuji berukuran kecil ( n < 30 ).

b. Penentuan nilai tabel dilihat dari besarnya tingkatsignifikan (α) dan besarnya derajat bebas (db).

Fungsi Pengujian Distribusi T

a. Untuk memperkirakan interval rata-rata.

b. Untuk menguji hipotesis tentang rata-rata suatusampel.

c. Menunjukkan batas penerimaan suatu hipotesis.

d. Untuk menguji suatu pernyataan apakah sudahlayak untuk dipercaya.

Distribusi Student(Distribusi t)

Untuk sampel ukuran 𝑛 ≥ 3 , taksiran σ2 diperoleh denganmenghitung nilai 𝑆2 . Untuk sampel ukuran 𝑛 ≥ 30 , maka 𝑆2

memberikan taksiran σ2 yang baik. Dan distribusi statistik ( 𝑋 −

𝜇)/(𝑆

𝑛) masih secara hampiran, berdistribusi sama dengan peubah

normal baku z.

Bila ukuran sampel 𝑛 < 30 , nilai 𝑆2 berubah cukup besar dari

sampel ke sampel dan distribusi peubah acak ( 𝑋 − 𝜇)/(𝑆

𝑛) tidak lagi

berdistribusi normal baku.

Misalkan 𝑍 = 𝑋−𝜇

𝜎 𝑛peubah acak normal baku dan𝑉 =

(𝑛−1)𝑆2

σ2peubah

acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 𝑣 = 𝑛 − 1.

Jika Z dan V bebas, maka distribusi peubah acak :

𝑇 =( 𝑋 − 𝜇) ( 𝜎 𝑛)

𝑆2 𝜎2=

𝑍

𝑉(𝑛 − 1)

Distribusi Student(Distribusi t)

Distribusi sampel T di dapat dari anggapan bahwa sampelacak berasal dari populasi normal.

𝑇 =( 𝑋 − 𝜇) ( 𝜎 𝑛)

𝑆2 𝜎2=

𝑍

𝑉(𝑛 − 1)

Dengan ,

𝑍 = 𝑋 − 𝜇

𝜎 𝑛

Berdistribusi normal baku, dan

𝑉 =𝑛 − 1 𝑆2

𝜎2

Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v.

Distribusi Student(Distribusi t)

Bila z dan v bebas, maka distribusi peubah acak T :

𝑇 =𝑍

𝑉 𝑣

Diberikan oleh,

ℎ 𝑡 =Γ 𝑣 + 1 2

Γ 𝑣 2 𝜋𝑣1 +𝑡2

𝑣

− 𝑣+1 2

Ini di kenal dengan nama distribusi t dengan derajatkebebasan v.

Distribusi Z dan T berbeda karena variansi T bergantung padaukuran sampel n dan variansi ini selalu lebih besar dari 1.Hanya bila ukuran sampel 𝑛 → ∞ kedua distribusi menjadisama.

Distribusi Student(Distribusi t)

Pada gambar dibawah diperlihatkan hubungan antara distribusinormal baku (𝑣 = ∞) dan distribusi t untuk derajat kebebasan 2dan 5.

Karena distribusi t setangkupterhadap rataan nol, maka𝑡1−𝛼 = −𝑡𝛼; yaitu, nilai t yangluas sebelah kanannya 1 − 𝛼 ,atau luas sebelah kirinya 𝛼 ,sama dengan minus nilai tyang luas bagian kanannya 𝛼.

Panjang selang nilai t yang dapat diterima tergantung padabagaimana pentingnya 𝜇. Bila 𝜇 ingin ditaksir dengan ketelitianyang tinggi, sebaiknya digunakan selang yang lebih pendek seperti

−𝑡0,05 sampai 𝑡0,05.

Distribusi Student(Distribusi t)

Sifat-sifat kurva t :

• Kurva setangkup terhadap rataan 0.

• Kurva berbentuk lonceng, tapi distribusi t lebih berbedasatu sama lain dengan distribusi Z karena nilai T

tergantung pada dua besaran yang berubah-ubah yaitu 𝑋dan 𝑆2 sedangkan nilai Z hanya tergantung padaperubahan 𝑋.

• Kedua ujung kurva mendekati sumbu X asimtot datarnya.

• Seluruh luas di bawah kurva sama dengan 1.

Contoh soal : Lihat halaman 147

DISTRIBUSI CHI-KUADRAT

Grafik distribusi chi-kuadrat bergantung pada derajat kebebasan 𝜃,yang umumnya merupakan kurva positif dan miring ke kanan.Kemiringan kurva ini akan semakin berkurang jika derajatkebebasasan 𝜃 makin besar. Untuk 𝜃 = 1 dan 𝜃 = 2 , bentukkurvanya berlainan daripada untuk 𝜃 ≥ 3.

Distribusi chi-kuadrat mempunyai rata-rata dan variansi sebagaiberikut :

Rata-rata : 𝜇 = 𝐸(𝜒2) = 𝜃

Variansi : 𝜎2 = 2𝜃

Probablitas suatu sampel acak yang menghasilkan nilai 𝜒2 yanglebih besar dari suatu nilai tertentu, sama dengan luas daerah dibawah kurva di sebelah kanan nilai tersebut. Nilai tertentu tersebutbiasanya ditulis dengan 𝜒2𝛼. Dengan demikian 𝜒2𝛼 menyatakan nilai𝜒2𝛼 yang luas di sebelah kanannya sama dengan 𝛼. Daerah yangluasnya sama dengan 𝛼 ini dinyatakan oleh daerah yang diarsir.

DISTRIBUSI CHI-KUADRATNilai-nilai kritis 𝜒2𝛼 untuk berbagai nilai 𝛼 dan derajat kebebasan 𝜃tersedia pada tabel distribsi chi-kuadrat.

Untuk 𝛼 = 0,05, disebelah kanan, dan 𝜃 = 10, maka nilai kritis 𝜒20,05 =18,307. Karena kurva distribusi chi-kuadrat tidak simetri, maka luasdaerah di sebelah kiri harus dicari. Luas daerah sebelah kiri, yaitu1–𝛼 = 1 − 0,05 = 0,95 . Derajat kebebasan 𝜃 = 10 , maka diperoleh𝜒20,95 = 3,940.

Cari : nilai kritis untuk 𝜒20,01 dan 𝜒20,99 dengan 𝜃 = 5 dan 𝜒20,01 dan𝜒20,99 dengan 𝜃 = 11.

Bila 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 merupakan variable acak yang masing-masingterdistribusi normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2 dan semuavariabel acak tersebut bebas satu sama lain, maka variabel acak berikutini :

𝑌 =

𝑖=1

𝑛

(𝑋𝑖 − 𝜇

𝜎2)2

mempunyai distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan 𝜃 = 𝑛.

DISTRIBUSI CHI-KUADRATBila diambil sampel acak berukuran 𝑛 dari populasi berdistribusi normaldengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2 , dan pada setiap sampel tersebutdihitung variansi 𝑆2, maka variabel acak berikut ini, yaitu :

𝜒2 =(𝑛 − 1)𝑆2

𝜎2

mempunyai distribsi chi-kuadrat χ2 dengan deraja kebebasan 𝜃 = 𝑛 − 1.

Interval Kepercayaan 𝝌𝟐 =(𝒏−𝟏)𝑺𝟐

𝝈𝟐

Secara umum, interval kepercayaan untuk χ2 sebesar 1 − 𝛼 dinyatakansebagai :

𝑃 𝜒1−𝛼2

2 < χ2 < 𝜒𝛼2

2 = 1 − 𝛼

Nilai kritis χ21- α/2 membatasi luas daerah di sebeleah kanan sebesar 1 −

𝛼/2 pada derajat kebebasan 𝜃 = 𝑛 − 1 . Sedangkan nilai kritis χ2α/2

membatasi luas daerah di sebelah kanan sebesar 𝛼/2 pada derajatkebebasan 𝜃 = 𝑛 − 1.

Dengan mensubstitusikan nilai (𝑛 − 1)𝑆2 maka diperoleh :

𝑃(𝑛 − 1)𝑆2

χ2 α/2< χ2 <

(𝑛 − 1)𝑆2

χ2 1−α/2= 1 − 𝛼

DISTRIBUSI FStatistik F didefinisikan sebagai nisbah dua peubah acak khi-kuadrat yang bebas, masing – masing dibagi dengan derajatkebebasannya.

Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing – masingberdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 𝑣1 dan 𝑣2 .Maka distribusi peubah acak :

𝐹 = 𝑈 𝑣1

𝑉 𝑣2Diberikan oleh :

ℎ 𝑓 =Γ 𝑣1 + 𝑣2 2 𝑣1 𝑣2

𝑣1 2

Γ 𝑣1 2 Γ 𝑣2 2.𝐹 12 𝑣1−2

1 +𝑣1𝐹𝑣2

1 2 𝑣1+𝑣2

= 0 ,0 < 𝑓 < ∞ , untuk f lainnya

ini dikenal dengan nama distribusi F dengan derajat kebebasan 𝑣1dan 𝑣2.

DISTRIBUSI F

Kurva distribusi F tidak hanya tergantung pada keduaparameter 𝑣1 dan 𝑣2 tapi juga pada urutan keduanyaditulis.begitu kedua bilangan itu ditentukan maka kurvanyamenjadi tertentu. Dibawah ini adalah kurva khas distribusi F :

DISTRIBUSI F

Di bawah ini gambar kurva nilai tabel distribusi F

Lambang 𝑓𝛼 nilai f tertentu peubah acak F sehingga disebelahkanannya terdapat luas sebesar 𝛼. Ini digambarkan dengan daerahyang dihitami pada gambar 2. Pada tabel memberikan nilai 𝑓𝛼hanya untuk 𝛼 = 0,05 dan 𝛼 = 0,01 untuk berbagai pasanganderajat kebebasan 𝑣1 dan 𝑣2 Jadi, nilai f untuk derajat kebebasan 6

dan 10 , sehingga luas daerah sebelah kanannya 0,05 adalah 𝑓0,05 =3,22.

DISTRIBUSI F

Tulislah 𝑓𝛼(𝑣1, 𝑣2) untuk 𝑓𝛼 dengan derajat kebebasan 𝑣1 dan𝑣2, maka :

𝑓1−𝛼 𝑣1, 𝑣2 =1

𝑓𝛼 𝑣2, 𝑣1Bila 𝑆1

2 dan 𝑆22 variansi sampel acak ukuran 𝑛1 dan 𝑛2 yang

diambil dari dua populasi normal, masing-masing dengan

variansi 𝜎12 dan 𝜎2

2, maka :

𝐹 = 𝑆12 𝜎12

𝑆22 𝜎22 =𝜎22𝑆12

𝜎12𝑆22

Berdistribusi F dengan derajat kebebasan 𝑣1 = 𝑛1 − 1 dan𝑣2 = 𝑛2 − 1.