Jumat 14 April 2023

Bab 7

Ruang Dimensi Tiga

Peta Konsep

Jumat 14 April 2023

Berpotongan Bersilangan

Dua Garis

Dua Bidang

Garis dan Bidang

Titik ke Garis

Titik ke Bidang

Titik ke Titik

Irisan Bidang

Bangun Ruang

Bidang terhadap Bidang

Garis terhadap Bidang

Garis terhadap Garis

Titik terhadap Garis

Titik terhadap Titik

Kedudukan Titik, Baris, dan Bidang

Volume Menggambar Jarak Sudut

mempelajari

Ruang Dimensi Tiga

membahasmembahas

antara

yang saling

Prasyarat

1. Apa yang dimaksud dengan prisma, limas, tabung dan

kerucut?

2. Misalkan kalian dibuatkan nasi tumpeng berbentuk

kerucut oleh ibu. Selanjutnya, kalian dipotong bagian

tengah tumpeng tersebut secara horizontal. Bagaimana

ide kalian untuk menentukan volume potongan

tumpeng yang tersisa?

Jumat 14 April 2023

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

Unsur-unsur benda dalam dimensi tiga:

Titik

• Titik tidak memiliki ukuran (tak berdimensi) dan hanya

ditentukan oleh letaknya.

• Titik disimbolkan dengan noktah (•) dan biasanya diberi nama

dengan huruf besar (kapital), misalnya P, Q, R, S, dan sebagainya.

Jumat 14 April 2023

Garis• Garis adalah himpunan titik-titik yang membentuk kurva lurus.• Garis berdimensi satu karena hanya memiliki ukuran panjang. • Garis sebenarnya merupakan kurva lurus yang panjangnya tak

terbatas. • Garis biasanya diberi nama dengan huruf kecil, misalnya a, b, c, d,

dan seterusnya.• Bagian garis disebut segmen garis atau ruas garis.

Jumat 14 April 2023

Bidang

• Bidang disebut bangun berdimensi dua karena memiliki dua

dimensi (panjang, lebar).

• Nama sebuah bidang biasanya menggunakan huruf Yunani yang

dituliskan di pojok bidang atau dengan menyebutkan titik-titik

sudut dari bidang tersebut.

Jumat 14 April 2023

1. Kedudukan Titik terhadap Garis dan Bidang

a. Kedudukan Titik terhadap Garis1. Titik yang terletak pada garis

atau garis melalui titik tertentu. (Gambar (a))2. Titik yang tidak terletak pada (di luar) garis atau garis tidak

melalui titik tertentu. (Gambar (b))

b. Kedudukan Titik terhadap Bidang1. Titik terletak pada suatu bidang atau bidang melalui titik tertentu. (Gambar (a))2. Titik tidak terletak pada suatu

bidang atau bidang tidak melalui titik tertentu. (Gambar (b))

Jumat 14 April 2023

2. Kedudukan Garis terhadap Garis Lain

4 macam Kedudukan garis terhadap garis lain dalam ruang dimensi tiga

a. Garis-Garis Saling BerpotonganDua buah garis atau lebih dikatakan saling berpotongan jika garis-garis tersebut terletak pada bidang yang sama dan terdapat satu titik perpotongan pada garis-garis tersebut.

b. Garis-Garis Saling SejajarDua buah garis atau lebih dikatakan saling sejajar apabila garis tersebut terletak sebidang dan tidak mempunyai titik perpotongan (persekutuan).

Jumat 14 April 2023

c. Garis-Garis Saling Berimpit

Dua garis dikatakan saling berimpit jika

keduanya saling sejajar dalam satu

bidang dan tiap titik pada kedua garis

seletak.

d. Garis-Garis Saling Bersilangan

Dua garis atau lebih dikatakan saling

bersilangan jika garis-garis tersebut

tidak memiliki titik persekutuan sehingga

garis-garis tersebut tidak sebidang dan

tidak sejajar.

Jumat 14 April 2023

3. Kedudukan Garis terhadap Bidang

a. Garis Terletak pada Bidang

Garis a terletak pada bidang α apabila

semua titik pada garis a terletak pada

bidang α.

b. Garis Memotong (Menembus) Bidang

Jika suatu garis beririsan dengan bidang dan

garis itu tidak terletak pada bidang, garis itu

memotong (menembus) bidang.

Jumat 14 April 2023

Jumat 14 April 2023

Kejadian khusus garis memotong bidang adalah garis tegak

lurus bidang. Garis dan bidang membentuk sudut 90o.

Suatu garis dikatakan tegak lurus pada suatu bidang jika garis

tersebut tegak lurus terhadap semua garis yang ada dalam

bidang tersebut. (Gambar (b))

April 14, 2023

c. Garis Sejajar dengan Bidang

Suatu garis dikatakan sejajar dengan bidang jika pada

bidang tersebut dapat dibuat suatu garis yang sejajar

dengan garis tersebut.

Garis dan bidang yang sejajar tidak memiliki titik

persekutuan.

Jumat 14 April 2023

4. Kedudukan Bidang terhadap Bidang Lain

Misalkan ada dua bidang, yaitu bidang α dan β .

a. Kedua bidang saling berimpit

Jika setiap titik yang terletak pada bidang α juga

menempati bidang β, bidang α dan β saling

berimpit. (Gambar (a))

b. Kedua bidang saling sejajar

Jika tidak mempunyai satu titik persekutuan pun,

kedua bidang itu saling sejajar. (Gambar (b))

c. Kedua bidang saling berpotongan

Jika kedua bidang memiliki tepat satu garis

persekutuan, kedua bidang itu saling berpotongan.

(Gambar (c))Jumat 14 April 2023

B. Benda-Benda Ruang dan Volumenya

Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh 6 buah bidang (sisi) yang berbentuk persegi. (Gambar 7.19)

Jika rusuknya a, panjang diagonal =Diagonal ruang adalah

Volumenya (V) dirumuskan dengan:V = a x a x a = a3

Luas sisi (permukaan) (L) kubus adalahL = 6a x a = 6a2

2a3a

Kubus

Jumat 14 April 2023

Balok• Bentuk balok hampir mirip dengan kubus.

Bedanya, panjang sisinya tidak semua sama. • Jika ukuran panjang dan lebar suatu balok

masing-masing adalah p dan l satuan, volume satu lapis balok adalah (p × l ) × 1 kubus satuan.

• Jika tinggi balok tersebut t satuan, balok tersebut memiliki sebanyak t lapis sehingga volumenya adalah (p × l ) × t kubus satuan.

• Simpulannya, volume balok yang ukuran panjang p, lebar l, dan tinggi t adalah V = (p × l × t) kubus satuan.

• Luas permukaan balok: )(2 ptltplL

Jumat 14 April 2023

Contoh:Diketahui suatu balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan BF = 3 cm. Tentukana. panjang diagonal bidang AC;b. panjang diagonal ruang AG;c. luas bidang diagonal ACGE.Jawab:Sketsa balok itu tampak pada Gambar (a).a. Diagonal bidang AC terletak pada bidang

ABCD. (Gambar (b))

Dengan teorema Pythagoras, diperolehpanjang AC = = 10 cm.

Jumat 14 April 2023

22 68

b. Diagonal ruang AG terletak pada bidang

diagonal ACGE.

Panjang AG dapat dicari apabila panjang

AC atau EG dan AE atau CG diketahui.

Panjang CG = panjang BF = 3 cm. Dari

jawaban a, diketahui panjang AC = 10 cm.

c. Luas ACGE = AC × CG = 10 × 3 = 30 cm2.

Jumat 14 April 2023

Prisma dan Tabung

Prisma adalah sebuah bangun ruang yang dibatasi oleh dua segi-n yang sejajar dan n buah segi empat. Perhatikan gambar berikut.

Dari pengertian tersebut, balok dan kubus sebenarnya juga merupakan prisma segi empat.

Jumat 14 April 2023

Dilihat dari kedudukan rusuk tegaknya, terdapat 2 jenis prisma.

a. Prisma tegak yaitu prisma yang rusuk-rusuknya tegak lurus dengan bidang alas.

b. Prisma condong/miring, yaitu prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tidak tegak lurus dengan alas.

Jika bidang alas dan tutup prisma merupakan segi-n beraturan maka prisma tersebut dinamakan prisma segi-n beraturan.

Untuk n mendekati tak berhingga, alasnya menyerupai lingkaran. Bangun ruang ini dinamakan tabung atau silinder.

Jika S adalah sebuah prisma yang mempunyai tinggi t, luas alas A, dan volume V(S), berlaku

V(S) = A × tJumat 14 April 2023

Volume kedua prisma di atas adalah

V = A × t

Untuk tabung, volumenya adalah

V = r2t

Jumat 14 April 2023

Limas dan KerucutLimas adalah sebuah bangun ruang yang dibatasi alas berupa segi-n dan segitiga sejumlah n di sekelilingnya dengan titik puncak segitiga berimpit.Nama limas sesuai dengan bentuk alasnya.

Limas segi-n beraturan adalah limas tegak dengan alas segi-n beraturan dan proyeksi titik puncak pada alas berimpit dengan titik pusat bidang alas.

Jika limas segi-n beraturan, untuk n mendekati tak berhingga, alasnya menyerupai lingkaran. Bangun seperti ini dinamakan kerucut. Jadi, kerucut termasuk limas.

Jumat 14 April 2023

Limas segitiga

Limas segi empat

Kerucut

Dalam 1 kubus terdapat 6 limas.

6 × volume limas O.ABCD

= volume kubus ABCD.EFGH

6V = 2t × (2t)² × 2t

V = × (2t)² × t

(Perhatikan: (2t)² = luas alas dan t tinggi)

V = x luas alas x tinggi

Volume kerucut adalah

V = r2t

Luas permukaan dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas alas

dan jumlah luas bidang tegaknya.

6

2

Jumat 14 April 2023

3

1

3

1

Contoh:Diketahui limas segi empat beraturan dengan sisi alas berbentuk persegi yang panjangnya 3 cm dan tingginya 8 cm. Tentukan volume dan luas permukaan limas tersebut.Jawab:Perhatikan gambar limas di samping.

V = × luas alas × tinggi

= × (3 × 3) × 8 cm2

= 24 cm2

Selimut limas berupa 4 segitiga sama kaki yang sama ukurannya. Terlebih dahulu kita akan menghitung luas salah satu segitiga, misalnya segitiga ABE. Terlebih dulu cari tinggi segitiga (EG).

3

1

3

1

Jumat 14 April 2023

Luas semua selimut limas = 4 × 12,21 = 48,84 cm²Luas alas = AB × BC = 3 × 3 = 9 cm².Luas semua permukaan limas = 48,84 + 9 = 57,84 cm².

Jumat 14 April 2023

Bola

Bola merupakan bangun ruang sisi lengkung yang jarak pusat

ke bidang permukaannya selalu sama.

Rumus untuk menentukan volume

bola (V) dan luas permukaan bola (L):

r = jari-jari bola

Jumat 14 April 2023

Contoh:

Suatu bangun ruang berbentuk bola mempunyai volume 38.808 cm3.

Tentukan jari-jari dan luas permukaan bangun ruang itu.

Jawab:

38.808 = x x r³

r³ = 9.261 sehingga r = 21

Karena r = 21 cm, luas permukaan bangun ruang itu adalah

L = 4πr²

= 4 × × 21²

= 5.544 cm²

3

4

7

22

7

22

Jumat 14 April 2023

3

3

4rV

C. Perbandingan Volume Benda-Benda Ruang

Sebuah silinder berjari-jari 14 cm dan tingginya 49 cm berisi penuh air. Pada silinder tersebut dimasukkan sebuah besi pejal berbentuk silinder dengan jari-jari penampang 7 cm dan tingginya sama dengan tinggi silinder. Tentukan:

a. volume air yang tumpah;

b. perbandingan volume silinder dan volume besi pejal.

Contoh 1:

Jumat 14 April 2023

Jawab:

a. Volume air yang tumpah sesuai dengan volume besi pejal yang

dimasukkan ke dalam silinder.

Volume besi pejal adalah

V = r2t = × 142 × 49 = 7.546

Jadi, volume air yang tumpah adalah 7.546 cm3.

b. Perbandingan volume silinder dan volume besi pejal

7

22

Jumat 14 April 2023

D. Jarak Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

1. Jarak Titik Ke Titik2. Jarak Titik ke Garis3. Jarak Titik ke Bidang4. Jarak Garis ke Garis5. Jarak Garis ke Bidang6. Jarak Bidang ke Bidang

Jumat 14 April 2023

Jumat 14 April 2023

1. Jarak Titik ke titik

Jumat 14 April 2023

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan jaraka. titik A ke titik Cb. titik A ke titik GJawab:a. titik A ke titik C adalah diagonal bidang AC.

cmJadi jarak titik A ke titik C adalah cm.

Jumat 14 April 2023

C

A B

Jumat 14 April 2023Jumat 14 April 2023Jumat 14 April 2023

Jawab:a. titik A ke titik G adalah diagonal ruang AG.

cmJadi jarak titik A ke titik G adalah cm.

Jumat 14 April 2023

G

A C

Jumat 14 April 2023

LATIHANTentukan jarak antara :1. Titik A ke titik F2. Titik B ke titik H3. Titik B ke titik D4. Titik C ke titik E5. Titik A ke titik F6. Titik F ke titik D7. Titik D ke titik G8. Titik E ke titik C9. Titik E ke titik D10. Titik H ke titik B11. Titik G ke titik A12. Titik D ke titik F

2. Jarak Titik ke Garis

Misalkan garis g dan titik P pada kedudukan seperti dalam gambar berikut.

Jarak suatu titik B ke garis g adalah jarak terdekat dari titik B ke garis g tersebut. Jarak terdekat tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik B ke garis g. Garis yang ditarik tersebut harus tegak lurus dengan garis g dan memotong garis g misalkan di titik C.

Jumat 14 April 2023

Contoh:Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan jaraka. titik A ke BC;b. titik B ke FG;c. titik E ke BC;d. titik G ke AB.Jawab:a. Jarak titik A ke BC sama dengan panjang rusuk AB = 5 cm.b. Jarak titik B ke FG sama dengan panjang rusuk BF = 5 cm.c. Jarak titik E ke BC sama dengan panjang diagonal sisi EB. Panjang EB ditentukan dengan teorema Pythagoras.

Jadi, jarak titik E ke BC adalah cm.22 AEABEB

2 5

2555 22

Jumat 14 April 2023

d. Jarak titik G ke AB, berarti sama dengan panjang diagonal

sisi BG.

Panjang BG merupakan diagonal sisi kubus. Karena

ukuran sisi kubus semua sama maka panjang BG = EB.

Berarti, panjang BG =

Jadi, jarak titik G ke AB adalah cm.2 5

2 5

Jumat 14 April 2023

3. Jarak Titik ke Bidang

Untuk mengukur jarak titik B ke bidang α yang ada di

bawahnya, tariklah dahulu garis dari B ke arah bidang α

sampai memotong bidang itu di suatu titik, misalnya P.

Garis tersebut harus tegak lurus dengan bidang. Panjang

BP itulah jarak titik B ke bidang α

Jumat 14 April 2023

Contoh:

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Panjang rusuk kubus adalah 7 cm. Tentukan jaraka. titik A ke bidang ABCD;b. titik A ke bidang EFGH;c. titik H ke bidang BCGF.Jawab:a. Karena titik A terletak pada bidang ABCD, berarti jarak

titik A ke bidang ABCD adalah 0 cm.b. Jarak titik A ke bidang EFGH, berarti menentukan panjang AE.

Karena AE merupakan rusuk kubus maka panjang AE = 7 cm.Jadi, jarak titik A ke bidang EFGH adalah 7 cm.

c. Jarak titik H ke bidang BCGF, berarti menentukan panjang HG. Karena HG merupakan rusuk kubus maka panjang HG = 7 cm. Jadi, jarak titik H ke bidang BCGF adalah 7 cm.

Jumat 14 April 2023

4. Jarak Garis ke Garis

Untuk mengukur jarak garis a ke garis b, terlebih dahulu kita pilih

salah satu titik sembarang di garis a, misalnya R.

Selanjutnya, tarik garis dari R ke garis b sampai memotong garis b di

suatu titik, misalnya P pada garis b.

Garis tersebut harus tegak lurus dengan garis a dan b.

Panjang RP itulah jarak garis a ke garis b.

Jumat 14 April 2023

5. Jarak Garis ke Bidang

Untuk mengukur jarak garis g ke bidang α yang ada di bawahnya, terlebih dahulu pilihlah salah satu titik sembarang pada garis g, misalnya R.

Selanjutnya, ditarik garis dari R ke bidang α sampai memotong bidang α misalnya di titik P.

Garis tersebut (garis RP) harus tegak lurus dengan bidang α. Panjang RP itulah jarak garis g ke bidang α

Jumat 14 April 2023

5. Jarak Bidang ke Bidang

Untuk mengukur jarak bidang α ke bidang β, terlebih dahulu pilih salah satu titik sembarang di bidang α, misalnya R.

Selanjutnya, tarik garis dari R ke bidang β sampai memotong bidang β, misalnya di titik P.

Garis RP tersebut harus tegak lurus dengan bidang α dan β .

Panjang RP itu adalah jarak bidang α ke bidang β .

Jumat 14 April 2023

Contoh:

Jika panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 2a cm, tentukan jarak antara bidangAFH dan bidang DBG.Jawab:Jarak bidang AFH dan bidang DBG adalah panjang PQ. Dapat dilihat bahwa segitiga SEA siku-siku di E. Dapat ditunjukkan bahwa

Jumat 14 April 2023

Segitiga EPA siku-siku di P.

Segitiga RCG siku-siku di C.6)2()2( 2222 a aaCGCRRG

Jumat 14 April 2023

Jumat 14 April 2023

6. Jarak Dua Garis Bersilangan

Pada gambar di samping, garis AH dan FC

adalah garis-garis yang bersilangan. Bagaimana

cara menentukan jarak dua garis yang

bersilangan?

Perhatikan langkah-langkahnya.

– Buatlah bidang α dan β yang sejajar,

dengan ketentuan garis AH pada bidang α

dan garis FC pada bidang β.

– Carilah jarak antara dua bidang ADHE dan

BCGF seperti yang telah kalian pelajari

sebelumnya.

Jumat 14 April 2023

E. Besar Sudut Hasil Perpotongan Dua Garis atau Dua Bidang

• Sudut antara Dua Buah Garis

• Sudut antara Garis dan Bidang yang

Berpotongan

• Sudut antara Dua Bidang yang Berpotongan

Jumat 14 April 2023

1. Sudut antara Dua Buah Garis

Besar sudut ruas garis FB dan BC tentu 90º. Bagaimana cara menentukan besar sudut antara garis AH dan BC padahal dua ruas garis tersebut tak sebidang.

Caranya: pindahkan garis BC secara sejajar hingga memotong AH. Jika sudah demikian, tampak bahwa BC berimpit dengan AD.

Sudut antara AH dan BC, ditulis (AH, BC), sama dengan (AH, AD) = 45º (AH tetap).

Misal BC tetap. Dengan menggeser garis AH secara sejajar hingga memotong garis BC, diperoleh (AH, BC) = (GB, BC)

Jumat 14 April 2023

2. Sudut antara Garis dan Bidang yang Berpotongan

Cara menentukan besar sudut antara garis g danbidang α adalah:a. Membuat bidang β yang tegak lurus dengan bidang

α dan melalui garis g.

b. Tentukan titik sembarang di garis g, misalnya titik P.

c. Melalui titik P tersebut, tarik garis yang memotong tegak lurus dengan bidang α. Misalkan perpotongannya di titik Q. Sudut PRQ adalah besar sudut yang dibentuk oleh garis g dan bidang α.

Jumat 14 April 2023

Contoh:Jika panjang rusuk pada kubus ABCD.EFGH adalah a cm, T titik pusat bidang alas, dan P di tengah-tengah BC, tentukana. sudut antara garis AH dan bidang ABCD;b. sudut antara garis TH dan bidang ABCD;c. sudut antara garis PH dan bidang ABCD.Jawab:a. (AH, ABCD) = HAD.

tan HAD = = = 1 sehingga HAD = 45°

b. (TH, ABCD) = HTD.

tan HAD = = = sehingga HAD = 54,74°

AD

HD

a

a

22

2aa

TD

HD

Jumat 14 April 2023

c. (PH, ABCD) = HPD.

DP = =

tan HPD = = = sehingga HPD = 41,81°AD

HD

22 PCDC 2

2

2

a

a

52aa

55

2

Jumat 14 April 2023

22

4

aa

524

5 2 aa

3. Sudut antara Dua Bidang yang Berpotongan

Misalkan diketahui dua buah bidang, yaitu bidang α dan β yang berpotongan. Hasil perpotongannya membentuk sebuah garis (α,β).

Menentukan besar sudut antara bidang α dan β:a. Tentukan titik P pada garis (α, β). b. Tarik garis melalui titik P pada bidang α yang

tegak lurus garis (α, β). c. Tarik garis melalui titik P pada bidang β yang

tegak lurus garis (α, β).

Sudut yang dibentuk oleh garis AP dan PB, yaitu APB merupakan sudut antara bidang α dan β.

Jumat 14 April 2023

Contoh:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm dan T di tengah

tengah DB. Tentukan besar sudut antara bidang DBG dengan bidang ABCD.

Jawab:

Sudut antara bidang DBG dan ABCD adalah CTG = α.

Karena panjang diagonal sisi AC = maka TC =

tan CTG = = = = 1,4142.

Dengan demikian, CTG = 54,74°.

2a 22

a

AD

HD

22aa

2

Jumat 14 April 2023

F. Menggambar Bangun RuangSebelumnya, ada beberapa istilah yang harus di pahami agar dapat menggambarkan suatu bangun ruang. Perhatikan gambar di samping.

– Bidang Gambar– Bidang Frontal– Bidang Ortogonal– Garis Frontal– Garis Ortogonal– Perbandingan Ortogonal– Sudut Surut

Jumat 14 April 2023

Gambar Kubus

Bidang Gambar

Bidang gambar adalah bidang yang digunakan untuk menggambar bangun ruang. Misalnya, kertas, buku gambar, papan tulis, dan lain-lain. Pada Gambar Kubus, bidang gambarnya adalah bidang α.

Bidang Frontal

Bidang frontal adalah bidang pada bangun ruang yang sejajar dengan bidang gambar. Contohnya adalah bidang ABFE dan DCGH pada Gambar Kubus.

Bidang Ortogonal

Bidang ortogonal adalah bidang pada bangun ruang yang tegak lurus dengan bidang frontal atau bidang gambar. Pada Gambar Kubus, contohnya bidang BCGF dan ADHE.

Jumat 14 April 2023

Garis Frontal

– Garis frontal adalah garis-garis pada bangun ruang yang sejajar dengan bidang gambar.

– Garis frontal ada dua macam: garis frontal vertikal dan frontal horizontal.

– Pada Gambar Kubus, yang termasuk garis frontal vertikal adalah AE, BF, CG, dan DH. Contoh garis frontal horizontal adalah AB, EF, DC, dan HG.

Garis Ortogonal

– Garis ortogonal adalah garis-garis pada bangun ruang yang tegak lurus dengan bidang frontal atau bidang gambar.

– Pada Gambar Kubus, yang termasuk garis ortogonal adalah BC, AD, FG, dan EH.

Jumat 14 April 2023

Perbandingan Ortogonal

– Perbandingan ortogonal adalah perbandingan panjang garis

ortogonal dengan panjang garis sebenarnya.

– Perbandingan ortogonal disebut juga perbandingan proyeksi.

Sudut Surut

– Sudut surut suatu bangun ruang adalah sudut yang dibentuk

oleh garis frontal horizontal ke kanan dan garis ortogonal ke

belakang.

– Pada Gambar Kubus, sudut sudut seperti BAD dan FEH

adalah sudut surut dari bangun ruang ABCD.EFGH.

Jumat 14 April 2023

Contoh:Gambarlah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ketentuan berikut.a. Panjang garis frontal = 3 cm.b. ABFE adalah bidang frontal dan AB adalah garis frontal vertikal.c. Sudut surutnya 135°.d. Perbandingan proyeksiJawab:Langkah pertama adalah menggambar persegi ABFE sebagai bidang frontal, dan AB sebagai garis frontal vertikal (Perhatikan Gambar). Kita gambarkan bidang ortogonal BFGC, dengan FBC = 135°.

Panjang garis ortogonal BC = × 3 cm = 2 cm.

3

2

3

2

Jumat 14 April 2023

Selanjutnya, kita selesaikan gambar kubus tersebut dengan

melengkapi rusuk-rusuk yang belum ada sesuai dengan sifat-sifat

kubus.

Jumat 14 April 2023

G. Irisan Bidang dengan Bangun Ruang

Fakta dasar sebelum mempelajari irisan

bidang dengan bangun ruang

Perpotongan (irisan) dua buah garis

berupa titik.

Perpotongan antara bidang dan

garis berupa titik.

Jumat 14 April 2023

Perpotongan dua buah bidang berupa garis.Pada gambar di samping, perpotongan bidang α dan β berupa sebuah garis (α, β).

Perpotongan tiga buah bidang berupa:- sebuah garis persekutuan (garis-garis berimpit) (Gambar (a));- tiga buah garis sejajar (Gambar (b));- sebuah titik (Gambar (c)).

Jumat 14 April 2023

Sebuah bangun ruang jika diiris sebuah bidang, hasilnya berupa

sebuah bidang datar.

Gambar (a): Suatu kubus yang diiris vertikal oleh bidang α. Hasil

irisannya berbentuk bidang ABCD, yaitu bidang yang diarsir.

Gambar (b): Limas segitiga yang diiris oleh bidang β. Hasil irisannya

berupa bidang berbentuk segitiga ABC.

Jumat 14 April 2023

Langkah-langkah menggambar bidang hasil irisan:

1. Gambarlah sumbu afinitasnya, yaitu garis potong

antara bidang irisan dengan salah satu bidang pada

bangun yang diiris.

2. Dengan menggunakan bantuan sumbu afinitas

tersebut, gambarlah garis-garis potong bidang irisan

dengan bangun yang diiris.

3. Berdasarkan garis-garis potong tersebut, tentukan

bidang irisannya.

Jumat 14 April 2023

Contoh:

Diketahui suatu kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak pada rusuk EF

sedemikian rupa sehingga EP : PF = 1 : 3.

Titik Q terletak pada garis BC sehingga BQ : BC = 1 : 3, dan titik R

terletak pada garis CG sehingga GR : RC = 1 : 3.

Gambarlah bidang irisan kubus Tersebut dengan bidang yang

melalui titik P, Q, dan R.

Jumat 14 April 2023

Jawab:

Langkah-langkahnya:

1. Menggambar sumbu

afinitasnya dengan menarik garis

yang menghubungkan titik R dan Q

sampai memotong

perpanjang- an FG di titik W dan

perpanjang- an BF di titik U. Garis

WU adalah sumbu afinitasnya.

Jumat 14 April 2023

2. Tarik garis dari U ke P, sehingga memotong garis AB, namai titik

potong itu S. Tarik pula garis dari W ke P sehingga memotong garis HG,

namai titik potong itu T.

3. Hubungkan TR dan QS dengan sebuah garis sehingga terbentuk

bidang irisan PSQRT.