bab 11 - wordpress.com · 2020-03-01 · bab 11 geometri di bidang dan ruang. 11.1 koordinat...
TRANSCRIPT
BAB 11
GEOMETRI
DI BIDANG DAN RUANG
11.1 Koordinat Kartesius di Ruang
Koordinat Kartesius di Ruang
Sistem koordinat 3
dimensi dengan
sumbu− 𝑥, 𝑦, 𝑧.
Setiap titik dalam
bentuk (𝑥, 𝑦, 𝑧).
Bidang dan Oktan
Rumus Jarak
Pandang dua titik 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan
𝑃2 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 .
Jarak antara 𝑃1 dan 𝑃2 adalah
𝑃1𝑃2 = 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1
2 + 𝑧2 − 𝑧12
Bola adalah himpunan semua titik di ruang
yang memiliki jarak konstan (jari-jari) ke suatu
titik tertentu yang disebut pusat.
𝑥 − 𝑥12 + 𝑦 − 𝑦1
2 + 𝑧 − 𝑧12 = 𝑟2
11.2 Vektor
Vektor
Suatu vektor 𝑢 memiliki besar (panjang) 𝑢 dan arah.
Titik awal suatu vector biasa disebut ekor, sedangkan titik akhir disebut
kepala.
Vektor di bidang dituliskan sebagai 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2 , dengan 𝑢 = 𝑢12 + 𝑢22
dan di ruang sebagai 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 , dengan 𝑢 = 𝑢12 + 𝑢2
2 + 𝑢32.
Operasi pada Vektor: Jumlah
Misalkan 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 dan
Ԧ𝑣 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 .
Maka
𝑢 + Ԧ𝑣= 𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2, 𝑢3 + 𝑣3
Operasi pada Vektor:
Perkalian Skalar
Misalkan 𝑢 =𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 dan 𝑐
suatu konstanta real.
Maka
𝑐𝑢 = 𝑐𝑢1, 𝑐𝑢2, 𝑐𝑢3
Contoh
1. Jika 𝐴𝐵 =2
3𝐴𝐶 , nyatakan 𝑚 dalam 𝑢 dan Ԧ𝑣.
2. Tentukan tekanan di setiap tali.
Sifat Penjumlahan dan
Perkalian SkalarMisalkan 𝑢, Ԧ𝑣, 𝑤 tiga buah vektor dan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, maka:
1. 𝑢 + Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣 + 𝑢 (komutatif)
2. (𝑢 + Ԧ𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + ( Ԧ𝑣 + 𝑤) (asosiatif)
3. 𝑢 + 0 = 𝑢 dengan 0 =< 0, 0 >
4. 𝑢 + (−𝑢) = 0
5. 𝑎(𝑏𝑢) = (𝑎𝑏)𝑢 = 𝑏(𝑎𝑢)
6. 𝑎(𝑢 + Ԧ𝑣) = 𝑎𝑢 + 𝑎 Ԧ𝑣 (distributif)
7. (𝑎 + 𝑏)𝑢 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑢 (distributif)
8. 1𝑢 = 𝑢
Vektor Satuan dan Vektor Basis
Vektor dengan panjang 1 disebut vector satuan.
Jika Ԧ𝑠 adalah vector satuan dari 𝑢 maka Ԧ𝑠 =𝑢
𝑢.
Vektor satuan yang standar disebut vektor basis:
Di bidang: Ԧ𝑖 =< 1,0 >, Ԧ𝑗 =< 0,1 >
Di ruang: Ԧ𝑖 =< 1,0,0 >, Ԧ𝑗 =< 0,1,0 >, 𝑘 =< 0,0,1 >
Semua vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari vektor basis.
Di bidang:< 𝑢1, 𝑢2 >= 𝑢1Ԧ𝑖 + 𝑢2Ԧ𝑗
Di ruang:< 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 >= 𝑢1Ԧ𝑖 + 𝑢2Ԧ𝑗 + 𝑢3𝑘
11.3 Hasil Kali Titik
Hasil Kali Titik
Hasil kali titik adalah hasil kali dua vektor dengan
hasil skalar (BUKAN vektor).
Misalkan 𝑢 dan Ԧ𝑣 dua vektor.
Di bidang:
𝑢 =< 𝑢1, 𝑢2 > dan Ԧ𝑣 = < 𝑣1, 𝑣2 >𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2Di ruang:
𝑢 =< 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 > dan Ԧ𝑣 = < 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 >𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3
Sifat Hasil Kali Titik
Misalkan 𝑢, Ԧ𝑣, 𝑤 tiga buah vektor dan 𝑐 ∈ 𝑅, maka:
1. 𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣 ∙ 𝑢 (komutatif)
2. 𝑢 ∙ ( Ԧ𝑣 + 𝑤) = (𝑢 ∙ Ԧ𝑣) + (𝑢 ∙ 𝑤) (distributif)
3. c(𝑢 ∙ Ԧ𝑣) = (c𝑢) ∙ Ԧ𝑣 = 𝑢 ∙ (𝑐 Ԧ𝑣)
4. 0 ∙ 𝑢 = 0
5. 𝑢 ∙ 𝑢 = 𝑢 2
6. 𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃, dengan 𝜃 sudut terkecil di antara
𝑢 dan Ԧ𝑣.
Dua vektor dikatakan saling tegak lurus (ortogonal), jika
sudut di antara mereka adalah𝜋
2.
7. 𝑢 ⊥ Ԧ𝑣 ↔ 𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 0
Vektor Proyeksi dari 𝑢 pada Ԧ𝑣
Vektor proyeksi dari 𝑢 pada Ԧ𝑣, pr𝑣𝑢, adalah
vektor 𝑤.
pr𝑣𝑢 =𝑢 ∙ Ԧ𝑣
Ԧ𝑣 2Ԧ𝑣
Contoh
1. Tentukan 𝑏 sehingga 8,6 dan 3, 𝑏 saling
tegak lurus.
2. Jika 𝐴 = (4,3), 𝐵 = (1,−1), 𝐶 = (6,−4), gunakan konsep vektor untuk menentukan
sudut 𝐴𝐵𝐶.
3. Cari vektor proyeksi 𝑢 =< −1, 5 > pada Ԧ𝑣 =< 3, 3 >.
4. Cari vektor proyeksi 𝑢 =< 4,5,3 > pada Ԧ𝑣 =< 2, 2, −6 >.
Persamaan Bidang di Ruang
Titik 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) terletak pada
bidang 𝑣.
Vektor 𝑛 =< 𝐴, 𝐵, 𝐶 > tegak lurus
terhadap bidang 𝑣 dan biasa
disebut sebagai vektor normal.
Apakah persamaan untuk bidang 𝑣?𝐴 𝑥 − 𝑥0 + 𝐵 𝑦 − 𝑦0 + 𝐶 𝑧 − 𝑧0 = 0
Contoh
1. Misalkan 𝑃 = (1, 2, 3) dan 𝑄 = (4, 4, −2). Tentukan persamaan bidang yang melalui titik
𝑃 dan tegak lurus terhadap vektor 𝑃𝑄.
2. Tentukan sudut antara bidang 3𝑥 − 4𝑦 + 7𝑧 = 5dan bidang 2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 8.
3. Buktikan jarak dari titik (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ke bidang
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 𝐷 adalah|𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶𝑧0−𝐷|
𝐴2+𝐵2+𝐶2.
11.4 Hasil Kali Silang
Hasil Kali Silang
Hasil kali silang dari 𝑢 dan Ԧ𝑣 didefinisikan sebagai:
𝑢 × Ԧ𝑣 = (𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2)Ԧ𝑖 − (𝑢1𝑣3 − 𝑢3𝑣1)Ԧ𝑗 + (𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1)𝑘
Sifat Hasil Kali Silang
Misalkan 𝑢 dan Ԧ𝑣 vektor di ruang dan 𝜃 sudut
terkecil di antara 𝑢 dan Ԧ𝑣. Maka:
1. (𝑢 × Ԧ𝑣) ⊥ 𝑢 dan (𝑢 × Ԧ𝑣) ⊥ Ԧ𝑣
2. 𝑢, Ԧ𝑣, dan (𝑢 × Ԧ𝑣) membentuk ”right handed
triple”
3. 𝑢 × Ԧ𝑣 = 𝑢 Ԧ𝑣 sin 𝜃
4. 𝑢 sejajar dengan Ԧ𝑣 ↔ 𝑢 × Ԧ𝑣 = 0
Sifat Aljabar Hasil Kali Silang
Misalkan 𝑢, Ԧ𝑣, 𝑤 tiga buah vektor dan 𝑐 ∈ 𝑅,
maka:
1. 𝑢 × Ԧ𝑣 = −( Ԧ𝑣 × 𝑢)
2. 𝑢 × ( Ԧ𝑣 + 𝑤) = (𝑢 × Ԧ𝑣) + (𝑢 × 𝑤)(distributif)
3. c(𝑢 × Ԧ𝑣) = (c𝑢) × Ԧ𝑣 = 𝑢 × (𝑐 Ԧ𝑣)
4. 0 × 𝑢 = 𝑢 × 0 = 0
5. 𝑢 × 𝑢 = 0
Contoh
1. Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik (1, −2, 3), (4, 1, −2), dan (−2,−3, 0).
2. Bagaimana cara memeriksa bahwa tiga vektor 𝑢, Ԧ𝑣, 𝑤terletak di bidang yang sama?
3. Tunjukkan bahwa 𝑢 × Ԧ𝑣 adalah luas jajar genjang berikut.
4. Tunjukkan bahwa |𝑤 ∙ 𝑢 × Ԧ𝑣 | adalah volume
”parallelepiped” berikut.
11.5 Fungsi Bernilai Vektor
dan Gerak Sepanjang Kurva
Gerak Sepanjang Kurva
Sebuah titik 𝑃 yang bergerak di
ruang sepanjang kurva. Posisi titik 𝑃pada saat 𝑡 dinyatakan oleh vektor
yang berekor di titik asal dan
berkepala di titik 𝑃.
Posisi tersebut dapat ditulis sebagai
Ԧ𝑟 𝑡 =< 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 >.
Ԧ𝑟 merupakan fungsi dengan variabel
𝑡 dan bernilai vektor.
Fungsi demikian disebut fungsi
bernilai vektor.
Fungsi Bernilai Vektor
Secara umum, fungsi bernilai vektor adalah:
Di bidang: Ԧ𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑡 Ԧ𝑖 + 𝑔 𝑡 Ԧ𝑗 =< 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 > dengan 𝑡 ∈ 𝑅
Di ruang: Ԧ𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑡 Ԧ𝑖 + 𝑔 𝑡 Ԧ𝑗 + ℎ 𝑡 𝑘 =< 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 >dengan 𝑡 ∈ 𝑅
Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor
Misalkan Ԧ𝐹 𝑡 =< 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 >.
Maka lim𝑡→𝑐
Ԧ𝐹 𝑡 =< lim𝑡→𝑐
𝑓 𝑡 , lim𝑡→𝑐
𝑔 𝑡 , lim𝑡→𝑐
ℎ 𝑡 >
Ԧ𝐹′ 𝑡 = limΔ𝑡→0
Ԧ𝐹 𝑡 + Δ𝑡 − Ԧ𝐹 𝑡
Δ𝑡.
Ԧ𝐹′ 𝑡 =< 𝑓′ 𝑡 , 𝑔′ 𝑡 , ℎ′ 𝑡 >.
Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡 =< 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 , 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 , ℎ 𝑡 𝑑𝑡 >.
Aturan Turunan
Misalkan Ԧ𝐹 𝑡 , Ԧ𝐺 𝑡 fungsi bernilai vektor, ℎ(𝑡)fungsi bernilai real, dan 𝑐 ∈ 𝑅, maka:
1. 𝐷𝑡[ Ԧ𝐹 𝑡 + Ԧ𝐺 𝑡 ] = Ԧ𝐹′ 𝑡 + Ԧ𝐺′ 𝑡
2. 𝐷𝑡[𝑐 Ԧ𝐹 𝑡 ] = 𝑐 Ԧ𝐹′ 𝑡
3. 𝐷𝑡[ℎ(𝑡) Ԧ𝐹 𝑡 ] = ℎ(𝑡) Ԧ𝐹′ 𝑡 + ℎ′(𝑡) Ԧ𝐹 𝑡
4. 𝐷𝑡[ Ԧ𝐹 𝑡 ∙ Ԧ𝐺 𝑡 ] = Ԧ𝐹′ 𝑡 ∙ Ԧ𝐺 𝑡 + Ԧ𝐹 𝑡 ∙ Ԧ𝐺′ 𝑡
5. 𝐷𝑡[ Ԧ𝐹 ℎ(𝑡) ] = Ԧ𝐹′ ℎ(𝑡) ℎ′(𝑡) (Aturan Rantai)
Contoh
Diberikan Ԧ𝐹 𝑡 = 𝑡2 + 𝑡 Ԧ𝑖 + 𝑒𝑡 Ԧ𝑗
a) Tentukan Ԧ𝐹′ 𝑡 dan Ԧ𝐹" 𝑡
b) Tentukan sudut di antara Ԧ𝐹′ 0 dan Ԧ𝐹" 0 .
c) Tentukan 𝐷𝑡 𝑡3 Ԧ𝐹 𝑡
d) Tentukan 01 Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡.
Gerak Sepanjang Kurva
Misalkan 𝑡 menyatakan waktu dan
titik 𝑃 memiliki koordinat 𝑥 = 𝑓 𝑡 ,
𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑧 = ℎ(𝑡).
Vektor posisi:
Ԧ𝑟 𝑡 =< 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 >
Vektor kecepatan:
Ԧ𝑣 𝑡 = Ԧ𝑟′ 𝑡 =< 𝑓′ 𝑡 , 𝑔′ 𝑡 , ℎ′ 𝑡 >
Laju:
Ԧ𝑣 𝑡 = 𝑓′ 𝑡 2 + 𝑔′ 𝑡 2 + ℎ′ 𝑡 2
Vektor percepatan:
Ԧ𝑎 𝑡 = Ԧ𝑟" 𝑡 =< 𝑓" 𝑡 , 𝑔" 𝑡 , ℎ" 𝑡 >
Contoh
1. Sebuah titik 𝑃 bergerak berlawanan arah jarum jam
sepanjang lingkaran berjari-jari 𝑟 dengan laju 𝜔 rad/detik.
Bila kedudukan awalnya di (𝑟, 0), tentukan dan sketsa
kecepatan dan percepatan titik pada saat 𝑡 = 0,5.
2. Sebuah titik 𝑃 bergerak dengan posisi setiap saat (𝑥, 𝑦) =(3 cos 𝑡, 2 sin 𝑡).
a) Gambarkan grafik lintasan titik 𝑃 dan arahnya.
b) Tentukan kecepatan, laju, dan percepatan titik.
c) Tentukan saat di mana laju titik maksimum dan laju
pada saat tersebut.
d) Tunjukkan bahwa vektor percepatan titik selalu
menuju titik asal.
Contoh (2)
3. Sebuah titik 𝑃 bergerak sepanjang kurva yang
didefinisikan melalui persamaan parameter 𝑥 =
cos 𝑡, 𝑦 = sin 𝑡, 𝑧 =𝑡
𝜋untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.
a) Sketsalah lintasan pergerakan titik.
b) Tentukan kecepatan, laju, dan percepatan titik
pada saat 𝑡.
11.6 Garis di Ruang
Persamaan Garis di Ruang
Diberikan titik 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) dan vektor
Ԧ𝑣 =< 𝑎, 𝑏, 𝑐 > yang biasa disebut vektor
arah.
Apakah persamaan garis yang melalui titik
𝑃 dan sejajar dengan vektor Ԧ𝑣?
Persamaan parameter:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡, 𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡, 𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
Persamaan simetrik:𝑥 − 𝑥0𝑎
=𝑦 − 𝑦0𝑏
=𝑧 − 𝑧0𝑐
Contoh
1. Cari persamaan simetrik dari garis yang melalui titik
(2, 5, −1) dan sejajar vektor < 4,−3, 2 >.
2. Cari persamaan garis yang tegak lurus bidang 4𝑥 +5𝑦 + 4𝑧 = 28 dan melalui titik (0, 0,0).
3. Cari persamaan garis yang merupakan perpotongan
antara dua bidang:
2𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = −14 dan 4𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 28.
4. Diberikan sebuah kurva di ruang dengan persamaan
Ԧ𝑟 𝑡 =< 𝑡,𝑡2
2,𝑡3
3>. Carilah persamaan garis singgung
pada kurva pada saat 𝑡 = 2.
11.8 Permukaan di Ruang
Permukaan di Ruang
Grafik persamaan dalam 3 variabel
biasanya merupakan suatu permukaan.
Suatu permukaan dapat disketsa dengan
menggambarkan irisan dengan ketiga
bidang koordinat terlebih dahulu.