sistem koordinat

1. SISTEM KOORDINAT

a. Posisi Titik terhadap R dan R2

R disebut dimensi satu dan berupa sebuah garis. Sebuah titik yang terletak di R

dapat bergerak ke kiri maupun ke kanan. Namun bagaimanapun titik tersebut bergerak,

mereka tidak dapat bergereak layaknya gerak pada dimensi lain, yaitu ke atas dan ke

bawah. Posisi setiap titik pada R adalah selalu bilangan riil. Sebenarnya, R berasal dari

dimensi nol. Dimensi nol adalah titik. Dimensi ini disebut dimensi nol karena pada

sistem ini titik tidak dapat bergerak ke manapun. Mungkin satu-satunya pilihan yang

ada bagi titik tersebut adalah ada dan tidak ada seperti berkedip.

Selanjutnya, apabila kita menarik sebuah garis maka kita akan mendapatkan satu

dimensi sebagaimana dimaksud. Perhatikan gambar di bawah! Itu adalah salah satu

contoh sebuah titik pada R.

0 1 2 3 4 5 6

Jika kita misalkan titik tersebut dengan P1 maka posisi P1 pada R adalah 1.

Berbeda dengan dimensi satu, titik yang terletak pada dimensi dua dapat bergerak

tidak hanya ke kanan dan ke kiri namun juga ke atas dan ke bawah. Untuk menentukan

posisi sebuah titik pada R2 kita harus menggambar dua garis tegak lurus pada sebuah

bidang, satu horizontal dan lainnya vertikal. Kedua aris tersebut disebut sumbu-x dan

sumbu-y.

Posisi titik yang terletak pada bidang tersebut dituliskan sebagai pasangan

bilangan berurutan yang diletakkan di dalam tanda kurung. Sebagai contoh, A adalah

sebuah titik (2,3). Bilangan pertama (2) menunjukkan sumbu-x dan disebut koordinat-x

dari titik tersebut. Bilangan kedua (3) menunjukkan sumbu-y dan disebut koordinat-y

dari titik tersebut.

Urutan penulisan letak titik pada R2 terbilang penting. Koordinat-x selalu

dituliskan terlebih dahulu. Alasannya karena pada alfabet huruf “x” terletak lebih

dahulu dari huruf “y”. Titik dimana kedua sumbunya saling berpotongan disebut titik

asal. Titik asal biasanya dilambangkan dengan huruf O. Koordinat titik asal adalah

(0,0).

1

P1

b. Jarak Dua Titik Sembarang pada R dan R2

Sebuah garis adalah dimensi satu yang dibatasi oleh dua titik dari garis. Untuk

menentukan jarak antara dua titik pada R, kita dapat menggunakan rumus berikut:

d

0

Dalil : Jarak antara dua buah titik pada garis itu sama dengan harga mutlaknya

selisih kedua absis titik-titik itu.

c. Sedangkan untuk menentukan jarak antara dua titik pada R2 kita bisa menggunakan

Teorema Phytagoras, dengan begitu kita bisa memperoleh rumus untuk menentukan

jarak (d ) antara dua titik pada koordinat bidang (R2). Perhatikan gambar berikut!

Jika kita misalkan titik P = (x1, y1) dan R = (x2 , y2), maka garis yang melintas

melalui kedua titik tersebut adalah sisi miring sebuah segitiga siku-siku dengan

panjang alas |x1−x2| dan tinggi |y1− y2|. Apabila kita refleksikan ke dalam Teorema

Phytagoras maka:

2

APosisi titik A adalah (3,5) karena titik

tersebut terletak tiga satuan pada sumbu-

x dan 5 satuan pada sumbu-y.

(3,5)5

3

x1x2

d=¿x2−x1∨¿

d

d2=|x1− x2|2+|y1− y2|

2d2=( x1−x2 )2+( y1− y2)2

d=√( x1−x2 )2+( y1− y2 )2

Jadi, d=√( x1−x2 )2+( y1− y2 )2 adalah rumus untuk menentukan jarak dua titik pada R2.

Soal :

1. Carilah koordinat sebuah titik yang terletak pada sumbu-y yang memiliki jarak

yang sama dari titik-titik A(3,-5) dan B(2,4)!

Jawab :

Misalkan C(0,y) adalah titik yang memliki jarak yang sama dari titik A(3,-5)

dan B(2,4) sehingga

¿ AC∨¿∨BC∨¿

d1=d2√ ( x1−x2 )2+( y¿¿1− y2)2=√ ( x1−x2 )2+( y¿¿1− y2)

2¿¿

√ (0−(3 ) )2+( y− (−5 ) )2=√ (0−2 )2+ ( y−4 )2

32+( y+5 )2= (−2 )2+ ( y−4 )2

9+ y2+10 y+25=4+ y2−8 y+16

18 y=−14 y=−79

Jadi, koordinat titik C adalah (0 ,−79 ).

2. Tentukan jarak antara titik P(2,3) dan titik Q(−3,5)!

Jawab :

d=√( x1−x2 )2+( y¿¿1− y2)2 ¿d=√(−3−2 )2+(5−3 )2

d=√(−5 )2+ (2 )2

d=√25+4=√29

Jadi, jarak antara titik P(2,3) dan titik Q(−3,5) adalah √29.

3. Gunakan rumus jarak untuk membuktikan titik K(-2,1), L(2,2), dan M(10,4)

terletak pada sebuah garis lurus!

Jawab : 3

K = (−2,1), L = (2,2), M = (10,4)

Jarak antara dua titik adalah :

d=√( x1−x2 )2+( y¿¿1− y2)2 ¿

AB=√ (−2−2 )2+(1−2 )2=√16+1=√17

KM=√ (−2−10 )2+(1−4 )2=√144+9=√153=3√17

LM=√ (2−10 )2+ (2−4 )2=√64+4=√68=2√17

Jarak antara dua titik adalah kelipatan dari jarak dua titik yang lainnya, jadi

terbukti bahwa titik K(−2,1), L(2,2), dan M(10,4) terletak pada sebuah garis

lurus.

4. Perlihatkan bahwa segitiga yang sudut-sudutnya terletak pada titik A (1,2), B

(3,4) dan C (−1,4) adalah sebuah segitiga siku-siku!

Jawab:

Gunakan rumus jarak, d=√( x1−x2 )2+( y¿¿1− y2)2 ¿ , diperoleh:

Jarak antara titik A (1,2) dan B (3,4)

AB=√ (1−3 )2+(2−4 )2=√4+4=√8 A B2=8

Jarak antara titik A (1,2) dan C (−1,4)

AC=√(1−(−1 ) )2+(2−4 )2=√4+4=√8A C2=8

Jarak antara titik B (3,4) dan C (−1,4)

BC=√(3−(−1 ) )2+(4−4 )2=√16+0=√16BC2=16

Dari perhitungan di atas, kita peroleh bahwa BC2=A B2+ A C2 yang berarti hal

tersebut menunjukkan bahwa segitiga ABC adalah sebuah segitiga siku-siku.

5. Nyatakan dengan rumus bahwa titik P (x,y) selalu terletak pada jarak 4 dari

titik (-1,2). Apa yang bisa anda ungkapkan tentang posisi titik P?

Jawab:

d=√( x1−x2 )2+( y¿¿1− y2)2 ¿4=√( x+1 )2+( y−2 )2(4 )2=(√ ( x+1 )2+( y−2 )2)2

16=( x+1 )2+( y−2 )2

Dari perhitungan di atas, kita peroleh bahwa 16=( x+1 )2+( y−2 )2 adalah

persamaan lingkaran, maka titik P (-1,2) adalah pusat sebuah lingkaran dengan

jari-jari 4.

4

6. Tentukan luas daerah segitiga yang sudut-sudutnya terletak pada titik A (−5,1),

B(3,−5),and C(2,2) !

Jawab:

a=√ (3−2 )2+( (−5 )−2 )2=√1+49=√50=5√2

b=√ (2−(−5 ) )2+ (2−1 )2=√49+1=√50=5√2

c=√(3−(−5 ) )2+(−5−1 )2=√64+36=√100=10

Karena a = b maka kita bisa mencari t

t=√ (5√2 )2−(5 )2=√50−25=√25=5

A=12

× a×t=12

× 10× 5=25

d. Kedudukan Titik terhadap R dan R2

1) Kedudukan titik terhadap R

Kedudukan titik terhadap garis dibedakan menjadi dua yaitu titik terletak pada

garis dan titik terletak di luar garis. Kedudukan titik terletak pada garis dan titik

terletak di luar garis dapat dianalogikan seperti burung yang hinggap di kabel

listrik, seperti gambar di samping.

Sekarang coba perhatikan gambar di atas. Gambar tersebut merupakan

segerombolan burung yang hinggap di kabel listrik. Misalkan burung-burung

tersebut adalah sebuah titik dan kabel tersebut merupakan garis, maka burung yang

5

5√2 5√2

B(3,−5)

c

b

a

A(−5,1) C(2,2)

5 5

hinggap di kabel listrik (dilingkari merah) dapat dikatakan sebagai titik terletak

pada garis. Jadi, sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat

dilalui oleh garis, seperti gambar di bawah ini.

Sekarang coba perhatikan gambar burung yang terbang dan akan hinggap di

kabel listrik (dilingkari warna biru) dapat dikatakan sebagai titik terletak diluar

garis. Sebuah titik dikatakan terletak di luar garis, jika titik tersebut tidak dapat

dilalui garis, seperti gambar di bawah ini.

Silahkan perhatikan dan dipelajari contoh soal di bawah ini untuk

memantapkan pemahaman Anda tentang konsep kedudukan titik terhadap garis.

Contoh Soal

1. Bagaimanakah kedudukan titik P(3,4) terhadap garis 7 x+5 y=32 !

Jawab :

P (3,4 ) →7 x+5 y=32

7.3+5.4=32

21+20=32 ( pernyataan salah )

Jadi, karena pernyataan di atas salah, maka kedudukan titik P(3,4) berada di

luar garis.

2. Bagaimanakah kedudukan titik Q(4,3) terhadap persamaan 9 x+2 y=42

Jawab :

Q (4,3 ) → 9x+2 y=42

9.4+2.3=426

36+6=42 ( pernyataan benar )

Jadi, karena pernyataan di atas bernilai benar, maka kedudukan titik Q(4,3)

berada pada garis.

2) Kedudukan titik terhadap R2

Kedudukan titik terhadap bidang (dimensi dua) dapat diketahui melalui

contoh-contoh berikut ini.

Keterangan :

Kedudukan titik A (2,2) terletak pada kuadran pertama.

Kedudukan titik B(-5,1) terletak pada kuadran kedua.

Kedudukan titik C(-3,-2) terletak pada kuadran ketiga.

Kedudukan titik D(7,-3) terletak pada kuadran keempat.

Kedudukan titik E(0,0) terletak pada titik pusat sumbu koordinat.

Kedudukan titik F(0,3) terletak pada sumbu y (ordinat).

Kedudukan titik G(5,0) terletak pada sumbu x (absis).

e. Bagian-Bagian Daerah pada R2

Jika pada suatu garis g diambil sebuah titik yang tertentu O, maka letak tiap titik P

pada garis itu dapat diketahui dengan jalan menentukan jarak OP. Akan tetapi, cara

tersebut menghasilkan dua buah titik yaitu satu di sebelah kanan O dan yang lain di

sebelah kirinya. Untuk menghilangkan keraguan-keraguan diberlah tanda-tanda.

Sebelah kiri daripada O diberi tanda negative dan disebelah kanannya diberi tanda

positif. Contoh : P (+3) berarti P terletak pada g. 3 satuan (umpamanya cm) sebelah

kanan O. Titik Q(-2) berarti Q terletak pada g, 2 cm kiri O. 7

Kesimpulan : jika pada suatu garis g terdapat titik tetap O, lengkap dengan tanda-

tanda serta satuannya maka tiap titik lain pada garis itu ditentukan oleh sebuah

bilangan saja. Sebaliknya tiap bilangan merupakan sebuah titik yang tertentu pada

garis itu. Garis itu disebut sumbu atau garis bilangan.

Titik O disebut titik nol atau titik pangkal sedangkan bilangan dengan tandanya

disebut absis. Titik O sendiri berabsis nol.

Untuk menentukan sebuah titik pada suatu bidang datar, cara tersebut di atas

masih belum sempurna. Diambillah sekarang dua buah garis yang tegak lurus

sesamanya, yang satu mendatar dan yang satu tegak lurus pdanya, berturut-turut

disebut sumbu-x dan sumbu-y. Titik potong kedua sumbu dijadikan titik O (= titik

pangkal ). Bagian sumbu-x yang terletak sebelah kananya O diberi tanda positif dan

sebelah kirinya O diberi tanda negative. Bagian sumbu-y yang terletak di atasnya O

diberi tanda positif dan dibawahnya O diberi tanda negative. Bilangan –bilangan pada

sumbu x disebut absis atau koordinat x. Bilangan pada sumbu y disebut ordinat atau

koordinat y. Kesemuanya disebut pasangan sumbu koordinat.

Kedua sumbu membagi bidang datar atas 4 bagian :

Kuadran I : di atas sumbu x, sebelah kanannya sumbu y

Kuadran II : di atas sumbu x, sebelah kirinya sumbu y

Kuadran III : dibawah sumbu x, sebelah kirinya sumbu y

Kuadran IV : di bawah sumbu x, sebelah kanannya sumbu y

Tanda –tanda absis dan ordinat suatu titik adalah sebagai berikut :

KuadranKoordinat

x Y

I + +

II - +

III - -

IV + -

8

Kuadran I : {( x , y )|x>0 , y>0 ,(x , y)∈R }

Kuadran II : {( x , y )|x<0 , y>0 ,(x , y)∈R }

Kuadran III : {( x , y )|x<0 , y<0 ,(x , y)∈R }

Kuadran IV : {( x , y )|x>0 , y<0 ,(x , y)∈R }Sb-Y

+

Sb-X

+

+

+

-

-

+1

III

Absisnya P=+1 ; Ordinatnya P=−1 ; Ditulis P(1 ,−1).

Dengan cara demikian tiap titik pada bidang dapat ditentukan oleh sepasang bilangan,

yang pertama menunjukkan absis dan yang kedua ordinat. Sebaliknya tiap pasang

bilangan menentukan sebuah titik pada bidang.

Umum : sebuah titik Q yang berabsis x0 dan berodinat y0 ditulis Q(x0 , y0).

2. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS DITINJAU DARI PERSAMAAN DAN

GRAFIKNYA

Sebelum membahas tentang mengenai hubungan antara dua garis ditinjau dari

persamaan dan grafiknya, maka kita harus mengetahui bahwa bentuk umum dari suatu

garis lurus adalah y=ax+b, dengan a disebut dengan koefisien arah atau tg a, kalau a=¿

sudut antara garis itu dan sumbu x, terhitung dari sumbu x kegaris itu, berlawanan dengan

jalannya jarum jam. Jadi, 0 ° ≤a≤ 180 °,|b|=¿ jarak dari titik pangkal ke titik potong garis

itu dengan sumbu y.

Kadang-kadang persamaan garis lurus tersebut ditulis dalam bentuk b implisit yaitu :

ax+by+c=0. Disini koefisien arahnya ¿ −ab ( hanya boleh jika b ≠ 0 ).

Kemungkinan-kemungkinan lain adalah :

y=ax ( suatu garis yang melalui titik pangkal, karena b=0 )

y=k (k=¿ bilangan tetap, disini a=0 jadi tg a=0, maka a=0 ° ; artinya garis itu

sejajar sumbu y )

x=c (c=¿ bilangan tetap, disini y=ax+b tidak dapat dipakai. Maka kita ambil dari

bentuk implisit ax+by+c=0 dan a ≠ 0 )

y=0 ( sumbu x sendiri )

x=0 ( sumbu y sendiri )

9

--

-1 P(1,-1)

III IV

Setelah mengetahui bentuk umum dari persamaan garis dan kemungkinan-

kemungkinan yang lain, maka selanjutnya adalah hubungan antara dua gari ditinjau dari

persamaan dan grafiknya. Sebelumnya sesuai dengan dalil yang terdapat dalam buku

menyatakan “ Grafiknya suatu fungsi linier ialah gari lurus “, sebaliknya “ Garis lurus

merupakan grafiknya suatu fungsi linier”. Dan kita ketahui bahwa persamaan garis lurus

y=ax+b atau ax+by+c=0 ataupun bentuk lainnya adalah fungsi linier maka grafiknya

akan membentuk suatu garis lurus.

Diketahui dua persamaan garis lurus yaitu sebagai berikut :

Persamaan I : A1 x+B1 y+C1=0

Persamaan II : A2 x+B2 y+C2=0, dengan A1 , A2 , B1 , B2 ,C1 danC2 sebagai bilangan-

bilangan tetap. Disini terdapat dua persamaan dengan dua kebesaran / variabel x dan y.

Untuk menghitung harga x dan y, kalikan dulu persamaan I dengan B2 dan

persamaan II dengan B1. Kemudian kurangi persamaan I dengan persamaan II, maka

diperolehlah :

( A¿¿1 B2−A2 B1)x=B1C2−B2C1¿ ………………………………………( 1 )

Dari persamaan ( 1 ), kalau ( A¿¿1 B2−A2 B1)≠ 0¿ atau A1

A2≠

B1

B2, tentulah ada harga x

tunggal. Analog terdapat pula harga y tunggal. Jadi, kedua persamaan itu

menghasilkan sepasang harga x, y tunggal atau persamaan-persamaan itu mempunyai

satu dan hanya satu penyelesaian x,y.

Susunan persamaan demikian ( A1

A2≠

B1

B2) disebut tak bergantungan. Karena harga x

dan y memnuhi kedua persamaan, tentulah (x , y ) dianggap sebagai titik, terletak pada

grafik kedua persamaan itu. Jadi, titik itu merupakan titik potong kedua garis, atau

grafiknya dua fungsi linier itu berpotongan.

Dari persamaan ( 1 ), kalau ( A¿¿1 B2−A2 B1)=0¿ atau A1

A2=

B1

B2, maka berakibat

berikut:

a. B1C2−B2C1≠ 0 atau B1

B2≠

C1

C2. Persamaan ( 1 ) menjadi 0. Hal tersebut

mengakibatkan x≠ 0 itu artinya tidak menghasilkan sebuah harga x apapun. Oleh

10

karenanya kedua persamaan itu tak mempunyai penyelesaian. Susunan persamaan

demikian ( A1

A2=

B1

B2≠

C1

C2) disebut berlawanan. Grafik kedua persamaan itu tak

mempunyai sebuah titik persekutuan atau kedua garis tersebut sejajar.

b. B1C2−B2C1=0 atau B1

B2=

C 1

C 2. Persamaan (1) menjadi 0.Hal tersebut

mengakibatkan x=0 merupakan suatu identitas, itu artinya kedua persamaan itu

mempunyai banyak sekali penyelesaian. Susunan demikian ( A1

A2=

B1

B2=

C1

C2)

dinamakan bergantungan. Grafik kedua persamaan itu mempunyai banyak sekali

titik persekutuan, atau kedua garis itu berimpit.

Untuk lebih jelasnya mengenai hubungan antara dua garis ditinjau dari grafiknya maka

perhatikanlah contoh berikut ini :

1. Diketahui persamaan-persamaan berikut :

a. y=x+1

y=−5 x+3

b. 3 x+5 y=2

2 x− y=3

Penyelesaian :

a. y=x+1❑⇔

x− y+1=0

y=−5 x+3❑⇔

5 x+ y−3=0

Maka diketahui nilai-nilai berikut :

A1=1

A2=5

B1=−1

B2=1

C1=1

C2=−3

A1 B2−A2 B1=1+5=6 , maka A1 B2−A2 B1≠ 0

Karena A1 B2−A2 B1 ≠ 0 maka kedua persamaan itu memenuhi kemungkinan I

yaitu :

11

A1

A2=1

5,B1

B2=−1

1 akibatnya A1

A2≠

B1

B2.

Sebab, kedua persamaan memenuhi kemungkinan I maka kedua persamaan garis

itu memiliki satu buah penyelesaian yang berua titik potong, sehingga hubungan

antara kedua garis itu adalah berpotongan.

Untuk mengetahui di titik mana kedua persamaan garis tersebut berpotongan dan

bagaimana posisi titik tersebut pada bidang cartesius ( grafik ), maka dapat

mengetahuinya melalui cara berikut :

Gambar garis lurus melalui persamaan y=x+1 dengan cara mengambil titik

sembarang.

X −1 0 1

Y 0 1 2

Gambar garis lurus melalui persamaan y=−5 x+3dengan cara mengambil titik

sembarang.

X 0 1

Y 3 −2

Untuk mencari nilai titik potong dari kedua persamaan garis itu bisa mencarinya

dengan cara mengeliminasi persamaan y=x+1 dan y=−5x+3 .

y=x+1

y=−5x+3

0=6 x−2

❑⇔

2=6 x

❑⇔

x= 13

Setelah itu substitusi nilai x=13 ke salah satu persamaan garis, disini substitusi

nilai x=13 ke persamaan y=x+1, maka :

y=x+1

❑⇔

y=13+1

12

❑⇔

y=43

Maka titik potong dari kedua persamaan garis itu adalah ( 13

, 43 )

Menggambar kedua persamaan garis y=x+1 dan y=−5 x+3 pada bidang

kartesius

b. 3 x+5 y=2❑⇔

3 x+5 y−2=0

2 x− y=3❑⇔

2x− y−3=0


A1=3

A2=2

B1=5

B2=−1

C1=−2

C2=−3

A1 B2−A2 B1=15−10=5 ,maka A1 B2−A2 B1 ≠ 0

Karena A1 B2−A2 B1 ≠ 0 maka kedua persamaan itu memenuhi kemungkinan I yaitu:

A1

A2=3

2,

B1

B2= 5

−1akibatnya A1

A2≠

B1

B2.

Sebab, kedua persamaan memenuhi kemungkinan I maka kedua persamaan garis itu

memiliki satu buah penyelesaian yang berua titik potong, sehingga hubungan antara

kedua garis itu adalah berpotongan. 13

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Untuk mengetahui di titik mana kedua persamaan garis tersebut berpotongan dan

bagaimana posisi titik tersebut pada bidang cartesius ( grafik ), maka dapat

mengetahuinya melalui cara berikut :

Gambar garis lurus melalui persamaan 3 x+5 y=2❑⇔

y=2−3 x5 dengan cara

mengambil titik sembarang.

X 0 1 2

Y25

−15

−45

Gambar garis lurus melalui persamaan2 x− y=3❑⇔

y=2 x−3dengan cara


x 0 1 2

y −3 −1 1

Untuk mencari nilai titik potong dari kedua persamaan garis itu bisa mencarinya

dengan cara mengeliminasi persamaan 3 x+5 y=2dan 2 x− y=3.

3 x+5 y=2

2 x− y=3

❑⇔

3 x+5 y=2

10 x−5 y=15

13 x=17

❑⇔

x=1713

Setelah itu substitusi nilai x=1713 ke salah satu persamaan garis, disini substitusi

nilai x=1713 ke persamaan2 x− y=3❑

⇔y=2 x−3, maka

y=2 x−3

❑⇔

y=2. 1713

−3

❑⇔

y=−513

Maka titik potong dari kedua persamaan garis itu adalah ( 1713

,−513 )

14

Menggambar kedua persamaan garis 3 x+5 y=2 dan 2 x− y=3 pada bidang

kartesius

2. Diketahui persamaan-persamaan berikut :

a. 5 x−2 y=8❑⇔

5 x−2 y−8=0

5 x−2 y=25❑⇔

5 x−2 y−25=0


A1=5

A2=5

B1=−2

B2=−2

C1=−8

C2=−25

A1 B2−A2 B1=−10−(−10 )=0 , maka A1 B2−A2 B1=0

Karena A1 B2−A2 B1=0 maka kedua persamaan itu memenuhi kemungkinan II

bagian (a) yaitu :

A1

A2=5

5=1

1,B1

B2=−2

−2=1

1akibatnya A1

A2=

B1

B2.

Dan karena A1 B2−A2 B1=0atauA1

A2=

B1

B2, maka perlu diketahui bahwa

B1C2−B2C1=16−50=−34 sehingga B1C2−B2C1≠ 0atauB1

B2≠

C1

C2.

15

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Sebab, kedua persamaan memenuhi kemungkinan II bagian (a) ( A1

A2=

B1

B2≠

C1

C2)

dimana maka kedua persamaan garis itu tidak memiliki penyelesaian, sehingga

hubungan antara kedua garis itu adalah sejajar.

Untuk mengetahui kedua persamaan garis tersebut sejajar dan bagaimana

gambarnya pada bidang cartesius ( grafik ), maka dapat mengetahuinya melalui

cara berikut :

Gambar garis lurus melalui persamaan 5 x−2 y=8❑⇔

y=5 x−82 dengan cara


X 0 1 2

Y −4 −32 1

Gambar garis lurus melalui persamaan5 x−2 y=25❑⇔

y=5 x−252 dengan cara


X 0 1 2

Y−25

2 −10 −152

Jika kita mengeliminasi kedua persamaan 5 x−2 y=8dan 5 x−2 y=25, maka

5 x−2 y=8

5 x−2 y=25

0 x−oy=−17

Maka tidak ada penyelesaian untuk kedua persamaan tersebut.

Menggambar kedua

persamaan garis

5 x−2 y=8 dan

5 x−2 y=25 pada bidang

kartesius

16

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

b. 2 x+5 y−1=0

2 x+5 y−19=0


A1=2

A2=2

B1=5

B2=5

C1=−1

C2=−19

A1 B2−A2 B1=10−10=0 , maka A1 B2−A2 B1=0


bagian (a) yaitu :

A1

A2=2

2= 1

1,B1

B2=5

5=1

1akibatnya

A1

A2=

B1

B2.

Dan karena A1 B2−A2 B1=0 atauA1

A2=

B1


B1C2−B2C 1=−95−(−5)=−90 sehingga B1C2−B2C1≠ 0 atauB1

B2≠

C1

C2.

Sebab, kedua persamaan memenuhi kemungkinan II bagian (a) ( A1

A2=

B1

B2≠

C1

C2)

dimana maka kedua persamaan garis itu tidak memiliki penyelesaian, sehingga

hubungan antara kedua garis itu adalah sejajar.

Untuk mengetahui kedua persamaan garis tersebut sejajar dan bagaimana


cara berikut :

Gambar garis lurus melalui persamaan 2 x+5 y−1=0❑⇔

y=1−2 x5 dengan cara


X 0 1 2

Y15

−15

−35

17

Gambar garis lurus melalui persamaan2 x+5 y−19=0❑⇔

y=19−2 x5 dengan

cara mengambil titik sembarang.

X 0 1 2

Y195

175

155

Jika kita mengeliminasi kedua persamaan 2 x+5 y−1=0dan 2 x+5 y−19=0,

maka

2 x+5 y−1=0

2 x+5 y−19=0

0 x−oy+18=0

Maka tidak ada penyelesaian untuk kedua persamaan tersebut.

Menggambar kedua persamaan garis 2 x+5 y−1=0 dan 2 x+5 y−19=0 pada

bidang kartesius

3. Diketahui persamaan berikut

a. 2 x+4 y+3=0

6 x+12 y+9=0


A1=2

A2=6

B1=4

B2=12

18

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

C1=3

C2=9

A1 B2−A2 B1=24−24=0 , maka A1 B2−A2 B1=0


bagian (b) yaitu :

A1

A2=2

6=1

3,

B1

B2= 4

12=1

3akibatnya A1

A2=

B1

B2.

Dan karena A1 B2−A2 B1=0atauA1

A2=

B1


B1C2−B2C1=36−36=0 sehingga B1C 2−B2C1=0 atauB1

B2=

C1

C2.

Sebab, kedua persamaan memenuhi kemungkinan II bagian (b) ( A1

A2=

B1

B2=

C1

C2)

maka kedua persamaan garis itu memiliki banyak sekali penyelesaian, sehingga

hubungan antara kedua garis itu adalah berhimpit.

Untuk mengetahui kedua persamaan garis tersebut berhimpit dan bagaimana


cara berikut :

Gambar garis lurus melalui persamaan 2 x+4 y+3=0❑⇔

y=−3−2 x4 dengan


X 0 1

Y−34

−54

Gambar garis lurus melalui persamaan6 x+12 y+9=0❑⇔

y=9−6 x12

=3−2 x4

dengan cara mengambil titik sembarang.

X 0 1

Y−34

−54

Jika kita mengeliminasi kedua persamaan 2 x+4 y+3=0dan 6 x+12 y+9=0,

maka

2 x+4 y+3=0

19

6 x+12 y+9=0

❑⇔

6 x+12 y+9=0

6 x+12 y+9=0

0 x+0 y+0=0

Maka ada banyak sekali penyelesaian untuk kedua persamaan tersebut.

Menggambar kedua persamaan garis 2 x+4 y+3=0 dan 6 x+12 y+9=0 pada

bidang kartesius

b. 2 x−3 y−12=0

4 x−6 y−24=0


A1=2

A2=4

B1=−3

B2=−6

C1=−12

C2=−24

A1 B2−A2 B1=−12−(−12)=0 , maka A1 B2−A2 B1=0


bagian (b) yaitu :

A1

A2=2

4=1

2,

B1

B2=−3

−6=1

2akibatnya A1

A2=

B1

B2.

20

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Dan karena A1 B2−A2 B1=0 atauA1

A2=

B1


B1C2−B2C1=−72−(−72)=0 sehingga B1C2−B2C1=0 atauB1

B2=

C1

C2.

Sebab, kedua persamaan memenuhi kemungkinan II bagian (b) ( A1

A2=

B1

B2=

C1

C2)

maka kedua persamaan garis itu memiliki banyak sekali penyelesaian, sehingga

hubungan antara kedua garis itu adalah berhimpit.

Untuk mengetahui kedua persamaan garis tersebut berhimpit dan bagaimana


cara berikut :

Gambar garis lurus melalui persamaan 2 x−3 y−12=0❑⇔

y=2 x−123 dengan


X 0 1

Y −4 −103

Gambar garis lurus melalui persamaan4 x−6 y−24=0❑⇔

y= 4 x−246

=2 x−123

dengan cara mengambil titik sembarang.

X 0 1

Y −4 −103

Jika kita mengeliminasi kedua persamaan 2 x−3 y−12=0dan 4 x−6 y−24=0

, maka

2 x−3 y−12=0

4 x−6 y−24=0

❑⇔

4 x−6 y−24=0

4 x−6 y−24=0

Maka ada banyak sekali penyelesaian untuk kedua persamaan tersebut.

21

Menggambar kedua persamaan garis 2 x−3 y−12=0 dan 4 x−6 y−24=0

pada bidang kartesius

DAFTAR PUSTAKA

http://documents.tips/documents/bank-soal-dan-pembahasan-persamaan-garis-lurus.html diakses pada Rabu, 2 Maret 2016.

http://mafia.mafiaol.com/2013/01/kedudukan-dua-garis.html diakes pada Rabu, 2 Maret 2016.

http://mafia.mafiaol.com/2013/10/persamaan-garis-lurus-bidang-kartesisus.html diakes pada Rabu, 2 Maret 2016.

https://www.academia.edu/10081128/geo_analitik_bidang diakses pada Rabu, 2 Maret 2016.

https://www.google.com/search?1=Sriyuli%27s+Blog.htm&ie=utf-8oe=utf-8 diakes pada Rabu, 2 Maret 2016.

Oetjoep, M. Ilman,dkk. 1966. Ilmu Ukur Ruang Djilid 1. Djakarta: Widjaya Djakarta.

__________________. 1966. Ilmu Ukur Ruang Djilid 2. Djakarta: Widjaya Djakarta.

Pandjaitan, S.D, dkk. 1969. Ilmu Ukur Untuk Sekolah Menengah Pertama. Medan: Firma Hasmar.

Purcell, J. Edwin. 1987. Calculus with Analytic Geometry, 5th Edition (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.

Rawuh. 1971. Geometri Analtik Bidang. Bandung.

Sukirman.1996. Geometri Analitik Bidang dan Rung. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah Bagian Proyek Penetaraan Guru SLTP Setara G-III.

22

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

https://www.google.com/search?1=Sriyuli's+Blog.htm&ie=utf-8oe=utf-8

https://www.academia.edu/10081128/geo_analitik_bidang

http://mafia.mafiaol.com/2013/10/persamaan-garis-lurus-bidang-kartesisus.html

http://mafia.mafiaol.com/2013/01/kedudukan-dua-garis.html

http://documents.tips/documents/bank-soal-dan-pembahasan-persamaan-garis-lurus.html

sistem koordinat

Education