ringkasan himpunan

5/10/2018 Ringkasan Himpunan

1/10

30109/2011

i~~ . ! "

1


2/10

HIMPUNANAlbertus Henny Setyawan

HIMPUNANPengertian Himpunan~punan adalah Kumpulan benda atau objek y~l idefinisikan (diterangkan) dengan jelas - JHimpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnyaA, B, C, 0, ... ,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulisdiantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengantanda komaYang dimaksud di terangkan dengan jelas adalah bendaatau objeknya jelas mana yang merupakan anggota danmana yang bukan anggota dari himpunan ituContoh:Aadalah himpunan bilangan asl i kurang dari 10A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

30109/2011

2


3/10

Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuknotasi pembentuk himpunan1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dankurang atau sama dengan 15

2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama-5 tetapi kurang dari 103. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20

Jawaban:1. B = { x I 3 < x s 15, x E A}2. C = { x I -5::;; x < 10 , X E B }3. D = { x I x < 20 , X E Ganjil }

Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan caramendaftar anggotanyaJawaban:1. B = { x I 3 < x s 15, x E A}

= {4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}2. C = { x I -5::;; x < 10 , X E B }= {-5, -4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}3. D = { x I x < 20 , X E Ganjil }

= {1, 3, 5, 7, 9,11,13,15,17,19}

30109/2011

3


4/10

Keanggotaan Suatu HimpunanContoh:A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2 , 4, 6, 8, 10, 12 }1 E A 1 ~ B 2E B 2 ~ A3 E A 3 ~ B 4E B 4 ~ A5 E A 5 ~ B 6E B 6 ~ A7 E A 7 ~ B 8 E B 8 ~ A9 E A 9 ~ B 10 E B 10 ~ A12 E B 12 ~ ABanyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6Catatan: Lambang E dibaca "elemen" atau anggota

Lambang ~ dibaca "bukan elemen" atau bukananggotaLambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal

HIMPUNAN KOSONGDEFINISI:Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memil ikianggota dan dilambangkan dengan { } atau 0

Contoh:D = {x I x orang yang tingginya lebih dari 5 m}F = { x I x bilangan prima antara 7 dan 11 }Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebihdari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ?(coba pikir)Sekarang cobalah kal ian membuat notasi himpunan yangmendefinisikan himpunan kosong (waktumu 5 menit)

30109/2011

4


5/10

Himpunan LepasRELASII HUBUNGANANTAR HIMPUNANDefinisi:

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan sal ing lepas j ikakedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang samaContoh: L={ 1, 3, 5, 7, 9,11,13, 15} G ={2,4, 6, 8,10,12,14, 16}Coba kal ian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ?Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan Ldan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jad i L II GHimpunan Tidak Saling LepasDefinisi:Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak sal ing lepas(berpotongan) j ika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang samaContoh:P = { 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8 } Q = {2, 4, 6, 8,10,12,14,16}HimpunanP dan himpunanQ tidak saling lepas karena mempunyaianggota yangsama (persekutuan) yaitu 2,4, 6,dan 8,jadi P a : Q

30109/2011

Himpunan SemestaDefinisi:

I Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objekIang dibicarakanIContoh : I

A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} D = {2,3,5,7,11 }B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 } E = { 0, 2 , 4, 6 }C = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}I Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E I1.Apakah set iap anggota himpunan Dada di da lam himpunan A, B, dan C?2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C?I Setiap anggota himpunan 0 yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam HimpunanA, 8, C. Oleh Ikarenaitu HimpunanA,8,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan 0Setiap anggota HimpunanEyaitu 0,2,4,6 adadi dalamhimpunanB dan C,tetapiangka0 tidak ada di dalam himpunanA. Oleh karena itu HimpunanB dan Cmerupakan Himpunansemesta dari himpunanE,dan HimpunanA bukan himpunansemesta dari himpunanE

5


6/10

Definisi:HIMPUNAN BAG IAN

A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggotahimpunan Ajuga menjadi anggota himpunan B dilambangkandengan Ac BContoh:S = { 0, 1, 2 , 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }a.Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A?b.Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A?

I Perhatikan setiap anggota himpunanA, B, C Ia. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota

himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian darihimpunan A, jadi B c A

b. Karena ada anggota h impunan C yaitu 8 dan 9 t idak terdapat didalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian darihimpunan A, jadi C a: A

30109/2011

I Rumus Banyaknya Himpunan Bagian II Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya

Iimpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A)Contoh:I Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut1. A = { a, b, c }2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }3. C = {2, 3,4,5,6,7,8 }Jawab:1. n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dar i

A adalah 23= 2 x 2 x 2 = 82. n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dar i

B adalah 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 323. n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mung kin dari

C adalah 27= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

6


7/10

Himpunan Sama IDefinisi:Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itusama bentuk dan jumlahnyaContoh:A = { a, I, u, e, o} ; B = { u, a, I, 0, e}Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,l ,u,e, dan 0 Iaka himpunan A = BHimpunan Ekuivalen IDefinisi:Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunanitusama dan anggotanya belum tentu samaContoh:P = { a, I, u, e, o} ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }I Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlahanggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P - Q )

30109/2011

Ilrisan Dua Himpunan (Interseksi) IDefinisi: OPERASI HIMPUNAN

Il ri sa~ h~mpunanA~an B di tul is An B adalah himpunan semua objek yang lrnenjadi anggota himpunan A sekal igus menjadi anggota himpunan B IContoh:Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h } . T entukan P 11QJawab: P 11Q = { d, e }I Gabungan Dua Himpunan ( Union) IDefinisi:

IGabUnga~ hi~punan A ~an B ditul is Au B adalah himpunan semua objek Iyang rnenjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan BContoh:Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h } . T entukan P u QJawab : P u Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }

7


8/10

I D ia gram Ven nI Langkah-Iangkah menggambar diagram venn1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah4. Buatlah l ingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi

anggota bersama tadi5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam

lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu7. Buatlah segiempat yang memuat l ingkaran-l ingkaran itu, dimana

segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilahanggotanya apabila belum lengkap

30109/2011

Contoh:Diketahui: S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}

A = { 1,2,3,4,5,6} B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 }Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas

Jawab:S7

13 11

6 adalahanggota yg dimilikioleh himpunanA,B,C3 dan 6 adalah anggota ygdimiliki oleh himpunanAdan C2,4, 6 adalahanggota ygdimiliki oleh himpunanAdan B

8


9/10

Contoh 2:Dar i 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16orang gemar menar idan 10orang gemar keduanya.a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis?b.Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?c.Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?I Jawab: IN(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} - n(A) = 21

B = {siswa gemar menari} _ n(B) = 16An B = {siswa gemar keduanya} _ n(An B) = 10

I Perhatikan Diagram Venn berikut II a.Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis II b.Ada 6 siswa yang hanya gemar menar iI c.Ada 5 siswa yang t idak gemar keduanya

30109/2011

Contoh 3:Diketahui : S = {x 110 < x::;; 20 , X E B}

M = { x 1 x > 15 , XES}N = {x 1 x > 12, XES}Gambarlah diagram vennya

Jawab : S = { x 1 10 < x ::;20, x EO B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 }M = {x 1 x > 15 , XES} = { 16 ,17 ,18 , 19 ,20 }N = { x 1 x> 12, XES} = { 13 , 1 4, 1 5 , 1 6, 1 7,1 8, 1 9, 20 }MnN = {16,17,18,19,20}I Diagram Vennya adalah sbb:S

1112

9


10/10

30109/2011

Contoh 4:Dar i 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5orang tidak suka keduanya.a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay?b.Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?c.Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?I Jawab: I N(S) = 60Misalnya : A = {siswa suka bakso} - n(A) = 20

B = {siswa suka siomay} _ n(B) = 46(AnB)C = { tidak suka keduanya} _ n((AnB)C) = 5

MakaAnB = {suka keduanya} - n(AnB)= x{siswa suka bakso saja} = 20 - x n(S) = (20- x)+x+(46-x)+5{siswa suka siomay saja} = 46 - xI Perhatikan Diagram Venn berikut I

~A~B5

60 = 71 - xX = 71 - 60 = 11a. Yangsuka keduanyaadalah x

= 11orangb. Yangsuka bakso saja adalah20-x = 20-11= 9 orangc. Yangsuka siomay sajaadalah46-x = 46-11= 35 orang

10

ringkasan himpunan

Documents