TEORI PELUANG

REVIEW TEORI PELUANGSupriyanto, M.Si.L/O/G/OTugas statistika baru dianggap selesai jika berhasil membuat kesimpulan yang dapat dipertanggungjawabkan tentang sifat atau karakteristik populasi.

Kebenarannya tidak pasti. PendahuluanYakinkah 100% bahwa kesimpulan itu benar? Atau kita ragu-ragu untuk mempercayainya?10%60%30%Bagaimana keyakinan kita untuk mempercayai kebenaran kesimpulan yang dibuat?

Antara lain membahas ukuran ketidakpastian suatu peristiwaAwal Teori Peluang1565 1663 1623-16621980Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Italia yang bernamaGirolamo Cardano (1501-1576).Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes)Buku teori Peluang dalam Judi Bukunya dipublikasikan Blaise Pascal meneliti masalah peluang Mengolah statistika dgn komputerTahunHistoryContoh peluangPeluang terjadinya hujan di hari SeninPeluang terjadinya Tsunami setelah gempaPeluang mendapatkan hadiah 10 juta dalam kemasan RINSO

Ruang Sampel, Titik Sampel dan KejadianRuang sampel (sample space) atau semesta (universe) merupakan himpunan dari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu percobaan (experiment)

Titik sampel (sample point) merupakan tiap anggota atau elemen dari ruang sampel

Kejadian (event) merupakan himpunan bagian dari ruang sampel

Contoh Percobaan, Ruang Sampel dan Kejadian(#1)Ruang sampelA=Kejadian muncul angka genapB=Kejadian muncul angka 5 atau lebihPercobaan : Pelambungan sebuah dadu dan mencatat angka yang muncul

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = {2, 4, 6}B = {5, 6}Titik sampelRuang sampelIlustrasi ruang sampel, Titik sampel, dan kejadian pada percobaan pelemparan sebuah dadu132456BAContoh Percobaan, Ruang Sampel danKejadian (#2)Ruang sampelS = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 6)}Contoh 2B = Kejadian munculnya jumlah angka 10 atau lebihB = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }Percobaan : Pelemparan dua buah dadu bersamaan dan mencatat angka yang munculA = Kejadian munculnya angka yang sama padakedua daduA = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

Ruang sampelS = {t|t > 0}

Contoh Percobaan, Ruang Sampel danKejadian (#3)Ruang sampel A = Kejadian umur lampu melebihi 10 jamE = {t|t > 10}

B = Kejadian umur lampu antara 0 dan 250 jamF = {t|0 t 250}

Kejadian Percobaan: Pengamatan terhadap umur (dalam jam)sebuah lampuOperasi-operasi dalam kejadian

IrisanGabunganKomplemen12Content LayoutsIrisan dua kejadianIrisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A B, merupakan kejadian yang elemennya termasuk dalam A dan BABGabungan dua kejadianGabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A B, merupakan kejadian yang mengandung semua elemen yang termasuk A atau B atau keduanyaABKomplemen suatu kejadianKomplemen suatu kejadian A, dinyatakan dengan A,adalah himpunan semua elemen dalam S yang tidak termasuk dalam AAAContoh OperasiOperasi dalam KejadianPercobaan: Pelemparan sebuah dadu dan mencatat angka yangmuncul Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Kejadian munculnya angka genap, AA = {2, 4, 6} Kejadian munculnya angka 5 atau lebih, B B = {5, 6} Irisan A dan BA B = {6} Gabungan A dan BA B = {2, 4, 5, 6} Komplemen dari AA = {1, 3, 5}

Dua kejadian saling terpisah (disjoint)Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah (mutually exclusive) jika kejadiankejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaanA B = AB18Contoh KejadianKejadian Saling Terpisah Percobaan: Pelemparan sebuah dadu dan mencatat angka yang muncul Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Kejadian munculnya angka genap, A A = {2, 4, 6} Kejadian munculnya angka ganjil, BB = {1, 3, 5} Kejadian A dan B saling terpisahA B =

Probabilitas KejadianProbabilitas suatu kejadian merupakan suatu ukuran kemungkinan kejadian tersebut terjadiProbabilitas kejadian A dinyatakan dengan P(A)AksiomaAksioma Probabilitas Kejadian

P() = 00 P(A) 1P(S) = 1

Probabilitas untuk HasilBerkemungkinan SamaJika suatu percobaan dapat menghasilkan Nmacam hasil yang berkemungkinan sama(equally likely) dan jika tepat terdapat sebanyakn hasil yang berkaitan dengan kejadian A, makaprobabilitas kejadian A adalah

P(A)=n/NContoh Probabilitas untuk HasilBerkemungkinan SamaPercobaan pelemparan sebuah dadu

Misal A kejadian munculnya angka genap

Jumlah seluruh hasil yang mungkin N = 6Jumlah hasil yang mungkin untuk kejadian A, n = 3

Probabilitas kejadian A, P(A) ?P (A) = 3 =1 6 2

HukumHukum Probabilitas Jika A dan B dua kejadian sembarang, makaP(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

Jika A dan B kejadian yang saling terpisah, makaP(A B) = P(A) + P(B)

Jika A dan A adalah kejadian saling berkomplemen, makaP(A) = 1 P(A)

Peluang bersyarat Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kejadian yang saling terkait satu sama lainnya dan kejadian yang satu menjadi syarat untuk terjadinya kejadian yang lain.

Dalam probabilitas, suatu kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B lebih dahulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi, dikatakan sebagai kejadian A bersyarat B yang ditulis A|B.

DefinisiPeluang bersyarat A bila B diketahui dilambangkan dengan P(A|B) dan didefinisikan sebagai

jika P(B) > 0

ContohMelanjutkanke perguruan tinggiTidakmelanjutkanke perguruan tinggiLaki laki45050Perempuan150250Perhatikan kejadian kejadian berikut :L : kejadian yang terpilih laki - lakiK: kejadian yang terpilih adalah orang yang melanjutkan ke perguruan tinggiDengan menggunakan ruang contoh yang dipersempit K, maka akan didapatkan P(L|K) = 450/600 = Misalkan n(A) melambangkan banyaknya unsur dalam himpunan A

Contoh lainPeluang Kereta Api Gajayana berangkat tepat pada waktunya adalah P(B) = 0.85, peluang Kereta Api Gajayana datang tepat pada waktunya adalah P(D) = 0. 90 dan peluang kereta api tersebut berangkat dan datang tepat pada waktunya adalah P(BD) = 0.75. Hitung peluang bahwa Kereta Api Gajayana itu (a) datang tepat pada waktunya bila diketahui kereta api tersebut berangkat tepat pada waktunya, dan (B) berangkat tepat pada waktunya bila diketahui kereta api tersebut datang tepat pada waktunya. Kaidah Bayes A B Bc

A = (BA) (BcA)P(A) = P [(BA) (BcA)]= P(BA) + P(BcA)]= P(B)P(A|B) + P(Bc)P(A|Bc)Kaidah Total PeluangBila kejadian kejadian Bi untuk i = 1, 2, ,k, maka untuk sembarang kejadian A yang merupakan himpunan bagian S berlakuP(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + + P(Bk) P(A|Bk). Contoh 1Tiga wakil partai A, B dan C mencalonkan diri sebagai presiden. Peluang wakil dari partai A terpilih sebagai presiden adalah 0.4, peluang wakil dari partai B terpilih adalah 0.3 dan peluang wakil dari partai C terpilih adalah 0.3. Seandainya wakil dari partai A terpilih sebagai presiden, peluang terjadinya kenaikan harga BBM adalah 0.7. Seandainya yang terpilih adalah wakil dari partai B, peluang terjadinya kenaikan harga BBM adalah 0.4. Bila yang terpilih adalah wakil dari partai C maka peluang terjadinya kenaikan harga BBM adalah 0.6. Berapa peluang terjadinya kenaikan harga BBM ? Contoh 2Sebuah toko menjual bola lampu. Empat puluh lima persen dari bola lampu yang dijual toko tersebut diproduksi oleh pabrik A dan sisanya diproduksi oleh pabrik B.Bola lampu yang diproduksi pabrik A mempunyai peluang cacat sebesar 3 persen sedangkan yang diproduksi pabrik B mempunyai peluang cacat sebesar 5 persen. Bila seseorang membeli bola lampu dari toko tersebut, berapa peluang dia akan mendapatkan bola lampu yang cacat? Kaidah BayesJika kejadian kejadian B1, B2, , Bk merupakan sekatan dari ruang contoh S dengan P(Bi) 0 untuk I = 1, 2, , k, maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) 0,

Untuk masalah dalam Contoh 1 misalkan ada orang yang tidak mengetahui siapa yang menjadi presiden karena dia tinggal di pelosok daerah. Bila beberapa waktu kemudian ternyata harga BBM naik, berapa peluang bahwa yang menjadi presiden adalah wakil dari partai A? Untuk masalah pada contoh 2, misalkan ada seseorang yang membeli bola lampu dari toko tersebut. Setelah sampai rumah dan dicoba, ternyata lampu tersebut cacat. Berapa peluang bahwa lampu tersebut diproduksi oleh pabrik A?Soal - soal1. Proses produksi bola lampu dalam suatu pabrik dibagi dalam empat shift. Pada suatu hari, 1% dari bola lampu yang diproduksi oleh shift pertama rusak, 3% dari yang diproduksi shift kedua rusak, 2% dari yang diproduksi shift ketiga rusak dan 1% dari yang diproduksi oleh shift keempat rusak. Bila produktivitas keempat shift tersebut sama, berapa peluang bola lampu yang diproduksi pada hari itu rusak?2. Kantong A berisi 3 bola biru, 2 bola merah dan 5 bola hijau. Kantong B berisi 1 bola biru, 4 merah dan 3 hijau. Sebuah bola diambil dari kantong A dan tanpa dilihat warnanya kemudian dimasukkan ke kantong B. Lalu dari kantong B diambil 1 bola. Berapa peluang terambilnya bola hijau.

3. Suatu produk yang dijual oleh toko A, 30% - nya diproduksi oleh pabrik X dan sisanya diproduksi oleh pabrik Y. Produk yang diproduksi oleh pabrik X mempunyai peluang cacat sebesar 0.05 dan produk yang diproduksi pabrik Y mempunyai peluang cacat sebesar 0.07. Bila Dion membeli produk tersebut dari toko A dan ternyata produk tersebut cacat, berapa peluang bahwa produk tersebut adalah produk yang diproduksi oleh pabrik X?

4. Suatu kuliah Pengantar Teori Peluang diikuti oleh 50 mahasiswa tahun ke-2, 15 mahasiswa tahun ke-3 dan 10 mahasiswa tahun ke-4. Diketahui mahasiswa yang mendapat nilai A adalah 10 orang dari mahasiswa tahun ke-2, 8 orang dari mahasiswa tahun ke-3 dan 5 orang dari mahasiswa tahun ke-4. Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak, berapa peluang dia :Mendapat nilai A, bila diketahui dia mahasiswa dari tahun ke-3?Mendapat nilai A?Mahasiswa tahun ke-2, bila diketahui dia mendapat nilai A?

Thank You!www.themegallery.com

L/O/G/O