Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Matematika 2Teori Peluang

Beny Nugraha, MT, M.Sc

02

FAKULTAS TEKNIK

TEKNIK ELEKTRO

Pendahuluan

• Teori peluang berkaitan dengan perhitungan kemungkinan terjadinya suatu kejadian.

• Suatu kejadian merupakan bagian dari suatu kejadian yang lebih besar atau ruang sample.

• Untuk menentukan peluang suatu kejadian perlu menentukan terlebih dahulu berapa banyak kejadian itu dapat terjadi dan berapa banyak ruang sampelnya dapat terjadi.

Kaidah Pencacahan

• Untuk menentukan berapa banyak kejadian dari suatu peristiwa besar, dapat menggunakan Kaidah Pencacahan. Kaidah Pencacahan dibagi lagi menjadi tiga, yaitu:

1. Aturan Pengisian Tempat2. Permutasi3. Kombinasi

Aturan Pengisian Tempat

• Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam m cara dan kejadian kedua dapat terjadi dalam n cara, maka banyaknya kejadian dari gabungan kedua kejadian tersebut adalah mn cara.

• Kaidah pencacahan umum : Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n1 cara, dan jika kejadian tersebut diikuti oleh kejadian kedua yang dapat terjadi dalam n2 cara, jika kedua kejadian tersebut diikuti oleh kejadian ketiga yang dapat terjadi dalam n3 cara, … demikian seterusnya, maka k kejadian yang terjadi secara berurutan tersebut dapat terjadi dalam ( n1 x n2 x n3 x … x nk ) cara.

Aturan Pengisian Tempat

• Contoh:Dari rumah Rizky menuju Mercubuana kampus Meruya bisa melalui 3 jalan yang berbeda. Kemudian dari kampus Meruya ke kampus Menteng bisa melalui 4 jalan yang berbeda. Maka berapakah total banyaknya jalan yang bisa ditempuh Rizky dari rumahnya menuju kampus Menteng, tapi melalui kampus Meruya terlebih dahulu?Jawab:Jumlah Jalan Total = Banyak Jalan Rumah-Meruya x Banyak Jalan Meruya-Menteng = 3 x 4 = 12 Jalan

Aturan Pengisian Tempat

• Contoh:Jika diketahui ada lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 yang ingin disusun menjadi suatu bilangan yang terdiri atas 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun apabila angka-angka itu tidak boleh berulang?Jawab:• Angka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dari empat angka yaitu

1, 2, 3, dan 4. Misalnya terpilih angka 2. Karena angka-angka itu tidak boleh berulang, maka angka kedua (sebagai ratusan) dapat dipilih dari empat angka, yaitu 0, 1, 3 dan 4. Misalnya terpilih angka 0. Angka ketiga (sebagai puluhan) dapat dipilih dari tiga angka, yaitu 1, 3, dan 4. Misalkan yang terpilih angka 1. Angka keempat (sebagai satuan) dapat dipilih dari dua angka, yaitu 3, dan 4.

• Jadi, seluruhnya ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan yang dapat disusun dengan angka-angka yang tidak boleh berulang.

Aturan Pengisian Tempat

• Faktorial: digunakan untuk mempermudah perhitungan peluang suatu kejadian. Faktorial dari sebuah bilangan x dinotasikan sebagai x!. Cara menghitungnya adalah dengan mengalikan seluruh bilangan dari x hingga 1.

• Contoh:0 ! = 1 1 ! = 1

2 ! = 2 x 1 = 2 4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 12

• Dari kesemua contoh di atas dapat disimpulkan bahwa rumus menghitung faktorial adalah:

Aturan Pengisian Tempat

• Contoh:

Permutasi

• Permutasi dari sejumlah objek adalah susunan objek tersebut dalam urutan berhingga. Banyak permutasi dari k unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dapat dihitung dengan rumus:

• Susunan harus diperhatikan karena nPk ≠ kPn.

Permutasi

• Contoh:1.

2. Dalam suatu perlombaan balap sepeda yang terdiri dari 7 orang akan diambil 3 orang sebagai juara yaitu : juara I, juara II dan juara III. Tentukan kemungkinan susunan juara yang terjadi!

Permutasi

• Contoh:3. Berapa banyaknya permutasi dari pengambilan 5

buah kartu dalam sebuah dek kartu yang berisikan 52 buah kartu?

Permutasi Siklis

• Permutasi Siklis: banyaknya permutasi n objek yang disusun secara melingkar adalah (n–1)!

Contoh:Terdapat 4 orang yang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Tentukan banyaknya cara mereka duduk.Jawab:Dengan permutasi siklis: (4-1)! = 3! = 3x2x1 = 6 cara.

Permutasi Siklis

Jawaban dari contoh juga dapat digambarkan sebagai berikut:

PR!!!

PR#2:Terdapat 5 orang dalam sebuah kelompok yang sedang berdiskusi dan duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Tentukan banyaknya cara mereka duduk!

Permutasi

• Permutasi dengan beberapa unsur yang sama bisa dihitung dengan rumus:

Contoh:Berapakah banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “MERCUBUANA”?

Permutasi

Jawab:MERCUBUANA

Jumlah huruf: n = 10Banyaknya huruf yang sama: Huruf U = n1 = 2 & Huruf A = n2 = 2.

Jadi:

Kombinasi

• Kombinasi adalah susunan dari sekelompok objek tanpa memperhatikan susunannya atau urutannya. Sehingga:

AB = BA , ABC = ACB = CBA.• Banyaknya kombinasi dari r objek yang diambil

dari n objek yang tersedia dinotasikan dengan nCr atau C (n,r) atau Cn,r.

Kombinasi

Contoh:1.

2. Berapakah kombinasi lima huruf dari huruf A-Z?

Total huruf A-Z = 26 huruf. Maka:

26C5 = 65780 kombinasi.

Kombinasi

Contoh:3. Berapa banyaknya cara untuk memilih 3 siswa SMP dan 4 siswa SMA dari sebuah sekolah kursus dengan 18 siswa SMP, dan 20 siswa SMA untuk bernyanyi?Jawab:3 Siswa SMP dapat dipilih dalam 18C3 cara.

4 siswa SMA dapat dipilih dalam 20C4 cara.

Siswa SMP dan SMA dapat dipilih dalam 18C3 dikalikan

20C4 cara:

18C3 x 20C4 = 3.953.520 cara.

Permutasi vs Kombinasi

• Perbedaan mencolok antara Permutasi dan Kombinasi adalah jika Permutasi maka perbedaan urutan menjadikan perbedaan makna, sementara di Kombinasi perbedaan urutan tidak akan menjadikan perbedaan makna.

• Contoh: pada huruf{a,b,c} pengambilan 2 unsur dari 3 unsur jika menggunakan permutasi maka akan diperoleh hasil ab, ba, ac, ca, bc, cb. Tetapi jika menggunakan kombinasi hasil yang diperoleh adalah ab, ca, bc.

Permutasi vs Kombinasi

• Contoh yang menggambarkan Permutasi:Ada nomor kendaraan di Indonesia yaitu AB (Jogjakarta dan sekitarnya), tetapi apabila dibalik maka menjadi BA (Padang), maka terlihat perbedaan maknanya.• Contoh yang menggunakan Kombinasi:

Pada gambar di atas terdapat dua titik A dan B yang dihubungkan oleh satu garis. Garis AB sama dengan garis BA, yang berarti tidak menyebabkan perbedaan makna.

Teori Peluang

• PercobaanSifat dasar percobaan adalah setiap jenis percobaan mempunyai kemungkinan hasil atau peristiwa (kejadian) yang akan terjadi.

Teori Peluang

• Ruang SampelRuang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan dilambangkan dengan S. Titik Sampel adalah elemen-elemen (anggota-anggota) dari ruang sampel

Teori Peluang

• KejadianKejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau bagian dari hasil percobaan yang diinginkan.

Teori Peluang

• Cara menentukan peluang kejadian:Misalnya S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan setiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama. Andaikan A adalah suatu kejadian dengan banyaknya kejadian n(A), maka peluang kejadian A adalah:

Teori Peluang

Di mana:n(A) : banyak anggota dalam kejadian An(S) : banyak anggota dalam himpunan ruang sampel S• Untuk setiap kejadian A dari ruang sampel S,

maka sifat-sifat dasar peluang:– 0 ≤ P(A) ≤ 1– Jika A = S, maka P(A) = 1

Teori Peluang

Contoh:Pengambilan sebuah kartu dilakukan secara acak dari kotak dengan 52 kartu. Misalkan A adalah kejadian diperoleh “sebuah kartu as merah” dan B adalah kejadian diperoleh “sebuah hati”. Tentukan P(A) dan P(B)!Jawab:Kartu AS merah ada 2 buah, maka:P(A)=2/52Jumlah seluruh kartu hati ada 13 buah, maka:P(B)=13/52

Teori Peluang

Contoh:Sebuah kotak berisi 20 kelereng, 5 berwarna merah dan 12 berwarna kuning serta sisanya berwarna hijau. Maka:• Peluang terambil 1 kelereng berwarna merah adalah

5/20, • Peluang terambil 1 kelereng berwarna kuning adalah

12/20, dan• Peluang terambil 1 kelereng berwarna hijau adalah

3/20

Teori Peluang

Contoh:Sebuah dadu dilempar satu kali. Kejadian A adalah munculnya angka genap dan kejadian B adalah munculnya angka yang habis dibagi tiga. Tentukan P(A) dan P(B). Dan tentukan juga peluang muncul angka genap atau angka yang habis dibagi tiga.Jawab:• S: {1,2,3,4,5,6}, n(S) = 6• A adalah kejadian muncul angka genap: {2,4,6}, n(A) = 3.

P(A) = 3/6 = 1/2• B adalah kejadian muncul angka yang habis dibagi 3: {3,

6}, n(B) = 2. P(B) = 2/6 =1/3

Teori Peluang

Contoh:Sebuah dadu dilempar satu kali. Kejadian A adalah munculnya angka genap dan kejadian B adalah munculnya angka yang habis dibagi tiga. Tentukan P(A) dan P(B). Dan tentukan juga peluang muncul angka genap atau angka yang habis dibagi tiga.Jawab:• Peluang A atau B dapat dihitung dengan rumus:P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – [P(A) x P(B)] = 1/2 + 1/3 – 1/6 = 2/3

Terima KasihBeny Nugraha, MT, M.Sc