sifat-sifat radikal dari suatu submodul dari modul

12
1) Saniagus Munendra adalah mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang. 2) Hery Susanto adalah dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang. SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL PERKALIAN BEBAS Saniagus Munendra 1) Hery Susanto 2) Abstrak: Sifat-sifat yang berlaku pada radikal suatu ideal ternyata tidak semuanya berlaku pada konsep radikal suatu submodul. Rajaee (2011) menunjukkan bahwa jika M adalah R modul perkalian bebas, maka sifat-sifat yang berlaku pada radikal suatu ideal juga berlaku radikal suatu submodul. Tujuan penelitian ini adalah menyajikan bukti teorema pendukung, lemma, dan tujuh sifat dari radikal suatu submodul dari R modul perkalian bebas M , menyediakan kontra contoh untuk beberapa konvers teorema, serta memberikan beberapa contoh dan kontra contoh bagi definisi-definisi dan memberikan contoh aplikasi dari suatu teorema. Kata kunci: submodul prima, submodul radikal, modul perkalian, modul bebas. Abstract: Properties which hold in the notion of radical of ideals apparently not all of them applicable to the notion of radical of submodules. Rajaee (2011) have shown that if M be a free multiplication R module, then properties which valid for radical of ideals are also valid for radical of submodules. The purpose of this paper are to prove some basic theorems, lemmas, and seven properties of radical of submodules of a free multiplication R module M , provide some counter examples for some converses of theorem, and give some examples and counter examples for some definitions and provide some example for the application of some theorems. Keywords: prime submodul, radical submodul, multiplication module, free module Diberikan R adalah gelanggang komutatif dengan unsur satuan dan M adalah suatu R modul uniter. Konsep submodul prima pada M analog dengan konsep ideal prima pada R . Dari konsep submodul prima dan ideal prima tersebut diperoleh konsep radikal dari suatu submodul dan radikal dari suatu ideal secara berturut-turut. Misalkan R gelanggang komutatif dan P adalah ideal dari gelanggang . R P disebut ideal prima jika P R dan , xy P xy P untuk suatu , xy R . Himpunan semua ideal prima dari gelanggang R disebut Spectrum dari R dan dinotasikan dengan ( ) Spec R . Himpunan semua ideal prima dari gelanggang R yang memuat ideal I , yaitu () ( )| Var I P Spec R P I . Misalkan R adalah gelanggang komutatif dan I adalah ideal dari R . Ideal | untuk suatu 0 n I r Rr I n

Upload: lamdiep

Post on 26-Jan-2017

267 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL

1) Saniagus Munendra adalah mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang.

2) Hery Susanto adalah dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang.

SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL

DARI MODUL PERKALIAN BEBAS

Saniagus Munendra1)

Hery Susanto2)

Abstrak: Sifat-sifat yang berlaku pada radikal suatu ideal ternyata tidak semuanya

berlaku pada konsep radikal suatu submodul. Rajaee (2011) menunjukkan bahwa

jika M adalah R modul perkalian bebas, maka sifat-sifat yang berlaku pada

radikal suatu ideal juga berlaku radikal suatu submodul.

Tujuan penelitian ini adalah menyajikan bukti teorema pendukung, lemma, dan

tujuh sifat dari radikal suatu submodul dari R modul perkalian bebas M ,

menyediakan kontra contoh untuk beberapa konvers teorema, serta memberikan

beberapa contoh dan kontra contoh bagi definisi-definisi dan memberikan contoh

aplikasi dari suatu teorema.

Kata kunci: submodul prima, submodul radikal, modul perkalian, modul bebas.

Abstract: Properties which hold in the notion of radical of ideals apparently not all

of them applicable to the notion of radical of submodules. Rajaee (2011) have

shown that if M be a free multiplication R module, then properties which valid

for radical of ideals are also valid for radical of submodules.

The purpose of this paper are to prove some basic theorems, lemmas, and seven

properties of radical of submodules of a free multiplication R module M , provide

some counter examples for some converses of theorem, and give some examples and

counter examples for some definitions and provide some example for the application

of some theorems.

Keywords: prime submodul, radical submodul, multiplication module, free module

Diberikan R adalah gelanggang komutatif dengan unsur satuan dan M

adalah suatu R modul uniter. Konsep submodul prima pada M analog dengan

konsep ideal prima pada R . Dari konsep submodul prima dan ideal prima tersebut

diperoleh konsep radikal dari suatu submodul dan radikal dari suatu ideal secara

berturut-turut.

Misalkan R gelanggang komutatif dan P adalah ideal dari gelanggang

.R P disebut ideal prima jika P R dan ,x y P xy P untuk suatu

,x y R .

Himpunan semua ideal prima dari gelanggang R disebut Spectrum dari

R dan dinotasikan dengan ( )Spec R . Himpunan semua ideal prima dari

gelanggang R yang memuat ideal I , yaitu

( ) ( ) |Var I P Spec R P I .

Misalkan R adalah gelanggang komutatif dan I adalah ideal dari R .

Ideal

| untuk suatu 0nI r R r I n

Page 2: SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL

disebut radikal dari ideal I . Radikal dari ideal I juga dapat didefinisikan sebagai

irisan dari semua ideal prima yang memuat ideal I , yaitu

( )P Var I

I P

Ideal I disebut ideal radikal jika dan hanya jika I I . Setiap ideal prima I

dari gelanggang R merupakan ideal radikal.

Untuk suatu submodul N dari suatu R modul M , himpunan

( : ) |N M r R rM N

disebut colon dari N .

Suatu submodul N dari suatu R modul M disebut submodul prima jika

N M dan untuk sebarang r R dan m M , rm N , berlaku ( : )r N M atau

m N .

Himpunan semua submodul prima dari R modul M disebut Spectrum

dari M dan dinotasikan dengan ( )Spec M . Himpunan semua submodul prima dari

R modul M yang memuat submodul A , yaitu

( ) ( ) |Var A N Spec M N A .

Radikal dari dari suatu submodul N dari M dinotasikan dengan ( )rad N

atau N didefinisikan sebagai irisan semua submodul prima dari M yang

memuat N , yaitu

( )A Var N

N A

Suatu R modul M disebut suatu R – modul perkalian jika untuk setiap

submodul N dari M , ada suatu ideal I di R sedemikian sehingga N IM .

Ideal I yang memenuhi N IM pada definisi di atas disebut ideal presentasi

dari N . Sebagai contoh, merupakan suatu modul perkalian.

Suatu himpunan bagian S dari M adalah suatu basis dari M jika S

membangun M sebagai suatu R modul dan S bebas linear.

Suatu R modul M disebut R modul bebas jika M memiliki suatu

basis.

Berdasarkan definisi R – modul perkalian dan R – modul bebas di atas,

didefinisikan suatu R – modul perkalian bebas, yaitu modul perkalian yang juga

sekaligus merupakan suatu modul bebas. Contohnya modul perkalian bebas

.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Sebelum disajikan pembuktian teorema utama dan akibat yang diperoleh

dari teorema tersebut, akan dibuktikan terlebih dahulu beberapa teorema dan

lemma berikut ini.

Page 3: SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL

Teorema 1

Misalkan N adalah suatu submodul dari suatu R modul M , maka colon

dari N merupakan ideal dari R

Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa himpunan ( : ) |N M r R rM N , merupakan ideal

dari R .

Akan ditunjukkan ( : )N M

Pilih 0 R , kita perhatikan bahwa 0 {0}M N , sehingga berdasarkan

definisi colon, diperoleh 0 ( : )N M .

Akan ditunjukkan untuk sebarang , ( : )a b N M , berlaku ( : )a b N M .

, ( : )a b N M , maka aM N dan bM N .

Karena N submodul, maka ( ) ( )b M bM N .

Perhatikan himpunan berikut:

1 2 1 2( ) ( ) | , ,aM b M am b m m m M

merupakan himpunan bagian dari N .

Kemudian untuk sebarang ( )p a b M , maka

1 1 1 1 1( ) ( )p a b m am bm am b m untuk suatu 1m M ,

sehingga diperoleh ( ) ( )a b M aM b M N .

Karena ( )a b M N , diperoleh ( : )a b N M .

Akan ditunjukkan untuk sebarang ( : ),a N M r R , berlaku ( : )ra N M .

( : )a N M , maka aM N .

Karena N merupakan submodul dari M , maka diperoleh ( )r aM N .

Dari definisi modul diperoleh bahwa ( ) ( )r aM ra M .

Diperoleh ( ) ( )ra M r aM N

Berdasarkan definisi colon, diperoleh ( : )ra N M .

Karena memenuhi semua syarat ideal, maka diperoleh bahwa colon dari submodul

N , yaitu himpunan ( : ) |N M r R rM N merupakan ideal dari gelanggang

.R

Teorema 2

Jika M adalah suatu R modul dan N merupakan submodul dari M ,

maka colon dari N merupakan annihilator dari R modul ( / )M N , yaitu

( : ) ( / )RN M Ann N M .

Bukti:

Akan ditunjukkan saling subset, yaitu

( / ) ( : )Ann M N N M

Ambil sebarang ( / )r Ann M N , akan ditunjukkan ( : )r N M .

( / )r Ann M N , dari definisi dideproleh

( ) 0 ,rm N r m N N m M .

sehingga diperoleh

Page 4: SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL

0rm rm N .

Karena ,rm N m M , diperoleh bahwa rM N .

Berdasarkan definisi colon diperoleh ( : )r N M .

Jadi ( / ) ( : )Ann M N N M .

( : ) ( / )N M Ann M N

Ambil sebarang ( : )s N M , akan ditunjukkan ( / )s Ann M N .

( : )s N M , maka sM N .

Karena sM N , maka ,sm N m M .

Ambil sebarang 'm M , maka

' 0 ( ' ) ' 0sm N s m N sm N N .

Karena ( ' ) 0s m N N , diperoleh ( / )s Ann M N .

Jadi ( : ) ( / )N M Ann M N .

Karena terbukti saling subset, maka diperoleh ( : ) ( / )N M Ann M N .

Jadi colon dari submodul N merupakan annihilator dari R modul ( / )M N .

Teorema 3

Jika submodul sejati N dari R modul M adalah submodul prima, maka

colon dari submodul N , yaitu ( : )N M merupakan suatu ideal prima di R .

Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa ( : )N M merupakan ideal prima di R .

Pada Teorema 1 telah ditunjukkan bahwa ( : )N M merupakan suatu ideal,

sehingga selanjutnya akan ditunjukkan keprimaannya saja.

Akan ditunjukkan ( : )N M merupakan himpunan bagian sejati dari R .

Andaikan ( : )N M R , maka diperoleh 1 ( : )N M .

Dari definisi colon submodul N diperoleh 1M M N yang

mengakibatkan N M .

Kondisi ini kontradiksi dengan fakta bahwa N adalah submodul prima dari

M . Sehingga pengandaian salah dan ( : )N M R .

Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang ,a b R dengan ( : )ab N M ,

maka ( : )a N M atau ( : )b N M .

Andaikan ( : )a N M , akan ditunjukkan ( : )b N M .

( : )ab N M , maka ( )ab M N yang artinya

( ) ( ) ,a bm ab m N m M .

Karena N submodul prima, maka diperoleh

( : )a N M atau bm N , m M .

Karena telah dimisalkan ( : )a N M , maka diperoleh bm N .

Karena ,bm N m M , diperoleh bM N .

Berdasarkan definisi colon diperoleh ( : )b N M .

Jadi berdasarkan definisi ideal prima, maka ( : )N M merupakan ideal prima di .R

Page 5: SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL

Teorema 4

Misalkan M adalah R modul perkalian. Jika N adalah submodul di

R modul perkalian M , maka berlaku ( : )N N M M .

Bukti:

Diketahui bahwa M merupakan suatu R modul perkalian, sehingga menurut

definisi modul perkalian diperoleh bahwa ada ideal I di R sedemikian sehingga

N IM .

Selanjutnya akan ditunjukkan saling subset.

( : )N N M M

Ambil sebarang x N , akan ditunjukkan ( : )x N M M .

Karena N IM , maka x dapat dinyatakan sebagai :

1

, ,n

i i i i

i

x a m a I m M

untuk suatu n .

Untuk menunjukkan bahwa ( : )x N M M , akan ditunjukkan bahwa

( : )ia N M dan im M untuk setiap i .

Untuk kasus im M jelas terpenuhi, sehingga selanjutnya akan ditunjukkan

bahwa ( : )ia N M .

Karena ia I , jelas bahwa himpunan |i ia M a m m M IM .

Karena N IM , diperoleh ia M N .

Berdasarkan definisi colon dari submodul N diperoleh ( : )ia N M .

Karena ( : )ia N M dan im M , diperoleh

1

( : )n

i i

i

x a m N M M

.

Jadi ( : )N N M .

( : )N M M N

Ambil sebarang ( : )y N M M , akan ditunjukkan bahwa y N .

Karena ( : )y N M M , diperoleh y dapat dinyatakan sebagai

1

, ( : ),k

j j j j

j

y b m b N M m M

untuk suatu k

Karena ( : )jb N M , diperoleh jb M N yaitu ,jb m N m M .

Karena jm M , diperoleh j jb m N untuk setiap j .

Karena 1

k

j j

j

y b m

dan N adalah submodul, maka diperoleh y N .

Jadi ( : )N M M N .

Karena telah terbukti saling subset, maka diperoleh ( : )N N M M .

Dari Teorema 4 ini dapat disimpulkan bahwa jika kita memiliki suatu submodul

N dari suatu R modul perkalian M , maka kita dapat memilih colon dari N

sebagai ideal presentasi dari submodul N .

Page 6: SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL

Lemma 5

Misalkan M adalah suatu R modul bebas dan ideal P di ( )Spec R

maka submodul PM di ( )Spec M .

Bukti: Akan ditunjukkan bahwa :

PM M Andaikan PM M , maka untuk sebarang m M , diperoleh m PM .

Karena M adalah R modul bebas, maka M memiliki basis, misalkan

|lB v l I . Pilih 0v B , maka

0v PM . Karena 0 01v v PM , maka

dengan sifat kebebaslinearan dari B diperoleh bahwa 1 P .

Ini mengakibatkan P R .

Kondisi ini kontradiksi dengan fakta bahwa P adalah ideal prima di R .

Sehingga pengandaian salah.

Jadi PM M .

Untuk sebarang ,r R m M , rm PM , berlaku

( : )r PM M atau m PM .

Misalkan m PM , akan ditunjukkan ( : )r PM M .

rm PM , maka rm dapat dinyatakan sebagai:

1

, ,n

i i i i

i

rm p m p P m M

untuk suatu n

Sehingga diperoleh

1

0n

i i

i

rm p m

.

Karena M merupakan R -modul bebas, maka M memiliki basis, misalkan

{ | }kB v k I .

Karena , im m M , maka m dan im dapat dituliskan sebagai kombinasi

linear dari anggota-anggota B , sehingga diperoleh:

k k k k

k I k I

rm r d v rd v

dan

1 1 1 1

n n n n

i i i ik k i ik k i ik k

i i k I i k I k I i

p m p e v p e v p e v

, ike R

sehingga diperoleh

1

0n

k k i ik k

k I k I i

rd v p e v

Dengan menggunakan sifat kebebaslinearan dari basis dari M diperoleh

1

n

k i ik

i

rd p e

untuk setiap k .

Karena ip P , diperoleh 1

n

i ik

i

p e P

.

Sehingga diperoleh bahwa krd P untuk setiap k.

Page 7: SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL

Karena P adalah ideal prima, maka diperoleh r P atau kd P .

Untuk r P , diperoleh ,rM PM sehingga diperoleh ( : ).r PM M

Untuk kd P , diperoleh

k k

k I

m d v PM

.

Kondisi ini kontradiksi dengan hipotesis sebelumnya bahwa m PM .

Sehingga diperoleh r P dan diperoleh ( : )r PM M .

Jadi PM adalah submodul prima di M .

Konvers Lemma 5 di atas tidak berlaku, karena pada modul 3

terdapat submodul 36 ( ) {[0]} yang merupakan submodul prima dari

3 ,

tetapi ideal 6 bukan ideal prima pada gelanggang .

Lemma 6

Misalkan M adalah suatu R modul bebas. Diberikan ideal K dan J

dari R dengan ( : )KM M K . Jika KM JM , maka K J dan

( )K J M KM JM .

Bukti:

Akan ditunjukkan K J

Ambil sebarang a K , akan ditunjukkan a J .

Karena a K , maka aM KM JM .

Karena M adalah R modul bebas, maka M memiliki basis, misalkan

{ | }iB v i I .

Pilih 1v B M , diperoleh 1av aM .

Karena aM JM , diperoleh 1av dapat dinyatakan sebagai:

1

1

, ,n

j j j j

j

av b m b J m M

untuk suatu n

Karena jm M , maka jm dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari

anggota-anggota di B , yaitu:

, ,j ji i ji i

i I

m c v c R v B

sehingga diperoleh

1 1 1

n n n

j j j ji i j ji i

j i k I i I j

b m b c v b c v

sehingga diperoleh

1

1

0n

j ji i

i I j

av b c v

dengan menggunakan sifat kebebaslinearan dari B , diperoleh:

1

1

n

j j

j

a b c

Karena jb J , diperoleh

Page 8: SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL

1

1

n

j j

j

a b c J

Jadi K J .

Akan ditunjukkan ( )K J M KM JM dengan saling subset.

( )K J M KM JM

Ambil sebarang ( )p K J M , akan ditunjukkan p KM JM .

( )p K J M , maka dapat ditulis

1

, ,n

i i i i

i

p a m a K J m M

untuk suatu n

i ia K J a K dan ia J

diperoleh

1

n

i i

i

p a m KM

dan 1

n

i i

i

p a m JM

diperoleh

1

n

i i

i

p a m KM JM

Jadi ( )K J M KM JM

( )K J M KM JM

Ambil sebarang q KM JM , akan ditunjukkan ( )q K J M .

q KM JM , diperoleh q KM dan q JM .

Karena q KM diperoleh

1

, ,n

i i i i

i

q a m a K m M

untuk suatu n

Karena q JM diperoleh

1

, ,r

j j j j

j

q b z b J z M

untuk suatu r

Kemudian, diperhatikan himpunan berikut:

| 1,2, ,iA m i n

| 1,2,jB z j r

| 1,2,kC A B q k s

Sehingga q dapat ditulis kembali sebagai berikut:

1 1

n s

i i k k

i k

q a m a q

, dengan syarat jika 0k kq A a .

1 1

r s

j j k k

j k

q b z b q

, dengan syarat jika 0k kq B b .

dengan , ,k ka K b J dan kq M .

Kemudian, karena M merupakan R modul bebas, maka M

mempunyai basis, misalkan |lG v l I . Sehingga kq dapat ditulis

sebagai kombinasi linear dari anggota- anggota G , sehingga diperoleh

Page 9: SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL

1 1 1

s s s

k k k kl l k kl l

k k l I l I k

q a q a g v a g v

dan

1 1 1

s s s

k k k kl l k kl l

k k l I l I k

q b q b h v b h v

sehingga diperoleh

1 1

0s s

k kl l k kl l

l I k l I k

a g v b h v

.

Dengan menggunakan sifat kebebaslinearan basis G , diperoleh

1 1

,s s

k kl k kl

k k

a g b h l I

.

Karena ,K J adalah ideal, maka

1

s

k kl

k

a g K

dan 1

s

k kl

k

b h J

.

Sehingga diperoleh

1

s

k kl

k

a g K J

diperoleh

1

( )s

k kl l

l I k

q a g v K J M

Jadi ( )KM JM K J M

Karena terbukti saling subset, maka ( )K J M KM JM .

Dengan menggunakan teorema-teorema dan lemma sebelumnya, akan dibuktikan

teorema berikut ini.

Teorema 7

Misalkan M adalah R modul perkalian bebas dan A merupakan suatu

submodul dari M dengan ( )Var A hingga, maka A I M dimana A IM .

Bukti:

Kita perhatikan bahwa untuk sebarang N submodul prima dari M dengan

N PM telah dibuktikan pada Teorema 1 di atas bahwa ideal

( : ) ( : )N M PM M P adalah ideal prima di R dan merupakan ideal presentasi

dari N .

Berdasarkan definisi radikal dari suatu submodul, kita peroleh bahwa

( )N Var A

A N

Karena diketahui bahwa A IM dan N PM , diperoleh

( ) ( )N Var A PM Var IM

A N PM

Page 10: SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL

Bedasarkan Teorema 3.3 dan 3.6 sebelumnya, diperoleh

( ) ( )PM Var IM P Var I

A PM PM

Berdasarkan Lemma 3.6, karena ( )Var A hingga diperoleh

( ) ( )P Var I P Var I

A PM P M

Berdasarkan definisi radikal dari ideal I , diperoleh

( ) ( )P Var I P Var I

A PM P M I M

Jadi diperoleh A I M .

Perhatikan beberapa kasus khusus berikut ini:

Jika I I , maka diperoleh A IM IM A .

Jadi A A .

Oleh karena itu A merupakan submodul radikal dari M .

Jika ( )Var I , maka diperoleh .I R

Hal ini berakibat A I M RM M .

Karena A M , maka submodul A tidak termuat di dalam sebarang

submodul prima dari M .

Karena tidak ada submodul prima yang memuat A , maka diperoleh

( )Var A .

Syarat Var(A) hingga pada Teorema 7 di atas tidak dapat dihilangkan

karena kesamaan A I M dimana A IM tidak dapat terpenuhi dan apabila

Var(A) tak hingga akan menyebabkan A A .

Sebagai contoh pada modul atas . Pilih submodul {0}, diketahui

bahwa ada tak hingga banyaknya submodul prima yang memuat {0} pada modul , karena ada tak hingga banyaknya bilangan prima. Diperoleh {0}

adalah irisan semua submodul prima dari modul , yaitu

({0})

{0} {0}P Var

P

.

Berikut diberikan contoh penerapan Teorema 7. Diberikan merupakan

modul perkalian bebas. 4 merupakan submodul dari . Karena

merupakan modul perkalian bebas, maka ada ideal I dari gelanggang

sedemikian sehingga 4 I . Pilih 4I . Jelas bahwa 4 4 .

4 2Var sehingga 4Var hingga. Perhatikan bahwa 4 2 karena

2 adalah satu-satunya ideal prima yang memuat 4 . Kemudian 4 merupakan

ideal dari gelanggang dan 4 2 2 . Jadi diperoleh bahwa

4 2 2 4 .

Page 11: SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL

Akibat 8

Misalkan M adalah R modul perkalian bebas dimana untuk sebarang

A submodul dari M , ( )Var A hingga, maka untuk A dan B submodul dari M

berlaku:

a. A A

b. A B A B

c. Jika A B M , maka A B M

d. A M jika dan hanya jika A M

e. A B A B

f. A B A B

Bukti:

Untuk pembuktian Akibat 8, dimisalkan bahwa A IM dan B JM untuk I

dan J adalah ideal dari R .

Berdasarkan Teorema 7 diperoleh A I M dan B J M .

Selanjutnya diperoleh:

a. A I M I M I M A

b. Sebelumnya perhatikan terlebih dahulu bahwa

( )A B IM JM I J M

Oleh karena itu diperoleh A B I J M .

Kemudian

( )A B IM J M I J M

Karena

( )I J M I J M A B , diperoleh A B A B .

c. A B M IM J M M ,

Karena ( )IM J M I J M RM M , diperoleh

I J R I J R

Karena ( )A B IM JM I J M dan I J R , diperoleh

( )A B I J M RM M .

Jadi jika A B M A B M .

d. A M IM RM M I R I R A IM M

e. A B I J M I J M I M J M A B

f. ( ) ( )A B IM JM I J M I J M I J M

( )I J M I J M I M J M A B

Page 12: SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL

KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

Beberapa hasil penting dari tulisan ini adalah sebagai berikut:

1. Colon dari submodul N , yaitu ( : )N M merupakan ideal dari R dan

merupakan annihilator dari R modul /M N .

2. Jika N adalah submodul prima dari suatu R modul M , maka ( : )N M

merupakan ideal prima di R .

3. Pada R modul bebas M , jika P adalah ideal prima di R , maka submodul

PM adalah submodul prima di M .

4. Pada R modul perkalian bebas M , jika A adalah submodul dari M

dengan ( )Var A hingga, maka berlaku A I M , dimana A IM .

5. Pada R modul perkalian bebas M , sifat-sifat yang berlaku pada radikal

suatu ideal juga berlaku pada radikal dari suatu submodul.

Saran

Artikel ini hanya membahas sifat-sifat dari suatu submodul dari suatu

modul perkalian bebas secara umum, sehingga untuk penelitian selanjutnya dapat

dilakukan penelitian tentang sifat-sifat untuk submodul yang lebih khusus,

misalnya mengkaji sifat-sifat ketika submodul tersebut merupakan suatu

submodul maksimal, submodul prima, dan submodul primer dan juga hubungan

dari ketiganya.

DAFTAR RUJUKAN

Adkins, W. A. & Weintraub, S. H. 1992. Algebra An Approach via Module

Theory. New York: Springer.

Gallian, J. A. 1990. Contemporary Abstract Algebra (Second Edition). Toronto:

D.C Heath and Company.

Gilbert, J. & Gilbert, L. 2000. Elements of Modern Algebra (Fifth Edition).

Pacific Grove: Brooks/Cole.

Golan, J. S. & Head, T. 1991. Modules and The Structure of Rings. New York:

Marcel Dekker, Inc.

Matsumura, H. 1986. Commutative Ring Theory. Cambridge: Cambridge

University Press.

Rajaee, S. 2011. Some Remarks on Free Multiplication Module. International

Journal of Algebra, 5(14): 655-659.