PROGRAM LINEAR

KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR

KOMPETENSI DASAR INDIKATOR

3.5 Menentukan nilai maksimum dan minimum permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel

1. Menjelaskan konsep Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

2. Menentukan daerah penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

3. Menentukan model matematika dari soal cerita ( kalimat verbal )

4. Menentukan nilai maksimum dari Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel dengan

teliti

5. Menentukan nilai maksimum dari Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel dengan

teliti 6. Menyajikan permasalahan yang berkaitan

dengan program linear dua variabel dengan

cermat

7. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan program linear dua variabel dengan

cermat

4.5 Menyajikan penyelesaian masalah

kontekstual yang berkaitan dengan

program linear dua variabel

KI 3 Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan

rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan

wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan

kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai

dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah

KI 4 Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan

pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan

metoda sesuai kaidah keilmuan

Melalui pembelajaran STEAM dengan menggunakan model Problem Based Learning secara

daring, peserta didik diharapkan mampu belajar menangkap makna secara kontekstual terkait

menyajikan dan menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan program linear dua variable

dengan kreatif, kritis, kolaboratif dan komunikatif.

TUJUAN PEMBELAJARAN

KOMPETENSI DASAR

KOMPETENSI INTI

Prasyarat:

Titik Pojok

AMAAN LINIER Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari pertidaksamaan linier baik yang menggunakan

satu variabel maupun dua variabel. Kali ini akan kita bahas kembali mengenai pertidaksamaan linier

secara lebih detail dengan ditambah grafik daerah penyelesaiannya.

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal.

Contohnya, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus, lowogan pekerjaan yang

mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas kecepatan maksimal kendaraan pada jalan raya

dan sebagainya. Perhatikan masalah berikut!

Alternatif Penyelesaian:

Pertama, kamu dapat memisalkan variabel-variabelnya sebagai berikut: Harga

motor Andi = A Harga motor Doni = D

Harga motor Budi = B Harga motor Roni = R

Dari penjelasan permasalahan di atas, diperoleh informasi sebagai berikut.

a. Motor Andi lebih mahal dibanding motor Doni = A > D atau D < A

b. Motor Andi lebih murah daripada motor Roni =A < R atau R > A

c. Motor Budi lebih mahal daripada harga motor Doni = B > D atau D < B

d. Motor Budi lebih murah daripada motor Andi = B < A atau A > B

Dengan mengamati pola di atas, yaitu A > D, R > A, B > D, dan A > B atau D < A, A < R, D < B dan B

< A

Urutan harga motor mereka dari termahal ke termurah adalah R > A > B > D.

Jadi, kesimpulannya adalah motor roni lebih mahal dibanding motor Andi, motor Andi lebih

mahal daripada motor Budi dan motor Budi lebih mahal disbanding motor Doni.

A. PERTIDAKSAMAAN LINIER

MATERI PRASYARAT

Masalah 1.1

Diskusi 1

Diskusikan masalah urutan berikut menggunakan caramu sendiri!

Pak Anto, Pak Yusuf, dan Pak Doni gemar memancing. Mereka selalu memancing ikan

disungai setiap sabtu. Suatu hari, setelah mereka memancing, mereka menghitung banyak

ikan mereka masing-masing. Banyak ikan yang ditangkap Pak Anto ternyata lebih daripada

banyak daripada ikan yang ditangkap Pak Yusuf. Walaupun banyak ikan yang ditangkap

Pak Anto dikali dua juga masih lebih sedikit disbanding dengan tangkapan pak Yusuf dan

Pak Doni. Berdasarkan cerita di atas, dapatkah kamu menentukan urutan mereka

berdasarkan banyak ikan yang mereka tangkap?

Catatan

satu variabel yang tidak diketahui disebut dengan pertidaksamaan linier satu

diketahui.

Alternatif Penyelesaian:

Dengan memisalkan harga satu pensil = x rupiah dan harga satu buku = y rupiah, sehingga jika Sandi

membeli 2 pensil dan 5 buku dan mendapatkan uang kembalian, maka permasalahan di atas dapat

dimodelkan menjadi 2x + 5y < 13.000.

Kamu dapat menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua variable tersebut

menggunakan metode grafik, caranya adalah sebagai berikut.

1. Gambarlah terlebih dahulu garis 2x + 5y < 13.000 menggunakan langkah-langkah sebagai

berikut.

a. Ubahlah pertidaksamaan 2x + 5y < 13.000 menjadi 2x + 5y = 13.000.

b. Carilah titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y pada bidang koordinat kartesius, kamu

akan mendapatkan titik (6.500,0) dan (0,2.600). Hubungkan kedua titik tersebut seperti

pada gambar di bawah ini.

x 0 2.600

y 6.500 0

Sehingga, titik potongnya adalah (0,

6.500) dan (2.600, 0)

Sandi berbelanja di toko peralatan sekolah dengan uang yang dimiliknya sebesar Rp

13.000,00. Harga setiap barang di toko tersebut telah tersedia di daftar harga barang

harga belanjaan Sandi tersebut?

Ingat Kembali

x, syaratnya adalah y = 0.

Y, syaratnya adalah x = 0.

Ingat Kembali

kalimat terbuka yang

hubung " , ≤, ≥ ".

2. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Gunakan beberapa titik uji

untuk menentukannya. Daerah yang diarsir itulah daerah penyelesaiannya

Subtitusikan titik (0,0) pada

pertidaksamaan 2x + 5y < 13.000.

2(0) + 5(0) < 13.000

0 < 13.000 (Benar)

Sehingga daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua varibel tersebut seperti

terdapat pada gambar dibawah ini.

Catatan

Akan lebih mudah jika kamu menggunakan (0,0 sebagai titik uji. Cobalah!

.

Himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear dua peubah merupakan

himpunan pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear tersebut.

Himpunan penyelesaian SPtLDV berupa suatu daerah yang dibatasi garis pada sistem

koordinat Kartesius. Untuk mencari DP suatu SPtLDV bisa digunakan cara sebagai berikut.

a. Daerah himpunan penyelesaian suatu PtLDV dapat dicari menggunakan metode uji

titik. Berikut ini langkah-langkahnya.

Misal PtLDV: ax + by c

1) Gambarlah grafik garis ax + by = c.

Jika tanda ketaksamaan berupa atau maka garis pembatas digambar penuh.

Jika tanda ketaksamaan berupa < atau > maka garis pembatas digambar putus-

putus.

2) Uji titik

Ambil suatu titik sembarang, misal (x1, y1), yang tidak terletak pada garis ax +

by = c. Substitusikan titik tersebut ke dalam pertidaksamaan ax + by c. Ada

dua kemungkinan sebagai berikut.

a) Apabila pertidaksamaan ax1 + by1 c bernilai benar, maka daerah

himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (x1, y1) dengan

batas garis ax + by = c.

b) Apabila pertidaksamaan ax1 + by1 c bernilai salah, maka daerah

himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (x1, y10

dengan batas garis ax + by = c.

b. Daerah himpunan penyelesaian suatu PtLDV juga dapat dicari menggunakan cara

berikut.

Daerah himpunan penyelesaian PtLDV dapat ditentukan berada di kanan atau kiri

garis pembatas dengan cara memperhatikan tanda ketaksamaan. Berikut ini langkah-

langkahnya.

1. Pastikan koefisien x dari PtLDV tersebut positif. Jika tidak positif, kalikan

PtLDV dengan -1.

2. Jika koefisien x dari PtLDV sudah positif, perhatikan tanda ketaksamaan.

Jika tanda ketaksamaan maka daerah penyelesaian terletak di sebelah kiri

garis pembatas.

Jika tanda ketaksamaan maka daerah penyelesaian terletak di sebelah kanan

garis pembatas.

B. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER

MENGENAL PESAWAT BOEING 737

Sumber : https://www.idntimes.com/ https://id.m.wikipedia.org/wiki/

Pertama, mari berkenalan dengan Boeing 737. Tipe pesawat ini sering digunakan untuk

rute pendek hingga menengah. Boeing 737 sendiri masih dibagi menjadi beberapa sub-tipe,

yakni Original (737-100 dan 737-200), Classic (737-300, 737-400 dan 737-500), Next

Generation (737-600, 737-700, 737-800 dan 737-900) dan tipe MAX (737 MAX 7, 737 MAX 8

dan 737 MAX 9).

Kapasitasnya beragam, mulai dari 85 hingga 215 orang. Bisa dibilang, Boeing 737 adalah

tipe pesawat terlaris sepanjang sejarah. Boeing 737 pertama kali diproduksi pada tahun 1967 dan

pada 13 Maret 2018 telah terjual hingga 10.000 unit!

Di Indonesia, perusahaan penerbangan yang menggunakan Boeing 737 adalah Garuda

Indonesia, Lion Air dan Sriwijaya Air. Sementara, maskapai penerbangan luar negeri yang

menggunakan Boeing 737 adalah China Southern Airlines, Egypt Air, Malaysia Airlines dan

Korean Air.

MODEL MATEMATIKA

P

https://www.idntimes.com/

Pernahkah kamu membayangkan berapa penghasilan perusahaan penerbangan setiap

sekali terbang? Bagaimana cara menentukannya?

MODEL MATEMATIKA DAN MENGGAMBAR GRAFIK PROGRAM LINEAR Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan atau fungsi. Langkah-langkah dalam menyusun model matematika adalah sebagai berikut:

1. Menetapkan besaran masalah sebagai variabel-variabel.

2. Merumuskan hubungan atau ekspresi matematika sesuai dengan ketentuan-ketentuan

yang ada dalam soal.

diinterpretasikan memecah

Solusi dari Model Matematika

Bahasa Matematika

dibuat

MModel matematika pada persoalan program linier pada umumnya membahas

beberapa hal yaitu :

a. Model matematika berbentuk sistem persamaan atau pertidaksamaan linier

dua peubah yang merupakan bagian kendala-kendala yang harus dipenuhi

oleh peubah itu sendiri.

b. Model matematika yang berkaitan dengan fungsi sasaran yang hendak

dioptimalkan (minimal atau maksimalkan).

Alternatif Penyelesaian :

Misalkan variabel-variabel kendala dimisalkan sebagai berikut.

x : banyaknya penumpang kelas utama

y : banyaknya penumpang kelas ekonomi

Data dari soal diatas dapat dituliskan dalam bentuk tabel berikut :

Jenis Kelas Tempat Duduk Bagasi

Kelas Utama (x) X 60 kg

Kelas ekonomi (y) Y 20 kg

Tersedia 48 1440 kg

Dalam menyelesaikan masalah program linear, kamu harus merubah data tersebut

menjadi bentuk pertidaksamaan, sebgai berikut:

Jumlah tempat duduk tidak lebih dari 48 tempat duduk., maka dapat dinyatakan

menjadi x + y ≤ 48….(1)

Jumlah kapasitas bagasi yang tersedia tidak lebih dari 1.440 kg, sedangkan

kapasitas bagasi kelas utama dan kelas ekonomi masing-masing 60 kg dan 20

kg, maka dapat dinyatakan menjadi 3x + y ≤ 720….(2)

x dan y menyatakan banyaknya rumah yang dibangun, sehingga nilainya tidak

mungkin negative, maka dapat dinyatakan x ≥ 0 dan y ≥ 0. … . (3)

Dari (1), (2) dan (3) dapat disimpulkan menjadi model matematika untuk permasalahan di

atas adalah:

x + y ≤ 48; 3x + y ≤ 720; x ≥ 0; y ≥ 0.

Masalah 1

Dalam suatu pesawat terdapat 48 tempat duduk penumpang. Setiap penumpang kelas utama

maksimum membawa 60 kg bagasi, sedangkan penumpang kelas ekonomi hanya diperbolehkan

membawa bagasi maksimal 20 kg. Pesawat tersebut hanya mampu menampung total bagasi

penumpang maksimum 1440 kg. Buatlah model matematikanya!

Alternatif Penyelesaian :

Persoalan di atas dapat dinyatakan dengan tabel sebagai berikut.

Jenis Rumah Luas Tanah Produksi (unit)

Tipe I 100 300

Tipe II 200 200

Jumlah ≤ 2000 ≤ 3.600

Dalam menyelesaikan masalah program linear, kamu harus merubah data tersebut

menjadi bentuk pertidaksamaan, sebgai berikut:

Luas tanah yang dimiliki tidak lebih dari 2.000m2. sementara Rumah Tipe I dan

Tipe II masing-masing membutuhkan tanah seluas 100 m2 dan 200 m2, maka

dapat dinyatakan menjadi 100x + 200y ≤ 2.000….(1)

Modal yang dimiliki untuk membangun rumah-rumah tersebut adalah

Rp. 3.600.000.000,00, dengan biaya pembangunan rumah tipe I dan tipe II

masing-masing Rp. 300.0000.000,00 dan Rp. 200.0000.000,00, maka dapat

dinyatakan menjadi 300x + 200y ≤ 3.600….(2)

X dan y menyatakan banyaknya rumah yang dibangun, sehingga nilainya tidak

mungkin negative, maka dapat dinyatakan x ≥ 0 dan y ≥ 0. … . (3)

Dari (1), (2) dan (3) dapat disimpulkan menjadi model matematika untuk permasalahan di

atas adalah:

100x + 200y ≤ 2.000; 300x + 200y ≤ 3.600; x ≥ 0; y ≥ 0.

Masalah 2

Seorang pengusaha akan mendirikan beberapa rumah untuk disewkan yang terdiri dari 2

macam, yaitu tipe I dan tipe II. Tiap rumah tipe I menggunakan tanah sebesar 100m2,

sedangkan tiap rumah tipe II menggunakan tanah sebesar 200m2. Rumah tipe I dibuat

bertingkat dan menghabiskan biaya Rp. 300.0000.000,00 per rumah, sedangkan rumah tipe II

dibuat tidak bertingkat dan menghabiskan Rp 200.000.000,00 per rumah. Ia mempunyai

modal Rp. 3.600.000.000,00 tanah seluas 2.000m2. tarif sewa rumah akan dibuat sama, yaitu

Rp 1.000.000,00 per bulan. Buatlah model matematikanya!

Diskusikan dengan teman sebangkumu untuk melengkapi permasalahan berikut!

Seorang peternak mengahadapi suatu masalah sebagai berikut.

Agar sehat setiap hari sapi harus diberi makan yang mengandung paling sedikit 27, 21,

dan 30 satuan unsur nutrisi jenis A, B dan C setiap harinya. Dua jenis makanan N dan M

diberikan kepada sapi tersebut. satu kg jenis makanan N mengandung unsur nutrisi jenis

A, B dan C masing-masing sebesar 3, 1, dan 1 satuan. Sedangkan satu kg jenis makanan

M mengandung unsur nutrisi jenis A, B dan C masing-masing 1, 1, dan 2 satuan. Buatlah

model matematikanya.

Nutrisi Jenis Makanan Kebutuhan

(satuan) N (satuan) M (satuan)

A 3 1 27

B 1 1 21

C 1 2 30

Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan :

Perbandingan nutrisi A pada makanan N dan M adalah ...

Kandungan vitamin A yang dibutuhkan paling sedikit … satuan

Perbandingan nutrisi B pada makanan N dan M adalah …

Kandungan vitamin B yang dibutuhkan paling sedikit… satuan

Perbandingan nutrisi C pada makanan N dan M adalah …

Kandungan vitamin C yang dibutuhkan paling sedikit … satuan

Berdasarkan penjelasan pada masalah-masalah apa yang dapat kamu simpulkan mengenai

model matematika. Bagaimana langkah menentukan model matematika?

Perhatikan permasalahan berikut!

Seorang pedagang sepatu berencana membeli dua jenis sepatu, sepatu pria dan sepatu

wanita. Tiap sepatu terdiri atas 2 merk, merk A dan merk B. Harga beli sepatu ditampilkan

pada tabel berikut. Ia akan membelanjakan uangnya paling banyak Rp2.000.000,00 untuk

sepatu merk A dan Rp1.800.000,00 untuk sepatu merk B.

Harga (Rp) Modal (Rp)

Merk Sepatu Pria Sepatu Wanita

A 200.000 160.000 2.000.000

B 150.000 200.000 1.800.000

Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan:

Berdasarkan informasi yang kamu peoleh, tentukan :

Perbandingan harga antara sepatu pria dan wanita yang bermerk-A adalah …

Modal untuk membeli sepatu merk A paling banyak adalah ….

Perbandingan harga antara sepatu pria dan wanita yang bermerk-B adalah …

Modal untuk membeli sepatu merk B paling banyak adalah ….

Carilah contoh mengenai penerapan model matematika dalam kehidupan sehari-hari dan

buatlah permasalahan kontekstual berdasarkan contoh tersebut!

1. Suatu perusahaan merencanakan membangun rumah untuk 600 orang.

Banyaknya rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 120 buah. Rumah

jenis I biaya sewanya Rp. 100.000,- tiap bulan dan ditempati 4 orang, rumah

jenis II biaya sewanya Rp. 125.000,- tiap bulan dan ditempati oleh 6 orang.

Buatlah model matematikanya.

2. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki

paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang.

Toko tersebut dapat memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang

sepatu laki-laki Rp10.000,00 dan setiap pasang sepatu wanita Rp5.000,00.

Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melibihi150 pasang, tentukan

model matematikanya!

3. Roti A yang harga belinya Rp10.000,00 dijual dengan harga Rp11.000,00

per bungkus. Sedangkan roti B yang harga belinya Rp15.000,00 dijual

dengan harga Rp17.000,00 per bungkus. Seorang pedagang roti yang

mempunyai modal Rp3.000.000,00 dan kiosnya dapat menampung paling

banyak 250 bungkus roti akan mencari keuntungan sebesar- besarnya.

Tuliskan model matematika dari persoalan itu!

4. Pemilik perusahaan swasta mempunyai 3 jenis bahan mentah. Misalnya

bahan mentah I, II dan III masing-masing tersedia 100 satuan, 160 satuan,

dan 280 satuan. Dari ketiga bahan mentah itu akan dibuat 2 macam barang

produksi, yaitu barang A dan B. Satu satuan barang A memerlukan bahan

mentah I, II dan III masing-masing sebesar 2, 2 dan 6 satuan. Satu satuan

barang B memerlukan bahan mentah I, II dan III masing-masing sebesar 2, 4,

dan 4 satuan. Jika barang A dan B dijual masing-masing laku Rp8.000,00

dan Rp6.000,00 persatuan, buatlah model matematikanya!

LATIHAN SOAL

Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari secara rinci tentang daerah

penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier dan menentukan model matematika dari

permasalahan program linier. Hal ini merupakan syarat mutlak dalam penentuan nilai

optimum fungsi objektif dari permasalahan program linier. Menentukan nilai optimum fungsi

objektif secara grafik dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: metode titik pojok dan metode garis

selidik. Sekarang, kamu akan belajar menentukan nilai optimum fungsi objektif dari

permasalahan program linier menggunakan metode titik pojok.

Metode Titik Sudut (titik ekstrim).

Langkah-langkah menentukan nilai optimum bentuk objektif menggunakan metode titik sudut

adalah :

1. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

2. Tentukan koordinat titik-titik sudut daerah himpunan penyelesaian tersebut.

3. Tentukan nilai bentuk objektif f(x, y) = ax + by untuk setiap titik sudut tersebut.

4. Tentukan nilai optimum fungsi objektif.

Jika memaksimumkan fungsi objektif, pilih nilai f(x, y) yang terbesar. Jika

meminimumkan fungsi objektif, pilih nilai f(x, y) yang terkecil.

Tentukan nilai maksimum dari F(x,y) = 2x + 3y pada himpunan penyelesaian system

pertidaksamaan, 3x + y ≤ 9, x + 2y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 !

NILAI OPTIMUM

P

Definisi

Fungsi objektif merupakan fungsi yang menjelaskan tujuan (meminimumkan atau

memaksimumkan) berdasarkan batasan yang ada. Nilai bentuk objektif f(x, y) = ax +

by tergantung dari nilai-nilai x dan y yang memenuhi sistem pertidaksamaan. Nilai

optimum bentuk objektif dapat ditentukan dengan garis selidik (isoprofit) atau metode

titik sudut (titik ekstrim).

Alternatif penyelesaian:

Mula-mula kita menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem

pertidaksamaan tersebut :

3x + y = 9

x 0 3

y 9 0

Titik (0, 9) (3, 0)

x + 2y = 8

x 0 4

y 4 0

Titik (0, 4) (4, 0)

Daerah Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas adalah daerah yang diarsir

yaitu daerah OABC dengan O(0,0), A(3,0) dan C(0,4). Langkah berikutnya

menentukan koordinat titik B. Titik B adalah perpotongan garis 3x + y = 9 dan x

+ 2y = 8. Dengan eliminasi diperoleh :

3x + y = 9 .2 6x + 2y = 18

x + 2y = 8 .1 x + 2y = 8 _

5x = 10 → x

=2 x = 2 → x + 2y = 8

2 + 2y = 8 → y = 3

Jadi koordinat titik B(2,3).

Selanjutnya subtitusikan koordinat titik sudut OABC ke fungsi obyektif

F(x,y) = 2x + 3y, diperoleh :

Titik F(x,y) = 2x + 3y O(0,0) F(0,0) = 2.0 + 3.0 = 0

A(3,0) F(3,0) = 2.3 + 3.0 = 6

B(2,3) F(2,3) = 2.2 + 3.3 = 13

C(0,4) F(0,4) = 2.0 + 3.4 = 12

Jadi nilai maksimumnya adalah F = 13 di titik B(2,3)

Masalah 2

Tentukan Nilai Minimum f(x,y) = x + 2y dari daerah penyelesaian yang diarsir berikut!

Alternatif Penilaian :

Misalkan titik sudut Daerah Penyelesaian tersebut adalah ABC dengan A(6,0), C(0,4) dan titik B

adalah perpotongan garis I yang melalui titik (0,4) dan (4,0) dengan garis II yang melalui (0,2)

dan (6,0).

Persamaan garis I : 4x + 4y = 16 → x + y = 4 Persamaan

garis II : 2x + 6y = 12 → x + 3y = 6

Eliminasi persamaan garis I dan garis II untuk mendapatkan koordinat titik B.

x + y = 4

x + 3y = 6 _

–2y= –2 → y = 1 → x + y = 4 maka x = 3 Jadi koordinat titik B(3, 1). Selanjutnya subtitusi koordinat titik sudut daerah penyelesaian ke fungsi obyektif :

Titik F(x,y) = x + 2y A(6,0) F(6,0) = 6 + 2.0 = 6 B(3,1) F(3,1) = 3 + 2.1 = 5 C(0,4) F(0,4) = 0 + 2.4 = 8

Jadi nilai minimumnya adalah 5 dicapai di x = 3 dan y = 1.

Apa yang kamu ketahui mengenai fungsi objektif dari permasalahan di atas? Dapatkah kamu

menentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut?.

Coba kamu diskusikan dengan teman sebangkumu. Tulislah langkah-langkah

mencari nilai optimum

DISKUSIKAN

Carilah contoh penerapan nilai optimum dalam kehidupan sehari-hari dan buatlah

permasalahan kontekstual berdasarkan masalah tersebut

Aktivitas Kelas Nilai optimum.

Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari

permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok,

Tentukan nilai minimum dari 500x + 400y pada daerah penyelesaian dibawah ini!

Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu

mengenai permasalahan tersebut!

Jawab:

Buatlah pertidaksamaan dari permasalahan tersebut!

Jawab:

daerah penyelesaian

3 5 6

(1) (2) (3)

Ayo Mengamati

Ayo Menanya

Ayo Mencoba

Tentukan titik pembatas dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri,

bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Ayo Mengasosiasi

Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!

Ayo mengkomunikasikan

.

1. Tentukan nilai maksimum dari Z = 8x + 6y dengan batas 4x + 2y ≤ 60, 2x + 4y ≤ 48, x

≥ 0, dan y ≥ 0 !

b. Tentukan nilai minimum dari F = 2x + 5y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥

12 dan x + 2y ≥ 16.

2. Tentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) dari fungsi obyektif setiap model

matematika berikut !

a. 4x + 2y ≥ 8, x + y ≤ 4, y ≥ 2, 2x – y ≥ –2 dengan fungsi obyektif f(x,y) = 3x + 6y

b. x ≥ 0, 2x + 4y ≥ 8, 2x + y ≤ 8, y ≤ 4 dengan fungsi obyektif Z = 2x + 6y

3. Tentukan nilai maksimum/minimum fungsi obyektif dari daerah penyelesaian yang diarsir

berikut !

a. b.

Fungsi obyektif :

Maksimumkan Z = 30x +

50y

Fungsi obyektif :

Minimumkan Z = 32y +

40x

c d.

Fungsi obyektif : Fungsi obyektif :

Maksimumkan F = x – y Minimumkan P= 4y + 3x

LATIHAN SOAL

Sumber : https://id.wikipedia.org

Bagea adalah kue tradisional khas Maluku, Maluku Utara, dan Kota Palopo, Sulawesi

Selatan, Indonesia. Bagea biasanya berbentuk bulat dan warnanya cokelat pucat. Bagea sifatnya keras,

dan susah dimakan, orang yang tak terbiasa memakannya akan kesulitan. Bagea adalah salah satu

olahan dari sagu. Biasanya Bagea disantap dengan teh atau kopi. Di Ternate, Bagea biasanya

ditambahkan dengan biji kenari. Bahan-bahan untuk membuat Bagea adalah gula halus, biji kenari

yang telah dicincang, tepung sagu, minyak sayur, tepung terigu yang telah diayak, kacang tanah yang

dicincang halus, kayu manis bubuk, dan cengkih bubuk.

Seoang ibu rumah tangga di Kendari ingin membuka usaha toko roti yang salah satu jajanan

andalannya adalah kue bagea. Bagaimana cara ibu tersebut merancang usahanya agar memperoleh

laba maksimum? Apa yang yang harus dilakukan oleh ibu tersebut?

PENERAPAN PROGRAM LINEAR

PENERAPAN PROGRAM LINEAR P

https://id.wikipedia.org/wiki/Malukuhttps://id.wikipedia.org/wiki/Maluku_Utarahttps://id.wikipedia.org/wiki/Kota_Palopohttps://id.wikipedia.org/wiki/Sulawesi_Selatanhttps://id.wikipedia.org/wiki/Sulawesi_Selatanhttps://id.wikipedia.org/wiki/Indonesiahttps://id.wikipedia.org/wiki/Cokelathttps://id.wikipedia.org/wiki/Saguhttps://id.wikipedia.org/wiki/Tehhttps://id.wikipedia.org/wiki/Kopihttps://id.wikipedia.org/wiki/Kenarihttps://id.wikipedia.org/wiki/Minyak_sayurhttps://id.wikipedia.org/wiki/Tepung_teriguhttps://id.wikipedia.org/wiki/Kacang_tanahhttps://id.wikipedia.org/wiki/Kayu_manishttps://id.wikipedia.org/wiki/Cengkih

Program Linier

Dalam kegiatan produksi dan perdagangan, baik industri skala besar maupun kecil tidak

terlepas dari masalah laba yang harus diperoleh oleh perusahan tersebut. Tujuan utamanya adalah

untuk memperoleh pendapatan yang sebesar-besarnya dengan meminimumkan pengeluarannya

(Optimasi).

Untuk tujuan utama tersebut, tentunya pihak perusahaan membuat beberapa kemungkinan

strategi yang harus ditempuh untuk mencapainya.

Misalnya, pedagang buah-buahan, pedagang hendak membeli buah kelengkeng dan buah

papaya karena dua jenis buah tersebut persediaanya menipis. Tentunya pedagang buah akan

mengeluarkan biaya untuk membeli dua jenis buah tersebut dengan memperhitungkan keuntungan

sebesar-besarnya yang mungkin dapat diperoleh dari masing-masing buah dalam kg dan sebagainya.

Untuk menyesaikan masalah tersebut digunakan program linier. Program linier diartikan

sebagai cara untuk menyelesaikan suatu persoalan (penyelesaian optimum) dengan menggunakan

metode matematik yang dirumuskan dalam bentuk persamaan-persamaan atau pertidaksamaan linier.

Alternatif Penyelesaian :

Untuk mengetahui pendapatan maksimum, maka terlebih dahulu kita menyusun sistem

pertidaksamaan dan fungsi tujuan dari soal cerita tersebut. Karena yang ditanya pendapatan

maksimum, maka tentu harga jual kue merupakan fungsi tujuan pada soal ini. Untuk menyusun sistem

pertidaksamaan, yang perlu kita lakukan adalah menentukan variabel dan koefisiennya.

DEFINISI 1.1

Program Linear adalah suatu program untuk menyelesaikan permasalahan yang batasan-

batasannya berbentuk pertidaksamaan linear.

MASALAH 1

Seorang pengusaha pembuat kue bagea mempunyai 8.000 gr tepung sagu dan 2.000 gr gula pasir. Ia ingin membuat dua macam kue bagea yang berbeda rasa yaitu kue bagea A dan kue bagea B. Untuk membuat kue bagea A dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung sagu sedangkan untuk membuat sebuah kue Bagea B dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50 gram tepung sagu . Jika kue bagea A dijual dengan harga Rp 300,00/buah dan kue bagea B dijual dengan harga Rp 500,00/buah, tentukanlah pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut.

Bahan yang tersedia:

Tepung sagu = 8 kg = 8000 g

Gula = 2 kg = 2000 g

Misalkan :

Jumlah kue bagea A = x

Jumlah kue bagea B = y

Maka jumlah tepung sagu, gula, dan harga jual merupakan koefisien. Agar lebih mudah, kita dapat

memasukkan data yang ada pada soal ke dalam bentuk tabel seperti berikut :

Bahan Tepung Gula Harga

Kue A 20 10 Rp 300,00

Kue B 50 5 Rp 500,00

Persediaan 8000 2000

Dari tabel di atas dapat disusun sistem pertidaksamaan sebagai berikut :

20x + 50y = 800 ---> 2x + 5y ≤ 800

10x +5y = 2000 ---> 2x + y ≤ 400

x ≥ 0 dan y ≥ 0

dengan fungsi objektif f(x,y) = 300x + 500y

Kemudian gambarkan sistem pertidaksamaan yang sudah disusun dalam grafik.

Untuk garis 2x + 5y = 800

x = 0, y = 160 ---> (0, 160)

y = 0, x = 400 ---> (400, 0)

Untuk garis 2x + y = 400

x = 0, y = 400 ---> (0, 400)

y = 0, x = 200 ---> (200, 0)

Sistem pertidaksamaan linear

Titik B merupakan titik potong garis 2x + 5y = 800 dengan garis 2x + y = 400

http://3.bp.blogspot.com/-jHdrUmxV_Cs/VeKb4PeaO7I/AAAAAAAAAp8/vGjoxrNHvms/s1600/GB-1.png

Selanjutnya substitusikan titik A, B, dan C ke fungsi objektif :

A(0, 160) ---> F(x,y) = 300(0) + 500(160) = 80.000

B(100, 150) ---> F(x,y) = 300(100) + 500(150) = 105.000

C(200, 0) ---> F(x,y) = 300(200) + 500(0) = 60.000

Jadi, pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pedagang kue itu adalah Rp 105.000,00.

Alternatif penyelesaian:

Pertama, ingatlah kembali tentang permodelan matematika yang sudah kamu pelajari. Misal x

= banyaknya melon dan y = banyaknya jeruk, permasalahan tersebut dapat dinyatakan dalam

tabel sebagai berikut.

Jenis buah Banyaknya Harga Keuntungan

Melon (kg) X 10.000 2.000

Jeruk (kg) Y 4.000 1.000

Kapasitas / jumlah 400 2.500.000

Sehingga model matematika dari permasalahan tersebut adalah:

x + y ≤ 400

10.000x + 4.000y ≤ 2.500.000

x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Kedua, fungsi objektif dari permasalahan di atas dapat ditentukan dari keuntungan yang

diperoleh pedagang tersebut, sehingga fungsi objektif dari permasalahan diatas adalah

yxyxf 000.1000.2),( Ketiga, tentukanlah daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut

seperti pada gambar di bawah ini.

MASALAH 2

Seorang pedagang membeli melon dan jeruk dari seorang petani dengan harga Rp 10.000,00

untuk 1 kg melon dan Rp 4.000,00 untuk 1 kg jeruk. Modal yang dimiliki pedagang tersebut tidak

lebih dari Rp 2.500.000,00. Buah tersebut akan diletakkan di toko yang hanya dapat menampung tidak

lebih dari 400 Kg. Jika keuntungan yang didapatkan dari menjual melon dan jeruk masing-masing

adalah Rp2.000,00 tiap kg dan Rp1.000,00 tiap kg, berapa keuntungan maksimum yang dapat

diperoleh pedagang tersebut?

http://3.bp.blogspot.com/-pH56-9cCKRU/VeKb6P3cXyI/AAAAAAAAAqk/u0IlNKXjTiE/s1600/KJ-1.png

Keempat, carilah titik-titik pojok dari

daerah penyelesaian permasalahan

tersebut.

Titik pojok:

A(0,400); B(0,0); C(250,0).

Karena titik pojok D merupakan titik

potong antara persamaan garis

x + y = 400 dan

10.000x + 4000y = 2.500.000

maka kamu dapat menggunakan cara

eliminasi dan subtitusi.

Cara eliminasi: x + y = 400 dan 10.000x + 4000y = 2.500.000 x + y = 400 →10.000x + 10.000y = 2.500.00

10.000x + 4.000y = 2.500.000 →10.000x + 4.000y= 2.500.000

6.000y = 1.500.000

y = 250

Subtitusikan y = 250 ke persamaan garis x + y = 400. Kamu dapatkan

x = 150. Jadi D(150,250).

Kelima, subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif f(x, y) = 2.000x +

1.000y.

Titik pojok (x, 𝑦) Fx(x, 𝑦) = 2.000𝑥 + 1.000𝑦. Optimum

A(0,400) 2.000(0) + 1.000(400) 400.000

B(0,0) 2.000(0) + 1.000(0) 0

C(250,0) 2.000(250) + 1.000(0) 500.000

D(150,250) 2.000(150) + 1.000(250) 550.000

Nilai optimum (maksimum) dari permasalahan tersebut adalah Rp 550.000,00 pada titik

D(150,250).

Jadi, keuntungan maksimum dari permasalahan tersebut adalah sebesar Rp 550.000,00 dari penjualan

150 kg melon dan 250 kg jeruk.

Apa yang kamu ketahui mengenai fungsi objektif dari permasalahan di atas? Dapatkah kamu

menentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut?.

Coba kamu diskusikan dengan teman sebangkumu. Tulislah langkah-langkah

mencari nilai optimum dari permasalahan program linear

DISKUSIKAN

Carilah contoh penerapan nilai optimum dalam kehidupan sehari-hari dan buatlah

permasalahan kontekstual berdasarkan masalah tersebut

KOMUNIKASIKAN

Berdasarkan penyelesaian masalah-masalah program linier, susunlah langkah-langkah

penyelesaian masalah program linier!

Aktivitas Kelas Nilai optimum.

Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari

permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok.

Seorang petani sedang membeli pupuk NPK yang mengandung tiga unsur utama Nitrogen

(N), Fosfat (P205) dan Kalium (K20). Kebutuhan minimum yang dibutuhkan pak Tani adalah

160 satuan Nitrogen, 200 satuan Fosfat, dan 80 satuan Kalium. Petani menggunakan dua

merek pupuk. Merek Kuda Laut harga Rp. 4000,00 per kantong mengandung 3 satuan N, 5

satuan P205, dan 1 satuan K20. Merek Berlian, ia beli dengan harga Rp.3000,00 per kantong,

mengandung 2 satuan untuk ketiga unsur utama dari NPK. Jika pak Tani ingin

meminimalkan biaya dengan kebutuhan unsur utama tetap terjaga, berapa banyak kantong

dari setiap merek yang harus dibeli?

Ayo Mengamati

Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu

mengenai permasalahan tersebut!

Jawab:

Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Ayo Menanya

Ayo Mencoba

Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut!

Jawab:

Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu

sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan

tersebut!

Jawab:

Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!

Ayo Mengasosiasi

Ayo Mengkomunikasikan

1. Sebuah pabrik roti mempunyai bahan A, B dan C dengan banyak yang tersedia berturut-turut

300 unit, 180 unit, dan 300 unit. Dengan bahan yang tersedia, pabrik roti tersebut membuat

dua macam roti sesuai dengan pesanan langganan. Alumni Tata Boga menetapkan keperluan

bahan

Jenis Roti Bahan A Bahan B Bahan C

I 2 2 4

II 10 4 2

Harga roti I sebesar Rp. 350,00 dan ke II Rp. 800,00. Berapa banyak tiap macam harus

dibuat untuk memperoleh hasil penjualan terbanyak? Berapa rupiah jumlah terbesar yang

diperoleh pabrik roti tersebut.

2. Pemilik suatu perusahaan mempunyai bahan mentah I, II dan III, masing2 tersedia 100

satuan, 160 satuan dan 280 satuan. Dari ke tiga bahan mentah itu akan dibuat 2 macam

barang produksi yaitu barang A dan B. Satu satuan barang A memerlukan bahan mentah I,

II, dan III masing2 sebesar 2, 2 dan 6 satuan . Satu satuan barang B memerlukan bahan

mentah I, II, dan III masing2 sebesar 2,4 dan 4 satuan. Jika barang A dan B dijual dan

masing2 laku Rp 8.000 dan Rp 6.000 per satuan, berapa besar jumlah produksi barang A dan

B agar jumlah bahan mentah yg digunakan tdk melebihi persedian yg ada.

3. Seorang ahli gizi menyarankan orang yang kekurangan zat besi dan vitamin B untuk

mengkonsumsi paling sedikit 2.400 mg besi, 2100 mg vitamin B1 dan 1500 mg vitamin B2.

Untuk itu 2 tablet vitamin dipilih, yaitu merk A dan B. setiap tablet merk A hanya

mengandung 40 mg zat besi, 10 mg vitamin B1, dan 5 mg vitamin B2 dengan harga Rp.

1.500,00. Setiap tablet merk B mengandung 10 mg zat besi, 15 mg vitamin B1 dan vitamin

B2 dengan harga Rp. 1.700,00. Berapa banyak vitamin A dan B yang harus dibeli agar

kebutuhan minimal zat besi dan vitamin B terpenuhi dengan biaya murah.

LATIHAN SOAL

KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATORMENGENAL PESAWAT BOEING 737Alternatif Penyelesaian :Alternatif Penyelesaian : (1)Tentukan nilai maksimum dari F(x,y) = 2x + 3y pada himpunan penyelesaian system pertidaksamaan, 3x + y ≤ 9, x + 2y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 !F(x,y) = 2x + 3y, diperoleh :