plagiat merupakan tindakan tidak terpuji · 2017-12-17 · dalam geometri dimensi empat ......

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

DALAM GEOMETRI DIMENSI EMPAT

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

RAIMUNDUS CIKU KOTEN

111414109

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2015

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i



SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

RAIMUNDUS CIKU KOTEN

111414109

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2015


ii


iii


iv

HALAMAN MOTTO

Orang hebat adalah dia yang mampu dan berani berimajinasi serta

menerapkan imajinasinya dalam kehidupan sehari – hari.

Hanya ada satu kebenaran diantara banyak kebenaran di dunia ini.

Hanya ada satu kebenaran nyata dimana kebenaran lain

hanyalah dibenar – benarkan alasannya.

The most incomprehensible thing about the universe is that it is comprehensible. (Albert Einstein)


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya tulis ini saya persembahkan secara khusus buat Kakek dan Nenek terkasih yang sudah menjaga dan membimbing saya sejak kecil serta memotivasi dan memantapkan hobi dan antusiasme yang luar biasa dalam diri saya pada pelajaran matematika. Terkhusus buat Kakek Yohanes Hale Mukin dan Nenek Margaretha Tukan.

Karya tulis ini juga saya persembahkan buat keluarga besar saya, Bapa Antonius Fidelius Hada Koten, Mama Bernadethe Dominika Manggota Mukin, Ade Yohanes Hean Koten, Ade Oktavianus Ultimo Koten, dan Ade Wilibrodus Koten, yang telah mendukung saya hingga sejauh ini. Terima kasih buat Bapa dan Mama yang telah berusaha membuka jalan untuk saya lalui dengan baik.


vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya, Raimundus Ciku Koten dengan ini menyatakan dengan sebenar –

benarnya bahwa skripsi yang ditulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang

lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana

layaknya suatu karya ilmiah.

Yogyakarta, 7 November 2015

Raimundus Ciku Koten


vii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Raimundus Ciku Koten

Nomor Induk Mahasiswa : 111414109

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada

Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:



Dengan demikian saya memberikan kepada perpustakaan Universitas

Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan

mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa

perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap

mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Yogyakarta, 7 November 2015

Raimundus Ciku Koten


viii

ABSTRAK

Raimundus Ciku Koten, 2015. Sistem Koordinat Kartesius Dalam Geometri

Dimensi Empat. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan

Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penelitian ini bertujuan untuk menemukan dan memahami serta

menjelaskan keadaan dan gambaran dari Geometri Euclides geometri dimensi

empat baik secara umum maupun khusus. Penelitian ini dilakukan dengan metode

studi pustaka dari beberapa teori seperti Geometri Euclides, Relativitas Einstein dan

Ruang Minkowski. Selain itu, penelitian ini juga menggunakan metode uji coba

akulturasi teori guna mencapai tujuan penelitian yang diinginkan.

Pada dasarnya Ruang Minkowski telah dikenal bukan sebagai suatu bentuk

geometri dimensi empat. Akan tetapi, menanggapi pandangan Einstein bahwa

Ruang Minkowski dapat dipandang sebagai suatu bentuk dari dimensi empat

Geometri Euclides peneliti berusaha untuk memahami, memperdalam serta

mengkaji kembali pandangan tersebut berdasarkan data-data referensi yang ada.

Peneliti menyadari adanya kejanggalan dalam pandangan tersebut. Berdasarkan

pemahaman peneliti ini, peneliti berusaha untuk mempertegas pendapat peneliti

untuk menunjukkan kejanggalan yang ada secara ilmiah yang dapat

dipertanggungjawabkan nilai kebenarannya. Kejanggalan tersebut kemudian

diperbaiki dengan cara penataan ulang kajian dimensi empat tersebut berdasarkan

proses studi pustaka yang telah dilakukan, yaitu memposisikan Ruang Minkowski

sebagai suatu bentuk kejadian khusus dari Geometri Euclides mengenai kerangka

acuan inersia. Dalam upaya penataan ulang teori dan anggapan tersebut, peneliti

juga menjelaskan gambaran umum keadaan Geometri Euclides dimensi empat

sebagai hasil dari uji coba akulturasi teori. Gambaran umum tersebut meliputi

elemen khusus geometri dimensi empat: “semesta“, sistem koordinat geometri

dimensi empat dan bangun khusus geometri dimensi empat: “semesta tesseract“.

Implikasi dari gambaran umum Geometri Euclides dimensi empat ini adalah

terjelaskannya keberadaan vektor – vektor orthogonal pada Ruang Euclides yang

merupakan hasil atau bentukkan dari vektor – vektor semu sebagai akibat

ketidakmampuan dan tidak akuratnya pandangan mata manusia. Dengan kata lain,

keorthogonalan vektor – vektor dalam Ruang Euclides merupakan sketsa sederhana

yang dapat membantu manusia agar lebih memahami ruang dan elemen –

elemennya.

Kata Kunci: Geometri Euclides, Ruang Minkowski, Teori Relativitas Einstein,

geometri dimensi empat, sistem koordinat kartesius.


ix

ABSTRACT

Raimundus Ciku Koten. 2015. Four Dimensional Geometry in A Cartesian

Coordinate System. Thesis. Mathematic Education Study Program,

Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training

and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

This study aims to find, understand and explain the situation and the picture

of four-dimensional Euclidean Geometry either general or specific. This research

was conducted by literature study of several theories such as Euclidean Geometry,

Relativity Einstein and Minkowski Space. In addition, this study also uses an

acculturation theory test method to achieve the desired objectives.

Basically the Minkowski Space when it is known today was not the four-

dimension geometry. However, respond to Einstein’s idea that the Minkowski

Space can be viewed as a form of a four-dimensional Euclidean Geometry

researchers seek to understand, deepen and examine the claims based on available

references data. Researches realized in view of the irregularities. Based on this

view, researches are trying to reinforce the opinion of researches to demonstrate

that there are irregularities scientifically with truth value justifiable. The

irregularities can be fixed by means of a four-dimensional rearrangement of the

literature study that has been done, with the rearrangement of the study to position

Minkowski Space as a form of specific incidents of Euclidean Geometry in the

inertial reference frames. In an effort rearrangement theory and assumptions, the

researcher also explains the general picture of four-dimensional Euclidean

Geometry state as a result of acculturation theory test. The general description

includes specific elements of four-dimensional geometry: "universe", a four-

dimensional geometries coordinate system and special element form of four-

dimensional geometry: "tesseract universe ". The implications of the general

description of the four-dimensional Euclidean Geometry is inexplicable presence

of orthogonal vector to the Euclidean Space which the result or form of the vectors

apparent as a result of incompetence and inaccurate view of the human eye. In other

words, orthogonal vectors in Euclidean Space is a simple sketch that can help

people to understand the space and its elements better.

Keywords: Euclidean Geometry, Minkowski Space, Einstein's Theory of

Relativity, four-dimensional geometry, Cartesian coordinate system.


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis haturkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena

atas berkat rahmat dan tuntunan-Nya penulis dapat menyelesaikan penelitian dan

penulisan karya ilmiah ini.

Karya tulis ini merupakan uraian gagasan yang memberikan penjelasan dan

pemahaman mengenai geometri dimensi empat. Ketika matematika sebagai ilmu

dasar, akar dari setiap ilmu tidak berkembang, bagaimana ilmu kajiannya yang lain

seperti fisika dan astronomi dapat berkembang dengan baik dan pesat jika tidak ada

dasar kuat yang mewadahinya. Penulis mencoba mengumpulkan dan menganalisah

data-data yang ada mengenai geometri dimensi empat, menjelaskan kembali space-

time secara terperinci dan memberikan gambaran mengenai Geometri Euclides

dimensi empat.

Penulis menyadari bahwa penulisan karya ilmiah ini dapat terselesaikan

dengan baik karena bantuan, bimbingan dan dorongan dari teman – teman dan

bapak ibu dosen sekalian. Penulis menghaturkan limpah terimakasih kepada:

1. Dr. Yansen Marpaung yang telah menyetujui rancangan penulisan karya

ilmiah ini dan membimbing penulis untuk pembahasaan dan representasi

gagasan.

2. Dr. Marcellinus Andy Rudhito,S.Pd yang bersedia membimbing penulis

dalam pembahasaan dan analisis matematis hingga kajian penulisan ini

menjadi padat dan berisi.


xi

3. Antonius Yudhi Anggoro, M.Si, yang telah memberikan pengarahan dan

pertanyaan-pertanyaan logika kritis yang dapat membantu mempertajam

analisis penulisan karya ilmiah ini.

4. Beni Utomo, M.Sc, yang telah memberikan masukan-masukan baru dan

beberapa pertimbangan nyata guna mempertajam pemahaman pendukung

dalam bahasan karya ilmiah ini.

5. Aprianus Paskalis Priska, sahabat dan saudara terbaik yang tak pernah lupa

memberikan dorongan semangat dan mendengarkan keluh kesah penulis.

6. Teman – teman Himpunan Keluarga Besar Flobamorata Kampus III

Paingan yang bersedia mendukung penulis dalam berbagai hal baik secara

langsung maupun tidak langsung.

Singkat kata, matematika adalah ilmu dasar dalam kehidupan ini.

Pengembangan ilmu matematika adalah sama dengan pengembangan kualitas dan

kemajuan peradaban umat manusia. Menyadari segala kekurangan yang dimiliki,

penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari pembaca sekalian demi

pengembangan lebih lanjut.

Akhir kata, selamat membaca, semoga tulisan ini bermanfaat dan dapat

memotivasi pembaca sekalian.


xi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ………………………………………………………… i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ……………………………. ii

HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………………. iii

HALAMAN MOTTO ……………………………………………………….. Iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ……………………………………………. v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………………………. vi

PERSETUJUAN PUBLIKASI ……………………………………………… vii

ABSTRAK ……………………………………………………….…………. viii

ABSTRACT ………………………………………………………………… ix

KATA PENGANTAR …………………………………………………..….. x

DAFTAR ISI ……………………………………………………………….. xii

DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………. xiv

DAFTAR ISTILAH …………………………………………………………. xvi

BAB I : PENDAHULUAN …………………………………………………. 1

A. Latar Belakang ……………………………………………………… 1

B. Rumusan Masalah ………………………………………………….. 5

C. Batasan Masalah ……………………………………………………. 6

D. Tujuan Penelitian …………………………………………………… 6

E. Manfaat Penelitian …………………………………………………. 7

F. Metode Penelitian …………………………………………………... 8

G. Sistematika Penulisan ………………………………………………. 8

BAB II : LANDASAN TEORI ……………………………………………… 10

A. Geometri Euclides ………………………………………………….. 10

B. Teori Relativitas Einstein …………………………………………… 11

C. Ruang Minkowski …………………………………………………... 12

D. Sistem Koordinat Kartesius …………………………………………. 18


xii

BAB III : RUANG MINKOWSKI BUKAN SEBAGAI GEOMETRI

EUCLIDES DIMENSI EMPAT ..................................................... 21

A. Penjelasan Berdasarkan Sistem Dimensi ............................................. 21

B. Penjelasan Berdasarkan Sistem Koordinat .......................................... 27

C. Penjelasan Berdasarkan Geometri Euclides ........................................ 30

D. Penjelasan Berdasarkan Teori Relativitas Einstein ............................. 34

BAB IV : SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DALAM SEMESTA

DIMENSI EMPAT ......................................................................... 38

A. Sistem Koordinat Kartesius ................................................................. 41

B. Koordinat Bidang ................................................................................. 47

C. Posisi Titik Semesta ............................................................................. 54

D. Bangun Semesta Sederhana ................................................................. 65

E. Hubungan Antara Dimensi Empat dan Ruang Euclides ...................... 68

BAB V : PENUTUP ....................................................................................... 72

A. Kesimpulan ......................................................................................... 72

B. Saran .................................................................................................... 74

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 75


xiii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1 Koordinat Kartesius Dimensi Dua ................................................. 1

Gambar 1.2 Koordinat Kartesius Dimensi Tiga ................................................ 1

Gambar 2.1 Ruang Minkowski dengan Batasan Dimensi Tiga ........................ 16

Gambar 2.2 Ruang Minkowski dengan Batasan Dimensi Dua ........................ 16

Gambar 2.3 Tesseract ...................................................................................... 17

Gambar 2.4 Garis pada Sumbu X Koordinat Kartesius ………………………. 18

Gambar 2.5 Tingkat Permukaan Nilai Konstan Y ……………………………. 19

Gambar 3.1 Elemen – Elemen Khusus pada Dimensi ....................................... 31

Gambar 3.2 Gerak dan Perpindahan Elemen Khusus Dimensi ........................ 31

Gambar 3.3 Posisi Ruang Euclides dan Ruang Minkowski .............................. 37

Gambar 4.1 Meja Biasa ………………………………………………………. 43

Gambar 4.2 Meja Biasa dengan Keadaan Yang Diinginkan ………………… 43

Gambar 4.3 Vektor Arah dalam Kubus ……………………………………… 43

Gambar 4.4 Sistem Koordinat Dimensi Empat ……………………………… 43

Gambar 4.5 Sistem Koordinat Dimensi Empat ................................................. 45

Gambar 4.6 Segitiga 𝐵𝑂𝐶 ................................................................................ 45

Gambar 4.7 Sistem Koordinat Dimensi Empat …………………………........ 46

Gambar 4.8 Segitiga 𝐵𝑂𝐷 ................................................................................ 46

Gambar 4.9 Bidang Koordinat 𝑤𝑥 ………………………………………….. 47

Gambar 4.10 Bidang Koordinat 𝑥𝑦 …………………………………………... 47

Gambar 4.11 Bidang Koordinat 𝑦𝑧 …………………………………………... 48

Gambar 4.12 Bidang Koordinat 𝑤𝑧 …………………………………………... 48

Gambar 4.13 Bidang Koordinat 𝑤𝑦 ………………………………………….. 48

Gambar 4.14 Bidang Koordinat 𝑥𝑧 …………………………………………... 48

Gambar 4.15 Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat ............... 48

Gambar 4.16 Sistem Koordinat dan Bidang Vektornya .................................... 48

Gambar 4.17 Sistem Koordinat dan Vektor Semu ............................................ 49


xiv

Gambar 4.18 Sistem Koordinat dengan Bidang Vektor dan Vektor Semu ....... 49

Gambar 4.19 Sistem Koordinat Kartesius dan Bidang Koordinatnya ............... 50

Gambar 4.20 Heksan I ....................................................................................... 51

Gambar 4.21 Heksan II ...................................................................................... 51

Gambar 4.22 Heksan III .................................................................................... 52

Gambar 4.23 Heksan IV .................................................................................... 52

Gambar 4.24 Heksan V ..................................................................................... 52

Gambar 4.25 Heksan VI .................................................................................... 52

Gambar 4.26 Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat ............... 53

Gambar 4.27 Segitiga 𝑄𝑂𝑃 ................................................................................ 53

Gambar 4.28 Menentukan Posisi Titik ………………….................................. 56

Gambar 4.29 Posisi Titik .................................................................................... 57

Gambar 4.30 Posisi Titik .................................................................................... 58

Gambar 4.31 Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2 .................................................................. 58

Gambar 4.32 Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2 .................................................................. 58

Gambar 4.33 Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3 .................................................................. 59

Gambar 4.34 Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3 ................................................................... 59

Gambar 4.35 Grafik 𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................. 60

Gambar 4.36 Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................... 60


Gambar 4.38 Grafik 𝑤 = 𝑧 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 .................................................................. 61

Gambar 4.39 Grafik 𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 .................................................................. 62


Gambar 4.41 Grafik 𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................... 62

Gambar 4.42 Grafik 𝑧 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................... 62

Gambar 4.43 Perpotongan = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 0 ......................................................... 63

Gambar 4.44 Bidang 𝑦𝑧 ………………………………………………………. 63

Gambar 4.45 Perpotongan = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 0 ......................................................... 63

Gambar 4.46 Bidang W𝑧 ……………………………………………………... 63

Gambar 4.47 Perpotongan Y= 0 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 0 ....................................................... 63

Gambar 4.48 Bidang 𝑤𝑥 ……………………………………………………… 63


xv

Gambar 4.49 Perpotongan Bidang 𝑤𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑦𝑧 ……………………………….. 64

Gambar 4.50 Garis 𝑧 …..……………………………………………………… 64

Gambar 4.51 Perpotongan Bidang 𝑤𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑤𝑧 ………………………………. 64

Gambar 4.52 Garis 𝑤 ..………………………..………………………………. 64

Gambar 4.53 Perpotongan Garis 𝑤 𝑑𝑎𝑛 𝑧 ……………………………………. 64

Gambar 4.54 Titik 𝑂 (Titik Asal) ..………………………..………………….. 64

Gambar 4.55 Semesta Paralletesse dari Berbagai Sudut Pandang …………… 67

Gambar 4.56 Semesta Rhotesse dari Berbagai Sudut Pandang ………………. 67

Gambar 4.57 Vektor Nyata dan Semu Pada Sistem Dimensi Empat .................. 68

Gambar 4.58 Semesta dan Tatanannya ……………………………………….. 70


xvi

DAFTAR ISTILAH

Aksioma : Suatu pernyataan yang nilai kebenarannya adalah

mutlak sebagai suatu kejelasan ataupun asumsi.

Basis : Suatu himpunan 𝑆 dari vektor-vektor yang mencakup

himpunan dari beberapa vektor yang dapat ditulis

sebagai suatu kombinasi linier dari himpunan tersebut

dalam 𝑆.

Geometri Euclides : Ranah kajian matematika yang berkaitan dengan studi

geometri berdasarkan defenisi dan aksioma yang

ditetapkan dalam buku Euclides “The Element”.

Kerangka Acuan : Sarana yang digunakan pengamat untuk menentukan

posisi dan menggambarkan gerak tubuh.

Kerangka Inersia : Sebuah kerangka acuan pada hukum Newton tentang

gerak secara terus menerus.

Parallethese : Bangun semesta tesseract yang sisi - sisinya yang

berbentuk jajargenjang.

Proxima Centaury : Bintang katai merah yang terletak sejauh 4,2 tahun

cahaya (3,97×1013 km) dari Bumi.

Rhotesse : Bangun semesta tesseract yang sisi – sisinya berbentuk

belah ketupat.

Ruang-waktu : Suatu dimensi empat yang dibentuk dari gabungan

waktu dan ruang tiga dimensi, menggantikan kerangka

konseptual mekanika klasik di mana ruang dan waktu

ada secara terpisah.

Sistem Koordinat : Sebuah sistem untuk mengidentifikasi titik-titik pada

bidang atau ruang dengan menggunakan koordinatnya,

misalnya koordinat kartesius atau koordinat kutub.

Tesseract : Bangun semesta sederhana yang dibatasi oleh dua belas

sisi segi empat. Dalam dimensi ruang waktu, tesseract

diartikan sebagai pergerakan balok pada selang waktu

tertentu.

Titik Dunia : Titik pada diagram Minkowski sehubungan dengan

dimensi ruang-waktu.


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Geometri Euclides merupakan geometri yang diperkenalkan dan

dikembangkan oleh matematikawan dari Alexandria, Euclides, sekitar tiga ratus

tahun sebelum masehi. Menurut Coxeter (1969), Euclides menyusun secara rapi

pemahaman mengenai geometri berdasarkan konsep, teorema dan

pembuktiannya sebagai identitas asli dari geometri [𝟏𝟎]. Penyusunan

pemahaman geometri yang tertata rapi tersebut diperkenalkan pada masyarakat

luas dalam tiga belas buku yang dikenal sebagai Euclid’s Elements. Secara

ringkas, pada penataan tersebut Euclides memperkenalkan 10 prinsip utama

yang terdiri dari lima postulat dan lima pembuktian sebagai dasar dari The

Elements, (Burton, David M. 2011) [𝟓]. Berdasarkan prinsip utama itulah, dapat

dilihat dan dipahami bahwa Euclides memfokuskan geometri pada kelima

postulat tersebut kemudian dikembangkan menjadi beberapa bagian menurut

hubungan sebab akibatnya.

Gambar 1.1 Koordinat Kartesius Geometri

Dimensi Dua

Gambar 1.2 Koordinat Kartesius Geometri

Dimensi Tiga


2

Secara matematis dimensi dapat diartikan sebagai jumlah arah

perubahan yang dapat terjadi dalam suatu sistem. Mengacu pada Geometri

Euclides, perubahan yang terjadi dalam suatu sistem tersebut digambarkan pada

beberapa sumbu yang membagi sistem menjadi beberapa bagian yang sama.

Sebagai contoh, pada geometri dimensi dua terdiri dari dua buah sumbu 𝑋 dan

𝑌 yang membagi sistem dimensi dua menjadi 4 (empat) bagian yang sama,

yaitu: 𝑋𝑂𝑌, 𝑌𝑂(−𝑋), (−𝑋)𝑂(−𝑌), dan (−𝑌)𝑂𝑋, seperti pada Gambar 1.1.

Pada geometri dimensi tiga terdiri dari tiga buah sumbu 𝑋, 𝑌 dan 𝑍 yang

membagi sistem dimensi tiga menjadi 8 (delapan) bagian yang sama, yaitu:

𝑌𝑋𝑍𝑂, 𝑋𝑍(−𝑌)𝑂, (−𝑌)(−𝑋)𝑍𝑂, (−𝑋)𝑌𝑍𝑂, 𝑌𝑋(−𝑍)𝑂, 𝑋(−𝑍)(−𝑌)𝑂,

(−𝑌)(−𝑋)(−𝑍)𝑂, dan (−𝑋)𝑌(−𝑍)𝑂, seperti pada Gambar 1.2. Dari sumbu -

sumbu yang diberikan tersebut, masing – masing sumbu mewakili ukuran

besaran pokok yang sama yaitu panjang sehingga mampu berada dalam satu

sistem kajian yang dibentuk dalam satu kesatuan koordinat yang diperkenalkan

pertama kali oleh Rene Descartes dan dikenal umum sebagai Koordinat

Kartesius.

Sejak awal mula munculnya era baru geometri yang ditandai dengan

lahirnya Geometri Euclides, geometri mulai berkembang pesat seiring dengan

perkembangan jaman. Dari perkembangan tersebut ide – ide dan teori – teori

baru mulai bermunculan untuk membantu manusia dalam memaknai hidup dan

mengukur segala sesuatu yang ada di bumi bahkan yang ada pada alam semesta.

Salah satu ide atau teori tersebut adalah teori mengenai ruang – waktu atau

“spacetime”. Teori “spacetime” ini diungkapkan oleh Hermann Minkowski


3

yang melanjutkan Teori Relativitas Einstein, yang secara singkat dimaknai

sebagai geometri dimensi empat ruang – waktu. Teori ruang – waktu ini

dipandang dan diyakini sebagai bentuk dari dimensi empat Geometri Euclides

yang dapat dilihat dari dimensi tiga Geometri Euclides dan waktu yang

dijalankan dalam suatu sistem, mengutip Einstein, Albert (1921) …, we can

regard the space-time continuum as a “Euclidean” four-dimensional

continuum,… [13]

Berdasarkan Einstein, dimensi ruang-waktu dapat dianggap sebagai

dimensi empat Geometri Euclides jika diteliti lebih mendalam pada pencapaian

persamaan jarak yang ada pada dimensi ruang-waktu. Adapun persamaan jarak

pada dimensi ruang-waktu adalah 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2 − 𝑐2𝑑𝑡2. Apabila

𝑥, 𝑦, 𝑧 dan √−1 𝑐𝑡 diberi nilai 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 dan 𝑥4, maka akan membentuk

persamaan jarak seperti yang diharapkan pada dimensi empat Geometri

Euclides yaitu: 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥12 + 𝑑𝑥2

2 + 𝑑𝑥32 + 𝑑𝑥4

2. Akan tetapi, jika ditinjau

kembali, dapat dipahami bahwa Geometri Euclides berguna untuk menentukan

posisi dengan menggunakan panjang, dengan vektor basis panjang tersebut

(𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah independent (tidak terikat dengan variabel ataupun konstanta

lainnya) sedangkan dalam persamaan jarak dimensi ruang-waktu 𝑡 terikat

dengan c (kecepatan cahaya). Andaikan 𝑡 adalah independent sesuai vektor

basis lainnya pada Geometri Euclides maka akan memenuhi apa yang menjadi

tuntutan Geometri Euclides, akan tetapi dalam hal ini juga akan mengakibatkan

tidak terlaksananya dimensi ruang-waktu dikarenakan dalam dimensi ruang-

waktu diharuskan keterikatan 𝑡 (waktu) dengan 𝑐 (kecepatan cahaya).


4

Menanggapi fakta yang ada, peneliti mencoba mengikuti alur pemikiran

teori tersebut secara keseluruhan dan memahaminya. Dari proses pemahaman

tersebut peneliti merasa bahwa terdapat kejanggalan ide atau teori tersebut.

Secara hakiki, peneliti tidak menyalahkan teori tersebut tetapi yang menjadi inti

dari permasalahannya adalah “Apakah dimensi ruang – waktu benar merupakan

geometri dimensi empat yang melanjutkan Geometri Euclides? Apakah waktu

memang tepat untuk dijadikan subjek pengamatan dalam suatu sistem

berpadanan dengan koordinat pada sistem Koordinat Kartesius? Ataukah

dimensi ruang – waktu hanyalah merupakan penerapan dari dimensi tiga?

Berdasarkan definisi dimensi, dapat dilihat bahwa dimensi menunjukan

jumlah arah perubahan yang dapat terjadi dalam suatu sistem. Di sisi lain,

anggapan bahwa geometri dimensi empat ruang – waktu sebagai geometri

dimensi empat menimbulkan pertanyaan karena melibatkan waktu dalam

sistem. Dasar jumlah arah pada dimensi yang sering kita gunakan pada

Koordinat Kartesius menggunakan besaran pokok panjang yang disimbolkan

dalam bentuk sumbu 𝑋, 𝑌, dan 𝑍, sedangkan dimensi ruang – waktu

menggabungkan waktu yang memiliki besaran pokok waktu ke dalam koordinat

𝑋, 𝑌, dan 𝑍 tersebut. Menurut peneliti adalah suatu kejanggalan bahwa panjang

dan waktu dijadikan subyek pengamatan pada suatu sistem hingga

menghasilkan makna geometri dimensi baru dalam Geometri Euclides. Apakah

tepat demikian ataukah waktu hanya memberikan gambaran untuk penerapan

geometri dimensi tiga saja sehingga geometri dimensi ruang dan waktu yang

dianggap sebagai geometri dimensi empat adalah suatu bentuk kesalahan dalam


5

pemahaman teori ruang – waktu? Dalam pengkajian yang lebih mendalam

mengenai dimensi, dimensi adalah bagian utama dari geometri yang diteliti.

Pengamatan geometri, khususnya dimensi selalu berada pada keadaan statis di

mana pada keadaan dinamis yaitu bergerak pada selang waktu tertentu,

dianggap dan diyakini sebagai suatu penerapan yang dipelajari pada cabang

ilmu fisika.

Berdasarkan penalaran – penalaran di atas, peneliti meyakini bahwa

waktu tidak dapat dijadikan sebagai bagian dari sistem koordinat untuk

menunjukan adanya geometri dimensi baru. Dari keyakinan tersebut, yang

menjadi pertanyaan baru adalah seperti apakah bentuk geometri dimensi empat

yang dapat dianggap sebagai lanjutan dimensi tiga Geometri Euclides tersebut?

Pertanyaan tersebut menjadikan peneliti terinspirasi untuk menemukan

jawabannya.

B. Rumusan Masalah

Adapun yang menjadi masalah dalam penelitian ini dapat dirumuskan

sebagai berikut:

1. Apakah Ruang Minkowski adalah tepat jika dianggap sebagai

geometri dimensi empat yang melanjutkan dimensi tiga Geometri

Euclides?

2. Seperti apakah sistem geometri dimensi empat dalam bentuk

representasi sistem Koordinat Kartesius dan sifat – sifatnya?


6

C. Batasan Masalah

Adapun dalam penelitian ini, secara khusus akan dibahas mengenai:

1. Pandangan Ruang Minkowski secara geometris khususnya

penggunaan sumbu waktu sebagai sumbu keempat sistem dimensi

dalam kaitannya terhadap asumsi Ruang Minkowski sebagai

geometri dimensi empat yang melanjutkan Geometri Euclides.

2. Geometri Euclides, khususnya representasi grafik dalam bentuk

sistem Koordinat Kartesius.

D. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam melakukan penelitian ini adalah

sebagai berikut:

1. Menjelaskan secara matematis ketepatan ataupun ketidaktepatan asumsi

mengenai Ruang Minkowski sebagai Geometri Euclides Dimensi

Empat.

2. Menjelaskan bentuk sistem geometri dimensi empat dalam representasi

sistem Koordinat Kartesius dan sifat - sifatnya.


7

E. Manfaat Penelitian

Adapun manfaat yang dapat diperoleh dalam melakukan penelitian ini adalah :

1. Dari segi teoritis

Penelitian ini diharapkan memberikan gambaran pemahan yang

jelas mengenai geometri dimensi empat, baik space-time maupun

Geometri Euclides dimensi empat..

2. Dari segi praktis

Penelitian ini diharapkan mampu memberikan jawaban dan

penjelasan mengenai asumsi yang tepat akan pemahaman geometri

dimensi empat dan dimensi ruang dan waktu.

3. Dari segi peneliti

Penelitian ini diharapkan mampu mengasah kemampuan peneliti

untuk selalu berpikir kritis dan cepat tanggap terhadap permasalahan

faktual yang tengah terjadi dewasa ini.

4. Dari segi pembaca

Penelitian ini diharapkan mampu mendorong dan memotivasi

pembaca untuk selalu bertanya dan mencari jawaban atas segala sesuatu

bukan hanya mengiyakan pendapat sesama yang bahkan tidak

dimengerti sendiri alasannya dan bagaimana cara kerja pendapat yang

diberikan tersebut.


8

F. Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi pustaka,

yaitu dengan membaca, mempelajari, mengkaji dan menganalisis materi dari

buku – buku ataupun – jurnal yang berkaitan dengan topik skripsi. Selain itu,

penelitian ini juga menggunakan metode uji coba akulturasi teori , yaitu

penggabungan ide dari teori – teori yang berkaitan dengan topik skripsi guna

menghasilkan sesuatu yang baru dengan maksud pencapaian tujuan skripsi yang

ada.

G. Sistematika Penulisan

Tulisan ini mengkaji tentang sistem geometri dimensi empat dalam

representasi sistem Koordinat Kartesius dan sifat - sifatnya yang dapat dianggap

sebagai lanjutan Geometri Euclides. Tulisan ini terbagi menjadi lima bab. Pada

Bab I, akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan

masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan

sistematika penulisan. Pada Bab II akan diingatkan dan dijelaskan mengenai

konsep – konsep utama yang berkaitan erat dengan pembahasan dan analisis

dalam tulisan ini, yaitu meliputi: Geometri Euclides, Teori Relativitas Einstein

dan Ruang Minkowski.

Bagian utama dari tulisan ini adalah terdapat pada Bab III dan Bab IV. Pada

Bab III akan dibahas mengenai Ruang Minkowski yang merupakan dimensi

ruang – waktu yang dianggap sebagai geometri dimensi empat yang

melanjutkan Geometri Euclides. Selanjutnya, Ruang Minkowski ini akan


9

dijelaskan berdasarkan konsep – konsep ilmu lainnya untuk mengetahui tingkat

kebenaran asumsinya sebagai geometri dimensi empat lanjutan Geometri

Euclides. Pada Bab IV, akan ditampilkan gagasan baru mengenai geometri

dimensi empat dalam bentuk representasi sistem koordinat dan sifat - sifatnya

yang dapat dianggap sebagai lanjutan Geometri Euclides. Secara lebih lanjut,

pada bab ini akan dibahas mengenai hubungan geometri dimensi empat dan

Ruang Euclid.

Pada Bab terakhir dalam tulisan ini dicantumkan kesimpulan dari

pembahasan dan analisis yang telah di uraikan pada Bab III dan Bab IV serta

beberapa saran yang dapat digunakan untuk penelitian lanjutan.


10

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa konsep yang sangat

diperlukan sebagai landasan teori dalam pembahasan mengenai geometri dimensi

empat sebagai lanjutan Geometri Euclides. Pembahasan pada bagian ini dibagi

menjadi empat bagian utama, yaitu: Geometri Euclides, Teori Relativitas Einstein,

Ruang Minkowski dan Sistem Koordinat Kartesius.

A. Geometri Euclides

Euclid dari Alexandria, Mesir adalah matematikawan kuno yang

menghasilkan karya monumental dalam geometri, yaitu “The Elements”.

Buku ini memuat geometri dan Teori Bilangan. Pada buku Euclid dibedakan

antara aksioma dan postulat, postulat berlaku untuk sains tertentu sedangkan

aksioma berlaku umum. Euclid mengemukakan 5 aksioma dan 5 postulat.

Aksioma yang dikemukakan Euclid tersebut adalah:

1. Benda – benda yang sama dengan benda yang sama, satu dengan

yang lain juga sama.

2. Jika suatu yang sama ditambah dengan suatu yang sama,

jumlahnya sama.

3. Jika suatu yang sama dikurangi dengan suatu yang sama, sisanya

sama.

4. Benda-benda yang berimpit satu sama lain, benda-benda

tersebut sama.


11

5. Seluruhnya lebih besar dari bagiannya.

Postulat – postulat yang dikemukakan Euclid adalah sebagai berikut:

1. Melalui dua titik sebarang dapat dibuat tepat satu garis.

2. Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu menjadi garis.

3. Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapat dilukis

lingkaran.

4. Semua sudut siku – siku sama.

5. Jika suatu garis memotong dua garis dan membuat sudut-sudut

dalam sepihak kurang dari dua sudut siku – siku, kedua garis itu

jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat

kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku.

B. Teori Relativitas Einstein

Teori Relativitas Khusus Einstein membentuk landasan bagi konsep

baru tentang ruang – waktu. Einstein menyatakan bahwa semua pengamat

yang tidak mengalami percepatan seharusnya diperlakukan sama terhadap

apapun, walaupun mereka bergerak (dalam kecepatan konstan) relatif satu

terhadap lainnya. Teori ini didasarkan pada dua postulat berikut, yang

diajukan Albert Einstein.

1. Postulat pertama (Asas Relativitas)

Hukum fisika dapat dinyatakan dalam persamaan yang

berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak

dengan kecepatan tetap satu dengan lainnya.


12

2. Postulat kedua (Asas Ketakubahan Kecepatan Cahaya)

Kecepatan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua

pengamat tidak tergantung dari keadaan gerak pengamat.

Postulat pertama pada dasarnya menegaskan bahwa tidak ada

satupun percobaan yang dapat kita gunakan untuk mengukur kecepatan

terhadap ruang mutlak, yang dapat kita ukur hanyalah laju relatif. Postulat

kedua, adalah sebuah konsekuensi dari foton yang tak bermassa bergerak

dengan kecepatan cahaya 𝑐 pada ruang hampa. Postulat kedua menegaskan

fakta bahwa laju cahaya adalah sama bagi semua pengamatan, sekalipun

mereka dalam gerak relatif.

C. Ruang Minkowski

Ruang Minkowski merupakan implikasi dari pandangan teori relativitas

ruang dan waktu sehingga disebut juga ruang dimensi ruang – waktu. Teori

ini digagaskan Hermann Minkowski. Pada dasarnya Ruang Minkowski ini

hanyalah merupakan penerapan Teori Relativitas Einstein pada Geometri

Euclides. Ruang dimensi empat ruang – waktu ini dijelaskan oleh Hermann

Minkowski sebagai “dunia”.

Melalui cara yang sama dengan ruang dimensi tiga yang dijelaskan

melalui sumbu – sumbu ruang dimensi tiga, Ruang Minkowski dapat juga

dipandang sebagai ruang dimensi empat. Perluasan ruang dimensi tiga

menjadi ruang dimensi empat mengakibatkan perpanjangan vektor r dengan

komponen – komponen vektornya (𝑥, 𝑦, 𝑧) dapat menjadi vektor dimensi


13

empat dengan komponen – komponen vektornya (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧), di mana t

merupakan komponen waktu. Dalam hal untuk mendapati bentuk fisik

dimensi yang sama untuk keseluruhan keempat sumbu dalam Ruang

Minkowski diperkenalkan suatu koordinat waktu dengan panjang dimensi

𝑥0 = 𝑐𝑡, di mana c merupakan kecepatan cahaya. Koordinat ruang – waktu

dapat dinyatakan dalam notasi sebagai berikut:

𝑥0 = 𝑐𝑡 𝑥1 = 𝑥 𝑥2 = 𝑦 𝑥3 = 𝑧

Vektor posisi dari suatu titik ruang – waktu adalah, sebagai berikut:

𝑹 = (𝑐𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧)

Dan juga dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑹 = (𝑥0, 𝒓), di mana r merupakan

komponen ruang vektor R.

Untuk mengetahui sifat matematis dari Ruang Minkowski, perlu

diketahui elemen garisnya. Terdapat beberapa syarat untuk menentukan

elemen garis pada Ruang Minkowski, yakni sebagai berikut:

1. Semua obyek dan peristiwa yang terjadi pada garis cahaya terjadi

secara simultan. Karena matahari 8 menit yang lalu dan proxima

centaury 4,2 tahun yang lalu terjadi secara bersamaan (isyaratnya

sampai terjadi bersamaan), maka jaraknya adalah sama dengan nol.

Dengan begitu “jarak” pada garis cahaya adalah sama dengan nol.

2. Jika jarak antara dua obyek yang selang komponen waktunya adalah

nol, maka elemen garisnya haruslah tereduksi menjadi elemen garis

dalam Ruang Euclides yang bila dinyatakan dalam Koordinat

Kartesius menjadi:


14

𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2 … (1)

Berdasarkan kedua syarat di atas, dapat diperoleh dua kemungkinan

elemen garis dari Ruang Minkowski yaitu:

𝑑𝑠2 = 𝑐2𝑑𝑡2 − 𝑑𝑟2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑠2 = −𝑐2𝑑𝑡2 + 𝑑𝑟2 … (2)

Di mana 𝑑𝑟 ialah elemen garis dalam Ruang Euclides,

𝑑𝑟2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2 dan kecepatan cahaya ( 𝑐 ) ditambahkan untuk

kesetaraan dimensi dari Sistem Internasional. Meskipun demikian sering

dinyatakan 𝑐 = 1, sehingga 𝑐2𝑑𝑡2 = 𝑑𝑡2 dan nampak tidak ada perbedaan.

Jika digunakan ketentuan pertama, elemen garis dalam Ruang Minkowski

dapat ditulis lengkap menjadi:

𝑑𝑠2 = 𝑑𝑡2 − (𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2) … (3)

Sebagai catatan, dalam menyatakan keempat vektor R dalam

hubungan antara ruang dan waktu yang dinyatakan dalam persamaan (2)

dan persamaan (3), digunakan bentuk spesifik inersia sebagai bahan acuan.

Meskipun representasi dari hubungan komponen – komponen tersebut

sesuai, akan tetapi belum tertata dengan baik saat menganggap bahwa

vektor R adalah pilihan independent dari bentuk koordinat. Hal ini akan

berlaku sama pada vektor r yang dianggap sebagai pilihan independent dari

sumbu koordinat. Hubungan dari suatu himpunan vektor basis dapat

dinyatakan melalui persamaan berikut: 𝑹 = ∑ 𝑥03𝜇=0 𝑒𝜇, di mana 𝑒0

merupakan suatu vektor bagian dari sumbu waktu dan 𝑒𝜇, 𝜇 = 1,2,3

merupakan suatu himpunan dari vektor bagian vektor orthogonal dalam

ruang tiga dimensi. Hal ini dapat diidentifikasi melalui bentuk sederhana


15

vektor bagian, yaitu i, j dan k dari bentuk suatu Koordinat Kartesius dimensi

tiga. Perubahan bentuk akan berkorespondensi pada perubahan vektor basis

{𝑒𝜇} dan hal ini dapat tergantikan dengan transformasi koordinat 𝑥𝜇

sehingga vektor R dibiarkan tanpa perubahan. Vektor R dapat dinyatakan

dalam bentuk matriks kolom:

𝑹 = (

𝑥0

𝑥1

𝑥2

𝑥3

) .

Vektor posisi R pada ruang – waktu membentuk suatu sistem

dimensi empat ruang vektor. Hal ini berguna untuk menggambarkan

representasi dari ruang, akan tetapi karena tidak dapat dibuatnya suatu

representasi yang baik dari keseluruhan dimensi empat maka dibuatlah

suatu batasan pada ruang dua dimensi yang meliputi koordinat (𝑥0, 𝑥1) atau

ruang tiga dimensi yang meliputi (𝑥0, 𝑥1, 𝑥2). Pembatasan representasi ini

mungkin cukup mengingat pergerakan dalam satu atau dua dimensi.

Representasi secara grafik dari ruang bagian digunakan sebagai acuan yang

disebut sebagai Diagram Minkowski dan geometri dimensi empat ruang –

waktu dari teori relativitas khusus disebut sebagai Ruang Minkowski.

Gambar 2.1: Ruang Minkowski dengan

Batasan Dimensi Tiga. Gambar 2.2: Ruang Minkowski dengan

Batasan Dimensi Dua.


16

Pada diagram pertama, Gambar 2.1 sumbu 𝑋 dan sumbu 𝑌 yang

ditonjolkan, sedangkan pada diagram kedua, Gambar 2.2 hanyalah sumbu

𝑋 yang ditonjolkan. Garis berarah dan sumbu koordinat menegaskan

kerelatifan bentuk inersia yang diberikan. Pada kedua diagram, ditunjukkan

kerucut cahaya depan dan kerucut cahaya belakang. Kerucut ini

menegaskan kerelatifan pada titik ruang – waktu, akan tetapi hal ini sesuai

dengan pilihan independen bentuk inersia. Kerucut cahaya depan

menunjukan kepastian masa depan seperti yang ditunjukan oleh vektor 𝑹𝐴.

Kerucut cahaya belakang menegaskan kepastian masa lalu. Di samping itu,

kerucut cahaya juga menegaskan mengenai titik yang relatif simultan.

Vektor 𝑹𝐵 dipresentasikan dengan sebuah titik di mana titik tersebut

berasal dari titik asal dan menunjukan bahwa ruang – waktu merupakan

bagian dari masa depan dan masa lalu.

Secara sederhana, dimensi empat Ruang Minkowski menggunakan

Geometri Euclides dan sisipan pemahaman baru mengenai relativitas dari

Teori Relativitas Einstein. Dengan gabungan ini, Ruang Minkowski

menunjukan dengan jelas ranah kajian Geometri Euclides (∆𝑡 = 0) dan

ranah tambahannya ∆𝑡 ≠ 0 pada Ruang Minkowski ini, terlihat hubungan

antara geometri dimensi tiga Ruang Euclides dan Relativitas Einstein, yaitu

sebagai: 4𝐷 = 3𝐷 + 𝑡.

Geometri dimensi empat yang dimaksud di atas adalah Ruang

Minkowski yang terdiri dari dimensi tiga Ruang Euclides dan t waktu,

vektor tambahan keempat dari Minkowski yang mengacu pada kecepatan


17

cahaya c di mana 𝑐 ≤ 1, dan 𝑣 ≪ 𝑐 sehingga ketika vektor t dimanipulasi

dengan c maka akan mengakibatkan kajian sistem yang sama dalam Sistem

Internasional dengan ketiga vektor lainnya.

Pada Ruang Minkowski telah dikenal suatu bangun yang merupakan

bangun khas Ruang Minkowski itu sendiri yaitu Tesseract. Tesseract

menurut Ruang Minkowski ini sendiri merupakan pergerakan sebuah

bangun kubus pada selang waktu tertentu yang dapat dilihat pada gambar

berikut:

Gambar 2.3: Tesseract

Pada Gambar 2.3, jika garis putus – putus berarah menunjukan

perubahan acuan kubus dari kubus bawah menuju kubus atas, maka dapat

dikatakan bahwa Tesseract merupakan gambaran secara utuh dari

perubahan tersebut.

D. Sistem Koordinat Kartesius

Sebuah sistem koordinat terdiri dari empat elemen dasar, yaitu: titik

asal, sumbu, arah positif sumbu dan vektor satuan sumbu.

1. Titik Asal


18

Pada bagian ini, akan ditentukan sebuah titik asal O. Jika

diberikan suatu obyek, maka pilihan titik asal biasanya adalah

bertepatan dengan suatu titik khusus seperti titik tengah dari

perpotongan garis – garis.

2. Sumbu

Pada bagian ini akan ditentukan suatu himpunan sumbu

koordinat. Himpunan sumbu koordinat yang sederhana dikenal sebagai

sumbu kartesius yang terdiri dari sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z.

Pilihan himpunan sumbu ini dapat disesuaikan sesuai dengan obyek

fisik yang hendak diamati. Sebagai contoh: ditentukan sumbu X

sehingga garis terletak pada sumbu X seperti yang ditunjukkan pada

gambar di samping.

Setelah itu, setiap titik P dalam ruang S dapat diberi nilai

(𝑋𝑃, 𝑌𝑃, 𝑍𝑃) yang merupakan Koordinat

Kartesius dari titik P itu sendiri. Kumpulan

titik – titik yang memiliki koordinat yang

sama dengan 𝑦𝑃 disebut permukaan.

Himpunan titik – titik dalam ruang S yang

memiliki nilai yang sama adalah 𝑌 = 𝑌𝑃 sehingga himpunan titik – titik

tersebut adalah:

𝑆𝑌𝑃= {(𝑋, 𝑌, 𝑍) ∈ 𝑆 ∋ 𝑌 = 𝑌𝑃}


19

Gambar 2.5: Tingkat Permukaan Ditetapkan Untuk Nilai Konstan 𝑌𝑝

Himpunan S merupakan suatu bidang, bidang XZ (Gambar 2.5)

yang disebut tingkat konstan 𝑌𝑃. Dengan demikian, koordinat y untuk

setiap titik sebenarnya memberikan gambaran sebuah bidang yang tegak

lurus terhadap sumbu Y.

3. Arah Positif Sumbu

Pilihan ketiga adalah menentukan arah yang positif untuk setiap

sumbu koordinat. Akan ditunjukkan pilihan dengan simbol + sepanjang

sumbu positif. Secara umum, Koordinat Kartesius yang dilukis dengan

bidang XY sesuai dengan bidang kertas. Arah horizontal dari kiri ke

kanan diberi nilai sumbu X positif dan vertikal dengan arah dari bawah

ke atas diberi nilai sebagai sumbu Y positif.

Dalam permasalahan fisika, kita dapat secara bebas memilih

sumbu dan arah positif dengan cara apapun, pilihan tersebut disesuaikan

dengan cara terbaik dalam menyelesaikan masalah yang ada. Masalah

yang sangat sulit menggunakan pilihan konvensional dapat berubah

menjadi lebih mudah untuk dipecahkan dengan membuat pilihan yang

tepat pada sumbu.


20

4. Vektor Satuan Sumbu

Setiap titik P dalam ruang merupakan suatu himpunan yang

terdiri dari tiga buah vektor satuan (𝒊𝑝, 𝒋𝑝, 𝒌𝑝). Besar suatu vektor

satuan adalah satu, yaitu:

|𝒊𝑝| = 1, |𝒋𝑝| = 1, |𝒌𝑝| = 1

Akan ditetapkan arah dari 𝒊𝑝 semakin meningkat sepanjang

sumbu X menuju titik P. Sehingga dapat didefinisikan arah 𝒋𝑝 dan 𝒌𝑝

semakin meningkat sepanjang sumbu koordinat Y dan sumbu koordinat

Z secara berturut – turut menuju titik P.


21

BAB III

PENJELASAN MATEMATIS MENGENAI ANGGAPAN RUANG

MINKOWSKI SEBAGAI GEOMETRI EUCLIDES DIMENSI EMPAT

Berdasarkan makna Ruang Minkowski dan kejanggalan seperti yang telah

dijelaskan pada bab – bab sebelumnya, berikut akan dibahas penjelasan beberapa

sudut pandang lain terhadap Ruang Minkowski guna menunjukan dan memberikan

penjelasan matematis terhadap kekeliruan anggapan Ruang Minkowski sebagai

Geometri Euclides dimensi empat. .

A. Penjelasan Berdasarkan Sistem Dimensi

Menurut artinya secara matematis, dimensi dapat didefinisikan sebagai

jumlah arah perubahan yang dapat terjadi pada suatu sistem. Dengan kata lain,

suatu dimensi n menggambarkan bahwa terdapat n arah dalam perubahannya

yang terjadi bersamaan pada suatu sistem. Dalam hal ini banyaknya 𝑛 arah

menekankan pada posisi mutlak perubahan itu terjadi pada suatu sistem yang

digambarkan dengan pasti melalui vektor yang arahnya terdefinisi dengan jelas.

Membahas mengenai sistem dimensi ini, kembali akan kita bahas

mengenai Ruang Minkowski yang dipandang sebagai Geometri Euclides

dimensi empat karena menggunakan sistem ruang tiga dimensi Geometri

Euclides dan waktu t sebagai komponen – komponen vektornya.

Mengacu pada sistem SI, komponen – komponen vektor Ruang

Minkowski (𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) dioperasikan sedemikian hingga memiliki besaran


22

SI yang sama, yaitu dengan menggunakan parameter 𝑐 kecepatan cahaya. Hal

ini mengakibatkan besaran SI untuk vektor 𝑡 beralih dari [T] (Time) menjadi

[L] (Long) sebagai akibat bentuk 𝑐𝑡 di mana 𝑐𝑡 =[𝐿]

[𝑇][𝑇] = [𝐿].

Komponen vektor keempat 𝑥0 ini dapat berlangsung dalam suatu sistem

yang sama dengan vektor – vektor lainnya (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) akibat pengaruh

parameter 𝑐. Akan tetapi, mengenai permasalahan ini, parameter yang

digunakan pada dasarnya merupakan kecepatan sehingga saat dihubungkan

terhadap waktu yang pada dasarnya merupakan komponen vektor ke empat

yang ditambahkan maka nilai esensial dari waktu 𝑡 tersebut akan berubah

sebagai akibat pengaruh penggunaan parameter 𝑐.

Tabel Makna Esensial Waktu t.

𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 : Komponen vektor dimensi empat

𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧 : Komponen vektor dimensi empat

[𝑇], [𝐿], [𝐿], [𝐿] : Komponen vektor dalam SI

𝑐𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧 : Komponen vektor dengan penggunaan

parameter pada t

[𝐿], [𝐿], [𝐿], [𝐿] : Komponen vektor dalam SI setelah

menggunakan parameter pada t

𝑡 merupakan bagian

dari dimensi [𝐿]

: makna t yang diperoleh akibat pengaruh

parameter

𝑡 merupakan bagian

dari dimensi [𝑇] : Makna esensial t

Pada bagian makna t yang diperoleh akibat pengaruh parameter, terlihat

jelas bahwa dalam komponen – komponen vektornya memang menggunakan


23

waktu sebagai vektor keempat, akan tetapi pada aplikasinya tidak ada

penggunaan waktu yang sebenarnya sebagai akibat pengaruh parameter 𝑐 yang

mengubah esensi vektor 𝑡 sebagai waktu menjadi panjang. Karena sangatlah

jelas bahwa tidak ada waktu yang merupakan panjang ([𝐿] ≠ [𝑇] dan 𝑡 bukan

merupakan bagian dari dimensi [𝑇]).

Dalam hal ini, memang terasa benar bahwa kuantitas cara perubahan

yang ditampilkan oleh Ruang Minkowski adalah empat yaitu ditunjukkan

melalui vektor 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 dengan 𝑥0 = 𝑡, 𝑥1 = 𝑥, 𝑥2 = 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑥3 = 𝑧.

Akan tetapi, jika dilihat dari arah perubahan yang dapat terjadi pada sistem

dimensi tersebut, komponen – komponen yang tersebutkan tidak terjelaskan

secara rinci dan tepat mengenai arah pastinya seperti yang dapat dilihat dalam

representasi grafik Ruang Minkowski (Lihat Gambar 2.1 dan Gambar 2.2).

Selain itu, arah yang tidak pasti tersebut lebih digambarkan oleh 𝑥0 =

𝑡, seperti yang diungkapkan oleh Minkowski sendiri melalui materi

presentasinya saat pertemuan ke 80 dari fisikawan dan ilmuwan Jerman,

Cologne, 21 september 1908 dengan nenyatakan bahwa:

“The time axis can hence be given a completely arbitrary direction towards

the upper half of world, 𝑡 > 0” [22]

Pernyataan tersebut di atas menyatakan bahwa sumbu waktu dapat diberikan

arah sembarang terhadap setengah bagian atas dunia, dengan dunia merupakan

sebutan Minkowski untuk ruangnya. Jika berbicara mengenai arah yang

sembarang, tanpa adanya spesifikasi yang jelas, maka akan sangat mudah dalam

membuat geometri dimensi empat itu sendiri. Akan tetapi, ketika berbicara


24

mengenai geometri dengan anggapan Ruang Minkowski sebagai lanjutan

Ruang Euclides, “Apakah terdapat arah sembarang tanpa memiliki spesifikasi

yang jelas dari komponen – komponen vektor yang ditampilkan Euclides?”

Tentu saja tidak, ketiga komponen vektor yang ditampilkan oleh Euclides

tertata rapi dengan kejelasan arah dan spesifikasi rinci dari ketiga komponen

vektor (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) tersebut (lihat Gambar 1.2).

Apabila dipandang sebagai lanjutan Geometri Euclides maka Ruang

Minkowski harus dapat terjelaskan menurut hukum dasar Geometri Euclides

dan bahkan menambahkan ataupun memperbaikinya bukan menguranginya

begitu saja.

Pada hakikatnya, mengikuti definisi ruang dan waktu, keduanya adalah

independen untuk masing – masing dan hanya dapat berdampingan tetapi tidak

dapat bersatu ataupun disatukan. Menyetujui pernyataan Minkowski juga dalam

materi presentasinya (Cologne: 1908):

“Nobody has ever noticed a place except at a time, or a time except at a

place”. [22]

Memang benar bahwa tak seorangpun pernah melihat tempat kecuali pada suatu

waktu atau waktu pada suatu tempat. Akan tetapi hal tersebut tidaklah berarti

bahwa waktu dan ruang dapat dijadikan satu dalam hal sistem tinjauan. Ruang

dan waktu dapat berdampingan akan tetapi kedua hal tersebut tidak dapat

disatukan atau dianggap sama.

Waktu dapat terjadi dalam ruang akan tetapi ruang tidak dapat terjadi

dalam waktu (hal ini dikarenakan ruang hanya dapat terjadi dalam selang waktu


25

tertentu, dengan kata lain saat tidak terdapat selang waktu maka tidak terdapat

ruang). Disisi lain, ruang dapat ditinjau menurut waktu dan waktu dapat ditinjau

menurut ruang. Pendapat tersebut di atas dapat dijadikan pernyataan tautologi

sebagai berikut:

“Jika waktu terdapat pada suatu sistem maka ruang terdapat

pada sistem juga atau jika ruang terdapat pada suatu sistem maka

waktu terdapat pada sistem tersebut juga” (𝒕 → 𝑹) ∨ (𝑹 → 𝒕). “Jika

Ruang terdapat dalam suatu sistem dan waktu terdapat dalam sistem

tersebut juga maka ruang terdapat dalam suatu sistem atau waktu

terdapat dalam suatu sistem” (𝑹 ∧ 𝒕) → (𝑹 ∨ 𝒕).

Kedua pernyataan tersebut selalu bernilai benar, sehingga untuk pernyataan

“ruang dan waktu terjadi dalam suatu sistem (𝒕 ∧ 𝑹 ) adalah selalu bernilai

salah. Pernyataan tersebut akan dibuktikan melalui pembuktian berikut:

Pernyataan Pertama

1. (𝒕 → 𝑹) ∨ (𝑹 → 𝒕) Diketahui

2. (�̅� ∨ 𝑹) ∧ (�̅� ∨ 𝒕) 1, ekuivalen

3. (�̅� ∨ 𝒕) ∨ (�̅� ∨ 𝑹) 2, assosiatif

4. 1 ∨ 1

5. 1 4, sifat disjungsi

Jadi, terbukti bahwa pernyataan pertama adalah benar.


26

Pernyataan Kedua

1. (𝑹 ∧ 𝒕) → (𝑹 ∨ 𝒕) Diketahui

2. (�̅� ∨ �̅�) ∨ (𝑹 ∨ 𝒕) 1, ekuivalen

3. (�̅� ∨ 𝑹) ∨ (�̅� ∨ 𝒕) 2, assosiatif

4. 1 ∨ 1

5. 1 4, sifat disjungsi

Jadi, terbukti bahwa pernyataan kedua adalah benar.

Pernyataan Simpulan

Tabel kebenaran 𝒕 ∧ 𝑹

𝒕 𝑹 𝒕 ∧ 𝑹

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Dapat dilihat pada tabel kebenaran diatas bahwa nilai 𝒕 ∧ 𝑹 akan

selalu salah kecuali untuk 𝒕 = 𝑹 = 𝟏. Dalam hal ini, untuk 𝒕 = 𝑹 = 𝟏

meskipun bernilai benar, akan mengakibatkan pernyataan kedua yang telah

terbukti tautologi bernilai salah. Maka dapat dikatakan bahwa 𝒕 = 𝑹 = 𝟏 juga

tidak memenuhi pernyataan yang diharuskan. Dengan kata lain, 𝒕 ∧ 𝑹 selalu

bernilai salah.

Jadi, terbukti bahwa 𝒕 ∧ 𝑹 bernilai salah.

Karena terbukti bahwa 𝒕 ∧ 𝑹 bernilai salah maka dapat disimpulkan

bahwa ruang dan waktu tidaklah dapat dijadikan satu atau dianggap sama

sebagai satu sistem acuan.


27

Pernyataan tersebut dapat dikatakan sebagai suatu bentuk pernyataan

yang selaras dengan pernyataan Stephen Hawking dalam The Grand

Design. [17] Stephen Hawking menyatakan bahwa pada kondisi awal mula

semesta sesaat sebelum terjadinya Big Bang, yang ada hanyalah ruang tanpa

adanya waktu. Jika ada waktu pada kondisi awal mula semesta, pada keadaan

sebelum Big Bang, maka apa yang dilakukan oleh waktu? Lebih lanjut

dijelaskan bahwa dalam kondisi dimensi empat ruang dan waktu (Ruang

Minkowski) dalam hal keadaan Big Bang tentu saja waktu akan memiliki arah

kedepan dan kebelakang. Dengan keadaan ini, maka apa yang terjadi saat waktu

yang ada sebelum terjadinya Big Bang? Sedangkan ruang maupun semesta

belum terbentuk saat belum terjadi Big Bang. Mendalami keadaan tersebut,

lebih jauh lagi kita akan mempertanyakan bahwa bagaimana waktu bisa ada jika

belum ada pembentukan ruang dan pendukungnya seperti gravitasi dan ruang.

Jadi, terbukti bahwa dalam suatu bentuk sistem dimensi waktu tidak dapat

dianggap sama dengan vektor ruang lain.

B. Penjelasan Berdasarkan Sistem Koordinat

Koordinat Kartesius merupakan salah satu bentuk representasi grafik

yang tepat untuk menggambarkan sistem dimensi yang ditampilkan oleh

Geometri Euclides. Seperti halnya yang telah diketahui, Koordinat Kartesius

menampilkan dengan sangat jelas posisi, jumlah dan arah vektor dari komponen

– komponen vektor yang terjelaskan dalam sistem dimensi. Sebagai contoh,

sistem koordinat bidang 𝑋𝑌 dan sistem koordinat ruang 𝑋𝑌𝑍, berturut –turut


28

sebagai representasi grafik yang jelas dalam menggambarkan sistem geometri

dimensi dua dan sistem geometri dimensi tiga yang ditampilkan oleh Geometri

Euclides (lihat Gambar 1.1 dan gambar 1.2).

Berbicara mengenai sistem koordinat ini, kembali akan dibahas

mengenai sistem dimensi empat Ruang Minkowski yang dianggap sebagai

lanjutan dari Geometri Euclides. Berdasarkan penjelasan Minkowski yang luar

biasa, jelas kita sadari bahwa Geometri Euclides berada dalam ranah kajian

∆𝑡 = 0.

Dengan tanpa mempermasalahkan kelayakan keberadaan 𝑡 dalam suatu

sistem seperti ketiga komponen vektor Ruang Euclides, berikut akan dibahas

mengenai representasi grafik Ruang Minkowski (lihat Gambar 2.1 dan Gambar

2.2).

Melalui sketsa tersebut, terlihat jelas bahwa pada titik asal O atau saat

∆𝑡 = 0 merupakan ranah kajian dari Geometri Euclides yang telah kia ketahui

bersama, sedangkan itu untuk bagian yang dinamakan “future” dan “past”

masing – masing merupakan keadaan lainnya yang digambarkan Minkowski

saat ∆𝑡 > 0 dan ∆𝑡 < 0 sebagai tambahannya dalam upaya melengkapkan

penalaran pada Geometri Euclides.

Ruang Minkowski hanyalah merupakan penerapan teori relativitas pada

Geometri Euclides yang mengakibatkan kelengkapan dari kajian Geometri

Euclides itu sendiri, yaitu dari ∆𝑡 = 0 menjadi ∆𝑡 ≠ 0. Dalam artian tersebut di

atas maka tentu saja secara pasti terdapat geometri dimensi empat yang

sebenarnya yang merupakan lanjutan dari Geometri Euclides, terkhususnya saat


29

benda diam (∆𝑡 = 0) dan tentu saja dimensi empat itu bukanlah merupakan

suatu bentuk Ruang Minkowski.

Seperti halnya dengan Diagram Minkowski di atas, melalui materi

representasi saat pertemuan ke 80 dari fisikawan dan ilmuwan jerman, Cologne,

21 september 1908, Minkowski menyatakan bahwa:

“We now want to introduce this fundamental axiom:

“The substance existing at any world-point may always, with the

appropriate fixation of space and time, be looked upon as at rest.”

The axiom signifies that at every world-point the expression 𝑐2𝑑𝑡2 −

𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦2 − 𝑑𝑧2 always has a positive value, or, what comes to the same,

that any velocity 𝑣 always proves less than 𝑐. [22]

Dengan fokus utama pada ekspresi dunia yang dinyatakan sebagai 𝑐2𝑑𝑡2 −

𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦2 − 𝑑𝑧2, dengan kata lain jika 𝜏 merupakan titik dunia, maka akan

diperoleh persamaan elemen titik dalam Ruang Minkowski yang bila

dinyatakan dalam Koordinat Kartesius akan menjadi: 𝑑𝜏2 = 𝑐2𝑑𝑡2 − 𝑑𝑥2 −

𝑑𝑦2 − 𝑑𝑧2. Berdasarkan persamaan elemen titik dunia tersebut, maka dalam

Ruang Minkowski (dimensi empat) akan diperoleh persamaan:

𝑑𝜏2 = −𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦2 − 𝑑𝑧2 Untuk ∆𝑡 = 0

Dan juga persamaan:

𝑑𝜏2 = 𝑐2𝑑𝑡2 − 𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦2 − 𝑑𝑧2 Untuk ∆𝑡 ≠ 0

Kita ketahui bersama bahwa 𝑑𝜏2 merupakan titik dunia (dalam bentuk

Koordinat Kartesius) dari Ruang Minkowski dimensi empat, akan tetapi untuk

∆𝑡 = 0 hal ini adalah sama dengan titik untuk Ruang Euclides (dimensi tiga),


30

dan untuk ∆𝑡 ≠ 0 tetaplah merupakan dimensi empat Ruang Minkowski.

Dengan kata lain bahwa tidak ada dimensi empat dalam keadaan tetap atau diam

(∆𝑡 = 0) karena hal ini pada Ruang Minkowski merupakan dimensi tiga Ruang

Euclides.

C. Penjelasan Berdasarkan Geometri Euclides

Geometri Euclides merupakan gambaran dan penjelasan bangun –

bangun geometri dalam peranan ukuran yang didasari pada definisi – definisi,

postulat, aksioma dan teorema – teorema. Membahas Geometri Euclides ini,

jika dihubungkan dengan keadaan 𝑡 (time) yang diperkenalkan oleh Minkowski,

maka akan terdapat beberapa kerancuan yang dapat dilihat.

Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa setiap sistem dimensi

memiliki elemen khususnya masing – masing, yaitu dimensi satu adalah garis,

dimensi dua adalah bidang dan dimensi tiga adalah ruang. Di mana elemen

untuk dimensi nol adalah titik, untuk dimensi satu adalah garis, untuk dimensi

dua adalah bidang dan untuk dimensi tiga adalah ruang. Disisi lain, Minkowski

menyebutkan elemen khusus dimensi empat sebagai “dunia” seperti yang

dipaparkannya pada materi presentasi saat pertemuan ke 80 dari fisikawan dan

ilmuwan Jerman, Cologne, 21 september 1908:

“But I respect the dogma that space and time each have an independent

meaning. I will call a point of space at a certain point of time, i. e. a system

of values x,y,z,t, a world-point.” [22]


31

Berdasarkan pemahaman dan penerimaan Ruang Minkowski sebagai

geometri dimensi empat maka hubungan yang terjelaskan sebelumnya dapat

digambarkan sebagai berikut:

Dimensi 0 Dimensi 1 Dimensi 2 Dimensi 3 Dimensi 4

Gambar 3.1: Elemen – Elemen Khusus pada Dimensi

Perhatikan gambar tersebut di atas. Kerancuan yang disinggung

sebelumnya dapat dijelaskan sebagai berikut. Ruang Minkowski sebagai

Geometri Euclides dimensi empat didefinisikan sebagai pergerakan Ruang

Euclides dalam waktu tertentu. Disamping itu, dalam Geometri Euclides tidak

digunakan waktu sebagai elemen vektornya akan tetapi dalam sistem

dimensinya dapat dilihat seolah – olah bahwa (dengan catatan kita hilangkan

makna dari tiap elemen khusus dimensi):

Gambar 3.2: Gerak dan Perpindahan Elemen Khusus Dimensi

“titik (sebagai elemen khusus dimensi nol) apabila digerakkan pada

waktu tertentu akan membentuk garis. Garis (sebagai elemen khusus dimensi


32

satu) apabila digerakkan pada waktu tertentu akan membentuk bidang. Bidang

(sebagai elemen khusus dimensi dua) apabila digerakkan pada waktu tertentu

akan membentuk ruang. Ruang (sebagai elemen khusus dimensi tiga) apabila

digerakkan pada waktu tertentu akan membentuk dunia. Di mana dunia

merupakan elemen khusus dari dimensi empat (perhatikan Gambar 3.2).

Pernyataan tersebut di atas dapat dinyatakan dalam bentuk pernyataan

lain yang rancu sebagai berikut: elemen khusus dimensi nol adalah noktah,

elemen khusus dari dimensi satu adalah garis yang dapat dipandang sebagai

pergerakan noktah pada waktu tertentu, elemen khusus dari dimensi dua adalah

bidang yang dapat dipandang sebagai pergerakan garis pada waktu tertentu,

elemen khusus dari dimensi tiga adalah ruang yang dapat dipandang sebagai

pergerakan bidang dalam waktu tertentu dan dimensi empat adalah dunia yang

dapat dipandang sebagai pergerakan ruang dalam waktu tertentu. Melalui

pernyataan tersebut dalam hal dimensi satu, dimensi dua dan dimensi tiga,

Geometri Euclides tidak mengajarkan dan membenarkan hal tersebut.

Berdasarkan pernyataan di atas, berkaitan dengan komponen t waktu

dianggap sebagai suatu kerancuan yang fatal dikarenakan secara definisi titik

merupakan simbol dari noktah di mana noktah hanyalah ada di dalam pemikiran

kita (abstrak).

Dengan simpulan tersebut di atas maka diperoleh bahwa jumlah n

dimensi berbanding lurus dan setimbang terhadap jumlah n waktu, dimana

mengacu pada definisi sistem dimensi maka ruang–waktu tersebut haruslah


33

memiliki arah yang berbeda. Dilain pihak, berdasarkan fakta kita ketahui bahwa

waktu hanyalah memiliki dua arah “future” dan “past”.

Berbicara mengenai makna essensial yang dimiliki oleh elemen –

elemen khusus dimensi tersebut, berikut akan dijelaskan dan dicontohkan

melalui elemen khusus dimensi dua. Dalam Geometri Euclides, elemen khusus

dimensi dua adalah bidang dimana bidang yang dimaksud adalah sisi tertutup

yang membatasi bangun (kurva) tanpa memiliki luas. Dalam bidang hanya

terdapat luas permukaan bidang dan tidak ada luas bidang.

Dalam hal komponen vektor t waktu, bidang dapat dipahami sebagai

pergerakan garis dalam suatu waktu tertentu. Dalam hal ini, dikarenakan

pergerakan garis maka bidang yang dimaksud adalah keseluruhan bidang

termasuk permukaan bidang itu sendiri sehingga luas bidang adalah sama

dengan luas permukaan bidang itu sendiri. Dari hasil gambaran pemahaman

yang kontradiksi ini, terbukti bahwa komponen vektor t hadir sebagai kerancuan

yang dapat merusak makna essensial dari elemen dimensi itu sendiri.

Berdasarkan penjelasan kerancuan tersebut di atas maka dapat

dinyatakan bahwa komponen vektor t waktu hanyalah dapat digunakan sebagai

tinjauan tambahan dalam Geometri Euclides, sebagai pelengkap dan arah

kejelasan penerapan Relativitas Einstein. Dengan kata lain, Ruang Minkowski

tidaklah tepat dijadikan sebagai Geometri Euclides dimensi empat.


34

D. Penjelasan Berdasarkan Teori Relativitas Einstein

Matematika merupakan proyeksi dasar, abstraksi pemikiran dan pemahaman

manusia mengenai ukuran bumi dan semesta. Secara khusus, dalam penelitian

dan pembahasannya fisika menggunakan matematika sebagai alat bantu untuk

memahami, menjelaskan dan menganalisis obyek kajian fisika tersebut.

Pada teori relativitas terdapat dua postulat yang mendasarinya yang

diungkapkan oleh Albert Einstein, yaitu:

Postulat pertama (Asas Relativitas)

Hukum fisika dapat dinyatakan dalam persamaan yang

berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak

dengan kecepatan tetap satu dengan lainnya.

Postulat kedua (Asas Ketakubahan Kecepatan Cahaya)

Kecepatan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua

pengamat tidak tergantung dari keadaan gerak pengamat.

Postulat pertama menjelaskan bahwa tidak ada acuan inersial (tidak

diam) yang istimewa pada ranah kajian fisika yang memiliki bentuk istimewa

yang berbeda dari pengamatan kerangka acuan lain. Semua kerangka acuan

adalah sama untuk merumuskan hukum fisika. Sedangkan postulat kedua

menyatakan bahwa kecepatan cahaya bersifat invariant di mana di dalam ruang

hampa kecepatan cahaya yang diukur oleh semua pengamat inersia adalah:


35

𝑐 = 1√𝜀0𝜇0 = 3 × 108 𝑚

𝑠

yang tidak bergantung pada gerakan sumbernya.

Berdasarkan penjelasan singkat tersebut di atas maka dapat disimpulkan

bahwa Einstein menyadari posisi relativitas sebagai bagian fisika yang

menerapkan dan menggunakan matematika sebagai dasar memahami gejala

alam di sekitar kita. Kerangka acuan inersial yang dimaksudkan Einstein di sini

adalah geometri (khususnya sistem dimensi), di mana pada postulat pertama

akan memberikan makna yang sama dengan pernyataan bahwa: “untuk setiap

dimensi n yang bersifat inersial antara satu dengan yang lainnya akan memiliki

bentuk persamaan yang sama pada pada hukum – hukum fisika”.

Di samping itu, secara lebih lanjut dijelaskan bahwa untuk setiap

kerangka acuan tersebut dalam hal fisika sebagai penerapannya maka kerangka

acuan tersebut secara pasti akan diamati oleh pengamat. Dalam hal pengamatan

ini, ditekankan oleh Einstein bahwa untuk setiap pengamat yang melakukan

pengamatan terhadap setiap kerangka acuan tersebut memiliki kecepatan yang

sama besar dalam ruang hampa dan tidak bergantung dari keadaan gerak

pengamat itu sendiri.

Berbicara mengenai teori relativitas ini, apabila dikaitkan dengan Ruang

Minkowski, maka Ruang Minkowski dapat diandang sebagai salah satu ruang

terapan teori relativitas pada dimensi tiga. Hal ini dikarenakan pada Ruang

Minkowski digunakan Ruang Euclides (𝑥1𝑥2𝑥3) sebagai kerangka acuannya

dengan 𝑐 (= kecepatan cahaya) sebagai parameter pengamatannya. Secara jelas


36

hal ini menunjukkan bahwa Ruang Minkowski bukanlah suatu bentuk geometri

dimensi empat.

Apabila dianggap benar bahwa Ruang Minkowski merupakan suatu

geometri dimensi empat maka Ruang Minkowski berhak untuk dipandang

sebagai suatu kerangka acuan yang layak diamati. Dalam hal pengamatan

kerangka acuan tersebut maka layaklah Ruang Minkowski ini diamati

perpindahan, gerak, waktu, dan relativitasnya. Tentu saja apabila hal tersebut

dilakukan maka akan terjadi kerancuan, terjadi gerak ganda yang menjadi suatu

kemustahilan. Hal ini akan dimisalkan pada saat kita mencoba mengamati gerak

suatu kerangka acuan. Anggap dimensi empat Ruang Minkowski sebagai suatu

kerangka acuan dan akan diamati geraknya. Kerangka acuan yang berada pada

waktu tertentu tidak mungkin digerakkan ataupun diamati pergerakannya

dikarenakan setiap pergerakan tentu saja akan bergantung pada waktu. Akan

menjadi suatu kemustahilan apabila benda yang berada pada suatu waktu

tertentu bergerak dalam waktu tertentu pula.

Andaikan hal tersebut mungkin, maka tentu saja kita secara mudah dapat

menghitung gerak geometri dimensi empat pada suatu selang waktu tertentu.

Sebagai contoh:

“Diketahui diketahui suatu titik dunia (dimensi empat) terletak pada 𝑥 =

1, 𝑦 = 1, 𝑧 = 1, 𝑡 = 1 (di mana t = waktu) bergerak dari barat menuju timur

pada saat 𝑡 = 0 hingga 𝑡 = 4 sejauh 5 meter. Hitunglah kecepatan titik dunia

tersebut!”


37

Seperti pada contoh, diketahui bahwa suatu titik dunia yang dapat

diartikan sebagai titik 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,1,1) pada saat 𝑡 = 1𝑠 bergerak pada selang

waktu ∆𝑡 = 4 − 0 = 4𝑠 dengan 𝑠 = 5𝑚. Tentuk akan menjadi suatu hal yang

sangat mustahil bahwa benda pada saat tertentu (𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑡 = 1𝑠) dapat bergerak

selama selang waktu tertentu.

Jadi terbukti bahwa Ruang Minkowski bukanlah merupakan bentuk

Geometri Euclides dimensi empat, akan tetapi Ruang Minkowski merupakan

Ruang pemahaman dan penerapan Teori Relativitas Einstein.

Berdasarkan analisah dari beberapa kajian ilmu lain seperti sistem dimensi,

sistem koordinat, Teori Relativitas Einstein dan Geometri Euclides seperti yang

telah diuraikan di atas maka dapat disimpulkan bahwa Ruang Minkowski adalah

teori dan pemahaman yang salah jika dianggap sebagai Geometri Euclides dimensi

empat, sebaliknya Ruang Minkowski adalah teori dan pemahaman yang benar jika

diposisikan dan dipahami sebagai pelengkap kajian Ruang Euclides. Kelengkapan

yang dimaksud ini adalah Ruang Minkowski melengkapi kajian dan bahasan Ruang

Euclides dalam hal kerangka acuan geometris yang inersia. Secara lengkap, posisi

Ruang Euclides terletak pada saat ∆𝑡 = 0 (benda diam) dan Ruang Minkowki

terletak pada saat ∆𝑡 ≠ 0 (benda bergerak dengan kecepatan tetap).

Gambar 3.3: Posisi Ruang Euclides dan Ruang Minkowski pada Dimensi Tiga


38

BAB IV

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DALAM SEMESTA DIMENSI

EMPAT

Berdasarkan pembahasan bab sebelumnya, Ruang Minkowski bukan suatu

bentuk Geometri Euclides dimensi empat melainkan suatu bentuk ruang pelengkap

dari Ruang Euclides dalam hal kajian kerangka acuan inersia. Diketahui pula bahwa

pada Sistem dimensi Geometri Euclides, kajian geometris kerangka acuannya

adalah saat keadaan diam (∆𝑡 = 0). Lebih lanjut akan dibahas bentuk sistem

Koordinat Kartesius Geometri Euclides dimensi empat dan sifat – sifatnya. Untuk

membahas permasalahan ini, maka terlebih dahulu akan dibahas sistem dimensi

Geometri Euclides itu sendiri.

Sistem dimensi Geometri Euclides adalah bagian kajian Geometri Euclides

yang mengkaji sistem dimensi baik dimensi dua maupun dimensi tiga dengan

penjabaran dan analisis komponen sifat – sifat umum maupun khusus dari masing

– masing sistem dimensi tersebut. Adapun dalam penjabarannya Sistem dimensi

Geometri Euclides dibantu oleh sistem koordinat untuk merepresentasikan secara

grafis (geometri analitik) komponen sifat umum maupun khusus tersebut agar lebih

jelas dan mudah dipahami. Berdasarkan pendalaman dari peneliti, dalam

keberadaan Sistem dimensi Geometri Euclides pada setiap sistem dimensi baik

geometri dimensi dua maupun geometri dimensi tiga, semua sifat berawal dari

keberadaan sistem koordinat yang mewakili sistem dimensi tersebut yang

didefinisikan sebagai jumlah arah di mana terjadi perubahan dalam suatu sistem.


39

Melalui keberadaan sistem koordinat tersebut munculah beberapa definisi yang

disepakati ataupun dijabarkan sebagai suatu bentuk umum dari sistem dimensi

tersebut. Dengan menggunakan definisi tersebut sebagai dasar kajian, maka

dilakukan analisis lanjut yang kemudian digunakan untuk menentukan sifat –

sifatnya.

Mengikuti pola pikir tersebut di atas, maka pada kajian pembahasan pada

bab ini akan dimulai dengan penjabaran bentuk umum dari Geometri Euclides

dimensi empat, kemudian akan dilanjutkan dengan analisis lanjut untuk

menentukan sifat – sifatnya. Geometri dimensi empat ini merupakan geometri

dimensi empat lanjutan dari bagian Geometri Euclides. Sebagai lanjutan dari

Geometri Euclides maka geometri dimensi empat ini haruslah sesuai dengan dasar

– dasar yang ada pada Geometri Euclides dengan hierarkis yang sesuai dengan

Geometri Euclides juga.

Secara umum, ketika mendalami Geometri Euclides khususnya dalam

kajian sistem dimensi (kajian analitik). Kita sadar bahwa sistem dimensi dimulai

dengan sistem koordinat sebagai representasi grafis dari sistem dimensi tersebut.

Sebagai contoh, sistem koordinat XY digunakan untuk representasi grafis dari

sistem geometri dimensi dua dan sistem koordinat XYZ digunakan untuk

representasi grafis dari sistem geometri dimensi tiga. Sistem koordinat yang akan

diperkenalkan dan dibahas adalah sistem Koordinat Kartesius. Beranjak dari sistem

koordinat tersebut, kemudian dilanjutkan dengan penentuan elemen khusus dimensi

tersebut. Seperti pada Sistem dimensi Geometri Euclides, “bidang“ merupakan

elemen khusus dari sistem geometri dimensi dua dan “ruang“ merupakan elemen


40

khusus dari sistem geometri dimensi tiga. Ketika sistem koordinat dan elemen

khusus telah ditentukan, maka selanjutnya akan dicontohkan suatu ilustrasi

penggunaan sistem koordinat dalam menentukan posisi titik. Dalam hal ini,

diketahui pula bahwa contoh ilustrasi penggunaan sistem koordinat geometri

dimensi dua membentuk garis – garis bayang yang berbentuk persegi panjang dan

juga pada sistem koordinat geometri dimensi tiga membentuk garis – garis bayang

yang berbentuk balok, di mana kedua bangun tersebut merupakan salah satu bentuk

elemen khusus dari masing – masing sistem dimensi.

Beranjak dari alur pola pikir dan pendalaman di atas, maka dalam penentuan

geometri dimensi empat ini akan dimulai dengan penentuan sistem koordinat

dimensi empat itu sendiri (sistem Koordinat Kartesius). Setelah ditemukan dan

ditentukan sistem koordinat dimensi empat itu sendiri, maka akan dilanjutkan

dengan contoh ilustrasi penggunaan sistem koordinat geometri dimensi empat

dalam menentukan posisi titik di mana garis – garis bayang yang terbentuk akan

membentuk suatu bangun elemen khusus dimensi empat tersebut. Secara

keseluruhan, dari penemuan dan penentuan di atas maka sifat – sifat ataupun bentuk

umum dari Geometri Euclides dimensi empat khususnya dalam hal representasi

sistem koordinat (Koordinat Kartesius) telah ditampilkan dan terjelaskan.


41

A. Sistem Koordinat Kartesius

Sistem koordinat dalam kaitannya dengan sistem dimensi merupakan

suatu bentuk wadah ataupun aturan dasar dalam representasi sistem dimensi

secara grafis. Pada sistem Koordinat Kartesius, sistem koordinat ini

menggunakan teknik yang lebih memperhatikan ukuran panjang dari masing –

masing vektor yang ada dalam suatu keseluruhan sistem dimensi tersebut

sebagai bagian penting dalam hal penentuan posisi titik yang kemudian dapat

dikembangkan menjadi bentuk elemen khusus lainnya. Untuk setiap geometri

sistem dimensi baik geometri dimensi dua maupun geometri dimensi tiga

memiliki perbandingan yang sama dengan jumlah vektor – vektor arah pada

sistem koordinatnya. Untuk sistem dua dimensi memiliki dua buah vektor arah

pada sistem koordinatnya yaitu vektor x dan vektor y, dan untuk sistem tiga

dimensi memiliki tiga buah vektor arah pada sistem koordinatnya yaitu vektor

x, vektor y dan vektor z. Di samping hal tersebut di atas, dilihat dari definisinya

sistem dimensi dapat dikatakan sebagai jumlah perubahan yang dapat terjadi

dalam suatu sistem, dimana setiap perubahan tersebut dapat direpresentasikan

oleh suatu vektor arah. Oleh sebab itu, untuk mendapatkan ataupun memperoleh

bentuk sistem koordinat geometri dimensi empat dibutuhkan empat buah vektor

yang berlainan arah. Dimisalkan keempat vektor tersebut adalah 𝑒1 = 𝑥, 𝑒2 =

𝑦, 𝑒3 = 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑒4 = 𝑤.

Ketika vektor – vektor arah ditentukan untuk menjadi bagian dari suatu

bentuk sistem koordinat geometri dimensi empat yang utuh, permasalahan

selanjutnya adalah bentuk tatanan keempat vektor arah tersebut dalam sistem.


42

Merujuk pada sistem Koordinat Kartesius yang telah ada, baik geometri

dimensi dua maupun geometri dimensi tiga terlihat bahwa setiap vektor arah

yang ada membentuk suatu sistem koordinat yang utuh yang membagi sistem

tersebut menjadi beberapa bagian sistem yang kongruen. Pada sistem Koordinat

Kartesius dimensi dua, sistem dimensi terbagi menjadi empat bagian yang sama

dan juga pada sistem Koordinat Kartesius dimensi tiga, sistem dimensi terbagi

menjadi delapan bagian yang sama. Oleh sebab itu, dalam hal sistem Koordinat

Kartesius dimensi empat, keempat vektor arah 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3 𝑑𝑎𝑛 𝑒4 haruslah

membentuk suatu ruang sistem yang dapat terbagi menjadi beberapa bagian

sistem yang sama.

Berdasarkan permasalahan bentukan vektor arah dengan bagian sistem

yang sama, peneliti terinspirasi dengan bentukan meja biasa. Seperti yang

diketahui bahwa jumlah kaki meja biasa yang berfungsi sebagai tumpuan meja

adalah sebanyak empat buah. Jika dianggap kaki meja tersebut sebagai keempat

vektor arah tersebut. Keempat kaki meja tersebut jika disilangkan sehingga

saling berpotongan pada salah satu titik pusat tertentu maka titik pusat tersebut

dapat dikatakan sebagai titik pusat vektor (titik asal). Dalam hal bagian sistem

yang kongruen, kondisi ini akan memaksakan keadaan kaki meja sebelum

disilangkan haruslah sama panjang dengan panjang dan lebar meja itu sendiri.

Dari keadaan tersebut maka terbentuklah suatu bentuk riil dari sistem koordinat

kartesius dimensi empat yang disusun dalam suatu bentuk dimensi tiga. Dalam

hal representasi inspirasi tersebut di atas ke dalam bentuk matematis, keadaan

tersebut dapat direpresentasikan melalui perpaduan suatu bentuk kubus dengan


43

diagonal – diagonal ruangnya. Dengan keadaan diagonal ruang kubus adalah

vektor – vektor arahnya dan titik persekutuan diagonal ruang tersebut adalah

titik pusat (titik asal) sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat

tersebut.

Gambar 4.1: Meja Biasa Gambar 4.2: Meja Biasa Dengan

Keadaan Yang Diinginkan

Gambar 4.4: Sistem Koordinat

Dimensi Empat Gambar 4.3: Vektor Arah Dalam Kubus

Berdasarkan keadaan dan bentuk dari representasi di atas, maka dapat

dapat disimpulkan bahwa bentuk terakhir di atas (Gambar 4.4) merupakan

bentuk dari suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat. Secara

singkat, sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat dapat di

definisikan sebagai berikut.


44

Definisi 1:

Sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat adalah suatu

sistem Koordinat Kartesius yang terbentuk dari empat buah vektor berlainan

arah dengan besaran pokok sama yang terjadi dalam suatu sistem melalui

suatu titik asal tertentu.

Lebih lanjut, elemen khusus geometri dimensi empat ini dinamakan

sebagai “semesta”. Semesta dapat di definisikan sebagai berikut:

Definisi 2:

Semesta adalah himpunan dari beberapa ruang berbeda yang terletak

dalam suatu sistem yang sama.

Lebih lanjut berikut akan ditunjukkan beberapa sifat lain dari sistem

Koordinat Kartesius geometri dimensi empat.

1. Besar sudut antar vektor yang berdekatan.

a. Diketahui: Gambar 4.5 : Sistem Koordinat Geometri Dimensi

Empat pada Kubus ABCD.EFGH

b. Akan Dicari: ∠𝐵𝑂𝐶 =?

c. Penyelesaian:


45

Gambar 4.5: Sistem Koordinat Geometri

Dimensi Empat Gambar 4.6: Segitiga BOC

No Pernyataan Alasan

1 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 1 Diketahui pada

gambar

2 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 =√3

2

Diketahui pada

gambar

3 𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐶) =

(√32 )

2

+ (√32 )

2

− 12

2 (√32 ) (

√32 )

Aturan Cosinus

4 𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐶) =1

3 3

5 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐶)

= 70.5287793655093 4

6 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐶) ≈ 70.5 5

7 ∠𝐵𝑂𝐶 = 70,50

Jadi, diperoleh bahwa besar sudut yang terdapat pada vektor

– vektor yang berdekatan pada sistem koordinat kartesius

dimensi empat adalah 70,50

Sifat 2 :

Sudut yang dibentuk oleh garis – garis vektor yang berdekatan pada

suatu sistem koordinat dimensi empat adalah sama dengan 70,50.


46

2. Besar sudut antar vektor yang berhadapan.

a. Diketahui: Gambar 4.7 : sistem koordinat geometri dimensi empat

pada suatu kubus.

b. Akan dicari: ∠𝐵𝑂𝐷 =?

c. Penyelesaian:

Gambar 4.7: Sistem Koordinat Geometri

Dimensi Empat Gambar 4.8: Segitiga BOD


1 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 1 Diketahui

pada gambar

2 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 =√3

2

Diketahui

pada gambar

3 𝐵𝐷 = √2 Diketahui

pada gambar

4 𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐷) =

(√32 )

2

+ (√32 )

2

− √22

2 (√32 ) (

√32 )

Aturan

Cosinus

5 𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐷) = (−1

3) 4

6 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐷)

= 109.4712206344907 5

7 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐷) ≈ 109.5 6

8 ∠𝐵𝑂𝐷 = 109,50


47

Jadi, diperoleh bahwa besar sudut yang terdapat pada vektor

– vektor yang berhadapan pada sistem koordinat – wxyz

adalah 109,50

Sifat 3 :

Besar sudut antar garis – garis vektor yang berhadapan pada suatu

koordinat dimensi empat adalah sama dengan 109,50.

B. Koordinat Bidang

Mengacu pada bentuk sistem bagian yang kongruen, vektor – vektor arah

pada sistem tiga dimensi membentuk bidang vektor (bidang koordinat) agar

dapat terlihat jelas sistem bagian yang terbentuk tersebut. Dengan kondisi yang

sama tersebut, maka akan dilakukan hal yang sama pada vektor – vektor

koordinat sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat.

Adapun pada suatu sistem koordinat dimensi empat dapat membentuk

enam buah bidang koordinat, yaitu: bidang koordinat wx, bidang koordinat xy,

bidang koordinat yz, bidang koordinat wz, bidang koordinat wy dan bidang

koordinat xz seperti yang ditampilkan pada gambar berikut.

Gambar 4.9: Bidang Koordinat WX Gambar 4.10: Bidang Koordinat XY


48

Gambar 4.11: Bidang Koordinat YZ Gambar 4.12: Bidang Koordinat WZ

Gambar 4.13: Bidang Koordinat WY Gambar 4.14: Bidang Koordinat XZ

Hasil bentukan kondisi ini secara keseluruhan dapat direpresentasikan

melalui gambar berikut.

Gambar 4.15: Sistem Koordinat Kartesius

Geometri Dimensi Empat


Geometri Dimensi Empat Dengan Bidang

Vektornya


49


Geometri Dimensi Empat dan Vektor

Semu


Geometri Dimensi Empat Dengan Bidang

Vektornya dan Vektor Semu

Berdasarkan gambar sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat

di atas (Gambar 4.15 – Gambar 4.18), dapat dilihat bahwa perpotongan bidang

koordinat membentuk tiga buah koordinat lain yang bukan merupakan sumbu

koordinat dimensi empat. Koordinat tersebut adalah koordinat yang saling

orthogonal seperti sumbu – sumbu koordinat yang ditampilkan pada sistem

Koordinat Kartesius dimensi tiga. Sumbu – sumbu koordinat ini, melalui

keadaannya sebagai bentukan dari bidang koordinat pada sistem koordinat

geometri dimensi empat maka disebut sebagai sumbu – sumbu koordinat semu.

Sumbu semu 𝑥′ merupakan perpotongan antara bidang vektor wy dengan bidang

vektor 𝑥𝑧. Sumbu semu 𝑦′ merupakan perpotongan antara bidang vektor 𝑤𝑧

dengan bidang vektor 𝑥𝑦. Sumbu semu 𝑧′ merupakan perpotongan antara

bidang vektor 𝑤𝑥 dengan bidang vektor 𝑦𝑧.


50

Definisi 3:

Sumbu koordinat maya merupakan sumbu koordinat dalam suatu

sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat yang terbentuk dari

perpotongan dua buah koordinat bidang pada sistem koordinat tersebut.

Pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat diketahui

bahwa sistem bagian yang terbentuk adalah sebanyak 6 sistem bagian yang

sama (masing – masing bagian disebut “heksan”) dengan setiap heksan terdiri

dari 4 ruang sistem yang berbeda (masing – masing bagian disebut

“heksakuadran”). Seperti pada Gambar 4.19.

Gambar 4.19: Sistem Koordinat Kartesius dan

Bidang Koordinatnya

Pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat bidang –

bidang koordinat yang terbentuk membagi semesta dimensi empat menjadi 6

bagian yang sama dan diberi nama sebagai berikut:

1. Heksan I

Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. 𝑤𝑥, bidang

𝑜. 𝑥𝑦, bidang 𝑜. 𝑦𝑧 dan bidang 𝑜. 𝑤𝑧.


51

2. Heksan II

Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. 𝑤(−𝑦),

bidang 𝑜. (−𝑥)(−𝑦), bidang 𝑜. (−𝑥)𝑧 dan bidang 𝑜. 𝑤𝑧.

3. Heksan III

Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. (−𝑦)(−𝑧),

bidang 𝑜. (−𝑤)(−𝑧), bidang 𝑜. (−𝑤)(−𝑥) dan bidang 𝑜. (−𝑥)(−𝑦).

4. Heksan IV

Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. (−𝑤)𝑦,

bidang 𝑜. 𝑥𝑦, bidang 𝑜. 𝑥(−𝑧) dan bidang 𝑜. (−𝑤)(−𝑧).

5. Heksan V

Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. 𝑤(−𝑦),

bidang 𝑜. (−𝑦)(−𝑧), bidang 𝑜. 𝑥(−𝑧) dan bidang 𝑜. 𝑤𝑥.

6. Heksan VI

Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. (−𝑤)(−𝑥),

bidang 𝑜. (−𝑥)𝑧, bidang 𝑜. 𝑦𝑧 dan bidang 𝑜. (−𝑤)𝑦.

Gambar 4.20: Heksan I Gambar 4.21: Heksan II


52

Gambar 4.22: Heksan III

Gambar 4.23: Heksan IV

Gambar 4.24: Heksan V

Gambar 4.25: Heksan VI

Secara matematis, kondisi tersebut di atas dapat dinyatakan melalui

pernyataan berikut. Andaikan titik 𝑃(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah sembarang titik dalam

semesta dimensi empat, maka letak titik P dapat ditentukan sebagai berikut:

1. Jika 𝑤 > 0, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0, maka titik P terletak pada heksan I.

2. Jika 𝑤 > 0, 𝑥 < 0, 𝑦 < 0, 𝑧 > 0, maka titik P terletak pada heksan II.

3. Jika 𝑤 < 0, 𝑥 < 0, 𝑦 < 0, 𝑧 < 0, maka titik P terletak pada heksan III.

4. Jika 𝑤 < 0, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 < 0, maka titik P terletak pada heksan IV.


53

5. Jika 𝑤 > 0, 𝑥 > 0, 𝑦 < 0, 𝑧 < 0, maka titik P terletak pada heksan V.

6. Jika 𝑤 < 0, 𝑥 < 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0, maka titik P terletak pada heksan VI.

Sifat 4 :

Pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat,

bidang – bidang koordinat yang ada akan membagi sistem dimensi menjadi

enam bagian semesta yang sama.

Berikut akan ditentukan besar sudut yang dibentuk oleh bidang – bidang

koordinat yang saling berhadapan.

a. Diketahui: Gambar 4.26: Sistem Koordinat Kartesius Geometri

Dimensi Empat pada Kubus ABCD.EFGH.

b. Akan dicari: ∠𝑄𝑂𝑃 =?

c. Penyelesaian:

Gambar 4.26: Sistem Koordinat Geometri Dimensi Empat Gambar 4.27: Segitiga QOP


54

Bukti:


1 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 1 Diketahui

pada gambar

2 𝑂𝐴 = 𝑂𝐷 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 =√3

2

Diketahui

pada gambar

3 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝑂𝐷 ≅ 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐵𝑂𝐶 1, 2, (s, s, s)

4 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 3

5 𝑂𝑃2 = 𝑂𝑄2 = (√3

2)

2

− (1

2)

2

Dalil

Phytagoras

6 𝑂𝑃2 = 𝑂𝑄2 =1

2 5

7 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 =√2

2 6

8 𝐶𝑜𝑠(𝑄𝑂𝑃) =

(√22 )

2

+ (√22 )

2

− 12

2 (√22 ) (

√22 )

Aturan

Cosinus

9 𝐶𝑜𝑠(𝑄𝑂𝑃) = 0 8

10 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝑄𝑂𝑃) = 90 9

11 ∠𝑄𝑂𝑃 = 900

Jadi, diperoleh bahwa besar sudut pada bidang – bidang yang

berhadapan pada sistem koordinat – wxyz adalah 900

Sifat 5 :

Sudut yang dibentuk oleh bidang – bidang koordinat yang saling

berhadapan pada suatu sistem koordinat dimensi empat adalah sama dengan

900.

C. Posisi Titik Semesta.

Posisi titik semesta dapat ditentukan jika telah diketahui koordinat –

koordinat titik tersebut. Adapun hal terpenting dalam menentukan posisi titik


55

adalah langkah – langkah menentukan posisi titik tersebut. Jika diketahui suatu

titik 𝑃(𝑤1, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) maka dapat dijelaskan langkah – langkah menentukan

posisi titik semesta P tersebut dalam sistem Koordinat Kartesius geometri

dimensi empat sebagai berikut:

1. Lukislah sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat.

2. Buatlah garis bayang pada sumbu koordinat 𝑤 = 𝑤1.

3. Pada ujung garis bayang sumbu koordinat 𝑤 = 𝑤1 buatlah garis

bayang pada sumbu koordinat 𝑥 = 𝑥1.

4. Pada ujung garis bayang sumbu koordinat 𝑥 = 𝑥1 buatlah garis bayang

pada sumbu koordinat 𝑦 = 𝑦1.

5. Pada ujung garis bayang sumbu koordinat 𝑦 = 𝑦1 buatlah garis bayang

pada sumbu koordinat 𝑧 = 𝑧1.

6. Buatlah titik pada titik ujung garis 𝑧 = 𝑧1 tersebut. Namailah titik

tersebut sesuai dengan nama titik yang diminta. Dalam hal ini adalah

𝑃(𝑤1, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)

Adapun langkah – langkah tersebut di atas dapat ditunjukkan melalui

sketsa gambar berikut ini.


56

Gambar 4.28a: Langkah 1 Gambar 4.28b: Langkah 2

Gambar 4.28c: Langkah 3 Gambar 4.28d: Langkah 4

Gambar 4.28e: Langkah 5 Gambar 4.28f: Langkah 6

Gambar 4.28: Menentukan Posisi Titik.


57

Cara menentukan posisi tersebut di atas merupakan salah satu cara dari

berbagai macam kombinasi cara yang dapat kita gunakan (Gambar 4.28).

Selanjutnya, jika berbagai kombinasi cara menentukan posisi titik tersebut

dgunakan bersama – sama pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri

dimensi empat, maka diperoleh beberapa titik lain sebagai berikut:

𝐴(0,0,0, 𝑧1) 𝐺(0,0, 𝑦1, 0) 𝑀(0, 𝑥1, 0,0)

𝐵(0,0, 𝑦1, 𝑧1) 𝐻(0, 𝑥1, 0, 𝑧1) 𝑁(0, 𝑥1, 𝑦1, 0)

𝐶(0, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝐼(𝑤1, 𝑥1, 0, 𝑧1) 𝑂(0,0,0,0)

𝐷(𝑤1, 0,0, 𝑧1) 𝐽(0, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑃(𝑤1, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)

𝐸(𝑤1, 0,0,0) 𝐾(𝑤1, 𝑥1, 0,0)

𝐹(𝑤1, 𝑥1, 0,0) 𝐿(𝑤1, 𝑥1, 𝑦1, 0)

Gambar 4.29: Posisi Titik


58

Gambar 4.30: Posisi Titik

Secara lebih lanjut, diketahui bahwa dalam geometri analitik dimensi dua,

grafik dari persamaan yang memuat 𝑥 dan 𝑦 adalah berbentuk suatu garis,

seperti contoh persamaan 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2 dan 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2. Sedangkan,

dalam geometri analitik dimensi tiga grafik dari persamaan yang memuat 𝑥, 𝑦

dan 𝑧 adalah berbentuk suatu bidang, seperti contoh persamaan 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3

dan 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3.


59

Gambar 4.31: Grafik 𝑦 =3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2

Gambar 4.32:Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2

Gambar 4.33:Grafik 𝑦 =

3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3 Gambar 4.34:Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3

Berdasarkan pemikiran tersebut, maka dalam geometri analitik dimensi

empat grafik dari persamaan yang memuat 𝑤, 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 haruslah suatu bentuk

ruang. Berikut akan dicontohkan persamaan ruang tersebut dalam sistem

Koordinat Kartesius geometri dimensi empat.

Contoh:

Berikut ini akan diselidiki dan direpresentasikan himpunan semua titik – titik

dalam ℝ4 yang memenuhi syarat berikut:

a. 𝑤 = 0

b. 𝑦 = 3

c. 𝑥 = 4

d. 𝑤 − 𝑧 = 0

a. Persamaan 𝑤 = 0 menyatakan himpunan {(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑤 = 0}, di mana

himpunan seluruh titik pada ℝ4 dengan unsur koordinat 𝑤 adalah 0, hal

ini menunjukan bahwa himpunan tersebut tidak lain adalah ruang 𝑥𝑦𝑧.


60

Gambar 4.35 :Grafik 𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4

b. Persamaan 𝑦 = 3 menyatakan himpunan {(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑦 = 3}, di mana

himpunan seluruh titik pada ℝ4 dengan unsur koordinat 𝑦 adalah 3. Hal

ini menunjukan bahwa himpunan tersebut tidak lain adalah ruang 𝑤𝑥𝑧

yang melalui titik 𝑦 = 3.

Gambar 4.36 :Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4

c. Persamaan 𝑥 = 4 menyatakan himpunan {(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥 = 4}, di mana

himpunan seluruh titik pada ℝ4 dengan unsur koordinat x adalah 4. Hal

ini menunjukan bahwa himpunan tersebut tidak lain adalah ruang 𝑤𝑦𝑧

yang melalui titik x= 4.


61

Gambar 4.37:Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4

d. Persamaan 𝑤 − 𝑧 = 0 menyatakan himpunan {(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑤)|𝑤 ∈ ℝ, 𝑥 ∈

ℝ, 𝑦 ∈ ℝ}, di mana himpunan seluruh titik pada ℝ4 dari sumbu

koordinat 𝑤 dan 𝑧 adalah sama. Hal ini menunjukan bahwa himpunan

tersebut tidak lain adalah ruang 𝑤 = 𝑧.

Gambar 4.38:Grafik 𝑤 = 𝑧 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4

Lebih lanjut, melalui sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat

akan ditunjukan bahwa pada geometri dimensi empat juga berlaku sifat: “untuk

setiap elemen khusus dimensi 𝑛 − 1 dapat dipandang sebagai suatu bentuk

perpotongan dari dua buah elemen khusus dimensi 𝑛”. Secara sederhana dapat

dinyatakan bahwa jika terdapat beberapa persamaan ruang berbeda dalam ℝ4,


62

maka perpotongan antara dua buah ruang tersebut akan membentuk sebuah

bidang, perpotongan antara dua buah bidang akan membentuk sebuah garis dan

perpotongan dua buah garis akan membentuk sebuah titik. Sebagai contoh, akan

dicontohkan ilustrasi berikut:

Contoh:

Diketahui empat buah persamaan ruang dalam ℝ4 adalah 𝑤 = 0, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0

dan 𝑧 = 0. Berikut akan ditentukan bidang, garis dan titik perpotongan ruang –

ruang tersebut.

Ruang – ruang yang dimaksud pada persamaan – persamaan ruang yang

diketahui adalah sebagai berikut:

Gambar 4.39: 𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 Gambar 4.40: 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4

Gambar 4.41:Grafik 𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 Gambar 4.42:Grafik 𝑧 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4


63

Perpotongan ruang - ruang tersebut akan membentuk bidang seperti pada

gambar berikut:

Gambar 4.43: Perpotongan 𝑤 = 0 dan 𝑥 = 0 Gambar 4.44: Bidang 𝑦𝑧

Gambar 4.45: Perpotongan 𝑥 = 0 dan y= 0 Gambar 4.46: Bidang 𝑤𝑧

Gambar 4.47: Perpotongan y= 0 dan z= 0 Gambar 4.48: Bidang 𝑤𝑥


64

Perpotongan bidang - bidang tersebut di atas akan membentuk garis seperti pada

gambar berikut:

Gambar 4.49: Perpotongan Bidang 𝑤𝑧 dan 𝑦𝑧 Gambar 4.50: Garis 𝑧

Gambar 4.51: Perpotongan Bidang 𝑤𝑥 dan w𝑧 Gambar 4.52: Garis 𝑤

Perpotongan garis – garis tersebut di atas akan membentuk titik seperti pada

gambar berikut:

Gambar 4.53: Perpotongan garis 𝑤 dan 𝑧 Gambar 4.54: Titik O (Titik Asal)


65

Jadi, dapat ditentukan dan ditunjukan bahwa untuk setiap elemen khusus

dimensi 𝑛 − 1 dapat dipandang sebagai suatu bentuk perpotongan dari dua buah

elemen khusus dimensi 𝑛.

D. Bangun Semesta Sederhana

Pada bagian ini akan ditunjukkan bangun semesta sederhana yang dapat

terbentuk pada geometri dimensi empat. Adapun semesta sederhana tersebut

adalah “tesseract”. Tesseract merupakan semesta dimensi empat yang

sebutannya diadopsi dari penamaan Minkowski pada bangun dunianya. Hal ini

dilakukan karena kemiripan bentuk yang ada antara keduanya. Bangun semesta

sederhana ini menunjukan adanya kaitan antara dimensi empat dan dimensi

ruang – waktu di mana dimensi ruang – waktu muncul akibat pengaruh bangun

lain yang familiar. Bentuk tesseract dapat dijadikan atapun dianggap sebagai

suatu bangun dunia dikarenakan kecenderungan penglihatan kita dan

memahami sesuatu yang familiar tersebut di benak kita. Ketika melihat

tesseract, secara sekilas akibat pengaruh kebiasaan tersebut, teseract dipandang

sebagai suatu bangun prisma segiempat yang bergerak menurut selang waktu

tertentu. Akan tetapi, dalam arti yang sebenarnya tesseract dapat terbentuk

akibat pengaruh empat buah komponen vektor panjang dalam suatu sistem

tanpa melibatkan gerak tidaknya bentukan tersebut. Tesseract dapat diartikan

sebagai semesta dengan dibatasi oleh dua belas sisi berbentuk segi empat.

Semesta – semesta yang tergolong tesseract adalah “paralletese” dan

“rhotesse”. Paralletese (parallelogram tesseract) merupakan semesta tesseract


66

yang sisi – sisinya berbentuk jajargenjang, sedangkan rhotesse (rhombus

tesseract) merupakan semesta tesseract yang sisi – sisinya berupa belah ketupat.

Definisi 4 :

Tesseract adalah bangun semesta sederhana yang dibatasi oleh dua

belas sisi segi empat.

Paralletesse adalah bangun semesta tesseract yang sisi - sisinya yang

berbentuk jajargenjang.

Rhotesse adalah bangun semesta tesseract yang sisi – sisinya

berbentuk belah ketupat.

1. Paralletesse.

Paralletesse adalah bangun semesta tesseract yang sisi – sisinya

berbentuk jajargenjang. Adapun, semesta tesseract dapat dilukiskan seperti

gambar berikut.


67

Gambar 4.55: Semesta Paralletesse dari Berbagai Sudut Pandang

2. Rhotesse.

Rhotesse adalah bangun semesta tesseract yang sisi – sisinya

berbentuk layang – layang. Adapun, semesta tesseract dapat dilukiskan

seperti gambar berikut.

Gambar 4.56: Semesta Rhotesse dari Berbagai Sudut Pandang


68

E. Hubungan Antara Dimensi Empat dan Ruang Euclides.

Pada pembahasan sebelumnya diketahui bahwa dalam semesta empat

dimensi keorthogonalan vektor tiga dimensi hanyalah merupakan efek

pandangan dari vektor – vektor semu yang dihasilkan oleh vektor – vektor nyata

seperti pada gambar berikut.

Gambar 4.57 : Vektor Nyata dan Semu pada Sistem Koordinat Kartesius Dimensi Empat


69

Melalui gambar di atas akan terlihat jelas posisi keberadaan kita, di

mana secara essensial vektor arah dalam ruang tiga dimensi kita tidaklah tegak

lurus seperti yang dibayangkan oleh Koordinat Kartesius. Akan tetapi hal ini

tidak dapat langsung menghukum Euclid dan representasi kartesius sebagai

suatu kesalahan semata.

Berdasarkan keadaan kita (keadaan kehidupan manusia di bumi) yang

tepat cocok dengan keadaan tiga dimensi, maka keadaan tiga dimensi ini dapat

dilihat sebagai bagian ruang yang vektor – vektor arahnya lebih kecil daripada

derajat siku – siku yang ditampilkan kartesius. Pertanyaan berikutnya adalah

apakah keadaan Ruang Euclid dan representasi kartesius adalah suatu kesalahan

total?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut di atas maka marilah kita kembali

ikuti analogi ikan mas dan semesta yang dijelaskan oleh Stepphen Hawking

dalam The Grand Design. Dalam keadaan ikan mas yang berada di dalam

akuarium melengkung, suatu kejadian yang terjadi di luar akuarium seperti

pergerakan benda sejauh ukuran panjang tertentu yang melintasi suatu bentuk

garis akan ditampilkan dan dipahami ikan mas dan keadaannya sebagai suatu

lintasan melengkung. Hal tersebut tidak dapat disalahkan pandangan dan

pengetahuan ikan mas tersebut hanya dikarenakan sudut pandangnya dari dalam

akuarium. Jika diandaikan ikan mas adalah kita dengan keadaan semesta adalah

seperti akuarium, merunut pada keadaan semesta adalah serupa dengan balon

gas ( menurut Edington), maka pada dasarnya kita hidup pada posisi yang stabil

menguntungkan yaitu kebenaran keberadaan garis (Geometri Euclid) dengan


70

pandangan keluar dari dalam kita adalah berupa garis lengkung (Geometri Non

– Euclid). Selesai dari permasalahan garis atau lengkung, akan kita lanjutkan

dengan keadaan orthogonal vektor.

Keterangan:

Diandaikan dalam

tatanan dimensi

empat, keadaan

alam semesta di

mana semesta kita

bukan satu –

satunya semesta

(multiverse) dengan

universe berbentuk

seperti balon gas.

Di mana bola hijau

dan biru adalah

perwakilan untuk

setiap semesta

dengan bola biru

adalah semesta kita

sendiri.

Gambar 4.58: Semesta dan Tatanannya

Keorthogonalan vektor – vektor arah tiga dimensi adalah pengaruh belum

dikenalnya keadaan vektor keempat sehingga keadaan kita akan dipahami

seperti vektor – vektor arah yang orthogonal. Dalam keadaan dimensi empat,

jika diandaikan kita adalah semesta yang berprilaku seperti analogi ikan mas

dan alam semesta, maka kita akan diandaikan terletak pada suatu ruang tertentu

pada suatu heksan-kuadran semesta ( suatu bagian ruang dari empat bagian

ruang dalam heksan suatu set semesta). Dari keadaan ruang tersebut, jika kita

melihat dari keadaan luar, akan lebih cepat dan mudah tersadari bahwa vektor

– vektor orthogonal tersebut adalah bentuk semu dari bidang vektor nyata. Akan

tetapi ketika kita memposisikan diri kita ada di dalam ruang tersebut maka

vektor yang akan tersadari dan kita ketahui adalah sebuah vektor semu tersebut


71

dengan dua buah vektor hasil perimpitan dua vektor nyata yang tidak

orthogonal, tetapi diakibatkan pengaruh yang identik dengan keadaan ikan mas

dalam akuarium, keadaan vektor – vektor nyata tersebut akan dipandang

sebagai cukup dua vektor yang orthogonal.

Melalui uraian di atas maka Ruang Euclid bukanlah suatu bentuk ruang

yang salah, melainkan suatu bentuk representasi sederhanau yang

mensketsakan secara simpel bagi kita persamaan dang keadaan tatanan alam

semesta. Secara lebih mendalam, dari sudut pandang dalam Ruang Euclid

adalah tepat merupakan matematis sederhana, tetapi untuk keadaan semesta

dimensi empat adalah hal – hal yang tepat yang layak dipertimbangkan untuk

digunakan sebagai wadah untuk memahami tatanan alam semesta.


72

BAB V

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Berdasarkan pendalaman, pemahaman dan penelitian yang telah dibahas

pada pembahasan Bab III dan Bab IV mengenai permasalahan asumsi dimensi

ruang dan waktu sebagai dimensi empat lanjutan Geometri Euclides, maka hal-

hal pokok yang dapat disimpulkan peneliti pada penelitian ini adalah sebagai

berikut:

1. Ruang Minkowski tidaklah tepat jika dianggap sebagai dimensi empat

melanjutkan geometri Euclides. Kerancuan Ruang Minkowski dalam

asumsi sebagai geometri dimensi empat yang melanjutkan Geometri

Euclides dapat ditunjukan pada penjelasannya dari kajian bidang ilmu

yang lain. Berdasarkan sudut pandang sistem dimensi kerancuan

tersebut muncul kibat keberadaan sumbu – sumbu koordinat yang

berbeda besaran dalam suatu sistem dimensi yang sama dan keberadaan

arah sumbu koordinat waktu yang belum terspesifikasi dengan jelas.

Berdasarkan sudut pandang sistem koordinat melalui kelengkapan

sumbu koordinat waktu dapat ditunjukan bahwa Ruang Minkowski

hanya tepat jika dianggap sebagai ruang terapan relativitas khusus

Einstein dengan kajian waktu yang lebih lengkap dan memadai.

Berdasarkan sudut pandang Geometri Euclides, makna essensial dari

geometri itu sendiri akibat pengaruh Ruang Minkowski akan menjadi

kabur dan tidak sesuai dengan makna essensial Geometri Euclides


73

dimensi dua dan tiga. Berdasarkan sudut pandang Teori Relativitas

Khusus, keadaan Ruang Minkowski dengan kajian geometri akan

terlihat rancu ketika diposisikan sebagai suatu bentuk kerangka acuan

yang tidak berbeda dengan kerangka acuan lain yang berdmensi dua dan

tiga. Ruang Minkowski merupakan pelengkap ruang Euclides dalam hal

kerangka acuan inersia.

2. Elemen khusus dimensi empat lanjutan geometri Euclides disebut

sebagai “semesta”. Dimensi empat dapat direpresentasikan secara grafis

melalui suatu sistem koordinat dimensi empat yang didefinisikan

sebagai suatu sistem koordinat yang terbentuk dari empat buah vektor

berlainan arah dengan besaran pokok sama dalam suatu sistem melalui

suatu titik persekutuan tertentu. Adapun sifat – sifat yang dimiliki oleh

sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat adalah sudut yang

dibentuk oleh garis – garis vektor yang berdekatan pada suatu sistem

koordinat dimensi empat adalah sama dengan 70,50, besar sudut antar

garis – garis vektor yang berhadapan pada suatu koordinat dimensi

empat adalah sama dengan 109,50, pada suatu sistem Koordinat

Kartesius geometri dimensi empat bidang – bidang koordinat yang ada

akan membagi sistem dimensi tersebut menjadi enam bagian semesta

yang sama dan sudut yang dibentuk oleh bidang – bidang koordinat yang

saling berhadapan pada suatu sistem koordinat dimensi empat adalah

sama dengan 900.


74

B. SARAN

Berdasarkan hasil penelitian yang telah diperoleh dan dijelaskan pada

pembahasan Bab III dan Bab IV mengenai permasalahan asumsi dimensi ruang

dan waktu sebagai dimensi empat lanjutan Geometri Euclides, maka hal-hal

yang dapat disarankan peneliti pada pembaca sekalian adalah sebagai berikut:

1. Untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan sistem koordinat polar,

tabung ataupun bola dalam semesta dimensi empat.

2. Pembahasan dimensi empat yang dilakukan ini hanyalah sebatas pada uji

coba kebenaran ruang Minkowski sebagai dimensi empat lanjutan

geometri Euclides dan memberikan ide ataupun gagasan pembaharuan

yang dianggap lebih cocok sebagai dimensi empat lanjutan dari geometri

Euclides. Penelitian selanjutnya akan dimungkinkan untuk menunjukkan

ruang gerak semesta dalam terapannya melalui kajian astronomis.

3. Dimensi empat yang dibahas dalam tulisan ini bersifat gagasan baru

dengan representasi yang dinarasikan dan hanya dapat direpresentasikan

secara abstrak. Pemahaman selanjutnya tidak tergantung pada keadaan riil

dalam kehidupan sehari – hari dikarenakan kehidupan kita yang masih

terbatas pada dimensi tiga. Kajian penelitian lanjutan dapat menggunakan

sistem ruang semesta ini sebagai bandingan dengan keadaan yang tak

diketahui pada lubang hitam.


75

DAFTAR PUSTAKA

[1] Addington, A. S. (1920). Spacetime and Gravitation. Cambridge:

Cambridge University Press.

[2] Africk, Henry. (2013). Elementary College Geometry. New York: New

York City College of Technology.

[3] Ashton, C. H. (1902). Plane and Solid Analytic Geometry. New York:

Charles Scribner’s Sons.

[4] Born, Max. (1922). Einstein Theory of Relativity. (Henry L. Brose, Trans.).

New York: E. P. Dutton and Company Publishers.

[5] Burton, David M. (2011). The History of Mathematics: An Introduction.

New York: McGraw – Hill.

[6] Cajori, Florian. (1993). A History of Mathematical Notations. New York:

Dover Publications Inc.

[7] Candy, A. L. (1904). The Elements of Plane and Solid Analytic Geometry.

Boston: D. C. Heath and Co., Publishers.

[8] Carrol, Sean. (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General

Relativity. Chicago: Pearson Education, Inc.

[9] Clapham, Christopher. (2009). The Concise Oxford Dictionary Of

Mathematics. New York: Oxford University Press Inc.

[10] Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometri. Toronto: John Wiley

& Sons Inc.

[11] Donder, T. D. (1927). The Mathematical Theory of Relativity.

Massachuesetts: Massachuesetts Institute of Technology.

[12] Durell, F. (1911). Plane and Solid Geometry. New York: Charles E. Merill

Co.

[13] Einstein, Albert. (1921). Relativity: The Special and General Theory.

(Robert W. Lawson, Trans.). New York: Henry Holt and Company.

[14] Eisenhart, Luther Pfahler. (1960). Coordinate Geometry. New York: Dover

Publications Inc.

[15] Failor, I. N. (1906). Plane and Solid Geometry. New York: The Century Co.

[16] Hart, C. A., & Feldman, D. D. (1912). Plane and Solid Geometry. (J. H.

Tanner, Virgil Snyder, Ed.). London: American Book Company.


76

[17] Hawking, Stephen W., & Mlodinow, Leonard. (2010). The Grand Design.

New York: Bantam Books.

[18] Katz, Victor J. (2009). A History of Mathematics: An Introduction. Boston:

Pearson Education Inc.

[19] Mendelson, E. (1997). Introduction to Mathematical Logic. London:

Chapman and Hall.

[20] Palmer, C. I., & Taylor, D. P. (1918). Plane and Solid Geometry. (George

William Myers, Ed.). New York: Scott, Foresman and Company.

[21] Pavlov, D. G. dkk. (2007). Space Time Structure: Algebra and Geometry.

Moscow: Russian Hypercomplex Society, Lilia Print.

[22] Petkov, V. (Ed.). (2010). Minkowski Spacetime : A Hundred Years Later.

New York: Springer.

[23] Petkov, Vesselin. (2012). Spaceand Time: Minkowski’s Papers on

Relativity. Montreal: Minkowski Institute Press.

[24] Prenowitz, Walter. & Jordan, Meyer. (1989). Basic Concepts of Geometry.

New York: Ardsley House Publishers.

[25] Siceloft, L. P., dkk. (1922). Analytic Geometry. Boston: Ginn and

Company.

[26] Silberstein, L. (1914). The Theory of Relativity. London: Macmillan and Co.

Limited.

[27] Smith, J. H. (1876). Elements of Geometry. London: Rivingtons.

[28] Smythies, John. (2003). Space, Time and Consciousness. Journal of

Consciousness Studies, 10, No. 3, 2003, pp. 47–56.

[29] Tuckey, C. O. & Armisted, W. (1953). Coordinate Geometry. New York:

Longmans, Green and Co.

[30] Wells, W. (1909). Plane and Solid Geometry. Boston: D. C. Heath and Co.,

Publishers.


plagiat merupakan tindakan tidak terpuji · 2017-12-17 · dalam geometri dimensi empat ......

Documents