PENGUJIAN HIPOTESIS

Hipotesis statistik adalah asumsi atau pernyataan mengenai satu atau lebih populasi.

Hipotesis nol (H0) adalah hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak.

Hipotesis alternatif (H1) akan muncul akibat penolakan hipotesis nol. Hipotesis bisa benar

atau salah. Bila semua data mendukung hipotesis tersebut baru dapat dikatakan benar. Bila

ada satu saja yang tidak mendukung, maka hipotesis tersebut salah, sehingga kita menolak.

Penolakan suatu hipotesis berarti menyimpulkan hipotesis tersebut salah, penerimaan

hipotesis semata-mata mengimplikasikan bahwa kita tidak punya bukti untuk mempercayai

sebaliknya. Apabila kita menolak berarti hipotesis tersebut adalah salah dan apabila kita

menerima belum tentu hipotesis tersebut benar. Namun ada kalanya kita menerima

walaupun hipotesis tersebut sebenarnya salah atau menolak padahal hipotesis tersebut

ternyata benar.

Satu-satunya jalan untuk memperkecil kesalahan adalah dengan memperbanyak

contoh. dapat ditentukan, bisa 0,05 dan 0,01 (R.A Fisher), dan yang lebih penting dalam

menentukan adalah resiko ketelitian yang akan diperoleh.

Pengujian rerata populasi

Pengujian nilai tengah dapat dikerjakan dengan asumsi ragam ² diketahui. Contoh

acak berukuran n, x1, x2, x3, …, xn diambil dari populasi menyebar normal X~N(,²).

Kita ingin menguji hipotesis bahwa nilai tengah populasi sama dengan nilai tertentu 0

lawan hipotesis alternatifnya bahwa nilai tengah populasi lebih dari, kurang dari atau tidak

sama dengan 0.

Hipotesis yang akan diuji akan berupa:

a. Ho : = 0 lawan H1 : > 0

b. Ho : = 0 lawan H1 : < 0

c. Ho : = 0 lawan H1 : 0

Dua uji hipotesis pertama disebut uji satu arah, karena hipotesis tandingan hanya ada

pada satu arah dari Ho. Pengujian hipotesis yang ketiga disebut uji dua arah, karena

hipotesis tandingan ada pada dua arah Ho yaitu lebih kecil atau lebih besar dari 0 .

Langkah-langkah pengujian hipotesis rata-rata:

1. Nyatakan hipotesis nol-nya bahwa Ho : = o

2. Pilih hipotesis alternatif H1 yang sesuai antara < o, > o atau

3. Tentukan taraf nyatanya /2

4. Pilih statistik uji yang sesuai, apakah z, t, λ² atau F dan kemudian tentukan wilayah

kritiknya

5. Hitung nilai statistik uji berdasarkan contohnya

6. Keputusan : tolak Ho bila nilai statistik uji tersebut jatuh dalam wilayah kritiknya,

sedangkan bila nilai itu jatuh diluar wilayah kritiknya terima Ho. Uji dikatakan nyata bila

ditolak pada taraf nyata 0,05 dan dikatakan sangat nyata bila ditolak pada taraf nyata 0,01

Uji satu arah, (² atau ) diketahui

Contoh Soal:

Hasil pengamatan jumlah polong kacang panjang adalah 16 dengan varian 2,3.

Saudara tidak percaya dan melakukan pengamatan terhadap 20 tanaman, ternyata diperoleh

rata-rata 16,9. Patutkan hasil pengamatan tersebut dipercaya? Ujilah dengan taraf 0,05%

Jawab:

– Ho : = 16, berarti rata-rata polong paling tinggi 16

– H1 : > 16, berarti pengamatan lebih dari 16

– Z hit = (x - 0)/(/n) = (16,9-16)/(2,3/20) = 2,65

– Dari tabel normal diperoleh 1,64

– Karena z hit terletak diluar wilayah kritis Z tabel, maka tolak Ho atau terima H1.

Berarti pengamatan sdr layak dipercaya dan jumlah polong memang > 16

Uji satu arah, (² atau ) tidak diketahui

Bila ² tidak diketahui, maka diduga dari simpangan baku contoh (s)

Gunakan uji t

- t = (x - 0)/(s/n)

t berdistribusi Student dgn db n-1

Gunakan tabel t

Contoh Soal:

Penyemprotan GA3 dapat menambah bobot mentimun 4,5 g. Dari contoh 31 buah mentimun

mempunyai rata-rata 4,9 g dan simpangan baku 0,8 g. Dengan taraf 0,01, layakkah sdr

menerima pernyataan bahwa pertambahan rata-rata bobot mentimun minimal 4,5 g?

Jawab:

– Ho : = 4,5, berarti GA3 menambah bobot rata-rata 4,5 g

– H1 : > 4,5, berarti GA3 meningkatkan bobot minimal 4,5 g

– t hit = (x - 0)/(s/n) = (4,9-4,5)/√(0,8/31) = 2,78

– Dari t tabel pada db=30 diperoleh 2,46

Karena t hit terletak diluar wilayah kritis t tabel, maka tolak Ho atau terima H1. Berarti

pemberian GA3 sungguh dapat bobot minimal 4,5

Uji Dua Arah satu populasi, varian pop (² atau ) diketahui

Rerata hasil panen pertama duku adalah 8 kg tanaman dengan simpangan baku 0,5 kg.

Ujilah hipotesis bahwa µ = 8 kg lawan alternatifnya µ≠ 8 kg, apabila dari contoh acak 50

tanaman duku diperoleh rerata hasil panen sebesar 7,8 kg. Gunakan taraf nyata 0,01.

Jawab:

1. Ho : = 8 kg, berarti rerata hasil panen adalah 8 kg

2. H1 : 8 kg, berarti rerata hasil panen kurang atau lebih dari 8 kg

3. Taraf nyata = 0,01

4. Karena α = 0,01, maka 1-α = 0,99 sehingga apabila dilihat di tabel normal, (Z tabel) / Z0,495

= 2,545. Dengan demikian wilayah kritik adalah -2,545 s/d 2,545. Karena uji hipoesis

dua arah.

5. Karena (σ2) diketahui, maka gunakan uji Z, dengan rumus z = ( x bar - µ0 )/ (σ/√n ).

Apabila x bar = 7,8 kg dan n = 50, maka z= (7,8-8)/ (0,5/√50) = -2,83

6. Nilai -2,83 ternyata terletak disebelah kiri batas kiri wialyah kritik -2,545, maka

keputusan yang tepat adalah menerima H0. Dengan kata lain rerata hasil panen memang

≠ 8.

Uji Dua Arah satu populasi, varian pop (² atau ) tidak diketahui

Masa pakai lampu adalah 800 jam. Uji terhadap 50 lampu, diperoleh rata-rata 792 jam dan

simpangan baku contoh 55 jam. Ujilah dengan taraf 0,05 apakah kualitas lampu berubah?

Jawab:

Ho : = 800 jam, berarti masa pakai lampu 800 jam

H1 : ≠ 800 jam, berarti masa pakai berubah bukan 800 jam

t hit = (x - 0)/(s/n) = (792-800)/(55/√50) = - 1,029

Lihat tabel t dengan taraf 0,05 dan db=49 dan diperoleh t =2,01.

Karena uji 2 arah maka, maka apabila t hitung terletak antara -2,01 sampai 2,01, maka

H0 akan diterima.

Ternyata t hit terletak didalam wilayah kritis, maka H0 diterima atau rata-rata masa pakai

lampu memang 800 jam.

UJI BEDA 2 RATA-RATA

Sering dipakai untuk penelitian. Untuk membedakan rata-rata 2 populasi (atau 2

perlakuan). Karena ada 2 populasi, maka juga ada 2 simpangan baku. Pengujian juga bisa dua

arah dan satu arah. Apabila 1= 2 dan nilainya diketahui, (misal = ), gunakan statistik Z.

Apabila 1= 2 dan nilai tidak diketahui, gunakan statistik t. Apabila 1≠ 2 dan nilainya

tidak diketahui, gunakan statistik t’ (atau statistik untuk simpangan baku tidak sama).

Contoh Soal:

Hasil pengamatan jumlah buah dari 2 varietas tomat adalah sbb. Varietas A terdiri 11

tanaman dan varietas B 10 tanaman. Dalam taraf α=0,05, tentukan apakah kedua populasi

(varietas) tersebut sama atau tidak?

Jawab :

– Hitung rata-rata XA =3,22 dan XB=3,07

– Hitung ragam contoh S²A= 0,1996 dan S²B =0,1112

– Hitung s gabunga s = 0,397

– Setelah ketemu semua, masukkan kedalam rumus uji t.. Setelah dihitung ketemu t

=0,862

– Nilai t0,975 dengn db 19 dari t student adalah 2,09, sehingga wilayah penerimaan Ho

adalah antara -2,09 sampai 2,09

Kesimpulan terima H0 atau kedua varietas tersebut tidak berbeda nyata.

(11 – 1) 0,1996 + (10 – 1) 0,1112

S2 = ------------------------------------------------- = 0,1576

11 + 10 - 2

s = 0,397

(3,22 – 3,07)

t = ------------------------------------ = 0,862

[ 0,397 √ (1/11 + 1/10) ]

A 3,1 3 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4

B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3 2,6 3,7 3,7

Uji Varian

Pengujian tentang ragam populasi

Pengujian hipotesis nol bahwa ragam populasi ² sama dengan nilai tertentu 0² lawan

salah alternatif ² < 0², ² > 0², ² 0². Jika sebaran populasi yang dimbil contohnya

menghampiri normal, nilai khi-kuadrat bagi pengujian ² = 0² diberikan menurut rumus :

(n-1) s²

χ² = -------------

0²

Sebagaimana uji rata-rata, pada uji varian juga terdapat uji dua arah dan satu arah.

Digunakan statistik Chi-kuadrat (χ²).

Contoh Soal:

Sebuah perusahaan benih mengatakan bahwa masa viabilitas benih yang diproduksinya

mempunyai simpangan baku 0,9 tahun. Bila suatu contoh acak 10 benih menghasilkan

simpangan baku s = 1,2 tahun, apakah menurut sdr >0,9 tahun? Gunakan taraf nyata 0,05.

Jawab:

Ho : ² = 0,81

H1 : ² > 0,81

= 0,05

Dari gambar, Ho ditolak bila χ² > 16,919

Perhitungan s² = 1,44 dan n = 10, maka

χ² = (9) (1,44)/0,81 = 16,0

Keputusan : terima Ho , tidak ada alasan untuk meragukan bahwa simpangan

bakunya adalah 0,9 tahun.

HUBUNGAN ANTAR SIFAT

Hubungan antara dua atau lebih sifat (variabel) sering dipelajari dengan analisis

regresi dan korelasi. Regresi adalah bentuk hubungan antar variabel, sedang korelasi adalah

keeratan hubungan antar variabel. Antara analisis regresi dan korelasi sebenarnya merupakan

dua hal yang terpisah, namun karena ada kesamaan rumus-rmusnya, maka dibicarakan

bersama.

• Regresi : hubungan antara 2 (atau lebih) peubah x dan y, y merupakan fungsi x, y

sebagai peubah tak bebas dan x sebagai peubah bebas.

• Korelasi : hubungan antara 2 peubah (atau lebih), dimana yang dibicarakan berupa

derajad asosiasi (kesesuaian) linier. X dan y merupakan peubah bebas

REGRESI

an + b Xi = Yi

a Xi + b Xi² = XiYi

Dari dua persamaan normal diatas akan diperoleh koefisien regresi b

XiYi -[(Xi)( Yi)]/n

b = --------------------------------- atau

Xi² - (Xi)²/n

(Xi -X)(Yi-Y) xi yi

b = ------------------------ = ---------------

(Xi -X) xi

Dari rumus itu pula diperoleh nilai intersep a

a = Y - bX

Dengan demikian a dan b masing-masing telah diketahui dan persamaan regresinya menjadi

y = a + bx

X (Dosis pupuk

dlm 50 kg/ha)

Y(Produksi padi) X2 XY Y2

0 2 0 0 4

1 4 1 4 16

2 7 4 14 49

3 9 9 27 81

4 8 16 32 64

Jumlah : 10 30 30 77 214

Berdasarkan rumus koefisien regresi

XiYi -[(Xi)( Yi)]/n 77-{(10)(30)}/5

b = --------------------------- = ------------------ = 1,7

Xi² - (Xi)²/n 30 - (10)2/5

dan a = 30/5 - 1,7 (10/5) = 2,6

Jadi penduga untuk persamaan regresinya adalah y = 2,6 + 1,7x

KORELASI

Sebagaimana pada analisis regresi, pada korelasi juga terdapat pasangan data (xi , yi)

dimana i = 1, 2, 3, …, n.Bedanya y dan x tak ada hubungan sebab akibat atau saling bebas

sesamanya. Dengan demikian korelasi hanyalah merupakan keeratan hubungan antara y dan

x.

Rumus koefisien Korelasi:

XiYi -[(Xi)( Yi)]/n

• r = ---------------------------------------------

√ [Xi² - (Xi)²/n] [Yi² - (Yi)²/n]

Besarnya reliabilitas r sangat tergantung pada besarnya contoh n. Jadi untuk r = 0,6 dari

contoh n =10 tidak sama dengan r = 0,6 dari contoh n = 100. Reliabilitas ataupun presisi r

makin bertambah dengan makin bertambahnya ukuran contoh.

Uji Hipotesis r adalah:

Ho : r = 0, (berarti tak ada hubungan linier antaya x dan y)

H1 : r 0, (berarti ada hubungan linier)

t hitung dihitung dengan rumus :

r √n-2

• t hit = ----------------

√ (1-r2)

Hasilnya dibandingkan dengan ttabel (α/2, n-2), bila I t hit I ≥ t tabel Ho ditolak yang berarti

ada korelasi nyata antara x dan y.

Contoh Soal:

X (Dosis pupuk

dlm 50 kg/ha)

Y (Produksi

padi)

0 2

1 4

2 7

3 9

4 8

5 10

6 10

7 11

Hitung nilai korelasinya. Uji tingkat nyata pada taraf 5 % dan 1% .Cara : hampir sama

dengan regresi. Dari rumus dibawah diperoleh

XiYi -[(Xi)( Yi)]/n

• r = -------------------------------------------- = 0,9321

√ [Xi² - (Xi)²/n] [Xi² - (Xi)²/n]

Jawab:

Dari rumus uji hipotesis korelasi diperoleh

r √n-2

• t hit = -------------- = 6,3035

√(1-r2)

Untuk db = 6 nilai t0,05 = 1,943 dan t0,01 = 1,440 t hitung lebih besar dari t tabel, maka

terdapat korelasi sangat nyata antara dosis pupuk dengan hasil padi.