effect size pada pengujian hipotesis · 2017-08-16 · c. pendugaan parameter ... 4. pengujian...

i

EFFECT SIZE PADA PENGUJIAN HIPOTESIS

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Reynaldo Kurnia Gazali

NIM: 133114008

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

EFFECT SIZE ON HYPOTHESIS TESTING

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Sains

in Mathematics

By:

Reynaldo Kurnia Gazali

Student Number: 133114008

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017


iii


iv


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus, Bunda Maria

yang senantiasa menyertaiku hingga saat ini,

Papa, Mama, kedua Adik tercinta yang selalu mendukungku.


vi


vii

ABSTRAK

Pengujian hipotesis seringkali digunakan dalam studi ataupun penelitian

untuk memperoleh jawaban dari pertanyaan apakah ada perbedaan rata-rata

populasi maupun apakah ada hubungan antar variabel. Pengujian hipotesis tidak

memberikan makna yang lebih dari ada atau tidaknya perbedaan maupun

hubungan tersebut. Oleh karena itu, penulis membahas effect size pada pengujian

hipotesis, khususnya pada perbedaan rata-rata populasi. Effect size sangat penting

untuk dipublikasikan pada penelitian/studi untuk melengkapi informasi pada

pengujian hipotesis.

Penggunaan effect size banyak terdapat dalam meta-analisis. Tujuan meta-

analisis adalah untuk memperoleh estimasi effect size dari penggabungan

beberapa/banyak studi. Penulis melakukan meta-analisis uji beda pada 5 skripsi di

program studi Pendidikan Ekonomi dan Akuntansi Universitas Sanata Dharma,

khususnya untuk sampel berpasangan dan 5 data hipotetik untuk sampel

independen. Analisis data dilakukan dengan program R pada tingkat kepercayaan

95%.

Hasil akhir meta-analisis pada data berpasangan menunjukkan bahwa

penggabungan 5 sampel skripsi memiliki perbedaan rata-rata distandardisasi

sebesar 0.769. Hal ini berarti bahwa rata-rata pendapatan usaha kecil dan

menengah sesudah mendapatkan kredit 0.769 kali lebih besar dari rata-rata

pendapatan sebelum mendapatkan kredit. Nilai keseluruhan effect size pada data

independen menunjukkan bahwa nilai perbedaan-rata distandardisasi yang

diperoleh adalah 0.348. Hal ini berarti bahwa rata-rata kelompok eksperimen

0.348 kali lebih besar daripada rata-rata kelompok kontrol.

Kata kunci: pengujian hipotesis, perbedaan rata-rata yang distandardisasi,

Cohen’s 𝑑, Hedges’s 𝑔, meta-analisis


viii

ABSTRACT

Null hypothesis significance testing is often used in studies or research to

get answers to the question of whether there is a difference in the population

average and whether there is a relationship between variables. Null significance

hypothesis testing doesn’t give more meaning rather than there is or no difference

in the average population or relationship between variables. Therefore, the authors

discuss the effect sizes on hypothesis testing, especially on the difference in the

population average. The effect size is very important to be published in

research/study to complete the information on hypothesis testing.

The use of effect sizes is found in the meta-analysis. The purpose of meta-

analysis is to obtain an estimate of the effect size of the combination of many

studies. The authors perform meta-analysis of mean differences on 5 thesis in

Economics and Accounting Education study program of Sanata Dharma

University, especially for paired samples and 5 hypothetical data for independent

sample. Data analysis was done with R program at 95% confidence intervals.

The final result of meta-analysis on paired data shows that the merging of

5 thesis samples has a standardized mean difference of 0.769. This means that the

average income of small and medium businesses after obtaining credit is 0.769

times greater that the average income before getting credit. The final result of

meta-analysis (summary effect) on independent data shows that the standardized

mean difference obtained value is 0.348. This means that the experimental group

average is 0.348 times greater than the control group average.

Keywords: hypothesis testing, standardized mean difference (SMD), Cohen’s d,

Hedges’s g, meta-analysis


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas kasih

karunia-Nya sehingga penulis dapat mengerjakan dan menyelesaikan skripsi ini

dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk memperoleh

gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan

Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak untuk

membantu dalam menghadapi berbagai macam tantangan, kesulitan dan

hambatan. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi.

2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Prodi Matematika.

3. Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing

Akademik.

4. Bapak Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing

Skripsi.

5. Romo, Bapak, dan Ibu Dosen yang telah banyak memberikan

pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.

6. Kedua orang tua dan kedua adik yang telah mendukung saya selama

proses pengerjaan skripsi.

7. Teman-teman Matematika 2013: Wahyu, Indra, Dion, Agung, Andre,

Kristo, Ambar, Inge, Bintang, Lia, Tia, Yuni, Yui, Melisa, Sorta, Sisca,

Natali, Yola, Sari, Dita, Ezra yang telah memberi masukan, kebahagiaan

dan motivasi.

8. Kakak kos seperjuangan, khususnya Engger Zheng yang telah memberi

kritik dan saran selama penulisan.

9. Kakak-kakak, teman-teman, adik kelas dan pihak lainnya yang telah

membantu penulis dalam proses penulisan skripsi ini.


x


xi


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL……………………………………………………………....i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………………………………….iii

HALAMAN PENGESAHAN……………………………………………………iv

HALAMAN KEASLIAN KARYA………………………………………………v

HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………………………….vi

ABSTRAK……………………………………………………………………….vii

ABSTRACT………………………………………………………………………viii

KATA PENGANTAR……………………………………………………………ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI…….………………xi

DAFTAR ISI……………………………………………………………………..xii

BAB I PENDAHULUAN……………………………………………………..…..1

A. Latar Belakang….…………………………………………………………1

B. Rumusan Masalah......…………………………………………………..…4

C. Tujuan Penulisan……......……………………………………………..…..4

D. Manfaat Penulisan…………...………………………………………….....4

E. Metode Penulisan……………...………………………………………..…4

F. Sistematika Penulisan…………………….……………………….……….5

BAB II UJI HIPOTESIS PERBEDAAN RATA-RATA..………………………...6

A. Statistika Inferensial…………………………………………………...…..6

B. Distribusi Sampling……………………………………………………....16

C. Pendugaan Parameter……………………………………………..……...32

1. Selang Kepercayaan……………………………………………….....33

2. Selang Kepercayaan bagi Perbedaan Rata-rata Populasi…………….39

3. Observasi Berpasangan……………………………………………....48

D. Hipotesis Statistik………………………………………………………..51

1. Konsep Umum Hipotesis Statistik…………………………………...51

2. Pengujian Hipotesis Statistik………………………………………...55

3. Nilai 𝑃 dan Pembuatan Keputusan dalam Pengujian Hipotesis……..62


xiii

E. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi…………..…………………..…....73

1. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Besar………….73

2. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Kecil………….80

F. Uji Hipotesis Rata-rata Dua Populasi………………………….………...83

1. Uji Normalitas dan Uji Homogenitas Variansi………………………83

2. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Populasi

Diketahui…………...…………………….…………………………..85

3. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Variansi Kedua

Populasi Tidak Diketahui tetapi Sama Besar…………...…………....86


Populasi Tidak Diketahui dan Variansi Tidak Sama...........................88

5. Uji Hipotesis Rata-rata Dua Populasi untuk Sampel Berpasangan….89

BAB III EFFECT SIZE COHEN………….…….………...………..…………...90

A. Dari Uji Signifikansi ke Effect Size………………………………………90

B. Jenis Effect Size..........................................................................................97

C. Perbedaan Rata-rata yang Distandardisasi……………..……………….101

1. Cohen’s 𝑑………….………………………………………………..102

2. Selang Kepercayaan pada Effect Size 𝑑.............................................113

D. Meta-Analisis pada 𝑑...............................................................................116

1. Model Meta-Analisis………………………………………………..116

2. Perhitungan Meta-Analisis pada 𝑑.....................................................123

3. Analisis Sensitifitas…………………………………………………125

Bab IV PENERAPAN EFFECT SIZE PADA HASIL-HASIL PENELITIAN..127

A. Meta-Analisis pada Data Berpasangan………………………………...127

B. Meta-Analisis pada Data Independen………………………………….140

BAB V KESIMPULAN………………………………………………………..156

A. Kesimpulan……………………………………………………………..156

B. Saran……………………………………………………………………157

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Pengukuran Lamanya Waktu Perakitan Perangkat…………………..44

Tabel 2.2 Data Tingkat TCDD dalam Plasma dan Jaringan Lemak……………50

Tabel 2.3 Kemungkinan Situasi dalam Pengujian Hipotesis Statistik………….60

Tabel 3.1 Nilai Kenyamanan untuk Dua Kelompok Independen……………..105

Tabel 3.2 Nilai Kenyamanan untuk Pengujian Satu Kelompok Sebelum dan

Sesudah Percobaan………….………………………………………112

Tabel 4.1 Nilai 𝑃 pada Data Berpasangan dengan Uji Kolgomorov-Smirnov..128

Tabel 4.2 Perhitungan Data Berpasangan dengan Model Efek Tetap...............133

Tabel 4.3 Meta-analisis Rata-rata Selisih Pendapatan Usaha Kecil, Menengah

Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dengan Model Efek

Tetap…………………………………………………….…………..134

Tabel 4.4 Perhitungan Data Berpasangan dengan Model Efek Acak….……...137

Tabel 4.5 Meta-analisis Rata-rata Selisih Pendapatan Usaha Kecil, Menengah

Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dengan Model Efek

Acak………………………………………….……………………..138

Tabel 4.6 Uji Homogenitas Variansi dengan Uji Levenne…….……………...141

Tabel 4.7 Uji 𝑡 dengan Tingkat Signifikansi 0.05…………………………….142

Tabel 4.8 Perhitungan Data Independen dengan Model Efek Tetap……….…147

Tabel 4.9 Perbedaan Rata-rata (Standardized Mean Difference/ SMD) Kelompok

Eksperimen dan Kelompok Kontrol dengan Model Efek Tetap.......149

Tabel 4.10 Perhitungan Data Independen dengan Model Efek Acak…………151

Tabel 4.11 Perbedaan Rata-rata (Standardized Mean Difference/ SMD)

Kelompok Eksperimen dan Kelompok Kontrol dengan Model Efek

Acak……………………………………………...………………..153


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Kriteria Keputusan untuk Menguji Hipotesis dengan Rata-rata

Tertentu………………………………...………………………...56

Gambar 2.2 Kurva Kemungkinan Hasil Data Kedua Jenis Pohon dari

Populasi yang Memiliki Dua Rata-rata Berbeda…………………65

Gambar 2.3 Daerah Kritis untuk Hipotesis Alternatif Dua Arah………...……75

Gambar 2.4 Nilai 𝑃 untuk Contoh 2.5.1………………………………………76

Gambar 3.1 Perbedaan Rata-rata Percobaan Insomnia Studi Lucky dan Noluck

dengan Selang Kepercayaan 95%...................................................91

Gambar 3.2 Forest Plot yang Menggabungkan Hasil Lucky, Noluck

dan Kombinasi Meta-analisis (MA)…..…...……………………117

Gambar 3.3 Contoh Funnel Plot dengan Model Efek Acak……...…....…….125

Gambar 4.1 Gambar Funnel Plot Meta-analisis Data Berpasangan…...…….139

Gambar 4.2 Forest Plot Data Berpasangan untuk Model Efek Tetap dan Model

Efek Acak………………………...…………………………….140

Gambar 4.3 Forest Plot Data Independen untuk Model Efek Tetap.……….154

Gambar 4.4 Forest Plot Data Independen untuk Model Efek Acak….….….154

Gambar 4.5 Funnel Plot Meta-analisis Perbedaan Rata-rata Kelompok

Eksperimen dengan Kelompok Kontrol…..................................155


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Ketika kita membaca tentang penelitian empiris, pertanyaan yang muncul

pertama kali adalah seberapa penting efek yang dihasilkan. Dalam statistik,

informasi tentang kekuatan efek tersebut dikenal dengan istilah effect size. Istilah

effect size pertama kali diungkapkan oleh Gene Glass (1976) di San Fransisco.

Glass menyebut istilah effect size sebagai suatu nilai standar yang dapat

diberlakukan operasi hitung dan dapat dibandingkan antara pengaruh variabel satu

dengan lainnya. Istilah ini muncul saat Glass menemukan kesalahan penelitian

psikoterapi yang dilakukan H.J Eysenck. Eysenck mengklaim bahwa psikoterapi

tidak efektif dan tidak ada data evaluatif untuk membuktikan sebaliknya. Glass

membuktikan kesalahan tersebut dengan kemampuan statistik. Glass menghitung

effect size berdasarkan 375 studi untuk efek terapi: “ada perbedaan rata-rata pada

variabel hasil antara subjek perlakuan dan tanpa perlakuan dibagi dengan standar

deviasi kelompok”. Effect size inilah yang dikenal dengan Cohen’s 𝑑.

Pada tahun 1999, istilah effect size mulai dikembangkan oleh American

Psychological Association (APA) sebagai ukuran kekuatan hubungan antara dua

variabel pada populasi statistik atau sampel berbasis perkiraan kuantitas. Olejnik

dan Algina (2003) dalam jurnalnya menyatakan bahwa effect size merupakan

ukuran mengenai besarnya efek suatu variabel pada variabel lain, besarnya

perbedaan maupun hubungan yang bebas dari pengaruh besarnya sampel. Hunt

(1997) melaporkan bahwa Glass mendeskripsikan hasil penelitian dalam langkah-

langkah yang besar, yaitu penelitian tidak hanya berbicara tentang pengaruh

terhadap subjek, melainkan seberapa besar pengaruh tersebut. Hal inilah yang

merupakan tujuan penggunaan effect size.


2

Pengujian hipotesis dengan menggunakan teknik analisis statistik sering

digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya pengaruh terhadap subjek pada

penelitian. Ada beberapa pertimbangan dalam memilih teknik analisis statistik

univariat (teknik analisis yang hanya melibatkan satu variabel) yaitu:

a. Berdasarkan masalah yang diuji, yaitu masalah rata-rata satu populasi, dua

populasi dan lebih dari dua populasi, masalah asosiasi/relasi antar variabel

yang skalanya sama/tidak sama.

b. Berdasarkan jenis sampel, yaitu pengambilan sampel independen dan

pengambilan sampel berpasangan.

c. Berdasarkan pemenuhan asumsi, yaitu asumsi-asumsi tentang distribusi

variabel populasi dipenuhi (statistika parametrik) dan tidak ada asumsi

spesifik tentang distribusi variabel dalam populasi (statistika non

parametrik).

Pengujian hipotesis rata-rata dua populasi digunakan untuk mengetahui

apakah ada perbedaan atau tidak ada perbedaan rata-rata kedua populasi.

Pengujian hipotesis rata-rata dua populasi menggunakan distribusi sampling dari 𝑡

yang dikenal dengan distribusi 𝑡. Distribusi ini menggunakan pendekatan

distribusi Normal Standar. Kedua distribusi ini bergantung pada ukuran sampel.

Oleh karena itu, pengujian hipotesis juga akan selalu bergantung pada ukuran

sampel. Ini merupakan suatu kelemahan dalam uji hipotesis.

Penelitian empiris secara konsisten menunjukkan bahwa banyak peneliti

tidak sepenuhnya memahami analisis data statistik untuk pengujian hipotesis

(Schwab, 2011). Keputusan dari uji hipotesis hampir selalu dibuat berdasarkan uji

signifikansi hipotesis nol tanpa memperhatikan metode statistik. Beberapa peneliti

sering menginterpretasikan keputusan berupa hasil signifikansi secara statistik

sebagai hasil yang penting. Padahal, signifikan di sini tidak dapat diartikan

sebagai hasil yang penting, besar dan berguna bagi penelitian. Jika peneliti ingin

mencari tahu seberapa besar pengaruh dan perbedaan yang dihasilkan pada

penelitian, maka peneliti dapat menambahkan informasi tambahan pada pengujian


3

hipotesis. Informasi tersebut dapat berupa pengukuran terhadap besarnya efek

atau dikenal dengan effect size.

Effect size sangat penting karena memungkinkan untuk membandingkan

besarnya efek penelitian pada pengujian hipotesis dari penelitian yang satu ke

yang lainnya. Menurut Kirk (1996), pengukuran terhadap besarnya efek belum

banyak dilakukan oleh peneliti-peneliti di bidang pendidikan, psikologi dan ilmu

sosial. Oleh karena itu, penulis membahas pengukuran besarnya efek pada

pengujian hipotesis dengan menggunakan effect size.

Effect size bergantung pada jenis parameter yang akan diuji di dalam

pengujian hipotesis. Jika parameter itu adalah perbedaan rata-rata populasi maka

effect size menunjukkan seberapa besar perbedaan itu. Effect size 𝑑 merupakan

pengukuran effect size yang umum digunakan pada parameter tersebut.

Permasalahan yang terkait dengan pengukuran besar kecilnya penggunaan effect

size 𝑑 adalah tidak adanya standar yang tetap.

Hedges (1988) menemukan bias pada pengukuran effect size 𝑑. Pada skripsi

ini akan dilihat seberapa besar pengaruh bias tersebut pada 𝑑. Selain itu, selang

kepercayaan diketahui dapat memberikan informasi tambahan bagi pengujian

hipotesis. Dengan kata lain, adanya hubungan antara pengujian hipotesis dengan

selang kepercayaan. Hubungan ini akan dilihat juga pada pembentukan selang

kepercayaan bagi effect size 𝑑.

Penggunaan effect size banyak terdapat dalam meta-analisis, khususnya

Cohen’s 𝑑. Larry Hedges (1987) menjelaskan meta-analisis sebagai teknik

analisis statistik yang menggabungkan hasil dari penelitian berbeda untuk

memberikan estimasi tunggal terbaik dengan selang kepercayaan di dalamnya.

Meta-analisis menggunakan beberapa estimasi effect size karena pengukuran

effect size tidak dipengaruhi oleh ukuran sampel. Pada skripsi ini akan dilakukan

meta-analisis untuk sampel berpasangan pada 5 skripsi di program studi

Pendidikan Ekonomi dan Akuntansi Universitas Sanata Dharma dan 5 data

hipotetik untuk sampel independen.


4

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:

1. Apa yang dimaksud dengan effect size?

2. Bagaimana membentuk selang kepercayaan pada effect size 𝑑?

3. Bagaimana deskripsi effect size 𝑑 pada 5 skripsi di program studi Pendidikan

Ekonomi, Akuntansi dan 5 data hipotetik?

C. Batasan Masalah

Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:

1. Efek statistik yang dibahas pada pengukuran effect size adalah effect size d.

2. Pengkajian effect size pada pengujian hipotesis untuk data yang dipilih secara

acak dan kontinu (data yang merupakan hasil pengukuran).

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengetahui seberapa

besar effect size yang dihasilkan pada 5 skripsi di program studi Pendidikan

Ekonomi dan Akuntansi, khususnya untuk sampel berpasangan dan 5 data

hipotetik untuk sampel independen.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah memberi

informasi kegunaan pelaporan effect size pada pengujian hipotesis.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis dalam tugas akhir ini adalah metode studi

pustaka, yaitu dengan membaca atau mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal

yang berkaitan dengan effect size, uji hipotesis, meta-analisis dan selang

kepercayaan.


5

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II UJI HIPOTESIS PERBEDAAN RATA-RATA

A. Statistika Inferensial

B. Distribusi Sampling

C. Pendugaan Parameter

D. Hipotesis Statistik

E. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi

F. Uji Hipotesis Rata-rata Dua Populasi

BAB III EFFECT SIZE COHEN

A. Dari Uji Signifikansi ke Effect Size

B. Jenis Effect Size

C. Selang Kepercayaan pada 𝑑

D. Meta-Analisis pada 𝑑

BAB IV PENERAPAN EFFECT SIZE PADA HASIL-HASIL PENELITIAN

A. Meta-Analisis pada Data Independen

B. Meta-Analisis pada Data Berpasangan

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


6

BAB II

UJI HIPOTESIS PERBEDAAN RATA-RATA

A. Statistika Inferensial

Berdasarkan aktivitas yang dilakukan, statistika terbagi menjadi dua yaitu

statistika deskriptif dan statistika inferensial. Pada bab ini akan dibahas tentang

statistika inferensial yang berperan penting pada pengujian hipotesis dan

pendugaan parameter. Statistikawan menggunakan hukum dasar probabilitas dan

statistika inferensial untuk menarik kesimpulan tentang sistem ilmiah. Informasi

dikumpulkan dalam bentuk sampel atau koleksi pengamatan. Sampel

dikumpulkan dari populasi, yang merupakan kumpulan semua individu atau

masing-masing item dari jenis tertentu. Suatu konstanta yang merupakan

karakteristik populasi dinamakan parameter.

Definisi 2.1.1. Ruang sampel adalah himpunan yang terdiri dari semua

kemungkinan titik sampel dalam suatu proses pengamatan.

Definisi 2.1.2. Variabel acak adalah fungsi bernilai real yang domainnya adalah

ruang sampel.

Fungsi tertentu dari variabel acak yang diamati dalam sampel digunakan

untuk menduga atau membuat keputusan tentang parameter populasi yang tidak

diketahui. Misalnya, pendugaan rata-rata populasi 𝜇 dilakukan dengan mengambil

sampel acak 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 dari variabel acak 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 dan rata-rata sampelnya

�̅� = (1/𝑛)∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 .


7

Variabel acak �̅� adalah fungsi dari variabel acak 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 dan sampel

berukuran 𝑛. Dengan kata lain, rata-rata sampel, yaitu �̅� adalah contoh statistik.

Definisi 2.1.3. Statistik adalah fungsi dari variabel acak yang diamati dalam

sampel.

Sebagai contoh, dalam sebuah percobaan obat, sampel pasien diambil dan

masing-masing diberi obat spesifik untuk mengurangi tekanan darah. Percobaan

ini difokuskan pada penarikan kesimpulan tentang populasi pasien yang menderita

hipertensi. Jadi, tujuan dari statistika inferensial adalah informasi yang terdapat

dalam sampel digunakan untuk membuat kesimpulan tentang populasi di mana

sampel diambil.

Definisi 2.1.4. Statistika inferensial adalah teknik analisis statistik yang terdiri

dari beberapa metode statistik untuk dapat membuat kesimpulan atau generalisasi

tentang populasi.

Definisi 2.1.5. Fungsi 𝑓(𝑥) adalah fungsi densitas probabilitas untuk variabel

acak kontinu 𝑋, jika

1) 𝑓(𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ.

2) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1∞

−∞.

Fungsi Pembangkit Momen

Pada subbab ini akan dijelaskan fungsi pembangkit momen yang berkaitan

dengan Teorema dalam distribusi sampling.


8

Definisi 2.1.6. Momen ke-𝑘 variabel acak 𝑋 diberikan oleh

𝜇′𝑘 = 𝐸(𝑋𝑘) =

{

∑ 𝑥𝑘𝑓(𝑥)𝑥

, jika 𝑋 diskrit,

∫ 𝑥𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

, jika 𝑋 kontinu.

Berdasarkan definisi 2.1.5, rata-rata dan variansi variabel acak 𝑋 adalah

𝜇′1 = 𝐸(𝑋) = 𝜇 dan 𝜇′2 − 𝜇2 = 𝐸(𝑋2) − 𝜇2 = 𝜎2.

Definisi 2.1.7. Fungsi pembangkit momen dari variabel 𝑋 diberikan oleh 𝐸(𝑒𝑡𝑋)

dan dinotasikan oleh 𝑚𝑋(𝑡). Dengan kata lain,

𝑚𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋) =

{

∑ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥)𝑥

, jika 𝑋 diskrit,

∫ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

, jika 𝑋 kontinu.

Teorema 2.1.1. Misalkan 𝑋 adalah variabel acak dengan fungsi pembangkit

momen 𝑚𝑋(𝑡). Didefinisikan

𝑑𝑘

𝑑𝑡𝑘𝑚𝑋(𝑡)|𝑡=0 = 𝜇′𝑘.

Bukti:

Misalkan 𝑚𝑋(𝑡) adalah fungsi pembangkit momen yang variabel acak 𝑋

terdiferensial 𝑘 kali.

𝑑𝑘

𝑑𝑡𝑘𝑚𝑋(𝑡) =

𝑑𝑘

𝑑𝑡𝑘∫ 𝑒𝑡𝑥𝑓𝑋(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

= ∫ (𝑑𝑘

𝑑𝑡𝑘𝑒𝑡𝑥)𝑓𝑋(𝑥) 𝑑𝑥

∞

−∞


9

= ∫ (𝑥𝑘𝑒𝑡𝑥)𝑓𝑋(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

= 𝐸(𝑋𝑘)𝑒𝑡𝑥.

Dengan demikian,

𝑑𝑘

𝑑𝑡𝑘𝑚𝑋(𝑡)|𝑡=0 = 𝐸(𝑋𝑘)𝑒𝑡𝑥|𝑡=0 = 𝐸(𝑋

𝑘) = 𝜇′𝑘. ∎

Contoh 2.1.1. Misalkan 𝑋 adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan rata-

rata 𝜇 dan variansi 𝜎2. Tentukan fungsi pembangkit momen untuk 𝑋.

Penyelesaian: Fungsi probabilitas Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2

adalah

𝑓(𝑥) =1

𝜎√2𝜋exp [−(

1

2𝜎2) (𝑥 − 𝜇)2] , −∞ < 𝑥 < ∞

Fungsi pembangkit momen dari 𝑋 adalah

𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥) = ∫ 𝑒𝑡𝑥 (exp [−(𝑥 − 𝜇)2/2𝜎2]

𝜎√2𝜋) 𝑑𝑥.

∞

−∞

Misalkan 𝑢 = 𝑥 − 𝜇, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, maka 𝑥 = 𝑢 + 𝜇,

𝑚(𝑡) =1

𝜎√2𝜋∫ 𝑒𝑡(𝑢+𝜇)𝑒−𝑢

2/(2𝜎2) 𝑑𝑢∞

−∞

=1

𝜎√2𝜋∫ exp [(𝑢 + 𝜇)𝑡 −

𝑢2

2𝜎2] 𝑑𝑢

∞

−∞

=1

𝜎√2𝜋∫ exp [

−𝑢2 + 2𝜎2(𝑢 + 𝜇)𝑡

2𝜎2] 𝑑𝑢

∞

−∞


10

Kalikan dengan 𝑒𝑡2𝜎2/2/𝑒𝑡

2𝜎2/2 dan melengkapkan kuadrat,

𝑚(𝑡) = 𝑒𝜇𝑡𝑒𝑡2𝜎2/2∫

exp [−(1/2𝜎2)(𝑢2 − 2𝜎2𝑡𝑢 + 𝜎4𝑡2)]

𝜎√2𝜋 𝑑𝑢

∞

−∞

= 𝑒𝜇𝑡+(𝑡2𝜎2/2)∫

exp [−(𝑢 − 𝜎2𝑡)2/2𝜎2]

𝜎√2𝜋 𝑑𝑢.

∞

−∞

Oleh karena integral tersebut adalah integral dari fungsi densitas Normal dengan

rata-rata 𝜎2𝑡 dan variansi 𝜎2, maka integral tersebut bernilai 1. Jadi, fungsi

pembangkit momen dari 𝑋 adalah

𝑚(𝑡) = 𝑒𝜇𝑡+(𝑡2𝜎2/2).

Definisi 2.1.8. Variabel acak 𝑋 didefinisikan berdistribusi Gamma dengan

parameter 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0 jika dan hanya jika fungsi densitas 𝑋 adalah

𝑓(𝑥) = {𝑥𝛼−1𝑒

−𝑥

𝛽

𝛽𝛼Γ(𝛼), 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞

0, selainnya,

dengan

Γ(𝛼) = ∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥∞

0

𝑑𝑥.

Definisi 2.1.9. Misalkan 𝑣 adalah bilangan bulat positif. Variabel acak 𝑋

dikatakan berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 𝑣 jika dan hanya jika 𝑋

adalah variabel acak berdistribusi Gamma dengan parameter 𝛼 = 𝑣/2 dan 𝛽 = 2.

Contoh 2.1.2. Misalkan 𝑋 adalah variabel acak berdistribusi Chi-Square dengan

rata-rata 𝑣 dan variansi 2𝑣. Tentukan fungsi pembangkit momen untuk 𝑋.


11

Penyelesaian:

Fungsi probabilitas Chi-Square dengan rata-rata 𝑣 dan variansi 2𝑣 adalah

𝑓(𝑥) =𝑥(𝑣/2)−1𝑒−𝑥/2

2𝑣/2Γ(𝑣/2), 𝑥 > 0

Fungsi pembangkit momen dari 𝑋 adalah

𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥) = ∫ 𝑒𝑡𝑥𝑥(𝑣/2)−1𝑒−𝑥/2

2𝑣/2Γ(𝑣/2)

∞

0

𝑑𝑥

=1

2𝑣/2Γ(𝑣/2)∫ 𝑒−

(1−2𝑡)𝑥

2𝑥(𝑣/2)

𝑥

∞

0

𝑑𝑥

Misalkan 𝑡 <1

2,

𝑢 = (1 − 2𝑡)𝑥

𝑑𝑢 = (1 − 2𝑡)𝑑𝑥

𝑚(𝑡) =1

2𝑣/2Γ(𝑣/2)∫ 𝑒−

𝑢

2 (𝑢

1 − 2𝑡)𝑣/2∞

0

(1

𝑢) 𝑑𝑢

= (1 − 2𝑡)−𝑣/2∫𝑒−

𝑢

2𝑢(𝑣/2)−1

2𝑣/2Γ(𝑣/2)

∞

0

𝑑𝑢

Oleh karena integral tersebut adalah integral dari fungsi densitas Gamma dengan

parameter 𝛼 = 𝑣/2 dan 𝛽 = 2, maka menurut definisi fungsi probabilitas

(definisi 2.1.5), integral bersebut bernilai 1. Jadi, fungsi pembangkit momen dari

𝑋 adalah

𝑚(𝑡) = (1 − 2𝑡)−𝑣/2.


12

Teorema 2.1.2. Teorema Ketunggalan: Misalkan 𝑚𝑋(𝑡) dan 𝑚𝑌(𝑡) adalah fungsi

pembangkit momen dari variabel acak 𝑋 dan 𝑌. Jika kedua fungsi pembangkit

momen ada dan 𝑚𝑋(𝑡) = 𝑚𝑌(𝑡), untuk setiap nilai 𝑡, maka 𝑋 dan 𝑌 mempunyai

distribusi probabilitas yang sama.

Bukti dapat dilihat pada skripsi Julie, Hongkie (1999) yang berjudul Teorema

Limit Pusat dan Terapannya.

Contoh 2.1.3. Misalkan 𝑍 adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan rata-

rata 0 dan variansi 1. Gunakan metode fungsi pembangkit momen untuk

menemukan distribusi probabilitas dari 𝑍2.

Penyelesaian:

Fungsi pembangkit momen dari 𝑍2 adalah

𝑚𝑍2(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑍2) = ∫ 𝑒𝑡𝑧

2𝑓(𝑧) 𝑑𝑧

∞

−∞

= ∫ 𝑒𝑡𝑧2 𝑒−𝑧

2/2

√2𝜋 𝑑𝑧

∞

−∞

= ∫1

√2𝜋𝑒−(𝑧

2/2)(1−2𝑡) 𝑑𝑧.∞

−∞

Jika (1 − 2𝑡) > 0 (𝑡 < 1/2), integrand dari

exp [− (𝑧2

2) (1 − 2𝑡)]

√2𝜋=exp [− (

𝑧2

2) (1 − 2𝑡)−1⁄ ]

√2𝜋

identik dengan fungsi probabilitas variabel acak Normal dengan rata-rata 0 dan

variansi (1 − 2𝑡)−1. Untuk membuat integralnya sama dengan 1, kalikan dengan

standar deviasinya, yaitu (1 − 2𝑡)−1/2, sehingga

𝑚𝑍2(𝑡) =1

(1 − 2𝑡)1/2∫

1

√2𝜋(1 − 2𝑡)−1/2exp [−(

𝑧2

2) (1 − 2𝑡)−1⁄ ] 𝑑𝑧.

∞

−∞

Karena integral di atas sama dengan 1, untuk 𝑡 < 1/2, maka


13

𝑚𝑍2(𝑡) =1

(1 − 2𝑡)1/2= (1 − 2𝑡)−1/2.

Oleh karena fungsi pembangkit momen untuk 𝑍2 identik dengan fungsi

pembangkit momen untuk variabel acak Chi-Square dengan derajat bebas 𝑣 = 1

(contoh 2.1.2), maka menurut Teorema Ketunggalan, 𝑍2 berdistribusi Chi-Square

dengan derajat bebas 1. Dengan demikian, fungsi probabilitas untuk 𝑈 = 𝑍2

adalah

𝑓𝑈(𝑢) = {

𝑢−1/2𝑒−𝑢/2

Γ(1/2)√2, 𝑢 ≥ 0

0, selainnya.

Contoh 2.1.4. Misalkan 𝑋 adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan rata-

rata 𝜇 dan variansi 𝜎2. Tunjukkan bahwa

𝑍 =𝑋 − 𝜇

𝜎

berdistribusi Normal Standar dengan rata-rata 0 dan variansi 1.

Penyelesaian:

Dari contoh 2.1.1, fungsi pembangkit momen dari 𝑋 adalah 𝑒𝜇𝑡+(𝑡2𝜎2/2).

Dengan cara yang sama, fungsi pembangkit momen dari 𝑋 − 𝜇 adalah 𝑒𝑡2𝜎2/2,

sehingga

𝑚𝑍(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑍) = 𝐸(𝑒(𝑡/𝜎)(𝑋−𝜇)) = 𝑚𝑋−𝜇 (

𝑡

𝜎) = 𝑒(𝑡/𝜎)

2𝜎2/2 = 𝑒𝑡2/2.

Oleh karena 𝑚𝑍(𝑡) identik dengan fungsi pembangkit momen dari variabel acak

Normal Standar, maka 𝑍 berdistribusi Normal Standar dengan 𝐸(𝑍) = 0 dan

𝑉(𝑍) = 1.


14

Teorema 2.1.3. Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak yang saling bebas

dengan fungsi pembangkit momen 𝑚𝑋1(𝑡), 𝑚𝑋2

(𝑡),…, 𝑚𝑋𝑛(𝑡). Jika 𝑈 = 𝑋1 +

𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛, maka

𝑚𝑈(𝑡) = 𝑚𝑋1(𝑡) x 𝑚𝑋2

(𝑡) x… x 𝑚𝑋𝑛(𝑡).

Bukti:

Karena variabel acak 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 saling bebas, maka

𝑚𝑈(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡(𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛)) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋1𝑒𝑡𝑋2 …𝑒𝑡𝑋𝑛)

= 𝐸(𝑒𝑡𝑋1) x 𝐸(𝑒𝑡𝑋2) x… x 𝐸(𝑒𝑡𝑋𝑛).

Dengan definisi fungsi pembangkit momen,

𝑚𝑈(𝑡) = 𝑚𝑋1(𝑡) x 𝑚𝑋2

(𝑡) x… x 𝑚𝑋𝑛(𝑡). ∎

Teorema 2.1.4. Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak saling bebas yang

berdistribusi Normal dengan 𝐸(𝑋𝑖) = 𝜇𝑖, 𝑉(𝑋𝑖) = 𝜎𝑖2, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan

𝑎1, 𝑎2,…, 𝑎𝑛 adalah konstanta. Jika

𝑈 =∑𝑎𝑖𝑋𝑖 =

𝑛

𝑖=1

𝑎1𝑋1 + 𝑎2𝑋2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑋𝑛,

maka U adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan

𝐸(𝑈) =∑𝑎𝑖𝜇𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑎1𝜇1 + 𝑎2𝜇2 +⋯+ 𝑎𝑛𝜇𝑛

dan

𝑉(𝑈) =∑𝑎𝑖2𝜎𝑖

2

𝑛

𝑖=1

= 𝑎12𝜎1

2 + 𝑎22𝜎2

2 +⋯+ 𝑎𝑛2𝜎𝑛

2.


15

Bukti:

Dari contoh 2.1.1, fungsi pembangkit momen dari 𝑋 adalah 𝑒𝜇𝑡+(𝑡2𝜎2/2).

Karena 𝑋𝑖 berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇𝑖 dan variansi 𝜎𝑖2, maka fungsi

pembangkit momen dari 𝑋𝑖 adalah

𝑚𝑋𝑖(𝑡) = exp(𝜇𝑖𝑡 +

𝜎𝑖2𝑡2

2).

Fungsi pembangkit momen dari 𝑎𝑖𝑋𝑖 adalah

𝑚𝑎𝑖𝑋𝑖(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑎𝑖𝑋𝑖) = 𝑚𝑋𝑖

(𝑎𝑖𝑡) = exp (𝜇𝑖𝑎𝑖𝑡 +𝑎𝑖2𝜎𝑖

2𝑡2

2).

Karena variabel acak 𝑋𝑖 saling bebas dan 𝑎𝑖𝑋𝑖 saling bebas, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛,

maka menurut teorema 2.1.3,

𝑚𝑈(𝑡) = 𝑚𝑎1𝑋1(𝑡) x 𝑚𝑎2𝑋2

(𝑡) x… x 𝑚𝑎𝑛𝑋𝑛(𝑡)

= exp(𝜇1𝑎1𝑡 +𝑎1

2𝜎12𝑡2

2) x…x exp(𝜇𝑛𝑎𝑛𝑡 +

𝑎𝑛2𝜎𝑛

2𝑡2

2)

= exp(𝑡∑𝑎𝑖𝜇𝑖

𝑛

𝑖=1

+𝑡2

2∑𝑎𝑖

2𝜎𝑖2

𝑛

𝑖=1

).

Oleh karena 𝑚𝑈(𝑡) identik dengan fungsi pembangkit momen dari distribusi

Normal, maka menurut Teorema Ketunggalan, 𝑈 mempunyai distribusi Normal

dengan rata-rata ∑ 𝑎𝑖𝜇𝑖𝑛𝑖=1 dan variansi ∑ 𝑎𝑖

2𝜎𝑖2𝑛

𝑖=1 . ∎


16

B. Distribusi Sampling

Fokus utama statistika inferensial berkaitan dengan generalisasi dan

prediksi. Sebagai contoh, mesin minuman ringan dirancang untuk mengeluarkan

minuman dengan rata-rata 240 mililiter per minuman. Perusahaan minuman

tersebut menghitung rata-rata 40 minuman dan diperoleh rata-ratanya �̅� = 236

mililiter. Berdasarkan nilai tersebut, perusahaan memutuskan bahwa mesin masih

mengeluarkan minuman dengan rata-rata 𝜇 = 240 mililiter. Empat puluh

minuman mewakili sampel dari populasi tak hingga minuman yang akan

dikeluarkan mesin.

Dari contoh di atas, statistik dihitung dari sampel yang dipilih dari populasi.

Statistik juga menghasilkan berbagai pernyataan yang dibuat mengenai nilai-nilai

parameter populasi yang mungkin atau mungkin tidak benar. Perusahaan

minuman tersebut membuat keputusan bahwa minuman ringan mengeluarkan

minuman dengan rata-rata 240 mililiter, meskipun rata-rata sampelnya 236

mililiter. Perusahaan tersebut membuat keputusan itu berdasarkan teori sampling.

Karena statistik adalah variabel acak yang bergantung hanya pada sampel

yang diamati, maka statistik harus memiliki distribusi probabilitas. Distribusi

probabilitas dari statistik inilah yang dinamakan distribusi sampling. Distribusi

sampling dari statistik tergantung pada distribusi populasi, ukuran sampel dan

metode pemilihan sampel. Distribusi sampling �̅� dinamakan distribusi sampling

dari rata-rata. Distribusi sampling �̅� dengan ukuran sampel 𝑛 adalah distribusi

yang terjadi ketika percobaan dilakukan berulang dan banyak nilai-nilai hasil �̅�.

Distribusi sampling �̅� menggambarkan variabilitas rata-rata sampel sekitar

rata-rata populasi 𝜇. Pada kasus mesin minuman ringan, pengetahuan tentang

distribusi sampling �̅� memberikan perbedaan yang khas antara nilai �̅� yang

diamati dan nilai rata-rata (𝜇) sebenarnya. Prinsip yang sama juga berlaku pada

distribusi 𝑆2. Distribusi sampling ini menghasilkan nilai-nilai variabilitas variansi

sampel 𝑠2 di sekitar variansi populasi 𝜎2, khususnya dalam percobaan berulang.


17

Teorema 2.2.1. Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah sampel acak saling bebas

berukuran 𝑛 dari distribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2. Statistik

�̅� =1

𝑛∑𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

akan berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇�̅� = 𝜇 dan variansi 𝜎�̅�2 = 𝜎2/𝑛.

Bukti: Karena 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah sampel acak dari distribusi Normal dengan

rata-rata 𝜇, variansi 𝜎2 dan 𝑋𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 juga saling bebas dengan 𝐸(𝑋𝑖) = 𝜇

dan 𝑉(𝑋𝑖) = 𝜎2, maka

�̅� =1

𝑛∑𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛(𝑋1) +

1

𝑛(𝑋2) + ⋯+

1

𝑛(𝑋𝑛)

= 𝑎1𝑋1 + 𝑎2𝑋2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑋𝑛, di mana 𝑎𝑖 =1

𝑛, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Menurut teorema 2.1.4, karena �̅� dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari

𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, maka �̅� berdistribusi Normal dengan

𝜇�̅� = 𝐸(�̅�) = 𝐸[𝑎1𝑋1 +⋯+ 𝑎𝑛𝑋𝑛] = 𝑎1𝐸(𝑋1) + ⋯+ 𝑎𝑛𝐸(𝑋𝑛)

=1

𝑛(𝜇) + ⋯+

1

𝑛(𝜇) =

1

𝑛(𝑛𝜇) = 𝜇

dan

𝜎�̅�2 = 𝑉(�̅�) = 𝑉[𝑎1𝑋1 +⋯+ 𝑎𝑛𝑋𝑛] = 𝑎1𝑉(𝑋1) + ⋯+ 𝑎𝑛𝑉(𝑋𝑛)

=1

𝑛2(𝜎2) + ⋯+

1

𝑛2(𝜎2) =

1

𝑛2(𝑛𝜎2) =

𝜎2

𝑛. ∎


18

Contoh 2.2.1. Sebuah mesin pengisi botol minuman dapat diatur sehingga debit

rata-ratanya 𝜇 ons per botol. Telah diamati bahwa jumlah isian tiap botol

berdistribusi Normal dengan standar deviasi 𝜎 = 1 ons. Sampel pengisian botol

berukuran 𝑛 = 9 dipilih secara acak dari keluaran mesin pada hari tertentu (semua

botol dengan pengaturan mesin yang sama) dan masing-masing botol diukur

debitnya. Tentukan probabilitas bahwa rata-rata sampel akan berada dalam 0.3

ons rata-rata sebenarnya 𝜇 untuk pengaturan mesin yang dipilih.

Penyelesaian:

Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah banyaknya botol yang akan diamati debitnya dan

𝑋𝑖, 𝑖 = 1,2, … ,9 berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2 = 1.

Berdasarkan teorema 2.2.1, �̅� memiliki distribusi sampling yang Normal dengan

rata-rata 𝜇�̅� = 𝜇 dan variansi 𝜎�̅�2 =

𝜎2

𝑛= 1/9.

𝑃(|�̅� − 𝜇| ≤ 0.3) = 𝑃[−0.3 ≤ �̅� − 𝜇 ≤ 0.3]

= 𝑃 (−0.3

𝜎/√𝑛≤

�̅�−𝜇

𝜎/√𝑛≤

0.3

𝜎/√𝑛).

Karena (�̅� − 𝜇�̅�)/𝜎�̅� = (�̅� − 𝜇)/(𝜎/√𝑛) berdistribusi Normal Standar, maka

𝑃(|�̅� − 𝜇| ≤ 0.3) = 𝑃 (−0.3

1/√9≤ 𝑍 ≤

0.3

1/√9)

= 𝑃(−0.9 ≤ 𝑍 ≤ 0.9) = 1 − 2𝑃(𝑍 > 0.9)

= 1 − 2(0.1841) = 0.6318.

Dengan demikian, probabilitas bahwa rata-rata sampel akan berada dalam 0.3 ons

dari rata-rata populasi sebenarnya hanyalah 0.6318.


19

Teorema 2.2.2. Misalkan 𝑋 dan 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3,… adalah variabel acak dengan fungsi

pembangkit momen 𝑚(𝑡) dan 𝑚1(𝑡), 𝑚2(𝑡), 𝑚3(𝑡),…, 𝑚𝑛(𝑡).

Jika

lim𝑛→∞

𝑚𝑛(𝑡) = 𝑚(𝑡) , ∀𝑡 ∈ ℝ

maka fungsi distribusi dari 𝑋𝑛 konvergen ke fungsi distribusi dari 𝑋.

Bukti dapat dilihat pada buku Probability with Martingales karangan Williams,

David (1991) halaman 185.

Teorema 2.2.3. Teorema Limit Pusat: Jika �̅� adalah rata-rata sampel acak

berukuran 𝑛 yang diambil dari populasi dengan rata-rata 𝜇 dan variansi berhingga

𝜎2, maka bentuk limit dari distribusi

𝑍 = �̅� − 𝜇

𝜎/√𝑛,

konvergen ke fungsi distribusi Normal Standar 𝑛(𝑧; 0,1), ketika 𝑛 → ∞.

Bukti: Misalkan

𝑈𝑛 = �̅� − 𝜇

𝜎/√𝑛=

1

√𝑛(∑ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1 − 𝑛𝜇

𝜎) =

1

√𝑛∑𝑍𝑖

𝑛

𝑖=1

,

dengan

𝑍𝑖 =𝑋𝑖 − 𝜇

𝜎.

Karena variabel acak 𝑋𝑖 saling bebas dan berdistribusi Normal, maka menurut

contoh 2.1.4, 𝑍𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 juga saling bebas dan berdistribusi Normal dengan

rata-rata 𝐸(𝑍𝑖) = 0 dan variansi 𝑉(𝑍𝑖) = 1.


20

Karena fungsi pembangkit momen dari jumlahan variabel acak yang saling bebas

adalah hasil kali masing-masing fungsi pembangkit momennya, maka

𝑚∑𝑍𝑖(𝑡) = 𝑚𝑍1

(𝑡) x 𝑚𝑍2(𝑡) x… x 𝑚𝑍𝑛

(𝑡) = [𝑚𝑍1(𝑡)]

𝑛

dan

𝑚𝑈𝑛(𝑡) = 𝑚∑𝑍𝑖

(𝑡

√𝑛) = [𝑚𝑍1 (

𝑡

√𝑛)]𝑛

.

Oleh karena deret Taylor di sekitar 0 dengan suku sisa bentuk Lagrange adalah

𝑚𝑍1(𝑡) = 𝑚𝑍1

(0) + 𝑚′𝑍1(0)𝑡 + 𝑚′′𝑍1(𝜉)𝑡2

2, 0 < 𝜉 < 𝑡

dan karena 𝑚𝑍1(0) = 𝐸(𝑒0𝑍1) = 𝐸(1) = 1 dan 𝑚′𝑍1(0) = 𝐸(𝑍1) = 0,

𝑚𝑍1(𝑡) = 1 + 𝑚′′𝑍1(𝜉)

𝑡2

2

sehingga

𝑚𝑈𝑛(𝑡) = [1 +

𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛)

2(𝑡

√𝑛)2

]

𝑛

= [1 +𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛)𝑡

2/2

𝑛]

𝑛

, 0 < 𝜉𝑛 <𝑡

√𝑛 .

Ketika 𝑛 → ∞, 𝜉𝑛 → 0, maka

𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛)𝑡

2/2 → 𝑚′′𝑍1(0)𝑡2/2 = 𝐸(𝑍1

2)𝑡2/2 = 𝑡2/2,

dengan 𝐸(𝑍12) = 𝑉(𝑍1) = 1.

Dipandang lim𝑛→∞

𝑏𝑛 = 𝑏, maka

lim𝑛→∞

(1 +𝑏𝑛

𝑛)𝑛

= 𝑒𝑏 . (2.1)


21

Berdasarkan persamaan (𝟐. 𝟏) diperoleh

lim𝑛→∞

𝑚𝑈𝑛(𝑡) = lim

𝑛→∞(1 +

𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛)𝑡2/2

𝑛)

𝑛

= 𝑒𝑡2/2.

Dari contoh 2.1.4, 𝑒𝑡2/2 identik dengan fungsi pembangkit momen untuk variabel

acak Normal Standar. Jadi, menurut teorema 2.2.2, fungsi distribusi 𝑈𝑛

konvergen ke fungsi distribusi dari variabel acak Normal Standar. ∎

Pendekatan distribusi Normal untuk �̅� akan bagus secara umum untuk

ukuran sampel 𝑛 ≥ 30. Jika 𝑛 < 30, pendekatan baik hanya jika populasinya

tidak terlalu berbeda dari distribusi Normal. Jika populasinya diketahui Normal,

maka distribusi sampling dari �̅� akan mengikuti distribusi Normal persis, tidak

peduli seberapa kecil ukuran sampel. Ukuran sampel 𝑛 = 30 adalah pedoman

untuk menggunakan teorema 2.2.3 (Teorema Limit Pusat).

Contoh 2.2.2. Firma listrik memproduksi bola lampu yang memiliki waktu

hidupnya mendekati distribusi Normal, dengan rata-rata sebesar 800 jam dan

standar deviasi 40 jam. Tentukan probabilitas bahwa sampel acak dari 16 lampu

akan memiliki rata-rata hidup kurang dari 775 jam.

Penyelesaian: Misalkan �̅� adalah lamanya hidup bola lampu yang berdistribusi

Normal dengan 𝜇�̅� = 800 dan 𝜎�̅� =40

√16= 10.

Probabilitas bahwa sampel acak dari 16 lampu akan memiliki rata-rata hidup

kurang dari 775 jam adalah


22

𝑃(�̅� < 775) = 𝑃 (�̅� − 800

40/√16<775 − 800

10) = 𝑃(𝑍 < −2.5) = 0.0062.

Gagasan umum distribusi sampling dan Teorema Limit Pusat sering

digunakan untuk menghasilkan bukti tentang beberapa aspek penting dari

distribusi, seperti parameter dari distribusi. Pada Teorema Limit Pusat, parameter

yang menarik adalah rata-rata populasi 𝜇. Selain itu, penentuan nilai wajar dari

rata-rata populasi 𝜇 adalah salah satu aplikasi yang paling penting dari Teorema

Limit Pusat. Topik seperti pengujian hipotesis, pendugaan selang, kualitas kontrol

dan lainnya memanfaatkan Teorema Limit Pusat. Contoh berikut menggambarkan

penggunaan Teorema Limit Pusat yang berkaitan dengan rata-rata populasi serta

penarikan kesimpulan menggunakan distribusi sampling dari �̅�.

Contoh 2.2.3. Suatu proses manufaktur menghasilkan komponen silinder suku

cadang untuk industri otomotif. Dalam proses tersebut diproduksi komponen yang

memiliki diameter rata-rata 5 milimeter. Insinyur menduga bahwa rata-rata

populasinya adalah 5 milimeter. Sebuah percobaan dilakukan pada 100 komponen

yang dihasilkan oleh proses secara acak dan masing-masing komponen diukur

diameternya. Diketahui bahwa standar deviasi populasi 𝜎 = 0.1 milimeter. Hasil

percobaan menunjukkan diameter rata-rata sampel �̅� = 5.027 milimeter. Apakah

informasi sampel ini muncul untuk mendukung atau menyangkal dugaan

insinyur?

Penyelesaian: Contoh ini merefleksikan berbagai masalah yang sering diajukan

dan diselesaikan dengan pengujian hipotesis. Pengujian hipotesis sendiri akan

dibahas pada subbab selanjutnya. Untuk menyelesaikan masalah ini, prinsip

distribusi sampling dan logika digunakan.

Jika probabilitas data menunjukkan bahwa nilai �̅� = 5.027 berbeda jauh

dari rata-rata populasi (probabilitas mendekati 1), maka dugaan insinyur tersebut


23

tidak terbantahkan. Sebaliknya, jika probabilitas cukup kecil, maka data tidak

mendukung dugaan bahwa 𝜇 = 5. Dengan kata lain, jika rata-rata populasi 𝜇 = 5,

berapa probabilitas bahwa rata-rata sampel �̅� akan menyimpang sebanyak 0.027

milimeter?

Dengan Teorema Limit Pusat, probabilitasnya adalah

𝑃(|�̅� − 5| ≥ 0.027) = 𝑃(�̅� − 5 ≥ 0.027) + 𝑃(�̅� − 5 ≤ −0.027)

= 2𝑃 (�̅�−50.1

√100

≥ 2.7) = 2𝑃(𝑍 ≥ 2.7)

= 2(0.0035) = 0.007.

Oleh karena itu, percobaan tersebut dengan �̅� = 5.027 tidak memberikan bukti

pendukung untuk berspekulasi bahwa 𝜇 = 5. Jadi, dugaan insinyur tersebut dapat

dibantah.

Teorema 2.2.4. Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah sampel acak yang berdistribusi

Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2, maka statistik

𝑊 =(𝑛 − 1)𝑆2

𝜎2=1

𝜎2∑(𝑋𝑖 − �̅�)

2

𝑛

𝑖=1

berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas (𝑛 − 1). Dengan demikian, �̅� dan

𝑆2 adalah variabel acak saling bebas.

Bukti: Pembuktian akan dilakukan secara khusus, yaitu untuk 𝑛 = 2.

Untuk kasus 𝑛 = 2,

�̅� = (1/2)(𝑋1 + 𝑋2)

dan


24

𝑆2 =1

2 − 1∑(𝑋𝑖 − �̅�)

2

2

𝑖=1

= [𝑋1 − (1

2) (𝑋1 + 𝑋2)]

2

+ [𝑋2 − (1

2) (𝑋1 + 𝑋2)]

2

= [1

2(𝑋1 − 𝑋2)]

2

+ [1

2(𝑋2 − 𝑋1)]

2

= 2 [1

2(𝑋1 − 𝑋2)]

2

=(𝑋1−𝑋2)

2

2

Dengan demikian, untuk 𝑛 = 2,

𝑊 =(𝑛 − 1)𝑆2

𝜎2=(𝑋1 − 𝑋2)

2

2𝜎2= (

𝑋1 − 𝑋2

√2𝜎2)2

.

Menurut teorema 2.1.4, karena 𝑋1 − 𝑋2 adalah kombinasi linear yang saling

bebas, maka variabel acak 𝑋1 − 𝑋2 berdistribusi Normal (𝑋1 − 𝑋2 = 𝑎1𝑋1+𝑎2𝑋2,

dengan 𝑎1 = 1 dan 𝑎2 = −1) dengan rata-rata

1𝜇 − 1𝜇 = 0

dan variansi

(1)2𝜎2 + (−1)2𝜎2 = 2𝜎2.

Oleh karena

𝑍 =𝑋1 − 𝑋2

√2𝜎2

berdistribusi Normal Standar, maka menurut Teorema Ketunggalan (lihat contoh

2.1.3), untuk 𝑛 = 2,

𝑊 =(𝑛 − 1)𝑆2

𝜎2= (

𝑋1 − 𝑋2

√2𝜎2)2

= 𝑍2

berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 1.


25

Untuk membuktikan �̅� dan 𝑆2 adalah variabel acak saling bebas, maka

misalkan 𝑈1 = (𝑋1 + 𝑋2)/𝜎 dan 𝑈2 = (𝑋1 − 𝑋2)/𝜎 adalah variabel acak saling

bebas, sehingga

�̅� =𝑋1+𝑋2

2=

𝜎𝑈1

2 dan 𝑆2 =

(𝑋1−𝑋2)2

2=

(𝜎𝑈2)2

2.

Karena �̅� adalah fungsi dari 𝑈1 dan 𝑆2 adalah fungsi dari 𝑈2, maka bebas 𝑈1 dan

𝑈2 mengakibatkan �̅� dan 𝑆2 saling bebas. ∎

Asumsi pada Teorema Limit Pusat dan distribusi Normal adalah standar

deviasi (𝜎) diketahui. Asumsi ini mungkin tidak masuk akal dalam situasi praktis.

Namun, dalam banyak skenario percobaan, pengetahuan 𝜎 tentu tidak lebih masuk

akal dari pengetahuan tentang rata-rata populasi 𝜇. Seringkali, pada kenyataannya,

pendugaan 𝜎 harus diberikan oleh informasi sampel yang sama dalam

menghasilkan rata-rata sampel �̅�. Akibatnya, statistik yang digunakan untuk

menarik kesimpulan pada 𝜇 adalah

𝑇 = �̅� − 𝜇

𝑆/√𝑛.

Definisi 2.2.1. Misalkan 𝑍 adalah variabel acak berdistribusi Normal Standar dan

𝑊 adalah variabel acak berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 𝑣. Jika 𝑍

dan 𝑊 saling bebas, maka distribusi dari variabel acak 𝑇, dengan

𝑇 =𝑍

√𝑊/𝑣

adalah distribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛 − 1.


26

Teorema 2.2.5. Jika 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 merupakan sampel acak dari populasi

berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇, variansi 𝜎2 dan

�̅� =1

𝑛∑ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1 dan 𝑆2 =

1

𝑛−1∑ (𝑋𝑖 − �̅�)

2𝑛𝑖=1 ,

maka variabel acak 𝑇 = �̅�−𝜇

𝑆/√𝑛 berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛 − 1.

Bukti: Misalkan

𝑍 = �̅� − 𝜇

𝜎/√𝑛

berdistribusi Normal Standar dan

𝑊 =(𝑛 − 1)𝑆2

𝜎2

berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 1.

Karena 𝑍 dan 𝑊 saling bebas, maka menurut teorema 2.2.4, �̅� dan 𝑆2 juga saling

bebas. Jadi, dengan definisi 2.2.1 diperoleh

𝑇 = 𝑍

√𝑊/𝑣=

(�̅� − 𝜇)/(𝜎/√𝑛)

√[(𝑛 − 1)𝑆2/𝜎2]/(𝑛 − 1)=�̅� − 𝜇

𝑆/√𝑛,

berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas n-1. ∎

Jika ukuran sampel kecil, nilai-nilai 𝑆2 berfluktuasi dari sampel ke sampel

dan distribusi 𝑇 cukup menyimpang dari distribusi Normal Standar. Jika ukuran

sampel cukup besar (𝑛 ≥ 30), maka distribusi 𝑇 tidak berbeda jauh dari distribusi

Normal Standar. Namun, untuk 𝑛 < 30, penggunaan distribusi 𝑇 akan lebih

akurat daripada distribusi Normal Standar.


27

Contoh 2.2.4. Seorang ahli kimia mengklaim bahwa rata-rata populasi hasil

proses batch tertentu adalah 500 gram per mililiter bahan baku. Untuk memeriksa

klaim ini, ahli tersebut mengambil sampel sebanyak 25 batch setiap bulan. Jika

nilai 𝑡 jatuh antara −𝑡0.05 dan 𝑡0.05, ahli tersebut puas dengan klaimnya.

Kesimpulan apa yang ia tarik dari sampel yang memiliki rata-rata �̅� = 518 gram

per mililiter dan standar deviasi sampel 𝑠 = 40 gram? Asumsikan distribusi hasil

mendekati Normal.

Penyelesaian: Dari tabel distribusi 𝑡 diperoleh 𝑡0.05 = 1.711 dengan derajat

bebas 24. Ahli tersebut dapat puas dengan klaimnya jika sampel 25 batch

menghasilkan nilai 𝑡 antara -1.711 dan 1.711. Jika 𝜇 = 500, maka

𝑡 =518 − 500

40/√25= 2.25,

nilai tersebut di atas 1.711. Probabilitas nilai 𝑡, dengan 𝑣 = 24, sama atau lebih

besar dari 2.25 adalah sekitar 0.02. Jika 𝜇 > 500, maka nilai 𝑡 yang dihitung dari

sampel akan lebih masuk akal. Oleh karena itu, ahli tersebut cenderung

menyimpulkan bahwa proses batch menghasilkan produk yang lebih baik

daripada klaimnya.

Distribusi Sampling Perbedaan antara Dua Rata-Rata

Pada contoh sebelumnya, distribusi sampling hanya berpusat pada rata-rata

tunggal 𝜇, khususnya untuk sampel berukuran besar (𝑛 ≥ 30) maupun sampel

berukuran kecil (𝑛 < 30). Lebih jauh lagi, distribusi sampling tidak hanya

berpusat pada rata-rata satu populasi, tetapi melibatkan dua populasi. Peneliti akan

lebih tertarik dalam membandingkan percobaan yang melibatkan dua metode

perbandingan. Dasar untuk perbandingannya adalah 𝜇1 − 𝜇2, perbedaan pada rata-

rata populasi.


28

Misalkan ada dua populasi, populasi pertama dengan rata-rata 𝜇1 dan

variansi 𝜎12, populasi kedua dengan rata-rata 𝜇2 dan variansi 𝜎2

2. Statistik �̅�1

merepresentasikan rata-rata dari sampel acak berukuran 𝑛1 yang dipilih dari

populasi pertama. Statistik �̅�2 merepresentasikan rata-rata dari sampel acak

berukuran 𝑛2 yang dipilih dari populasi kedua dan saling bebas dengan sampel

dari populasi pertama. Menurut Teorema Limit Pusat, variabel �̅�1 mendekati

distribusi Normal dengan rata-rata 𝜇1 dan variansi 𝜎12/𝑛1 serta variabel �̅�2

mendekati distribusi Normal dengan rata-rata 𝜇2 dan variansi 𝜎22/𝑛2.

Oleh karena �̅�1 dan �̅�2 saling bebas, maka

�̅�1 − �̅�2 = 𝑎1�̅�1 + 𝑎2�̅�2, dengan 𝑎1 = 1 dan 𝑎2 = −1

mendekati distribusi Normal dengan rata-rata

𝜇�̅�1−�̅�2 = 𝜇�̅�1 − 𝜇�̅�2 = 𝜇1 − 𝜇2

dan variansi

𝜎�̅�1−�̅�22 = 𝜎�̅�1

2 + 𝜎�̅�22 =

𝜎12

𝑛1+𝜎22

𝑛2.

Teorema 2.2.6. Jika sampel berukuran 𝑛1 dan 𝑛2 yang saling bebas dan dipilih

secara acak dari dua populasi dengan rata-rata 𝜇1, 𝜇2 dan variansi 𝜎12, 𝜎2

2, maka

distribusi sampling dari perbedaan rata-rata �̅�1 − �̅�2 mendekati distribusi Normal

dengan rata-rata dan variansi diberikan oleh

𝜇�̅�1−�̅�2 = 𝜇1 − 𝜇2 dan 𝜎�̅�1−�̅�22 =

𝜎12

𝑛1+𝜎2

2

𝑛2.


29

Dengan kata lain,

𝑍 =(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)

√(𝜎12/𝑛1) + (𝜎22/𝑛2)

mendekati distribusi Normal Standar.

Bukti: Misalkan 𝑋11, 𝑋12,…, 𝑋1𝑛1adalah sampel acak saling bebas dari populasi

dengan rata-rata 𝜇1, variansi 𝜎12 dan 𝑋21, 𝑋22,…, 𝑋2𝑛2 adalah sampel acak saling

bebas dari populasi dengan rata-rata 𝜇2, variansi 𝜎22.

Dipandang rata-rata sampel

�̅�1 =∑ 𝑋1𝑖𝑛1𝑖=1

𝑛1 dan �̅�2 =

∑ 𝑋2𝑖𝑛2𝑖=1

𝑛2.

Fungsi pembangkit momen dari variabel acak �̅�1 adalah

𝑚�̅�1(𝑡) = 𝐸 (𝑒

𝑡∑ 𝑋1𝑖𝑛1𝑖=1𝑛1 ) = 𝐸 (𝑒

𝑡𝑋11𝑛1 𝑒

𝑡𝑋12𝑛1 …𝑒

𝑡𝑋1𝑛1𝑛1 ),

menurut teorema 2.1.3,

𝑚�̅�1(𝑡) = 𝑚𝑋11 (

𝑡

𝑛1) x 𝑚𝑋12 (

𝑡

𝑛1) x… x 𝑚𝑋1𝑛1

(𝑡

𝑛1)

= (𝑒𝜇1(

𝑡

𝑛1)+

1

2𝜎21(

𝑡

𝑛1)2

)

𝑛1

= 𝑒𝜇1𝑡+

1

2

𝜎12

𝑛1𝑡2.

Dengan cara yang sama, fungsi pembangkit momen dari variabel acak �̅�2 adalah

𝑚�̅�2(𝑡) = 𝑒

𝜇2𝑡+1

2

𝜎22

𝑛2𝑡2.

Dengan demikian, menurut teorema 2.1.3,


30

𝑚�̅�1−�̅�2(𝑡) = 𝑚�̅�1

(𝑡)𝑚�̅�2(−𝑡)

= 𝑒𝜇1𝑡+

1

2

𝜎12

𝑛1𝑡2𝑒−𝜇2𝑡+

1

2

𝜎22

𝑛2(−𝑡)2

= 𝑒(𝜇1−𝜇2)𝑡+

1

2(𝜎12

𝑛1+𝜎22

𝑛2)𝑡2.

Oleh karena 𝑚�̅�1−�̅�2(𝑡) identik dengan fungsi pembangkit momen dari distribusi

Normal, maka menurut Teorema Ketunggalan, �̅�1 − �̅�2 mempunyai distribusi

Normal dengan rata-rata 𝜇1−𝜇2 dan variansi 𝜎1

2

𝑛1+𝜎2

2

𝑛2. ∎

Jika 𝑛1 dan 𝑛2 lebih besar/sama dengan 30, maka pendekatan distribusi

Normal untuk distribusi �̅�1 − �̅�2 adalah baik ketika distribusi yang mendasarinya

tidak terlalu jauh dari Normal. Bahkan, ketika 𝑛1 dan 𝑛2 kurang dari 30,

pendekatan distribusi Normal juga cukup bagus, kecuali populasinya jelas tidak

Normal. Jika populasinya Normal, maka distribusi �̅�1 − �̅�2 akan berdistribusi

Normal, tidak peduli berapapun ukuran sampel 𝑛1 dan 𝑛2.

Contoh 2.2.5. Dua percobaan independen (saling bebas) dijalankan untuk

membandingkan dua jenis cat. Delapan belas spesimen dicat menggunakan cat

jenis A dan waktu pengeringan direkam dalam jam. Hal yang sama juga dilakukan

pada cat jenis B. Standar deviasi populasi keduanya adalah 1. Asumsikan rata-rata

waktu pengeringan cat adalah sama untuk kedua jenis cat.

Tentukan 𝑃(�̅�𝐴 − �̅�𝐵 > 1), dengan �̅�𝐴 dan �̅�𝐵 adalah rata-rata waktu pengeringan

untuk sampel berukuran 𝑛𝐴 = 𝑛𝐵 = 18.

Penyelesaian: Distribusi sampling �̅�𝐴 − �̅�𝐵 mendekati Normal dengan rata-rata

𝜇�̅�𝐴−�̅�𝐵 = 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0.


31

dan variansi

𝜎�̅�𝐴−�̅�𝐵2 =

𝜎𝐴2

𝑛𝐴+𝜎𝐵

2

𝑛𝐵=1

18+1

18=1

9.

𝑃(�̅�𝐴 − �̅�𝐵 > 1) diberikan oleh

𝑃(�̅�𝐴 − �̅�𝐵 > 1) = 𝑃

(

�̅�𝐴 − �̅�𝐵 − 0

√1

9

> 3

)

= 𝑃(𝑍 > 3) = 1 − 𝑃(𝑍 < 3)

= 1 − 0.9987 = 0.0013.

Mesin dalam perhitungan di atas didasarkan pada anggapan bahwa 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵.

Percobaan sebenarnya dilakukan untuk tujuan menggambarkan kesimpulan

tentang kesetaraan 𝜇𝐴 dan 𝜇𝐵, rata-rata waktu dua populasi pengeringan cat. Jika

dua rata-rata berbeda sebanyak 1 jam (atau lebih), maka ini jelas merupakan bukti

yang digunakan untuk menyimpulkan rata-rata populasi pengeringan cat tidak

sama untuk kedua jenis cat.

Definisi 2.2.2. Distribusi non-sentral 𝑡 adalah distribusi sampling dari 𝑡 yang tidak

terdistribusi di sekitar 0, tetapi di sekitar titik lain. Titik lain inilah yang

dinamakan parameter non-sentral Δ. Parameter non-sentral Δ dapat dihitung

sebagai

Δ =𝜇1 − 𝜇

𝜎/√𝑛.

Dengan kata lain, distribusi non-sentral 𝑡 adalah distribusi sampling dari 𝑡 yang

muncul ketika 𝜇1 benar dan variansi populasi (𝜎) diasumsikan tidak diketahui.


32

C. Pendugaan Parameter

Statistika inferensial dibagi atas dua bagian utama, yaitu pengujian hipotesis

dan pendugaan parameter. Contoh berikut ini akan menjelaskan mengenai

pendugaan parameter dan subbab berikutnya menjelaskan pengujian hipotesis.

Seorang kandidat bupati ingin memperkirakan proporsi sebenarnya dari pemilih

yang akan memilihnya dengan cara mengambil 100 orang secara acak untuk

ditanyai pendapatnya. Proporsi pemilih yang menyukai kandidat tersebut dapat

digunakan sebagai dugaan bagi proporsi populasi sebenarnya. Masalah ini jatuh di

wilayah pendugaan.

Definisi 2.3.1. Suatu pendugaan titik dari beberapa parameter populasi 𝜃 adalah

nilai tunggal 𝜃 dari statistik �̂�. Nilai �̅� dari statistik �̅� yang dihitung dari sampel

berukuran 𝑛 adalah penduga titik dari parameter populasi 𝜇.

Definisi 2.3.2. Misalkan 𝜃 adalah penduga titik untuk parameter 𝜃. Jika 𝐸(𝜃) =

𝜃, maka 𝜃 adalah penduga tak bias dan jika 𝐸(𝜃) ≠ 𝜃, maka 𝜃 dikatakan bias.

Bias dari penduga titik 𝜃 diberikan oleh 𝐵(𝜃) = 𝐸(𝜃) − 𝜃.

Definisi 2.3.3. Suatu pendugaan selang dari parameter populasi θ adalah selang

dalam bentuk 𝜃𝐿< θ < 𝜃𝑈, dengan 𝜃𝐿 (batas kepercayaan bawah) dan 𝜃𝑈 (batas

kepercayaan atas) bergantung pada nilai dari statistik �̂� untuk sampel tertentu dan

distribusi sampling �̂�.

Berdasarkan metode pendugaan klasik, pendugaan parameter terbagi

menjadi dua bagian, yaitu pendugaan titik dan pendugaan selang. Contoh berikut

ini akan menjelaskan tentang pendugaan titik dan pendugaan selang. Misalnya,


33

ilmuwan ingin memperkirakan jumlah rata-rata merkuri (µ) yang dapat dipisahkan

dari 1 ons batuan cinnabar diperoleh pada lokasi geografis. Pendugaan ini dapat

dilakukan dengan dua bentuk yang berbeda. Pertama, 0.13 ons adalah penduga

yang dekat dengan rata-rata populasi (µ) yang tidak diketahui. Jenis pendugaan ini

adalah pendugaan titik karena nilainya tunggal. Kedua, rata-rata merkuri (µ) akan

jatuh antara dua angka, misalnya, antara 0.07 dan 0.19 ons. Jenis pendugaan ini

adalah pendugaan selang. Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter

populasi sehingga digunakan pendugaan dalam bentuk selang (pendugan selang).

Informasi dalam sampel dapat digunakan untuk menghitung nilai pendugaan

titik, pendugaan selang atau keduanya. Dalam kasus apapun, pendugaan yang

sebenarnya dilakukan dengan menggunakan estimator (penduga) untuk parameter

sasaran. Jadi, penduga adalah aturan yang dinyatakan sebagai rumus untuk

menghitung nilai dugaan yang didasarkan pada pengukuran sampel.

1. Selang Kepercayaan

Penduga selang biasanya disebut selang kepercayaan. Titik ujung atas dan

bawah dari selang kepercayaan masing-masing dinamakan batas atas dan bawah

kepercayaan. Probabilitas bahwa selang kepercayaan (acak) akan memuat 𝜃

(kuantitas yang tetap) disebut koefisien kepercayaan. Dari sudut pandang praktis,

koefisien kepercayaan menunjukkan proporsi, khususnya dalam pengambilan

sampel berulang, selang yang dibentuk akan memuat parameter sasaran 𝜃.

Misalkan 𝜃𝐿 dan 𝜃𝑈 adalah batas bawah dan atas kepercayaan yang dipilih

secara acak untuk parameter 𝜃. Jika

𝑃(𝜃𝐿 ≤ θ ≤ 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼,

maka probabilitas 1 − 𝛼 adalah koefisien kepercayaan. Hasil dari selang

kepercayaan yang diberikan oleh [𝜃𝐿 , 𝜃𝑈] dinamakan selang kepercayaan dua sisi.


34

Bentuk selang kepercayaan satu sisi bagian bawah diberikan oleh

𝑃(𝜃𝐿 ≤ θ) = 1 − 𝛼.

Selang kepercayaan dalam bentuk di atas adalah [𝜃𝐿 , ∞).

Selang kepercayaan satu sisi bagian atas dapat dibentuk menjadi

𝑃(𝜃 ≤ 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼.

Selang kepercayaan dalam bentuk di atas adalah (−∞, 𝜃𝑈].

Salah satu metode untuk mencari selang kepercayaan dinamakan metode

Pivot. Metode ini bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas Pivot serta

mempunyai dua karakteristik, yaitu

a. Kuantitas Pivot merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter

𝜃 yang tidak diketahui.

b. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada

parameter 𝜃.

Contoh 2.3.1. Misalkan variabel acak 𝑋 adalah observasi dari distribusi Normal

dengan rata-rata 𝜇 yang tidak diketahui dan variansi 1. Tentukan selang

kepercayaan 95% bagi 𝜇.

Penyelesaian:

Fungsi probabilitas bagi 𝜇 diberikan oleh

𝑓(𝑥) =1

𝜎√2𝜋exp [−(

1

2𝜎2) (𝑥 − 𝜇)2] , −∞ < 𝑥 < ∞

Oleh karena 𝜇 tidak diketahui dan variansi 1, maka fungsi probabilitas dari 𝑈 =

𝑋−𝜇

𝜎 adalah


35

𝑓𝑈(𝑢) =1

√2𝜋exp [−

1

2𝑢2] , −∞ < 𝑢 < ∞

Jelas bahwa 𝑈 berdistribusi Normal Standar dengan rata-rata 0 dan variansi 1.

Karena 𝑈 adalah fungsi dari 𝑋 dan 𝜇, dan distribusi dari 𝑈 tidak bergantung pada

𝜇, maka 𝑈 dapat digunakan sebagai Pivot.

Koefisien kepercayaan adalah 1 − 𝛼 = 0.95, sehingga 𝑧𝛼/2 = 𝑧0.025 = 1.96.

Selang kepercayaan 95% bagi 𝜇 dapat dicari sebagai berikut,

𝑃(−1.96 < 𝑈 < 1.96) = 0.95

𝑃 (−1.96 <𝑋 − 𝜇

𝜎< 1.96) = 0.95, 𝜎 = 1

𝑃(𝑋 − 1.96 < 𝜇 < 𝑋 + 1.96) = 0.95

Jadi, selang kepercayaan 95% bagi 𝜇 adalah 𝑋 − 1.96 < 𝜇 < 𝑋 + 1.96.

Jika ukuran sampel besar, parameter sasaran 𝜃 adalah 𝜇 atau 𝜇1 − 𝜇2 dan 𝜃

adalah penduga tak bias bagi 𝜃, maka untuk 𝑛 → ∞, Teorema Limit Pusat

menjamin bahwa 𝜃 berdistribusi Normal dengan 𝐸(𝜃) = 𝜃 dan standar error 𝜎�̂�.

Akibatnya,

𝑍 =𝜃 − 𝜃

𝜎�̂�

akan berdistribusi Normal Standar dan 𝑍 dapat digunakan sebagai Pivot. Dengan

demikian,

𝑃(−𝑧𝛼/2 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧𝛼/2) = 1 − 𝛼.

≡ 𝑃 (−𝑧𝛼/2 ≤𝜃 − 𝜃

𝜎�̂�≤ 𝑧𝛼/2) = 1 − 𝛼.


36

≡ 𝑃(−𝑧𝛼/2𝜎�̂� ≤ 𝜃 − 𝜃 ≤ 𝑧𝛼/2𝜎�̂�) = 1 − 𝛼.

≡ 𝑃(−𝜃 − 𝑧𝛼/2𝜎�̂� ≤ −𝜃 ≤ −𝜃 + 𝑧𝛼/2𝜎�̂�) = 1 − 𝛼.

≡ 𝑃(𝜃 − 𝑧𝛼/2𝜎�̂� ≤ 𝜃 ≤ 𝜃 + 𝑧𝛼/2𝜎�̂�) = 1 − 𝛼.

Titik ujung untuk selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜃 diberikan oleh

𝜃𝐿 = 𝜃 − 𝑧𝛼/2𝜎�̂� dan 𝜃𝑈 = 𝜃 + 𝑧𝛼/2𝜎�̂�,

dengan kata lain, 𝜃𝐿 dan 𝜃𝑈 adalah batas bawah dan batas atas selang kepercayaan

(1 − 𝛼)100% bagi 𝜃.

Diberikan sampel acak 𝑛 (𝑛 ≥ 30) dari suatu populasi dengan rata-rata 𝜇

yang tidak diketahui dan variansi 𝜎2. Oleh karena rata-rata populasi tidak

diketahui, maka �̅� (rata-rata sampel) adalah penduga bagi 𝜇.

Selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇 diberikan oleh

�̅� − 𝑧𝛼/2𝜎

√𝑛< 𝜇 < �̅�+𝑧𝛼/2

𝜎

√𝑛.

Statistik 𝜎/√𝑛 seringkali disebut standar error pendugaan 𝜇. Jika standar deviasi

(𝜎) tidak diketahui, maka 𝑠 (standar deviasi sampel) adalah penduga bagi 𝜎.

Contoh 2.3.2. Nilai matematika di suatu negara dikumpulkan dengan cara

mengambil sampel acak 500 sekolah. Masing-masing rata-rata sampel dan standar

deviasinya adalah 501 dan 112. Tentukan selang kepercayaan 99% pada rata-rata

nilai matematika tersebut.

Penyelesaian: Karena ukuran sampel besar, ini sangat memungkinkan untuk

menggunakan pendekatan distribusi Normal. Misalkan 𝜇 adalah rata-rata nilai

matematika di negara tersebut, sehingga �̅� adalah rata-rata sampelnya.


37

Selang kepercayaan 99% bagi rata-rata nilai matematika (𝜇) diberikan oleh

�̅� − 𝑧𝛼/2𝑠

√𝑛< 𝜇 < �̅�+𝑧𝛼/2

𝑠

√𝑛.

≡ �̅� ± 𝑧𝛼/2𝑠

√𝑛

Karena 1 − 𝛼 = 0.99, maka 𝛼 = 0.01. Dengan demikian, 𝑧𝛼/2 = 𝑧0.005 = 2.575.

Selang kepercayaan 99% bagi rata-rata nilai matematika adalah

501 ± 2.575112

√500= 501 ± 12.9,

yang mengimplikasikan 488.1 < 𝜇 < 513.9. Selang 488.1 hingga 513.9

menunjukkan dapat dipercaya 99% memuat rata-rata nilai matematika yang

sebenarnya.

Dipandang variabel acak di bawah ini

𝑇 =�̅� − 𝜇

𝑆/√𝑛,

dengan 𝑛 adalah sampel berukuran kecil (𝑛 < 30), maka menurut teorema 2.2.5,

variabel acak 𝑇 akan berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛 − 1.

Dari sifat-sifat distribusi 𝑡 yang menyerupai distribusi Normal untuk ukuran

sampel yang besar, maka penggunaan distribusi 𝑡 dalam pembentukan selang

kepercayaan bagi 𝜇 adalah

a. distribusi dari populasi mendekati Normal dengan standar deviasi dari

populasi tidak diketahui.

b. ukuran sampel kecil.


38

Variabel 𝑇 tersebut dapat digunakan sebagai Pivot untuk membentuk selang

kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi rata-rata populasi (𝜇) sebagai berikut

𝑃(−𝑡𝛼/2 ≤ 𝑇 ≤ 𝑡𝛼/2) = 1 − 𝛼.

. ≡ 𝑃 (−𝑡𝛼/2 ≤�̅�−𝜇

𝑆/√𝑛≤ 𝑡𝛼/2) = 1 − 𝛼.

≡ 𝑃 (�̅� − 𝑡𝛼/2𝑆

√𝑛≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑡𝛼/2

𝑆

√𝑛) = 1 − 𝛼.

Jadi, jika �̅� dan 𝑠 adalah rata-rata dan standar deviasi sampel acak dari populasi

berdistribusi Normal dengan variansi (𝜎2) tidak diketahui, maka selang

kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇 adalah

�̅� − 𝑡𝛼/2𝑠

√𝑛≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑡𝛼/2

𝑠

√𝑛.

atau dapat ditulis menjadi

�̅� ± 𝑡𝛼/2𝑠

√𝑛,

dengan 𝑡𝛼/2 adalah nilai 𝑡 yang memiliki derajat bebas 𝑣 = 𝑛 − 1 (𝑛 < 30).

Dengan demikian, �̅� − 𝑡𝛼(𝑠/√𝑛) adalah batas bawah kepercayaan (1 − 𝛼)100%

bagi 𝜇 dan �̅� + 𝑡𝛼(𝑠/√𝑛) adalah batas atas kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇.

Contoh 2.3.3. Sebuah pabrik mesiu telah mengembangkan bubuk baru, yang diuji

di delapan komponen. Hasil pengujian kecepatan meriam (dalam satuan ft/detik)

diberikan sebagai berikut:

3005 2925 2935 2965

2995 3005 2937 2905

Tentukan selang kepercayaan 95% untuk kecepatan rata-rata sebenarnya (𝜇) dari

komponen tersebut. Asumsikan kecepatan meriam mendekati distribusi Normal.


39

Penyelesaian: Misalkan kecepatan meriam 𝑋𝑖 berdistribusi mendekati Normal.

Selang kepercayaan 99% bagi kecepatan rata-rata meriam (𝜇) diberikan oleh

�̅� ± 𝑡𝛼/2𝑠

√𝑛.

Karena 1 − 𝛼 = 0.95, maka 𝛼 = 0.05. Dengan demikian, 𝑡𝛼/2 = 𝑡0.025 = 2.365,

untuk derajat bebas (𝑣) 7.

Dari perhitungan, diperoleh

�̅� =∑ 𝑋𝑖8𝑖=1

𝑛= 2959, 𝑠 = √∑ (𝑋𝑖−�̅�)

8𝑖=1

2

𝑛−1= 39.1 dan 𝑣 = 𝑛 − 1 = 7.

Jadi, selang kepercayaan 95% bagi rata-rata kecepatan meriam adalah

2959 ± 2.36539.1

√8 atau 2959 ± 32.7,

yang mengimplikasikan 2926.3 < 𝜇 < 2991.7. Selang 2926.3 hingga 2991.7

menunjukkan dapat dipercaya 95% memuat rata-rata kecepatan meriam yang

sebenarnya.

2. Selang Kepercayaan bagi Perbedaan Rata-rata Populasi

Diketahui dua populasi dengan rata-rata 𝜇1, 𝜇2 dan variansi 𝜎12, 𝜎2

2. Penduga

titik pada perbedaan antara 𝜇1 dan 𝜇2 diberikan oleh statistik �̅�1 − �̅�2. Untuk

mendapatkan penduga titik dari 𝜇1 − 𝜇2, maka dua sampel yang saling bebas

berukuran 𝑛1 dan 𝑛2 dipilih secara acak dari populasi dan perbedaan rata-rata

�̅�1 − �̅�2 dihitung. Berdasarkan teorema 2.2.6, distribusi sampling dari �̅�1 − �̅�2

akan mendekati distribusi Normal Standar dengan rata-rata 𝜇�̅�1−�̅�2 = 𝜇1 − 𝜇2 dan

standar deviasi 𝜎�̅�1−�̅�22 = √(𝜎12/𝑛1) + (𝜎22/𝑛2).

Akibatnya, variabel Normal Standar


40

𝑍 =(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)

√(𝜎12/𝑛1) + (𝜎22/𝑛2)

akan jatuh antara −𝑧𝛼/2 dan 𝑧𝛼/2, serta 𝑍 dapat digunakan sebagai Pivot.

Jika �̅�1 dan �̅�2 adalah rata-rata sampel independen berukuran 𝑛1, 𝑛2 yang

dipilih secara acak dari populasi dengan variansi 𝜎12, 𝜎2

2 diketahui, maka

pembentukan selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% untuk 𝜇1 − 𝜇2 dengan 𝑍 sebagai

Pivot adalah

𝑃(−𝑧𝛼/2 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧𝛼/2) = 1 − 𝛼

≡ 𝑃 (−𝑧𝛼/2 ≤(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)

√(𝜎12/𝑛1) + (𝜎22/𝑛2)≤ 𝑧𝛼/2) = 1 − 𝛼.

Jadi, selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% untuk 𝜇1 − 𝜇2 adalah

(�̅�1 − �̅�2) − 𝑧𝛼/2√𝜎12

𝑛1+𝜎22

𝑛2≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (�̅�1 − �̅�2) + 𝑧𝛼/2√

𝜎12

𝑛1+𝜎22

𝑛2,

dengan 𝑧𝛼/2 adalah nilai 𝑧 di sebelah kanan daerah 𝛼/2.

Contoh 2.3.4. Sebuah penelitian dilakukan untuk membandingkan dua jenis

mesin A dan B. Angka konsumsi bensin diukur dalam mil per galon. Lima puluh

percobaan dilakukan menggunakan mesin jenis A dan 75 percobaan dilakukan

dengan mesin jenis B. Bensin yang digunakan dan kondisi lainnya tetap konstan.

Angka rata-rata konsumsi bensin untuk mesin jenis A adalah 36 mil per galon dan

42 mil per galon untuk mesin jenis B. Tentukan selang kepercayaan 96% untuk

𝜇𝐵 − 𝜇𝐴, dengan 𝜇𝐴 dan 𝜇𝐵 adalah angka rata-rata populasi bensin yang

dikonsumsi untuk mesin jenis A dan B. Asumsikan standar deviasi populasi untuk

mesin jenis A dan B adalah 6 dan 8.


41

Penyelesaian: Misalkan 𝜇𝐴 dan 𝜇𝐵 adalah angka rata-rata populasi bensin yang

dikonsumsi untuk mesin jenis A dan B, sehingga 𝜇𝐵 − 𝜇𝐴 adalah perbedaan rata-

rata konsumsi bensin untuk mesin jenis B dengan mesin jenis A.

Penduga titik dari 𝜇𝐵 − 𝜇𝐴 adalah

�̅�𝐵 − �̅�𝐴 = 42 − 36 = 6.

Karena 1 − 𝛼 = 0.96, maka 𝛼 = 0.04. Dengan demikian, 𝑧𝛼/2 = 𝑧0.02 = 2.05.

Jadi, selang kepercayaan 96% untuk 𝜇𝐵 − 𝜇𝐴 adalah

6 − 2.05√64

75+36

50≤ 𝜇𝐵 − 𝜇𝐴 ≤ 6 + 2.05√

64

75+36

50,

atau dapat ditulis sebagai 3.43 ≤ 𝜇𝐵 − 𝜇𝐴 ≤ 8.57. Selang 3.43 hingga 8.57

menunjukkan dapat dipercaya 96% memuat perbedaan rata-rata konsumsi bensin

untuk mesin jenis B dan A yang sebenarnya.

Jika variansi tidak diketahui dan dua distribusi di dalamnya dianggap

mendekati Normal, maka distribusi 𝑡 akan berperan penting bagi selang

kepercayaan pada perbedaan dua rata-rata. Hal tersebut juga berlaku bagi sampel

tunggal. Jika salah satu dari distribusinya dianggap tidak mendekati Normal dan

sampelnya berukuran besar, maka standar deviasi sampel 𝑠1 dan 𝑠2 akan

menggantikan standar deviasi populasi 𝜎1 dan 𝜎2. Dengan kata lain, 𝑠1 ≈ 𝜎1 dan

𝑠2 ≈ 𝜎2.

Akan dicari penduga selang bagi 𝜇1 − 𝜇2 dengan variansi populasi 𝜎12, 𝜎2

2

tidak diketahui dan 𝜎12 = 𝜎2

2 = 𝜎2 sebagai berikut,

Dibentuk variabel acak yang berdistribusi Normal Standar, yaitu

𝑍 =(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)

√𝜎2[(1/𝑛1) + (1/𝑛2)]


42

Dibentuk pula variabel acak lainnya yang berdistribusi Chi-Square dengan derajat

bebas 𝑛1 − 1 dan 𝑛2 − 1, yaitu

(𝑛1−1)𝑆2

𝜎2 dan

(𝑛2−1)𝑆2

𝜎2.

Karena sampel acaknya dipilih secara independen, maka variabel Chi-Squarenya

juga independen. Akibatnya,

𝑊 =(𝑛1 − 1)𝑆

2

𝜎2+(𝑛2 − 1)𝑆

2

𝜎2=(𝑛1 − 1)𝑆

2 + (𝑛2 − 1)𝑆2

𝜎2

berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2.

Karena 𝑍 dan 𝑊 adalah variabel yang saling independen, maka menurut

definisi 2.2.1, statistik

𝑇 =(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)

√𝜎2[(1/𝑛1) + (1/𝑛2)]/√(𝑛1 − 1)𝑆2 + (𝑛2 − 1)𝑆2

𝜎2(𝑛1 + 𝑛2 − 2).

berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2.

Penduga titik dari variansi 𝜎2 yang tidak diketahui dapat diperoleh dengan

menggabungkan variansi sampel, dinotasikan dengan penduga gabungan (pooled

estimator), yaitu

𝑆𝑝2 =

(𝑛1 − 1)𝑆12 + (𝑛2 − 1)𝑆2

2

𝑛1 + 𝑛2 − 2. (2.2)

Substitusikan 𝑆𝑝2 ke dalam statistik 𝑇,

𝑇 =(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)

𝑆𝑝√(1/𝑛1) + (1/𝑛2).

Dengan demikian, statistik 𝑇 tersebut dapat digunakan sebagai Pivot untuk

membentuk selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇1 − 𝜇2.


43

Jika �̅�1 dan �̅�2 adalah rata-rata sampel independen berukuran 𝑛1, 𝑛2 yang

dipilih secara acak dari populasi dengan variansi yang tidak diketahui, tetapi

𝜎12 = 𝜎2

2, maka pembentukan selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇1 − 𝜇2

dengan 𝑇 sebagai Pivot adalah

𝑃(−𝑡𝛼/2 ≤ 𝑇 ≤ 𝑡𝛼/2) = 1 − 𝛼

≡ 𝑃 (−𝑡𝛼/2 ≤(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)

𝑆𝑝√(1/𝑛1) + (1/𝑛2)≤ 𝑡𝛼/2) = 1 − 𝛼.

Selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% untuk 𝜇1 − 𝜇2 adalah

(�̅�1 − �̅�2) − 𝑡𝛼/2𝑆𝑝√1

𝑛1+1

𝑛2≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (�̅�1 − �̅�2) + 𝑡𝛼/2𝑆𝑝√

1

𝑛1+1

𝑛2, (2.3)

dengan 𝑆𝑝 adalah penduga gabungan dari standar deviasi populasi dan 𝑡𝛼/2 adalah

nilai 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2, di sebelah kanan daerah 𝛼/2.

Contoh 2.3.5. Untuk mencapai efisiensi maksimum dalam melakukan operasi

perakitan di pabrik, karyawan baru membutuhkan periode pelatihan sekitar 1

bulan. Metode baru pelatihan disarankan dan tes dilakukan untuk membandingkan

metode baru dengan prosedur standar. Dua kelompok dari sembilan karyawan

dilatih selama 3 minggu, satu kelompok menggunakan metode baru dan lainnya

mengikuti prosedur pelatihan standar. Lamanya waktu untuk merakit perangkat

tercatat pada akhir periode. Pengukuran yang dihasilkan seperti ditunjukkan oleh

tabel 2.1. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi perbedaan rata-rata metode

standar dengan metode baru. Asumsikan waktu perakitan mendekati Normal,

variansi kedua metode sama dan kedua sampel independen.


44

Tabel 2.1 Pengukuran Lamanya Waktu Perakitan Perangkat

Prosedur Pengukuran

Standar 32 37 35 28 41 44 35 31 34

Baru 35 31 29 25 34 40 27 32 31

Penyelesaian: Misalkan 𝜇1 adalah rata-rata waktu yang dibutuhkan karyawan

untuk merakit perangkat dengan metode pelatihan standar dan 𝜇2 adalah rata-rata

waktu yang dibutuhkan karyawan untuk merakit perangkat dengan metode

pelatihan baru. Penduga titik dari �̅�1 − �̅�2 adalah 3.66.

Perhitungan:

�̅�1 =∑ 𝑋𝑖9𝑖=1

𝑛= 35.22, �̅�2 =

∑ 𝑋𝑖9𝑖=1

𝑛= 31.56,

𝑠12 =

∑ (𝑋𝑖−�̅�)9𝑖=1

2

𝑛1−1=

195.56

8= 24.445, 𝑠2

2 =∑ (𝑋𝑖−�̅�)9𝑖=1

2

𝑛2−1=

160.22

8= 20.027.

𝑠𝑝2 =

(𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠2

2

𝑛1 + 𝑛2 − 2=8(24.445) + 8(20.027)

9 + 9 − 2= 22.236.

𝑠𝑝 = √𝑠𝑝2 = 4.716.

Karena 1 − 𝛼 = 0.95, maka 𝛼 = 0.05. Dengan demikian, 𝑡𝛼/2 = 𝑡0.025 = 2.12.

Jadi, selang kepercayaan 95% untuk 𝜇1 − 𝜇2 adalah

3.66 − (2.12)(4.716)√1

9+1

9≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 3.66 + (2.12)(4.716)√

1

9+1

9,

atau dapat ditulis sebagai −1.05 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 8.37. Jika selang 𝜇1 − 𝜇2 memuat

nilai positif, 𝜇1 > 𝜇2, maka prosedur pelatihan standar diharapkan mempunyai

waktu yang baik daripada metode baru. Jika selang 𝜇1 − 𝜇2 memuat nilai negatif,

maka keadaan sebaliknya berlaku. Namun, karena selang kepercayaan memuat


45

nilai negatif dan positif, maka kedua metode pelatihan tidak dapat dikatakan

memiliki waktu yang berbeda dengan yang lain.

Misalkan dicari penduga selang bagi 𝜇1 − 𝜇2 dengan populasi variansi yang

tidak diketahui serta keduanya tidak sama. Statistik yang akan digunakan sebagai

Pivot dalam pembentukan selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇1 − 𝜇2 adalah

𝑇′ =(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)

√(𝑆12

𝑛1) + (

𝑆22

𝑛2)

,

yang berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣,

𝑣 =(𝑆12

𝑛1+𝑆22

𝑛2)2

[(𝑆12

𝑛1)2

/(𝑛1 − 1)] + [(𝑆22

𝑛2)2

/(𝑛2 − 1)]

.

Karena 𝑣 sangat jarang merupakan bilangan bulat, maka pembulatan bawah ke

bilangan terdekat sangat diperlukan. Pendugaan derajat bebas tersebut dinamakan

pendekatan Satterthwaite.

Jika �̅�1, �̅�2, 𝑠12, 𝑠2

2 berturut-turut adalah rata-rata sampel dan variansi

sampel independen berukuran 𝑛1, 𝑛2 yang dipilih secara acak dari populasi

dengan variansi yang tidak diketahui dan 𝜎12 ≠ 𝜎2

2, maka pembentukan selang

kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇1 − 𝜇2 dengan 𝑇′ sebagai Pivot adalah

𝑃(−𝑡𝛼/2 ≤ 𝑇′ ≤ 𝑡𝛼/2) ≈ 1 − 𝛼

≡ 𝑃

(

−𝑡𝛼/2 ≤(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)

√(𝑆12

𝑛1) + (

𝑆22

𝑛2)

≤ 𝑡𝛼/2

)

≈ 1 − 𝛼.


46

Jadi, selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% untuk 𝜇1 − 𝜇2 adalah

(�̅�1 − �̅�2) − 𝑡𝛼/2√𝑠12

𝑛1+𝑠22

𝑛2≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (�̅�1 − �̅�2) + 𝑡𝛼/2√

𝑠12

𝑛1+𝑠22

𝑛2,

dengan 𝑡𝛼/2adalah nilai 𝑡 berderajat bebas 𝑣,

𝑣 =(𝑠12

𝑛1+𝑠22

𝑛2)2

[(𝑠12

𝑛1)2

/(𝑛1 − 1)] + [(𝑠22

𝑛1)2

/(𝑛2 − 1)]

.

Bentuk umum selang kepercayaan untuk 𝜇1 − 𝜇2 maupun rata-rata satu

populasi 𝜇 adalah

penduga titik ± 𝑡𝛼/2 s. e.̂ (penduga titik)

atau

penduga titik ± 𝑧𝛼/2 s.e.(penduga titik),

dengan s.e adalah standar error dari penduga titik.

Sebagai contoh, pada kasus di mana 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎, standar error dari �̅�1 − �̅�2

diduga oleh 𝑠𝑝√(1/𝑛1) + (1/𝑛2). Untuk kasus di mana 𝜎12 ≠ 𝜎2

2, standar

errornya adalah

s. e.̂ (�̅�1 − �̅�2) = √𝑠12

𝑛1+𝑠22

𝑛2.

Contoh 2.3.6. Sebuah penelitian dilakukan oleh Departemen Zoologi di Virginia

untuk memperkirakan perbedaan dalam jumlah senyawa kimia ortho-fosfor yang

diukur pada dua stasiun berbeda di Sungai James. Ortho-fosfor diukur dalam

miligram/liter. Lima belas sampel dikumpulkan dari stasiun 1 dan 12 sampel dari

stasiun 2. Lima belas sampel dari stasiun 1 mempunyai rata-rata kandungan ortho-


47

fosfor sebesar 3.84 miligram/liter dan standar deviasi 3.07 miligram/liter. Dua

belas sampel dari stasiun 2 mempunyai rata-rata kandungan ortho-fosfor sebesar

1.49 miligram/liter dan standar deviasi 0.8 miligram/liter. Tentukan selang

kepercayaan 95% untuk perbedaan rata-rata kandungan ortho-fosfor sebenarnya

pada dua jenis stasiun, dengan asumsi kedua populasi berdistribusi Normal

dengan variansi berbeda.

Penyelesaian: Misalkan 𝜇1 adalah rata-rata kandungan ortho-fosfor di stasiun 1

dan 𝜇2 adalah rata-rata kandungan ortho-fosfor di stasiun 2, sehingga 𝜇1 − 𝜇2

adalah perbedaan rata-rata kandungan ortho-fosfor pada dua jenis stasiun. Rata-

rata sampel, standar deviasi sampel dan ukurannya diberikan sebagai berikut,

untuk stasiun 1, �̅�1 = 3.84, 𝑠1 = 3.07 dan 𝑛1 = 15,

untuk stasiun 2, �̅�2 = 1.49, 𝑠2 = 0.8 dan 𝑛2 = 12.

Karena populasi variansi diasumsikan berbeda, maka selang kepercayaan 95%

bagi 𝜇1 − 𝜇2 didasarkan pada distribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣,

𝑣 =(3.072

15+0.82

12)2

[(3.072

15)2

/(14)] + [(0.82

12)2

/11]= 16.3 ≈ 16.

Penduga titik dari 𝜇1 − 𝜇2 adalah

�̅�1 − �̅�2 = 3.84 − 1.49 = 2.35.



Selang kepercayaan 95% untuk 𝜇1 − 𝜇2 adalah

2.35 − 2.12√3.072

15+0.82

12≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 2.35 + 2.12√

3.072

15+0.82

12,


48

atau dapat ditulis sebagai 0.6 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 4.1.

Jadi, selang kepercayaan dari 0.6 hingga 4.1 dapat dipercaya 95% memuat

perbedaan rata-rata kandungan ortho-fosfor untuk dua stasiun.

3. Observasi Berpasangan

Ada kondisi percobaan yang sangat istimewa, yaitu pendugaan untuk

perbedaan dua rata-rata ketika sampel tidak independen dan variansi dari dua

populasi belum tentu sama. Situasi seperti ini dinamakan observasi berpasangan.

Tak hanya situasi seperti itu, kondisi kedua populasi tidak ditentukan secara acak

untuk satuan percobaan. Setiap unit percobaan yang sama/homogen menerima

kedua kondisi populasi, sebagai hasilnya, setiap unit percobaan memiliki sepasang

pengamatan, satu untuk setiap populasi. Misalnya, jika dilakukan pengujian pada

percobaan diet menggunakan 15 individu, bobot sebelum dan setelah terjadi diet

akan membentuk informasi bagi kedua sampel. Kedua populasinya adalah

“sebelum” dan “sesudah” diet, sedangkan unit percobaan adalah individu. Untuk

menentukan apakah diet efektif, perlu ditentukan perbedaan 𝑑1, 𝑑2, … , 𝑑𝑛 pada

observasi berpasangan. Perbedaan tersebut adalah nilai sampel acak 𝐷1, 𝐷2, … , 𝐷𝑛

dari populasi yang diasumsikan berdistribusi Normal dengan variansi 𝜎𝐷2 dan

rata-rata 𝜇𝐷 = 𝜇1 − 𝜇2. Penduga dari variansi 𝜎𝐷2 adalah variansi dari perbedaan

sampel, 𝑆𝑑2. Penduga titik bagi 𝜇𝐷 adalah �̅�.

Observasi berpasangan dalam percobaan adalah strategi yang dapat

digunakan di berbagai bidang aplikasi. Salah satu hal yang berhubungan dengan

observasi berpasangan adalah pengujian hipotesis yang akan dibahas pada subbab

selanjutnya. Pemilihan unit percobaan yang relatif homogen akan memungkinkan

setiap unit mengurangi error variansi pada kedua populasi.

Perbedaan pasangan ke-i diberikan oleh

𝐷𝑖 = 𝑋1𝑖 − 𝑋2𝑖.


49

Karena kedua observasi diambil dari unit percobaan sampel yang tidak

independen, maka

Var(𝐷𝑖) = Var(𝑋1𝑖 − 𝑋2𝑖) = 𝜎21 + 𝜎22 − 2Cov(𝑋1𝑖, 𝑋2𝑖),

dengan Cov(𝑋1𝑖, 𝑋2𝑖) adalah kovarian perbedaan dua observasi/ukuran hubungan

dua observasi yang berbeda. Secara intuitif, 𝜎𝐷2 harus dikurangi karena kesalahan

yang sama dalam dua observasi. Pada pembentukan selang kepercayaan, nantinya

akan bergantung pada standar error �̅�, yaitu 𝜎𝐷/√𝑛, dengan 𝑛 adalah jumlah

pasangan.

Jika �̅� dan 𝑠𝑑 adalah rata-rata dan standar deviasi sampel pasangan acak 𝑛

yang perbedaan populasinya berdistribusi Normal. Pembentukan selang

kepercayaan 100(1 − 𝛼)% bagi 𝜇𝐷 = 𝜇1 − 𝜇2 dengan

𝑇 =�̅� − 𝜇𝐷

𝑆𝑑/√𝑛

sebagai Pivot adalah

𝑃(−𝑡𝛼/2 < 𝑇 < 𝑡𝛼/2) = 1 − 𝛼,

𝑃 (−𝑡𝛼/2 <�̅� − 𝜇𝐷

𝑆𝑑/√𝑛< 𝑡𝛼/2) = 1 − 𝛼.

Dengan demikian, selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% bagi 𝜇𝐷 = 𝜇1 − 𝜇2 adalah

�̅� − 𝑡𝛼/2𝑠𝑑

√𝑛< 𝜇𝐷 < �̅� + 𝑡𝛼/2

𝑠𝑑

√𝑛,

dengan 𝑡𝛼/2 adalah nilai 𝑡 berderajat bebas 𝑣 = 𝑛 − 1, di sebelah kanan 𝛼/2.

Contoh 2.3.7. Suatu penelitian dilakukan di Chemosphere untuk melaporkan

tingkat TCDD dioxin dari 20 veteran Vietnam yang mungkin terpapar Agen

Oranye. Tingkat TCDD dalam plasma dan jaringan lemak diberikan pada tabel


50

2.2. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 𝜇1 − 𝜇2, dengan 𝜇1, 𝜇2 adalah rata-

rata tingkat TCDD dalam plasma dan jaringan lemak. Asumsikan distribusi dari

perbedaan mendekati Normal.

Tabel 2.2 Data Tingkat TCDD dalam Plasma dan Jaringan Lemak.

Veteran TCDD TCDD

d(i) (plasma) (jar.lemak)

1 2.5 4.9 -2.4

2 3.1 5.9 -2.8

3 2.1 4.4 -2.3

4 3.5 6.9 -3.4

5 3.1 7.0 -3.9

6 1.8 4.2 -2.4

7 6.0 10.0 -4.0

8 3.0 5.5 -2.5

9 36.0 41.0 -5.0

10 4.7 4.4 0.3

11 6.9 7.0 -0.1

12 3.3 2.9 0.4

13 4.6 4.6 0.0

14 1.6 1.4 0.2

15 7.2 7.7 -0.5

16 1.8 1.1 0.7

17 20.0 11.0 9.0

18 2.0 2.5 -0.5

19 2.5 2.3 0.2

20 4.1 2.5 1.6


51

Penyelesaian: Misalkan 𝜇1 adalah rata-rata tingkat TCDD dalam plasma dan 𝜇2

adalah rata-rata tingkat TCDD dalam jaringan lemak. Karena observasi

berpasangan, maka 𝜇1 − 𝜇2 = 𝜇𝐷. Penduga titik bagi 𝜇𝐷 adalah �̅� = −0.87.

Standar deviasi dari perbedaan sampel adalah

𝑠𝑑 = √1

𝑛 − 1∑(𝑑𝑖 − �̅�)

2𝑛

𝑖=1

= √168.4220

19= 2.9773.



Selang kepercayaan 95% untuk 𝜇𝐷 adalah

−0.87 − (2.093) (2.9773

√20) < 𝜇𝐷 < −0.87 − (2.093) (

2.9773

√20),

atau dapat ditulis sebagai −2.2634 < 𝜇𝐷 < 0.5234. Kesimpulannya adalah tidak

ada perbedaan antara tingkat rata-rata TCDD dalam plasma dan tingkat TCDD

dalam jaringan lemak.

D. Hipotesis Statistik

Pada subbab ini akan dibahas konsep umum hipotesis statistik, pengujian

hipotesis statistik dan nilai 𝑃 sebagai pembuat keputusan dalam pengujian

hipotesis.

1. Konsep Umum Hipotesis Statistik

Seringkali masalah yang dialami oleh ilmuwan atau insinyur berpusat pada

pembentukan prosedur keputusan berbasis data. Rangkaian prosedur keputusan

tersebut dapat menghasilkan kesimpulan tentang sistem ilmiah. Misalnya, seorang


52

peneliti medis dapat memutuskan atas dasar bukti eksperimental apakah minum

temulawak meningkatkan kadar kolestrol jahat pada darah, seorang insinyur dapat

memutuskan atas dasar data sampel apakah ada perbedaan antara kestabilan dua

jenis gearbox pada motor balap. Pada masing-masing kasus, ilmuwan atau

insinyur membuat pendugaan tentang sistem yang diteliti. Selain itu, ilmuwan

atau insinyur harus menggunakan data eksperimental dan membuat keputusan

berdasarkan data. Oleh karena dugaan yang telah dirumuskan mengarahkan

kepada suatu keputusan, maka dugaan tersebut dapat dimasukkan ke dalam

hipotesis statistik.

Definisi 2.4.1. Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan yang berkaitan

dengan satu atau lebih parameter populasi

Kebenaran atau kesalahan dari hipotesis statistik tidak pernah diketahui

dengan pasti, kecuali keseluruhan populasi diperiksa. Hal ini tentunya akan tidak

efisien dalam kebanyakan situasi. Oleh karena itu, ambil sampel acak dari

populasi dan gunakan data yang terdapat dalam sampel untuk dapat memberikan

bukti mendukung atau tidak mendukung hipotesis. Bukti dari sampel yang tidak

konsisten dengan hipotesis menyatakan penolakan hipotesis. Ketidakpastian

penarikan keputusan hipotesis statistik (benar atau salah) dapat menimbulkan

risiko. Besar kecilnya risiko dapat dinyatakan dalam bentuk probabilitas.

Pernyataan resmi dari hipotesis sering dipengaruhi oleh struktur

kemungkinan dari kesimpulan yang salah. Jika peneliti medis ingin menunjukkan

bukti kuat yang mendukung anggapan bahwa minum temulawak dapat

meningkatkan kadar kolestrol jahat dalam darah, maka hipotesis diuji harus dalam

bentuk “tidak ada peningkatan kadar kolestrol jahat yang dihasilkan oleh minum

temulawak”. Akibatnya, anggapan tersebut tercapai melalui penolakan. Demikian

pula, untuk mendukung klaim tentang satu jenis gear box lebih stabil daripada


53

yang lain, insinyur menguji hipotesis bahwa tidak ada perbedaan dalam kestabilan

dari dua jenis gear box motor balap. Hal tersebut menunjukkan bahwa ketika

peneliti atau insinyur mengolah data dan meresmikan bukti eksperimental atas

dasar pengujian hipotesis, pernyataan resmi dari hipotesis sangatlah penting.

Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif

Struktur pengujan hipotesis akan dirumuskan dengan penggunaan istilah

hipotesis nol dan hipotesis alternatif. Hipotesis nol mengacu pada hipotesis yang

ingin diuji dan dinotasikan oleh 𝐻0. Penolakan hipotesis nol mengarah pada

penerimaan hipotesis alternatif, dilambangkan dengan 𝐻1. Hipotesis alternatif

biasanya mewakili pertanyaan yang harus dijawab atau teori yang akan diuji.

Hipotesis nol menentang hipotesis alternatif dan seringkali hipotesis nol dianggap

komplemen logis untuk hipotesis alternatif.

Salah satu dari dua kesimpulan yang dapat diperoleh pada pengujian

hipotesis statistik, di antaranya:

a. Menolak 𝐻0, yang berarti bahwa mendukung 𝐻1 karena adanya bukti yang

cukup dalam data.

b. Gagal untuk menolak 𝐻0 karena tidak cukup bukti dalam data.

Penggunaan istilah “menerima 𝐻0” tidak dilibatkan dalam salah satu dari dua

kesimpulan di atas. Pernyataan tentang 𝐻0 sering bertentangan dengan ide baru,

dugaan dan begitu juga 𝐻1. Oleh karena itu, kegagalan untuk menolak 𝐻0

mewakili kesimpulan yang tepat.

Contoh 2.4.1. Suatu food processor ingin memeriksa apakah jumlah rata-rata

kopi yang masuk ke dalam tabung 4 onsnya adalah memang benar 4 ons. Food

processor tersebut tidak boleh menempatkan kurang dari 4 ons ke setiap tabung

dan juga tidak boleh menempatkan lebih dari 4 ons ke setiap tabung. Hal ini


54

terjadi untuk mencegah kehilangan pelanggan dan keuntungannya. Oleh karena

itu, hipotesis alternatifnya adalah

𝐻1: 𝜇 ≠ 4.

Hipotesis nol adalah

𝐻0: 𝜇 = 4.

Meskipun aplikasi pengujian hipotesis telah banyak diterapkan di bidang

ilmiah dan pekerjaan rekayasa, ilustrasi yang lebih baik untuk memahami

hipotesis terletak pada keadaan pengadilan.

Contoh 2.4.2. Hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya berupa:

𝐻0: terdakwa tidak bersalah,

𝐻1: terdakwa bersalah.

Pada kasus di atas, hipotesis nol (𝐻0) berada dalam oposisi terhadap hipotesis

alternatif (𝐻1) dan hipotesis nol dipertahankan (diasumsikan benar), kecuali 𝐻1

didukung oleh bukti “tanpa keraguan”. Namun, kegagalan hakim untuk menolak

𝐻0 bukan berarti bahwa terdakwa tidak bersalah. Melainkan, kegagalan hakim

untuk menolak 𝐻0 menyatakan bahwa bukti itu tidak cukup untuk menghukum

terdakwa. Jadi, hakim tidak selalu menerima 𝐻0 tetapi gagal untuk menolak 𝐻0.

Oleh karena itu, penggunaan istilah “menerima 𝐻0” memiliki makna yang kurang

tepat.


55

2. Pengujian Hipotesis Statistik

Pengujian hipotesis statistik menghasilkan suatu keputusan apakah hipotesis

nol ditolak ataupun tidak ditolak. Ada dua hal yang terkait dengan keputusan

pengujian hipotesis, yaitu statistik uji dan daerah penolakan hipotesis nol. Statistik

uji adalah fungsi pengukuran sampel yang mendasari keputusan statistik. Statistik

uji merupakan fungsi dari data dan 𝜃0. Statistik uji dipilih untuk membedakan 𝐻0

dan 𝐻1. Umumnya, statistik uji memuat penduga dari 𝜃. Statistik uji yang dikenal

antara lain 𝑍, 𝑇, 𝜒2. Dalam menentukan statistik uji perlu dilakukan pemenuhan

asumsi di antaranya, populasi berdistribusi Normal atau tidak, serta variansi

diketahui.

Untuk membuat keputusan bahwa hipotesis nol ditolak, maka harus

ditentukan terlebih dahulu daerah penolakan hipotesis nol. Daerah penolakan

hipotesis nol dinamakan daerah kritis. Nomor terakhir yang diamati melewati

daerah kritis disebut nilai kritis. Sedangkan untuk membuat keputusan bahwa

bukti yang ada mendukung hipotesis nol, maka harus ditentukan daerah kegagalan

penolakan hipotesis nol. Nilai kritis membagi daerah penolakan hipotesis nol

dengan daerah kegagalan penolakan hipotesis nol.

Suatu ilustrasi akan dijelaskan untuk menggambarkan konsep yang

digunakan dalam pengujian hipotesis statistik tentang parameter populasi, sebagai

berikut:

Contoh 2.4.3. Suatu sekolah ingin memeriksa apakah rata-rata nilai siswa kelas 9

adalah 74. Misalkan standar deviasi populasi nilai siswa adalah 𝜎 = 4.9 dan

sampel random berukuran 𝑛 = 49 akan menjadi �̅�, penduga paling baik bagi 𝜇.

Hipotesis nol diuji dengan pernyataan “tidak ada perbedaan rata-rata nilai siswa

kelas 9”. Hipotesis alternatifnya adalah “ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas

9”. Oleh karena �̅� adalah penduga paling baik bagi 𝜇, maka pengujian ini dapat


56

dimodelkan menggunakan pendekatan distribusi Normal dengan standar deviasi

𝜎�̅� =𝜎

√𝑛=

4.9

√49= 0.7.

Pengujian hipotesisnya adalah sebagai berikut

𝐻0: 𝜇 = 74,

𝐻1: 𝜇 ≠ 74.

Hipotesis alternatif memiliki dua kemungkinan nilai yaitu, 𝜇 < 74 atau 𝜇 > 74.

Rata-rata sampel yang jatuh mendekati konstanta yang dihipotesiskan yaitu,

74, akan mempunyai bukti yang cukup untuk mendukung 𝐻0. Di sisi lain, rata-

rata sampel yang kurang atau lebih dari 74 akan menjadi bukti yang tidak

konsisten dengan 𝐻0 dan mendukung 𝐻1. Rata-rata sampel adalah statistik uji

pada kasus ini. Daerah kritis untuk statistik uji ini adalah �̅� < 73 dan �̅� > 75.

Daerah kegagalan untuk menolak 𝐻0 adalah 73 ≤ �̅� ≤ 75. Jadi, jika �̅� < 73 dan

�̅� > 75, maka 𝐻0 ditolak dan jika 73 ≤ �̅� ≤ 75, maka gagal untuk menolak 𝐻0.

Kriteria keputusan dapat dilihat pada gambar 2.1.

73 74 75 �̅�

Gambar 2.1 Kriteria Keputusan untuk Menguji 𝜇 = 74 Versus 𝜇 ≠ 74.

a. Peluang Kesalahan Uji Hipotesis

Proses penarikan keputusan dapat menyebabkan salah satu dari dua

kesimpulan yang salah. Misalnya, pada contoh 2.4.3 tidak ada perbedaan rata-rata

nilai siswa kelas 9 (𝐻0 benar). Namun, kesimpulan yang diperoleh adalah ada

perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9. Kesimpulan tersebut jelas adalah suatu

Menolak 𝐻0

(𝜇 ≠ 74)

Tidak menolak 𝐻0

(𝜇 = 74)

Menolak 𝐻0

(𝜇 ≠ 74)


57

kesalahan (menolak 𝐻0 dan mendukung 𝐻1), pada kenyataannya 𝐻0 benar.

Kesalahan tersebut dinamakan kesalahan tipe I.

Definisi 2.4.2. Penolakan terhadap hipotesis nol (𝐻0) ketika hipotesis yang diuji

ternyata benar dinamakan kesalahan tipe I. Probabilitas untuk melakukan

kesalahan tipe ini dinamakan tingkat signifikansi (𝛼) ataupun

𝛼 = 𝑃(kesalahan tipe I) = 𝑃 (𝐻0 ditolak | 𝐻0 benar ).

Contoh 2.4.4. Pada contoh 2.4.3 sebelumnya, kesalahan tipe I akan terjadi ketika

rata-rata nilai siswa kelas 9 kurang dari 73 atau lebih besar dari 75. Kemudian,

peneliti menyimpulkan bahwa ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9, padahal

sebenarnya ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9. Peluang dalam melakukan

kesalahan tipe I adalah

𝛼 = 𝑃(�̅� < 73 | 𝜇 = 74 ) + 𝑃(�̅� > 75 | 𝜇 = 74)

= 𝑃(𝑍 <73−74

4.9/√49| 𝜇 = 74 ) + 𝑃(𝑍 >

75−74

4.9/√49| 𝜇 = 74 )

= 𝑃(𝑍 < −1.428) + 𝑃(𝑍 > 1.428)

= 2𝑃(𝑍 < −1.428) = 2 ∗ 0.0764 = 0.1528.

Jadi, semua sampel berukuran 49 akan menghasilkan keputusan penolakan 𝜇 =

74 pada tingkat signifikansi 15.28%, ketika sebenarnya hipotesis nol benar.

Untuk mengurangi 𝛼 dapat dilakukan dengan meningkatkan ukuran sampel

ataupun dengan cara melebarkan daerah kesalahan penolakan hipotesis.

Pengurangan 𝛼 dengan cara meningkatkan ukuran sampel dapat dilihat pada

contoh 2.4.5.


58

Contoh 2.4.5. Pada contoh 2.4.3, jika ukuran sampel ditingkatkan menjadi 𝑛 =

100, maka 𝜎�̅� =4.9

10= 0.49. Dengan demikian, peluang kesalahan tipe I (𝛼) akan

menjadi

𝛼 = 𝑃(�̅� < 73 | 𝜇 = 74 ) + 𝑃(�̅� > 75 | 𝜇 = 74)

= 𝑃(𝑍 <73−74

4.9/√100| 𝜇 = 74 ) + 𝑃(𝑍 >

75−74

4.9/√100| 𝜇 = 74 )

= 𝑃(𝑍 < −2.04) + 𝑃(𝑍 > 2.04)

= 2𝑃(𝑍 < −2.04) = 2 ∗ 0.0207 = 0.0414.

Pengurangan nilai 𝛼 tidak cukup menjamin bahwa pengujian hipotesis

telah baik prosedurnya. Perlu dilakukan perhitungan kesalahan lain terhadap

hipotesis alternatif. Jenis kedua dari kesalahan proses penarikan keputusan ini

adalah jika rata-rata nilai siswa berada pada interval 73 ≤ �̅� ≤ 75 maka tidak

dapat disimpulkan bahwa ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9. Padahal,

tidak ada perbedaan rata-rata nilai siswa kelas 9 (𝐻1 benar). Dalam kasus ini

diperoleh kegagalan untuk menolak 𝐻0, padahal 𝐻0 salah. Inilah yang dinamakan

kesalahan tipe II.

Definisi 2.4.3. Kegagalan untuk menolak hipotesis nol (𝐻0) ketika hipotesis yang

diuji ternyata salah dinamakan kesalahan tipe II. Probabilitas untuk melakukan

kesalahan tipe ini diberi simbol 𝛽,

𝛽 = 𝑃(kesalahan tipe II) = 𝑃 (Gagal untuk menolak 𝐻0 | 𝐻0 salah).

Contoh 2.4.6. Pada contoh 2.4.3, jika sangat penting untuk menolak 𝐻0 ketika

𝑛 = 100 dan rata-rata sebenarnya adalah suatu nilai 𝜇 ≥ 76 atau 𝜇 ≤ 72, maka


59

peluang melakukan kesalahan tipe II dapat dihitung untuk hipotesis alternatif 𝜇 =

76 dan 𝜇 = 72. Jadi, peluang untuk menolak hipotesis nol yaitu 𝜇 = 74 ketika

hipotesis alternatif 𝜇 = 76 benar adalah

𝛽 = 𝑃(73 ≤ �̅� ≤ 75| 𝜇 = 76)

= 𝑃 (73−76

4.9/√100< 𝑍 <

75−76

4.9/√100)

= 𝑃(−6.12 < 𝑍 < −2.04)

= 𝑃(𝑍 < −2.04) − 𝑃(𝑍 < −6.12)

= 0.0207 − 0 = 0.0207.

Nilai dari 𝛽 menunjukkan probabilitas yang cukup kecil, ketika 𝑛 = 100, untuk

tidak menolak hipotesis nol, ketika 𝐻0 salah.

Peluang melakukan kesalahan tipe II (𝛽) meningkat secara cepat ketika

nilai dari 𝜇 didekati, tapi nilai tersebut tidak sama dengan konstanta yang

dihipotesiskan. Misalnya, jika hipotesis alternatif 𝜇 = 74.5 adalah benar, maka

sangat mungkin untuk tidak menolak hipotesis nol. Peluang kesalahan tipe II

adalah

𝛽 = 𝑃(73 ≤ �̅� ≤ 75| 𝜇 = 74.5)

= 𝑃 (73−74.5

4.9/√100< 𝑍 <

75−74.5

4.9/√100)

= 𝑃(−3.06 < 𝑍 < 1.02)

= 𝑃(𝑍 < 1.02) − 𝑃(𝑍 < −3.06)

= 0.8461 − 0.0011 = 0.845.


60

Secara umum, ada empat kemungkinan situasi untuk menentukan apakah

keputusan hasil pengujian hipotesis statistik itu benar atau terdapat kesalahan.

Empat kemungkinan tersebut dijelaskan pada tabel 2.3.

Tabel 2.3 Kemungkinan Situasi dalam Pengujian Hipotesis Statistik

𝑯𝟎 benar 𝑯𝟎 salah

Gagal untuk Menolak 𝑯𝟎 Keputusan yang benar Kesalahan tipe II

Tolak 𝑯𝟎 Kesalahan tipe I Keputusan yang benar

b. Peranan 𝜶, 𝜷 dan Ukuran Sampel

Pada contoh 2.4.4 telah diperoleh nilai 𝛼 = 0.1528 dan perhitungan pada 𝛽

menghasilkan nilai 𝛽 = 0.0764. Nilai 𝛼 = 0.1528 ingin diperkecil mendekati nol

dengan cara meningkatkan ukuran dari daerah kritis. Misalnya, nilai kritis adalah

73.5 sehingga daerah penolakan 𝐻0 adalah �̅� < 72.5 dan �̅� > 74.5 dan daerah

kegagalan penolakan 𝐻0 adalah 73.5 ≤ �̅� ≤ 74.5. Dalam pengujian 𝐻0: 𝜇 = 74

dan 𝐻1: 𝜇 ≠ 74 ditemukan bahwa

𝛼 = 𝑃(�̅� < 72.5 | 𝜇 = 74 ) + 𝑃(�̅� > 75.5 | 𝜇 = 74)

= 𝑃(𝑍 <72.5−74

4.9/√49| 𝜇 = 74 ) + 𝑃(𝑍 >

75.5−74

4.9/√49| 𝜇 = 74 )

= 𝑃(𝑍 < −2.14) + 𝑃(𝑍 > 2.14)

= 2𝑃(𝑍 < −2.14) = 2 ∗ 0.0162 = 0.0324,

Peluang untuk menolak hipotesis nol yaitu 𝜇 = 74 ketika hipotesis alternatif 𝜇 =

76 benar adalah

𝛽 = 𝑃(72.5 ≤ �̅� ≤ 75.5| 𝜇 = 76)

= 𝑃 (72.5−76

4.9/√49< 𝑍 <

75.5−76

4.9/√49) = 𝑃(−5 < 𝑍 < −0.71)


61

= 𝑃(𝑍 < −0.71) − 𝑃(𝑍 < −5) = 0.2389 − 0 = 0.2389.

Dengan prosedur keputusan yang baru terlihat bahwa probabilitas kesalahan tipe

II (𝛽) telah berkurang, namun probabilitas melakukan kesalahan tipe I (𝛼)

menjadi meningkat dari sebelumnya. Jadi, untuk ukuran sampel tetap, penurunan

probabilitas satu kesalahan akan mengakibatkan peningkatan probabilitas

kesalahan lainnya.

Kemungkinan melakukan kedua jenis kesalahan dapat dikurangi dengan

meningkatkan ukuran sampel. Dari contoh 2.4.4 terlihat bahwa ukuran sampel

𝑛 = 49 akan menghasilkan 𝛼 = 0.1528. Namun, jika ukuran sampel diperbesar

menjadi 𝑛 = 100, maka contoh 2.4.5 menunjukkan bahwa terjadinya penurunan

nilai 𝛼 menjadi 𝛼 = 0.0414. Dengan perhitungan yang sama, ukuran sampel 𝑛 =

49 akan menghasilkan 𝛽 = 0.0764 dan contoh 2.4.6 menunjukkan bahwa

peningkatan ukuran sampel menjadi 𝑛 = 100 akan menghasilkan 𝛽 = 0.0207.

Dengan demikian, peningkatan ukuran sampel 𝑛 akan mengurangi 𝛼 dan 𝛽 secara

bersamaan.

Secara garis besar, dapat disimpulkan bahwa peranan 𝛼, 𝛽 dan ukuran

sampel pada pengujian hipotesis, yaitu

a. Kesalahan tipe I dan tipe II saling berkaitan. Penurunan probabilitas yang

satu biasanya menghasilkan peningkatan probabilitas yang lain.

b. Probabilitas melakukan kesalahan tipe I selalu dapat dikurangi dengan

penyesuaian nilai kritis.

c. Peningkatan ukuran sampel 𝑛 akan mengurangi 𝛼 dan 𝛽 secara bersamaan.

d. Jika hipotesis nol salah, maka 𝛽 akan maksimum ketika nilai sebenarnya

dari parameter mendekati nilai hipotesis. Semakin besar jarak antara nilai

sebenarnya dengan nilai hipotesis, maka nilai 𝛽 semakin kecil.

Salah satu konsep penting yang berhubungan dengan probabilitas kesalahan uji

hipotesis adalah kuasa uji.


62

Definisi 2.4.4. Kuasa uji adalah probabilitas untuk menolak 𝐻0 ketika hipotesis

alternatifnya benar. Kuasa uji dapat dihitung sebagai 1 − 𝛽.

Kuasa uji akan sangat berguna dalam menilai sensitivitas uji. Misalnya, pada

contoh 2.4.5 uji hipotesisnya adalah:

𝐻0: 𝜇 = 74,

𝐻1: 𝜇 ≠ 74.

Dalam pengujian hipotesis di atas, 𝐻0 tidak ditolak jika 73 ≤ �̅� ≤ 75. Akan

dilihat kapabilitas tes untuk menolak 𝐻0 ketika 𝜇 = 74.5. Probabilitas dari

kesalahan tipe II diberikan oleh 𝛽 = 0.845. Dengan demikian, kuasa ujinya

adalah

1 − 𝛽 = 1 − 0.845 = 0.155.

Hal ini berarti pengujian akan benar menolak hipotesis nol hanya 15.5%.

3. Nilai P dan Pembuatan Keputusan dalam Pengujian Hipotesis

Nilai 𝛼 dapat ditetapkan sendiri dalam memutuskan apakah data yang

diamati harus menyebabkan penolakan hipotesis nol. Nilai 𝛼 yang terlalu besar

dapat dikurangi dengan membuat penyesuaian nilai kritis. Penurunan nilai 𝛼 yang

terjadi dalam kuasa uji juga dapat dilakukan dengan meningkatkan ukuran

sampel. Penentuan nilai 𝛼 akan sangat berpengaruh terhadap keputusan pengujian

hipotesis.

Meskipun nilai 𝛼 sering direkomendasikan, nilai sebenarnya dari 𝛼 yang

digunakan dalam analisis, penetapannya agak bebas. Satu eksperimen dapat

memilih untuk menerapkan uji dengan 𝛼 = 0.05 sedangkan eksperimen lain


63

mungkin lebih suka 𝛼 = 0.01. Hal ini dimungkinkan untuk dua orang yang

menganalisis data yang sama dan mencapai kesimpulan yang berlawanan.

Kesimpulan pertama adalah hipotesis nol harus ditolak pada tingkat signifikansi

0.05 dan lainnya memutuskan bahwa hipotesis nol tidak ditolak dengan 𝛼 = 0.01.

Sebagai konsekuensinya, perlu adanya pelaporan nilai 𝑃 atau tingkat signifikansi

nyata yang berhubungan dengan uji.

Definisi 2.4.5. Jika 𝑊 adalah statistik uji, maka nilai 𝑃 didefinisikan sebagai

tingkat signifikansi 𝛼 terkecil berdasarkan data yang diamati yang menunjukkan

bahwa hipotesis nol harus ditolak. Dengan kata lain, nilai 𝑃 adalah kesalahan tipe

I “nyata” yang dihitung dari sampel.

Pengujian hipotesis diberikan sebagai

𝐻0: 𝜇 = 15,

𝐻1: 𝜇 ≠ 15.

Pengujian hipotesis di atas ditetapkan pada tingkat signifikansi (𝛼) 0.05. Jika data

pengujian berdistribusi Normal Standar, maka statistik uji yang digunakan adalah

𝑍 =�̅� − 𝜇0

𝜎/√𝑛,

dengan 𝜇0 = 15 dan daerah kritisnya adalah

𝑧 > 1.96 atau 𝑧 < −1.96.

Nilai 1.96 dapat ditemukan pada tabel luas daerah di bawah kurva Normal dengan

𝑧0.052

. Nilai 𝑧 yang jatuh di daerah kritisnya menghasilkan kesimpulan bahwa

statistik uji signifikan. Jadi, kesimpulan yang diperoleh adalah ada perbedaan rata-

rata yang signifikan dari nilai 15.


64

Risiko maksimum melakukan kesalahan tipe I harus dikontrol dengan

praseleksi nilai 𝛼. Pendekatan ini tidak memperhitungkan nilai dari statistik uji

yang dekat dengan daerah kritis. Pada contoh pengujian hipotesis di atas, jika nilai

𝑧 = 1.88 dengan 𝛼 = 0.05, maka nilai 𝑧 tidak signifikan. Namun, risiko

melakukan kesalahan tipe I tidak terlalu parah. Risikonya dapat dihitung dengan

𝑃 = 2𝑃(𝑍 > 1.88 | 𝜇 = 15) = 2(0.0301) = 0.0602.

Dalam hal ini, peluang untuk melakukan kesalahan tipe I (tolak 𝐻0| 𝐻0 benar)

kecil. Hal ini disebabkan oleh penolakan hipotesis nol dengan nilai 𝑃 = 0.0602

kurang dari 0.05 sangat kecil. Artinya, bukti tersebut tidak sekuat dengan apa

yang diperoleh dari penolakan 𝐻0 pada tingkat signifikansi 0.05. Namun,

informasi tersebut akan sangat berguna dalam pengujian hipotesis.

Pendekatan nilai 𝑃 dapat memberikan kemungkinan lain dalam proses

pembuat keputusan uji hipotesis. Perhitungan nilai 𝑃 memberikan informasi

penting bagi nilai 𝑧. Sebagai contoh, jika 𝑧 = 2.73, maka

𝑃 = 2𝑃(𝑍 > 2.73 | 𝜇 = 15) = 2(0.0032) = 0.0064.

Jelas bahwa nilai 𝑧 signifikan pada tingkat signifikansi lebih kecil dari 0.05.

Namun, nilai 𝑧 = 2.73 adalah peristiwa yang sangat langka. Di bawah kondisi 𝐻0,

nilai tersebut hanya dapat ditemukan 64 kali dalam 10,000 percobaan.

a. Interpretasi Nilai 𝑷 Secara Grafis

Penjelasan nilai 𝑃 secara grafis dapat dilakukan dengan mempertimbangkan

dua sampel yang berbeda. Misalnya, dua jenis pohon efektif untuk mencegah

terjadinya abrasi sungai. Dua jenis pohon tersebut diberi label pohon 1 dan pohon

2. Banyaknya sampel adalah 𝑛1 = 𝑛2 = 10 dan abrasi diukur dalam persentase

luas permukaan yang terkikis air. Sampel yang diambil berasal dari distribusi


65

umum dengan rata-rata tinggi pohon 𝜇 = 8. Asumsikan bahwa variansi populasi

adalah 1.

Hipotesis nolnya adalah

𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = 8.

Gambar 2.2 Kurva kemungkinan hasil data kedua jenis pohon dari populasi yang

memiliki dua rata-rata berbeda.

Pada gambar 2.2, data kedua jenis pohon ditempatkan pada distribusi yang

dinyatakan oleh hipotesis nol. Simbol ‘x’ pada gambar di atas menunjukkan jenis

pohon 1 dan simbol ‘o’ menunjukkan jenis pohon 2. Dari gambar 2.2 terlihat

jelas bahwa kedua simbol berada pada daerah penolakan hipotesis nol. Peranan

nilai 𝑃 dapat dilihat hanya sebagai probabilitas kedua simbol, mengingat bahwa

kedua sampel berasal dari distribusi yang sama. Kedua simbol yang berada di

ujung kiri dan kanan kurva memiliki probabilitas yang sangat kecil (mendekati

nol) terhadap 𝜇. Dengan kata lain, probabilitas kedua data berada jauh dari 𝜇 = 8

ketika hipotesis nol benar sangatlah kecil. Jadi, nilai 𝑃 yang kecil dapat menolak

hipotesis nol dan kesimpulannya adalah rata-rata populasi berbeda secara

signifikan.

Jika nilai 𝑃 digunakan sebagai pembuat keputusan, maka laporkan nilai

eksak 𝑃 tersebut. Misalnya, penulisan nilai 𝑃 = 0.09 atau 𝑃 = 0.016 memberikan


66

informasi yang mendukung bagi keputusan pengujian daripada penulisan nilai

𝑃 < 0.05 yang dapat memuat segala kemungkinan nilai 𝑃. APA Manual (2010)

juga menyatakan ketika melaporkan nilai 𝑃, laporkan nilai eksak 𝑃 (misal, 𝑃 =

0.031), bukan nilai relatif (𝑃 < 0.01).

Jika ingin menguji

𝐻0: 𝜇 = 𝜇0,

𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0,

dengan 𝜇 adalah rata-rata populasi dari suatu distribusi Normal (n ≥ 30) dengan

standar deviasi (𝜎) diketahui, 𝜇0 adalah nilai yang akan diuji, �̅� adalah penduga

dari 𝜇 dan diketahui nilai Z dari statistik uji yang dikaji adalah:

Z = �̅�−𝜇0

𝜎/√𝑛=

�̅�−𝜇0

𝑆𝐸�̅�, (2.4)

maka nilai 𝑃 dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:

a. bila 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 maka nilai 𝑃 = P(Z ≥ z)

b. bila 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0 maka nilai 𝑃 = P(Z ≤ z)

c. bila 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 maka nilai 𝑃 = 2P(Z ≥ z) untuk z ≥ 0,

nilai 𝑃 = 2P(Z ≤ z) untuk z < 0.

Contoh 2.4.7. Standar yang ditetapkan oleh instansi pemerintah menunjukkan

bahwa orang Amerika tidak boleh melebihi asupan sodium harian dengan rata-rata

3300 mg dan standar deviasi 1100 mg. Untuk mencari tahu apakah orang Amerika

melebihi batasan ini, maka diambil sampel berjumlah 100 orang Amerika dan

dihasilkan rata-rata asupan sodium hariannya 3400 mg. Tentukan nilai 𝑃.

Penyelesaian: Pengujian hipotesisnya adalah

𝐻0: 𝜇 = 3300,


67

𝐻1: 𝜇 > 3300,

dengan 𝜇 adalah rata-rata asupan sodium harian orang Amerika.

Karena statistik uji yang digunakan adalah

Z = �̅�−𝜇0

𝜎/√𝑛,

maka nilai 𝑃 didefinisikan sebagai P(Z > z |𝐻0 benar). Dengan demikian

diperoleh,

𝑧 = 3400−3300

1100/√100 = 0.91,

dengan

𝑃 = P(Z > 0.91|𝜇 = 3300 ) = 1 - 0.8186 = 0.1814.

Suatu kesalahan umum yang sering dijumpai adalah mendeskripsikan

bahwa nilai 𝑃 adalah probabilitas menolak 𝐻0 ketika 𝐻0 benar menjadi

probabilitas 𝐻0 benar. Dengan kata lain,

𝑃 = 𝑃(menolak 𝐻0|𝐻0 benar) ≠ 𝑃(𝐻0 benar).

Nilai 𝑃 adalah probabilitas bersyarat yang mudah untuk dihitung jika asumsinya

adalah hipotesis nol benar. Contoh di bawah ini akan menjelaskan bahwa data

tidak memberikan bukti bahwa 𝐻0 benar.

Contoh 2.4.8. Pandang uji hipotesis

𝐻0: 𝜇 = 100,

𝐻1: 𝜇 ≠ 100,


68

dengan 𝜇 adalah rata-rata populasi berdasarkan sampel berukuran 1 dari distribusi

𝑁(0, 202). Misalkan nilai 𝜇 yang sebenarnya adalah 𝜇 = 105 dan rata-rata

sampel adalah 101. Jika Z = �̅�−𝜇0

𝜎/√𝑛 adalah statistik uji yang dipakai, maka tentukan

nilai 𝑃.

Penyelesaian: Nilai 𝑃 didefinisikan sebagai 2P(Z > z |𝐻0 benar). Dengan

demikian diperoleh,

𝑧 = 101−100

20 = 0.05,

dengan

nilai 𝑃 = 2P(Z > 0.05| H0) = 2(1 - 0.5199) = 0.9602.

Perhatikan bahwa nilai 𝑃 besar namun data tidak memberikan bukti bahwa 𝐻0

benar. Keputusan yang dihasilkan oleh nilai 𝑃 mengakibatkan hipotesis nol gagal

untuk ditolak. Hal ini kontradiksi dengan asumsi nilai rata-rata populasi 𝜇 yang

bernilai 105. Oleh karena itu, hipotesis nol tidak pernah benar.

b. Bentuk Uji Hipotesis Statistik dan Langkah-Langkah Pengujiannya

Macam-macam bentuk uji hipotesis, yaitu

a. Hipotesis satu arah (one-tail) adalah suatu uji dari setiap hipotesis statistik

yang hipotesis alternatifnya satu sisi, baik berupa sisi kanannya berbentuk

𝐻0: 𝜃 ≤ 𝜃0,

𝐻1: 𝜃 > 𝜃0

ataupun sisi kirinya

𝐻0: 𝜃 ≥ 𝜃0,

𝐻1: 𝜃 < 𝜃0


69

dengan 𝜃 adalah parameter yang diuji dan 𝜃0 adalah konstanta yang

dihipotesiskan.

Hipotesis nol dalam uji satu arah ini dapat juga berbentuk 𝐻0: 𝜃 = 𝜃0.

Daerah kritis untuk hipotesis alternatif 𝐻1: 𝜃 > 𝜃0 terletak di sisi kanan

distribusi statistik uji. Sedangkan daerah kritis untuk hipotesis alternatif

𝐻1: 𝜃 < 𝜃0 terletak sepenuhnya di sisi kiri distribusi statistik uji.

Contoh hipotesis satu arah:

Jika ingin menguji apakah rata-rata waktu operasi di rumah sakit A lebih

lama daripada rumah sakit B, maka hipotesis alternatifnya berbentuk 𝐻1:

𝜇𝐴 > 𝜇𝐵.

b. Hipotesis dua arah (two-tail) adalah suatu uji dari setiap hipotesis statistik

yang hipotesis alternatifnya dua sisi, seperti

𝐻0: 𝜃 = 𝜃0,

𝐻1: 𝜃 ≠ 𝜃0.

dengan 𝜃 adalah parameter yang diuji dan 𝜃0 adalah konstanta yang

dihipotesiskan.

Hipotesis alternatif 𝐻1: 𝜃 ≠ 𝜃0 menyatakan bahwa 𝜃 < 𝜃0 atau 𝜃 > 𝜃0.

Oleh karena itu, daerah kritis untuk hipotesis alternatifnya dibagi menjadi

dua bagian dan sering memiliki probabilitas yang sama di setiap sisi

distribusi statistik uji.

Contoh hipotesis dua arah:

Jika ingin menguji apakah ada perbedaan rata-rata lamanya waktu

penyembuhan flu pada pemberian obat A dengan pemberian obat B, maka

hipotesis alternatifnya berbentuk 𝐻1: 𝜇𝐴 ≠ 𝜇𝐵.


70

Penentuan daerah kritis hanya dapat ditentukan setelah hipotesis alternatif

ditetapkan terlebih dahulu. Oleh karena itu, dalam kasus uji hipotesis satu arah,

hipotesis alternatif menjadi pertimbangan yang sangat penting.

Contoh 2.4.9. Sebuah perusahaan keju olahan mengklaim bahwa rata-rata

kandungan lemak jenuh produknya tidak melebihi 1.8 gram per sajian. Tetapkan

hipotesis nol, hipotesis alternatif yang akan digunakan dalam uji ini dan tentukan

lokasi daerah kritisnya.

Penyelesaian: Klaim perusahaan akan ditolak jika rata-rata kandungan lemak (𝜇)

lebih besar dari 1.8 gram dan tidak boleh ditolak jika rata-rata kandungan lemak

(𝜇) kurang dari atau sama dengan 1.8 gram. Uji hipotesisnya adalah

𝐻0: 𝜇 = 1.8,

𝐻1: 𝜇 > 1.8.

Daerah kegagalan untuk menolak 𝐻0 tidak mengesampingkan nilai-nilai yang

kurang dari 1.8 gram. Bentuk pengujian hipotesisnya adalah hipotesis satu arah.

Oleh karena itu, simbol “lebih besar dari” menunjukkan bahwa daerah kritisnya

terletak di sisi sebelah kanan distribusi statistik uji �̅�.

Contoh 2.4.10. Suatu pabrik cat mengklaim bahwa kaleng cat yang diproduksi

memiliki rata-rata berat kotor 1.2 kg/kaleng. Untuk menguji klaim ini, sejumlah

sampel diambil dan rata-rata berat kotornya dicatat sebagai statistik uji. Tetapkan

hipotesis nol, hipotesis alternatif yang akan digunakan dalam uji ini dan tentukan

lokasi daerah kritisnya.


71

Penyelesaian: Klaim pabrik cat akan ditolak jika statistik uji lebih tinggi atau

lebih rendah dari rata-rata 𝜇 = 1.2.

Uji hipotesisnya adalah

𝐻0: 𝜇 = 1.2,

𝐻1: 𝜇 ≠ 1.2.

Hipotesis alternatif menunjukkan bahwa bentuk hipotesisnya adalah dua arah.

Oleh karena itu, daerah kritisnya dibagi rata di kedua sisi distribusi statistik uji �̅�.

Pengujian hipotesis berperan penting di berbagai penelitian sosial,

pendidikan dan bidang lainnya. Untuk melakukan suatu penelitian diperlukan

proses penelitian yang akan diolah secara runtut. Sebelum proses tersebut

dilakukan, peneliti harus menemukan teori yang berhubungan dengan

penelitiannya dan teori itu saling berkaitan dengan fakta/fenomena yang terjadi.

Berbagai teori dan fakta tersebut diharapkan mampu menemukan pertanyaan yang

belum terjawab. Dari sekumpulan pertanyaan itu dibentuk perumusan masalah

yang akan diteliti lebih lanjut pada penelitian. Dugaan yang ada pada rumusan

masalah itu akan diuji kebenarannya dalam proses pengujian hipotesis. Setelah

dugaan tersebut diuji kebenarannya, peneliti membentuk rancangan penelitian

untuk menentukan arah penelitian. Selanjutnya, peneliti melakukan

observasi/eksperimen untuk memperoleh data yang diperlukan. Proses yang

paling penting adalah melakukan analisis data yang telah diperoleh serta menarik

kesimpulan dari hasil analisis.

Pengujian hipotesis didasarkan pada beberapa masalah yang akan diuji

kebenarannya, misalnya untuk mengetahui masalah rata-rata populasi dan

mengetahui relasi/asosiasi antar variabel. Seringkali dalam studi empiris, peneliti

salah menginterpretasikan hasil dari pengujian hipotesis. Untuk itu diperlukan

pemenuhan asumsi dan pengambilan jenis sampel yang tepat bagi pengujian


72

hipotesis. Pemenuhan asumsi berupa populasi berdistribusi Normal (jumlah

sampel lebih dari 30) ataupun tidak, sangatlah penting untuk menentukan uji

statistik yang akan digunakan. Pengambilan jenis sampel juga akan berpengaruh

pada uji statistik yang akan digunakan.

Berikut adalah langkah-langkah dalam pengujian hipotesis:

1. Tetapkan hipotesis nol (𝐻0) dan hipotesis alternatif (𝐻1)

2. Tetapkan tingkat signifikansi (𝛼)

Pilihan tingkat signifikansi yang umum digunakan adalah 0.05 dan 0.01.

Nilai 𝛼 yang kecil menunjukkan semakin ketatnya aturan dalam suatu

penelitian. Nilai 𝛼 juga menunjukkan seberapa ekstrim suatu data yang

dapat menunjukkan adanya perbedaan dengan data lain.

3. Tentukan statistik uji

4. Tentukan daerah penolakan hipotesis nol (daerah kritis)

Biasanya dirumuskan dengan pernyataan “H0 ditolak bila…”. Ukuran

daerah kritis bergantung pada tingkat signifikansi (𝛼) dari statistik uji yang

dilakukan.

5. Perhitungan statistik uji

6. Kesimpulan

Hasil pengujian hipotesis akan menghasilkan dua kemungkinan yaitu

menolak hipotesis nol atau gagal menolak hipotesis nol. Kesimpulan akhir

dari hasil pengujian hipotesis dapat diperoleh dari dua pendekatan, yaitu

pendekatan klasik dan pendekatan probabilistik.

a. Pendekatan klasik

Pendekatan ini dapat dilakukan dengan perbandingan nilai yang

didapat pada perhitungan statistik uji dengan daerah kritis. Jika

statistik uji berada dalam daerah kritis, maka hipotesis nol (𝐻0) ditolak.


73

Namun, jika statistik uji tidak berada dalam daerah kritis, maka gagal

untuk menolak 𝐻0.

b. Pendekatan probabilistik

Dalam uji statistik melalui program statistik pada komputer, akan ada

keluaran hasil uji statistik berupa nilai 𝑃 (p-value). Untuk memperoleh

kesimpulan uji hipotesis melalui pendekatan ini, dapat dilakukan

dengan cara membandingkan nilai 𝑃 dengan taraf signifikansi (𝛼).

Ketentuan perbandingan tersebut adalah bila nilai 𝑃 kurang dari nilai

𝛼, maka keputusannya adalah 𝐻0 ditolak. Sedangkan bila nilai 𝑃 lebih

dari nilai 𝛼, maka keputusannya adalah gagal untuk menolak 𝐻0.

Pengertian 𝐻0 ditolak di sini memberikan kesimpulan yang menyatakan hasil uji

hipotesis signifikan secara statistik. Jika 𝐻0 gagal ditolak, maka berikan

kesimpulan yang menyatakan hasil uji hipotesis tidak signifikan secara statistik.

Pendekatan klasik dan pendekatan probabilitas (nilai 𝑃) akan lebih baik jika

keduanya dicantumkan dalam penarikan kesimpulan.

E. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi

Pada subbab ini akan dibahas pengujian hipotesis rata-rata satu populasi untuk

sampel besar dan sampel kecil.

1. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Besar

Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah sampel random dari distribusi dengan rata-rata 𝜇

dan variansi 𝜎2 > 0. Pengujian hipotesis diberikan sebagai berikut:

𝐻0: 𝜇 = 𝜇0,

𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0


74

dengan 𝜇0 adalah konstanta yang dihipotesiskan untuk 𝜇.

Berdasarkan teorema 2.2.1, distribusi sampling dari variabel random �̅�

mendekati distribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2/𝑛 ketika 𝑛 besar

(𝑛 ≥ 30). Jadi, 𝜇�̅� = 𝜇 dan 𝜎�̅�2 = 𝜎2/𝑛. Jumlah standar deviasi ketika �̅�

terletak di sebelah kiri atau kanan 𝜇0 dapat diukur menggunakan statistik uji

standar,

𝑍 = �̅� − 𝜇0

𝜎/√𝑛

yang memiliki pendekatan distribusi Normal Standar ketika 𝐻0 benar dan 𝜇 = 𝜇0.

Pada pengujian hipotesis di atas, peluang untuk hipotesis nol tidak ditolak (jatuh

di luar daerah kritis) dapat ditulis sebagai

𝑃 (−𝑧𝛼2<

�̅�−𝜇0

𝜎/√𝑛< 𝑧𝛼

2) = 1 − 𝛼.

Diberikan rata-rata sampel �̅� dan statistik uji 𝑧 yang dihitung jatuh pada

daerah kritis, sehingga 𝐻0 ditolak ketika

𝑧 =�̅�−𝜇0

𝜎/√𝑛 > 𝑧𝛼/2 atau 𝑧 =

�̅�−𝜇0

𝜎/√𝑛 < -𝑧𝛼/2.

Sedangkan jika -𝑧𝛼/2 < 𝑧 < 𝑧𝛼/2, jangan tolak 𝐻0. Penolakan 𝐻0 mengakibatkan

penerimaan hipotesis alternatif 𝜇 ≠ 𝜇0.

Hipotesis alternatif (𝐻1) mengimplikasikan bahwa 𝜇 > 𝜇0 atau 𝜇 < 𝜇0.

Nilai rata-rata sampel �̅� yang terlalu besar atau terlalu kecil jaraknya dari 𝜇0

ditempatkan di daerah penolakan hipotesis nol. Nilai kritis dari statistik uji 𝑧 yang

memisahkan daerah penolakan hipotesis nol dan daerah penerimaan akan berubah

sesuai dengan penentuan tingkat signifikansi (𝛼). Oleh karena itu, daerah kritis

dirancang untuk mengontrol 𝛼, peluang kesalahan tipe I.


75

Daerah kritis untuk pengujian hipotesis rata-rata sampel �̅� dapat ditulis

sebagai

tolak 𝐻0 jika �̅� < 𝑎 atau �̅� > 𝑏

dengan

𝑎 = 𝜇0 − 𝑧𝛼/2𝜎

√𝑛, 𝑏 = 𝜇0 + 𝑧𝛼/2

𝜎

√𝑛.

Untuk tingkat signifikansi 𝛼 tertentu, nilai kritis akan terletak di sebelah kiri 𝑎 dan

kanan 𝑏. Nilai kritis dari variabel random �̅� dan 𝑧 tampak pada gambar 2.3.

Gambar 2.3 Daerah Kritis untuk Hipotesis Alternatif 𝜇 ≠ 𝜇0.

Contoh 2.5.1. Hasil harian untuk pabrik kimia lokal memiliki rata-rata populasi

880 ton dan standar deviasi 21 ton selama beberapa tahun terakhir. Manajer

kualitas kontrol ingin mengetahui apakah rata-rata produksi telah berubah dalam

beberapa bulan terakhir. Manajer tersebut memilih secara acak 50 hari dari data

komputer dan mendapatkan rata-rata �̅� = 871 ton. Ujilah hipotesis tersebut

dengan tingkat signifikansi 0.05.

Penyelesaian:

1. 𝐻0: 𝜇 = 880.

2. 𝐻1: 𝜇 ≠ 880.


76

3. 𝛼 = 0.05.

4. Statistik uji: Penduga titik bagi 𝜇 adalah �̅�, maka statistik ujinya

𝑧 = �̅�−𝜇0

𝜎/√𝑛.

5. Daerah kritis: 𝐻0 ditolak bila 𝑧 < −1.96 atau 𝑧 > 1.96.

6. Perhitungan: �̅� = 871, 𝑛 = 50 dan 𝑧 = �̅�−𝜇0

𝜎/√𝑛=

871−880

21/√50= −3.03.

7. Kesimpulan:

Karena uji pada contoh ini adalah hipotesis dua arah, maka nilai 𝑃 adalah dua

kali luas daerah yang diarsir di sebelah kiri 𝑧 = −3.03 (Gambar 2.4).

Gambar 2.4 Nilai 𝑃 untuk Contoh 2.5.1.

Nilai 𝑃 adalah

𝑃 = 𝑃(|𝑍| > 3.03) = 2𝑃(𝑍 < −3.03) = 0.0024.

Jelas bahwa 𝑃 = 0.0024 < 0.05, sehingga 𝐻0 ditolak pada tingkat

signifikansi kurang dari 0.05 dan karena 𝑧 = −3.03, perhitungan 𝑧 jatuh pada

daerah kritis, maka manajer dapat menyimpulkan bahwa rata-rata produksi

telah berubah dalam beberapa bulan terakhir (𝜇 ≠ 880).

Pengujian hipotesis satu arah pada rata-rata satu populasi melibatkan statistik

yang sama dengan hipotesis dua arah. Perbedaannya terletak pada daerah kritis

yang hanya satu sisi berdistribusi Normal Standar.


77

Jika dilakukan pengujian hipotesis

𝐻0: 𝜇 = 𝜇0,

𝐻1: 𝜇 > 𝜇0,

maka daerah kritisnya/penolakan 𝐻0 akan dihasilkan ketika 𝑧 > 𝑧𝛼. Sedangkan

jika hipotesis alternatif 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0, maka daerah kritis akan terletak sepenuhnya

di sisi lebih rendah dan penolakan dihasilkan dari 𝑧 < −𝑧𝛼. Pada bentuk

pengujian hipotesis satu arah, hipotesis nol dapat ditulis sebagai 𝐻0: 𝜇 ≤ 𝜇0

ataupun 𝐻0: 𝜇 ≥ 𝜇0. Namun, dalam kasus pengujian hipotesis rata-rata satu

populasi biasanya ditulis sebagai 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0.

Contoh 2.5.2. Suatu perusahaan truk curiga terhadap klaim bahwa rata-rata umur

ban merk tertentu adalah setidaknya 28000 mil dan standar deviasi 1348 mil.

Untuk menguji klaim ini, perusahaan mencoba 40 ban tersebut pada truknya dan

mendapatkan rata-rata umur ban 27463 mil. Apa yang dapat disimpulkan jika

taraf signifikansinya 0.01?

Penyelesaian:

Dalam kasus ini, peluang kesalahan tipe I maksimal ketika 𝜇 = 28000 mil

sehingga pengujian hipotesisnya adalah

1. 𝐻0: 𝜇 = 28000.

2. 𝐻1: 𝜇 < 28000.

3. 𝛼 = 0.01.

4. Statistik uji:

𝑧 = �̅� − 𝜇0

𝜎/√𝑛

5. Daerah kritis: 𝐻0 ditolak bila 𝑧 < −2.33.


78

6. Perhitungan: �̅� = 27463, 𝑛 = 40,

𝑧 = �̅�−𝜇0

𝜎/√𝑛=

27463−28000

1348/√40= −2.52.

7. Kesimpulan: Karena 𝑧 = −2.52 kurang dari -2.33, maka hipotesis nol

harus ditolak pada tingkat signifikansi 0.01 dan dapat disimpulkan bahwa

rata-rata umur ban merk tertentu kurang dari 28000 mil.

Perhitungan nilai 𝑃 adalah

𝑃 = 𝑃(𝑍 < −2.52) = 0.0059.

Karena nilai 𝑃 = 0.0059 < 0.01, maka 𝐻0 ditolak pada tingkat signifikansi

0.01 dan memperkuat kesimpulan di atas.

Hubungan Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Besar

dengan Selang Kepercayaan

Untuk kasus rata-rata (𝜇) populasi tunggal dengan 𝜎2 diketahui, struktur dari

kedua pengujian hipotesis dan estimasi selang kepercayaan didasarkan pada

variabel random

𝑍 = �̅�−𝜇

𝜎/√𝑛.

Pengujian 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 terhadap 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 pada tingkat signifikansi 𝛼 ekivalen

dengan perhitungan selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% pada 𝜇. Jika 𝜇0 terletak di

luar selang kepercayaan, maka 𝐻0 ditolak. Sedangkan jika 𝜇0 terletak di dalam

selang kepercayaan, maka 𝐻0 tidak ditolak. Ekivalensi ini sangat intuitif dan

cukup sederhana untuk digambarkan.

Dalam bentuk nilai �̅� yang diamati, kegagalan untuk menolak 𝐻0 pada

tingkat signifikansi 𝛼 mengakibatkan bahwa

|�̅� − 𝜇0

𝜎/√𝑛| ≤ 𝑧𝛼/2. (2.5)


79

Daerah kegagalan penolakan 𝐻0 pada pertidaksamaan (2.5) ekivalen dengan

�̅� − 𝑧𝛼/2𝜎

√𝑛≤ 𝜇0 ≤ �̅� + 𝑧𝛼/2

𝜎

√𝑛.

Selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% untuk 𝜇 memberikan informasi yang lebih

bagi pengujian hipotesis yaitu hipotesis nol ditolak ataupun tidak ditolak.

Contoh 2.5.3. Suatu sampel random berukuran 𝑛 = 100 diambil dari populasi

dengan 𝜎 = 5.1. Diketahui rata-rata sampel �̅� = 21.6 dan selang kepercayaan

95% bagi 𝜇 adalah

�̅� − 𝑧0.05/2𝜎

√𝑛≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑧0.05/2

𝜎

√𝑛

21.6 − 1.965.1

√100≤ 𝜇 ≤ 21.6 + 1.96

5.1

√100

20.6 ≤ 𝜇 ≤ 22.6

Gunakan hubungan antara selang kepercayaan 95% dan tingkat signifikansi 𝛼 =

0.05 untuk menguji hipotesis nol 𝜇 = 21.5 terhadap hipotesis alternatif 𝜇 ≠ 21.5.

Ujilah juga hipotesis nol 𝜇 = 19 terhadap hipotesis alternatif 𝜇 ≠ 19.

Penyelesaian: Pengujian hipotesis nol 𝜇 = 21.5 terhadap hipotesis alternatif 𝜇 ≠

21.5 tidak akan menolak 𝐻0 pada tingkat 5%, karena 𝜇 = 21.5 berada pada

selang kepercayaan 95%. Pada pengujian selanjutnya, 𝜇 = 19 tidak berada pada

selang kepercayaan 95%. Akibatnya, hipotesis nol ditolak pada tingkat

signifikansi 𝛼 = 0.05.


80

2. Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Kecil

Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah sampel acak berukuran 𝑛 (𝑛 < 30) dari distribusi

Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2 yang tidak diketahui, sehingga variabel

acak (�̅� − 𝜇)/(𝑆/√𝑛) berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑛 − 1. Nilai dari

standar deviasi populasi (𝜎) dari statistik uji, nantinya digantikan oleh penduga 𝑆

dan distribusi Normal Standar digantikan oleh distribusi 𝑡.

Pengujian hipotesis dua arah bagi rata-rata satu populasi di atas diberikan

sebagai berikut:

𝐻0: 𝜇 = 𝜇0,

𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0,

dengan 𝜇0 adalah konstanta yang dihipotesiskan untuk 𝜇. Hipotesis nol (𝐻0)

ditolak pada tingkat signifikansi (𝛼) jika nilai statistik uji

𝑡 = �̅� − 𝜇0

𝑠/√𝑛

melebihi 𝑡𝛼/2 atau kurang dari −𝑡𝛼/2 dengan derajat bebas 𝑛 − 1. Untuk kasus

hipotesis satu arah, jika 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0, maka daerah penolakan 𝐻0 adalah 𝑡 > 𝑡𝛼

dengan derajat bebas 𝑛 − 1. Jika 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0, maka daerah penolakan 𝐻0 adalah

𝑡 < −𝑡𝛼 dengan derajat bebas 𝑛 − 1.

Contoh 2.5.4. Institut Listrik Edison mempublikasikan angka pada jumlah

kilowat jam yang digunakan oleh berbagai peralatan rumah. Institusi tersebut

mengklaim bahwa pembersih debu menggunakan rata-rata sebesar 45 kilowat

jam/tahun. Jika 12 sampel rumah termasuk dalam penelitian yang direncanakan

mengindikasikan pembersih debu menggunakan rata-rata 42 kilowat jam/tahun

dan standar deviasi 11.9 kilowat jam/tahun. Apakah ini mengindikasikan pada


81

tingkat signifikansi 0.05 bahwa pembersih debu menggunakan rata-rata kurang

dari 46 kilowat jam/tahun? Asumsikan populasinya mendekati Normal.

Penyelesaian: Misalkan 𝜇 adalah rata-rata penggunaan pembersih debu dalam

kilowat jam/tahun.

Langkah-langkah pengujian hipotesis:

1. 𝐻0: 𝜇 = 46 kilowat jam.

2. 𝐻1: 𝜇 < 46 kilowat jam.

3. 𝛼 = 0.05.

4. Statistik uji:

𝑡 = �̅� − 𝜇0

𝑠/√𝑛

5. Daerah kritis: 𝐻0 ditolak bila 𝑡 < −1.796, dengan derajat bebas 11.

6. Perhitungan: �̅� = 42, 𝑛 = 12, 𝑠 = 11.9,

𝑡 = �̅�−𝜇0

𝑠/√𝑛=

42−46

11.9/√12= −1.16 dan 𝑃 = 𝑃(𝑇 < −1.16) ≈ 0.135.

7. Kesimpulan: Karena 𝑡 = −1.16 lebih dari -1.796 dan nilai 𝑃 = 0.135

lebih dari 𝛼 = 0.05, maka hipotesis nol tidak dapat ditolak pada tingkat

signifikansi 0.05 dan dapat disimpulkan bahwa rata-rata kilowat jam yang

digunakan oleh pembersih debu rumah tidak signifikan kurang dari 46

kilowat jam.

Hubungan Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi untuk Sampel Kecil dengan

Selang Kepercayaan

Misalkan �̅� adalah rata-rata sampel yang dipilih secara acak dari populasi

berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2 tidak diketahui. Oleh

karena variansi populasi tidak diketahui, maka penduga dari variansi adalah

standar deviasi sampel (𝑠).


82

Selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% bagi 𝜇 adalah

�̅� − 𝑡𝛼/2𝑠

√𝑛≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑡𝛼/2

𝑠

√𝑛.

Selang kepercayaan tersebut berhubungan dengan pengujian hipotesis rata-rata

satu populasi pada tingkat signifikansi 𝛼.

Pengujian hipotesis dua arah bagi rata-rata satu populasi diberikan sebagai

berikut:

𝐻0: 𝜇 = 𝜇0,

𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0,


Daerah penolakan 𝐻0 (daerah kritis) adalah

|�̅� − 𝜇0

𝑠/√𝑛| = |𝑡| ≥ 𝑡𝛼/2.

Dalam bentuk nilai �̅�, 𝑠 yang diamati, kegagalan untuk menolak 𝐻0 pada tingkat

signifikansi 𝛼 mengakibatkan bahwa

|�̅�−𝜇0

𝑠/√𝑛| < 𝑡𝛼/2. (2.6)

Daerah kegagalan penolakan 𝐻0 pada pertidaksamaan (2.6) ekivalen dengan

�̅� − 𝑡𝛼/2𝑠

√𝑛≤ 𝜇0 ≤ �̅� + 𝑡𝛼/2

𝑠

√𝑛.

Secara umum, jika 𝜇0 terletak di luar selang kepercayaan, maka 𝐻0 ditolak.

Sedangkan jika 𝜇0 terletak di dalam selang kepercayaan, maka 𝐻0 tidak ditolak.


83

Contoh 2.5.5. Rata-rata penurunan berat dari 16 bola penggilingan di pabrik

bubur setelah jangka waktu tertentu adalah 3.42 gram dengan standar deviasi 0.68

gram. Selang kepercayaan 95% bagi rata-rata penurunan berat dari bola

penggilingan adalah

�̅� − 𝑡𝛼/2𝑠

√𝑛≤ 𝜇0 ≤ �̅� + 𝑡𝛼/2

𝑠

√𝑛 atau 3.06 ≤ 𝜇 ≤ 3.78.

Gunakan hubungan antara selang kepercayaan 95% dan tingkat signifikansi 𝛼 =

0.05 untuk menguji hipotesis nol 𝜇 = 3.7 terhadap hipotesis alternatif 𝜇 ≠ 3.7.

Ujilah juga hipotesis nol 𝜇 = 3 terhadap hipotesis alternatif 𝜇 ≠ 3.

Penyelesaian: Pengujian hipotesis nol 𝜇 = 3.7 terhadap hipotesis alternatif 𝜇 ≠

3.7 tidak akan menolak 𝐻0 pada tingkat 5%, karena 𝜇 = 3.7 berada pada selang

kepercayaan 95%. Pada pengujian selanjutnya, 𝜇 = 3 tidak berada pada selang

kepercayaan 95%. Akibatnya, hipotesis nol ditolak pada tingkat signifikansi 𝛼 =

0.05.

F. Uji Hipotesis Rata-Rata Dua Populasi

Pada subbab ini akan dibahas prasyarat pengujian hipotesis rata-rata dua populasi,

yaitu uji Normalitas dan uji homogenitas variansi, pengujian hipotesis rata-rata

dua populasi jika variansi diketahui, variansi tidak diketahui tetapi sama, variansi

tidak diketahui dan tidak sama dan sampel berpasangan. Dalam banyak studi dan

kasus, hal yang umum terjadi adalah variansi tidak diketahui dan homogen.

1. Uji Normalitas dan Uji Homogenitas Variansi

Uji Normalitas diperlukan untuk menguji asumsi kedua populasi

berdistribusi Normal atau tidak pada pengujian hipotesis rata-rata dua populasi.

Uji Normalitas dilakukan sebagai berikut

1. 𝐻0: Distribusi kedua populasi Normal.

2. 𝐻1: Distribusi kedua populasi tidak Normal.


84

3. Tentukan nilai 𝛼.

4. Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menguji normalitas adalah

Kolgomorov-Smirnov, Shapiro Wilk atau Lilliefors. Statistik uji berupa

deviasi maksimum distribusi kumulatif data dan distribusi kumulatif

normal.

5. Wilayah kritis: 𝐻0 ditolak bila nilai 𝑃 < 𝛼.

6. Perhitungan

7. Kesimpulan

a. Jika nilai 𝑃 < 𝛼, maka distribusi kedua populasi tidak Normal.

b. Jika nilai 𝑃 > 𝛼, maka distribusi kedua populasi Normal.

Uji homogenitas variansi diperlukan untuk menguji asumsi variansi kedua

populasi sama atau tidak pada pengujian hipotesis rata-rata dua populasi.

Pengujian kesamaan variansi dilakukan sebagai berikut

1. 𝐻0: 𝜎12 = 𝜎2

2.

2. 𝐻1: 𝜎12 ≠ 𝜎2

2.

3. Tentukan nilai 𝛼.

4. Statistik uji

𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =𝑆𝑚𝑎𝑥

2

𝑆𝑚𝑖𝑛2 ,

dengan 𝑆2 adalah variansi sampel.

5. Wilayah kritis: 𝐻0 ditolak bila

𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙(𝑣1, 𝑣2) atau nilai 𝑃 < 𝛼,

dengan 𝑣1 = 𝑛1 − 1 dan 𝑣2 = 𝑛2 − 1.

6. Kesimpulan:

a. Jika nilai 𝑃 < 𝛼 atau 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙(𝑣1, 𝑣2), maka kedua variansi

populasi tidak sama.

b. Jika nilai 𝑃 > 𝛼 atau 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙(𝑣1, 𝑣2), maka kedua variansi

populasi sama.


85


Diketahui

Misalkan dua sampel independen berukuran 𝑛1 dan 𝑛2 dipilih secara acak dari

populasi dengan rata-rata 𝜇1, 𝜇2 dan variansi 𝜎12, 𝜎2

2. Variabel acak

𝑍 =(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)

√(𝜎12/𝑛1) + (𝜎22/𝑛2)

berdistribusi Normal Standar. Asumsinya adalah kedua sampel berukuran cukup

besar sehingga Teorema Limit Pusat dapat diterapkan. Jika kedua populasinya

Normal, maka statistik di atas berdistribusi Normal Standar, meskipun kedua

sampel berukuran kecil. Namun, jika asumsinya adalah 𝜎1 adalah sama dengan 𝜎2,

maka statistik 𝑍 dapat diubah menjadi

𝑍 =(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)

𝜎√(1/𝑛1) + (1/𝑛2).

Kedua statistik tersebut merupakan dasar bagi pengujian hipotesis rata-rata dua

populasi.

Pengujian hipotesis dua arah bagi dua rata-rata populasi diberikan oleh

𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 𝑑0,

𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝑑0,

dengan 𝑑0 adalah konstanta yang dihipotesiskan bagi 𝜇1 − 𝜇2.

Distribusi yang digunakan adalah distribusi dari statistik uji terhadap 𝐻0. Jika

diketahui kedua rata-rata sampel adalah �̅�1, �̅�2 dan variansi sampelnya adalah 𝜎1,

𝜎2, maka statistik ujinya adalah

𝑧 =(�̅�1 − �̅�2) − 𝑑0

√(𝜎12/𝑛1) + (𝜎22/𝑛2).


86

Daerah penolakan 𝐻0 adalah 𝑧 > 𝑧𝛼/2 atau 𝑧 < −𝑧𝛼/2. Pada pengujian hipotesis

satu arah, dengan 𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑑0, daerah penolakan hipotesis nol adalah 𝑧 <

−𝑧𝛼. Sedangkan jika 𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 > 𝑑0, maka daerah penolakan hipotesis nol

adalah 𝑧 > 𝑧𝛼.


Tidak Diketahui tetapi Sama Besar

Jika �̅�1, �̅�2 adalah rata-rata sampel independen yang dipilih secara acak dari

populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇1, 𝜇2 dan standar deviasi tidak

diketahui (𝜎1 = 𝜎2), maka pengujian hipotesis rata-rata dua populasi dinamakan

uji 𝑡 dua sampel.

Pengujian hipotesis dua arah bagi dua rata-rata populasi di atas diberikan oleh

𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 𝑑0,

𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝑑0,


Daerah penolakan 𝐻0 pada tingkat signifikansi 𝛼 adalah jika statistik uji

𝑡 =(�̅�1 − �̅�2) − 𝑑0

𝑠𝑝√(1/𝑛1) + (1/𝑛2), (2.7)

dengan

𝑠𝑝2 =

𝑠12(𝑛1 − 1) + 𝑠2

2(𝑛2 − 1)

𝑛1 + 𝑛2 − 2 (2.8)

melebihi 𝑡𝛼/2 ataupun kurang dari −𝑡𝛼/2, derajat bebas 𝑛1 + 𝑛2 − 2.

Pada pengujian hipotesis satu arah, dengan 𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑑0, daerah penolakan

hipotesis nol adalah 𝑡 < −𝑡𝛼. Sedangkan jika 𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 > 𝑑0, maka daerah

penolakan hipotesis nol adalah 𝑡 > 𝑡𝛼.


87

Contoh 2.6.1. Sebuah percobaan dijalankan untuk membandingkan keausan

abrasif dari dua bahan laminasi yang berbeda. Dua belas bagian material 1 diuji

dengan mengekspos setiap bagian ke dalam mesin pengukur. Sepuluh bagian

material 2 juga diuji serupa dengan material 1. Pada masing-masing kasus,

kedalaman material diamati. Sampel dari material 1 memberikan rata-rata sebesar

85 dengan standar deviasi sampel 4 dan material 2 memberikan rata-rata sebesar

81 dengan standar deviasi 5. Dapatkah disimpulkan pada tingkat signifikansi 0.05

bahwa perbedaan rata-rata keausan material 1 dan material 2 lebih dari 2 unit?

Asumsikan populasi mendekati Normal dengan variansi sama.

Penyelesaian: Misalkan 𝜇1 dan 𝜇2 adalah rata-rata populasi keausan abrasif untuk

material 1 dan material 2. Langkah-langkah pengujian hipotesisnya adalah

1. 𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 2.

2. 𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 > 2.

3. 𝛼 = 0.05.

4. Statistik uji:

𝑡 =(�̅�1 − �̅�2) − 𝑑0

𝑠𝑝√(1/𝑛1) + (1/𝑛2), 𝑠𝑝

2 =𝑠12(𝑛1 − 1) + 𝑠2

2(𝑛2 − 1)

𝑛1 + 𝑛2 − 2,

dengan derajat bebas 𝑣 = 20.

5. Daerah kritis: 𝐻0 ditolak jika 𝑡 > 1.725, derajat bebas 20.

6. Perhitungan:

�̅�1 = 85, 𝑠1 = 4, 𝑛1 = 12,

�̅�2 = 81, 𝑠2 = 4, 𝑛2 = 10.

𝑠𝑝 = √(11)(16) + (9)(25)

12 + 10 − 2= 4.478,

𝑡 =(85 − 81) − 2

4.478√(1/12) + (1/10)= 1.04,

𝑃 = 𝑃(𝑇 > 1.04) ≈ 0.16.


88

7. Kesimpulan: Karena 𝑡 = 1.04 kurang dari 1.725 dan nilai 𝑃 = 0.16 lebih

dari 𝛼 = 0.05, maka hipotesis nol tidak dapat ditolak pada tingkat

signifikansi 0.05 dan dapat disimpulkan bahwa perbedaan rata-rata

keausan material 1 dan material 2 tidak melebihi 2 unit.


Populasi Tidak Diketahui dan Tidak Sama

Misalkan �̅�1, �̅�2 adalah rata-rata sampel independen yang dipilih secara acak dari

populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇1, 𝜇2 dan standar deviasi tidak

diketahui (𝜎1 ≠ 𝜎2).

Pengujian hipotesis dua arah bagi dua rata-rata populasi di atas diberikan oleh

𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 𝑑0,

𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝑑0,


Jika populasi Normal, maka statistik uji

𝑡′ =(�̅�1 − �̅�2) − 𝑑0

√(𝑠12

𝑛1) + (

𝑠22

𝑛2)

,

berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣,

𝑣 =(𝑠12

𝑛1+𝑠22

𝑛2)2

[(𝑠12

𝑛1)2

/(𝑛1 − 1)] + [(𝑠22

𝑛2)2

/(𝑛2 − 1)].

Daerah penolakan 𝐻0 pada tingkat signifikansi 𝛼 adalah jika statistik uji

𝑡′ < −𝑡𝛼/2 ataupun 𝑡′ > 𝑡𝛼/2.


89

Pada pengujian hipotesis satu arah, dengan 𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑑0, daerah penolakan

hipotesis nol adalah 𝑡′ < −𝑡𝛼. Sedangkan jika 𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 > 𝑑0, maka daerah

penolakan hipotesis nol adalah 𝑡′ > 𝑡𝛼.

5. Uji Hipotesis Rata-rata Dua Populasi pada Sampel Berpasangan

Misalkan �̅�1, �̅�2 adalah rata-rata sampel berukuran 𝑛 yang tidak independen serta

dipilih secara acak dari populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇1, 𝜇2.

Oleh karena sampel tidak independen, maka sampel tersebut dinamakan sampel

berpasangan. Perbedaan rata-rata antara kedua sampel berpasangan diberi simbol

�̅� dan perbedaan standar deviasi kedua sampel berpasangan diberi simbol 𝑠𝑑.

Pengujian hipotesis sampel berpasangan dinamakan uji 𝑡 berpasangan. Perbedaan

rata-rata berpasangan dapat ditulis sebagai 𝜇1 − 𝜇2 = 𝜇𝐷.

Pengujian hipotesis sampel berpasangan diberikan oleh

𝐻0: 𝜇𝐷 = 𝑑0,

𝐻1: 𝜇𝐷 ≠ 𝑑0,

dengan 𝑑0 adalah konstanta yang dihipotesiskan bagi 𝜇𝐷.

Daerah penolakan hipotesis nol (𝐻0) adalah jika statistik uji

𝑡 =�̅� − 𝑑0

𝑠𝑑/√𝑛, (2.9)

melebihi 𝑡𝛼/2 atau kurang dari −𝑡𝛼/2, derajat bebas 𝑛 − 1.

Pada pengujian hipotesis satu arah, dengan 𝐻1: 𝜇𝐷 < 𝑑0, daerah penolakan

hipotesis nol adalah 𝑡 < −𝑡𝛼. Sedangkan jika 𝐻1: 𝜇𝐷 > 𝑑0, maka daerah

penolakan hipotesis nol adalah 𝑡 > 𝑡𝛼.


90

BAB III

EFFECT SIZE COHEN

Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa kritik mengenai uji

signifikansi hipotesis nol. Kritikan itulah yang mengakibatkan harus adanya

tambahan informasi serta interpretasi lebih lanjut pada hasil penarikan

kesimpulan. Selain itu, pada bab ini juga akan dibahas mengenai pengertian effect

size, macam-macam effect size, effect size pada perbedaan rata-rata populasi dan

selang kepercayaan pada effect size perbedaan rata-rata populasi.

A. Dari Uji Signifikansi Hipotesis Nol ke Effect Size

Pengujian hipotesis statistik atau dikenal dengan uji signifikansi hipotesis

nol selalu berhubungan dengan proses penarikan kesimpulan yang hasilnya

diberlakukan untuk populasi. Pada bab II telah dibahas proses penarikan

kesimpulan dengan menggunakan uji signifikansi hipotesis nol. Proses penarikan

kesimpulan yang merupakan tujuan utama statistika inferensial juga telah dibahas

pada bab II. Ada dua sisi pendekatan statistika inferensial, yaitu negatif dan

positif. Negatifnya adalah kritikan terhadap uji signifikansi hipotesis nol dan

positifnya adalah keuntungan dalam pendugaan statistik.

Kritikan terhadap uji signifikansi hipotesis nol pada suatu kasus berikut:

Cumming (2012) mengevaluasi dua studi yang dilakukan oleh Lucky dan Noluck

di mana keduanya menguji percobaan efektivitas terapi baru dan terapi lama pada

penyakit insomnia. Lucky menggunakan dua kelompok independen yang masing-

masing berukuran 𝑛 = 22 dan Noluck menggunakan dua kelompok yang berbeda

dari Lucky dengan ukuran sampel masing-masing kelompok adalah 𝑛 = 18.

Masing-masing studi melaporkan perbedaan antara rata-rata untuk percobaan baru

dan percobaan lama. Lucky menemukan bahwa percobaan baru menunjukkan

hasil yang signifikan secara statistik dibanding percobaan lama. Hasil yang


91

didapatkan Lucky adalah �̅� (perbedaan rata-rata kedua sampel)= 3.61, 𝑆𝐷

(standar deviasi perbedaan rata-rata kedua sampel) = 6.97, statistik uji 𝑡 dengan

derajat bebas 42 atau ditulis 𝑡(42) = 2.43 dan nilai 𝑃 = 0.02. Noluck

menemukan tidak ada perbedaan rata-rata yang signifikan secara statistik antara

dua rata-rata percobaan dengan �̅� (perbedaan rata-rata kedua sampel)= 2.23, 𝑆𝐷

(standar deviasi perbedaan rata-rata kedua sampel) = 7.59, statistik uji 𝑡 dengan

derajat bebas 34 atau ditulis 𝑡(34) = 1.25 dan nilai 𝑃 = 0.22.

Dari kasus di atas, uji signifikansi hipotesis nol memberikan hasil yang

inkonsisten. Studi yang dilakukan Lucky menunjukkan ada perbedaan yang

signifikan sedangkan Noluck tidak. Hal ini menunjukkan adanya konflik antara

Lucky dan Noluck, sehingga tidak dapat disimpulkan apakah percobaan baru

efektif atau tidak. Perlu adanya pemeriksaan lebih lanjut untuk mencari tahu

mengapa efek ditemukan pada satu studi dan lainnya tidak. Dengan kata lain,

penelitian lebih lanjut dibutuhkan untuk menginvestigasi mengapa percobaan

bekerja di beberapa kasus, tetapi tidak dengan kasus yang lain.

Hasil studi yang dilakukan Lucky dan Noluck dapat dilihat pada gambar

3.1. Gambar 3.1 dapat dibentuk dengan menggunakan selang kepercayaan 95%

pada pertidaksamaan (2.3) dan notasi �̅� sebagai perbedaan rata-rata percobaan.

Kedua hasil berada pada daerah yang sama dan ukuran perbedaan rata-rata cukup

serupa dalam dua studi (Lucky dan Noluck). Kedua hasil juga menyediakan bukti

yang cukup kuat bahwa percobaan efektif. Terlebih, perbedaan rata-rata yang

positif mengindikasikan keuntungan bagi percobaan baru.

Lucky

Noluck

-2 0 2 2.23 3.61 4 6 8 �̅�

Gambar 3.1 Perbedaan Rata-rata Percobaan Insomnia (Percobaan Baru

Dikurangi Percobaan Lama) Studi Lucky dan Noluck dengan Selang Kepercayaan

95%.


92

Selang kepercayaan menunjukkan rentang nilai yang masuk akal untuk

parameter populasi yang diperkirakan. Nilai-nilai di luar selang kepercayaan

relatif tidak masuk akal bagi parameter populasi yang diperkirakan. Setiap nilai

dalam selang kepercayaan cukup bisa menjadi nilai sebenarnya, sehingga selang

kepercayaan yang lebih pendek memberikan nilai lebih baik.

Pada bab II telah dibahas hubungan yang erat antara uji signifikansi

hipotesis nol dengan selang kepercayaan. Jika nol berada di dalam selang

kepercayaan, maka nol adalah nilai yang menunjukkan adanya perbedaan rata-rata

percobaan. Sebaliknya, jika nol di luar selang kepercayaan, maka tidak ada rata-

rata percobaan. Pada gambar 3.1 terlihat bahwa selang kepercayaan Lucky tidak

memuat nol. Hal ini mengindikasikan hasil percobaan yang signifikan secara

statistik. Selang kepercayaan Noluck yang memuat nol mengindikasikan hasil

percobaan tidak signifikan secara statistik. Jadi, selang kepercayaan dapat dengan

mudah diterapkan dalam uji signifikansi hipotesis nol.

Kritikan Cumming (2012) terhadap kasus Lucky dan Noluck juga

memperlihatkan bahwa uji signifikansi hipotesis nol memiliki keterbatasan pada

hasil pengujiannya. Kirk (1996) menyatakan keterbatasan uji signifikansi

hipotesis nol adalah sebagai berikut:

a. Uji signifikansi hipotesis nol tidak cukup menjawab pertanyaan penelitian.

b. Uji signifikansi hipotesis nol bergantung pada ukuran sampel.

Seringkali dalam suatu penelitian, peneliti tidak hanya melihat apakah ada

perbedaan atau korelasi di populasi (signifikan atau tidak), tetapi peneliti ingin

mendapat informasi mengenai apakah korelasi yang diperoleh itu besar ataupun

perbedaan rata-rata antar kelompok kecil. Misalnya, peneliti ingin melakukan

evaluasi efek audio kaset pada peningkatan minat belajar siswa dengan pre-test

dan post-test. Skor rata-rata pre-test dari 100 siswa adalah 84 dan skor rata-rata

post-test adalah 85. Meskipun perbedaan skor secara statistik signifikan,

perbedaannya sangat kecil dan tidak dapat dipastikan adanya peningkatan minat


93

belajar yang berarti. Hal ini adalah salah satu contoh pernyataan Kirk (1996) butir

(a).

Pernyataan Kirk (1996) butir (b) diperjelas oleh Field dan Hole (2003) yang

menyatakan bahwa perbedaan trivial dapat menjadi signifikan (dan

diinterpretasikan penting) jika sampel cukup besar, konversnya, besar dan

pentingnya perbedaan dapat menjadi tidak signifikan (dan diinterpretasikan

trivial) pada sampel kecil. Hal tersebut diperlihatkan pada kasus Lucky dengan

sampel kedua grupnya berukuran 44 dan perbedaan rata-rata kedua sampel adalah

3.61 sedangkan Noluck dengan sampel untuk kedua grupnya berukuran 36 dan

perbedaan rata-rata sampel adalah 2.23. Lucky menemukan hasil studi yang

signifikan sedangkan Noluck tidak. Jelas bahwa ukuran sampel mempengaruhi

hasil percobaan pada studi yang sama.

Penentuan nilai 𝑃 dengan tingkat 𝛼 = 0.05 mengarahkan peneliti pada

kesimpulan berbeda dari efek percobaan yang sama (Kirk,1996). Peneliti yang

menemukan efek percobaan yaitu tidak signifikan dengan menggunakan sampel

acak 100 orang, mungkin juga menemukan efek signifikan secara statistik dengan

menambahkan sampel lebih dari 100 orang. Meskipun efek percobaan relatif

identik, penambahan jumlah sampel dapat mempengaruhi hasil uji signifikansi

hipotesis nol.

Ada beberapa hal yang dapat dan tidak dapat disimpulkan dari uji

signifikansi statistik, yaitu

a. Pentingnya efek.

Pengujian hipotesis melibatkan hipotesis nol dan hipotesis alternatif,

menyesuaikan model statistik untuk data serta menarik kesimpulan

berdasarkan statistik uji. Jika probabilitas nilai statistik uji kurang dari

0.05, maka hipotesis alternatif diterima. Ini berarti bahwa ada efek di

populasi ataupun dengan kata lain “ada perbedaan yang signifikan dari…”.

Pengertian signifikan di sini bukan berarti bahwa efek tersebut penting.

Pentingnya efek menandakan bahwa seberapa besar perbedaan yang


94

dihasilkan pada percobaan. Efek yang sangat kecil dan tidak penting dapat

berubah menjadi signifikan hanya karena sejumlah besar sampel telah

digunakan dalam percobaan.

b. Uji signifikansi tidak logis

Uji signifikansi hipotesis nol didasarkan pada penalaran probabilistik yang

sangat membatasi apa yang ingin disimpulkan. Cohen (1994)

menunjukkan bahwa penalaran formal bergantung pada pernyataan awal

dari fakta, diikuti oleh pernyataan tentang keadaan sekarang dan penarikan

kesimpulan. Silogisme dari Field (2005) menggambarkan pernyataan

Cohen:

Premis 1: Jika seorang pria tidak mempunyai lengan, maka dia

tidak dapat bermain gitar.

Premis 2: Pria tersebut bermain gitar.

Kesimpulan: Pria tersebut mempunyai lengan.

Silogisme dimulai dengan pernyataan fakta yang memungkinkan

kesimpulan akhir yang dicapai. Bagaimanapun, hipotesis nol tidak

direpresentasikan dengan cara seperti itu karena hipotesis didasarkan pada

probabilitas. Silogisme yang sebanding dengan hipotesis nol adalah:

Premis 1: Jika hipotesis nol benar, maka nilai statistik uji ini

𝑡 =�̅� − 𝜇

𝑠/√𝑛

tidak terjadi.

Premis 2: Nilai statistik uji terjadi.

Kesimpulan: Hipotesis nol salah.


95

Field (2005) mengambil contoh gitar untuk silogisme yang sebanding

dengan hipotesis nol:

Premis 1: Jika seorang pria bermain gitar, maka dia mungkin

tidak bermain untuk band Fugazi.

Premis 2: Guy Picciotto bermain untuk band Fugazi.

Kesimpulan: Guy Picciotto mungkin tidak bermain gitar.

Silogisme di atas jelas tidak logis karena kesimpulannya salah, jika

faktanya adalah Guy Picciotto bermain gitar. Hal ini menggambarkan

suatu kekeliruan umum yang terjadi dalam pengujian hipotesis. Bahkan,

dengan uji signifikansi tidak banyak yang dapat dikatakan tentang

hipotesis nol.

Saat ini, tidak ada pengganti yang jelas untuk uji signifikansi hipotesis nol.

Keterbatasan uji signifikansi hipotesis nol serta tidak adanya pengganti yang jelas

sehingga perlu adanya tambahan informasi bagi pengujian. Wilkinson Task Force

(1999) merekomendasikan penggunaan effect size sebagai tambahan untuk uji

signifikansi hipotesis nol.

Definisi 3.1.1. Effect size merupakan ukuran signifikansi praktis hasil penelitian

yang berupa ukuran besarnya korelasi/perbedaan/efek dari suatu variabel pada

variabel lain.

Perlu dipahami bahwa effect size bukanlah uji signifikansi dan uji signifikansi

bukanlah effect size. Meskipun effect size dapat diturunkan dari hasil uji

signifikansi dan besarnya effect size mempengaruhi kemungkinan menemukan

hasil yang signifikan, keduanya perlu dibedakan. Ketika hasil uji signifikansi

hipotesis nol menyatakan ada suatu perbedaan signifikan secara statistik, hal ini


96

tidak berarti bahwa perbedaan itu besar, penting atau bermakna dalam membuat

keputusan. Untuk mengetahui suatu perbedaan tidak hanya bermakna secara

statistik tetapi juga penting/berarti, dibutuhkan perhitungan effect size.

Nilai P pada uji signifikansi dapat menginformasikan apakah ada efek atau

tidak, tetapi nilai P tidak akan mengungkapkan besarnya efek tersebut. Effect size

yang akan menginformasikan apakah perbedaan rata-rata antar kelompok besar

atau kecil. Hal ini diperjelas dengan pernyataan Snyder & Lawson (1993), effect

size memperkirakan besarnya efek ataupun hubungan antara dua atau lebih

variabel. Baik effect size maupun uji signifikansi akan sangat berguna bagi

informasi penelitian. Oleh karena itu, dalam pelaporan dan menafsirkan

penelitian, effect size dan uji signifikansi (nilai P) adalah hasil yang penting untuk

dilaporkan. Dengan kata lain, effect size menjadi pelengkap statistik inferensial

seperti nilai P pada uji signifikansi.

Konsep effect size telah terlihat dalam bahasa sehari-hari. Misalnya, suatu

program penurunan berat badan menyatakan bahwa program tersebut dapat

mengurangi berat badan rata-rata 25 pon. Pada kasus ini, 25 pon adalah indikator

tuntutan effect size. Contoh lainnya adalah suatu program bimbingan belajar yang

menyatakan dapat meningkatkan prestasi sekolah satu peringkat. Peningkatan

peringkat ini adalah tuntutan effect size. Kedua contoh ini merupakan “effect size

mutlak”, perbedaan antara hasil rata-rata dua kelompok tanpa memperhatikan

variabilitas/penyebaran dalam satu kelompok. Oleh karena ketiadaan variabilitas

ini, pendugaan effect size perlu dilakukan.

Seorang peneliti menyatakan bahwa penyembuhan kanker hipertiroid

stadium akhir dengan iodium radioaktif dikenal 30% lebih efektif daripada

metode lainnya. Indikator 30% tersebut merupakan tuntutan effect size. Suatu

lembaga survei menyatakan bahwa 60% penduduk Jakarta lebih memilih

menghabiskan waktu akhir pekannya di mall. Indikator 60% tersebut juga

merupakan tuntutan effect size. Kedua contoh ini merupakan penentuan effect size

dalam hal perbedaan proporsi populasi.


97

Pendugaan effect size sering dibutuhkan sebelum memulai penelitian,

misalnya untuk menghitung jumlah subjek penelitian yang mungkin diperlukan

agar menghindari kesalahan tipe II. Dengan kata lain, peneliti harus menentukan

apakah jumlah subjek penelitian akan cukup untuk memastikan bahwa

penelitiannya memiliki kekuatan yang dapat diterima dalam mendukung hipotesis

nol. Artinya, jika ada perbedaan yang ditemukan antara kelompok, maka ini

merupakan temuan yang benar.

B. Jenis Effect Size

Effect size dihitung untuk menggambarkan data dalam sampel dan

berpotensi menduga parameter populasi yang sesuai. Jika parameter itu adalah

perbedaan rata-rata dua populasi, maka effect size ditentukan oleh seberapa besar

perbedaan rata-rata itu. Contohnya, effect size digunakan untuk mengetahui besar

kecilnya perbedaan rata-rata konsumsi bensin yang dikeluarkan oleh mesin jenis

A dan jenis B. Contoh lainnya, effect size digunakan untuk mengetahui besar

kecilnya perbedaan rata-rata kandungan senyawa ortho-fosfor pada lokasi 1 dan

lokasi 2.

Jika parameternya adalah perbedaan proporsi dua populasi maka effect size

ditentukan oleh seberapa besar perbedaan proporsi itu. Contohnya, effect size

digunakan untuk mengetahui besar kecilnya perbedaan proporsi pemilih kota dan

daerah sekitarnya yang menyetujui dibangunnya pabrik kimia. Contoh lainnya

adalah untuk mengetahui besar kecilnya perbedaan proporsi kejadian kanker

payudara di kota dan desa.

Jika parameternya adalah koefisien korelasi maka effect size ditentukan oleh

seberapa besar perbedaan itu. Contohnya, effect size digunakan untuk mengetahui

besar kecilnya korelasi/hubungan antara berat dan ukuran dada bayi saat lahir.

Jadi, apabila peneliti ingin menjelaskan tentang besarnya perbedaan rata-rata,


98

proporsi ataupun koefisien korelasi maka istilah yang tepat adalah effect size dan

bukan lagi tingkat signifikansi.

Menurut Ferguson (2009), effect size dapat dibagi menjadi empat kategori

umum:

a. Indeks kelompok yang berbeda. Perkiraan ini biasanya mencatat besarnya

perbedaan antara dua atau lebih kelompok. Effect size yang umum

digunakan adalah Cohen’s 𝑑, Hedges’s 𝑔, Glass’s ∆.

b. Indeks kekuatan hubungan. Perkiraan ini biasanya memeriksa besarnya

variansi antara dua atau lebih variabel. Effect size yang umum digunakan

adalah Pearson 𝑟, 𝑅, 𝑟 parsial, Spearman’s 𝜌, koefisien regresi yang

distandarkan (β), 𝑟2, Kendall’s tau, Eta-kuadrat (𝜂2).

c. Perkiraan yang dikoreksi. Effect size yang umum digunakan adalah

adjusted 𝑅2, Hay’s 𝜔2, 휀2.

d. Perkiraan risiko. Pengukuran ini membandingkan risiko relatif untuk hasil

tertentu antara dua atau lebih kelompok. Pengukuran ini lebih banyak

digunakan pada hasil penelitian medis. Effect size yang umum digunakan

adalah relative risk (RR) dan odds ratio (OR).

Estimasi yang paling mendasar dan jelas dari effect size adalah ketika menentukan

apakah dua kelompok data berbeda. Jika banyak artikel yang melaporkan rata-rata

dan perbedaannya, maka effect size mudah untuk dihitung. Perbedaan antara rata-

rata dalam populasi cukup untuk mengukur effect size dan dapat memberikan

estimasi yang berguna dari effect size ketika langkah-langkah yang terlibat

bermakna. Pada skripsi ini, pembahasan mengenai efek akan fokus hanya pada

perbedaan rata-rata dalam populasi dan ini akan lebih mudah untuk

membandingkan efek suatu variabel dari penelitian-penelitian yang menggunakan

skala pengukuran berbeda.


99

Perbedaan Rata-rata Baku

Sebelum masuk pada pembahasan indeks kelompok yang berbeda atau lebih

dikenal dengan perbedaan rata-rata yang distandardisasi, terlebih dahulu dibahas

mengenai perbedaan rata-rata baku. Perbedaan rata-rata baku adalah indeks yang

berguna ketika ukuran tersebut bermakna.

Dalam hal apapun, perbedaan rata-rata baku dipilih hanya jika perbandingan

antar hasil-hasil penelitian menggunakan skala yang sama. Jika perbandingan

penelitian yang satu dengan lainnya menggunakan instrumen yang berbeda

(seperti tes psikologi), maka untuk menilai hasilnya, skala pengukuran akan

berbeda dari penelitian ke penelitian lainnya dan itu tidak akan bermakna untuk

menggabungkan rata-rata baku.

Misalkan suatu penelitian melaporkan rata-rata untuk dua kelompok, yaitu

kelompok kontrol dan kelompok eksperimen. Kelompok kontrol adalah kelompok

yang tidak diberi perlakuan saat penelitian. Kelompok eksperimen adalah

kelompok yang diberi perlakuan berupa variabel bebas. Rata-rata populasi untuk

kedua kelompok, yaitu 𝜇1 dan 𝜇2. Perbedaan rata-rata populasi diberikan oleh

⊿ = 𝜇1 − 𝜇2.

Misalkan �̅�1 dan �̅�2 adalah rata-rata sampel dari dua kelompok yang berukuran 𝑛1

dan 𝑛2. Pendugaan untuk ⊿ adalah perbedaan pada rata-rata sampelnya, yaitu

𝐷 = �̅�1 − �̅�2.

Perlu diketahui bahwa simbol 𝐷 digunakan untuk perbedaan rata-rata baku,

sedangkan simbol 𝑑 digunakan untuk perbedaan rata-rata yang distandardisasi.

Perbedaan rata-rata yang distandardisasi akan dibahas pada subbab berikutnya.

Standar deviasi sampel untuk kedua kelompok adalah 𝑆1 dan 𝑆2. Jika kedua

standar deviasi populasi diasumsikan sama, 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎, maka variansi 𝐷 adalah

𝑉𝐷 =𝑛1 + 𝑛2𝑛1𝑛2

𝑆𝑝2,


100

dengan 𝑆𝑝 merupakan standar deviasi sampel gabungan yang diperoleh pada

persamaan (2.2),

𝑆𝑝 = √(𝑛1 − 1)𝑆1

2 + (𝑛2 − 1)𝑆22

𝑛1 + 𝑛2 − 2.

Jika standar deviasi kedua populasi diasumsikan tidak sama, maka variansi 𝐷

adalah

𝑉𝐷 =𝑆12

𝑛1+𝑆22

𝑛2.

Pada semua kasus, standar error 𝐷 diberikan oleh

𝑆𝐸𝐷 = √𝑉𝐷 .

Sebagai contoh, misalkan suatu penelitian mempunyai rata-rata sampel �̅�1 = 103,

�̅�2 = 100, standar deviasi sampel 𝑆1 = 5.5, 𝑆2 = 4.5 dan ukuran kedua sampel

adalah 50. Perbedaan rata-rata baku adalah

𝐷 = 103 − 100 = 3.

Jika diasumsikan 𝜎1 = 𝜎2, maka standar deviasi gabungan dalam kelompok

adalah

𝑆𝑝 = √(50 − 1)(5.5)2 + (50 − 1)(4.5)2

50 + 50 − 2= 5.0249.

Variansi dan standar error diberikan oleh

𝑉𝐷 =50 + 50

(50)(50)(5.0249)2 = 1.01

dan

𝑆𝐸𝐷 = √1.01 = 1.005.


101

Jika asumsinya adalah kedua standar deviasi populasi tidak sama, maka variansi

dan standar error 𝐷 diberikan oleh

𝑉𝐷 =5.52

50+4.52

50= 1.01

dan

𝑆𝐸𝐷 = √1.01 = 1.005.

Terlihat bahwa rumus untuk kedua variansi 𝐷, baik untuk standar deviasi kedua

populasinya sama ataupun keduanya tidak sama, memberikan hasil yang sama

pada contoh di atas. Hal ini terjadi hanya jika ukuran sampel dan/atau estimasi

variansi adalah sama pada kedua kelompok.

C. Perbedaan Rata-rata yang Distandardisasi

Perbedaan rata-rata baku menjadi dasar bagi effect size, khususnya indeks

perbedaan kelompok. Jika perbandingan penelitian yang satu dengan lainnya

dilakukan dengan menggunakan skala pengukuran yang berbeda, maka perbedaan

rata-rata baku perlu distandardisasi menggunakan penyebut yang tidak

dipengaruhi oleh besarnya ukuran sampel, yaitu standar deviasi populasi. Ini

dilakukan untuk membuat indeks yang akan sebanding di penelitian. Indeks inilah

yang dinamakan perbedaan rata-rata yang distandardisasi.

Perbedaan rata-rata yang distandardisasi adalah ukuran yang melengkapi

distribusi. Hal ini berarti bahwa perbedaan rata-rata yang distandarkan

mencerminkan perbedaan antara distribusi dalam dua kelompok dan bagaimana

masing-masing kelompok mewakili cluster yang berbeda dari nilai, meskipun

tidak mengukur persis hasil yang sama. Keluarga indeks perbedaan rata-rata yang

distandarkan merepresentasikan besarnya perbedaan antara rata-rata dua

kelompok sebagai fungsi dari standar deviasi kelompok. Santoso (2010) mengutip

pernyataan Olejnic dan Algina, yaitu perbedaan rata-rata yang distandardisasi

dilambangkan dengan simbol 𝑑 untuk analisis univariat dan 𝐷 (akar dari


102

Mahalanobis 𝐷2) untuk analisis multivariat atau dilambangkan secara umum

dengan simbol 𝛿. Ada tiga indeks yang umum digunakan pada perbedaan rata-rata

yang distandardisasi, yaitu Cohen’s 𝑑, Hedges’s 𝑔, dan indeks Glass. Pada skripsi

ini hanya akan dibahas indeks Cohen’s 𝑑 yang secara umum lebih baik.

1. Cohen’s 𝒅

Cohen’s 𝑑 adalah ekspresi statistik yang cukup sederhana, yaitu perbedaan antara

dua hasil kelompok dibagi standar deviasi populasi. Kegunaan Cohen’s 𝑑 adalah

dapat terbantunya peneliti untuk menghitung, menafsirkan dan menghargai effect

size. Sebagai contoh, peneliti menemukan latihan berhitung yang dapat

meningkatkan nilai rata-rata di SD A sebesar 5 poin pada saat diadakannya tes. Ini

memungkinkan bahwa orang tertentu saja yang dapat memahami apa artinya 5

poin. Peningkatan 5 poin tersebut sulit untuk diinterpretasikan karena maknanya

terlalu luas. Jika ada tabel konversi yang dilengkapi bersama hasil tes, maka lima

poin dapat diterjemahkan dengan mudah. Oleh karena itu, peneliti dapat

melakukan standardisasi pada perbedaan nilai rata-rata tes tersebut. Perubahan

pada tes tersebut dapat diamati sebagai 𝑑 = 15/5 = 0.33 atau sepertiga dari

standar deviasi.

Ada berbagai pendekatan untuk menginterpretasikan nilai 𝑑 = 0.33. Salah

satunya adalah nilai 𝑑 tersebut dibandingkan dengan nilai referensi yang diberikan

Cohen (1988), yaitu

a. 0 < 𝑑 ≤ 0.2. (efek kecil)

b. 0.2 < 𝑑 ≤ 0.5. (efek sedang)

c. 0.5 < 𝑑 ≤ 0.8. (efek besar)

d. 𝑑 > 0.8. (efek sangat besar)

Jika effect size besar, maka ini berarti perbedaan rata-rata antar kelompok besar.

Jika effect size sedang, maka ini berarti perbedaan rata-rata antara kelompok satu

dengan lainnya tidak besar, tidak juga kecil. Nilai besar kecil tersebut tergantung


103

pada peneliti untuk membuat penilaiannya sendiri dengan mempertimbangkan

semua keadaan, termasuk melihat selang kepercayaan pada penduga titik.

Nilai yang dipakai untuk standardisasi atau penstandar (standardizer) pada

Cohen’s 𝑑 adalah standar deviasi yang terpilih sebagai unit pengukuran 𝑑.

Bagilah effect size di satuan asli (perbedaan rata-rata baku) oleh penstandar

untuk mendapatkan 𝑑. Hal ini penting untuk memahami 𝑑 sebagai rasio dari efek

yang diamati dibagi dengan standar deviasi. Pembilang dan penyebut dinyatakan

dalam satuan asli dan keduanya membutuhkan perhatian interpretatif. Nilai 𝑑 jelas

sensitif terhadap pembilang tetapi nilai 𝑑 juga sangat sensitif terhadap

penyebutnya, yaitu standar deviasi yang digunakan sebagai penstandar

(standardizer).

Pada suatu penelitian, penggunaan referensi Cohen’s 𝑑 yang berlebihan

dapat menyebabkan peneliti menganggap efek yang besar itu penting sedangkan

efek yang kecil tidaklah penting. Oleh karena itu, peneliti dapat menjadikan acuan

penelitian sebelumnya untuk menghindari kesalahan penilaian hasil penelitian.

Sangat disayangkan juga bahwa nilai 𝑑 kadang-kadang dilaporkan tapi nilai

tersebut tidak dijelaskan lebih lanjut. Sangat penting untuk melaporkan 𝑑,

menjelaskan standardizer dan interpretasikan nilai 𝑑 tersebut. Sebelum dibahas

Cohen’s 𝑑 pada pengujian hipotesis rata-rata satu populasi maupun dua populasi,

terlebih dahulu didefinisikan 𝛿 sebagai effect size populasi dan 𝑑 sebagai effect

size sampel untuk menduga 𝛿.

Misalkan suatu studi menggunakan dua kelompok independen yang ingin

membandingkan rata-rata keduanya. Rata-rata dan standar deviasi populasi

kelompok pertama adalah 𝜇1 dan 𝜎1. Rata-rata dan standar deviasi populasi

kelompok lainnya adalah 𝜇2 dan 𝜎2. Jika standar deviasi kedua populasi adalah

sama, maka parameter perbedaan rata-rata populasi yang distandardisasi adalah

𝛿 =𝜇1 − 𝜇2𝜎

.


104

Simbol 𝛿 dapat juga dipandang sebagai parameter effect size untuk analisis

multivariat. Penduga titik untuk parameter 𝛿 didefinisikan sebagai

𝑑 =�̅�2 − �̅�1𝑠

.

dengan �̅�1 dan �̅�2 adalah rata-rata sampel kelompok 1 dan 2, 𝑠 adalah standar

deviasi sampel.

a. Effect Size Cohen’s d pada Pengujian Hipotesis Rata-rata Satu Populasi

Misalkan hipotesis nol pada pengujian hipotesis rata-rata satu populasi adalah

𝐻0: 𝜇 = 𝜇0,


Pengujian hipotesis di atas menggunakan uji 𝑡 sampel tunggal yang statistik uji

adalah

𝑡 = �̅� − 𝜇0

𝑠/√𝑛,

dengan �̅� adalah rata-rata sampel, 𝑠 adalah standar deviasi sampel dan 𝑛 adalah

ukuran sampel.

Standar deviasi (𝑠) yang digunakan untuk menghitung statistik uji merupakan

standardizer yang dipilih untuk menghitung effect size 𝑑, dengan

𝑑 =𝑡

√𝑛.

Akibatnya, rumus umum Cohen’s 𝑑 pada pengujian hipotesis rata-rata satu

populasi di bawah ini mirip dengan nilai 𝑧,

𝑑 = �̅� − 𝜇0𝑠

.


105

Ada hubungan yang berkaitan antara statistik uji dan rumus Cohen’s 𝑑.

Statistik uji mengukur seberapa jauh �̅� dari 𝜇0 dalam satuan standar error 𝑠/√𝑛,

sedangkan 𝑑 mengukur seberapa jauh �̅� dari 𝜇0 dalam satuan standar deviasi 𝑠.

Dengan kata lain, 𝑑 ternyata memiliki distribusi yang sama dengan 𝑡.

Contoh 3.2.1. Tabel 3.1 menunjukkan data untuk sebuah percobaan dengan 20

siswa dipilih secara acak. Siswa yang ditugaskan untuk menghabiskan waktu

siang harinya dengan membaca buku di perpustakaan diberi nama kondisi

Kontrol, sedangkan siswa yang membaca buku di kebun botani diberi nama

kondisi Eksperimen. Asumsikan cuaca dalam keadaan cerah dan sore harinya

masing-masing siswa menyelesaikan ukuran kenyamanan yang dirasakannya.

Tabel 3.1 Nilai Kenyamanan untuk Dua Kelompok Independen

Kontrol (K) Eksperimen (E)

34 66

54 38

33 35

44 55

45 48

53 39

37 65

26 32

38 57

58 41

Rata-rata �̅�𝐾 = 42.2 �̅�𝐸 = 47.6

SD 𝑠𝐾 = 10.41 𝑠𝐸 = 12.46

Sd gabungan 𝑠𝑝 = 11.48


106

Contoh ini adalah eksperimen dua kelompok, tetapi contoh ini hanya

mempertimbangkan kelompok kontrol. Percobaan ini dilakukan untuk menguji

apakah ukuran kenyamanan yang digunakan adalah skala dengan rata-rata 40

orang di suatu negara, sehingga 𝜇0 = 40.

Effect size pada percobaan kelompok kontrol adalah

𝑑 = 42.2 − 40

10.41= 0.21.

Jika percobaan ini melaporkan standar deviasi populasi dalam referensi yang

tepat, maka standar deviasi (𝜎) yang akan digunakan. Namun, pada contoh ini,

nilai seperti itu tidak ada sehingga standar deviasi sampel dari kelompok kontrol

yang digunakan sebagai standardizer. Oleh karena jumlah sampel yang digunakan

hanya 10, maka standar deviasi sampel menunjukkan pendugaan yang tidak tepat.

Akibatnya, perhitungan selang kepercayaan pada 𝑑 diperlukan untuk menemukan

seberapa tidak tepat pendugaan tersebut. Effect size 𝑑 sebesar 0.21 menunjukkan

bahwa rata-rata kelompok kontrol, 42.2, hanya berbeda sedikit dari rata-rata

populasi yang bernilai 40.

b. Effect Size Cohen’s 𝒅 pada Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi

Misalkan hipotesis nol pada pengujian hipotesis rata-rata dua populasi adalah

𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2.

Pengujian hipotesis di atas menggunakan uji 𝑡 yang mengasumsikan homogenitas

variansi (kedua variansi populasi sama) serta statistik ujinya adalah

𝑡 =�̅�2 − �̅�1

𝑠𝑝√1

𝑛1+

1

𝑛2

,

dengan


107

𝑠𝑝 = √(𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠22

𝑛1 + 𝑛2 − 2, (3.1)

dan �̅�1 dan �̅�2 adalah rata-rata sampel kedua kelompok, 𝑠𝑝 adalah standar deviasi

sampel gabungan pada persamaan (2.2), 𝑛1 dan 𝑛2 adalah ukuran sampel

masing-masing kelompok.

Secara umum, Keppel dan Wickens (2004) menyatakan bahwa standar

deviasi 𝑘 sampel yang digabungkan adalah

𝑠𝑝𝑜𝑜𝑙𝑒𝑑 = √∑(𝑛𝑗 − 1)𝑠2𝑗

(𝑛𝑗 − 1)

𝑘

𝑖=1

.

Asumsikan 𝑠𝑝 = 𝑠 (standar deviasi sampel gabungan), maka standardizer yang

dipilih untuk menghitung effect size 𝑑 adalah standar deviasi sampel yang

digabungkan (𝑠𝑝), sehingga

𝑑 = 𝑡√1

𝑛1+1

𝑛2. (3.2)

Akibatnya, rumus umum Cohen’s 𝑑 pada pengujian hipotesis rata-rata dua

populasi adalah

𝑑 =�̅�2 − �̅�1𝑠

,

dengan

𝑠 = √(𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠22

𝑛1 + 𝑛2,

Terkadang �̅�1 − �̅�2 digunakan daripada �̅�2 − �̅�1, tetapi ini tergantung pilihan

peneliti. Peneliti harus konsisten dan menandai perbedaan arah rata-rata kedua


108

kelompok sebagai nilai yang positif dari 𝑑. Misalnya, kelompok kontrol vs

eksperimen sebagai grup 1 dan 2.

Oleh karena distribusi sampling dari 𝑡 adalah distribusi non-sentral 𝑡 dan 𝑑

dapat dinyatakan pada persamaan (3.2), maka berdasarkan definisi 2.2.2 effect

size 𝑑 juga berdistribusi non-sentral 𝑡. Inilah hubungan yang erat antara 𝑑 dan 𝑡.

Hubungan yang erat tersebut juga tak lepas dari pengaruh standardizer.

Standardizer akan berperan penting untuk memberikan estimasi yang akurat.

Terlebih, jika kelompok kontrol dan eksperimen memiliki variansi populasi yang

sama (asumsi homogenitas variansi dipenuhi), maka 𝑠𝑝 adalah pilihan terbaik bagi

standardizer. Cumming (2012) menyatakan bahwa pilihan yang paling umum

sebagai standardizer adalah 𝑠𝑝 dan ini dapat dijadikan rekomendasi, kecuali ada

alasan yang baik untuk memilih beberapa pilihan lain.

Dalam jurnalnya, Santoso (2010) menyatakan bahwa jika asumsi

homogenitas variansi tidak dipenuhi, maka perbedaan rata-rata yang

distandardisasi tidak dihitung menggunakan 𝑠𝑝, melainkan beberapa alternatif lain

yaitu:

a. Standar deviasi salah satu kelompok yang dapat dianggap sebagai acuan.

Dalam penelitian eksperimental, biasanya kelompok kontrol yang dianggap

sebagai acuan.

b. Standar deviasi gabungan (𝑠𝑝) dari kelompok yang sedang dibandingkan,

bukan dari semua kelompok dalam penelitian.

Pada contoh 3.2.1, jika diasumsikan kedua kelompok memiliki variansi populasi

yang sama, maka effect size 𝑑 adalah

𝑑 =�̅�𝐸 − �̅�𝐾𝑠𝑝

=47.6 − 42.2

11.48= 0.47.

Nilai 𝑑 tersebut menunjukkan bahwa kunjungan ke kebun botani mendorong

peningkatan ukuran kenyamanan dengan efek sedang. Sebagai perbandingan,


109

standar deviasi kelompok kontrol (𝑠𝐾) dipilih sebagai standardizer, sehingga

effect size 𝑑 adalah

𝑑 =�̅�𝐸 − �̅�𝐾𝑠𝐾

=47.6 − 42.2

10.41= 0.52.

Kedua nilai 𝑑 yang dihitung menggunakan effect size yang sama memperlihatkan

perbedaan pada standardizernya. Pada kasus ini, pemilihan 𝑠𝑝 adalah pendugaan

yang tepat bagi standar deviasi populasi. Hal ini terjadi karena 𝑠𝑝 memiliki derajat

bebas lebih besar daripada 𝑠𝐾. Pada tabel 3.1, 𝑠𝑝 didasarkan pada derajat bebas

𝑑𝑓 = 𝑛𝐾 + 𝑛𝐸 − 2 = 18,

sedangkan 𝑠𝐾 didasarkan pada derajat bebas

𝑑𝑓 = 𝑛𝐾 − 1 = 9,

dengan 𝑛𝐾 dan 𝑛𝐸 adalah ukuran sampel kedua kelompok.

Hedges dan Olkin (1985) mengembangkan effect size 𝑑𝑢𝑛𝑏 (Hedges’s 𝑔)

untuk memperbaiki effect size 𝑑. Effect size 𝑑𝑢𝑛𝑏 tersebut adalah

𝑑𝑢𝑛𝑏 = 𝐽 x 𝑑, (3.3)

dengan

𝐽 = 1 −3

4𝑑𝑓 − 1 (3.4)

adalah faktor koreksi 𝑑, effect size 𝑑 adalah perbedaan rata-rata yang

penstandarnya (𝑠𝑝) merupakan sampel gabungan (persamaan 3.1) dan 𝑑𝑓 adalah

derajat bebas 𝑛1 + 𝑛2 − 2.

Variansi dan standar error dari 𝑑𝑢𝑛𝑏 adalah

𝑉𝑑𝑢𝑛𝑏 = 𝐽2 x 𝑉𝑑,


110

𝑆𝐸𝑑𝑢𝑛𝑏 = √𝑉𝑑𝑢𝑛𝑏 ,

dengan 𝐽 adalah faktor koreksi pada persamaan (3.4) dan

𝑉𝑑 =𝑛1 + 𝑛2𝑛1𝑛2

+𝑑2

2(𝑛1 + 𝑛2). (3.5)

c. Effect Size Cohen’s 𝒅 pada Observasi Berpasangan

Misalkan �̅�1, �̅�2 adalah rata-rata sampel berukuran 𝑛 yang tidak independen serta

dipilih secara acak dari populasi berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇1, 𝜇2. Jika

perbedaan rata-rata sampel berpasangan (lihat bab II.F.5) adalah

�̅�1 − �̅�2 = �̅�,

maka pengujian hipotesis sampel berpasangan diberikan oleh

𝐻0: 𝜇𝐷 = 0,

𝐻1: 𝜇𝐷 ≠ 0,

dengan 𝜇𝐷 adalah perbedaan rata-rata populasi berpasangan. Pada persamaan

(2.9), statistik uji pada pengujian hipotesis sampel berpasangan adalah

𝑡 =�̅�

𝑠𝑑/√𝑛,

dengan �̅� adalah perbedaan rata-rata sampel berpasangan, 𝑠𝑑 adalah standar

deviasi sampel berpasangan dan 𝑛 adalah ukuran sampel yang tidak independen.

Jika �̅� dapat dinyatakan sebagai selisih antara rata-rata Posttest dengan

Pretest, maka ada beberapa pilihan standar deviasi yang akan digunakan sebagai

standardizer, yaitu

a. Standar deviasi pretest (𝑠𝑝𝑟𝑒). Effect size 𝑑 dapat dihitung sebagai


111

𝑑 =�̅�

𝑠𝑝𝑟𝑒.

b. Standar deviasi dari rata-rata antara 𝑠𝑝𝑟𝑒 dan 𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡 yang diberikan oleh

𝑠𝑎𝑣 = √𝑠𝑝𝑟𝑒2 + 𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡2

2. (3.6)

Effect size 𝑑 dapat dihitung sebagai

𝑑 =�̅�

𝑠𝑎𝑣. (3.7)

c. Standar deviasi dari selisih antara Posttest dengan Pretest (𝑠𝐷).

Effect size 𝑑 dapat dihitung sebagai

𝑑 =�̅�

𝑠𝑑.

Cumming (2012) menyatakan bahwa pendugaan standar deviasi terbaik untuk

desain berpasangan dan juga sebagai pilihan standardizer terbaik adalah 𝑠𝑎𝑣.

Penggunaan 𝑠𝑎𝑣 untuk 𝑑, daripada 𝑠𝑑 menggambarkan bahwa effect size 𝑑

sebanding dengan 𝑑 yang dihitung pada pengujian satu kelompok atau dua

kelompok independen. Dengan kata lain, 𝑠𝑑 diperlukan untuk uji 𝑡 sampel

berpasangan, tetapi 𝑠𝑎𝑣 akan berguna bagi effect size 𝑑. Penggunaan dua standar

deviasi yang berbeda untuk dua tujuan berarti bahwa tidak ada hubungan antara 𝑑

dan uji 𝑡 dalam desain berpasangan.

Contoh 3.2.2. Tabel 3.2 menunjukkan data untuk sebuah percobaan dengan 10

siswa dipilih secara acak dengan �̅� adalah rata-rata Posttest-Pretest dan 𝑠𝑑 adalah

standar deviasi nilai Posttest-Pretest. Nilai kenyamanan siswa diukur sebelum

membaca buku di kebun botani sebagai data Pretest. Nilai kenyamanan siswa juga

diukur setelah membaca buku sebagai data Posttest.


112

Tabel 3.2 Nilai Kenyamanan untuk Pengujian Satu Kelompok Sebelum dan

Sesudah Percobaan

Peserta Pretest Posttest Selisih

(Post-Pre)

1 43 51 8

2 28 33 5

3 54 58 4

4 36 42 6

5 31 39 8

6 48 45 -3

7 50 54 4

8 69 68 -1

9 29 35 6

10 40 44 4

Rata-rata �̅�𝑝𝑟𝑒 = 42.8

�̅�𝑝𝑜𝑠𝑡 = 46.9

�̅� = 4.1

SD 𝑠𝑝𝑟𝑒 = 12.88 𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡 = 10.9 𝑠𝑑 = 3.57

𝑠𝑎𝑣 = 11.93

Salah satu pilihan terbaik untuk mengestimasi variabilitas nilai kenyamanan

di populasi adalah 𝑠𝑝𝑟𝑒, sehingga effect size 𝑑 adalah

𝑑 =�̅�

𝑠𝑝𝑟𝑒=

4.1

12.88= 0.32.

Jika percobaan diharapkan dapat meningkatkan standar deviasi, mungkin lebih

baik untuk menganggap kondisi pretest sebagai dasar dan memilih 𝑠𝑝𝑟𝑒 sebagai

standardizer. Namun, 𝑠𝑎𝑣 adalah pilihan yang lebih baik, sehingga


113

𝑑 =�̅�

𝑠𝑎𝑣=

4.1

11.93= 0.34.

Pemilihan 𝑠𝑑 sebagai standardizer sangat tidak disarankan karena terlalu sensitif,

perhitungan effect size 𝑑 pada contoh ini adalah

𝑑 =�̅�

𝑠𝑑=4.1

3.57= 1.15.

2. Selang Kepercayaan pada Effect Size 𝒅

Misalkan pengujian hipotesis adalah

𝐻0: 𝛿 = 0,

𝐻0: 𝛿 ≠ 0,

dengan 𝛿 adalah parameter perbedaan rata-rata yang distandardisasi.

Statistik uji yang digunakan untuk melakukan uji signifikansi adalah

𝑍 =𝑑 − 𝛿

𝑆𝐸𝑑,

dengan 𝑑 adalah effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi dan

𝑆𝐸𝑑 = √𝑉𝑑,

𝑉𝑑 adalah variansi 𝑑 pada persamaan (3.5).

Hipotesis nol ditolak jika |𝑍| melebihi 𝑧𝛼/2. Statistik uji 𝑍 dapat digunakan

sebagai Pivot untuk membentuk selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% bagi 𝛿. Oleh

karena itu, pembentukan selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% bagi 𝛿 diberikan oleh

𝑃(−𝑧𝛼/2 < 𝑍 < 𝑧𝛼/2) = 1 − 𝛼.

𝑃 (−𝑧𝛼/2 <𝑑 − 𝛿

𝑆𝐸𝑑< 𝑧𝛼/2) = 1 − 𝛼.


114

𝑃(𝑑 − 𝑧𝛼/2𝑆𝐸𝑑 < 𝛿 < 𝑑 + 𝑧𝛼/2𝑆𝐸𝑑) = 1 − 𝛼.

Jadi, selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% bagi 𝛿 adalah

𝑑 − 𝑧𝛼/2𝑆𝐸𝑑 < 𝛿 < 𝑑 + 𝑧𝛼/2𝑆𝐸𝑑 . (3.8)

Menurut Hedges (1985), aproksimasi selang kepercayaan pada

pertidaksamaan (3.8) akan bagus ketika ukuran sampel besar (𝑛 > 10). Oleh

karena itu, untuk sampel kecil, selang kepercayaan eksak bagi 𝛿 diperoleh dengan

menggunakan definisi 2.2.2. Dengan demikian, berdasarkan definisi 2.2.2,

distribusi dari 𝑑 mengikuti distribusi non-sentral 𝑡 dengan parameter non-sentral

Δ =𝜇2 − 𝜇1

𝜎√1

𝑛1+

1

𝑛2

.

Hubungan antara 𝛿 dan Δ harus ditentukan terlebih dahulu dan hubungan tersebut

akan menjadi statistik uji untuk membentuk selang kepercayaan bagi 𝛿.

Oleh karena

𝛿 =𝜇2 − 𝜇1𝜎

,

maka hubungan antara 𝛿 dan Δ adalah

Δ =𝛿

√1

𝑛1+

1

𝑛2

. (3.9)

Dengan demikian, statistik uji Δ pada persamaan (3.9) dapat digunakan sebagai

Pivot untuk membentuk selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% eksak bagi 𝛿.

Pembentukan selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% eksak bagi 𝛿 diberikan oleh

𝑃(−𝑡∗α/2 < Δ < 𝑡∗α/2) = 1 − 𝛼.


115

𝑃

(

−𝑡∗α/2 <𝛿

√1

𝑛1+

1

𝑛2

< 𝑡∗α/2

)

= 1 − 𝛼.

𝑃(−𝑡∗α/2√1

𝑛1+1

𝑛2< 𝛿 < 𝑡∗α/2√

1

𝑛1+1

𝑛2) = 1 − 𝛼.

Jadi, selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% eksak bagi 𝛿 adalah

−𝑡∗α/2√1

𝑛1+1

𝑛2< 𝛿 < 𝑡∗α/2√

1

𝑛1+1

𝑛2,

dengan 𝑡∗α/2 adalah parameter non-sentral Δ.

Dengan cara yang sama, selang kepercayaan bagi

𝛿 =𝜇1 − 𝜇0𝜎

,

adalah

−𝑡∗α/2√𝑛 < 𝛿 < 𝑡∗α/2√𝑛.

Selang kepercayaan eksak tersebut berlaku jika ukuran sampel kecil (𝑛 < 10) dan

jika ukuran sampel besar, maka aproksimasi selang kepercayaan bagi 𝛿 adalah

𝑑 − 𝑧𝛼/2𝜎

√𝑛< 𝛿 < 𝑑 + 𝑧𝛼/2

𝜎

√𝑛. (3.10)

Cumming (2012) menjelaskan bahwa penduga selang terbaik untuk 𝛿 adalah

selang kepercayaan pada 𝑑. Penduga selang ini berlaku untuk pengujian hipotesis

rata-rata satu populasi dan dua populasi.


116

Nilai 𝑑 dan selang kepercayaan dalam 𝑑 penting untuk dilaporkan dalam

penelitian. Cumming (2012) menyatakan bahwa Publication Manual

memberikan contoh dalam pelaporan 𝑑 dan selang kepercayaannya bersamaan

dengan hasil uji signifikansi, misalnya “𝑡(177)= 3.51, 𝑃 < 0.001, 𝑑 = 0.65,

95% CI [0.35,0.95]”, dengan 𝑡(177) adalah nilai 𝑡 berderajat bebas 177, nilai 𝑃

adalah probabilitas menolak hipotesis nol ketika hipotesis nol benar, CI

[0.35,0.95] menunjukkan bahwa ada perbedaan rata-rata yang signifikan. Ketika

peneliti ingin melaporkan nilai 𝑑, jangan lupa untuk menjelaskan bagaimana

proses perhitungan nilai 𝑑 tersebut.

D. Meta-Analisis pada 𝒅

Pada subbab ini akan dibahas model meta-analisis berupa model efek tetap dan

model efek acak, serta perhitungan meta-analisis pada 𝑑.

1. Model Meta-Analisis

Meta-analisis merupakan suatu teknik statistika untuk menggabungkan hasil

2 atau lebih penelitian sejenis sehingga diperoleh paduan data secara kuantitatif.

Saat ini meta-analisis paling banyak digunakan untuk uji klinis. Dengan kata lain,

meta-analisis merupakan gabungan effect size masing-masing studi yang

dilakukan dengan teknik statistika tertentu. Dengan melakukan studi meta-

analisis, peneliti dapat mengetahui letak perbedaan hasil masing-masing studi

dengan studi lainnya. Meta-analisis dilakukan sebagai upaya untuk mendapatkan

sebuah hasil studi yang mempunyai keabsahan yang lebih tinggi secara empiris

dan statistik dibandingkan dengan hanya melihat hasil satu penelitian saja.

Nindrea (2016) menjelaskan tujuan meta-analisis tidak berbeda dengan jenis

penelitian klinis lainnya, yaitu:

a. Untuk memperoleh estimasi effect size, yaitu kekuatan hubungan

ataupun besarnya perbedaan antar-variabel.


117

b. Melakukan inferensi dari data dalam sampel ke populasi, baik dengan

uji hipotesis (nilai 𝑃) maupun estimasi (selang kepercayaan).

c. Melakukan kontrol terhadap variabel yang potensial bersifat sebagai

perancu agar tidak mengganggu kemaknaan statistik dari hubungan atau

perbedaan.

Nindrea (2016) juga menjelaskan manfaat studi meta-analisis, yaitu:

a. Hasil studi dapat dilakukan generalisasi (inferensial).

b. Perbedaan hasil-hasil penelitian terdahulu dapat dikonformasi dan

diberikan keputusan mana hasil yang tepat atau lebih kuat.

c. Ketepatan hasil studi semakin meningkat dengan semakin banyaknya

data atau studi yang masuk ke dalam analisis.

Lucky (𝑁 = 44)

Noluck (𝑁 = 36)

MA

-2 0 2 4 6 8

Perbedaan antara Rata-rata

Gambar 3.2 Forest Plot yang Menggabungkan Hasil Lucky, Noluck dan

Kombinasi Meta-Analisis (MA)

Definisi 3.3.1. Meta-analisis adalah sekumpulan teknik kuantitatif untuk

menggabungkan bukti dari sejumlah studi terkait. Bukti sejumlah studi tersebut

dan meta-analisis digambarkan melalui gambaran selang kepercayaan yang

dinamakan forest plot (Gambar 3.2).


118

Dalam melakukan meta-analisis, khususnya untuk setiap studi, perlu

memasukkan nama studi, rata-rata, standar deviasi dan ukuran sampel. Meta-

analisis biasanya juga memberi bobot pada studi yang terkait, yaitu dengan invers

dari variansi effect size. Bobot yang besar akan menghasilkan standar deviasi yang

kecil, ukuran sampel (𝑛) yang besar dan direpresentasikan oleh kotak besar pada

forest plot. Selang kepercayaan yang pendek menunjukkan bahwa bobot yang

dihasilkan besar dan sebaliknya, selang kepercayaan yang panjang menunjukkan

bobot yang dihasilkan kecil.

Penggunaan yang lebih luas dari meta-analisis dapat menggantikan

penggunaan uji signifikansi. Keputusan publikasi yang didasarkan pada nilai 𝑃

dalam uji signifikansi cenderung mendistorsi literatur penelitian yang

dipublikasikan dan menghasilkan bias pada meta-analisis. Dengan kata lain,

kemungkinan bahwa hasil uji signifikansi yang tidak signifikan secara statistik

yang cenderung tidak dipublikasikan akan mengakibatkan bias pada meta-analisis.

a. Model Efek Tetap (Fixed Effect Model)

Model meta-analisis yang pertama adalah model efek tetap. Model efek tetap

mengasumsikan bahwa ada parameter tunggal dari populasi, misalnya 𝛿, dan

semua studi bertujuan mengestimasi 𝛿. Semua faktor yang terlibat dalam effect

size adalah sama (homogen) di semua studi. Dengan kata lain, semua studi yang

termuat dalam analisis memiliki fungsi yang identik. Tujuan penggunaan model

ini adalah mengidentifikasi populasi, bukan menggeneralisasinya ke populasi lain.

Karena semua studi berbagi efek yang sama, maka effect size yang

diobservasi bervariasi dari studi ke studi. Hal ini disebabkan oleh galat acak yang

ada di setiap studi (휀𝑖). Secara umum, efek 𝑌𝑖 yang diobservasi untuk setiap studi

diberikan oleh effect size populasi (𝛿) ditambah sampling error studi tersebut.


119

Jadi, model efek tetap adalah

𝑌𝑖 = 𝛿 + 휀𝑖,

dengan 휀𝑖 diasumsikan berdistribusi 𝑁(0, �̂�𝑖2).

Rata-rata terbobot perlu dihitung untuk mendapatkan estimasi yang paling

tepat dari efek populasi (untuk meminimumkan variansi). Bobot pada masing-

masing studi dalam model efek tetap adalah

𝑊𝑖 =1

𝑉𝑌𝑖, (3.11)

dengan 𝑉𝑌𝑖 adalah variansi untuk studi ke-i. Rata-rata terbobot (keseluruhan effect

size) dapat dihitung dengan

𝑀 =∑ 𝑊𝑖𝑌𝑖𝑘𝑖=1

∑ 𝑊𝑖𝑘𝑖=1

, (3.12)

dengan 𝑌𝑖 adalah effect size pada studi ke-i dan 𝑊𝑖 adalah bobot ke-i. Variansi dari

keseluruhan effect size diestimasi sebagai invers dari jumlah bobotnya, atau

𝑉𝑀 =1


, (3.13)

dan penduga standar error dari keseluruhan effect size adalah

𝑆𝐸𝑀 = √𝑉𝑀. (3.14)

Batas bawah dan batas atas kepercayaan 95% untuk estimasi keseluruhan effect

size adalah

𝐿𝐿𝑀 = 𝑀 − 1.96𝑆𝐸𝑀, (3.15)

𝑈𝐿𝑀 = 𝑀 + 1.96𝑆𝐸𝑀. (3.16)


120

Berdasarkan persamaan (2.4) di bab II, nilai 𝑧 untuk menguji hipotesis nol yang

rata-rata efeknya nol dapat dihitung sebagai

𝑍 =𝑀

𝑆𝐸𝑀. (3.17)

Nilai 𝑃 untuk uji hipotesis satu arah diberikan oleh

𝑃 = 1 − 𝛷(±|𝑍|),

dengan tanda ‘+’ digunakan jika perbedaannya adalah arah yang diharapkan,

tanda ‘−‘ sebaliknya. Sedangkan nilai 𝑃 untuk uji hipotesis dua arah diberikan

oleh

𝑃 = 2[1 − 𝛷(|𝑍|)], (3.18)

dengan 𝛷(|𝑍|) adalah distribusi kumulatif Normal Standar.

b. Model Efek Acak (Random Effects Model)

Misalkan studi ke-i mengestimasi 𝛿𝑖. Model efek acak (random effects model)

mengasumsikan bahwa ada parameter populasi 𝛿𝑖 dan setiap studi mengestimasi

𝛿𝑖 berdasarkan sampel secara acak. Model ini juga mengasumsikan bahwa 𝛿𝑖

berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝛿 dan standar deviasi 𝜏. Oleh karena itu,

parameter 𝜏2 adalah variansi dari parameter effect size di seluruh populasi studi.

Jika 𝜏2 = 0, maka semua 𝛿𝑖 akan sama dengan 𝛿 dan model meta-analisisnya

adalah model efek tetap.

Secara umum, tujuan meta-analisis menggunakan model efek acak adalah

untuk mengestimasi rata-rata dari distribusi 𝛿𝑖. Dengan kata lain, tujuan analisis

ini adalah untuk menggeneralisasi populasi ke berbagai skenario. Cumming

(2012) menyatakan bahwa model efek tetap seharusnya menjadi pilihan rutin, di

samping asumsi yang kuat pada modelnya. Jika faktor yang terlibat dalam effect


121

size adalah homogen di semua studi, maka model ini memberikan hasil yang sama

dengan model efek tetap.

Efek observasi 𝑌𝑖 untuk model efek acak diberikan oleh

𝑌𝑖 = 𝛿 + 𝑣𝑖 + 휀𝑖,

dengan 𝛿 adalah effect size populasi, 𝑣𝑖 ~ 𝑁(0, 𝜏2) adalah jarak antara 𝛿 dengan

𝛿𝑖 dan 휀𝑖 adalah sampling errornya. Dengan kata lain, 𝑌𝑖 ~ 𝑁(𝛿, 𝜎𝑖2 + 𝜏2).

Salah satu metode untuk mengestimasi 𝜏2 adalah metode DerSimonian dan

Laird. Penduga dari parameter 𝜏2 adalah

𝑇2 =𝑄 − 𝑑𝑓

𝐶, (3.19)

untuk 𝑄 > 𝑑𝑓 dengan

𝑄 =∑𝑊𝑖𝑌𝑖2 −

𝑘

𝑖=1

(∑ 𝑊𝑖𝑌𝑖𝑘𝑖=1 )

2


, (3.20)

𝐶 =∑𝑊𝑖

𝑘

𝑖=1

−∑ 𝑊𝑖

2𝑘𝑖=1


, (3.21)

𝑑𝑓 = 𝑘 − 1. (3.22)

Catatan: 𝑄 adalah variabilitas antara rata-rata studi (ukuran heterogenitas) dan 𝑘

adalah jumlah studi. Bukti bahwa penduga 𝜏2 adalah 𝑇2 dapat dilihat pada buku

karangan Chen, D. G dan Peace, K. E (2013) yang berjudul Applied Meta-

Analysis with R halaman 53.

Statistik 𝑄 digunakan untuk menguji heterogenitas pada uji signifikansi di

seluruh studi. Nilai 𝑄 > 𝑑𝑓 mengindikasikan bahwa 𝑇2 besar, akibatnya, studi

heterogen, pendugaan terhadap 𝜏2 besar dan model efek acak digunakan. Nilai 𝑄

yang dekat dengan 𝑑𝑓 adalah konsisten dengan homogenitas dan model efek

tetap. Dengan demikian, heterogenitas berhubungan dengan model efek acak.


122

Nilai 𝑇2 tidak dapat menjadi negatif meskipun 𝑄 < 𝑑𝑓. Hal ini disebabkan oleh

𝑇2 adalah variansi yang harus ditetapkan menjadi nol jika 𝑄 < 𝑑𝑓.

Metode lain untuk mengukur heterogenitas adalah perhitungan 𝐼2 yang

diberikan oleh

𝐼2 =𝑄 − 𝑑𝑓

𝑄x 100%. (3.23)

Di sini, 𝐼2 adalah persentase variabilitas total dari rata-rata studi yang

merefleksikan perbedaan populasi di 𝛿𝑖. Persentase 𝐼2 yang besar menunjukkan

bahwa heterogenitas besar dan 𝐼2 yang dekat dengan nol menunjukkan

homogenitas.

Perbedaan antara model efek tetap dan model efek acak adalah pada faktor

bobot kedua model. Bobot pada masing-masing studi dalam model efek acak

adalah

𝑊𝑖𝑅 =1

𝑉𝑌𝑖𝑅, (3.24)

dengan

𝑉𝑌𝑖𝑅 = 𝑉𝑌𝑖 + 𝑇2, (3.25)

dan 𝑉𝑌𝑖 adalah variansi untuk studi ke-i dan 𝑇2 adalah estimasi sampel dari 𝜏2.

Rata-rata terbobot (keseluruhan effect size) dapat dihitung sebagai

𝑀𝑅 =∑ 𝑊𝑖𝑅𝑌𝑖𝑘𝑖=1

∑ 𝑊𝑖𝑅𝑘𝑖=1

. (3.26)

Variansi dari keseluruhan effect size diestimasi sebagai invers dari jumlah

bobotnya, atau

𝑉𝑀𝑅=

1

∑ 𝑊𝑖𝑅𝑘𝑖=1

, (3.27)


123

dan penduga standar error dari keseluruhan effect size adalah

𝑆𝐸𝑀𝑅= √𝑉𝑀𝑅

. (3.28)

Batas bawah dan batas atas kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size

diestimasi sebagai

𝐿𝐿𝑀𝑅= 𝑀𝑅 − 1.96𝑆𝐸𝑀𝑅

, (3.29)

𝑈𝐿𝑀𝑅= 𝑀𝑅 + 1.96𝑆𝐸𝑀𝑅

. (3.30)

Berdasarkan persamaan (2.4) di bab II, nilai 𝑧 untuk menguji hipotesis nol yang

rata-rata efeknya nol dapat dihitung sebagai

𝑍𝑅 =𝑀𝑅

𝑆𝐸𝑀𝑅

. (3.31)

Nilai 𝑃 untuk uji hipotesis satu arah diberikan oleh

𝑃𝑅 = 1 − 𝛷(±|𝑍𝑅|),

dengan tanda ‘+’ digunakan jika perbedaannya adalah arah yang diharapkan,

tanda ‘−‘ sebaliknya.

Nilai 𝑃 untuk uji hipotesis dua arah diberikan oleh

𝑃𝑅 = 2[1 − 𝛷(|𝑍𝑅|)], (3.32)

dengan 𝛷(|𝑍𝑅|) adalah distribusi kumulatif Normal Standar.

2. Perhitungan Meta-Analisis pada 𝒅

Ketika melakukan meta-analisis dengan pengukuran effect size yang berbeda,

informasi tambahan yang dibutuhkan adalah rumus untuk variansi effect size.


124

Rumus variansi effect size dideskripsikan sebagai berikut:

Misalkan 𝑑𝑢𝑛𝑏 adalah effect size pada persamaan (3.3), maka untuk satu

populasi, variansi 𝑑 adalah

𝑉𝑖 =1

𝑛𝑖+𝑑𝑖2

2𝑛𝑖, (3.33)

dengan 𝑑𝑖, 𝑛𝑖, 𝑉𝑖 adalah effect size, ukuran sampel dan variansi 𝑑 untuk studi ke-i.

Borenstein et.al. (2009) menyatakan bahwa variansi dari 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk satu populasi

independen dan desain berpasangan adalah

𝑉𝑖′ = 𝐽2 x 𝑉𝑖, (3.34)

dengan 𝐽 adalah faktor pengoreksi 𝑑 pada persamaan (3.4) dan 𝑉𝑖′ adalah variansi

𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk studi ke-i.

Berdasarkan persamaan (3.5), variansi 𝑑 untuk dua populasi independen

adalah

𝑉𝑖 =𝑛1𝑖 + 𝑛2𝑖𝑛1𝑖𝑛2𝑖

+𝑑𝑖2

2(𝑛1𝑖 + 𝑛2𝑖), (3.35)

dengan 𝑛1𝑖 dan 𝑛2𝑖 adalah kedua ukuran sampel untuk studi ke-i.

Variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk dua populasi independen adalah

𝑉𝑖′ = 𝐽2 x 𝑉𝑖, (3.36)

dengan 𝐽 adalah faktor pengoreksi untuk mengonversi 𝑑 ke 𝑑𝑢𝑛𝑏 dan 𝑉𝑖′ adalah

variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk studi ke-i.


125

3. Analisis Sensitifitas

Peneliti harus menentukan apakah meta-analisis hanya dilakukan terhadap

laporan penelitian yang telah dipublikasi ataukah mencakup pula data yang tidak

dipublikasi. Bila meta-analisis hanya dilakukan terhadap laporan penelitian yang

telah dipublikasi, mungkin hasilnya tidak optimal, karena terdapatnya bias

publikasi. Bias publikasi muncul ketika studi yang termasuk dalam analisis

berbeda secara sistematis dari semua penelitian yang seharusnya disertakan.

Untuk mengetahui adanya bias publikasi penelitian, maka peneliti dapat

membuat grafik funnel plot. Funnel plot adalah plot standar error (SE) studi

(sumbu Y) terhadap effect size studi (sumbu X). Studi dengan ukuran sampel yang

besar muncul di bagian atas grafik dan umumnya berada di sekitar rata-rata efek.

Studi dengan ukuran sampel yang kecil muncul di bagian bawah grafik dan

cenderung menyebar di berbagai nilai. Bias publikasi ditandai dengan funnel plot

yang bersifat asimetris (Gambar 3.3).

Gambar 3.3 Contoh Funnel Plot dengan Model Efek Acak


126

Nindrea (2016) menjelaskan bahwa analisis sensitifitas perlu dilakukan

untuk menilai apakah satu hasil meta-analisis robust (relatif stabil terhadap

perubahan). Beberapa cara untuk melakukan analisis sensitifitas, yaitu

a. Membuat perbandingan hasil meta-analisis yang menggunakan model efek

acak dan model efek tetap. Jika hasil kedua model sama atau hampir sama,

maka kesimpulannya adalah variasi antar-penelitian tidak begitu penting

pada set data tersebut.

b. Diidentifikasi terdapatnya bias publikasi. Jika memang ada bias publikasi,

maka penelitian dengan ukuran sampel terbesar akan memberikan effect

size terkecil. Jika hal ini terjadi, maka penelitian dengan ukuran sampel

terkecil dicoba untuk tidak diikutsertakan dalam analisis. Bila hasil

akhirnya tetap sama atau identik, maka bias publikasi tidak berperan

cukup besar dalam meta-analisis.


127

BAB IV

PENERAPAN EFFECT SIZE PADA HASIL-HASIL PENELITIAN

A. Meta-Analisis pada Data Berpasangan

Meta-analisis dilakukan untuk memperoleh estimasi effect size dan

melakukan inferensi dari data dalam sampel ke populasi. Pada skripsi ini, masalah

yang ingin dijawab adalah seberapa besar perbedaan pendapatan pada usaha

mikro, kecil dan menengah sebelum dan sesudah mendapatkan kredit. Oleh

karena itu, meta-analisis dilakukan pada 5 skripsi jurusan Akuntansi dan Ilmu

Pengetahuan Sosial, khususnya untuk data berpasangan yang berjudul:

1. Studi Komparasi Perkembangan Usaha Mikro dan Kecil Masyarakat,

Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dari LKM Kube “Sejahtera”

Kecamatan Pundak Kabupaten Bantul. (Prastiwi, 2013)

2. Pengaruh Pemberian Kredit oleh Badan Usaha Kredit Pedesaan (BUKP)

terhadap Pendapatan Penjualan Usaha Mikro. (Indriastuti, 2012)

3. Perbedaan Omset Penjualan, Jumlah Tenaga Kerja, Biaya Produksi, dan

Keuntungan pada Pelaku Usaha Mikro Kecil dan Menengah di kota

Yogyakarta Sebelum dan Sesudah Mendapat Kredit dari Lembaga

Keuangan Koperasi. (Adi, 2012)

4. Peran Badan Usaha Kredit Pedesaan (BUKP) bagi Pengembangan Usaha

Kecil di Pedesaan. (Setyawan, 2000)

5. Peran Kredit Bank Perkreditan Rakyat bagi Pendapatan Usaha Kecil.

(Sekararum, 2008)

Dari kelima skripsi tersebut, pengujian hipotesis dilakukan pada tingkat

signifikansi 0.05 dengan tujuan mencari tahu apakah ada perbedaan atau tidak ada

perbedaan pendapatan yang signifikan sebelum dan sesudah mendapatkan kredit.

Estimasi effect size diperoleh dengan menggabungkan nilai keseluruhan efek pada

kelima skripsi. Penggabungan tersebut menggunakan model efek tetap dan model

efek acak. Semua perhitungan dilakukan dengan menggunakan program R versi

3.3.2 (Listing program terdapat pada Lampiran 1 dan 2).


128

1. Pengujian Hipotesis Rata-rata Selisih Pendapatan

Pengujian hipotesis rata-rata selisih pendapatan memiliki syarat normalitas data

(lihat bab II.F.1 halaman 70). Langkah-langkah uji Normalitas dengan

menggunakan Kolgomorov-Smirnov sebagai berikut

1. 𝐻0: Distribusi rata-rata selisih pendapatan usaha kecil, menengah sesudah

dan sebelum mendapatkan kredit Normal.

2. 𝐻1: Distribusi rata-rata selisih pendapatan usaha kecil, menengah sesudah

dan sebelum mendapatkan kredit tidak Normal.

3. 𝛼 = 0.05.

4. Statistik uji berupa deviasi maksimum distribusi kumulatif data dan

distribusi kumulatif Normal.

5. Wilayah kritis: 𝐻0 ditolak bila nilai 𝑃 < 𝛼.

6. Nilai 𝑃 pada masing-masing skripsi diperlihatkan pada tabel di bawah ini

Tabel 4.1 Nilai 𝑃 pada Data Berpasangan dengan Uji Kolgomorov-

Smirnov

Skripsi Nilai 𝑃

1 0.0644 > 𝛼

2 0.3907 > 𝛼

3 0.4683 > 𝛼

4 0.1053 > 𝛼

5 0.3331 > 𝛼

7. Kesimpulan

Pada tabel 4.1, nilai 𝑃 pada lima skripsi selalu lebih besar dari 𝛼. Oleh

karena itu, kesimpulannya adalah gagal untuk menolak hipotesis nol,

artinya, kelima skripsi memiliki rata-rata selisih pendapatan sesudah dan

sebelum mendapatkan kredit yang berdistribusi Normal.


129

Dari lima skripsi yang ada, hipotesis nol dan hipotesis alternatif adalah

𝐻0: 𝜇𝐷 = 0,

𝐻1: 𝜇𝐷 ≠ 0,

dengan 𝜇𝐷 adalah rata-rata selisih pendapatan usaha kecil, menengah sebelum dan

sesudah mendapatkan kredit.

2. Meta-Analisis 𝒅 pada Data Berpasangan

Misalkan 𝛿 adalah perbedaan rata-rata pendapatan usaha kecil, menengah

sebelum dan sesudah mendapatkan kredit. Untuk sampel berpasangan, effect size

perbedaan rata-rata yang distandardisasi (𝑑) dapat dihitung menggunakan

persamaan (3.7) dan (3.6), yaitu

𝑑 =�̅�

𝑠𝑎𝑣,

dengan �̅� adalah rata-rata sampel selisih pendapatan sesudah mendapatkan kredit

dengan sebelum mendapatkan kredit dan

𝑠𝑎𝑣 = √𝑠𝑝𝑟𝑒2 + 𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡2

2, (4.1)

𝑠𝑝𝑟𝑒2 adalah variansi pendapatan sebelum mendapatkan kredit, 𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡

2 adalah

variansi pendapatan sesudah mendapatkan kredit.

Standar deviasi pendapatan sebelum (𝑠𝑝𝑟𝑒) dan sesudah mendapatkan kredit

(𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡) adalah

𝑠 = √∑ (𝑥𝑖 − �̅�)𝑛𝑖=1

𝑛 − 1, (4.2)


130

dengan 𝑥𝑖 adalah pendapatan ke-i sebelum dan sesudah mendapatkan kredit, �̅�

adalah rata-rata pendapatan dan 𝑛 adalah jumlah sampel pada data

sebelum/sesudah mendapatkan kredit.

Berdasarkan persamaan (4.2), standar deviasi pendapatan sebelum

mendapatkan kredit pada lima skripsi (𝑠𝑝𝑟𝑒) berturut-turut adalah

(1) . 11130089.69 (2). 84767.43 (3). 1845472.6 (4). 180716.29 (5). 1348294.8.

Dengan cara yang sama, standar deviasi pendapatan sesudah mendapatkan kredit

pada lima skripsi (𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡) berturut-turut adalah

(1) . 12536833.55 (2). 143723.47 (3). 2145787.35 (4). 220116.9 (5). 1571168.81.

Berdasarkan persamaan (4.1), standar deviasi dari rata-rata antara 𝑠𝑝𝑟𝑒 dan

𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡 (𝑠𝑎𝑣) pada lima skripsi adalah

(1) . 11854347.1 (2). 117987.1 (3). 2001271.1 (4). 201382.5 (5). 1463979.23.

Rata-rata sampel selisih pendapatan sesudah mendapatkan kredit dan sebelum

mendapatkan kredit, yaitu �̅� berturut-turut adalah

(1). 1456666.7 (2). 340666.667 (3). 1244285.7 (4). 80700 (5). 753000.

Berdasarkan persamaan (3.7), effect size 𝑑 pada kelima skripsi adalah

(1) . 0.122880379 (2). 2.8873191 (3). 0.6217477 (4). 0.4007299 (5). 0.5143516.

Karena 𝑑 adalah penduga yang bias bagi 𝛿, maka faktor pengoreksi pada

persamaan (3.4), yaitu

𝐽 = 1 −3

4𝑑𝑓 − 1,

dengan

𝑑𝑓 = 𝑛 − 1,

pada kelima skripsi nilai 𝐽 berturut-turut adalah

(1) . 0.973913043 (2). 0.973913 (3). 0.962025 (4). 0.9846154 (5). 0.9846154.


131

Dengan menggunakan persamaan (3.3), penduga tak bias bagi 𝛿, yaitu

𝑑𝑢𝑛𝑏 = 𝐽 x 𝑑,

pada kelima skripsi nilai 𝑑𝑢𝑛𝑏 adalah

(1) . 0.119674804 (2). 2.8119977 (3). 0.598137 (4). 0.394564 (5). 0.5064385.

Selang kepercayaan 95% bagi 𝛿 dapat dihitung dengan menggunakan

pertidaksamaan (3.8), yaitu

𝑑 − 1.96 𝑆𝐸𝑑 < 𝛿 < 𝑑 + 1.96 𝑆𝐸𝑑 ,

dengan

𝑆𝐸𝑑 = √𝑉𝑑.

Dengan menggunakan persamaan (3.34) dan (3.33), variansi dari penduga tak

bias bagi 𝛿 adalah

𝑉𝑑𝑢𝑛𝑏 = 𝐽2 x 𝑉𝑑𝑖 ,

dengan

𝑉𝑑𝑖 =1

𝑛𝑖+𝑑𝑖2

2𝑛𝑖, 𝑖 = 1,2… ,5.

Variansi 𝑑 pada masing-masing skripsi adalah

(1) . 0.0335849 (2). 0.1722768 (3). 0.0568231 (4). 0.0216058 (5). 0.0226455.

Variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 pada masing-masing skripsi adalah

(1) . 0.0318555 (2). 0.16340574 (3). 0.0525893 (4). 0.02094616 (5). 0.0219541.

Standar error (𝑆𝐸𝑑𝑢𝑛𝑏) pada masing-masing skripsi adalah

(1). 0.1784813 (2). 0.4042348 (3). 0.2293237 (4). 0.1447279 (5). 0.1481693.


132

Dengan demikian, pada masing-masing skripsi, selang kepercayaan 95 % bagi 𝛿

adalah

(1). [-0.2363133 0.4820741]

(2). [2.0737966 3.7008415]

(3). [0.1545308 1.0889646]

(4). [0.1126309 0.6888289]

(5). [0.2194020 0.8093011].

a. Model Meta-Analisis Efek Tetap untuk Data Berpasangan

Misalkan 𝑌𝑖 adalah effect size perbedaan rata-rata yang distandardisasi (𝑑𝑢𝑛𝑏).

Dengan menggunakan persamaan (3.11), bobot masing-masing studi dalam

model efek tetap adalah

𝑊𝑖 =1

𝑉𝑌𝑖,

dengan 𝑉𝑌𝑖 adalah variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk studi ke-i = 1,2,…,5.

Untuk skripsi 1,

𝑊1 =1

0.03185559= 31.391666.

Untuk skripsi 2 hingga kelima, proses perhitungan dapat dilihat pada tabel 4.2.

Persentase bobot relatif pada model efek tetap dapat dihitung sebagai

berikut

Relatif.w = 𝑊𝑖

∑ 𝑊𝑖𝑛𝑖=1

x 100%, 𝑖 = 1,2, … ,5.


133

Berdasarkan persamaan sebelumnya, persentase bobot relatif (%) pada masing-

masing skripsi adalah

(1) 20.95 (2) 4.08 (3) 12.69 (4) 31.87 (5) 30.40.

Tabel 4.2 Perhitungan Data Berpasangan dengan Model Efek Tetap

Skripsi Effect Size Variansi Bobot Perhitungan

𝑌𝑖 𝑉𝑌𝑖 𝑊𝑖 𝑊𝑖𝑌𝑖 𝑊𝑖𝑌𝑖2 𝑊𝑖

2

Prastiwi 0.119674804 0.03186 31.3917 3.75679 0.44959 985.437

Indriastuti 2.8119977 0.16341 6.11974 17.2087 48.3908 37.4512

Adi 0.598137 0.05259 19.0153 11.3737 6.80305 361.58

Setyawan 0.3945648 0.02095 47.7414 18.8371 7.43245 2279.25

Sekararum 0.5064385 0.02195 45.5495 23.068 11.6825 2074.75

Jumlah 149.818 74.2443 74.7584 5738.47

Berdasarkan perhitungan pada tabel 4.2 dan persamaan (3.12), rata-rata

terbobot untuk keseluruhan effect size dengan model efek tetap dapat dihitung

sebagai

𝑀 =∑ 𝑊𝑖𝑌𝑖5𝑖=1

∑ 𝑊𝑖5𝑖=1

=74.2443

149.8176= 0.4955647,

dengan standar error dari keseluruhan effect size (persamaan 3.14) adalah

𝑆𝐸𝑀 = √1

∑ 𝑊𝑖5𝑖=1

= √1

149.8176= 0.08169935.

Berdasarkan persamaan (3.15) dan (3.16), batas bawah dan batas atas

kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dengan model efek tetap

diestimasi sebagai


134

𝐿𝐿𝑀 = 𝑀 − 1.96𝑆𝐸𝑀,

𝑈𝐿𝑀 = 𝑀 + 1.96𝑆𝐸𝑀.

Jadi, selang kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size adalah

[0.335434 0.6556954]

Dengan menggunakan persamaan (3.17), nilai 𝑧 untuk menguji hipotesis nol

adalah

𝑍 =𝑀

𝑆𝐸𝑀=0.4955647

0.08169935= 6.065711.

Nilai 𝑃 pada persamaan (3.18) untuk menguji hipotesis nol adalah

𝑃 = 2[1 − 𝛷(|𝑍|)] = 2[1 − 𝛷(|6.065|)] = 1.313708𝑒 − 09.

Tabel 4.3 Meta-Analisis Rata-rata Selisih Pendapatan Usaha Kecil, Menengah

Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dengan Model Efek Tetap

Data Bobot (%) SMD Tetap 95% CI

1 20.95% 0.12 [-0.24,0.48]

2 4.08% 2.812 [2.07,3.7]

3 12.69% 0.598 [0.15,1.09]

4 31.87% 0.395 [0.11,0.69]

5 30.40% 0.506 [0.22,0.81]

Total SMD

95% CI

0.495

[0.335,0.656]

Nilai 𝑃 1.3 x 10−9


135

Tabel 4.3 memperlihatkan bahwa analisis model efek tetap menghasilkan

nilai gabungan SMD (standardized mean difference) sebesar 0.495 dengan selang

kepercayaan (CI) 95% [0.335,0.656]. Oleh karena

nilai 𝑃 = 1.313708𝑒 − 09 < 𝛼 = 0.05,

maka keputusan pengujian hipotesis menggunakan model efek tetap adalah

hipotesis nol ditolak, sehingga ada efek sedang pada perbedaan rata-rata selisih

pendapatan usaha kecil, menengah sebelum dan sesudah mendapatkan kredit.

Untuk melihat apakah model penggabungan effect size dengan model efek tetap

sudah tepat atau belum, maka pada subbab selanjutnya perlu dicari nilai

heterogenitas antar-skripsi.

b. Model Meta-Analisis Efek Acak untuk Data Berpasangan


Model efek acak menggunakan asumsi bahwa studi heterogen. Oleh karena itu,

metode DerSimonian dan Laird digunakan untuk mengestimasi variansi antar

studi 𝜏2. Dengan menggunakan persamaan (3.19), penduga dari 𝜏2 adalah


𝐶,

berdasarkan tabel 4.2, perhitungan 𝑄 dan 𝐶 adalah


𝑘

𝑖=1


2


= 74.7584 − (74.24432

149.818) = 37.96554,

𝐶 =∑𝑊𝑖

𝑘

𝑖=1

−∑ 𝑊𝑖

2𝑘𝑖=1


= 111.5145,

𝑑𝑓 = 5 − 1 = 4.

Dengan demikian, nilai variansi antar studi (𝑇2) digunakan untuk semua studi,

dengan


136

𝑇2 =37.96554 − 4

111.5145= 0.304584.

Oleh karena nilai 𝑄 > 𝑑𝑓, maka pendugaan terhadap 𝜏2 besar dan studi heterogen

sehingga model efek acak lebih cocok digunakan. Dengan cara yang sama,

heterogenitas dapat diukur dengan menggunakan persamaan (3.23), yaitu


𝑄x 100% =

37.96554 − 4

37.96554x 100% = 89.5%.

Persentase 𝐼2 yang besar menunjukkan bahwa adanya perbedaan populasi antar

studi sebanyak 89.5% (studi heterogen).

Dengan menggunakan persamaan (3.24), bobot masing-masing studi

dalam model efek acak adalah

𝑊𝑖𝑅 =1

𝑉𝑌𝑖𝑅,

dengan

𝑉𝑌𝑖𝑅 = 𝑉𝑌𝑖 + 𝑇2,

dan 𝑉𝑌𝑖 adalah variansi untuk studi ke-i =1,2,…,5 dan 𝑇2 adalah estimasi sampel

dari 𝜏2.

Untuk skripsi 1,

𝑊1𝑅 =1

𝑉𝑌1𝑅=

1

0.33643959= 2.9723.

Proses perhitungan dapat dilihat pada tabel 4.4.

Persentase bobot relatif pada model efek acak dapat dihitung sebagai berikut

Relatif.wR = 𝑊𝑖𝑅

∑ 𝑊𝑖5𝑖=1 𝑅

x 100%, 𝑖 = 1,2, … ,5.


137

Berdasarkan persamaan sebelumnya, persentase bobot relatif (%) pada masing-

masing skripsi adalah

(1). 21.2 (2). 15.2 (3). 19.9 (4). 21.9 (5). 21.8.

Tabel 4.4 Perhitungan Data Berpasangan dengan Model Efek Acak

Skripsi Effect

Size Variansi

Variansi

antar

Studi

Total

Variansi Bobot 𝑊𝑖𝑅𝑌𝑖𝑅

𝑌𝑖𝑅 𝑉𝑌𝑖 𝑇2 𝑉𝑌𝑖 + 𝑇2 𝑊𝑖𝑅

Prastiwi 0.11967 0.03186 0.30458 0.33643959 2.9723 0.35571

Indriastuti 2.812 0.16341 0.30458 0.46798974 2.1368 6.00867

Adi 0.59814 0.05259 0.30458 0.35717336 2.79976 1.67464

Setyawan 0.39456 0.02095 0.30458 0.32553016 3.07191 1.21207

Sekararum 0.50644 0.02195 0.30458 0.32653815 3.06243 1.55093

Jumlah 14.0432 10.802

Berdasarkan tabel 4.4 dan persamaan (3.26), rata-rata terbobot untuk

keseluruhan effect size dengan model efek acak dapat dihitung sebagai

𝑀𝑅 =∑ 𝑊𝑖𝑅𝑌𝑖𝑅5𝑖=1

∑ 𝑊𝑖𝑅5𝑖=1

=10.802

14.0432= 0.769199,

dengan perkiraan standar error dari keseluruhan effect size (persamaan 3.28)

adalah

𝑆𝐸𝑀𝑅= √

1


= √1

14.0432= 0.26685.


kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dengan model efek acak

diestimasi sebagai


138


,


.

Jadi, selang kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size adalah

[0.2461738 1.292225]


adalah

𝑍𝑅 =𝑀𝑅

𝑆𝐸𝑀𝑅

=0.769199

0.26685= 2.882518.


𝑃 = 2[1 − 𝛷(|𝑍|)] = 2[1 − 𝛷(|2.882518|)] = 0.003945102.

Tabel 4.5 Meta-Analisis Rata-rata Selisih Pendapatan Usaha Kecil, Menengah

Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dengan Model Efek Acak


1 21.2% 0.12 [-0.24,0.48]

2 15.2% 2.812 [2.07,3.7]

3 19.9% 0.598 [0.15,1.09]

4 21.9% 0.395 [0.11,0.69]

5 21.8% 0.506 [0.22,0.81]

Total SMD

95% CI

0.769

[0.246,1.292]

Heterogenitas < 0.0001

Nilai 𝑃 0.003945102


139

Tabel 4.5 memperlihatkan bahwa analisis model efek acak menghasilkan

nilai gabungan SMD (standardized mean difference) sebesar 0.769 dengan selang

kepercayaan (CI) 95% [0.246, 1.292]. Oleh karena

nilai 𝑃 = 0.0039 < 𝛼 = 0.05,

maka keputusan pengujian hipotesis menggunakan model efek acak adalah

hipotesis nol ditolak, sehingga ada efek besar pada perbedaan rata-rata selisih

pendapatan usaha kecil, menengah sebelum dan sesudah mendapatkan kredit.

Variasi antar-data adalah heterogen, hal ini dapat dilihat dari nilai 𝑃 pada uji

heterogenitas adalah 0, lebih kecil daripada 0.05.

Untuk mengetahui variasi data maka dapat dilihat pada grafik funnel plot,

yang dapat dilihat pada gambar 4.1.

Gambar 4.1 Funnel Plot Meta-Analisis Data Berpasangan

Gambar 4.1 menunjukkan bahwa variasi data skripsi yang heterogen (kelima data

tidak simetris), artinya apabila analisis dilakukan pada populasi, waktu, tempat

dan kondisi yang berbeda maka hasilnya akan berbeda. Oleh karena itu, bias

publikasi berperan penting dalam meta-analisis ini.

Hasil meta-analisis untuk data berpasangan ditampilkan pada forest plot,



140

Gambar 4.2 Forest Plot Data Berpasangan untuk Model Efek Tetap (sebelah kiri)

dan Model Efek Acak (sebelah kanan)

B. Meta-Analisis pada Data Independen

Pengambilan data dilakukan secara hipotetik, yaitu data berdistribusi Normal

dibangkitkan secara acak dengan rata-rata populasi 120, standar deviasi populasi

14 dan ukuran sampel berturut-turut adalah 35, 40, 50, 25, 55. Data dapat dilihat

pada Lampiran 3. Meta-analisis dilakukan untuk mengestimasi effect size yang

diperoleh dengan menggabungkan nilai keseluruhan efek pada kelima data

tersebut. Semua perhitungan dilakukan dengan menggunakan program R versi

3.3.2 (Listing program ada pada Lampiran 4 dan 5).

1. Pengujian Hipotesis Rata-rata Kelompok Eksperimen dan Kontrol

Misalkan 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1,2, … ,5 adalah sampel kelompok eksperimen yang dibangkitkan

secara acak dari data berdistribusi Normal dengan rata-rata populasi 120, standar

deviasi populasi 14 dan ukuran sampel berturut-turut adalah 35, 40, 50, 25, 55.


141

Sedangkan 𝑦𝑖, 𝑖 = 1,2, … ,5 adalah sampel kelompok kontrol yang dibangkitkan

secara acak dari data berdistribusi Normal dengan rata-rata populasi 120, standar

deviasi populasi 14 dan ukuran sampel berturut-turut adalah 35, 40, 50, 25, 55.

Data ke-i adalah data sampel 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑖 dengan 𝑖 = 1,2, … ,5 yang akan dilihat

effect sizenya.

Uji Homogenitas Variansi dengan Uji Levenne

Uji homogenitas variansi dilakukan untuk memenuhi asumsi pengujian

hipotesis dengan uji 𝑡, yaitu variansi kedua populasi sama besar. Langkah-langkah

pengujian sebagai berikut:

1. 𝐻0: 𝜎𝑥𝑖2 = 𝜎𝑦𝑖

2, 𝑖 = 1,2, … ,5.

2. 𝐻1: 𝜎𝑥𝑖2 ≠ 𝜎𝑦𝑖

2, 𝑖 = 1,2, … ,5.

3. 𝛼 = 0.05.

4. Statistik uji: Uji F

5. Wilayah kritis: 𝐻0 ditolak bila nilai 𝑃 < 0.05,

6. Perhitungan

Tabel 4.6 Uji Homogenitas Variansi dengan Uji Levenne

Data Nilai 𝑃

1 0.4858 > 𝛼

2 0.4454 > 𝛼

3 0.4776 > 𝛼

4 0.8247 > 𝛼

5 0.6193 > 𝛼


142

7. Kesimpulan

Pada tabel 4.6, nilai 𝑃 > 𝛼, maka hipotesis nol gagal untuk ditolak,

artinya kedua variansi populasi sama besar.

Dari lima data yang ada, pengujian hipotesis rata-rata dua populasi

dilakukan sebagai berikut

1. Hipotesis nol dan hipotesis alternatif

𝐻0: 𝜇𝑥𝑖 = 𝜇𝑦𝑖 ,

𝐻1: 𝜇𝑥𝑖 ≠ 𝜇𝑦𝑖 ,

dengan 𝜇𝑥𝑖, 𝜇𝑦𝑖 adalah rata-rata populasi untuk data ke- 𝑖 = 1,2, … ,5.

2. 𝛼 = 0.05

3. Dengan menggunakan persamaan (2.7) dan (2.8), statistik uji untuk

pengujian hipotesis rata-rata dua populasi adalah

𝑡 =(�̅�1 − �̅�2) − 𝑑0

𝑠𝑝√(1/𝑛1) + (1/𝑛2), 𝑠𝑝

2 =𝑠12(𝑛1 − 1) + 𝑠2

2(𝑛2 − 1)

𝑛1 + 𝑛2 − 2,

dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2.

4. Daerah kritis: 𝐻0 ditolak jika |𝑡| > 𝑡0.025(𝑣)

5. Perhitungan:

Tabel 4.7 Uji 𝑡 dengan Tingkat Signifikansi 0.05

Data 𝑡 𝑣 𝑡𝛼(𝑣)

1 2.9109 68 2

2 2.2271 78 2

3 2.1205 98 1.99

4 -1.6137 48 2.021

5 2.3612 108 1.99


143

6. Kesimpulan: Pada tabel 4.7, nilai |𝑡| untuk data ke-1,2,3 dan 5 selalu lebih

besar dari 𝑡0.025(𝑣). Oleh karena itu, hipotesis nol ditolak dan ada

perbedaan yang signifikan antara rata-rata populasi data 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑖, dengan

𝑖 = 1,2,3,5. Sementara itu, nilai |𝑡| untuk data ke-4 kurang dari 𝑡0.025(𝑣)

sehingga tidak ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata populasi

data 𝑥4 dan 𝑦4.

Dengan menggunakan pertidaksamaan (2.3), selang kepercayaan bagi

𝜇𝑥𝑖 − 𝜇𝑦𝑖 adalah

(1). [3.205576 17.181073]

(2). [0.678295 12.108489]

(3). [0.3609533 10.8953272]

(4). [-14.992311 1.642124]

(5). [0.9622474 11.0261580].

Oleh karena selang kepercayaan bagi 𝜇𝑥4 − 𝜇𝑦4 memuat nilai 0, maka kesimpulan

uji hipotesis perbedaan rata-rata dua populasi adalah tidak ada perbedaan yang

signifikan antara rata-rata populasi data 𝑥4 dan 𝑦4. Selain itu, selang kepercayaan

pada nomor (1), (2), (3) dan (5) tidak memuat nilai 0, sehingga kesimpulannya

adalah ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata populasi data 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑖,

dengan 𝑖 = 1,2,3,5.

2. Meta-analisis 𝒅 pada Data Independen

Pemenuhan asumsi homogenitas variansi yang terpenuhi mengakibatkan

bahwa standardizer yang dipilih pada kasus ini adalah standar deviasi sampel


144

gabungan (𝑠𝑝). Misalkan 𝛿 adalah perbedaan rata-rata populasi antara kelompok

eksperimen dan kelompok kontrol. Untuk sampel independen, effect size

perbedaan rata-rata yang distandardisasi (𝑑) dapat dihitung menggunakan

𝑑 =�̅�2 − �̅�1𝑠𝑝

, (4.3)

dengan �̅�2 adalah rata-rata sampel kelompok eksperimen 𝑥𝑖 , �̅�1 adalah rata-rata

sampel kelompok kontrol 𝑦𝑖, 𝑖 = 1,2, … ,5, dan

𝑠𝑝 = √(𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠22

𝑛1 + 𝑛2 − 2. (4.4)

Berdasarkan persamaan (4.4), hasil perhitungan standar deviasi sampel gabungan

adalah

(1). 14.64911 (2). 12.83810 (3). 13.27103 (4). 14.62513 (5). 13.31256.

Nilai dari �̅�2 − �̅�1 dapat dihitung sebagai selisih rata-rata antara sampel

kelompok eksperimen dan kelompok kontrol. Nilai dari �̅�2 − �̅�1 berturut-turut

adalah

(1) . 10.193325 (2). 6.393391 (3). 5.628140 (4). -6.675093 (5). 5.994202.

Dengan menggunakan persamaan (4.3), effect size 𝑑 pada kelima skripsi adalah

(1). 0.6958322 (2). 0.4980014 (3). 0.4240921 (4). -0.4564124 (5). 0.4502668.

Karena 𝑑 adalah penduga yang bias bagi 𝛿, maka faktor pengoreksi pada

persamaan (3.4), yaitu

𝐽 = 1 −3

4𝑑𝑓 − 1,


145

dengan

𝑑𝑓 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2,

pada kelima data nilai 𝐽 berturut-turut adalah

(1). 0.9889299 (2). 0.9903537 (3). 0.9923274 (4). 0.9842932 (5). 0.9930394.

Dengan menggunakan persamaan (3.3), penduga tak bias bagi 𝛿, yaitu

𝑑𝑢𝑛𝑏 = 𝐽 x 𝑑,

pada kelima data nilai 𝑑𝑢𝑛𝑏 adalah

(1). 0.6881293 (2). 0.4931976 (3). 0.4208382 (4). -0.4492436 (5). 0.4471327.

Selang kepercayaan 95% bagi 𝛿 dapat dihitung dengan menggunakan

pertidaksamaan (3.8), yaitu

𝑑 − 1.96 𝑆𝐸𝑑 < 𝛿 < 𝑑 + 1.96 𝑆𝐸𝑑 ,

dengan

𝑆𝐸𝑑 = √𝑉𝑑.

Dengan menggunakan persamaan (3.35), variansi 𝑑 adalah

𝑉𝑖 =𝑛1𝑖 + 𝑛2𝑖𝑛1𝑖𝑛2𝑖

+𝑑𝑖2

2(𝑛1𝑖 + 𝑛2𝑖),

dengan 𝑛1𝑖 dan 𝑛2𝑖 adalah kedua ukuran sampel untuk data ke-i =1,2,…,5.

Dengan menggunakan persamaan (3.36), variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk dua populasi

independen adalah

𝑉𝑖′ = 𝐽2 x 𝑉𝑖,


146

dengan 𝐽 adalah faktor pengoreksi untuk mengonversi 𝑑 ke 𝑑𝑢𝑛𝑏 dan 𝑉𝑖′ adalah

variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk data ke-i.

Variansi 𝑑 (𝑉𝑖, 𝑖 = 1,2, … ,5) pada masing-masing data adalah

(1). 0.0606013 (2). 0.05155003 (3). 0.04089927 (4). 0.08208312 (5). 0.03728518.

Variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 pada masing-masing data adalah

(1). 0.059267 (2). 0.0505603 (3). 0.04027407 (4). 0.07952485 (5). 0.03676794.

Standar error (𝑆𝐸𝑑𝑢𝑛𝑏) pada masing-masing data adalah

(1) . 0.2434482 (2). 0.2248562 (3). 0.2006840 (4). 0.2820015 (5). 0.1917497.

Dengan demikian, pada masing-masing data, selang kepercayaan 95% bagi 𝛿

adalah

(1). [0.21333253 1.1783319]

(2). [0.05299063 0.9430122]

(3). [0.02771013 0.820474]

(4). [-1.0179554 0.1051306]

(5). [0.07180313 0.8287305].

a. Model Meta-Analisis Efek Tetap untuk Data Independen


Dengan menggunakan persamaan (3.11), bobot masing-masing studi dalam

model efek tetap adalah

𝑊𝑖 =1

𝑉𝑌𝑖,

dengan 𝑉𝑌𝑖 adalah variansi 𝑑𝑢𝑛𝑏 untuk data ke-i = 1,2,…,5.


147

Untuk data 1,

𝑊1 =1

0.059267= 16.87279.

Proses perhitungan dapat dilihat pada tabel 4.8.

Persentase bobot relatif pada model efek tetap dapat dihitung sebagai

berikut

Relatif.w = 𝑊𝑖

∑ 𝑊𝑖5𝑖=1

x 100%, 𝑖 = 1,2, … ,5. (4.5)

Berdasarkan persamaan (4.5), persentase bobot relatif (%) pada masing-masing

data adalah

(1). 16.7 (2). 19.5 (3). 24.5 (4). 12.4 (5). 26.9.

Tabel 4.8 Perhitungan Data Independen dengan Model Efek Tetap

Data Effect Size Variansi Bobot Perhitungan

𝑌𝑖 𝑉𝑌𝑖 𝑊𝑖 𝑊𝑖𝑌𝑖 𝑊𝑖𝑌𝑖2 𝑊𝑖

2

1 0.688129 0.059267 16.8728 11.6107 7.99 284.69

2 0.493197 0.050560 19.7784 9.75464 4.81 391.18

3 0.420838 0.040274 24.8299 10.4494 4.40 616.52

4 -0.449243 0.079524 12.5747 -5.6491 2.54 158.12

5 0.447132 0.036767 27.1976 12.1609 5.44 739.71

Jumlah 101.253 38.3265 25.17 2190.23


148


keseluruhan effect size dengan model efek tetap dapat dihitung sebagai

𝑀 =∑ 𝑊𝑖𝑌𝑖5𝑖=1

∑ 𝑊𝑖5𝑖=1

=38.3265

101.253= 0.378521,

dengan standar error dari keseluruhan effect size (persamaan 3.14) adalah

𝑆𝐸𝑀 = √1

∑ 𝑊𝑖5𝑖=1

= √1

101.253= 0.09937918.


kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dalam model efek tetap diestimasi

sebagai

𝐿𝐿𝑀 = 𝑀 − 1.96𝑆𝐸𝑀,

𝑈𝐿𝑀 = 𝑀 + 1.96𝑆𝐸𝑀.

Jadi, selang kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dalam model efek

tetap adalah

[0.1837378 0.5733041]


adalah

𝑍 =𝑀

𝑆𝐸𝑀=

0.378521

0.09937918.= 3.808856.


𝑃 = 2[1 − 𝛷(|𝑍|)] = 2[1 − 𝛷(|3.808856|)] = 0.000139.


149


Eksperimen dan Kelompok Kontrol dengan Model Efek Tetap


1 16.70% 0.688 [0.21,1.17]

2 19.50% 0.493 [0.05,0.94]

3 24.50% 0.421 [0.02,0.82]

4 12.40% -0.449 [-1.01,0.11]

5 26.90% 0.447 [0.07,0.83]

Total SMD

95% CI

0.379

[0.184,0.573]

Nilai 𝑃 0.000139

Tabel 4.9 memperlihatkan bahwa analisis model efek tetap menghasilkan

nilai gabungan SMD sebesar 0.379 dengan selang kepercayaan (CI) 95%

[0.184,0.573]. Oleh karena

nilai 𝑃 = 0.000139 < 𝛼 = 0.05,

maka keputusan pengujian hipotesis menggunakan model efek tetap adalah

hipotesis nol ditolak, sehingga ada efek sedang pada perbedaan rata-rata

kelompok eksperimen dan kelompok kontrol. Untuk melihat apakah model

penggabungan effect size dengan model efek tetap sudah tepat atau belum, maka

pada subbab selanjutnya perlu dicari nilai heterogenitas antar-data.


150

b. Model Meta-Analisis Efek Acak untuk Data Independen


Model efek acak menggunakan asumsi bahwa studi heterogen. Oleh karena itu,

metode DerSimonian dan Laird digunakan untuk mengestimasi variansi antar

studi 𝜏2. Dengan menggunakan persamaan (3.19), penduga dari 𝜏2 adalah


𝐶,

berdasarkan tabel 4.8, perhitungan 𝑄 dan 𝐶 adalah


𝑘

𝑖=1


2


= 25.17347 − (38.32652

101.253) = 10.66608,

𝐶 =∑𝑊𝑖

𝑘

𝑖=1

−∑ 𝑊𝑖

2𝑘𝑖=1


= 79.62214,

𝑑𝑓 = 5 − 1 = 4.

Dengan demikian, nilai variansi antar studi (𝑇2) digunakan untuk semua studi,

dengan

𝑇2 =10.66608 − 4

79.62214= 0.0837.

Oleh karena nilai 𝑄 > 𝑑𝑓, maka pendugaan terhadap 𝜏2 cukup besar dan data

heterogen sehingga model efek acak lebih cocok digunakan. Dengan cara yang

sama, heterogenitas dapat diukur dengan menggunakan persamaan (3.23),


𝑄x 100% =

10.66608 − 4

10.66608x 100% = 62.5%.

Persentase 𝐼2 yang besar menunjukkan bahwa adanya perbedaan populasi antar

studi sebanyak 62.5% (studi heterogen).


151

Dengan menggunakan persamaan (3.24), bobot pada masing-masing data

dalam model efek acak adalah

𝑊𝑖𝑅 =1

𝑉𝑌𝑖𝑅,

dengan

𝑉𝑌𝑖𝑅 = 𝑉𝑌𝑖 + 𝑇2,

dan 𝑉𝑌𝑖 adalah variansi untuk data ke-i =1,2,…,5 dan 𝑇2 adalah estimasi sampel

dari 𝜏2.

Untuk data 1,

𝑊1𝑅 =1

𝑉𝑌1𝑅=

1

0.1405= 6.993571.

Untuk data 2 hingga kelima, proses perhitungan dapat dilihat pada tabel 4.10.

Tabel 4.10 Perhitungan Data Independen dengan Model Efek Acak

Data Effect

Size Variansi

Variansi

antar

Studi

Total

Variansi Bobot 𝑊𝑖𝑅𝑌𝑖𝑅

𝑌𝑖𝑅 𝑉𝑌𝑖 𝑇2 𝑉𝑌𝑖 + 𝑇2 𝑊𝑖𝑅

1 0.688 0.0593 0.0837 0.143 6.9936 4.812

2 0.4931 0.0506 0.0837 0.1343 7.4470 3.673

3 0.4208 0.0403 0.0837 0.124 8.0648 3.394

4 -0.4492 0.0795 0.0837 0.1632 6.1257 -2.752

5 0.44713 0.0368 0.0837 0.1205 8.299 3.711

Jumlah 36.9306 12.838


152

Persentase bobot relatif pada model efek acak dapat dihitung sebagai berikut

Relatif.wR = 𝑊𝑖𝑅


x 100%, 𝑖 = 1,2, … ,5. (4.6)

Berdasarkan persamaan (4.6), persentase bobot relatif (%) pada masing-masing

data adalah

(1). 18.9 (2). 20.2 (3). 21.8 (4). 16.6 (5). 22.5.


keseluruhan effect size dengan model efek acak dapat dihitung sebagai

𝑀𝑅 =∑ 𝑊𝑖𝑅𝑌𝑖𝑅5𝑖=1


=12.83835

36.9306= 0.3476344,

dengan penduga standar error dari keseluruhan effect size (persamaan 3.28)

adalah

𝑆𝐸𝑀𝑅= √

1


= √1

36.9306= 0.1645534.


kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dengan model efek acak

diestimasi sebagai


,


.

Jadi, selang kepercayaan 95% untuk keseluruhan effect size dengan model efek

acak adalah

[0.02510981 0.670159]


153


adalah

𝑍𝑅 =𝑀𝑅

𝑆𝐸𝑀𝑅

=0.3476344

0.1645534= 2.112594.


𝑃 = 2[1 − 𝛷(|𝑍|)] = 2[1 − 𝛷(|2.112594|)] = 0.03463556.


Eksperimen dan Kelompok Kontrol dengan Model Efek Acak

Data Bobot (%) SMD Acak 95% CI

1 18.90% 0.688 [0.21,1.17]

2 20.20% 0.493 [0.05,0.94]

3 21.80% 0.421 [0.02,0.82]

4 16.60% 0.449 [-1.01,0.11]

5 22.50% 0.447 [0.07,0.83]

Total SMD

95% CI

0.348

[0.025,0.67]

Heterogenitas 0.0347

Nilai 𝑃 0.000139

Tabel 4.11 memperlihatkan bahwa analisis model efek acak menghasilkan

nilai gabungan SMD sebesar 0.348 dengan selang kepercayaan (CI) 95% [0.025,

0.67]. Oleh karena

nilai 𝑃 = 0.000139 < 𝛼 = 0.05,


154

maka keputusan pengujian hipotesis menggunakan model efek acak adalah

hipotesis nol ditolak, sehingga ada efek sedang pada perbedaan rata-rata

kelompok eksperimen dan kelompok kontrol. Variasi antar-data adalah heterogen,

hal ini dapat dilihat dari nilai 𝑃 pada uji heterogenitas adalah 0.03, lebih kecil

daripada 0.05. Forest plot untuk kedua model dapat dilihat pada gambar 4.3 dan

gambar 4.4.

Gambar 4.3 Forest Plot Data Independen untuk Model Efek Tetap

Gambar 4.4 Forest Plot Data Independen untuk Model Efek Acak


155

Untuk mengetahui variasi data maka dapat dilihat pada grafik funnel plot,


Gambar 4.5 Funnel Plot Meta-Analisis Perbedaan Rata-rata Kelompok

Eksperimen dengan Kelompok Kontrol.

Gambar 4.5 menunjukkan bahwa variasi data yang heterogen (kelima data tidak

simetris), artinya apabila analisis dilakukan pada populasi, waktu, tempat dan

kondisi yang berbeda maka hasilnya akan berbeda. Oleh karena itu, bias publikasi

berperan penting dalam meta-analisis ini.


156

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Penerapan effect size pada hasil-hasil penelitian bersamaan dengan

pengujian signifikansi statistik merupakan pertimbangan penting, salah satunya

dalam dunia sosial. Hasil penerapan effect size pada hasil-hasil penelitian

dirangkum dalam dua model meta-analisis, yaitu model efek tetap dan model efek

acak. Model efek acak lebih cocok diterapkan pada studi yang bersifat heterogen.

Hal ini disebabkan oleh tujuan penggunaan model efek acak adalah generalisasi.

Pemilihan model meta-analisis tidak boleh hanya didasarkan pada nilai

heterogenitas, namun perlu memperhatikan tujuan utama penelitian dan sumber

penggabungan penelitian.

Penulis memberikan contoh hasil meta-analisis yang diterapkan pada data

berpasangan dengan penstandarnya adalah standar deviasi rata-rata sampel (𝑠𝑎𝑣)

dan data independen yang penstandarnya adalah deviasi sampel gabungan (𝑠𝑝).

Hasil akhir meta-analisis dengan model efek acak pada data berpasangan

ditunjukkan oleh nilai rata-rata terbobot keseluruhan effect size sebesar 0.769

dengan selang kepercayaan 95% [0.2461738 1.292225] dan nilai 𝑃 = 0.0039

kurang dari 0.05. Hal ini menunjukkan bahwa penggabungan 5 skripsi memiliki

perbedaan rata-rata yang distandardisasi sebesar 0.769. Jika ditelusuri lebih lanjut,

rata-rata pendapatan usaha kecil dan menengah sesudah mendapatkan kredit 0.769

kali lebih besar daripada rata-rata pendapatan sebelum mendapatkan kredit.

Hasil akhir meta-analisis dengan model efek acak pada kelima data

berdistribusi Normal yang dibangkitkan secara hipotetik ditunjukkan oleh nilai

rata-rata terbobot keseluruhan effect size sebesar 0.348 dengan selang kepercayaan

95% [0.025, 0.67] dan nilai 𝑃 = 0.000139 kurang dari 0.05. Hal ini menunjukkan

bahwa penggabungan 5 data memiliki perbedaan rata-rata yang distandardisasi

0.348. Jika ditelusuri lebih lanjut, rata-rata kelompok eksperimen 0.348 kali lebih

besar daripada rata-rata kelompok kontrol.


Analisis sensitifitas dengan funnel plot menunjukkan bahwa hasil meta-

analisis memiliki bias publikasi. Artinya, apabila analisis dilakukan pada populasi,

waktu, tempat dan kondisi yang berbeda maka hasilnya akan berbeda. Bias

publikasi ini dapat dikurangi dengan membatasi sumber penelitian yang

dikumpulkan dan jenis penggabungan penelitian. Pelaporan nilai effect size pada

suatu penelitian dapat memfasilitasi peneliti untuk melakukan meta-analisis

berikutnya dan membantu peneliti di masa depan untuk merumuskan hasil dari

penelitian sejenis serta lebih memahami bagaimana temuan penelitian sesuai

dengan literatur penelitian yang ada.

B. Saran

Hasil penelitian yang melibatkan pengujian hipotesis harus disertai dengan

pelaporan nilai effect size di dalamnya. Lebih lanjut, tanpa memperhatikan metode

statistik yang digunakan, Cohen’s 𝑑 seharusnya dipresentasikan dalam hasil

penelitian. Hasil penelitian tidak hanya mengacu pada kriteria Cohen, namun

penginterpretasian hasil juga harus mempertimbangkan penelitian sebelumnya.

Pada contoh hasil meta-analisis, sampel yang digunakan hanya berasal dari skripsi

di program studi Akuntansi dan Pendidikan Ekonomi. Meta-analisis berikutnya

perlu memperluas sampel dengan menyertai penelitian lain yang ada di jurnal

untuk meningkatkan kualitas penelitian.


DAFTAR PUSTAKA

Adi, A. R. S. A. (2012). Perbedaan Omset Penjualan, Jumlah Tenaga Kerja,

Biaya Produksi, dan Keuntungan pada Pelaku Usaha Mikro Kecil dan

Menengah di Kota Yogyakarta Sebelum dan Sesudah Mendapat Kredit dari

Lembaga Keuangan Koperasi. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

American Psychological Association Task Force on Statistical Inference. (1999).

Publication manual of the American Psychological Association (Fifth

Edition). Washington, DC: Author.

Borenstein, M., et al. (2009). Introduction to Meta-Analysis. Chichester: Wiley.

Chen, D. G. dan Peace, K. E. (2013). Applied Meta-analysis with R. Boca Raton:

CRC Press.

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (Second

Edition). Hillsdale, N.J: Erlbaum.

Cohen, J. (1994). The earth is round (p < .05). American Psychologist, 49: 997-

1003.

Cumming, G. (2012). Understanding The New Statistics Effect Sizes, Confidence

Intervals, and Meta-Analysis. New York: Routledge.

Ferguson, C. J. (2009). An Effect Size Primer: A Guide for Clinicians and

Researchers. Professional Psychology, 40(5): 532-538.

Field, A., Hole, G. (2003). How to design and report experiments. London: Sage.


Field, A. (2005). Discovering statistics using SPSS (Second Edition). London:

Sage.

Glass, G. V. (1976). Primary, Secondary and Meta-analysis of Research.

Educational Researcher, 5(10): 3-8.

Hedges, L. V. dan Olkin, I. (1985). Statistical methods for meta-analysis.

Orlando, FL: Academic Press.

Hunt, M. (1997). How science takes stock: The story of meta-analysis. New York:

Russell Sage Foundation.

Indriastuti, Novia. (2012). Pengaruh Pemberian Kredit oleh Badan Usaha Kredit

Pedesaan (BUKP) terhadap Pendapatan Penjualan Usaha Mikro.

Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Johnson, R. A., Miller, I., Freund, J. (2005). Probability and Statistics for

Engineers (Seventh Edition). New Jersey: Pearson-Prentice Hall.

Julie, Hongkie. (1999). Teorema Limit Pusat dan Terapannya. Yogyakarta:

Universitas Sanata Dharma.

Keppel, G. dan Wickens, T. D. (2004). Design and Analysis: a Researcher’s

Handbook. Upper Saddle River, NJ: Pearson-Prentice Hall.

Kirk, R. (1996). Practical significance: A concept whose time has come.

Educational and Psychological Measurements, 56: 746-759.

Mendenhal, W., Beaver, R. J., Beaver. B. M. (2009). Introduction to Probability

& Statistics (Thirteenth Edition). Pacific Grove, CA: Brooks/Cole.


Nakagawa, S. dan Cuthill, I. C. (2007). Effect size, confidence interval and

statistical significance: a practical guide for biologists. Biological Reviews,

82: 591-605.

Nindrea, R. D. (2016). Pengantar Langkah-langkah Praktis Studi Meta-Analisis.

Yogyakarta: Gosyen Publishing.

Olejnic, S. dan Algina, J. (2003). Generalized eta and omega squared statistics:

Measures of effect size for some common research designs. Psychological

Methods, 8(4): 434-447.

Prastiwi, Hanun. (2013). Studi Komparasi Perkembangan Usaha Mikro dan Kecil

Masyarakat, Sebelum dan Sesudah Mendapatkan Kredit dari LKM-Kube

“Sejahtera” Kecamatan Pandak Kabupaten Bantul. Yogyakarta:

Universitas Sanata Dharma.

Santoso, A. (2010). Studi Deskriptif Effect Size Penelitian-penelitian di Fakultas

Psikologi Universitas Sanata Dharma. Jurnal Penelitian, 14(1): 1-17.

Schwab, A., et al. (2011). Researchers Should Make Thoughtful Assessments

Instead of Null-Hypothesis Significance Tests. Organization Science, 22

(4): 1105-1120.

Sekararum, Maria. (2008). Peran Kredit Bank Perkreditan Rakyat bagi

Pendapatan Usaha Kecil. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Setyawan, S. E. (2000). Peran Badan Usaha Kredit Pedesaan (BUKP) bagi

Pengembangan Usaha Kecil di Pedesaan. Yogyakarta: Universitas Sanata

Dharma.


Snyder, P. dan Lawson, S. (1993). Evaluating results using corrected and

uncorrected effect size estimates. Journal of Experimental Education, 61:

334-349.

Thompson, B. (1998). Statistical Significance and Effect Size Reporting: Portrait

of a Possible Future. Research In The Schools, 5(2): 33-38.

Wackerly, D. D., Mendenhall, W., Scheaffer, R. L. (2008). Mathematical

Statistics with Applications (Seventh Edition). Belmont, CA: Brooks/Cole.

Walpole, R. E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists

(Ninth Edition). Boston: Pearson-Prentice Hall.

Wilkinson & Task Force on Statistical Inference. (1999). Statistical methods in

psychological journals: Guidelines and explanations. American

Psychologist, 54: 594-604.

Williams, David. (1991). Probability with Martingales. New York: Cambridge

University Press.


LAMPIRAN

Lampiran 1

Berikut ini merupakan data kelima skripsi di Program Studi Akuntansi dan

Pendidikan Ekonomi Universitas Sanata Dharma yang diakses melalui database

library.usd.ac.id. Data diinput dalam Microsoft Office Excel 2007 (.csv).

1. Data Skripsi Prastiwi (2013)

Diff adalah rata-rata selisih pendapatan sesudah mendapatkan kredit dengan

pendapatan sebelum mendapatkan kredit.

𝑛 Sebelum Sesudah Diff

1 6.000.000 7.000.000 1.000.000

2 5.000.000 5.000.000 0

3 3.500.000 4.000.000 500.000

4 30.000.000 32.000.000 2.000.000

5 3.800.000 3.800.000 0

6 1.500.000 1.800.000 300.000

7 1.000.000 1.800.000 800.000

8 1.000.000 1.300.000 300.000

9 2.600.000 3.000.000 400.000

10 1.500.000 2.000.000 500.000

11 13.000.000 15.000.000 2.000.000

12 800.000 1.000.000 200.000

13 13.000.000 14.000.000 1.000.000

14 700.000 900.000 200.000

15 3.000.000 3.900.000 900.000

16 10.000.000 12.000.000 2.000.000

17 50.000.000 56.000.000 6.000.000

18 6.500.000 8.000.000 1.500.000


19 6.000.000 9.000.000 3.000.000

20 2.500.000 4.500.000 2.000.000

21 3.000.000 5.000.000 2.000.000

22 20.000.000 24.000.000 4.000.000

23 3.000.000 4.500.000 1.500.000

24 1.000.000 1.000.000 0

25 2.500.000 3.000.000 500.000

26 8.000.000 10.000.000 2.000.000

27 1.200.000 1.800.000 600.000

28 30.000.000 37.000.000 7.000.000

29 1.500.000 2.000.000 500.000

30 12.000.000 13.000.000 1.000.000

2. Data Skripsi Indriastuti (2012)


1 420.000 750.000 330.000

2 375.000 575.000 200.000

3 460.000 700.000 240.000

4 550.000 800.000 250.000

5 460.000 650.000 190.000

6 550.000 1.000.000 450.000

7 600.000 900.000 300.000

8 700.000 1.000.000 300.000

9 500.000 1.000.000 500.000

10 500.000 850.000 350.000

11 375.000 775.000 400.000

12 450.000 850.000 400.000


13 450.000 1.000.000 550.000

14 450.000 800.000 350.000

15 550.000 1.100.000 550.000

16 625.000 975.000 350.000

17 460.000 710.000 250.000

18 500.000 825.000 325.000

19 625.000 945.000 320.000

20 375.000 875.000 500.000

21 375.000 580.000 205.000

22 450.000 750.000 300.000

23 450.000 800.000 350.000

24 500.000 750.000 250.000

25 550.000 1.000.000 450.000

26 500.000 820.000 320.000

27 375.000 700.000 325.000

28 500.000 700.000 200.000

29 625.000 1.100.000 475.000

30 460.000 700.000 240.000

3. Data Skripsi Adi (2012)


1 8.550.000 10.200.000 1.650.000

2 9.100.000 11.600.000 2.500.000

3 4.250.000 5.900.000 1.650.000

4 6.000.000 7.690.000 1.690.000

5 5.750.000 6.500.000 750.000

6 4.150.000 4.750.000 600.000


7 8.300.000 9.600.000 1.300.000

8 7.350.000 9.120.000 1.770.000

9 3.740.000 5.700.000 1.960.000

10 4.500.000 5.250.000 750.000

11 5.230.000 6.300.000 1.070.000

12 5.600.000 6.400.000 800.000

13 6.700.000 7.600.000 900.000

14 7.350.000 8.600.000 1.250.000

15 6.000.000 6.750.000 750.000

16 8.120.000 9.970.000 1.850.000

17 4.250.000 5.900.000 1.650.000

18 3.410.000 4.260.000 850.000

19 3.150.000 4.100.000 950.000

20 3.410.000 4.200.000 790.000

21 6.100.000 6.750.000 650.000

4. Data Skripsi Setyawan (2000)


1 250.000 350.000 100.000

2 100.000 200.000 100.000

3 100.000 125.000 25.000

4 175.000 225.000 50.000

5 220.000 250.000 30.000

6 100.000 110.000 10.000

7 150.000 180.000 30.000

8 200.000 250.000 50.000

9 150.000 175.000 25.000


10 130.000 225.000 95.000

11 125.000 160.000 35.000

12 150.000 180.000 30.000

13 100.000 130.000 30.000

14 200.000 250.000 50.000

15 130.000 150.000 20.000

16 120.000 140.000 20.000

17 110.000 125.000 15.000

18 200.000 240.000 40.000

19 500.000 600.000 100.000

20 300.000 350.000 50.000

21 300.000 350.000 50.000

22 350.000 400.000 50.000

23 350.000 425.000 75.000

24 300.000 360.000 60.000

25 370.000 430.000 60.000

26 325.000 450.000 125.000

27 500.000 700.000 200.000

28 300.000 425.000 125.000

29 300.000 500.000 200.000

30 600.000 700.000 100.000

31 350.000 500.000 150.000

32 450.000 600.000 150.000

33 330.000 410.000 80.000

34 380.000 525.000 145.000

35 700.000 900.000 200.000

36 350.000 450.000 100.000


37 300.000 400.000 100.000

38 545.000 650.000 105.000

39 700.000 930.000 230.000

40 600.000 750.000 150.000

41 750.000 900.000 150.000

42 550.000 625.000 75.000

43 550.000 600.000 50.000

44 550.000 625.000 75.000

45 270.000 300.000 30.000

46 280.000 300.000 20.000

47 300.000 350.000 50.000

48 450.000 550.000 100.000

49 625.000 675.000 50.000

50 400.000 475.000 75.000

5. Data Skripsi Sekararum (2008)


1 4.500.000 6.000.000 1.500.000

2 1.500.000 1.950.000 450.000

3 3.900.000 4.950.000 1.050.000

4 900.000 1.950.000 1.050.000

5 1.200.000 1.500.000 300.000

6 1.200.000 1.800.000 600.000

7 1.500.000 2.400.000 900.000

8 1.050.000 1.500.000 450.000

9 1.500.000 1.950.000 450.000

10 1.200.000 1.500.000 300.000


11 1.200.000 1.950.000 750.000

12 1.950.000 3.000.000 1.050.000

13 3.900.000 4.800.000 900.000

14 1.350.000 1.800.000 450.000

15 3.000.000 3.900.000 900.000

16 900.000 1.800.000 900.000

17 900.000 1.200.000 300.000

18 1.200.000 1.500.000 300.000

19 1.350.000 1.950.000 600.000

20 900.000 1.650.000 750.000

21 1.200.000 1.650.000 450.000

22 3.600.000 4.800.000 1.200.000

23 4.800.000 6.000.000 1.200.000

24 1.050.000 1.950.000 900.000

25 1.500.000 1.950.000 450.000

26 4.500.000 6.000.000 1.500.000

27 4.500.000 6.000.000 1.500.000

28 2.100.000 3.000.000 900.000

29 3.450.000 4.200.000 750.000

30 1.200.000 1.800.000 600.000

31 1.500.000 1.950.000 450.000

32 1.650.000 2.550.000 900.000

33 1.950.000 2.700.000 750.000

34 1.200.000 1.650.000 450.000

35 3.000.000 3.900.000 900.000

36 2.250.000 3.000.000 750.000

37 2.550.000 3.000.000 450.000


38 4.950.000 6.000.000 1.050.000

39 1.650.000 2.400.000 750.000

40 900.000 1.500.000 600.000

41 4.950.000 6.000.000 1.050.000

42 4.200.000 4.800.000 600.000

43 1.200.000 1.800.000 600.000

44 1.950.000 2.400.000 450.000

45 2.400.000 3.000.000 600.000

46 1.950.000 3.000.000 1.050.000

47 3.900.000 4.800.000 900.000

48 1.500.000 2.250.000 750.000

49 900.000 1.350.000 450.000

50 4.800.000 5.550.000 750.000

6. Buka Data Microsoft Office Excel yang Telah Diinput di program R versi

3.3.2

> Prastiwi=read.csv(file.choose(),header=T)

> Indriastuti=read.csv(file.choose(),header=T)

> Adi=read.csv(file.choose(),header=T)

> Setyawan=read.csv(file.choose(),header=T)

> Sekararum=read.csv(file.choose(),header=T)


Lampiran 2

Berikut ini merupakan kode program R untuk uji normalitas, penyajian data,

perhitungan effect size pada data kelima skripsi dan hasil perhitungan meta-

analisis dengan menggunakan model efek tetap dan model efek acak.

1. Uji Normalitas dengan Kolgomorov-Smirnov

> ks.test(Prastiwi$Diff,pnorm,mean(Prastiwi$Diff),sd(Prastiwi$Diff))

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: Prastiwi$Diff

D = 0.23927, p-value = 0.06444

alternative hypothesis: two-sided

> ks.test(Indriastuti$Diff,pnorm,mean(Indriastuti$Diff),sd(Indriastuti$Diff))


data: Indriastuti$Diff

D = 0.16459, p-value = 0.3907


> ks.test(Adi$Diff,pnorm,mean(Adi$Diff),sd(Adi$Diff))


data: Adi$Diff

D = 0.18506, p-value = 0.4683


> ks.test(Setyawan$Diff,pnorm,mean(Setyawan$Diff),sd(Setyawan$Diff))


data: Setyawan$Diff

D = 0.17159, p-value = 0.1053


> ks.test(Sekararum$Diff,pnorm,mean(Sekararum$Diff),sd(Sekararum$Diff))



data: Sekararum$Diff

D = 0.1337, p-value = 0.3331


2. Penyajian Data dengan Program R versi 3.3.2

>

Prastiwi=c(mean(Prastiwi$Sebelum),sd(Prastiwi$Sebelum),mean(Prastiwi$Sesud

ah),sd(Prastiwi$Sesudah),30,mean(Prastiwi$Diff))

>

Indriastuti=c(mean(Indriastuti$Sebelum),sd(Indriastuti$Sebelum),mean(Indriastut

i$Sesudah),sd(Indriastuti$Sesudah),30,mean(Indriastuti$Diff))

>

Adi=c(mean(Adi$Sebelum),sd(Adi$Sebelum),mean(Adi$Sesudah),sd(Adi$Sesud

ah),21,mean(Adi$Diff))

>

Setyawan=c(mean(Setyawan$Sebelum),sd(Setyawan$Sebelum),mean(Setyawan$

Sesudah),sd(Setyawan$Sesudah),50,mean(Setyawan$Diff))

>

Sekararum=c(mean(Sekararum$Sebelum),sd(Sekararum$Sebelum),mean(Sekarar

um$Sesudah),sd(Sekararum$Sesudah),50,mean(Sekararum$Diff))

> dat = as.data.frame(rbind(Prastiwi,Indriastuti,Adi,Setyawan,Sekararum))

> colnames(dat) = c("m.Pre","sd.Pre","m.Post","sd.Post","n.Pairs","m.Diff")

> dat

m.Pre sd.Pre m.Post sd.Post n.Pairs m.Diff

Prastiwi 8120000 11130089.69 9576666.7 12536833.5 30 1456666.7

Indriastuti 492000 84767.43 832666.7 143723.5 30 340666.7

Adi 5762381 1845472.58 7006666.7 2145787.3 21 1244285.7

Setyawan 332700 180716.29 413400 220116.9 50 80700

Sekararum 2247000 1348294.84 3000000 1571168.8 50 753000


> sd.av = sqrt(((dat$sd.Pre^2)+(dat$sd.Post^2))/2)

> sd.av

[1] 11854347.1 117987.2 2001271.1 201382.5 1463979.2

> n=5

> N = dat$n.Pairs

> J = 1- 3/(4*N-5)

> d = dat$m.Diff/sd.av

> d

[1] 0.1228804 2.8873191 0.6217477 0.4007299 0.5143516

> dunb= J*d

> dunb

[1] 0.1196748 2.8119977 0.5981370 0.3945648 0.5064385

> var.d=(1/dat$n.Pairs)+(d^2/(2*dat$n.Pairs))

> var.dunb = (J^2)*var.d

> lowCI.d=d-1.96*sqrt(var.d)

> upCI.d=d+1.96*sqrt(var.d)

> cbind(lowCI.d,dunb,upCI.d)

lowCI.d dunb upCI.d

[1,] -0.2363133 0.1196748 0.4820741

[2,] 2.0737966 2.8119977 3.7008415

[3,] 0.1545308 0.5981370 1.0889646

[4,] 0.1126309 0.3945648 0.6888289

[5,] 0.2194020 0.5064385 0.8093011

3. Perhitungan Meta-Analisis dengan Model Efek Tetap

> w = 1/var.dunb


> tot.w = sum(w)

> rel.w = w/tot.w

> M = sum(rel.w*dunb)

> M

[1] 0.4955647

> var.M = 1/tot.w

> se.M = sqrt(var.M)

> lowCI.M = M-1.96*se.M

> lowCI.M

[1] 0.335434

> upCI.M = M+1.96*se.M

> upCI.M

[1] 0.6556954

> z = M/se.M

> z

[1] 6.065711

> pval = 2*(1-pnorm(abs(z)))

> pval

[1] 1.313708e-09

> library(metafor)

> model.FE<- rma(dunb, var.dunb, method="FE", measure="SMD")

> summary(model.FE)

Fixed-Effects Model (k = 5)

logLik deviance AIC BIC AICc

-15.6335 37.9655 33.2670 32.8765 34.6004


Test for Heterogeneity:

Q(df = 4) = 37.9655, p-val < .0001

Model Results:

estimate se zval pval ci.lb ci.ub

0.4956 0.0817 6.0657 <.0001 0.3354 0.6557 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

> forest(model.FE)

4. Heterogenitas Effect Size

> Q = sum(w*dunb^2)-(sum(w*dunb))^2/tot.w

> df= n-1

> C = tot.w - sum(w^2)/tot.w

> tau2 = (Q-df)/C

> tau2

[1] 0.304584

5. Perhitungan Meta-Analisis dengan Model Efek Acak

> wR = 1/(var.dunb+tau2)


> tot.wR = sum(wR)

> rel.wR = wR/tot.wR

> MR = sum(rel.wR*dunb)

> MR

[1] 0.7691995

> var.MR = 1/tot.wR

> se.MR = sqrt(var.MR)

> se.MR

[1] 0.2668498

> lowCI.MR = MR - 1.96*se.MR

> lowCI.MR

[1] 0.2461738

> upCI.MR = MR + 1.96*se.MR

> upCI.MR

[1] 1.292225

> zR = MR/se.MR

> zR

[1] 2.882518

> pval.R = 2*(1-pnorm(abs(zR)))

> pval.R

[1] 0.003945102

> sumTab = data.frame(SMD = round(dunb,4),lowCI = round(lowCI.d,4),upperCI

= round(upCI.d,4),pctW.fixed = round(rel.w*100,2),pctW.random =

round(rel.wR*100,2))

> rownames(sumTab) = rownames(dat)


> sumTab

SMD lowCI upperCI pctW.fixed pctW.random

Prastiwi 0.1197 -0.2363 0.4821 20.95 21.17

Indriastuti 2.8120 2.0738 3.7008 4.08 15.22

Adi 0.5981 0.1545 1.0890 12.69 19.94

Setyawan 0.3946 0.1126 0.6888 31.87 21.87

Sekararum 0.5064 0.2194 0.8093 30.40 21.81

> library(metafor)

> model.RE<- rma(dunb, var.dunb, method="DL", measure="SMD")

> summary(model.RE)

Random-Effects Model (k = 5; tau^2 estimator: DL)

logLik deviance AIC BIC AICc

-7.4825 21.6636 18.9651 18.1840 24.9651

tau^2 (estimated amount of total heterogeneity): 0.3046 (SE = 0.2665)

tau (square root of estimated tau^2 value): 0.5519

I^2 (total heterogeneity / total variability): 89.46%

H^2 (total variability / sampling variability): 9.49


Q(df = 4) = 37.9655, p-val < .0001

Model Results:


0.7692 0.2668 2.8825 0.0039 0.2462 1.2922 **

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


> forest(model.RE)

> funnel(model.RE)


Lampiran 3

Berikut ini merupakan data independen berdistribusi Normal yang

dibangkitkan secara hipotetik melalui program R versi 3.3.2. Pengujian hipotesis

pada keempat data diasumsikan signifikan dan satu data tidak signifikan. Meta-

analisis dilakukan untuk mengestimasi effect size dari kelima data tersebut.

1. Data Berdistribusi Normal yang Dibangkitkan Secara Hipotetik

> x1=rnorm(35,120,14)

> x1

[1] 142.73180 133.64160 137.91543 127.04481 134.93512 163.23808 111.99330

[8] 129.58068 115.25493 143.80132 148.52458 122.05689 136.91831 129.23504

[15] 123.02598 119.60322 122.74415 119.93836 118.18762 103.91416

149.41061

[22] 116.51850 131.99683 121.67993 99.51958 131.27712 148.02795 126.21861

[29] 111.88403 116.37566 106.76355 127.73487 93.44861 94.05003 123.06455

> y1=rnorm(35,120,14)

> y1

[1] 103.23966 127.56010 124.61971 100.75458 87.71961 110.69320 140.73139

[8] 101.22746 109.25053 109.14670 126.01070 99.34998 110.43253 120.33634

[15] 124.71073 97.49233 120.90670 119.96740 144.25814 112.29892 106.77433

[22] 95.11539 113.40566 140.03133 126.46819 111.09344 123.28663 104.34525

[29] 115.33178 114.62363 102.35177 109.04503 118.44353 135.14818

119.31859

> x2=rnorm(40,120,14)

> x2

[1] 112.77828 124.76272 144.87365 117.51560 113.92556 140.76362 117.47837

[8] 106.70953 117.53519 134.82065 146.98314 120.97548 122.17958 129.51306

[15] 95.50349 127.92651 129.47762 118.90719 124.22097 117.27563 130.49162


[22] 120.29240 123.64791 144.99219 123.43910 136.75767 117.20200

118.34045

[29] 143.47702 114.25877 129.13256 112.65260 139.67688 111.72512

131.19996

[36] 111.35765 145.89593 126.76714 135.99436 110.73329

> y2=rnorm(40,120,14)

> y2

[1] 131.28719 120.36768 105.77885 129.98784 109.31418 112.44139 137.87768

[8] 117.27134 141.45105 120.99906 123.18585 115.49620 110.16687 121.72994

[15] 128.96870 118.54851 103.18574 133.95222 134.16183 130.15568

121.38602

[22] 131.98998 120.68631 102.94306 126.76292 122.21475 129.68937

115.60235

[29] 102.30001 114.59890 96.08491 97.54549 106.98162 95.13663 104.44225

[36] 138.37219 91.21682 107.73668 141.34078 123.06597

> x3=rnorm(50,120,14)

> x3

[1] 131.63652 122.91643 145.45729 116.56031 132.31744 107.76710 112.29348

[8] 146.52895 132.89130 128.58778 112.43440 126.44310 121.19138 138.86838

[15] 136.67056 124.85554 126.64458 110.24736 126.88454 109.73845

125.88560

[22] 150.56983 125.62915 91.61998 133.91093 123.98028 136.23216 140.46058

[29] 111.94976 109.76050 106.95594 136.57587 138.21150 100.18272

127.40883

[36] 120.18239 117.85640 100.71999 115.48983 130.82044 117.12016

118.13394

[43] 136.79475 115.56626 98.29371 144.53219 145.32230 109.04295 132.78666

[50] 119.03332

> y3=rnorm(50,120,14)


> y3

[1] 147.83840 92.67358 121.54238 132.68769 123.53382 104.65769 130.47874

[8] 125.84043 115.26361 112.49331 105.16432 109.21466 127.16679 135.23832

[15] 98.53706 109.09693 117.63656 114.96338 130.37183 105.11275 131.80506

[22] 110.94184 113.41095 86.27831 135.17717 109.21646 112.41014 110.83375

[29] 110.07676 122.34413 121.99011 102.64644 132.45225 127.92542

129.41484

[36] 114.68198 91.10790 117.70676 123.40856 138.02540 128.57602 116.55264

[43] 112.76810 111.43605 125.68357 115.37092 131.87023 115.87505

119.54974

[50] 131.50800

> x4=rnorm(25,120,14)

> x4

[1] 113.35733 125.14672 102.85252 110.98206 105.48052 140.58821 119.54112

[8] 116.70304 135.57994 112.54513 135.14843 130.95545 134.10345 109.45547

[15] 131.25337 104.24832 112.43259 134.48479 108.52405 128.56785

117.74898

[22] 96.81778 104.02075 131.04960 92.76292

> y4=rnorm(25,120,14)

> y4

[1] 147.96881 120.39546 128.69081 137.27654 98.99308 92.41842 139.67673

[8] 128.94645 142.55636 122.62621 139.71258 117.17080 116.83343 130.68958

[15] 131.89502 122.53569 146.59078 118.63567 120.05133 92.62113 136.39825

[22] 138.50727 118.25646 104.42617 127.35469

> x5=rnorm(55,120,14)


> x5

[1] 106.76597 120.03006 114.11598 129.81369 131.88848 128.11385 103.37962

[8] 137.50936 123.47789 126.96299 130.45159 105.32659 125.47219 141.67309

[15] 162.96198 127.94145 129.29061 134.64428 119.58000 128.66220

110.68570

[22] 97.14506 115.52528 122.19081 122.06410 117.21028 138.14851 132.98823

[29] 131.77800 125.86892 125.82018 131.64150 112.00750 134.71850

109.85498

[36] 137.44785 142.38577 119.27231 99.55225 129.22558 133.95633 121.60594

[43] 113.19061 113.30490 109.38754 124.88095 132.40154 104.33827

134.30362

[50] 141.09523 114.46723 154.31160 108.44182 129.37758 121.86789

> y5=rnorm(55,120,14)

> y5

[1] 107.29819 114.49790 125.58829 130.36368 141.52269 98.88041 110.57453

[8] 145.86932 104.60350 112.03059 142.84126 104.44202 128.20357 130.11938

[15] 120.65445 128.22006 117.06278 122.90797 115.98615 107.34458

116.93099

[22] 97.13816 106.11089 118.78050 119.60689 126.44957 106.65153 130.26875

[29] 129.70956 109.96984 128.93101 104.94438 98.97440 112.41212 104.92901

[36] 97.69217 128.74121 109.75359 145.48902 149.74951 125.04031 133.12686

[43] 124.23704 123.70587 124.27825 123.79799 99.56769 133.40300 116.15075

[50] 96.49465 111.30195 113.75085 98.98993 116.40738 118.34617


Lampiran 4

Berikut ini merupakan kode program R versi 3.3.2 untuk uji homogenitas

variansi, uji 𝑡 dan penyajian data.

1. Uji Homogenitas Variansi

> library(Rcmdr)

> sampel1=c(x1,y1)

> sampel2=c(x2,y2)

> sampel3=c(x3,y3)

> sampel4=c(x4,y4)

> sampel5=c(x5,y5)

> group1=as.factor(c(rep(1,length(x1)),rep(2,length(y1))))





> levene.test(sampel1,group1)

Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)

Df F value Pr(>F)

group 1 0.4912 0.4858

68



Df F value Pr(>F)

group 1 0.5883 0.4454

78




Df F value Pr(>F)

group 1 0.5083 0.4776

98



Df F value Pr(>F)

group 1 0.0496 0.8247

48



Df F value Pr(>F)

group 1 0.2482 0.6193

108

2. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi dengan Uji 𝒕

> dat1=cbind(sampel1,group1)





>

t.test(sampel1~group1, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=TRUE,d

ata=dat1)


Two Sample t-test

data: sampel1 by group1

t = 2.9109, df = 68, p-value = 0.004869

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0

95 percent confidence interval:

3.205576 17.181073

sample estimates:

mean in group 1 mean in group 2

125.2073 115.0140

>


ata=dat2)

Two Sample t-test


t = 2.2271, df = 78, p-value = 0.02882



0.678295 12.108489

sample estimates:


124.8040 118.4106

>


ata=dat3)

Two Sample t-test


t = 2.1205, df = 98, p-value = 0.03649




0.3609533 10.8953272

sample estimates:


123.8393 118.2111

>


ata=dat4)

Two Sample t-test


t = -1.6137, df = 48, p-value = 0.1132



-14.992311 1.642124

sample estimates:


118.1740 124.8491

>


ata=dat5)

Two Sample t-test


t = 2.3612, df = 108, p-value = 0.02001



0.9622474 11.0261580


sample estimates:


124.3732 118.3790

3. Penyajian Data

> Data1=c(mean(x1),sd(x1),35,mean(y1),sd(y1),35)





> dat = as.data.frame(rbind(Data1,Data2,Data3,Data4,Data5))

>

colnames(dat)=c("m.Eksperimen","sd.Eksperimen","n.Eksperimen","m.Kontrol","

sd.Kontrol","n.Kontrol")

> dat

m.Eksperimen sd.Eksperimen n.Eksperimen m.Kontrol sd.Kontrol n.Kontrol

Data1 125.2073 15.83617 35 115.0140 13.35698 35

Data2 124.8040 12.13542 40 118.4106 13.50426 40

Data3 123.8393 13.80511 50 118.2111 12.71455 50

Data4 118.1740 13.65497 25 124.8491 15.53483 25

Data5 124.3732 13.12314 55 118.3790 13.49931 55


Lampiran 5

Berikut ini merupakan kode program R versi 3.3.2 untuk perhitungan effect

size dan perhitungan meta-analisis dengan menggunakan model efek tetap dan

model efek acak.

1. Perhitungan Effect Size 𝒅

> pooled.sd = sqrt(((dat$n.Eksperimen-1)*dat$sd.Eksperimen^2+(dat$n.Kontrol-

1)*dat$sd.Kontrol^2)/(dat$n.Eksperimen+dat$n.Kontrol-2))

> n=5

> N = dat$n.Eksperimen+dat$n.Kontrol

> J = 1- 3/(4*N-9)

> d = (dat$m.Eksperimen-dat$m.Kontrol)/pooled.sd

> d

[1] 0.6958322 0.4980014 0.4240921 -0.4564124 0.4502668

>

var.d=(dat$n.Eksperimen+dat$n.Kontrol)/(dat$n.Eksperimen*dat$n.Kontrol)+(d^

2/(2*(dat$n.Eksperimen+dat$n.Kontrol)))

> dunb= J*d

> dunb

[1] 0.6881293 0.4931976 0.4208382 -0.4492436 0.4471327

> var.dunb=(J^2)*var.d

> lowCI.d=d-1.96*sqrt(var.d)

> upCI.d=d+1.96*sqrt(var.d)

> cbind(lowCI.d, dunb, upCI.d)

lowCI.d dunb upCI.d

[1,] 0.21333253 0.6881293 1.1783319

[2,] 0.05299063 0.4931976 0.9430122

[3,] 0.02771013 0.4208382 0.820474


[4,] -1.01795540 -0.4492436 0.1051306

[5,] 0.07180313 0.4471327 0.8287305

2. Perhitungan Meta-Analisis dengan Menggunakan Model Efek Tetap

> w = 1/var.dunb

> tot.w = sum(w)

> rel.w = w/tot.w

> rel.w

[1] 0.1666394 0.1953355 0.2452253 0.1241904 0.2686095

> M = sum(rel.w*dunb)

> M

[1] 0.378521

> var.M = 1/tot.w

> se.M = sqrt(var.M)

> lowCI.M = M-1.96*se.M

> upCI.M = M+1.96*se.M

> z = M/se.M

> z

[1] 3.808856

> pval = 2*(1-pnorm(abs(z)))

> pval

[1] 0.0001396111

> library(metafor)

> result.smdf <- rma(m1 = m.Eksperimen, m2 = m.Kontrol,sd1 = sd.Eksperimen,

sd2 = sd.Kontrol,n1 = n.Eksperimen, n2 = n.Kontrol,method = "FE", measure =

"SMD",data = dat)


> result.smdf

Fixed-Effects Model (k = 5)


Q(df = 4) = 10.3629, p-val = 0.0347

Model Results:


0.3798 0.1003 3.7866 0.0002 0.1832 0.5763 ***

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

> forest(result.smdf)

3. Heterogenitas Effect Size

> Q = sum(w*dunb^2)-(sum(w*dunb))^2/tot.w

> Q

[1] 10.66608

> df= n-1

> df

[1] 4

> C = tot.w - sum(w^2)/tot.w


> tau2 = (Q-df)/C

> tau2

[1] 0.0813

4. Perhitungan Meta-Analisis dengan Menggunakan Model Efek Acak

> wR = 1/(var.dunb+tau2)

> tot.wR = sum(wR)

> rel.wR = wR/tot.wR

> rel.wR

[1] 0.1893706 0.2016492 0.2183773 0.1658709 0.2247319

> MR = sum(rel.wR*dunb)

> MR

[1] 0.3476344

> var.MR = 1/tot.wR

> se.MR = sqrt(var.MR)

> lowCI.MR=MR-1.96*se.MR

> upCI.MR=MR+1.96*se.MR

> zR = MR/se.MR

> zR

[1] 2.112594

> pval.R = 2*(1-pnorm(abs(zR)))

> pval.R

[1] 0.03463556

> library(metafor)

> result.smdr <- rma(m1 = m.Eksperimen, m2 = m.Kontrol,sd1 = sd.Eksperimen,

sd2 = sd.Kontrol,n1 = n.Eksperimen, n2 = n.Kontrol,method = "DL", measure =

"SMD",data = dat)


> result.smdr

Random-Effects Model (k = 5; tau^2 estimator: DL)

tau^2 (estimated amount of total heterogeneity): 0.0814 (SE = 0.0948)

tau (square root of estimated tau^2 value): 0.2854

I^2 (total heterogeneity / total variability): 61.40%

H^2 (total variability / sampling variability): 2.59


Q(df = 4) = 10.3629, p-val = 0.0347

Model Results:


0.3491 0.1638 2.1315 0.0330 0.0281 0.6701 *

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


> forest(result.smdr)

> funnel(result.smdr)


Lampiran 6

Tabel Z (Tabel Probabilitas Normal Standar di Sisi Kiri Kurva Normal)

Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

-3 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011

-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015

-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021

-2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028

-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038

-2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051

-2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068

-2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089

-2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116

-2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150

-2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192

-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244

-1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307

-1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384

-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475

-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582

-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708

-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853

-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020

-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210

-1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423

-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660

-0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922

-0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206


-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514

-0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843

-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192

-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557

-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936

-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325

0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340

1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756

2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808


2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985

3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989


Lampiran 7

Tabel Probabilitas Distribusi 𝑡

𝑡.1 𝑡.05 𝑡.025 𝑡.01 𝑡.005 𝑑𝑓

3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 1

1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 2

1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 3

1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 4

1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5

1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 6

1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 7

1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 8

1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 9

1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 10

1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 11

1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 12

1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 13

1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 14

1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 15

1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 16

1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 17

1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 18

1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 19

1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 20

1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 21

1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 22

1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 23

1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 24


1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 25

1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 26

1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 27

1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 28

1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 29

1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 inf.


effect size pada pengujian hipotesis · 2017-08-16 · c. pendugaan parameter ... 4. pengujian...

Documents