pengujian hipotesis

� PENGENALAN

Penyelidik berminat untuk menjawab persoalan yang timbul berkenaan dengan masalah harian. Sebagai contoh, seorang pengurus mungkin mahu mengetahui sama ada jualan bulanan syarikat telah meningkat, menyusut atau kekal statik. Seorang profesor mungkin ingin tahu sama ada teknik pengajaran yang baru mampu meningkatkan prestasi pelajar. Jabatan Pengangkutan Jalan mungkin mahu mengkaji sama ada penggunaan tali pinggang keledar akan mengurangkan kecederaan parah yang disebabkan oleh kemalangan. Kesemua persoalan ini boleh diatasi dengan menggunakan uujian hipotesis berstatistik. Ia merupakan suatu proses membuat keputusan untuk menilai dakwaan mengenai parameter populasi seperti min atau kadaran.

TTooppiikk

1100 � Pengujian

Hipotesis terhadap Parameter Populasi

Pada akhir topik ini, anda seharusnya dapat:

1. Menyatakan hipotesis nol dan hipotesis alternatif;

2. Mencari nilai genting untuk ujian-z dan ujian-t;

3. Menguji min untuk sampel besar dan sampel kecil; dan

4. Menguji perkadaran menggunakan ujian-z.

HASIL PEMBELAJARAN

� TOPIK 10 PENGUJIAN HIPOTESIS TERHADAP PARAMETER POPULASI 180

Dalam pengujian hipotesis, penyelidik mestilah: (a) Mentakrifkan atau mengenal pasti parameter populasi yang dikaji;

(b) Menyatakan hipotesis tertentu untuk disiasat;

(c) Memberi aras keertian;

(d) Memilih sampel rawak daripada populasi;

(e) Mengumpul data;

(f) Melaksanakan ujian dan analisis statistik yang sesuai; dan

(g) Membuat rumusan. Memandangkan proses ini melibatkan pensampelan, maka teori taburan pensampelan yang telah dibincangkan pada Topik 9 amat berguna. Secara ringkas, ujian hipotesis berstatistik mengenai min populasi akan melibatkan sama ada ujian-z atau ujian-t. Manakala ujian hipotesis berstatistik mengenai kadaran populasi akan melibatkan ujian-z. Diberikan beberapa definisi berikut: (a) HHipotesis berstatistik adalah konjektur/dakwaan mengenai parameter

populasi. Dakwaan ini mungkin benar atau mungkin palsu.

(b) HHipotesis nol dengan simbol H0, adalah hipotesis berstatistik yang menyatakan bahawa ttiada perbezaan antara parameter populasi dan nilai spesifik.

(c) HHipotesis alternatif dengan simbol H1, adalah hipotesis berstatistik yang menyatakan bahawa tterdapat perbezaan antara parameter populasi dan nilai spesifik.

(d) SStatistik ujian menggunakan data yang diperoleh dari sampel untuk membuat keputusan sama ada untuk menolak atau menerima hipotesis nol. Nilai dari statistik ujian ini biasanya disebut nnilai ujian.

(e) RRantau penolakan terdiri daripada nilai berangka daripada statistik ujian di mana hipotesis nol akan ditolak.

(f) RRalat jenis I berlaku apabila hipotesis nol ditolak walaupun ia benar. RRalat jenis II berlaku apabila hipotesis nol diterima sedangkan ia palsu.

(g) AAras keertian, � , adalah kebarangkalian maksimum dalam membuat ralat jenis I. Kita boleh menulis Pr(Membuat ralat jenis I) = � . Secara umumnya ahli statistik menggunakan � = 0.1 atau 0.05 atau 0.01.

TOPIK 10 PENGUJIAN HIPOTESIS TERHADAP PARAMETER POPULASI �

181

PENGUJIAN HIPOTESIS TERHADAP MIN POPULASI

Dalam kebanyakan masalah, nilai bagi parameter populasi biasanya tidak diketahui. Walau bagaimanapun, dengan bantuan maklumat tambahan seperti pengalaman sebelum ini yang melibatkan masalah sampel, nilai tertentu boleh diandaikan sebagai parameter. Nilai yang diandaikan ini adalah „nilai hipotesis‰ untuk parameter dan perlu diuji berdasarkan maklumat daripada sampel rawak yang dipilih sama ada untuk menolak atau menerima nilai andaian tersebut. Langkah awal dalam pengujian hipotesis adalah untuk mmenulis atau formulasi hipotesis terhadap nilai parameter populasi yang biasanya tidak diketahui. Terdapat dua jenis hipotesis: (a) HHipotesis Nol yang diwakili oleh 0H ; dan

(b) HHipotesis Alternatif yang diwakili oleh 1H . Hipotesis nol biasanya mengambil nilai spesifik, manakala hipotesis alternatif mengambil nilai dalam selang yang merupakan pelengkap kepada nilai spesifik di bawah 0H . Jadual 10.1 berikut menunjukkan beberapa contoh dalam formulasi hipotesis. Dalam jadual ini, nilai � ialah 50. Seperti yang dilihat, nilai selang bagi � bawah H1 ialah pelengkap kepada nilai H0.

Jadual 10.1: Contoh Hipotesis untuk �

Parameter Hipotesis Nol, 0H Hipotesis Alternatif, 1H

Kes 1: Min, � 50� � � Æ 50

Kes 2: Min, � 50� � 50� �

Kes 3: Min, � 50� � 50� �

10.1

Diberikan satu populasi dengan parameter yang tidak diketahui. Apakah yang anda faham tentang nilai hipotesis bagi parameter?

SEMAK KENDIRI 10.1


10.1.1 Formulasi Hipotesis

Pemilihan 1H adalah berdasarkan dakwaan yang dicipta dalam masalah. Biasanya, dakwaan boleh dilihat dan difahami secara langsung dengan melihat kepada bagaimana nilai parameter populasi berubah. Perubahan dalam nilai boleh dikelaskan kepada arahan (kiri atau kanan) atau bbukan arahan. Andaikan 0� adalah nilai spesifik bagi .� Panduan berikut boleh digunakan untuk hipotesis: (a) Mengenal pasti nilai spesifik bagi � seperti yang ditentukan; (b) Mengenal pasti pernyataan dakwaan berkenaan dengan „perubahan‰

dalam nilai sama ada ia arahan atau bukan arahan. Jika dakwaan itu mengandungi tanda sama dengan „=‰, maka ambil ungkapan ini untuk formulasi H0. H1 kemudian digubah sebagai pelengkap (contoh diberikan dalam Jadual 10.2); dan

(c) Sebaliknya, jika ungkapan ini tidak mengandungi tanda sama dengan,

maka ambil ungkapan ini untuk formulasi H1. H0 kemudian digubah sebagai pelengkap.

Jadual 10.2: Formulasi H1 dan H0

Perubahan dalam Nilai � Pernyataan 1H Pernyataan 0H

(a) Menyusut/berkurang (perubahan arahan kiri) 1 0:H � �� 00 : �� H

(b) Meningkat/bertambah (perubahan arahan kanan) 1 0:H � �� 00 : �� H

(c) Tidak diketahui perubahan/arah perubahan tidak diberikan (perubahan bukan arahan)

1 0:H � � 00 : �� H

Kita boleh lihat daripada Jadual 10.2, petunjuk utama berikut: (a) Ungkapan algebra di bawah HH0 sentiasa mengandungi tanda sama dengan

„=‰. Ini ialah suatu perkara yang sangat penting untuk dipertimbangkan. Dengan kata lain, H1 langsung tidak mengandungi tanda sama dengan; dan


183

(b) Ungkapan algebra di bawah H0 ialah pelengkap kepada salah satu nilai di bawah H1. Sebagai contoh, set 0�� di bawah H0 adalah pelengkap

kepada 0�� di bawah H1. Contoh 10.1: Bagi setiap dakwaan yang diberi, nyatakan hipotesis nol dan hipotesis alternatif. (a) Purata umur bagi pelajar separuh masa tahun pertama ialah 32 tahun;

(b) Purata pendapatan bulanan bagi pengurus muda siswazah adalah lebih daripada RM2,800;

(c) Purata bil elektrik bulanan bagi penggunaan domestik adalah sekurang-kurangnya RM75; dan

(d) Purata bilangan kereta mewah baru yang diimport setiap bulan adalah paling banyak 400 buah.

Penyelesaian: (a) Dakwaan: „Purata umur ialah 32 tahun‰ ialah ungkapan tuntutan bukan

arahan. Ia bermakna „Purata umur = 32 tahun‰. Ungkapan ini mengandungi tanda sama dengan „=‰, oleh itu ppilih H0 terlebih ddahulu, kemudian gubah H1 sebagai pelengkap. Dalam kes ini, nilai 0� = 32 tahun.

0 :H � � 32 tahun (dakwaan)

1 :H � 32 tahun (b) Dakwaan: „Purata pendapatan adalah llebih daripada RM2,800‰ ialah

ungkapan dakwaan arahan. Ia bermaksud „Pendapatan purata > RM2,800‰. Ungkapan ini tidak mengandungi tanda sama dengan „=‰, oleh itu pilih H1 terlebih dahulu dan kemudian gubah H0 sebagai pelengkap. Dalam kes ini, nilai 0� =RM2,800.

1 :H � � RM2800 (dakwaan)

0 :H � � RM2800


(c) Dakwaan: „Purata bil adalah ssekurang-kurangnya RM75‰ ialah ungkapan dakwaan arahan. Ia bermaksud „Purata bil � RM75‰. Ungkapan ini mengandungi tanda sama dengan, oleh itu ppilih H0 terlebih dahulu, kemudian gubah H1 sebagai pelengkap. Dalam kes ini, nilai 0� =RM75.

0 :H � � RM75 (dakwaan)

1 :H � � RM75 (d) Dakwaan: „Purata bilangan kereta import ppaling banyak ialah 400‰. Ia

merupakan satu dakwaan arahan. Ia bermakna 400 atau kurang dan bersamaan dengan „400‰. Ungkapan ini mengandungi tanda sama dengan, oleh itu ppilih H0 terlebih dahulu, kemudian gubah H1 sebagai pelengkap. Dalam kes ini, nilai 0� = 400.

0 :H � � 400 (dakwaan)

1 :H � � 400 Jadual 10.3 menunjukkan contoh ungkapan dakwaan arahan dan bukan arahan yang biasa digunakan oleh penyelidik.

Jadual 10.3: Ungkapan Dakwaan

Ungkapan Dakwaan

Simbol

H0

(Sentiasa Terdapat Tanda Sama dengan)

H1

(Tidak Terdapat Tanda Sama

dengan)

Sama dengan/sama = = �

Kurang daripada < � <

Kurang daripada atau sama

� � > Tidak lebih daripada

Selebih-lebihnya

Lebih daripada

> � > Lebih besar daripada

Melebihi

Lebih daripada atau sama dengan � � <

Sekurang-kurangnya


185

10.1.2 Jenis Ujian dan Rantau Penolakan

Jenis ujian adalah berkait dengan ungkapan H1 dan diberikan dalam Jadual 10.4. Untuk nilai � yang diberikan, nilai genting bagi menentukan rantau penolakan boleh diperoleh sama ada daripada jadual taburan normal atau jadual taburan t.

Jadual 10.4: Jenis Ujian

Pernyataan 1H Jenis Ujian Rantau Penolakan

1 0:H � �� Satu hujung, kiri Rantau kiri

1 0:H � �� Satu hujung, kanan Rantau kanan

1 0:H � � Dua hujung (Separuh rantau) kiri dan (separuh rantau) kanan

Rantau penolakan boleh dilukis pada lengkung normal yang sesuai atau lengkung-t bergantung pada jenis taburan pensampelan bagi min sampel, .X Bagi nilai � yang diberi, rantau penolakan ditakrifkan oleh nilai genting bagi skor-z atau skor-t. Jadual 10.5 menunjukkan contoh nilai genting bagi skor-z. Nilai genting untuk skor-t bergantung pada saiz sampel n berdasarkan darjah kebebasan 1� nv .

Prestasi dalam subjek Matematik bagi sekolah dikatakan telah meningkat sejak program intensif oleh guru-guru Sains dan Matematik dilaksanakan.

(a) Cadangkan satu parameter yang sesuai untuk mengukur perubahan dalam prestasi Matematik;

(b) Nyatakan arah perubahan parameter; dan

(c) Nyatakan hipotesis nol dan hipotesis alternatif yang sesuai.

AKTIVITI 10.1


Jadual 10.5: Contoh-contoh Nilai Genting bagi Skor-z

Jenis Ujian Nilai Genting (CV)

Aras Keertian �

0.10 (10%)

0.05 (5%)

0.01 (1%)

0.005 (0.5%)

1 hujung (kiri) z� -1.280 -1.645 -2.33 -2.58

1 hujung (kanan)

z� 1.280 1.645 2.33 2.58

2 hujung

Sebelah kiri 2

z� -1.645 -1.960 -2.58 2.81

Sebelah kanan 2

z� 1.645 1.960 2.58 2.81

Mencari Nilai Genting untuk Skor-z Contoh 10.2 menunjukkan bagaimana untuk mencari nilai genting. Contoh 10.2: Andaikan taburan pensampelan X adalah normal. Cari nilai genting bagi setiap kes dan tunjukkan rantau penolakan. (a) Ujian hujung-kiri; � = 0.1;

(b) Ujian hujung-kanan; � = 0.05; dan

(c) Ujian dua-hujung; � = 0.02. Penyelesaian: (a) Lukis rajah dan tentukan rantau penolakan (lihat Rajah 10.1 (a)): Diberi � � 0.1 , kemudian cari � � �1 1 0.1 0.9 kerana nilai

kebarangkalian yang disediakan oleh Jadual Normal Piawai (OUM) julatnya antara 0.50000 hingga 0.99999.

Rujuk Jadual Normal Piawai (OUM) di muka surat 23, yang ditunjukkan

dalam Jadual 8.3a dari Topik 8. Cari nilai yang paling hampir dengan 0.9.


187

Jadual 8.3a: Jadual Taburan Normal

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.00 0.50000 0.50399 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53188 0.53586 0.10 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535 0.20 0.57926 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61026 0.61409 0.30 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173 0.40 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793

0.50 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240 0.60 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490 0.70 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524 0.80 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327 0.90 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891

1.00 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214 1.10 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.88298 1.20 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.88730 0.90147 1.30 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91308 0.91466 0.91621 0.91774 1.40 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189

1.50 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408 1.60 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95352 0.95352 0.95449 1.70 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96246 0.96246 0.96327 1.80 0.96407 0.96485 0.96562 0.96637 0.96712 0.96784 0.96856 0.96995 0.96995 0.97062

1.90 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670 Nilai yang paling hampir dengan 0.9 ialah baris 1.2, lajur 0.08 dan 0.09 iaitu; 0.9 adalah lebih dekat dengan 0.89973, berbanding 0.90147. Jadi, pilih = 1.28z . Untuk ujian hujung-kiri; �� 1.28 1.28z z (lihat Rajah 10.1(a)).

Rajah 10.1: Contoh rantau penolakan (b) Lukiskan rajah dan tunjukkan rantau penolakan (lihat Rajah 10.1(b)): Diberikan � � 0.05 kemudian cari � � �1 1 0.05 0.95 .

Rujuk jadual normal piawai (OUM) di muka surat 23 (lihat Jadual 8.3b). Cari nilai yang paling hampir dengan 0.95.


Jadual 8.3b: Jadual Taburan Normal

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.00 0.50000 0.50399 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53188 0.53586 0.10 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535 0.20 0.57926 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61026 0.61409 0.30 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173 0.40 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793

0.50 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240 0.60 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490 0.70 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524 0.80 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327 0.90 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891

1.00 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214 1.10 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.88298 1.20 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.88730 0.90147 1.30 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91308 0.91466 0.91621 0.91774 1.40 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189

1.50 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408 1.60 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95352 0.95352 0.95449 1.70 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96246 0.96246 0.96327 1.80 0.96407 0.96485 0.96562 0.96637 0.96712 0.96784 0.96856 0.96995 0.96995 0.97062

1.90 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670 Nilai yang paling hampir dengan 0.95 ialah baris 1.6, lajur 0.04 dan 0.05

iaitu: 0.95 adalah lebih dekat dengan 0.94950, berbanding 0.95053. Jadi, pilih

64.1�z . Untuk ujian hujung kanan; � � �1.64z (lihat Rajah 10.1(b)). (c) Lukiskan rajah dan tunjukkan rantau penolakan (lihat Rajah 10.1(c)): Untuk ujian dua hujung, kita mempunyai separuh rantau kiri dan separuh

rantau kanan. Oleh itu, kita mencari nilai genting bagi ��

0.020.01

2 2

kemudian cari � � �1 1 0.01 0.99 . Rujuk jadual normal piawai (OUM) di muka surat 23. Cari nilai yang paling hampir dengan 0.99.


189

Nilai yang paling hampir dengan 0.99 ialah baris 2.3, lajur 0.03 dan 0.04 iaitu:

0.99 adalah lebih dekat dengan 0.99010, berbanding 0.99036. Jadi, pilih

= 2.33z . Untuk ujian dua hujung:

(i) 2

� � 2.33z untuk separuh rantau kiri; dan

(ii) 2

� � �2.33z untuk separuh rantau kanan.

(lihat Rajah 10.1(c)) Mencari Nilai Genting bagi skor-t Contoh 10.3: Andaikan taburan pensampelan bagi X ialah taburan-t dengan darjah kebebasan, 1� nv . Cari nilai genting bagi setiap kes dan tunjukkan rantau penolakan. (a) Ujian hujung kiri; � = 0.1; n = 16;

(b) Ujian hujung kanan; � = 0.05; n = 21; dan

(c) Ujian dua hujung; � = 0.02; n = 11. Penyelesaian: (a) Lukiskan rajah dan tunjukkan rantau penolakan (lihat Rajah 10.2(a)): Diberikan � � 0.1; Darjah kebebasan, v � � �n 1 16 1 15 . Jadi, pada muka surat 25 daripada jadual statistik OUM; baris 15 dan lajur 0.1 menunjukkan 0.1 (15) = 1.3406t Bagi ujian hujung-kiri; �� 0.1 0.1(15) = 1.3406 15 = 1.3406t t (lihat Rajah

10.2(a)).


Rajah 10.2: Contoh-contoh rantau penolakan bagi skor-t (b) Lukiskan rajah dan tunjukkan rantau penolakan: (lihat Rajah 10.2(b)): Diberikan � � 0.05; Darjah kebebasan, v � � �n 1 21 1 20 . Jadi, pada muka surat 25 dari jadual berstatistik OUM; baris 20, dan lajur 0.05 menunjukkan 0.05 (20) = 1.7247t Bagi ujian hujung kanan; 0.05 (20) = +1.7247t (lihat Rajah 10.2(b)). (c) Lukiskan rajah dan tunjukkan rantau penolakan: (lihat Rajah 10.2(c)): Untuk ujian dua hujung, kita mempunyai separuh rantau kiri dan separuh

rantau kanan. Oleh itu, kita mencari nilai genting bagi ��

0.020.01

2 2.

Darjah kebebasan 11 10v � � �1 1n . Jadi, pada muka surat 25 dari jadual statistik OUM; baris 11 dan lajur 0.01 menunjukkan 0.01 (10) = 2.7638t

Untuk ujian dua hujung:

(i) 0.01 (10) = 2.7638t untuk separuh rantau kanan; dan

(ii) 0.01 (10) = 2.7638t untuk separuh rantau kiri. (Lihat Rajah 10.2(c))


191

10.1.3 Statistik Ujian terhadap Min Populasi

Dalam pengujian hipotesis, menentukan statistik ujian yang sesuai adalah sangat penting. Seperti yang dijelaskan dalam Topik 9, maklumat mengenai varians populasi dan saiz sampel akan menentukan statistik ujian yang akan digunakan. Kes I : Varians populasi 2� diketahui

Statistik ujian ialah skor-z 0xz

n�

�

�

(10.1)

Kes II: Varians populasi 2� tidak diketahui dan saiz sampel besar, n � 30

Statistik ujian ialah skor-z 0xz

s n�

� (10.2)

Kes III: Varians populasi 2� tidak diketahui dan saiz sampel kecil, n � 30

Statistik ujian ialah skor-t 0xt

s n�

�

(10.3)

dengan v � 1n ialah darjah kebebasan.

10.1.4 Prosedur Pengujian Hipotesis bagi Min Populasi

Langkah-langkah berikut biasanya digunakan dalam pengujian hipotesis: Langkah 1 : Mengenal pasti dakwaan dan formulasi hipotesis;

Langkah 2 : Menentukan statistik ujian sama ada menggunakan skor-z atau skor-t dan hitung statistik ujian;

Langkah 3 : Mengenal pasti aras keertian � dan tentukan rantau penolakan. Seterusnya membuat keputusan sama ada menolak atau gagal untuk menolak H0 ; dan

Langkah 4 : Membuat kesimpulan/ringkasan keputusan.


Contoh 10.4: Seorang penyelidik melaporkan bahawa purata gaji tahunan Ketua Pegawai Eksekutif adalah lebih daripada RM42,000. Sampel kajian yang terdiri daripada 30 orang Ketua Pegawai Eksekutif (CEO) mempunyai min gaji RM43,260. Sisihan piawai bagi populasi ialah RM5,230. Menggunakan � = 0.05, uji kesahihan laporan ini. Penyelesaian:

0� �� 42000 30 43260 5230n x Langkah 1 : Dakwaan tersebut ialah „purata gaji adalah llebih daripada

RM42,000‰. Tiada tanda sama dengan dalam ungkapan ini, dengan itu tentukan H1 dahulu kemudian rumuskan H0 (lihat Jadual 10.3).

1 :H � � RM42000 (dakwaan)

0 :H � � RM42000 Langkah 2 : Sisihan piawai bagi populasi � � 5320 diketahui, dengan itu kita

ada Kes I:

Statistik ujian adalah skor-z: 0

/x

n�

�

� � �

43260 420001.32

5230 30z

Langkah 3 : Aras keertian yang diberi adalah � � 0.05 . Dengan melihat pada

pernyataan H1 (rujuk Jadual 10.4), ia adalah ujian hujung-kanan

dengan 0.05� � � �1.64z z

Rajah 10.3: Ujian hujung kanan pada aras 5%


193

Nilai ujian, z = 1.32 adalah kurang daripada 1.64. Dengan itu, skor-z tidak berada dalam rantau penolakan (lihat Rajah 10.3). Keputusan: GGagal menolak H0 pada aras 5%. Dengan kata lain, H1 tidak diterima pada aras 5%.

Langkah 4 : Kesimpulannya, maklumat sampel yang diberikan tidak

memberi bukti yang cukup untuk menyokong dakwaan bahawa purata gaji tahunan bagi Ketua Pegawai Eksekutif (CEO) adalah lebih daripada RM42,000.

Contoh 10.5: Seorang penyelidik ingin mengkaji dakwaan bahawa purata jangka hayat masa bagi lampu pendarfluor ialah 1,600 jam. Satu sampel rawak terhadap 100 lampu pendarfluor mempunyai min jangka hayat 1,580 jam dan sisihan piawai 100 jam. Adakah terdapat bukti yang menyokong dakwaan itu pada � = 0.05? Penyelesaian:

0� � � � �1600 100 1580 100n x s Langkah 1 : Dakwaan tersebut adalah „purata jangka hayat bagi lampu

pendarfluor iialah 1,600 jam‰. Terdapat tanda sama dengan dalam ungkapan ini, dengan itu tentukan H0 dahulu kemudian rumuskan H1 (lihat Jadual 10.3).

0 :H � � 1600 jam (dakwaan)

1 :H � 1600 jam Langkah 2 : Sisihan piawai bagi populasi tidak diketahui dan saiz sampel n =

100 adalah besar, dengan itu kita ada Kes II:

Statistik ujian adalah skor-z 0

/x

n�

�

� � �

1580 16002.0

100 100z .

Langkah 3 : Aras keertian diberikan sebagai � � 0.05 . Dengan melihat pada

pernyataan H1 (rujuk Jadual 10.4), ia adalah ujian dua hujung; di mana rantau penolakan dibahagikan kepada dua bahagian, iaitu separuh kiri dan separuh kanan yang setiap satunya mewakili ��

0.050.025

2 2; dan nilai genting 0.025

2� � � �1.96z z .


Rajah 10.4: Ujian dua hujung pada aras 5%

Nilai ujian, � 2.0z adalah kurang daripada -2.0. Dengan itu, skor-z

berada dalam rantau penolakan (lihat Rajah 10.4). Keputusan: Menolak H0 pada aras 5%.

Langkah 4 : Kesimpulannya, maklumat sampel yang diberikan memberikan

bukti yang cukup untuk menyokong dakwaan bahawa purata jangka hayat bagi lampu pendarfluor ialah 1,600 jam.

Contoh 10.6: Jabatan Sumber Manusia mendakwa bahawa purata gaji permulaan bagi eksekutif graduan dengan pengalaman kerja yang sedikit ialah RM24,000 setahun. Sampel rawak 10 eksekutif muda telah dipilih, dan min gaji mereka ialah RM23,450 dan sisihan piawai ialah RM400. Uji dakwaan tersebut pada aras 5%. Penyelesaian:

0� � � � �24000 10 23450 400n x s Langkah 1 : Dakwaan tersebut adalah „purata gaji permulaan bagi eksekutif

graduan dengan pengalaman kerja yang sedikit ialah RM24,000 setahun‰. Terdapat tanda sama dengan dalam ungkapan ini, dengan itu tentukan H0 dahulu kemudian rumuskan H1.

0 :H � � RM24000 (dakwaan)

1 :H � RM24000


195

Langkah 2 : Sisihan piawai bagi populasi adalah tidak diketahui dan saiz sampel n = 10, dengan itu kita ada Kes III:

Statistik ujian adalah skor-t 0

/x

n�

�

� � �

23450 240004.35

400 10t .

Langkah 3 : Aras keertian diberikan sebagai � � 0.05 dan darjah kebebasan

adalah 0v � � �1 1 1 9n . Dengan melihat pada pernyataan H1 (rujuk Jadual 10.4), ia adalah ujian dua-hujung; di mana rantau penolakan dibahagikan kepada dua bahagian, iaitu separuh kiri dan separuh kanan yang mana setiap satunya mewakili ��

0.050.025

2 2; dan nilai genting

� �0.025

2 � � � �9 9 2.262t t

(Lihat jadual t (OUM), muka surat 25 baris 9, dan lajur 0.025).

Rajah 10.5: Ujian dua hujung pada aras 5% bagi skor-t Nilai ujian, t � 4.35 adalah kurang daripada -2.262. Oleh itu,

skor-t berada dalam separuh rantau penolakan kiri (lihat Rajah 10.5). Keputusan: MMenolak H0 pada aras 5%.

Langkah 4 :: Kesimpulannya, maklumat sampel yang diberikan memberi

bukti yang cukup untuk menolak dakwaan bahawa purata gaji permulaan bagi eksekutif graduan dengan pengalaman kerja yang sedikit ialah RM24,000 setahun.


1. Andaikan taburan pensampelan bagi X adalah normal, dapatkan nilai genting bagi setiap kes dan tunjukkan rantau penolakan.

(a) Ujian hujung kiri; � = 0.05;

(b) Ujian hujung kanan; � = 0.01; dan

(c) Ujian dua hujung ; � = 0.1. 2. Katakan taburan pensampelan bagi X mengikut taburan-t

dengan darjah kebebasan n-1, dapatkan nilai genting bagi setiap kes dan tunjukkan rantau penolakan.

(a) Ujian hujung kiri; � = 0.05; n = 20;

(b) Ujian hujung kanan; � = 0.01; n = 1; dan

(c) Ujian dua hujung ; � = 0.1; n = 10. 3. Cari kesalahan pada hipotesis berikut dan jelaskan kenapa:

(a) 0 :H � � 4000 ; 1 :H � 3000 ;

(b) 0 :H � � 100 ; 1 :H � � 100 ; dan

(c) 0 :H � � 40 ; 1 :H � � 40 . 4. Bagi setiap dakwaan, nyatakan hipotesis nol dan hipotesis

alternatif.

(a) Purata umur eksekutif muda adalah 24 tahun;

(b) Purata pendapatan bulanan bagi pengurus kanan bukan siswazah adalah kurang daripada RM2,300:

(c) Purata bil telefon bulanan untuk kegunaan pejabat adalah sekurang-kurangnya RM750; dan

(d) Purata bilangan pekerja baru yang diambil bekerja setiap tahun tidak melebihi 40 orang.

LATIHAN 10.1


197

PENGUJIAN HIPOTESIS TERHADAP KADARAN POPULASI

Dalam modul ini, kita hanya mempertimbangkan saiz sampel besar (n � 30). Taburan pensampelan bagi kadaran sampel P biasanya menghampiri taburan normal. Oleh itu, prosedurnya adalah sama seperti prosedur untuk pengujian hipotesis bagi min populasi bagi sampel yang besar. Hipotesis nol untuk ujian ini adalah:

0 0:H � ��

10.2

5. Buat keputusan mengenai statistik ujian bagi ujian hipotesis yang berikut. Andaikan populasi asal adalah normal atau berbentuk loceng:

(a) 0 :H � � 4000 ; 1 :H � 4000 .� =100; n = 25, x= 4100.

(b) 0 :H � � 400 ; 1 :H � � 400 . s = 100; n = 40, x= 395.

(c) 0 :H � � 40 ; 1 :H � � 40 . s = 4; n = 10, x= 35. 6. Seorang penyelidik ingin membuat kesimpulan sama ada purata

pendapatan tahunan keluarga di kawasan perumahan melebihi RM14,000. Sampel rawak sebanyak 60 keluarga telah dipilih. Sampel tersebut menunjukkan purata pendapatan tahunan RM14,100 dengan sisihan piawai RM400. Pada aras 5%, lakukan ujian berstatistik untuk membantu penyelidik membuat kesimpulan.

7. Sebuah syarikat automobil mendakwa bahawa purata hayat tayar

yang dikeluarkan dalam negara bagi 60,000km yang dinyatakan oleh pengeluar adalah terlalu tinggi. Syarikat itu memilih sebanyak 50 sampel rawak tayar biasa yang memberi min hayat 59,500km dan sisihan piawai 1,500km. Apakah kesimpulan yang boleh dibuat pada aras keertian 0.01?


Titik anggaran untuk kadaran populasi � adalah kadaran sampel:

nxp �0

(10.4)

yang x dari n (yang merupakan saiz sampel rawak) adalah positif atau menyokong ciri-ciri. Bagi kes kadaran, taburan populasi yang sebenar dan taburan statistik ujian ialah taburan binomial. Walau bagaimanapun, bagi saiz sampel yang besar (n � 30) dan jika syarat yang berikut:

n� � 5 dan �n� � �1 5 (10.5) dipenuhi, maka ttaburan normal ialah anggaran yang terbaik. Semakin besar saiz sampel, semakin baik anggaran. Jika kedua-dua keadaan ini tidak dipenuhi, maka kebarangkalian untuk menolak H0 boleh dikira daripada jadual taburan binomial. Dalam topik ini, andaikan syarat tadi dipenuhi, maka apabila H0 benar, kadaran sampel P akan menghampiri taburan normal �2, PPN �� di mana:

0pP �� , dan npp

P)1( 002

��

(10.6)

Oleh itu, sstatistik ujian ialah skor-z:

p

ppz

��

� 0 (10.7)

iaitu normal piawai N(0, 1). Contoh 10.7: Jabatan Pendaftaran mendakwa bahawa kadar kegagalan pelajar Ijazah Pendidikan Jarak Jauh yang bekerja adalah lebih daripada 30%. Walau bagaimanapun, pada semester lepas, terdapat 125 orang pelajar daripada 400 sampel rawak yang gagal untuk meneruskan pengajian mereka. Pada � = 0.05, adakah maklumat sampel menyokong dakwaan tersebut?


199

Penyelesaian:

0p� � � � � �125

0.3 0.3125 400400

xn

n Langkah 1 : Dakwaan tersebut adalah „kadar kegagalan pelajar Ijazah

Pendidikan Jarak Jauh yang bekerja adalah llebih daripada 30%‰. Tiada tanda sama dengan dalam ungkapan ini, oleh itu tentukan H1 dahulu kemudian rumuskan H0.

1 :H � � 0.3 (dakwaan)

0 :H � � 0.3 Langkah 2 : Saiz sampel n = 400, dan syarat �� 400 0.3 120 > 5n dan

� � �� 1 400 0.3 1 0.3 84 > 5n dipenuhi. Oleh itu, taburan p pensampelan bagi kadaran sampel menghampiri taburan normal dengan

0P p� � � 0.3 dan �0 0( )

p�

� � �0.3 0.71

0.023400

p pn

Statistik ujian adalah skor-z: 0 p

p

�

�

� � �

0.3125 0.30.543

0.023

pz

Langkah 3 : Aras keertian diberikan � � 0.05 . Melihat kepada pernyataan H1

(rujuk Jadual 10.4), ia adalah ujian hujung kanan di mana 0.05z z� � � �1.64 .

Rajah 10.6: Ujian hujung kanan pada aras 5%


Nilai ujian, z = 0.543 adalah kurang daripada 1.64. Oleh itu, skor-z tidak berada dalam rantau penolakan (lihat Rajah 10.6). Keputusan: GGagal untuk menolak H0 pada aras 5%.

Langkah 4 : Sebagai kesimpulan, maklumat sampel yang diberikan tidak

memberi bukti yang cukup untuk menyokong dakwaan bahawa kadar kegagalan bagi pelajar Ijazah Pendidikan Jarak Jauh yang bekerja adalah lebih daripada 30%.

Contoh 10.8: Dalam satu tinjauan yang dibuat oleh Syarikat A didapati 40% daripada pelanggannya berpuas hati dengan kaunter perkhidmatan pelanggan. Walau bagaimanapun, seorang eksekutif baharu mahu menguji dakwaan ini dan memilih sampel rawak 100 pelanggan dan mendapati bahawa hanya 37% yang berpuas hati dengan kaunter perkhidmatan pelanggan. Pada � = 0.01, adakah maklumat sampel memberikan bukti yang cukup untuk menyokong dakwaan tersebut? Penyelesaian:

0 10� � � �0.4 0.37 0p n Langkah 1 : Dakwaan itu adalah „40% daripada pelanggannya berpuas hati

dengan kaunter perkhidmatan pelanggan‰. Ia ialah ungkapan dakwaan bukan arahan. Terdapat tanda sama dengan dalam ungkapan ini; dengan itu tentukan H0 terlebih dahulu kemudian H1.

0 :H � � 0.4 , (dakwaan)

1 :H � 0.4 Langkah 2 : Saiz sampel n = 100, dan syarat �� 100 0.4 40 > 5n dan

� � �� 1 100 0.4 1 0.4 24 > 5n dipenuhi. Oleh itu, taburan pensampelan dari kadaran sampel menghampiri taburan normal dengan

0P p� � � 0.4 dan �0 0( )

p�

� � �0.4 0.61

0.049100

p pn


201

Statistik ujian adalah skor-z, 0 p

p

�

�

� � �

0.37 0.400.612

0.049

pz

Langkah 3 : Aras keertian diberikan sebagai � � 0.05 . Melihat kepada

pernyataan H1 (rujuk Jadual 10.4), ia ialah ujian dua hujung di mana rantau penolakan dibahagikan kepada dua bahagian, iaitu separuh kiri dan separuh kanan yang setiap satunya mewakili ��

0.010.005

2 2; dan nilai genting 0.005

2z z� � � � 2.58 .

Rajah 10.7: Ujian dua-hujung pada aras 1%

Nilai ujian, = 0.612z adalah lebih besar daripada 2.58. Oleh itu, skor-z tidak berada dalam rantau penolakan (lihat Rajah 10.7). Keputusan: GGagal untuk menolak H0 pada aras 5%.

Langkah 4 : Kesimpulannya, maklumat sampel yang diberikan tidak

memberi bukti yang cukup untuk menolak dakwaan bahawa 40% daripada pelanggannya berpuas hati dengan perkhidmatan kaunter.


1. Sebanyak 50 cerapan sampel rawak dipilih daripada populasi binari dengan perkadaran memihak kepada sifat tertentu, � tidak diketahui. Diberikan kadaran sampel memihak kepada sifat yang sama adalah 0.45. Uji dan buat kesimpulan bagi hipotesis berikut:

(a) H0: � =0.51; H1: � Æ 0.51; � = 0.05.

(b) H0: � =0.60; H1: � < 0.60; � = 0.01.

(c) H0: � =0.40; H1: � > 0.40; � = 0.10. 2. Daripada 835 pelanggan yang datang ke kaunter untuk khidmat

pelanggan, 401 daripada mereka memiliki akaun simpanan. Adakah sampel data ini membantu anda untuk membuat kesimpulan bahawa lebih daripada 45% daripada pelanggan bank memiliki akaun simpanan?

3. Pengurusan perbandaran mendapati bahawa 37% daripada

masyarakat tempatan mempunyai lebih daripada tujuh orang ahli keluarga. Sampel rawak sebanyak 100 keluarga di kawasan setempat telah dipilih mendapati 23 daripada mereka mempunyai lebih daripada tujuh orang ahli keluarga. Pada � = 0.01, adakah terdapat bukti yang cukup yang menunjukkan bahawa peratusan telah berubah?

4. Seorang penyelidik mendakwa bahawa sekurang-kurangnya 15%

daripada semua pengurus baharu menghadapi masalah dengan pengurusan masa yang berkait dengan rutin harian mereka. Berdasarkan sampel 80 orang pengurus baharu, sembilan daripada mereka didapati menghadapi masalah tersebut. Pada � = 0.05, adakah terdapat bukti yang cukup untuk menolak dakwaan tersebut?

LATIHAN 10.2


203

� Dalam topik ini, kita telah membincangkan pengujian hipotesis berkaitan min dan kadaran populasi.

� Perumusan hipotesis nol dan hipotesis alternatif adalah sangat penting dan biasanya berpandukan pernyataan dakwaan dalam permasalahan.

� Pengujian hipotesis terhadap min populasi sama ada menggunakan ujian-z atau ujian-t bergantung pada jenis taburan pensampelan bagi min sampel.

� Ungkapan hipotesis alternatif akan menentukan jenis ujian sama ada ujian hujung kiri, ujian hujung kanan atau ujian dua hujung.

� Untuk menguji kadaran populasi, ujian-z digunakan.

� Beberapa perbincangan dalam mencari nilai genting menggunakan ujian-z atau ujian-t dengan � diberi, telah dibincangkan melalui contoh untuk menentukan rantau penolakan.

� Ia akan diikuti dengan membuat keputusan sama ada untuk menolak atau menerima hipotesis nol.

� Prosedur ujian ini kemudian disimpulkan mengikut keputusan statistik ujian.

Hipotesis alternatif

Hipotesis nol

Pengujian hipotesis berstatistik

Rantau penolakan

Ujian-z

pengujian hipotesis

Documents