Penggunaan model matematik dalam biologi

dan ekologi

IPGK PEREMPUAN MELAYU, MELAKA

*Model Leslie (1945)

• Digunakan sebagai model untuk melihat perubahan populasi terhadap populasi ekologi terhadap masa bagi sesebuah populasi umur.

*Eigenvalues dan eigenvectors

Dilihat bahawa vektor telah dipanjangkan oleh satu faktor sebanyak 3.5 kali tetapi masih berada dalam garis lurus yang sama

*definisi

• Jika adalah sebuah square matriks, dan untuk skalar , dan beberapa non zero vekto , maka

= eigenvalue bagi dan

= eigenvector yang sepadan

dengan

*Contoh pengiraan

• tetapi utk sebrng nilai

Manakala

*Maka, matriks bergerak pada vektor dalam garis yang berlainan tetapi bergerak pada vektor dalam garis yang sama, cuma panjangnya berubah.

Ciri-ciri values dan vectorsKatakan

maka

Jika maka

Jika maka

eigenvalues

eigenvectors

Oleh itu,

3 dan 2 adalah eigenvalues yang sepadan dengan eigenvectors dan masing-masing

Dan,

Jika vektor ,

vektor adalah eigenvector yang sepadan dengan eigenvalues 3

Menentukan sama ada scalar yang diberi adalah eigenvalues bagi suatu

matriks dan mencari eigenvectors yang sepadan

Adakah 2 adalah eigenvalue ?

Selesaikan

Maka,

Kita susun matriks dalam bentuk augmented

dan lakukan operasi baris (row operations)

Oleh kerana (

Penyelesaian untuk adalah semua vektor dalam bentuk .

Terdapat banyak eigenvectors yang sepadan dengan eigenvalue , dan semuanya adalah kombinasi linear bagi vektor

dan

Mencari eigenvalue dan eigenvectors

Suatu matriks hanya mempunya eigenvalues bila

det

det dikenali sebagai characteristic equation of A

det dikenali sebagai characteristic polynomial of A

Diberi , cari eigenvalues bagi .

det = det

=

=

0 =

maka dan

Bila eigenvektor sepadan ialah dan

Bila

𝑅3−𝑅2𝑅3

Diperolehi,

dan

Maka

Oleh itu, eigenvector yang sepadan dengan eigenvalue 4 ialah

Latihan

Cari eigenvalues dan eigenvectors yang sepadan untuk setiap yang berikut:

a) jwpn : 1,

b) jwpn : 2,

c) jwpn : 1,

d) jwpn : tiada eigenvalues nyata

Kes Khas* Ciri-ciri polinomial

*Jika matriks A ialah maka matriks A mempunyai peringkat.

* pekali bagi

* pekali bagi

* sebutan tetap bagi

Jika ….

Tuliskan ciri-ciri polinomial bagi

Jawapan:

Ciri-ciri polinomial bagi ialah

dan

pekali bagi pekali bagi

pekali bagi pekali bagi

sebutan tetap ialah 0.

*Teorem Diberi dan eigenvalues,

Dan eigenvectors, ,

Buktikan .

Matriks

Matriks

Cari ?

Darabkan . Tentukan sama ada .

PEMBENTANGAN

*Model Pemangsa-Mangsa*Generasi Terpisah

*Generasi Berlanjutan (Tidak Berpisah)

*Model Lotka dan Voltera

Persamaan logistik

Interaksi antara spesies

Simulasi

Penggunaan Persamaan Pembezaan

Permodelan Dos Dadah yang Selamat

dan Berkesan

Pemodelan Penyebaran wabak

dan Penyakit