1.0 PengenalanEkologi ialah satu bidang biologi yang mengfokuskan kepada interaksi terhadap organism dan juga di antara mereka dan persekitaran mereka.Perhubungan antara organism dan persekitaran mereka boleh dikaji dalam pelbagai tahap-- daripada individu. kepada populasi bagi spesis yang sama, kepada komuniti spesis yang berinteraksi dan terakhirnya Di dunia ini , terdapat pelbagai jenis hidupan yang terdiri daripa tumbuhan dan binatang yang sangat kompleks hingga organism yang sederhana seperti bacteria, amoeba dan sebagainya. Meskipun, semua jenis kehidupan ini tidak mengamalkan satu sistem hidup berasingan daripada hidupan lain. Masing-masing bergantung pada hidupan atau organisme yang lain ataupun benda yang mati di sekelilingnya. Misalnya seekor kijang memerlukan tumbuh-tumbuhan tertentu untuk dijadikan makanan seharian , jika spesis tumbuhan tersebut di sekitar lingkungannya mati, maka kijang tersebut harus berpindah atau mati kelaparan.Sebaliknya tumbuhan yang hidup juga tergantung pada binatang untuk memenuhi keperluan nutrisinya.Contohnya bangkai binatang dan pembuangan sisa binatang mahupun bangkai tumbuhan menyediakan pelbagai nutrisi yang bermanfaat bagi tanaman.Terdapat pelbagai sistem interaksi yang berlansung dalam ekosistem di alam ini. Salah satu daripadanya adalah sistem interaksi diantara mangsa dan pemangsa yang lebih dikenali sebagai prey-predator. Pemangsaan merupakan interaksi biologi dimana pemangsa-organisme yang memburu memakan mangsa -organism yang diserang. Dalam hal ini, sistem interaksi mangsa-pemangsa telah disusun oleh Lotka dan Voltera , dua ahli sains dari Amerika dan Itali ,pelapor satu model pengiraan yang dinamakan model persamaan Lotka-Volterra (L-V) pada tahun 1925. Dengan mengaplikasikan model ini, kita dapat menentukan perbandingan pemangsa dengan mangsa bagi mengekalkan keseimbangan ekosistem. Walaupun model L-V tidak dapat menggambarkan hubungan secara kompleks, tetapi model ini merupakan langkah awal untuk mengetahui hubungan antara mangsa dan pemangsa dari sudut pandangan matematik.Persamaan Lotka -Volterra adalah seperti berikut:-

dimana:x = populasi dari mangsay = populasi dari pemangsaa = laju kelahiran dari populasi mangsac = laju kematian dari populasi pemangsab dan d adalah koefisien interaksi antara pemangsa dan mangsa2.0 Menentukan Masalah SebenarSeperti yang kita tahu, pemangsa merupakan binatang karnivor manakala mangsa adalah binatang herbivor (Callahan, Hoffman, Cox, OShea, Pollatsek & Senechal, 2008). Secara tidak langsung ini membuktikan bahawa populasi mangsa dan pemangsa bergantung antara satu sama lain .Bagi mendapatkan gambaran yang jelas,satu masalah benar harus diaplikasikan dalam persamaan Lotka -Volterra.Jadi, sebuah masalah benar yang melibatkan arnab dan serigala digunakan bagi mengkaji kebergantungan populasi kedua dua spesis tersebut.Serigala dijadikan sebagai pemangsa dan arnab dijadikan sebagai mangsa.Penyataan masalah bagi arnab dan serigala adalah seperti berikut:-Sekiranya populasi arnab (R) dan serigala (W) diterangkan melalui persamaan Lotka-Volterra dengan k =0.08, a =0.001, r =0.02 ,b=0.00002a) Cari penyelesaian pemalar (penyelesaian seimbang) dan tafsirkan jawapannya.b) Gunakan sistem persamaan pembeza untuk mencari satu penyelesaian bagi c) Katakan, pada satu titik masa , terdapat 1000 arnab (R) dan 30 serigala (W), terangkan apa yang akan berlaku terhadap kedua dua populasi. Lukiskan persamaan yang menggambarkan kedua-dua populasi tersebut dan gunakan persamaan tersebut untuk menggambarkan perubahan terhadap tahap kedua-dua populasi.

ArnabSerigala Rajah 1: Populasi arnab dan serigala sebagai fungsi masa

3.0Formulasi Model MatematikDengan menggunakan Rajah 1 , kita boleh membuat satu sistem persamaan pembeza yang akan membantu dalam membentuk satu perhubungan atau interaksi di antara pemangsa dan mangsanya. Rajah 1 menunjukkan bilangan arnab dan serigala mengikut tahun.Biar R(t) mewakili arnab dan W(t) mewakili serigala dalam masa (t).Sebenarnya kita tahu bahawa wujudnya pemangsa dalam sesebuah ekosistem, tetapi andaikan bahawa pemangsa tidak wujud langsung dalam sebuah ekosistem ini, kita boleh jangkakan bahawa populasi mangsa akan meningkat selama-lamanya. Contohnya, jika x = x (t) pada masa (t) untuk populasi mangsa , jadi persamaannya adalah = kxdimana k adalah pemalarJika kita jangkakan mangsa tidak wujud langsung, maka andaian bahawa bahawa populasi spesies pemangsa akan turun secara berkadar selari dengannya.Jadi persamaannya adalah :- = -rxdimana r adalah pemalar

Dengan kehadiran kedua-dua spesies arnab dan serigala dalam ekosistem ,dijangkakan bahawa apabila faktor kematian mangsa adalah berpunca daripada dimakan oleh pemangsa . Dalam keadaan sebegini, punca kematian arnab semestinya kerana diburu oleh serigala sebagai makanannya.Spesies ini diandaikan mempunyai interaksi yang berkadar selari kepada populasi arnab dan serigala.Melalui kenyataan ini, terdapat dua formula yang dapat dirumuskan iaitu:-

* k, r, a, dan b merupakan pemalar positifDiperhatikan bahawa -aRW mengurangkan kadar pertumbuhan mangsa manakala bRF pula meningkatkan kadar pertumbuhan pemangsa secara semula jadi.Jadi , melalui rumus ini boleh dibuktikan bahawa mangsa akan berkurangkan kerana dimakan oleh pemangsa. Dengan menggabungkan kedua-dua formula ini , kita akan dapat satu sistem yang dinyatakan sebagai Model Mangsa Pemangsa Lotka-Volterra .

4.0Penyelesaian Masalah Matematika) Cari penyelesaian pemalar (penyelesaian seimbang) dan tafsirkan jawapannya.Rajah 1 menunjukkan bilangan mangsa dan pemangsa mengikut tahun.Dengan formula yang ditunjukkan , masa dikira dalam tahun dan parameternya adalah seperti berikut:-

k = 0.08 ------------kadar kawalan kelahiran arnab r = 0.02 ------------kadar kematian pemangsaa = 0.001 ------------kadar kematian mangsa kerana dimakan oleh pemangsab = 0.00002 ------------kadar pertumbuhan pemangsa kerana memburu mangsa

Dengan menggunakan nilai -nilai ini , persamaan Lotka Volterra akan menjadi sebegini:-Bagi mangsa

Bagi pemangsa

Kedua-dua R dan W akan menjadi pemalar jika derivative formula menjadi 0, iaitu Satu penyelesaian telah diberi oleh R = 0 and W = 0. Jalan penyelesaian bagi kedua-dua formula adalah seperti berikut:-

R = 0 atau 0.08 - 0.001 W = 0 -0.001 W = -0.08 W = w = 80

W = 0 atau -0.02 + 0.00002 R = 0 0.00002 R = 0.02 R = R = 1000Jadi, melalui penyelesaian ini ,jawapan yang diperolehi adalah (0,0) dan (80,1000). Ini dapat menyatakan bahawa 1000 ekor arnab dapat menampung 80 ekor serigala.b) Gunakan sistem persamaan pembeza untuk mencari satu penyelesaian bagi Bagi mengeluarkan t ,Chain Rule akan digunakan .

Jadi W dirumuskan sebagai fungsi kepada R, kita mempunyai persamaan pembeza seperti berikut

Rajah 2 : Gambaran trajektori populasi serigala dan arnab

c) Katakan, pada satu titik masa , terdapat 1000 arnab (R) dan 30 serigala (W), terangkan apa yang akan berlaku terhadap kedua dua populasi. Lukiskan persamaan yang menggambarkan kedua-dua populasi tersebut dan gunakan persamaan tersebut untuk menggambarkan perubahan terhadap tahap kedua-dua populasi.Apabila kita mewakili sesuatu penyelesaian bagi satu sistem persamaan pembeza, kita akan merujuk kepada satah RW sebagai satah fasa. Penyelesaian bagi setiap lengkung dipanggil sebagai fasa trajektori.Fasa ini adalah satu laluan yang diperolehi daripada penyelesaian (R,W) mengikut laluan masanya.Sekiranya R(t) = 1000 dan W (t) = 30,maka satu lengkungan penyelesaian dilukis bermula dari titik Bagi mengenalpasti arah pergerakan fasa trajektori , satu penyelesaian harus digunakan seperti berikut:-

=80 30 =50Daripada penyelesaian ini, didapati dR/dt >0. Jadi ini membuktikan bahawa jika R meningkat pada dan pergerakan fasa fasa tersebut adalah dalam arah lawan jam. 5.0Mentafsir PenyelesaianDaripada hasil penggunaan persamaan Lotka-Volterra , didapati titik seinbangan ialah ( 80 , 1000) dan (0,0). Titik seimbangan ini menerangkan bahawa setiap 1000 ekor arnab ini dapar menampung 80 ekor serigala. Titik (0,)) pula menggambarkan bahawa jika salah satu daripada spesis ini tiada di populasi ekosistem tersebut, maka populasi kedua-dua spesis ini tidak akan menunjukkan peningkatan langsung .Sebabnya adalah tiada kewujudan interaksi antara serigala dan arnab dalam ekosistem itu.Maka titik(0,0) dibuktikan oleh kenyataan dan penyelesaian itu.Selain itu , melalui gambaran hasi penyelesaian daripada fasa trajektori tersebut kita dapat melihat perkembangan populasi serigala (pemangsa) dan arnab (mangsa) secara lebih teliti pada Rajah 3.

arnabserigalaarnabserigalaarnabserigalaarnabserigala13

24

. Rajah 3 Fasa trajektori populasi serigala dan arnab Jika penerangan yang lebih sistematik, kita boleh merujuk kepada Jadual 1 yang memberi penjelasan kepada perkembangan populasi kedua-dua spesis tersebut.Kuadran grafArah kecerunanPopulasi pemangsa (Serigala)Populasi mangsa (Arnab)

1MeningkatMeningkat

2MeningkatMenurun

3MenurunMenurun

4MenurunMeningkat

Jika difokuskan pada jadual yang dibina , didapati bahawa pada , pengurangan populasi serigala mengakibatkan populasi arnab menyebabkan populasi arnab untuk bertambah.Secara tidak langsung pada fasa , populasi serigala sedang meningkat dan bertambah . Apabila populasi serigala bertambah banyak, maka arnabterpaksa diburu dan dijadikan sebagai sumber makanan. Jadi,keadaan ini mengakibatkan populasi arnab berkurang dalam fasa ini. Tetapi dalam fasa pula , bilangan musang mula menurun. Ini mungkin disebabkan oleh persaingan antara populasi serigala itu sendiri untuk memburu mangsanya. Bilangan arnab juga mula menurun pada fasa ini.Akhirnya pada fasa , populasi serigala semakin menurun dan populasi arnab pula mula meningkat. Ini mungkin kerana , penurunan populasi serigala yang memburu arnab menyebabkan populasi arnab tersebut untuk meningkat.Jadi daripada jadual ini, bolehlah kita mengintepretasi perkembangan kedua-dua populasi tersebut dengan betul.6.0Membandingkan Dengan RealitiSelepas membincangkan kajian ini, banyak persoalan yang timbul akan dalam diri kita.Apabila difikirkan secara mendalam, adakah terdapat lebih daripada satu mangsa di dalam ekosistem tersebut . Jika pemangsa mempunyai pilihan untuk memilih mangsanya sebagai sumber makanan, adakah persamaan Lotka-Voltera masih lagi boleh memberi penyelesaian yang tepat kepada masalah ini?Jawapannya agak kabur.Ini desebabkan terdapat pelbagai kehidupan dalam sesuatu ekosostem yang membolehkan pemangsa bergantung kepada mangsa yang berbeza ataupun dijadikan opsyen.Contohnya. seluruh populasi serigala tidak semestinya memilih mangsa yang sama , malah mereka juga boeh memilih ayam atau burung sebagai mangsa mereka. Jika didapati populasi arnab berkurangan, makaserigala boleh memburu ayam atau burung sebagai makanannya. Hasilnya, serigala tidak akan meningkat dan menurun secara tidak sekata .(Haogstrom, 2008). Selain daripada ini, terdapat juga satu lagi kemusyikilan iaitu , adakah populasi arnab menuruk hanya disebabkan pemburuan oleh pemangsanya? Jika direnung seketika , kita akan dapati bahawa arnab kemungkinan besar mempunyai dua jenis persekitaran yang memberi kesan kepada interaksi antara iaitu persekitaran biotik dan abiotik (Robertson & Mays, 1979). Persekitaran abiotik adalah interaksi antara organisma dengan persekitaran (Robertson & Mays, 1979). Jadi, kadar kematian arnab mungkin disebabkan faktor lain seperti jangkitan penyakit, pencemaran, bencana alam dan sebagainya. Justeru itu, pemburuan pemangsa bukan faktor utama yang mengakibatkan kadar kematian mangsa.

7.0 KesimpulanInteraksi mangsa-pemangsa merupakan salah satu punca yang memberi kesan kepada sebuah komuniti ekologi (Haogstrom, 2008). Seperti yang diterangkan dalam persamaan Lotka-Volterra, agak mustahil bagi sistem satu mangsa kepada satu pemangsa. Hal ini disebabkan, pemangsa mempunyai banyak sumber makanan dan persaingan dalam komunitinya bagi memenuhi keperluan asasnya. Justeru itu, terdapat banyak faktor yang memberi implikasi dalam sesebuah ekosistem. Walaubagaimanapun, persamaan Lotka-Volterra dapat diaplikasikan dalam sistem yang agak ringkas dalam kehidupan seharian..

.

http://www.resnet.wm.edu/~jxshix/math302/byrant-moyer2.pdf