PENAKSIRANPENAKSIRAN

Penaksiran TitikPenaksiran SelangSelang Kepercayaan untuk RATAANSelang Kepercayaan untuk RATAANSelang Kepercayaan untuk VARIANSI

MA2081 STATISTIKA DASARMA2081 STATISTIKA DASARUtriweni Mukhaiyar

25 Oktober 2012

Metode Penaksiran

2

Metode Penaksiran

Penaksiran 1

Penaksiran 2

Titik gSelang

Nilai tunggal dari suatu parameter l l i d k d

Nilai sesungguhnya dari suatub d di lmelalui pendekatan metode tertentu. parameter berada di selang tertentu.

Contoh 1. Seorang mahasiswa mengulang kuliah Statdas, ketika di

Contoh 2. Seiring berjalannya waktu, mahasiswa tersebut

awal perkuliahan, memiliki target nilai lulus matkul Statdas adalah B.

mengubah target nilai lulus matkul Statdas adalah minimal AB

Nilai : B = 3 IP : AB = [3.5, 4]Nilai : B 3 IP : AB [3.5, 4]

Ilustrasi3

P r m t r P pul siParameter Populasi

σ2µ

Populasi

Sampelσ2µ

menaksir

? ?

titik?? selang??

Parameter Sampel

? ?

Parameter sampel menaksir parameter populasi

m mp

Penaksiran Titik

Statistik yang digunakan untuk mendapatkank k d b k i f i

4

taksiran titik disebut penaksir atau fungsikeputusan.

X22 s

X Apakah dan s2 merupakan penaksir yang baik dan paling efisien bagi dan 2?

Penaksir Takbias dan Paling Efisien

Definisi5

• Statistik dikatakan penaksir takbias parameter bila,

]ˆ[ˆ E

Dari semua penaksir takbias yang mungkindibuat, penaksir yang memberikan variansiterkecil disebut penaksir yang paling efisienterkecil disebut penaksir yang paling efisien

2ˆ

2ˆ

21

Penaksir Tak Bias untuk dan 2

Misalkan peubah acak X ~ N(,2) 6

Misalkan peubah acak X N(, )

• penaksir tak bias untuk .

n

iiX

nX

1

1

• penaksir takbias untuk 2.

i 1

n

i XXs 22

11 p

iin 11

Bukti : dengan menunjukkan bahwa,

][XE22 ][ sE ][ sE

Penaksiran Selang7

Taksiran selang suatu parameter populasi :

2 2121

ˆˆ

1

g p p p

dan : nilai dari peubah acak dan

dan dicari sehingga memenuhi : 1 2 1ˆˆP

2 211 p

121P

taraf/koefisien keberartiandengan 0 < < 1.

taraf/koefisien keberartian

21ˆˆ Selang kepercayaan : perhitungan selang

berdasarkan sampel acak berdasarkan sampel acak.

Skema PenaksiranPOPULASI

2µ σ2

1 POPULASI2 POPULASI

BERPASANGAN 2 POPULASI 1 POPULASI2 POPULASI

BERPASANGAN 2 POPULASI

b l 2

2 2 id k

D DTabel 21n Tabel

1 2,v vF

σ2

diketahuiσ2 tidak

diketahui σ12 , σ2

2

diketahuiσ1

2 = σ22

tidak diketahuiσ1

2 ≠ σ22

tidak diketahui

Tabel z Tabel t b l b l b l8Tabel z Tabel t Tabel z Tabel t Tabel t

K N l B k (Z N(0 1))

9

Kurva Normal Baku (Z~N(0,1))menghitung tabel z

1 -

/2/2 P(-z1-/2 ≤ Z ≤ z1-/2)

= 0

1

z1-/2-z1-/2

(1-/2)

= 5% maka z1-/2 = z0,975 =1,96 P(Z ≤ z0,975) = 1 – 0,025 = 0,975

dan -z1-/2 = -z0,95= -1,96.

Kurva t-Student (T~t )

10

Kurva t-Student (T~tv)menghitung tabel t

/2/2

1 -

/2/2 P(-t/2 ≤ T ≤ t/2)

= 0

1

t/2-t/2

= 5% dan n =10 maka t/2;n-1 = t0,025;9 = 2,262 P(T ≤ t0,025) = 0,025

d t t 2 262dan -t/2;n-1 = -t0,025;9= -2,262

Selang Kepercayaan (1-) untuk

• Kasus 1 populasi, 2 diketahui

11

1

21

21

zZzP

TLP : )1,0(~/

NZn

X

1

21

21 n

zXn

zXP

zXzX

SK (1-) untuk jika 2 diketahui :

nn

21

21

Selang Kepercayaan (1-) untuk

• Kasus 1 populasi, 2 tidak diketahui

12

1

22

tTtP

1~/ n

X ts n

2 2

1s sP X t X tn n

s sX t X t

SK (1-) untuk jika 2 tidak diketahui :

2 2

X t X tn n

13

Contoh 1

• Survey tentang waktu maksimum pemakaian y g pkomputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi

l d b k dnormal dengan simpangan baku 10 jam dan rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam.Dengan menggunakan taraf keberartian 2% Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !

14

Contoh 2• Survey tentang waktu maksimum pemakaian

komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet p (j ) ggdi Kota Bandung diketahui berdistribusi normal. Rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam dengan simpangan baku 10 jam. Dengandengan simpangan baku 10 jam. Denganmenggunakan taraf keberartian 2% carilah selangkepercayaannya !

Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengancontoh 2?

Analisis ContohAnalisis Contoh 15

Contoh 1 Contoh 2Diketahui : n = 50 , , σ = 10 n = 50 , , S = 10 55X 55X

Ditanya : SK 98% untuk ( = 0,02) SK 98% untuk ( = 0,02)

Jenis kasus : kasus menaksir dengan 2

diketahui,kasus menaksir dengan 2

tidak diketahui,

Jawab : z1 /2 = z0 99 = 2,33 t/2;n 1 = t0 01;49 = 2,326Jawab : z1-/2 z0,99 2,33 t/2;n-1 t0,01;49 2,326

nzX

nzX

11

nStX

nStX

22

nn 22 nn 22

Solusi Contoh 1 dan 2

16

Selang Kepercayaan untuk 1 Jika 2 diketah i 2 Jika 2 tidak diketah i

10 1055 2,33 55 2,33

1. Jika 2 diketahui. 2. Jika 2 tidak diketahui.

10 1055 2,326 55 2,32650 50

50 50

50 50

51,705 58,295 51,711 58,290

Selang Kepercayaan (1-) untuk - Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2Kasus 2 populasi 17

X1 ~ N(µ1 , σ12) X2 ~ N(µ2 , σ2

2)

1. SK (1-) untuk (1 - 2) jika 12 dan 2

2 diketahui

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 / 2 1 2 1 2 1 / 21 2 1 2

( ) ( )X X Z X X Zn n n n

1 2 1 2n n n n

Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2Selang Kepercayaan (1 ) untuk 1 2

Kasus 2 populasi18

2. SK (1-) untuk (1-2) jika 12 , 2

2 tidak diketahui dan 12 ≠ 2

2

2 2 2 21 2 1 2

1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /21 2 1 2

( ) ( ) s s s sX X t X X tn n n n

22 21 2s s

1 22 2 2 21 1 2 2

dimana ( / ) ( / )

1 1

n ns n s nn n

1 21 1n n

Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2

3 SK (1-) untuk (1 2) jika 12 2

2 tidak diketahui dan 12 = 2

2

g p y ( ) 1 2

Kasus 2 populasi 19

3. SK (1-) untuk (1-2) jika 1 , 2 tidak diketahui dan 1 2

1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /21 1 1 1( ) ( )p pX X t s X X t s 1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /2

1 2 1 2

( ) ( )p pn n n n

2 22 1 1 2 2( 1) ( 1)dimana

n S n SS dan v = n1 + n2 - 21 2

dimana 2

pS

n n

1 1 2 22 2

2 21 1 1 2 2 2

n n n n

X X n X X n

dan v n1 n2 2

1 1 2 2

1 1 1 12

1 2

atau 2

p

X X X X

Sn n

JK JK

1 2 2

n n

20

Pengamatan Berpasangang p gCiri-ciri:• Setiap satuan percobaan mempunyai sepasang

pengamatan• Data berasal dari satu populasi yang sama

Contoh• Produksi minyak sumur A pada tahun 1980 dan

2000• Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm)

beberapa sampel zat, hasil analisis X-ray dan Kimia beberapa sampel zat, hasil analisis X ray dan Kimia

S l g K (1 ) t k

21

Selang Kepercayaan (1-) untuk d

SK untuk selisih pengamatan berpasangan dSK untuk selisih pengamatan berpasangan dengan rataan dan simpangan baku Sd :

s s

d

1; 1;2 2

d dn D n

s sd t d tn n

21 ddimana “ “ dengan n : banyaknya pasangan.

d merupakan rata-rata dari selisih 2 kelompok data.

Kurva khi kuadrat (x~ )

22

2Kurva khi kuadrat (x )menghitung tabel

v2

/2 /2

/2

1

12

2

22

21

XP

0 2

2

2

21

1 -

22

023,1929;025,0

2

1,2

n = 5% dan n =10 maka,

7,229;975,0

2

1,2

1

n

Selang Kepercayaan (1-) untuk σ2Selang Kepercayaan (1 ) untuk σ• Kasus 1 populasi

23

12

2

22

21

XP

2 2( 1) ( 1)

22 2

12

( 1) ~ nn sX

2 22

2 2/2 1 /2

( 1) ( 1) 1n s n sP

2

2 22

2 2

( 1) ( 1)n s n s

SK (1 - ) 100% untuk 2 :

2 2

( 1); ( 1);12 2

n n

Kurva fisher (F~ )24

FKurva fisher (F )menghitung tabel F

21,vvF

/2 /2

/2

1

1

2121 ,;2

,;2

1 vvvvfFfP

1,1;1,1;

21

12

21

1

nnnn f

f

0

2f

21

f

1 - 1,1;2 12 nn

22

36,48,9;025,01,1;2 21

ffnn = 5% , n1 = 10 dan n2 = 9 maka, dan

111 24,01,4

111

9,8;975,01,1;2

1,1;2

112

21

fff

nnnn

Selang Kepercayaan (1-) untuk 12 /2

2Selang Kepercayaan (1 ) untuk 1 /2

• Kasus 2 populasi25

2 22 1sF f

1

2121 ,;2

,;2

1 vvvvfFfP

1 2

2 12 2 , ,1 2 2

~v v

sF fs

2 2 21s s

SK (1 ) 100% t k 2 / 2

2 1

1 2

1 1 12 2 2 ; ,2 2 2 2; ,

2

1 1v v

v v

s sP fs f s

SK (1 - ) 100% untuk 12 /2

2 :2 2 21 1 12 2 2 ;

1v v

s s fs f s

2 1

1 2

; ,2 2 2 2; ,

2

v vv v

s f s

26

Referensi• Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and

Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.P ib U S 2007 C t t K li h Bi t ti tik• Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

• Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.

• Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: y gPenerbit ITB, 1995.

• Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice , g , N J yHall, 2007.