PENDUGAANDAN SELANG KEPERCAYAAN

Mennofatria Boer

2

Pendugaan Parameter

Pengujian Hipothesis

Statistika Inferensia adalah cabang ilmu statistika yang menggunakan contoh statistik untuk mengkaji atau memberikan kesimpulan (inferensia) terhadap parameter populasi

Statistika Inferensia

Aplikasi Inferensia Statistika:

3

Pendugaan Titik

BATASAN:• Suatu pendugaan titik adalah

suatu nilai dugaan tunggal terhadap parameter populasi.

• Pendugaan titik terbaik untuk rata-rata populasi adalahrata-rata contoh .x

4

Teladan Pendugaan Titik Sebuah contoh acak harga tiket pesawat (US$) untuk sekali berangkat dari Jakarta ke Bali adalah sebagai berikut:

99 102 105 105 104 95 100 114 108 103 94 105 101 109 103 98 96 98 104 87 101 106 103 90 107 98 101 107 105 94 111 104 87 117 101

Tentukan pendugaan titik rata-rata populasi .

Rata-rata contoh:

Pendugaan titik tiket pesawat sekali berangkat dari Jakarta ke Bali adalah $101.77.

1

1 13562 101.77

35

n

ii

x xn

5

Pendugaan Selang

Suatu Pendugaan Selang adalah suatu selang atau kisaran nilai yang digunakan untuk menduga parameter populasi

•101.77

Pendugaan Titik:

( )•101.77

Tingkat/Taraf Kepercayaan, c adalah peluang diperolehnya pendugaan selang yang mengandung parameter populasi

6

95% dari seluruh rata-rata contoh akan memiliki nilai baku antara z = -1.96 dan z = 1. 96

Sebaran Rata-rata Contoh

Sebaran Penarikan Contoh untuk c = 0.95

0 z

0.950.0250.025

-1.96 1.96

x

Jika ukuran contoh sedikitnya 30, sebaran penarikan contoh untuk mengikuti sebaran normal.x

x

7

Galat (Error) Maksimum Pendugaan

BATASAN: Untuk tingkat kepercayaan, c, galat maksimum pendugaan E adalah jarak terjauh yang mungkin antara pendugaan titik dan nilai parameter yang diduga

Untuk n 30, simpangan baku contoh, s dapat digunakan untuk .n

zzE cxc

Tentukan E, galat maksimum pendugaan harga tiket pesawat sekali berangkat dari Jakarta ke Bali untuk tingkat kepercayaan 95% dengan s = 6.69

Dengan zc=1.96, s = 6.69 dan n = 35,

22.235

69.696.1

nzE c

Kita percaya 95% bahwa galat maksimum pendugaan adalah $2.22

8

Zc

Zc = Nilai Z yang menyebabkan peluang di sebelah kanannya sama dengan

Atau, karena sifat simetri, nilai negatif Z yang menyebabkan peluang di sebelah kiri sama dengan

1 c2

1 c2

0 Zc-Zc

Peluang cc Zc0.90 1.650.95 1.960.99 2.58 = 1 - c

9

2 = ragam populasi = simpangan baku populasi s2 = ragam contoh s = simpangan baku contoh

= galat baku rata-rata =

Populasi, contoh, rata-rata = rata-rata populasi (diduga oleh ) = rata-rata contoh = rata-rata dari sebaran rata-rata

xx

x

(diduga oleh s2 dan s)

2s s

n nxs

10

Batasan: Selang kepercayaan c untuk rata-rata populasi adalah:

Selang Kepercayaan untuk µ

Tentukan selang kepercayaan 95% harga tiket sekali jalan dari Jakarta ke Bali.

Rata-rata contoh = 101.77 dan E = 2.22

•101.77( )

Batas Kiri101.77 2.22 99.55x E

99.55

Batas Kanan101.77 2.22 103.99x E

103.99

Dengan kepercayaan 95%, kita dapat mengatakan bahwa rata-rata harga tiket sekali jualan dari Jakarta ke Bali adalah antara $99.55 dan $103.99

99.55 103.99

x E x E

x

11

Ukuran Contoh

Untuk tingkat kepercayaan c dan galat pendugaan maksimum, E, ukuran contoh minimum n yang diperlukan untuk menduga , rata-rata populasi adalah: 2

E

zn c

Kita ingin menduga rata-rata harga tiket sekali jalan dari Jakarta ke Bali. Berapa banyak tiket yang harus dilibatkan dalam contoh jika kita ingin yakin 95% bahwa rata-rata contoh hanya berjarak $2 dari rata-rata populasi?

2 21.96 6.69

42.98 432

czn

E

Ini berarti sedikitnya diperlukan 43 tiket dalam contoh.Oleh karena sudah ada 35 diperlukan 8 tiket lagi.

12

0t

n=13db=12c=90%

.90

Sebaran t

-1.782 1.782

Nilai kritis t adalah 1.782. Dengan demikian, 90% rata-rata contoh dengan n = 13 akan terletak antara t = -1.782 dan t = 1.782

.05 .05

Sebaran penarikan contoh dari

Jika sebaran sebuah peubah acak x adalah normal dan n < 30, maka sebaran penarikan contoh dari adalah sebaran t dengan derajat bebas n-1.

x

x

13

t vs normal Jika ragam populasi (2) diketahui maka rata-

rata akan mengikuti sebaran normal

Jika ragam contoh (s2) digunakan untuk menduga 2, maka rata-rata contoh akan mengikuti sebaran t dengan derajat bebas n-1 (tn-1)

Untuk derajat bebas yang besar (> 30) t akan sangat dekat dengan sebaran normal

derajat bebas = db =

14

Selang Kepercayaan-contoh kecil

Dari suatu contoh acak berukuran 13 orang dewasa, rata-rata sampah yang dibuang per orang per hari adalah 4.3 kg dengan simpangan baku 0.3 kg. Andaikan peubah tersebut menyebar normal, sajikan selang kepercayaan 90% untuk .

1. Pendugaan titik adalah kg

2. Galat pendugaan maksimum adalah0.3

1.782 0.1513

c

sE t

n

Galat Pendugaan Maksimum:n

stE c

4.3x

4.15 < < 4.45

•4.3(

Batas kiri4.3 0.15 4.15x E

4.15)

Batas kanan4.3 0.15 4.45x E

4.45

Pada kepercayaan 90%, kita dapat menyatakan bahwa rata-rata buangan per orang per hari adalah antara 4.15 dan 4.45 kg.

15

Selang Kepercayaan untuk Proporsi Populasi

pq ˆ1ˆ q̂ adalah pendugaan titik kejadian tandingannya, sedemikian sehingga

Jika np 5 dan nq 5 , sebaran penarikan contoh untuk adalah normal.p̂

Pendugaan titik untuk p, proporsi populasi suatu kejadian tertentu adalah proporsi kejadian yang sama pada contoh:

nˆ

xp

Galat pendugaan maksimum E untuk selang kepercayaan c adalah

n

qpzE c

ˆˆ

Selang kepercayaan c untuk proporsi populasi, p adalah:ˆ ˆp E p p E

16

Selang Kepercayaan untuk p Dalam suatu kajian terhadap 1907 kali serangan ikan hiu ternyata 449 diantaranya terjadi saat melakukan kegiatan surfing. Sajikan selang kepercayaan 99% bagi proporsi serangan saat kegiatan surfing.

1. Pendugaan titik untuk p adalah 235.01907

449

nˆ

xp ˆ 1 0.235 0.765q

2. 1907(.235) 5 dan 1907(.765) 5, sehingga sebaran penarikan contoh dapat didekati dengan sebaran normal.

3. 025.01907

)765)(.235(.575.2

ˆˆ

n

qpzE c

0.21 < p < 0.26

(

21.0025.0235.0ˆ Ep

.21•.235

)

26.0025.0235.0ˆ Ep

.26

Pada tingkat kepercayaan 99% kita dapat menyatakan bahwa proporsi serangan ikan hiu saat surfing adalah antara 21% dan 26%.

17

Jika dugaan awal untuk p dan q diketahui maka ukuran contoh minimum yang harus diambil untuk menduga p untuk mendapatkan tingkat kepercayaan c dengan galat pendugaan maksimum E adalah:

Ukuran Contoh Minimum

2

czˆ ˆn pq

E

Jika dugaan awal tidak tersedia, gunakan 0.5 masing-masing untuk ˆ ˆp dan q

18

Jika kita ingin menduga proporsi serangan ikan hiu yang berkaitan dengan kegiatan surfing pada tingkat kepercayaan 99% dan galat pendugaan maksimum yang diperbolehkan hanya 2% dari proporsi populasi, maka ukuran contoh minimum yang harus diambil adalah:

Dengan demikian, diperlukan sedikitnya 4415 kasus serangan.

Teladan: Ukuran Contoh minimum

2

czˆ ˆn pq

E

=

Tanpa pengetahuan dugaan awal untuk p, digunakan 0.5

14.441402.0

575.2)5.0)(5.0(

2

Dengan demikian, diperlukan sedikitnya 2981 kasus serangan.

2

czˆ ˆn pq

E

=

Jika diketahui ada dugaan awal untuk p = 0.2352

2.575(0.235)(0.765) 2980.05

0.02

19

0 10 20 30 40

Sebaran Khi KuadratPendugaan titik bagi 2 adalah s2 dan pendugaan titik bagi adalah s. Jika ukuran contoh adalah n, gunakan sebaran khi kuadrat 2 dengan derajat bebas n-1 untuk membentuk selang kepercayaan c.

Tentukan R2 nilai kritis kanan dan L

2 nilai kritis kiri untuk c = 95% dan n = 17.

Daerah di kanan R2 adalah (1- 0.95)/2 = 0.025 dan area di sebelah kanan L

2 adalah (1+ 0.95)/2 = 0.975 R

2 =28.845L

2 =6.908

6.908 28.845

.95

Untuk ukuran contoh n = 17 maka derajat bebas adalah 16.

20

2

22

2

2 )1()1(

LR

snsn

Selang Kepercayaan untuk σ2 dan σ

Selang kepercayaan c untuk ragam populasi adalah:

Untuk menduga simpangan baku tentukan akar pada setiap batas.

2 22(17 1)150 (17 1)150

28.845 6.908

Hitung akar dari setiap batas:

212480.50 < < 52113.49

$117.72 < < $228.28

Sebuah contoh acak memuat informasi harga 17 komputer ($). Simpangan baku contoh adalah $150. Sajikan selang kepercayaan 95% untuk 2 dan

Kita dapat menyatakan bahwa pada tingkat kepercayaan 95%, akan terletak antara 12480.50 dan 52113.49, sedangkan akan terletak antara $117.72 and $228.28.

2