penaksiran parameter model arima dengan menggunakan...

Penaksiran parameter model ARIMA dengan menggunakanAlgoritma Genetika

Wiwin yuliani1306 100 070

Dosen Pembimbing I

Dr. Irhamah, S.Si,M.Si

Dosen Pembimbing II

Dedy Dwi Prastyo, S.Si, M.Si

Pendahuluan

Batasan masalah

Manfaat

Permasalahan

Tujuan

Latar belakang

Tinjauan pustaka

ARIMA Box-Jenkins

Algoritma Genetika

Metodologi penelitian

Sumber data

Metode analisis data

Algoritma Genetika

Hasil analisis

Analisis dan pembahasan

Kesimpulan dan saran

Latar belakang

Time seriesAlgoritmaGenetika

Penaksiranparameter

ARIMA

Penelitian terdahulu

Ong, Huang, dan Tzeng

(2005)

Rohman (2009)

Qohar (2007)

Algoritma Genetika dapat

mengatasi kelemahan

metode penaksiran

perameter lain dalam

mencari solusi yang global

optimum.

Permasalahan

Bagaimana hasil penaksiran parameter denganConditional Least Square?

Bagaimana hasil penaksiran parameter denganmengunakan Algoritma Genetika?

Bagaimana perbandingkan hasil penaksiranparameter kedua metode ?

Tujuan

Mendapatkan penaksir parameter denganConditional Least Square.

Mendapatkan penaksir parameter denganmenggunakan Algoritma Genetika.

Mengetahui perbandingan hasil panaksiranparameter kedua metode.

Manfaat

Dapat menerapkan dan mengembangkanmetode Algoritma Genetika untukmendapatkan taksiran parameter modelARIMA.

Batasan masalah

Data dua mingguan dari permintaan Arc Tubedaya listrik rendah yang pernah dipakai pada

Rohman (2009).

Dalam iterasi Algoritma Genetika, fungsifitness hanya dihitung berdasarkan nilai SSE

saja.

Program Algoritma Genetika dapat digunakanuntuk model ARIMA(p,d,q) orde satu saja

Tinjauan pustaka

Konsep Dasar Time SeriesTime series adalah suatu pengamatan yang disusun secara berurutan dalam waktu(Box, Jenkins, dan Reinsel, 1994). Time series dapat dianggap sebagai realisasidari proses stokastik. proses stokastik adalah suatu kelompok data berdasarkan waktu yang tersusun oleh variabel random dimana ω adalah ruang sampel dan tadalah indeks waktu. Fungsi distribusi dari variabel random adalah sebagai berikut.

Kestasioneran DataData time series dikatakan stasioner pada mean apabila data tersebut tidak adaperubahan mean dari waktu ke waktu dan data time series dikatakan stasionerpada varians apabila data tersebut tidak ada perubahan varians yang jelas dariwaktu ke waktu (Makridakis dkk,1999).

Apabila terjadi ketidakstasioneran pada varians maka dilakukan transformasipada data.Apabila terjadi ketidakstasioneran pada mean maka dilakukan proses differencing (pembedaan) pada data.

n1n21 tnt1tttzω,t,...,zzω,tω:zp,...,z,zzF

Tinjauan pustaka

Fungsi Autokorelasi (ACF)

Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)

Dan j=1,2,...,k

n

1t

2

t

kn

1t

ktt

ktt

kttk

kk

)Z(Z

)Z)(ZZ(Z

)var(Z)var(Z

)Z,cov(Zr

0ˆ

ˆˆ

k

1j

jkj

k

1j

j1kkj1k

11,kk

ρ1

ρρ

ˆˆ

ˆˆˆ

ˆ

j1kk,1k1,kkjj1,kˆˆˆˆ

Tinjauan pustakaModel-Model Time Series Stasioner

1. Model Autoregressive atau AR(p)

Bentuk umum

2. Model Moving Average atau MA(q)

Bentuk umum

3. Model Autoregressive Moving Average atau ARMA(p,q)

Bentuk umum

4. Model ARIMA (p,d,q)

Bentuk umum

tptptttaZZZZ .

2211

qtqttttaaaaZ

2211

qtqttptpttaaaZZZ

1111

tq0t

d

paBθZB1B

Tinjauan pustaka

Identifikasi Model ARIMA

Model ACF PACF

AR(p)turun cepat secara eksponensial /

sinusoidalterputus setelah lag p

MA(q) terputus setelah lag qturun cepat secara eksponensial /

sinusoidal

AR(p) atau MA(q) terputus setelah lag q terputus setelah lag p

ARMA(p,q) turun cepat setelah lag (q-p) turun cepat setelah lag (p-q)

Tinjauan pustaka

Estimasi Parameter Model ARIMA

1. Metode MomentMenurut Wei (1990), metode momen adalah salah satumetode estimasi yang paling mudah, tetapi juga yang paling tidak efisien, untuk mendapatkan taksiran parameter padamodel ARIMA. Dimisalkan model AR(p) dengan

Bentuk umum dari model AR (p) adalah

Dan mendapatkan penaksir moment dengan

tptp2t21t1taZZZZ ..

ppaˆˆ...ˆˆˆˆ1ˆ

22110

2

2

a

ttZZ

Tinjauan pustaka

2. Metode Least Square / Conditional Least SquareDimisalkan model ARMA(p,q) dengan

Bentuk umum dari model ARMA (p,q) adalah

estimasi Conditional Least Square

dengan zinit, ainit merupakan nilai inisialisasi awal dan db=n-(p+q-1).

merupakan suatu fungsi nonlinear dengan parameter yang tidak diketahui sehingga diperlukan suatu iterasi nonlinear untukmendapatkan parameternya

ttZZ

qtq2t21t1tptp2t21t1taθaθaθaZZZZ ....

),,,,,(),,(~~~~~

1

2

~~

ZinitainitZaSn

t t

dbSa

/),,(ˆ2

),,(~~

S

3. Metode Maximum LikelihoodMenurut Cryer dan Chan (2008) untuk dapat menerapkan teknikestimasi maximum likelihood (kemungkinan maksimum), harus dibuatasumsi tentang bentuk fungsi probabilitas dari data yang teramati. Fungsi kepadatan probabilitas suatu error adalah

taksiran maximum likelihood untuk adalah

ta

2

2

2/122

2exp)2()|(

a

t

aat

aaf

2ˆ

a

n

Sa

ˆ,ˆˆ

2

Tinjauan pustaka

Algoritma genetika

Sejak Algortima Genetika pertama kali dirintis oleh John Holland dari Universitas Michigan pada tahun 1960-an, Algortima Genetika telah diaplikasikan secara luas padaberbagai bidang. Algortima Genetika banyak digunakanuntuk memecahkan masalah optimasi, walaupun padakenyataannya juga memiliki kemampuan yang baik untukmasalah-masalah selain optimasi.

Pengkodean kromosom

Pengkodean kromosom adalah suatu teknik untukmenyatakan populasi awal sebagai kandidat solusi suatumasalah ke dalam suatu kromosom.

Fungsi Fitness

Fitness individu dalam algoritma genetika adalah nilaifungsi objektif untuk fenotipe. Untuk menghitungfitness, kromosom harus terlebih dahuludidekode dan fungsi tujuan harus dievaluasi

Seleksi Roulette Wheel

Untuk menentukan probabilitas seleksi atau probabilitaskelangsungan hidup pada setiap kromosom proporsionaldengan nilai fitnessnya

Crossover

Beroperasi pada dua kromosom pada suatu waktu danmembentuk offspring dengan mengkombinasikan duabentuk kromosom.

Mutasi

untuk mengembalikan informasi yang hilang

Elitism

Untuk menjaga agar individu bernilai fitness tertinggi

tersebut tidak hilang selama evolusi, maka perlu dibuat

satu atau beberapa kopinya.


• data simulasi dan data dua mingguan dari permintaan Arc Tube daya listrik rendah yang pernah digunakan oleh Rohman(2009)

DATA


• Menaksir parameter dengan metode Conditional Least square• Menaksir parameter dengan metode Algoritma Genetika

METODE

ANALYSIS

• Membandingkan hasil penaksiran parameter kedua metode

Letak penelitian

Identifikasi model

ARIMA nonmusiman

Penaksiran parameter model ARIMA

Identifikasi model

ARIMA musiman

Pemodelan ARIMA

Box-Jenkins

dengan Algoritma

Genetika

Identifikasi model

ARIMA campuran

Correlogram Correlogram

Algoritma GenetikaAlgoritma Genetika

Correlogram

Algoritma Genetika

Algoritma Genetika

Conditional Least Square

Diagram alur penelitian

Selesai

Mengidentifikasi model ARIMA

Menaksir parameter dengan metode Conditional Least Square dan Algoritma Genetika

Membandingkan hasil dari kedua metode

Mulai

Data

Parameter terbaik dengan kriteria minimun SSE

Diagram alur Algoritma Genetika

Mulai

Seleksi dengan Roulette Wheel

Crossover dengan one-point

Mutasi

ya

tidak

Set Input : Npop, Pc, Pm

Inisialisasi PopulasiGenerasi = 0

Evaluasi kromosom berdasarkanfitness

SSE konvergen?

Solusi optimal

Selesai

Seleksi individu baru dan Elitism

Generasi = generasi + 1

Decoding dari bilangan biner menjadibilangan real

Analisis dan Pembahasan

140126112988470564228141

200000

150000

100000

50000

0

Index

da

ta

Time S er ies P lot of data

1401301201101009080706050403020101

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Au

to

co

rre

latio

n

Autocorrelation Function for data

(w ith 5% significance lim its for the autocorre la tions)

Gambar 1 Plot time series data permintaan

Arc Tube daya listrik rendahGambar 2 Plot ACF data data permintaan Arc

Tube daya listrik rendah

1. Identifikasi model ARIMA dengan Correlogram


Gambar 3 Box-Cox plot data permintaan Arc

Tube daya listrik rendahGambar 4 Plot time series data yang sudah

stasioner

543210-1-2

160000

140000

120000

100000

80000

60000

40000

20000

Lambda

StD

ev

Lo w er C L U p p er C L

Lim it

E stimate 0.80

Lo w er C L 0.57

U p p er C L 1.06

Ro u n d ed Valu e 1.00

(u sin g 95.0% co n fid en ce)

Lamb d a

Box-Cox P lot of data

140126112988470564228141

100000

50000

0

-50000

-100000

-150000

Index

dif

f

Time S er ies P lot of diff


Gambar 5 Plot ACF data yang sudah

stasioner

Gambar 6 Plot PACF data yang sudah

stasioner

35302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Au

to

co

rre

latio

n

Autocorrelation Function for diff

(w ith 5% significance lim its for the autocorre la tions)

35302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Pa

rtia

l A

uto

co

rre

latio

n

Partial Autocorrelation Function for diff

(w ith 5% s ignificance lim its for the partia l autocorre la tions)

dugaan model sementara adalah ARIMA (1,1,0), ARIMA (0,1,1), ARIMA (1,1,1), ARIMA (2,1,0), ARIMA (0,1,2) dan ARIMA (2,1,2).


Lags MA 0 MA 1 MA 2 MA 3 MA 4 MA 5

AR 0 21.17851 20.92304 20.92788 20.93609 20.95433 20.95797

AR 1 20.84401 20.86949 20.8739 20.90799 20.94256 20.97193

AR 2 20.87204 20.90327 20.90879 20.94225 20.97707 21.0019

AR 3 20.87518 20.90972 20.94258 20.97724 21.00704 21.03705

AR 4 20.90894 20.94382 20.96678 21.00049 21.03532 21.05248

AR 5 20.94095 20.97366 20.99648 21.02786 21.05646 21.082

Berdasarkan Tabel diatas diperoleh nilai BIC terkecil pada BIC(1,0) sehingga dugaan model sementara yang terbaik berdasarkan MINIC

adalah ARIMA(1,1,0). Model ARIMA(1,1,0) juga merupakan salah satudugaan model sementara hasil identifikasi dengan Correlogram

2. Identifikasi model ARIMA dengan MINIC

Analisis dan Pembahasan3. Simulasi model AR(1), MA(1), ARMA(1,1)

sampel parameter simulasirata rata

sampel parameter simulasirata rata

fitarima.m minitab fitarima.m minitab

100 AR(1) 0.8 0.7715 0.7895 200 ARMA (1,1)

MSE 1 1.0966 1.0699 phi 0.7 0.6832 0.7254

100 MA(1) 0.6 0.5927 0.5728 theta 0.4 0.3741 0.4101

MSE 1 1.0673 1.0745 MSE 1 1.0301 1.0456

100 ARMA (1,1) 400 AR(1) 0.8 0.8058 0.8082

phi 0.7 0.7362 0.7941 MSE 1 1.0235 1.0244

theta 0.4 0.4136 0.4746 400 MA(1) 0.6 0.5929 0.5901

MSE 1 0.9021 0.9192 MSE 1 1.0387 1.0406

200 AR(1) 0.8 0.7657 0.784 400 ARMA (1,1)

MSE 1 0.9182 0.9292 phi 0.7 0.689 0.7087

200 MA(1) 0.6 0.5948 0.5954 theta 0.4 0.3861 0.4043

MSE 1 0.9175 0.919 MSE 1 1.0394 1.0462

Analisis dan Pembahasan4. Penaksiran Parameter model ARIMA dengan Conditional Least Square

Dari Tabel diatas dapat dilihat bahwa nilai parameter

AR(1) sebesar -0.5505, nilai MSE sebesar 1156000000

dan nilai SSE sebesar 161840000000

Model Parameter Koefisien MSE SSE

ARIMA

(1,1,0)AR(1) -0.5505 1156000000 161840000000


4.1 Pengujian Signifikansi Parameter

H0 : = 0 (parameter model tidak signifikan)H1 : ≠ 0 (parameter model signifikan)t0.005;141 = 2,576

model parameter koefisien SE koefisien t-hitung

ARIMA

(1,1,0)AR 1 -0.5505 0.084517529 -6.513441712

Dari Tabel diatas dapat dikatakan bahwa

taksiran parameter signifikan karena nilai

|t-hitung| > t0.005;141


4.2 Pengujian Asumsi Residual

H0 : Residual white noise

H1 : Residual tidak white noise

Tolak H0 jika nilai p-value < α

Tabel diatas menunjukkan bahwa model white-noise

karena nilai p_value > α dengan α sebesar 1%.

model Ljung - Box keterangan

ARIMA

(1,1,0)

lag 12 24 36 48

λ2 90.353 139.713 159.426 166.055

white-noise

DF 11 23 35 47

P_Value 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


H0 : Residual berdistribusi Normal

H1 : Residual berdistribusi tidak Normal

Dari gambar diatas menunjukkan bahwa plot residualmendekati garis lurus dengan p_value > α dengan αsebesar 1% yaitu sebesar 0.063 sehingga residualberdistribusi normal.

100000500000-50000-100000

99.9

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

0.1

C14

Pe

rc

en

t

M ean -87.00

S tD ev 33999

N 141

KS 0.073

P -Valu e 0.063

Probability P lot of res idual

Norm al


Model ARIMA(1,1,0) menjadi model terbaik untuk data permintaan Arc Tube daya listrik rendah. Modelnya adalah sebagai berikut

Model tersebut menjelaskan bahwa permintaan Arc Tube daya listrik rendah untuk daya listrik ke-t dipengaruhi oleh permintaan Arc Tube pada

waktu t-1 dikurangi 0.5505 kali permintaan Arc Tube pada waktu t-1 ditambah kesalahan pada saat ke-t.

t1-tttaz-zz 5505.0

1

t1-ttazB)z-(1

1

Analisis dan Pembahasan5. Algoritma Genetika

5.1 Simulasi model AR(1), MA(1), ARMA(1,1) untuk Algoritma Genetika

sampel parameter simulasi

rata-rata

sampel parameter simulasi

rata-rata

Algoritma Genetika

Algoritma Genetika

100AR(1) 0.8 0.8168

200

ARMA (1,1)

MSE 1 1.119952 phi 0.7 0.717752

100MA(1) 0.6 0.6311 theta 0.4 0.396

MSE 1 1.072292 MSE 1 1.083684

100

ARMA (1,1)400

AR(1) 0.8 0.8168

phi 0.7 0.7549 MSE 1 1.02749

theta 0.4 0.4455400

MA(1) 0.6 0.6188

MSE 1 0.923886 MSE 1 1.04455

200AR(1) 0.8 0.8291

400

ARMA (1,1)

MSE 1 0.941478 phi 0.7 0.717752

200MA(1) 0.6 0.6188 theta 0.4 0.4455

MSE 1 0.934108 MSE 1 1.066268


Kromosom jenis 1>>bilangan binerkromosom jenis 2>>bilangan real Contohnya : model ARMA(2,1) direpresentasikan dengan (1 1 0 0 1 0 1 1 0 0) (0 1 0 0 1) atau

5.2 kromosom

1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1

sebagai kromosom jenis satu, kemudian dikonversikan kedalam bilangan real sehingga kromosom berubah menjadi

0.5569 -0.2475 -0.4331

Sebagai kromosom jenis dua.


Dari Tabel dapat dilihat bahwa nilai MSE, SSE danparameter untuk semua jumlah kromosom mempunyai nilaiyang sama. Nilai MSE tersebut merupakan nilai MSEterbaik dengan nilai sebesar 1156000000, nilai SSEsebesar 161840000000 serta nilai parameter sebesar-0.55688.

5.3 penaksiran parameter model ARIMA dengan Algoritma Genetika

kromosom generasi MSE db SSE parameter

10 4 1156000000 140 161840000000 phi -0.55688

20 4 1156000000 140 161840000000 phi -0.55688

40 4 1156000000 140 161840000000 phi -0.55688

100 4 1156000000 140 161840000000 phi -0.55688


5.3.1 Pengujian Signifikansi Parameter

H0 : = 0 (parameter model tidak signifikan)H1 : ≠ 0 (parameter model signifikan)t0.005;141 = 2,576

Dari Tabel diatas dapat dikatakan bahwa

taksiran parameter signifikan karena nilai

|t-hitung| > t0.005;141

model parameter koefisien SE koefisien t-hitung keterangan

ARIMA

(1,1,0)AR 1 -0.55688 0.084514711 -6.5891487 signifikan


5.3.2 Pengujian Asumsi Residual

H0 : Residual white noise

H1 : Residual tidak white noise

Tolak H0 jika nilai p-value < α

Tabel diatas menunjukkan bahwa model white-noise

karena nilai p_value > α dengan α sebesar 1%.

model Ljung - Box keterangan

ARIMA

(1,1,0)

lag 12 24 36 48

λ2 90.8313 139.563 159.152 166.253 white-noise

DF 11 23 35 47

P_Value 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000


H0 : Residual berdistribusi Normal

H1 : Residual berdistribusi tidak Normal

Dari gambar diatas menunjukkan bahwa plot residualmendekati garis lurus dengan p_value > α dengan αsebesar 1% yaitu sebesar 0.048 sehingga residualberdistribusi tidak normal.

100000500000-50000-100000

99.9

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

0.1

C12

Pe

rc

en

t

M ean -87.99

S tD ev 34000

N 141

KS 0.076

P -Valu e 0.048

Probability P lot of res idual

Norm al


Model ARIMA(1,1,0) menjadi model terbaik untuk data permintaan Arc Tube daya listrik rendah. Modelnya adalah sebagai berikut

Model tersebut menjelaskan bahwa permintaan Arc Tube daya listrik rendah untuk daya listrik ke-t dipengaruhi oleh permintaan Arc Tube pada

waktu t-1 dikurangi 0.55688 kali permintaan Arc Tube pada waktu t-1 ditambah kesalahan pada saat ke-t.

t1-ttazB)z-(1

1

t1-tttaz-zz 55688.0

1

Kesimpulan dan Saran1. Hasil penaksiran parameter model ARIMA dengan mengunakan Conditional Least

Square adalah :

Model tersebut menjelaskan bahwa permintaan Arc Tube daya listrik rendah untukdaya listrik ke-t dipengaruhi oleh permintaan Arc Tube pada waktu t-1 dikurangi0.5505 kali permintaan Arc Tube pada waktu t-1 ditambah kesalahan pada saat ke-t.Dengan MSE sebesar 1156000000 dan SSE sebesar 161840000000.

2. Hasil penaksiran parameter model ARIMA dengan mengunakan Algoritma Genetika adalah :

Model tersebut menjelaskan bahwa permintaan Arc Tube daya listrik rendah untukdaya listrik ke-t dipengaruhi oleh permintaan Arc Tube pada waktu t-1 dikurangi0.55688 kali permintaan Arc Tube pada waktu t-1 ditambah kesalahan pada saat ke-t.Dengan MSE sebesar 1156000000 dan SSE sebesar 161840000000.

3. Dari hasil kedua metode penaksiran parameter model ARIMA tersebut dihasilkan nilai MSE dan SSE yang besarnya sama

kesimpulan

t1-tttaz-zz 5505.0

1

t1-tttaz-zz 55688.0

1

Kesimpulan dan Saran

1. Pada penelitian ini penaksiran parameter model ARIMA dengan Algoritma Genetika hanya berdasarkan kriteria SSE saja. Untuk selanjutnya diharapkan bisa dikembangkanberdasarkan kriteria signifikansi parameter, dan asumsiwhite noise dan asumsi distribusi Normal.

2. Pada penelitian ini hanya digunakan data ARIMA non musiman. Untuk selanjutnya diharapkan bisa dikembangkanuntuk model ARIMA yang musiman.

saran

Daftar pustakaBox, G.E.P., dan Jenkins, G.M., 1976. Time Series Analysis Forecasting and Control,

edisi revisi. California : Holden-Day

Box, G.E.P., Jenkins, G.M., dan Reissel, G.C., 1994. Time Series AnalysisForecasting and Control, edisi ketiga. Englewood Cliffs : PrenticeHall.

Budiman, A., 2003. Optimisasi Daya Reaktif Menggunakan Algoritma Genetik Pseudo-Paralel. Jurnal teknik elektro dan komputer emitor Vol. 3, No. 1, Maret 2003

Ciptayani, P. I., Mahmudy, W. F., dan Widodo, A. W., 2009. MenerapkanAlgoritma Genetika untuk kompresi citra fraktal.

Cryer, J.D., dan Chan, K.S, 2008. Time Series Analysis With Applications in R.edisikedua. New York : Springer.

Fariza, A., 2003. Hybrid Algoritma Genetika Simulated Annealing untukPeramalan Data time Series. Tugas akhir yang dipublikasikan.

Gen, M., dan Cheng, R., 2000. Genetic Algorithms and Engineering Optimization.Canada : John Wiley & Son Inc.

Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E., 1999. Jilid 1 Edisi Kedua,Terjemahan Ir. Hari Suminto. Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta :

Bina Rupa Aksara.

Daftar pustakaMichalewicz, Z., 1996. Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs.

Verlag, Heidelberg : Springer.

Mitchell, M., 1999. An Introduction to Genetic Algorithms. London : Cambridge.

Ong, C.S., Huang, J.J., dan Tzeng G.H., 2005. Model identification of ARIMA family using genetic algorithms. Journal Applied Mathematics and Computation, 164, 885-912

Rohman, M.N., 2009. Identifikasi Model Arima Box-Jenkins Mengunakan Algoritma Genetika. Tugas Akhir S1 Statistika ITS Surabaya (tidak dipublikasikan).

Sanjoyo. 2006. Aplikasi Algoritma Genetika.Sivanandam, S.N.,dan Deepa, S.N., 2008. Introduction to Genetic Algorithms. Berlin

Heidelberg New York : Springer.

Suyanto. 2005. Algoritma Ganetika dalam MATLAB. Yogyakarta : ANDI offset.

Wei, W.W.S., 1990. Time Series Univariate and Multivariate Methods. Canada: Addison Wesley Publishing Company, Inc.

Yaffee, M., dan McGee, M., 1999. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting with Applications of SAS and SPSS. New York : Academic Press, inc.

penaksiran parameter model arima dengan menggunakan...

Documents