APLIKASI MATEMATIK MTE3114

Pemodelan Matematik

Model matematik : Satu set persamaan yang menggambarkan dan

mengintepretasikan sistem nyata (real system).

Pemodelan matematik merupakan proses dalam memperoleh pemahaman matematik

melalui konteks dunia nyata. Menurut Lovitt (1991) pemodelan matematik dibahagi kepada

dua ciri utama, iaitu pemodelan bermula dan berakhir dengan dunia nyata, dan pemodelan

membentuk suatu kitaran.

Model matematik umumnya digunakan untuk mendapatkan cara terbaik dalam mengatur

(controlling) atau mengelola (management) sebuah sistem fizikal.

Persamaan-persamaan dalam model matematik menunjukkan rumusan pelbagai aspek

persoalan, mengidentifikasikan hubungan fungsi diantara komponen dan elemen dalam

sistem, menetapkan ukuran efektif dan kekangan, serta menunjukkan data yang diperlukan

berkait dengan persoalan secara kuantitatif.

Untuk itu model matematik yang dibuat harus relevan dengan sistem yang dimodelkan.

Kriteria umum untuk hal ini adalah keluaran model dan keluaran sistem nyata harus

bertetapan.

1

APLIKASI MATEMATIK MTE3114

Skema proses pemodelan dan sistem optimasi.

Kaedah yang diperoleh dari penyelesaian model matematik dapat diaplikasikan pada sistem

fizikal yang sebenarnya. Dalam menerapkan strategi penyelesaian masalah kita dapat

menggunakan pendekatan optimasi, simulasi atau gabungan keduanya. Hasil akhir dari

prosedur di atas adalah keputusan optimal berkait dengan pengendalian atau pengelolaan

sebuah sistem.

2

Mathematical model

Mathematical model

Solution strategy

(Optimization and Simulation)

Solution strategy

(Optimization and Simulation)

Actual system respond

Model predicted

system respond

Real physical system

Non-modeled

input

Modeled input

APLIKASI MATEMATIK MTE3114

Penyelesaian Masalah - Pemodelan Matematik

Syarikat Bestari ingin menentukan berapa banyak dari tiga produk yang berbeza yang akan

dihasilkan dengan sumber tenaga dan bahan yang minimum agar memperoleh keuntungan

maksimum. Keperluan pekerja dan bahan mentah dan sumbangan keuntungan setiap

produk adalah sebagai berikut :

Produk

Keperluan Sumber Tenaga/ Bahan

Keuntungan (RM/unit)Pekerja (jam/orang) Bahan (kg/unit)

A

B

C

5

2

4

4

6

3

3

5

2

Telah disediakan 240 jam kerja dan bahan mentah sebanyak 400 Kg. Masalahnya adalah

menentukan jumlah setiap produk agar keuntungan mencapai tahap maksimum. Rumusan

model adalah :

A. Variabel Keputusan

Tiga variabel dalam masalah ini adalah produk A, B dan C yang harus dihasilkan. Jumlah

ini dapat diwakilkan sebagai :

X1  = jumlah produk A

X2  = jumlah produk B

X3  = jumlah produk C

3

APLIKASI MATEMATIK MTE3114

B. Fungsi tujuan

Tujuan masalah kombinasi produk adalah untuk memaksimumkan keuntungan

keseluruhan. Jelas sekali bahawa keuntungan keseluruhan adalah jumlah keuntungan yang

diperoleh dari setiap produk. Keuntungan dari produk A adalah pendaraban antara jumlah

produk A dengan keuntungan per unit (RM 3,-). Keuntungan produk B dan C ditentukan

dengan cara yang sama. Sehingga keuntungan total Z, dapat ditulis :

Z =3X1 +5X2 +2X3

C. Sistem kekangan

Dalam masalah ini kekangan adalah jumlah pekerja dan bahan mentah yang terhad. Setiap

produk memerlukan pekerja mahupun bahan mentah. Bagi produk A, pekerja yang

diperlukan untuk menghasilkan setiap unit adalah selama 5 jam, oleh itu pekerja bagi

produk A memerlukan 5 X1 jam. Dengan cara yang sama produk B memerlukan 2 X2 jam

pekerja, dan produk C memerlukan 4 X3 jam, sementara jumlah jam pekerja yang tersedia

adalah 240 jam. Formula yang dapat ditulis :

5X1 +2X2 +4X3 ≤240

Kekangan bahan mentah dirumuskan dengan cara yang sama, iaitu untuk produk A

memerlukan bahan mentah sebanyak 4 kg per unit, produk B memerlukan 6 kg per unit dan

produk C memerlukan 3 kg per unit. Sebanyak 400 kg bahan mentah teah disediakan,

maka dapat ditulis :

4X1 +6X2 +3X3 ≤400

Andaian bahawa setiap variabel hanya pada nilai positif, kerana tidak mungkin untuk

menghasilkan jumlah produk negatif. Kekangan ini dikenali sebagai non negativity

constraints dan secara matematik dapat ditulis :

X1 ≥0, X2 ≥0,X3 ≥0 atau X1,X2,X3 ≥0

4

APLIKASI MATEMATIK MTE3114

Dari masalah diatas, formula model matematik secara lengkap dapat ditulis :

Maksimumkan Z = 3X1 +5X2 +2X3

Dengan syarat 5X1 +2X2 +4X3 ≤ 240

4X1 +6X2 +3X3 ≤ 400

X1, X2, X3 ≥ 0

PERBANDINGAN PENYELESAIAN DENGAN REALITI

Penggunaan model linear programing ini amat bertepatan dengan situasi sebenar sekiranya situasi

yang berlaku menepati andaian-andaian yang dilakukan. Sebagai contoh, model ini membuat

andaian bahawa fungsi jumlah jam pekerja dan fungsi jumlah bahan adalah linear. Andaian ini perlu

dibuat supaya pembolehubah yang digunakan dapat memberikan gambaran yang lebih jelas

terhadap sesuatu situasi tersebut. Dalam realiti, kita tidak akan dapat meramal dengan tepat

berkaitan dengan suatu perniagaan kerana terlalu banyak perkara yang diluar jangkaan mampu

berlaku dan menjejaskan suatu perniagaan itu seperti bencana alam, kecurian, kebakaran dan

sebagainya. Justeru andaian ini dilakukan untuk membantu model ini menggambarkan situasi

sebenar dengan lebih tepat.

Bagi mencari keuntungan maksimum, kita perlu nyatakan fungsi jumlah kos bersamaan dengan

fungsi jumlah keuntungan serta menyelesaikan persamaan untuk mencari nilai x di mana x ialah

bilangan objek yang perlu ada untuk mewujudkan situasi keuntungan. Dalam realiti, memang benar

bahawa apabila jumlah perbelanjaan dan jumlah pendapatan adalah sama, maka kita tidak mengaut

sebarang keuntungan.

5

APLIKASI MATEMATIK MTE3114

PENUTUP

Pemodelan Matematik telah mendatangkan pelbagai faedah kepada pembangunan manusia sama

ada secara langsung atau tidak langsung. Pemodelan Matematik bukanlah suatu perkara yang

mudah terutamanya kerana kita perlu mencari dan mengaitkan pembolehubah yang sesuai dengan

realiti. Kelebihan menggunakan permodelan Matematik dapat menjadi pengalaman belajar kepada

seseorang individu. Kecepatan membuat formula matenatik memberikan kemampuan bagi kita

untuk mengetahui hasil keputusan dalam jangka waktu yang singkat. Pemodelan Matematik juga

melatih budaya meramal dalam sesuatu bidang seprti perniagaan, kejuruteraan dan juga sistem

ekonomi. Dengan menggunakan pemodelan Matematik, perbelanjaan dapat dikurangkan dan dapat

dijimatkan berbanding menggunakan kaedah ‘trial and error’.

6