PARTIKEL DALAM SUATU KOTAK SATU DIMENSI

Atom terdiri dari inti atom yang dikelilingi oleh elektron-elektron, di mana elektron

valensinya bebas bergerak di antara pusat-pusat ion. Elektron valensi geraknya dibatasi akibat

adanya gaya tarik elektrostatik antara pusat-pusat ion positif dengan elektron-elektron

valensinya. Tingkah laku elektron-elektron yang bergerak di dalam logam dianggap sama

dengan tingkah laku atom atau molekul di dalam gas mulia, oleh sebab itu elektron-elektron

ini biasa disebut sebagai Gas Elektron Bebas, dengan sifat; bermuatan negatif, dan

konsentrasinya jauh lebih besar dibandingkan dengan konsentrasi molekul dalam gas biasa.

Sommerfeld memperlakukan elektron valensi dengan cara menggunakan statistika kuantum,

sehingga tingkatan energi elektron di dalam kotak potensial dapat ditentukan dengan

menggunakan persamaan Scrodinger.

Contoh

Tinjaulah sebuah electron bermassa m yang bebas bergerak di dalam kotak potensial 1 dimensi yang sangat tebal, lebar kotak L dan tingginya ~ (lihat gambar). Kajilah sifat-sifat dan perilaku electron tersebut di dalam kotak, ditinjau  dari tingkatan energi, dan fungsi gelombangnya.

Langkah-langkah yang perlu Anda perhatikan dalam mengkaji sifat-sifat dan perilaku

elektron di dalam kotak potensial tersebut adalah: (1) tentukan terlebih dahulu potensial

elektron di dalam maupun di luar kotak, (2) hitung tingkat energinya ketika berada pada suatu

posisi tertentu, dan (3) lukiskan kerapatan probabilitas elektron dari fungsi gelombang yang

terbentuk.

ENERGI POTENSIAL ELEKTRON.

Energi potensial elektron di dalam kotak sama dengan nol, sebab elektron bebas tidak

memiliki energi potensial, sedangkan potensial elektron di luar kotak adalah tak berhingga

sebab dinding kotak cukup tebal sehingga tidal dimungkinkan elektron tersebut keluar dari

dalam kotak. Informasi ini jika dituliskan dalam formulasi matematik, maka bentuknya

adalah:

(1)

TINGKAT ENERGI ELEKTRON DI DALAM KOTAK

Langkah kedua adalah, kita harus menghitung tingatan energi electron ketika electron

tersebut ‘berada’ pada suatu posisi tertentu. Besarnya energi total electron yang berada di

dalam kota adalah

(2)

di mana   adalah operator energi kinetik dan   adalah energi potensial.

Karena energi potensial elektron di dalam kotak V(x) = 0, dan dengan merumuskan energi

kinetik  , serta mengalikan fungsi gelombang   di ruas kiri dan ruas

kanan, maka pers.(2) dapat dituliskan sebagai

(3)

di sini   adalah merupakan operator momentum linear untuk 1- dimensi. Apabila

harga operator momentum linear dimasukkan ke dalam pers.(3) dan semua variabelnya

disusun di sebelah kiri, maka hasilnya adalah:

(4)

di mana

(5)

Perhatikanlah bahwa pers. (4) adalah merupakan persamaan difrensial orde-2 yang dapat

diselesaikan melalui persamaan karakteristik. Misalkan solusi pers.(4) berbentuk:

(6)

jika pers.(6) disubstitusikan ke pers.(4) diperoleh:

(7)

pada pers.(7)  , sebab jika demikian kita tidak akan mendapatkan arti fisis apa-apa

darinya. Jadi yang harus berharga nol adalah  , sehingga dengan mengingat bahwa

harga   (i = imaginary), maka harga  dari pers.(7) adalah:

(8)

bila pers.(8) disubstitusikan ke dalam pers.(6) diperoleh:

A, dan B adalah merupakan konstanta. Bila exponensial pada pers.(9) diuraikan ke dalam

fungsi sinus dan cosinus, hasilnya adalah:

(10)

di mana C = A+B (bagian real), dan D = (A-B) i (bagian

imaginernya).

Harga C dan Ddari pers.(10) dapat ditentukan melalui masalah syarat batas (boundary value

problem). Marilah kita mencoba untuk menganalisa kotak potensial. Bila kita tinjau dari arah

sebelah kiri pada daerah x = 0, terlihat bahwa  , tetapi jika kita tinjau dari arah

sebelah kanan pada daerah x = L, maka

Jika x = 0; pers.(10) dapat ditulis:

(11)

supaya pers.(11) memiliki arti fisis, maka C = 0 dan D � 0, sehingga pers.(11) dapat

dituliskan menjadi:

(12)

Sebelum kita menghitung harga D, terlebih dahulu kita tentukan harga k melalui syarat

batas pula, yaitu Jika x = L; pers.(12) dapat ditulis:

(13)

pada pers.(13) harga D� 0, tetapi yang harus bernilai nol adalah sin kL, dengan demikian

harga k dapat dituliskan sebagai;

(14)

Untuk mengetahui besarnya tingkatan energi elektron tingkat ke-n yang berada di dalam

kotak potensial, substitusikan pers.(14) ke dalam pers.(5) hasilnya adalah:

(15)

Pers.(15) merupakan energi elektron tingkat ke-n didalam kotak yang biasa disebut sebagai

nilai eigen (eigen value). Dari persamaan tersebut terlihat bahwa elektron yang terperangkap

dalam kotak potensial selalu berada pada suatu tingkatan-tingkatan energi tertentu. Hal ini

dapat memberi penjelasan kepada kita, bahwa spectrum suatu atom tidaklah bersifat

kontinu, tetapi bersifat diskrit.

FUNGSI EIGEN DAN RAPAT PROBABILITAS

Untuk menentukan fungsi eigen dan rapat probabilitas elektron di dalam kotak potensial, kita

harus menentukan harga D (konstanta normalisasi) dari pers.(13) melalui syarat normalisasi,

yaitu:

(16)

pers.(16) dapat diselesaikan melalui pengintegralan yang standar, dengan mengingat bahwa:

(17)

Bila pers.(17) disubstitusikan ke dalam pers.(16), maka hasilnya (turunkan sebagai latihan)

adalah:

(18)

harga  pada pers.(18) adalah nol, sehingga nilai konstanta D dari pers.(18) adalah:

(19)

Jika factor normalisasi D sebesar   ini dimasukkan ke dalam pers. (13), maka fungsi

gelombang elektron pada tingkat ke-n adalah:

(20)

pers.(20) ini yang dikenal sebagai fungsi eigen (eigen function) menunjukkan bahwa

disamping elektron memiliki tingkat-tingkat energi tertentu, dia juga bergerak di dalam kotak

dalam bentuk gelombang sinusoidal menurut tingkatan energinya, seperti digambarkan pada

fungsi gelombang  , dan rapat probabilitas   sebagai fungsi dari posisi

berikut ini.

Fungsi Gelombang elektron Rapat Probabilitas elektron