Bab IIIKinetika Partikel

PN2251Kinematika dan Dinamika

L.GunawanDept. PN ITB

2005

Kinetika

Mempelajari hubungan antara gerak dan gaya-gaya pada suatu benda, yang merupakan penyebab atau akibat dari gerak tersebut.

Persamaan dasar yang digunakan: hukum Newton

aF m

Jumlah gaya-gaya yang bekerja pada suatu benda sama dengan massa dikalikan dengan percepatan benda tersebut.

• Jika resultan gaya-gaya diketahui, maka percepatan yang dialami benda dapat diketahui.

• Jika percepatan benda diketahui, maka resultan gaya pada suatu benda dapat dihitung.

3.1 Gerak Pada Garis Lurus (Rectilinear)

Jika arah gerak berimpit dengan sumbu x, maka persamaan Newton menjadi sbb:

0F

0F

maF

z

y

xx

x

yz

Jika arah gerak tidak berimpit dengan salah satu sumbu koordinat:

aF m

kji

kjia

zyx

zyx

FFFF

aaa

merupakan dua vektor yang searah, karena m skalar

x

yz

ax

ayaz

Contoh 3.1:

Suatu benda B bermassa 200 kg dipasang pada suatu bidang miring dan dibebani oleh benda A bermassa 125 kg dengan cara yang ditunjukkan pada gambar. Pada saat t=0 sistem dalam keadaan diam dan kemudian massa A dilepas. Hitung kecepatan benda B pada saat

benda A mencapai lantai.

30 o

BA

6m

A = 125 k gB = 200 k g = 0 .5

L B

L AL C

Panjang tali yang menghubungkan benda adalah:

LA + LB + LC + LD = L

Diferensiasi persamaan panjang tali terhadap waktu:

dLA/dt + dLB/dt + dLC/dt = 0

dLB = dLC sehingga dLA/dt + 2dLB/dt = 0

perubahan panjang tali LA dua kali perubahan panjang LB dengan arah berlawanan. Jika LB memanjang maka LA memendek 2 kali lebih cepat dan sebaliknya.

Massa A bergerak dua kali lebih cepat dari pada massa B. Selanjutnya dengan penurunan sekali lagi thd t, aA = 2 aB.

30 o

BA

6m

A = 125 k gB = 200 k g = 0 .5

L C

L AL B

L D

Analisa kinematik:

Analisis Kinetik:

B bergerak pada garis lurus sejajar bidang miring

A bergerak pada garis lurus vertikal

W BN B

yB

x B

a B T B

T A

T A

T A

W A

a Ax A

yA

)i(a.m2amTW BAAAAA

)ii(T2T AB

)iii(am30sinWNTmaF BBBBBx )iv(0N30cosW0F By

Untuk benda A

Untuk pulley

Untuk benda B

Dari persamaan (iv) N = Wb cos 30,

Dengan menggunakan (ii) maka (iii) dpt dituliskan menjadi:

)v(am30sinW30cosWT2 BBBBA

2 (i) + (v) akan memberi

BABBBA a)m4m(30sinW30cosWW2

2

AB

BAB s/m896.0

125x4200

8.9x200x)5.087.0x5.0(8.9x125x2

m4m

W)30sin30cos(W2a

2BA s/m792.1a2a

Karena a konstan selama benda jatuh, maka vA pada saat mencapai lantai dicari menggunakan persamaan GLBB:

sA=0.5aAt2 t = (2sA/aA)0.5 dan vA = aAt t = vA/aA

yang akan memberi

vA = (2aAs)0.5 = (2 x 1.792 x 6)0.5 = 4.64 m/dt

dan

vB = 0.5 vA = 2.32 m/dt

3.2 Gerak Pada Bidang

3.2.a Koordinat rectangulery

x

F 1

F 2

a

a x

a y

yy

xx

m

m

aF

aF

3.2.b Koordinat normal dan tangensial

F 1

F 2a t

an

t

n

nn

tt

m

m

aF

aF

va

a

t

2n

3.2.c Koordinat polar

F 1

F 2

a r

a

r

r

r2ra

rra

m

m

2r

rr

aF

aF

Contoh 3.2:Suatu mobil melaju pada suatu tikungan berjari-jari 400 m dengan kecepatan v=100 km/j dan percepatan dalam arah kecepatan sebesar a=-1.45 m/dt2. Berapa gaya reaksi yang diberikan oleh permukaan jalan pada mobil jika massanya adalah 1500 kg?

Jawab:

Percepatan mobil terdiri atas dua komponen:

dalam arah tangensial dg besar diketahui: at = -1.45 m/dt2

dalam arah normal dg besar an = v2/r = (100/3.6)2/400 = 1.93 m/dt2.

Dengan demikian gaya yang bekerja pada mobil adalah:

• Ft = mat = 1500 x 1.45 = 2170 N,

• Fn = man = 1500 x 1.93 = 2894 N.

• Total gaya yang bekerja adalah: F = (Ft2 + Fn

2) 0.5 = 3167 N.

a t

an

Fn F t

Fn

F t

F

400 m

v,a

Catatan: Penurunan persamaan gerak dinamik menggunakan hukum Newton

Dalam melakukan penulisan persamaan dinamik suatu benda, ada dua cara yang biasa dipakai.

Menggunakan Hukum Newton secara langsung

Prinsip D’Alembert

Dengan menambahkan gaya-gaya inersia pada diagram benda bebas F = ma dan M = Ia, dimana arah gaya/momen ini berlawanan dengan arah percepatan yang terjadi.

Selanjutnya persamaan kesetimbangan dinamik disusun menggunakan hukum kesetimbangan statik F=0 dan M=0, dimana dalam F dan M sudah termasuk gaya-gaya inersia yang bekerja pada benda tersebut.

Sebagai contoh, jika contoh 3.2 diselesaikan menggunakan Prinsip D’Alembert, maka diagram benda bebas mobil tersebut adalah sbb:

a t

an

Fn F t

F=man

F =

ma t

Persamaan keseimbangan didapat dengan cara:

Fn – man = 0 Fn = man

Ft – mat = 0 Ft = mat

3.2 Kerja dan Energi

Tinjau suatu benda bermassa m yang dikenai gaya total F sehingga partikel berpindah. Pada tiap posisi partikel x berlaku:

F v1

x1 x2

F v2

aF m

Dengan melakukan integrasi persamaan diatas dalam selang perpindahan antara x1 dan x2, didapat:

2

1

2

1

x

x

x

x

dxmdx aF

Suku kanan persamaan diatas dapat diubah lebih lanjut menggunakan

vvxax

vv

a dddt

ddan

dt

d

Sehingga didapat:

)vv(mdmdxmW 21

222

1

v

v

x

x

2

1

2

1

vva

Suku kiri: kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan partikel dari posisi x1 ke x2. Suku kanan: perubahan energi kinetik partikel dari x1 ke x2. Jadi :

Kerja yang dilakukan oleh total gaya F pada suatu partikel digunakan untuk meningkatkan energi kinetik partikel.

Contoh 3.3:Untuk menyelesaikan contoh 3.1 menggunakan metoda energi, digambarkan kembali diagram gaya-gaya yang bekerja pada benda A dan B. Puli tidak dianalisa disini karena massa dan inersia massa puli diabaikan.

W BN B

yB

x B

2T

T

T

W A

a Ax A

yA

N B

Pada massa A :

Kerja oleh gaya luar = WA 6 – T 6 = (125 9.81 – T ) 6

Perubahan E. kinetik = 0.5 mA (vA2 - 0) = 62.5 vA

2

Kerja oleh gaya luar = perubahan energi kinetik, didapat

vA2 = (125 9.81 – T ) 6 / 62.5

Pada massa B :

Kerja oleh gaya luar = (2T - WB sin 30 – mNB) 3 = (2T – 200 9.81 0.5 – 0.5 200 0.867 x 200) 3

Perubahan E. kinetik = 0.5 mB (vB2 - 0) = 100 vB

2

Kerja oleh gaya luar = perubahan energi kinetik

vB2 = (2T–200 9.81 0.5 – 0.5 200 0.867 x 200) 3 / 100

Dari kinematika diketahui bahwa vA = 2 vB vA2 = 4 vB

2, sehingga: (1259.81–T)6/62.5=4(2T–2009.810.5–0.52000.867x200)3/100

yang memberi T = 1004.5 N dan vB = 2.3 m/dt

Energi Potensial:

Gaya yang melakukan kerja pada benda ada beberapa jenis, dua diantaranya adalah:

– Gaya luar– Gaya konservatif: pegas, gaya tarik gravitasi

Kerja yg dilakukan gaya pegas selama benda berpindah dari x1 ke x2 :

x1 x2

kx1 kx2

)xx(k21

kx21

dkdW 21

22

2x

1x

2x

x

x

xspr

2

1

2

1

xxxF

Kerja oleh gaya pegas bernilai negatif, atau pegas mengambil energi dari sistem.

Sistem massa dengan pegas

Dengan demikian jika pada suatu partikel bekerja gaya luar non pegas dan gaya pegas, kerja yang dilakukan oleh kedua gaya ini adalah:

kpk21

22

k21

22

EEE)xx(k21

W

E)xx(k21

W

Kerja yang dilakukan oleh gaya luar non pegas selama benda berpindah dari x1 ke x2 digunakan untuk:

menaikkan energi kinetik benda

menaikkan energi potensial pegas,

Energi potensial pegas : ½ kx2, dimana x : regangan pegas.

Jika gaya gravitasi melakukan kerja pada benda (benda memiliki komponen perpindahan dalam arah vertikal), Perpindahan terjadi pada jarak yang pendek di permukaan bumi (percepatan gravitasi dapat dianggap konstan).

Selama massa berpindah dari h1 ke h2, kerja yang dilakukan oleh gaya gravitasi adalah:

h1

h2

m g

m g kpk12

k12

EEE)hh(mgW

E)hh(mgW

Kerja oleh gaya luar non gravitasi digunakan untuk menaikkan energi kinetik benda dan disimpan sebagai energi potensial gravitasi benda yang didefinisikan sebagai Ep=mgh.

Untuk partikel yang mengalami perpindahan yang tidak kecil dibandingkan dengan jari-jari bumi (percepatan gravitasi tidak dapat dianggap konstan). Percepatan gravitasi pada jarak r dari pusat bumi adalah:

20

R

Kmg 2

2

2

2

20

20

r

Rg

r

R

R

Km

r

Km

)r

1

r

1(mgR

r

Rmgdr

r

RmgFdx

12

2

2r

1r

2x

x2

2x

x

2

1

2

1

Kerja yang dilakukan oleh gaya gravitasi selama benda berpindah dari r1 ke r2 adalah:

Dengan demikian energi potensial gravitasi pada partikel yang berjarak r dari pusat bumi adalah : Ep = - mgR2/r

dimana:Percepatan gravitasi di permukaan bumi

Kerja oleh gaya gravitasi = perubahan energi potensial benda

Contoh 3.4:

Suatu massa 50 kg dipasang pada suatu slider dan diberi pegas dengan k = 80 N/m. Pada saat awal massa ditahan oleh tali dalam keadaan diam dan pegas telah teregang sejauh x1=0.233 m. Tali kemudian ditarik dengan gaya sebesar 300 N. Hitung kecepatan massa pada saat mencapai titik B.

F = 300 N

A

B

x1 1.2 m

0.9

m

k

Jawab:

Massa hanya dapat bergerak secara horizontal dan selama massa berpindah dari A ke B titik tangkap gaya F pada tali bergeser sejauh:

(1.22 + 0.92)0.5 – 0.9 = 0.6 m.Kerja yang dilakukan gaya F selama perpindahan adalah:

W = Fs = 300 0.6 = 180 Nm = 180 JKenaikan energi potensial pegas adalah:

U= 0.5 k (xB2 - xA

2) = 0.5 80 x ((1.2+0.233)2 – 0.2332) = 80 JKenaikan energi kinetik:

T= 0.5 m (vB2 - vA

2) = 0.5 50 x (vB2 - 0) = 25 vB

2 JPrinsip kekekalan energi pada sistem ini:

W = U + T 180 = 80 + 25 vB2 vB = 2 m/dt.

F = 300 N

A

B

x1 1.2 m

0.9

m

k

F = 300 N

B

x1

1.2 m

0.9

m

k

Contoh 3.5:

Suatu roket ditembakkan secara vertikal dari kutub utara dengan kecepatan v0. Tentukan kecepatan minimum v0 supaya roket dapat terlepas dari gaya gravitasi bumi. Jari-jari bumi adalah 6370 km dan percepatan gravitasi di kutub adalah 9.824 m/dt2.

Jawab:Kondisi awal roket:

r = R = 6370 km, v = v0Kondisi akhir dalam keadaan terlepas dari gaya tarik gravitasi bumi:

r , v = 0.Gaya dorong roket hanya bekerja sesaat & memberi kecepatan awal v0 . Analisis energi dilakukan setelah gaya dorong habis. Gesekan udara diabaikan. Prinsip energi : setelah gaya dorong habis, tidak ada kerja yang dilakukan oleh gaya luar, sehingga :

0 = Ep + Ek

20

220

2

0

2 v0)R

11(gR2)vv(m

2

1)

r

1

r

1(mgR0

dt/km19.11dt/m4.11187v 0

6370000824.92gR2v 20

3.4 Impuls dan Momentum

Suatu benda bergerak pada suatu lintasan antara saat t1 dan t2. Selama benda berpindah, berlaku hukum Newton:

dt

)m(d

dt

dmm

vvaF

)t(m)t(mmdtdt

)m(ddt 12

t

t

t

t

t

t

2

1

2

1

2

1

vvvv

F

Jika dalam selang waktu pengamatan t1 s/d t2 dilakukan integrasi terhadap persamaan dinamik ini, akan didapat:

Impuls yang bekerja pada suatu benda mengakibatkan perubahan momentum benda tersebut.

Impuls Momentum

t1 t2tF

Contoh 3.6:Suatu senapan menembakkan peluru dengan massa 60 gram. Jika peluru butuh waktu sebesar 3x10-3 detik untuk keluar dari laras dengan kec. 600 m/dt, tentukan gaya P yg dibutuhkan untuk menahan senapan.

Jawab:

Dlm selang t 0 s/d 3x10-3 dt bekerja gaya dorong F yang meningkatkan kec. peluru dari 0 ke 600 m/dt. Pers. impuls & momentum peluru adalah:

003.0

0

12 )(mdt vvF

Jika dalam selang waktu tersebut gaya dianggap konstan, maka persamaan dapat disederhanakan menjadi:

36)0600(06.0)vv(m003.0F 12 kN12N12000003.0

36F

Berdasarkan prinsip aksi reaksi, maka peluru akan memberi gaya aksi thd senapan sebesar F. Selanjutnya gaya tersebut harus ditahan oleh penembak.Jadi gaya tahan senapan P = F = 12 kN

KINDIN, PR 2Kerjakan soal 3.101 dengan hk Newton langsung dan metoda energi