modul metode distribusi momen

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan kepada pujaan alam Allah SWT atas rahmat,

dan karunia-Nya kepada saya sebagai penulis, sehingga terciptanya modul tentang

metode distribusi momen.

Modul ini merupakan bahan ajar yang digunakan sebagai panduan peserta

diklat Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) untuk membantu salah satu bagian

kompetensi memahami materi pembelajaran mekanika terapan. Modul Metode

distribusi momen ini menyajikan tentang cara menghitung dan menganalisis

strukur dengan metode distribusi momen (cross) terhadap momen primer dan

faktor distribusi guna mencapai keseimbangan momen disetiap titik simpul.

Terima kasih penulis ucapkan kepada segenap rekan yang membantu

penulis baik dalam segi moril maupun materil, sehingga penulis mampu

menyelesaikan modul pembelajaran ini. Modul ini tentu tidak luput dari

kekurangan maupun kesalahan, baik dari segi format, bahasa maupun

penulisannya. Untuk itu, penulis mohon maaf atas segala kekurangan, dan sangat

mengharapkan kritik maupun saran guna kesempurnaan Modul-modul berikutnya.

Semoga Modul ini ada manfaatnya.

Penulis,

Meri Sufina

PETA KEDUDUKAN MODUL

Pendefinisian Metode Distribusi

Menghitung momen

primer

Menghitung faktor

kekakuan

Menghitung faktor

distribusi momen

Tabel distribusi momen

(cross)

GLOSARY

Momen : Gaya yang bekerja pada suatu benda, tapi garis kerja gayanya

tidak melalui titik pusat benda itu/gaya dikali jarak.

Momen primer: adalah momen yang terjadi pada ujung batang sebagai akibat

dari beban-beban yang bekerja disepanjang batang

Distribusi momen : Proses analisis dengan cara induksi dan pembagian terhadap

momen primer sebanyak beberapa putaran guna mendapatkan

keseimbangan di setiap titik simpul.

T. Sendi : Tumpuan yang dapat menerima gaya tarik maupun gaya tekan

asal melalui titik pusat engsel

T. Rol : Tumpuan yang dapat menerima gaya tekan yang tegak lurus pada

bidang perletakan rol.

T. Jepit : Tumpuan yang dapat menerima gaya dari segala arah dan momen

BAB lPENDAHULUAN

A. DESKRIPSIModul ini membahas tentang analisis struktur dengan metode distribusi

momen. Metode ini melakukan distribusi (pembagian) momen dan induksi

terhadap momen primer sebanyak beberapa putaran guna mendapatkan

keseimbangan di setiap titik simpul.

B. PRASYARATAgar dapat memahami dan mengerti tentang pembahasan modul metode

distribusi momen ini, terlebih dulu syaratnya siswa sudah belajar dan lulus

Mekanika Dasar.

C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL1. Pahami dengan seksama daftar kedudukan modul serta daftar isi modul

yang mencakup seluruh pembahasan ketentuan pembelajaran modul.

2. Pelajari dan pahami contoh-contoh soal yang tercantum dalam modul, dan

pelajari sampai mengerti.

3. Jawablah soal-soal latihan dalam modul sebagai evaluasi atas pemahaman

dalam pembelajaran isi modul.

4. Jika ada kesalahan atau kurang mengerti tentang modul, maka pelajari

kembali contoh atau hubungi guru yang bersangkutan.

D. TUJUAN AKHIR MODUL

Setelah mempelajari modul ini, diharapkan siswa :

1. Memahami konsep Metode Distribusi Momen

2. Memahami dan mengerti cara menghitung momen primer, faktor

kekakuan, dan faktor distribusi momen

3. Memahami dalam menganalisis tabel distribusi momen (cross)

4. Memahami dan mampu menjawab soal-soal latihan.

BAB II

PEMBELAJARAN

1. Pendahuluan

Analisis struktur dengan metode distribusi momen pertama kali

diperkenalkan oleh Harry Cross pada tahun 1933 dalam bukunya yang berjudul

"Analysis of Continous Frames by Distributing Fixed-End Moments", dan

disebarluaskan oleh ilmuan lainnya. Metode distribusi momen juga dikenal

sebagai metode Cross. Metode ini merupakan salah satu metode yang dipakai

untuk analisis struktur balok menerus dan portal statis tak tentu.

Metode distribusi momen didasarkan pada anggapan sebagai berikut:

1. Perubahan bentuk akibat gaya normal dan gaya geser diabaikan, sehingga

panjang batang-batangnya tidak berubah.

2. Semua titik simpul (buhul) dianggap kaku sempuma.

Dalam proses analisis, metode ini melakukan distribusi momen dan induksi

(carry over) terhadap momen primer (Fixed End Moment) sebanyak beberapa

putaran (iterasi) guna mendapatkan keseimbangan di setiap titik simpul. Hal ini

dilakukan karena momen-momen primer yang bekerja di setiap tumpuan maupun

simpul suatu struktur tidak sama besarnya, sehingga simpul tidak seimbang.

Untuk mendapatkan keseimbangan simpul melakukan perputaran, sehingga

momen-momen primer di tiap simpul melakukan distribusi (pembagian) sampai

jumlah momen primer di masing-masing simpul sama dengan nol. Proses

distribusi dan induksi secara manual dapat dilakukan sebanyak empat putaran

(iterasi), dan dianggap semua simpul sudah seimbang atau mendekati nol.

Beberapa pengertian yang digunakan dalam metode distribusi momen, yaitu

momen primer, momen induksi, dan distribusi momen. Berikut ini akan diuraikan

satu persatu.

2. Momen Primer

Momen primer adalah momen yang terjadi pada ujung batang sebagai akibat

dari beban-beban yang bekerja di sepanjang batang. Besarnya momen primer

sama dengan momen jepit (momen reaksi) dengan tanda atau arah yang

berlawanan. Dengan kata lain, momen jepit atau momen reaksi merupakan

kebalikan dari momen primer. Momen primer biasanya digambarkan melengkung

ke luar pada bagian dalam ujung batang dengan arah tertentu sesuai dengan

pembebanan. Arah momen primer ditentukan berdasarkan kecenderungan

melenturnya batang, seolah-olah batang akan patah akibat momen yang bekerja di

ujung batang. Dilain pihak, momen jepitan atau momen reaksi merupakan

kebalikan dari momen primer, disebut juga sebagai momen perlawanan (Gambar

1).

Gambar 1 Momen Primer dan Momen Reaksi

3. Faktor Distribusi Momen

Apabila struktur portal bekerja momen primer sebesar M' di simpul A

(Gambar 2), maka di masing-masing ujung batang simpul A akan terjadi distribusi

momen sebesar MAB, MAC, dan MAD dengan arah berlawanan dengan momen

primer M'. Hal ini terjadi karena simpul A kaku sempurna, sehingga batang-

batang berputar menurut garis elastisnya guna mendapatkan keseimbangan.

Berapa besar faktor distribusi momen dan momen distribusi yang terjadi di

ujung A untuk masing-masing batang? Untuk menyelidiki hal ini batang struktur

dapat diselidiki berdasarkan gambar portal berikut ini.

Gambar 2 Distribusi Momen

Jika diamati Gambar 2, pada batang AB terjadi rotasi (perputaran sudut)

sebesar θA akibat pengaruh MAB, pada batang AB terjadi rotasi (perputaran

sudut) sebesar θA akibat pengaruh MAC, dan pada batang AD terjadi rotasi

(perputaran sudut) sebesar θA akibat pengaruh MAD. Jadi, keseimbangan simpul

A, yaitu:

M' = MAB + MAC + MAD.

Apabila kAB, kAC, dan kAD merupakan faktor kekakuan masing-masing

batang AB, AC, dan AD, maka:

MAB = kAB θA; MAC = kAC θA; MAD = kAD θA

Jadi:

M' = (kAB + kAC + kAD) θA

M = ∑kA . θA

θA = M' / ∑kA

Dengan demikian, diperoleh:

MAB = kAB

∑ kA. M '

MAC = kAC

∑ kA. M '

MAD= kAD

∑ kA. M '

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:

1. Faktor distribusi (FD) adalah perbandingan kekakuan batang (k) dengan

kekakuan batang total di titik simpul (∑k).

Jadi, faktor distribusi FD = k / ∑k

2. Momen distribusi (MD) adalah hasil perkalian faktor distribusi dengan

rnomen primer (M').

Jadi, momen primer MD= M’ . FD

4. Faktor kekakuan batang dan momen induksi

Untuk mengetahui faktor kekakuan batang dan momen induksi pada portal

(Gambar 3), dapat diuraikan berdasarkan rumus slope deflection (sudut

kemiringan lendutan) pada masing-masing jenis batang.

Batang AC:

Gambar 3 Batang AC

Batang prismatis AC dengan tumpuan jepit-jepit, bekerja momen distribusi

sebesar MAC di ujung A (simpul) dengan sudut kemiringan lendutan sebesar θA.

Sedangkan, ujung B (tumpuan jepit) berhak menerima momen induksi sebesar

MCA dengan arah yang sama. Dengan demikian, diperoleh persamaan: θA1 - θA1

= θA dan θC2 - θC1 = 0

Akibat pengaruh memen distribusi MAC saja akan menimbulkan sudut

kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar:

θA 1= MAC . LAC3 EI

θC 1= MAC . LAC6 EI

Selanjutnya, pengaruh momen induksi MCA saja akan menimbulkan rotasi

dengan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar:

θA 2= MAC . LAC6 EI

θC 2= MAC .LAC3 EI

Dengan demikian:

θC 2−θC 1=0

MCA . LCA3 EI

−MAC .LAC6 EI

=0

MCA=1/2 MAC

θA 1−θA 2=θA

MCA . LCA3 EI

−MAC .LAC6 EI

=θA

MAC= 4 EILAC

. θA

Apabila θA=1 radian, maka: MAC= 4 EILAC

Persamaan ini menunjukkan bahwa ujung A memberi induksi pada ujung C

sebesar setengah momen distribusi (1/2 M) dengan arah yang sama. Selanjutnya,

nilai momen MAC telah menyebabkan terjadinya rotasi hingga membentuk sudut

kemiringan lendutan di ujung A sebesar θA. Nilai momen ini disebut sebagai

kekakuan batang AC yang diberi notasi kAC. Dengan demikian, kekakuan batang

AC (tumpuan jepit-jepit) dapat diketahui dengan rumus: kAC = 4EI/LAC,

Batang AD:

Gambar 4 Batang AD

Batang prismatis AD dengan tumpuan jepit-sendi, bekerja momen distribusi

sebesar MAD di ujung A (simpul) dengan sudut kemiringan lendutan sebesar θA.

Sedangkan, ujung D tidak berhak menerima momen induksi karena jenis tumpuan

sendi (momen induksi sama dengan nol). Dengan demikian, diperoleh persamaan;

θA1 - θA1 = θA

Akibat pengaruh memen distribusi MAD akan menimbulkan rotasi dengan

sudut kemiringan lendutan pada ujung batang A sebesar:

θA=MAD . LAD3 EI

; dimana θA=1 radian, maka:

MAD= 3 EILAD

Persamaan ini menunjukkan bahwa nilai momen MAD merupakan nilai

yang dibutuhkan hmgga menyebabkan terjadinya rotasi di ujung A (ujung D

sendi), sehingga membentuk sudut kemiringan lendutan di ujung A sebesar θA.

Nilai momen ini disebut sebagai kekakuan batang AD yang diberi notasi kAD.

Dengan demikian, kekakuan batang AD (tumpuan jepit-sendi) dapat diketahui

dengan rumus: kAD = 3EI/LAD.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:

1) Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-jepit : k = 4EI/L

2) Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-sendi: k = 3EI/L

Contoh Soal 1:

Diketahui balok menerus statis tertentu dengan bentuk, dimensi, dan pembebanan

seperti Gambar, hitunglah momen reaksi di titik tumpuan maupun simpul

sepanjang balok dengan metode Distribusi Momen (Cross).

Gambar Contoh Soal

Peyelesaian:

a. Momen primer masing-masing bagian balok:

MAB = -MBA = l/12.q .L2

= 1/12. 5. 52 = 10,416 kNm

MBC = -MCB = P.a.b2/L2

= 4.3.32/62 =11,25 kNm

b. Faktor kekakuan dan distribusi momen

Distribusi momen hanya terjadi di titik simpul. Oleh karena itu faktor

kekakuan batang dan distribusi momen masing-masing batang hanya ditinjau

pada titik simpul saja.

Simpul B: Kekakuan batang :

kBA=4 EI / L=4 EI /5=0,8 EIkBC=4 EI / L=4 EI /6=0,6 EI

∑ kB=1,4 EI

Faktor distribusi :FBA=kBA /∑ kB=0,8 EI /1,4 EI=0,571FBC=kBC /∑ kB=0,6 EI /1,4 EI=0,429

c. Distribusi momen:

Untuk mendapatkan keseimbangan momen dilakukan distribusi momen

pada masing-masing simpul dengan bantuan tabel cross. Sedapat mungkin tabel

cross dirancang sedemikian rupa sesuai kebutuhan. Tempatkan titik simpul dan

batang dengan posisi yang tepat pada tabel, sehingga memudahkan proses

distribusi dan induksi momen. Posisi batang yang sejenis sedapat mungkin

diusahakan berdampingan agar proses induksi tidak menyulitkan. Dalam hal ini

proses distribusi dan induksr momen cukup dilakukan hingga ernpat kali putarari

(dianggap mendakati nol).

TABEL DISTRIBUSI MOMEN (CROSS)

SIMPUL - BA

BATANG AB BA BC CB

FD - - 0,571 -0,429 -

MPRIMER 10,416 - 10,416 11,25 - 11,25

MD1MI1

-0,238 - 0,476 -0,358 - 0,179

MD2 MI2

- - - -

MD3MI3

- - - -

MD4 - - - -

M TOTAL 10,178 - 10,892 10,892 - 11,429

MREAKSI -10,178 10,892 -10,892 11,429

Contoh soal 2:

Diketahui balok menerus statis tertentu dengan bentuk, dimensi, dan pembebanan

seperti Gambar, hitunglah momen reaksi di titik tumpuan maupun simpul


Gambar Contoh Soal 2 masing-masing bagian balok:

Peyelesaian:

a. Momen primer

MAB = -MBA = l/12.q .L2 = 1/12. 4 . 62 = 12 kNm

MBC = -MCB = l/12.q .L2 + P.a.b2/L2 + P.a2.b/L2

= 1/12. 1 .122 + 4 .3 .92/122 + 4.9 .32/122 = 21 kNm

MCD = P.a (L2-a2) / 2L2

= 10 .6 (92 - 62) / 2 .92 = 13,333 kNm






kBA=4 EI / L=4 EI /6=0,667 EIkBC=4 EI / L=4 EI /12=0,333 EI

∑ kB=1,000 EI

Faktor distribusi :FBA=kBA /∑kB=0,667 EI /1,000 EI=0,667FBC=kBC /∑ kB=0,333 EI /1,000 EI=0,333

Simpul C Kekakuan batang :

kCB=4 EI /L=4 EI /12=0,333 EIkCD=3 EI / L=3 EI /9=0,333 EI

∑ kB=0,666 EI

Faktor distribusi :FCB=kCB /∑kC=0,333 EI /0,666 EI=0,5FCD=kCD /∑kC=0,333 EI /0,666 EI=0,5



pada masing-masing simpul dengan bantuan tabel cross. Sedapat mungkin

tabel cross dirancang sedemikian rupa sesuai kebutuhan. Tempatkan titik

simpul dan batang dengan posisi yang tepat pada tabel, sehingga memudahkan

proses distribusi dan induksi momen. Posisi batang yang sejenis sedapat

mungkin diusahakan berdampingan agar proses induksi tidak menyulitkan.

Dalam hal ini proses distribusi dan induksi momen cukup dilakukan hingga

empat kali putaran (dianggap mendakati nol).


SIMPUL - B CBATANG AB BA BC CB CD DC

FD - - 0,667 - 0,333 -0,5 -0,5 -M PRIMER 12 -12 21 -21 13,333 0

MD1MI l

-3,000

- 6,000-

-3,000 1,920

3,840 -1,500

3,840-

--

MD2 MI2

--0,641

-1,281-

-0,640 0,380

0,750 -0,320

0,750-

--

MD3MI3

- -0,125

-0,250-

-0,130 0,080

0,160 - 0,065

0,160-

--

MD4 -0,003 -0,005 -0,003 0,033 0,033 -M TOTAL 8,231 - 19,536 19,607 - 18,102 18,116 0

MREAKSI 8,231 19,536 -19,607 18,102 -18,116 0

Contoh Soal 3:

Diketahui balok menerus statis tertentu dengari bentuk, dimensi, dan pembebanan

seperti pada Gambar , hitunglah momen reaksi di titik tumpuan maupun simpul


Gambar 3.7 Contoh Soal 3

Peyelesaian:

a. Momen primer masing-masing bagian balok:│

MAB = -MBA = l/12.q .L2 = 1/12. 2.82 = 10,667 kNm

MBC = q/L2 |1/3. L. X3−1/4. X4|b1

b2 + Pab2/L2

= 2/102[(1/3.10 .103 – 1/4.104) - (1/3.10.63 – 1/4.64)] + 8.7.32 /102

=13,787 kNm

MCB = - [q/L2 |1/3. L. X3−1/4. X4|a1

a2 + Pa2b/L2

= - [2/102 (1/3.10 .43 – 1/4. 44) + 8 .72.3 /102] = -14,747 kNm

MCD = Pab2/L2

= 7.3.52/82 = 8,203 kNm

MDC = - Pa2 b/L2

= -7.32.5/82 = -4,922 kNm





Simpul A: Kekakuan batang :

kAE=0kAB=4 EI / L=4 EI /8=0,5 EI

∑ kB=0,5 EI

Catt: batang AE tidak memiliki kekakuan, karena ditumpu satu tumpuan saja (balok kantilever)

Faktor distribusi :FAE=0

FAB=kBA /∑kA=0,5 EI /0,5 EI=1


kBA=4 EI /L=4 EI /8=0,5 EIkBC=4 EI / L=4 EI /10=0,4 EI

∑ kB=0,9 EI

Faktor distribusi :FBA=kBA /∑kB=0,5 EI /0,9 EI=0,56FBC=kBC /∑ kB=0,4 EI /0,9 EI=0,44

Simpul C:Kekakuan batang :

kCB=4 EI /L=4 EI /10=0,4 EIkCD=4 EI /L=4 EI /8=0,5 EI

∑ kC=0,9 EI

Faktor distribusi :FCB=kCB /∑kC=0,4 EI /0,9 EI=0,44FCD=kCD /∑kC=0,5 EI /0,9 EI=0,56



pada masing-masing simpul dengan bantuan tabel cross. Sedapat mungkin tabel

cross dirancang sedemikian rupa sesuai kebutuhan. Tempatkan titik simpul dan

batang dengan posisi yang tepat pada tabel, sehingga memudahkan proses

distribusi dan induksi momen. Posisi batang yang sejenis sedapat mungkin

diusahakan berdampingan agar proses induksi tidak menyulitkan. Dalam hal ini

proses distribusi dan induksi momen cukup dilakukan hingga empat kali putaran

(dianggap mendakati nol).


SIMPUL A B C

BATANG AE AB BA BC CB CD DCFD 0 -1 -0,560 -0,440 -0,440 -0,560 -M PRIMER -4 10,667 - 10,667 13,787 - 14,747 8,203 -4,922MD1 MI l

--

-6,667 -0,874

-1,747 -3,333

-1,373 1,440

2,879 -0,666

3,664-

-1,832

MD2 MI2

--

0,874 0,530

1,061 0,437

0,833 0,151

0,302 0,417

0,384-

-0,192

MD3 M33

--

-0,530 -0,165

- 0,329 -0,265

-0,259 -0,092

-0,183 -0,129

-0,233-

-0,117

MD4 - 0,165 0,200 0,157 0,057 0,072 0,036M TOTAL -4 4 -14,644 14,644 - 12,091 12,091 -2,978M REAKSI 4 -4 14,644 -14,644 12,091 -12,091 2,978

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Metode Distribusi Momen ini dilakukan dengan distribusi (pembagian)

momen dan induksi terhadap momen primer sebanyak beberapa putaran guna

mendapatkan keseimbangan di setiap titik simpul. Semua materi mengenai

Metode Distribusi Momen akan dapat dimengerti setelah kita mengetahui,

mempelajari dan memahami materi dan contoh-contoh yang diberikan.

B.SARAN

Modul ini tentu tidak luput dari kekurangan maupun kesalahan, baik dari

segi format, bahasa maupun penulisannya, atau cara menguraikan materi, atau

langkah penyelesaian soal-soal yang kurang tepat. Untuk itu, penulis mohon maaf

atas segala kekurangan, dan sangat mengharapkan kritik maupun saran guna

kesempurnaan Modul-modul berikutnya.

modul metode distribusi momen

Documents